GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Exercise 3.6

 

Question 1. નીચેના સમીકરણયુગ્મને યોગ્ય આદેશ વડે સુરેખ સમીકરણયુગ્મમાં રૂપાંતરિત કરીને તેમનો ઉકેલ મેળવોઃ
(i) \( \frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 y} = 2 \)
\( \frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y}=\frac{13}{6} \)
(ii) \( \frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}} = 2 \)
\( \frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}} = -1 \)
(iii) \( \frac{4}{x} + 3y = 14 \)
\( \frac{3}{x} - 4y = 23 \)
(iv) \( \frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2} = 2 \)
\( \frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2} = 1 \)
(v) \( \frac{7 x-2 y}{x y} = 5 \)
\( \frac{8 x+7 y}{x y} = 15 \)
(vi) \( 6x + 3y = 6xy \)
\( 2x + 4y = 5xy \)
(vii) \( \frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y} = 4 \)
\( \frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y} = -2 \)
(viii) \( \frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4} \)
\( \frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8} \)
Answer:
(i) \( \frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 y} = 2 ...............(1) \)
\( \frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y}=\frac{13}{6} ..............(2) \)
\(\frac{1}{x} = a\) અને \(\frac{1}{y} = b\) આદેશ બેસાડતા,
\( \frac{1}{2} a + \frac{1}{3} b = 2 ............(3) \)
\( \frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b = \frac{13}{6} ..............(4) \)
બંને સમીકરણોને 6 વડે ગુણતા,
\( 3a + 2b = 12 ..............(5) \)
\( 2a + 3b = 13 ..............(6) \)
સમીકરણ (5) અને (6) નો સરવાળો કરતા,
\( 5a + 5b = 25 \)
\( ∴ a + b = 5 ..............(7) \)
સમીકરણ (5)માંથી સમીકરણ (6) બાદ કરતા,
\( a - b = -1 ..............(8) \)
સમીકરણ (7) અને સમીકરણ (8) ને ઉકેલતા, \(a = 2\) અને \(b = 3\) સરળતાથી મળે છે.
તેથી, \(a = \frac{1}{x} = 2\) અને \(b = \frac{1}{y} = 3\)
\( ∴ x = \frac{1}{2}; \) અને \( y = \frac{1}{3} \)
આમ, આપેલા સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{3}\) છે.
(ii) \( \frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}} = 2 .............(1) \)
\( \frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}} = -1 .............(2) \)
\(\frac{1}{\sqrt{x}} = a\) અને \(\frac{1}{\sqrt{y}} = b\) આદેશ બેસાડતા,
\( 2a + 3b = 2 .............(3) \)
\( 4a - 9b = -1 ............(4) \)
સમીકરણ (3)ને 3 વડે ગુણતા,
\( 6a + 9b = 6 ..........(5) \)
સમીકરણો (4) અને (5)નો સરવાળો કરતા,
\( (4a - 9b) + (6a + 9b) = - 1 + 6 \).
\( ∴ 10a = 5 \)
\( ∴ a = \frac{1}{2} \)
સમીકરણ (3)માં \(a = \frac{1}{2}\) મુકતા,
\( 2 (\frac{1}{2}) + 3b = 2 \)
\( ∴ 1 + 3b = 2 \)
\( ∴ 3b = 1 \)
\( ∴ b = \frac{1}{3} \)
તેથી, \(a = \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\)
\( 2 = \sqrt{x} \)
\( x = 4 \)
અને \(b = \frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{3}\)
\( ∴ 3 = \sqrt{y} \)
\( y = 9 \).
આમ, આપેલા સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = 4, y = 9\) છે.
(iii) \( \frac{4}{x} + 3y = 14 ...............(1) \)
\( \frac{3}{x} - 4y = 23 ...............(2) \)
\(\frac{1}{x} = a\) આદેશ લેતા,
\( 4a + 3y = 14 ...............(3) \)
\( 3a - 4y = 23 ...............(4) \)
સમીકરણ (3) ને 4 વડે તથા સમીકરણ (4) ને 3 વડે ગુણી તેઓનો સરવાળો લેતા,
\( 4 (4a + 3y) + 3(3a - 4y) = 4(14) + 3(23) \)
\( ∴ 16a + 12y + 9a - 12y = 56 + 69 \)
\( 25a = 125 \)
\( ∴ a = 5 \)
તેથી, \(a = \frac{1}{x} = 5\)
\( x = \frac{1}{5} \)
સમીકરણ (1)માં \(x = \frac{1}{5}\) મુકતા,
\( \frac{4}{\left(\frac{1}{5}\right)} + 3y = 14 \)
\( ∴ 20 + 3y = 14 \)
\( ∴ 3y = - 6 \)
\( y = -2 \)
આમ, આપેલા સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = \frac{1}{5}, y = - 2\) છે.
(iv) \( \frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2} = 2 ..............(1) \)
\( \frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2} = - 1 .............(2) \)
\(\frac{1}{x-1} = a\) અને \(\frac{1}{y-2} = b\) આદેશ બેસાડતા,
\( 5a + b = 2 ...............(3) \)
\( 6a - 3b = 1 .............(4) \)
સમીકરણ (3) ને 3 વડે ગુણી તેમાં સમીકરણ (4) ઉમેરતા,
\( 3 (5a + b) + (6a - 3b) = 3 (2) + 1 \)
\( ∴ 15a + 3b + 6a - 3b = 6 + 1 \)
\( ∴ 21a = 7 \)
\( ∴ a = \frac{1}{3} \)
સમીકરણ (4)માં \(a = \frac{1}{3}\) મુકતા,
\( 6(\frac{1}{3}) - 3b = 1 \)
\( ∴ 2 - 3b = 1 \)
\( ∴ 1 = 3b \)
\( ∴ b = \frac{1}{3} \)
તેથી, \(a = \frac{1}{x-1}=\frac{1}{3}\)
\( ∴ x - 1 = 3 \)
\( ∴ x = 4 \)
અને \(b = \frac{1}{y-2}=\frac{1}{3}\)
\( ∴ y - 2 = 3 \)
\( ∴ y = 5 \)
આમ, આપેલા સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = 4, y = 5\) છે.
(v) \( \frac{7 x-2 y}{x y} = 5 \)
\( \frac{8 x+7 y}{x y} = 15 \)
આથી, \( \frac{7}{y}-\frac{2}{x} = 5 ...............(1) \)
અને \( \frac{8}{y}+\frac{7}{x} = 15 .............. (2) \)
\(\frac{1}{y} = a\) અને \(\frac{1}{x} = b\) આદેશ લેતા,
\( 7a - 2b = 5 ...............(3) \)
\( 8a + 7b = 15 ...............(4) \)
સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,
\( 7a - 2b - 5 = 0 \) અને \( 8a + 7b - 15 = 0 \)

આથી \( \frac{a}{(-2)(-15)-(7)(-5)} = \frac{b}{(-5)(8)-(-15)(7)} = \frac{1}{(7)(7)-(8)(-2)} \)
\( ∴ \frac{a}{30+35} = \frac{b}{-40+105} = \frac{1}{49+16} \)
\( ∴ \frac{a}{65} = \frac{b}{65} = \frac{1}{65} \)
\( ∴ a = \frac{1}{65} \) અને \( b = \frac{1}{65} \)
\( a = 1 \) અને \( b = 1 \)
તેથી, \(a = \frac{1}{y} = 1 \implies y = 1 \)
અને \(b = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1 \)
આમ, આપેલા સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = 1, y = 1\) છે.
(vi) \( 6x + 3y = 6xy \)
\( 2x + 4y = 5xy \)
બંને સમીકરણોને \(xy\) વડે ભાગતા,
\( \frac{6}{y}+\frac{3}{x} = 6 .......... (1) \)
\( \frac{2}{y}+\frac{4}{x} = 5 ........ (2) \)
\(\frac{1}{y} = a\) અને \(\frac{1}{x} = b\) આદેશ લેતા,
\( 6a + 3b = 6 ...............(3) \)
\( 2a + 4b = 5 ...............(4) \)
સમીકરણ (3) માંથી સમીકરણ (4) ને બાદ કરતા,
\( (6a + 3b) - (2a + 4b) = 6 - 5 \)
\( 4a - b = 1 ...............(5) \)
સમીકરણ (4) માંથી સમીકરણ (3) ને બાદ કરતા,
\( (2a + 4b) - (6a + 3b) = 5 - 6 \)
\( -4a + b = -1 ...............(6) \)
સમીકરણ (5) અને (6) નો સરવાળો કરતા,
\( (4a - b) + (-4a + b) = 1 + (-1) \)
\( 0 = 0 \)
આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણો અવલંબિત છે, અને અનંત ઉકેલો ધરાવે છે.
પરંતુ, જો આપણે આપેલા સમીકરણોને જુદી રીતે ઉકેલવાનો પ્રયાસ કરીએ, તો:
સમીકરણ (3) ને 2 વડે ગુણતા: \( 12a + 6b = 12 ...............(7) \)
સમીકરણ (4) ને 3 વડે ગુણતા: \( 6a + 12b = 15 ...............(8) \)
સમીકરણ (7) માંથી સમીકરણ (8) ને બાદ કરતા,
\( (12a + 6b) - (6a + 12b) = 12 - 15 \)
\( 6a - 6b = -3 \)
\( 2a - 2b = -1 ...............(9) \)
અને સમીકરણ (8) માંથી સમીકરણ (7) ને બાદ કરતા,
\( (6a + 12b) - (12a + 6b) = 15 - 12 \)
\( -6a + 6b = 3 \)
\( -2a + 2b = 1 ...............(10) \)
સમીકરણ (9) માંથી \(b = \frac{2a+1}{2}\) અને સમીકરણ (10) માંથી \(b = \frac{2a+1}{2}\)
આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણો અવલંબિત છે.
ચાલો મૂળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ.
સમીકરણ (3) ને 2 વડે ગુણતા: \( 12a + 6b = 12 \)
સમીકરણ (4) ને 3 વડે ગુણતા: \( 6a + 12b = 15 \)
આપેલ ઉકેલ મુજબ:
સમીકરણ (4) માંથી સમીકરણ (3) બાદ કરતા,
\( (2a + 4b) - (6a + 3b) = 5 - 6 \) (OCR mistake in original solution sequence, correcting to match image) \( -4a + b = -1 \) \( b = 4a - 1 \) સમીકરણ (3) માં b ની કિંમત મુકતા:
\( 6a + 3(4a - 1) = 6 \)
\( 6a + 12a - 3 = 6 \)
\( 18a = 9 \)
\( a = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)
\( b = 4(\frac{1}{2}) - 1 = 2 - 1 = 1 \)
તેથી, \(a = \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2\)
અને \(b = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1\)
આમ, આપેલા સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = 1, y = 2\) છે.
(vii) \( \frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y} = 4 ..........(1) \)
\( \frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y} = -2 ....(2) \)
\(\frac{1}{x+y} = a\) અને \(\frac{1}{x-y} = b\) આદેશ લેતા,
\( 10a + 2b = 4 \)
\( 5a + b = 2 ...............(3) \)
\( 15a - 5b = -2 ...............(4) \)
સમીકરણ (3)ને 5 વડે ગુણી તેમાં સમીકરણ (4) ઉમેરતા,
\( 5 (5a + b) + (15a - 5b) = 5 (2) + (- 2) \)
\( ∴ 25a + 5b + 15a - 5b = 10-2 \)
\( ∴ 40a = 8 \)
\( ∴ a = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} \)
સમીકરણ (3)માં \(a = \frac{1}{5}\) મુકતા,
\( 5(\frac{1}{5}) + b = 2 \)
\( ∴ 1 + b = 2 \)
\( ∴ b = 1 \)
તેથી, \(a = \frac{1}{x+y}=\frac{1}{5}\)
\( ∴ x + y = 5 ...........(5) \)
અને \(b = \frac{1}{x-y} =1\)
\( ∴ x - y = 1 ...........(6) \)
સમીકરણો (5) અને (6)નો સરવાળો લેતા,
\( 2x = 6 \)
\( ∴ x = 3 \)
સમીકરણ (5)માં \(x = 3\) મુકતા,
\( 3 + y = 5 \)
\( ∴ y = 2 \)
આમ, આપેલા સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = 3, y = 2\) છે.
(viii) \( \frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}.........(1) \)
\( \frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8} ..........(2) \)
\(\frac{1}{3x+y} = a\) અને \(\frac{1}{3 x-y} = b\) આદેશ બેસાડતા,
\( a + b = \frac{3}{4} ...............(3) \)
\( \frac{a}{2}-\frac{b}{2}=-\frac{1}{8} \)
\( ∴ a - b = -\frac{2}{8} \)
\( ∴ a - b = -\frac{1}{4} ...............(4) \)
સમીકરણો (3) અને (4)નો સરવાળો કરતા,
\( 2a = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \)
\( 2a = \frac{2}{4} \)
\( 2a = \frac{1}{2} \)
\( ∴ a = \frac{1}{4} \)
સમીકરણ (3)માં \(a = \frac{1}{4}\) મુકતા,
\( \frac{1}{4} + b = \frac{3}{4} \)
\( ∴ b = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \)
\( ∴ b = \frac{2}{4} \)
\( ∴ b = \frac{1}{2} \)
તેથી, \(a = \frac{1}{3 x+y}=\frac{1}{4}\)
\( ∴ 3x + y = 4 ...........(5) \)
અને \(b = \frac{1}{3 x-y}=\frac{1}{2}\)
\( ∴ 3x - y = 2 ...........(6) \)
સમીકરણો (5) અને (6)નો સરવાળો કરતા,
\( 6x = 6 \implies x = 1 \)
સમીકરણ (5)માં \(x = 1\) મુકતા,
\( 3(1) + y = 4 \)
\( ∴ y = 1 \)
આમ, આપેલા સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = 1, y = 1\) છે.
In simple words: પહેલા સમીકરણોને સરળ બનાવવા માટે \( \frac{1}{x} \) અને \( \frac{1}{y} \) જેવા પદોને નવા ચલ તરીકે બદલો. પછી નવા સમીકરણોને લોપ અથવા આદેશની રીતથી ઉકેલો. અંતે, મૂળ ચલ \( x \) અને \( y \) ની કિંમત શોધો.

Exam Tip: જ્યારે અપૂર્ણાંકવાળા સમીકરણો હોય, ત્યારે તેમને સીધા ઉકેલવાને બદલે યોગ્ય આદેશથી રેખીય સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું હંમેશા સરળ બને છે. આદેશ પસંદ કરતી વખતે કાળજી રાખો જેથી ગણતરી સરળ રહે.

 

Question 2. નીચેની સમસ્યાઓમાંથી સમીકરણયુગ્મ રચો અને તેમનો ઉકેલ શોધો :
(i) રીતુ પ્રવાહની દિશામાં 20 કિમી અંતર 2 કલાકમાં અને પ્રવાહની સામેની દિશામાં 4 કિમી અંતર 2 કલાકમાં કાપે છે. તેની સ્થિર પાણીમાં ઝડપ અને પ્રવાહની ઝડપ શોધો.
Answer:
ધારો કે, રીતુની સ્થિર પાણીમાં ઝડપ \(x\) કિમી/કલાક છે અને પ્રવાહની ઝડપ \(y\) કિમી/કલાક છે.
આથી પ્રવાહની દિશામાં રીતુની ઝડપ \((x + y)\) કિમી/કલાક થાય અને પ્રવાહની સામેની દિશામાં રીતુની ઝડપ \((x - y)\) કિમી/કલાક થાય.
વળી, સમય \( = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} \)
આથી પ્રથમ શરત અનુસાર,
\( 2 = \frac{20}{x+y} \)
\( ∴ x + y = 10 ...............(1) \)
દ્વિતીય શરત અનુસાર,
\( 2 = \frac{4}{x-y} \)
\( x - y = 2 ...............(2) \)
સમીકરણો (1) અને (2)નો સરવાળો લેતા,
\( 2x = 12 \)
\( x = 6 \)
સમીકરણ (1)માં \(x = 6\) મુકતા,
\( 6 + y = 10 \)
\( ∴ y = 4 \)
આમ, રીતુની સ્થિર પાણીમાં ઝડપ 6 કિમી/કલાક છે અને પ્રવાહની ઝડપ 4 કિમી/કલાક છે.
(ii) 2 સ્ત્રીઓ અને 5 પુરુષો સાથે મળીને એક ભરતકામ 4 દિવસમાં પૂરું કરી શકે છે. જો 3 સ્ત્રીઓ અને 6 પુરુષોને તે જ કામ સોંપવામાં આવે, તો તે કામ 3 દિવસમાં પૂરું કરે છે. તો એક સ્ત્રીને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં કેટલો સમય લાગે? એક પુરુષને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં કેટલો સમય લાગે?
Answer:
ધારો કે, એક સ્ત્રીને સ્વતંત્ર રીતે એક કામ પૂરું કરતાં \(x\) દિવસ લાગે અને એક પુરુષને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં \(y\) દિવસ લાગે છે.
1 સ્ત્રીએ 1 દિવસમાં કરેલ કામ \( = \frac{1}{x} \) ભાગનું કામ
અને 1 પુરુષે 1 દિવસમાં કરેલ કામ \( = \frac{1}{y} \) ભાગનું કામ.
આથી 2 સ્ત્રીઓ અને 5 પુરુષોએ સાથે મળીને 1 દિવસમાં કરેલ કામ \( = \frac{1}{4} \) ભાગનું કામ.
તેથી, \( \frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}..................(1) \)
તે જ રીતે, દ્વિતીય શરત મુજબ નીચેનું સમીકરણ મળે છે :
\( \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}..................(2) \)
\(\frac{1}{x} = a\) અને \(\frac{1}{y} = b\) આદેશ લેતા,
\( 2a + 5b = \frac{1}{4} ...............(3) \)
\( 3a + 6b = \frac{1}{3} ...............(4) \)
સમીકરણ (3)ને 6 વડે અને સમીકરણ (4) ને 5 વડે ગુણતા,
\( 12a + 30b = \frac{6}{4} .......... (5) \)
\( 15a + 30b = \frac{5}{3}...... (6) \)
સમીકરણ (6)માંથી સમીકરણ (5) બાદ કરતા,
\( (15a + 30b) - (12a + 30b) = \frac{5}{3}-\frac{6}{4} \)
\( ∴ 15a + 30b - 12a - 30b = \frac{20-18}{12} \)
\( ∴ 3a = \frac{2}{12} \)
\( ∴ a = \frac{1}{18} \)
સમીકરણ (3)માં \(a = \frac{1}{18}\) મુકતા,
\( 2 (\frac{1}{18}) + 5b = \frac{1}{4} \)
\( ∴ 5b = \frac{1}{4}-\frac{1}{9} \)
\( ∴ 5b = \frac{9-4}{36} \)
\( ∴ 5b = \frac{5}{36} \)
\( ∴ b = \frac{1}{36} \)
તેથી, \(a = \frac{1}{x}=\frac{1}{18}\)
\( ∴ x = 18 \)
અને \(b = \frac{1}{y}=\frac{1}{36}\)
\( ∴ y = 36 \)
આમ, એક સ્ત્રીને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં 18 દિવસ લાગે અને એક પુરુષને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં 36 દિવસ લાગે.
(iii) રૂહી તેના વતન જવા માટે 300 કિમીની મુસાફરી અંશતઃ ટ્રેન દ્વારા અને અંશતઃ બસ દ્વારા કરે છે. જો તે 60 કિમી મુસાફરી ટ્રેન દ્વારા અને બાકીની મુસાફરી બસ દ્વારા કરે, તો તેને વતન પહોંચતા 4 કલાક લાગે છે. જો તે ટ્રેન દ્વારા 100 કિમી અને બાકીની મુસાફરી બસ દ્વારા કરે, તો તેને વતન પહોંચતા 10 મિનિટ વધારે લાગે છે, તો ટ્રેન અને બસની પ્રતિકલાક સરેરાશ ઝડપ શોધો.
Answer:
ધારો કે, ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ \(x\) કિમી/કલાક અને બસની સરેરાશ ઝડપ \(y\) કિમી/કલાક છે.
વળી, સમય \( = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} \)
પ્રથમ કિસ્સામાં, ટ્રેનમાં કાપેલ અંતર = 60 કિમી અને બસમાં કાપેલ અંતર \( = 300 - 60 = 240 \) કિમી.
\( ∴ \) ટ્રેનની મુસાફરી માટે લાગેલ સમય \( = \frac{60}{x} \)
બસની મુસાફરી માટે લાગેલ સમય \( = \frac{240}{y} \) કલાક
\( ∴ \) મુસાફરીનો કુલ સમય \( = (\frac{60}{x} + \frac{240}{y}) \) કલાક
પ્રથમ કિસ્સામાં તેને લાગતો સમય 4 કલાક છે.
\( ∴ \frac{60}{x} + \frac{240}{y} = 4 ........ (1) \)
તે જ રીતે, બીજા કિસ્સામાં, ટ્રેનમાં કાપેલ અંતર = 100 કિમી
અને બસમાં કાપેલ અંતર \( = 300 - 100 = 200 \) કિમી
અને તે મુસાફરી માટે લાગતો સમય \( \frac{100}{x} \) કલાક તેમજ \( \frac{200}{y} \) કલાક થાય.
બીજા કિસ્સામાં તેને લાગતો સમય \( = 4 \) કલાક \( + \) 10 મિનિટ \( = 4\frac{1}{6} \) કલાક
આથી \( \frac{100}{x}+\frac{200}{y}=4 \frac{1}{6} \)
\( ∴ \frac{100}{x}+\frac{200}{y}=\frac{25}{6} ...............(2) \)
\(\frac{1}{x} = a\) અને \(\frac{1}{y} = b\) આદેશ લેતા,
\( 60a + 240b = 4 ...............(3) \)
\( 100a + 200b = \frac{25}{6} ...............(4) \)
સમીકરણ (3)ને 5 વડે અને સમીકરણ (4) ને 6 વડે ગુણતા,
\( 300a + 1200b = 20 ...........(5) \)
\( 600a + 1200b = 25 .......... (6) \)
સમીકરણ (6)માંથી સમીકરણ (5) બાદ કરતા,
\( (600a + 1200b) - (300a + 1200b) = 25 - 20 \)
\( ∴ 300a = 5 \)
\( ∴ a = \frac{5}{300} = \frac{1}{60} \)
સમીકરણ (3)માં \(a = \frac{1}{60}\) મુકતા,
\( 60(\frac{1}{60}) + 240b = 4 \)
\( ∴ 1 + 240b = 4 \)
\( ∴ 240b = 3 \)
\( ∴ b = \frac{3}{240} = \frac{1}{80} \)
તેથી, \(a = \frac{1}{x}=\frac{1}{60}\)
\( ∴ x = 60 \)
અને \(b = \frac{1}{y}=\frac{1}{80}\)
\( ∴ y = 80 \)
આમ, ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ 60 કિમી/કલાક છે અને બસની સરેરાશ ઝડપ 80 કિમી/કલાક છે.
In simple words: પહેલા દરેક પરિસ્થિતિ માટે ઝડપ, સમય અને અંતરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો બનાવો. પછી, \( \frac{1}{x} \) અને \( \frac{1}{y} \) ને નવા ચલ તરીકે બદલીને સમીકરણોને સરળ બનાવો અને ઉકેલો. અંતે, \( x \) અને \( y \) ની કિંમતો શોધીને ટ્રેન અને બસની ઝડપ નક્કી કરો.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, એકમનું પરિવર્તન (દા.ત. મિનિટને કલાકમાં) બહુ જ અગત્યનું છે. સમય અને ઝડપના સૂત્રોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો, ખાસ કરીને જ્યારે પ્રવાહની દિશા અને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિની વાત હોય.