GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Exercise 3.5

Question 1. નીચેના પૈકી કયા સુરેખ સમીકરણયુગ્મને અનન્ય ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે, તે જણાવો. જો અનન્ય ઉકેલ હોય, તો ચોકડી ગુણાકારની રીતે તેનો ઉકેલ શોધો.
(i) \( x – 3y – 3 = 0 \)
\( 3x – 9y – 2 = 0 \)
(ii) \( 2x + y = 5 \).
\( 3x + 2y = 8 \)
(iii) \( 3x – 5y = 20 \)
\( 6x – 10y = 40 \)
(iv) \( x – 3y – 7 = 0 \)
\( 3x – 3y – 15 = 0 \)
Answer:
(i) આપેલ સમીકરણો છે:
\( x - 3y - 3 = 0 \) ...(1)
\( 3x - 9y - 2 = 0 \) ...(2)
અહીં, \( a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -3 \)
અને \( a_2 = 3, b_2 = -9, c_2 = -2 \)
ગુણોત્તર શોધતા:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} \)
અહીં, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) છે.
આથી, આપેલા સુરેખ સમીકરણયુગ્મને અનન્ય ઉકેલ નથી.

(ii) આપેલ સમીકરણો છે:
\( 2x + y = 5 \implies 2x + y - 5 = 0 \) ...(1)
\( 3x + 2y = 8 \implies 3x + 2y - 8 = 0 \) ...(2)
અહીં, \( a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -5 \)
અને \( a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -8 \)
ગુણોત્તર શોધતા:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2} \)
અહીં, \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) છે.
આથી, આપેલા સુરેખ સમીકરણયુગ્મને અનન્ય ઉકેલ છે.
હવે, ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ મેળવીએ:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)
\( \frac{x}{(1)(-8) - (2)(-5)} = \frac{y}{(-5)(3) - (-8)(2)} = \frac{1}{(2)(2) - (3)(1)} \)
\( \frac{x}{-8 + 10} = \frac{y}{-15 + 16} = \frac{1}{4 - 3} \)
\( \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{1}{1} \)
\( \implies x = 2 \) અને \( y = 1 \)
આમ, આપેલા સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો અનન્ય ઉકેલ \( x = 2, y = 1 \) છે.

(iii) આપેલ સમીકરણો છે:
\( 3x - 5y = 20 \implies 3x - 5y - 20 = 0 \) ...(1)
\( 6x - 10y = 40 \implies 6x - 10y - 40 = 0 \) ...(2)
અહીં, \( a_1 = 3, b_1 = -5, c_1 = -20 \)
અને \( a_2 = 6, b_2 = -10, c_2 = -40 \)
ગુણોત્તર શોધતા:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2} \)
અહીં, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) છે.
આમ, આપેલા સુરેખ સમીકરણયુગ્મને અનંત ઉકેલો છે.

(iv) આપેલ સમીકરણો છે:
\( x - 3y - 7 = 0 \) ...(1)
\( 3x - 3y - 15 = 0 \) ...(2)
અહીં, \( a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -7 \)
અને \( a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -15 \)
ગુણોત્તર શોધતા:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-3} = 1 \)
અહીં, \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) છે.
આથી, આપેલા સુરેખ સમીકરણયુગ્મને અનન્ય ઉકેલ છે.
હવે, ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ મેળવીએ:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)
\( \frac{x}{(-3)(-15) - (-3)(-7)} = \frac{y}{(-7)(3) - (-15)(1)} = \frac{1}{(1)(-3) - (3)(-3)} \)
\( \frac{x}{45 - 21} = \frac{y}{-21 + 15} = \frac{1}{-3 + 9} \)
\( \frac{x}{24} = \frac{y}{-6} = \frac{1}{6} \)
\( \implies x = \frac{24}{6} = 4 \)
અને \( y = \frac{-6}{6} = -1 \)
આમ, આપેલા સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો અનન્ય ઉકેલ \( x = 4, y = -1 \) છે.
In simple words: પહેલા સમીકરણોના ગુણોત્તર \( \frac{a_1}{a_2} \), \( \frac{b_1}{b_2} \), અને \( \frac{c_1}{c_2} \) શોધો. જો \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) હોય, તો અનન્ય ઉકેલ છે અને ચોકડી ગુણાકારનો ઉપયોગ કરો. જો \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) હોય, તો કોઈ ઉકેલ નથી. જો \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) હોય, તો અનંત ઉકેલો છે.

Exam Tip: Always convert equations to the standard form \( ax + by + c = 0 \) before comparing ratios. Be careful with negative signs during cross-multiplication.

Question 2.
(i) નીચેના સુરેખ સમીકરણયુગ્મને a અને b ની કઈ કિંમતો માટે અનંત ઉકેલો છે?
\( 2x + 3y = 7 \)
\( (a – b) x + (a + b) y = 3a + b − 2 \),
(ii) નીચેના સુરેખ સમીકરણયુગ્મને k ની કઈ કિંમત માટે ઉકેલ ન મળે?
\( 3x + y = 1 \)
\( (2k – 1) x + (k − 1) y = 3k + 1 \)
Answer:
(i) આપેલા સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
\( 2x + 3y - 7 = 0 \)
\( (a-b)x + (a+b)y - (3a+b-2) = 0 \)
અહીં, \( A_1 = 2, A_2 = a - b, B_1 = 3, B_2 = a + b, C_1 = -7, C_2 = -(3a+b-2) \)
સમીકરણયુગ્મને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત છે:
\( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \)
\( \frac{2}{a-b} = \frac{3}{a+b} = \frac{-7}{-(3a+b-2)} = \frac{7}{3a+b-2} \)
પહેલા બે ગુણોત્તર સરખાવતા:
\( \frac{2}{a-b} = \frac{3}{a+b} \)
\( 2(a+b) = 3(a-b) \)
\( 2a + 2b = 3a - 3b \)
\( a = 5b \) ...(1)
હવે, બીજા અને ત્રીજા ગુણોત્તર સરખાવતા:
\( \frac{3}{a+b} = \frac{7}{3a+b-2} \)
\( 3(3a+b-2) = 7(a+b) \)
\( 9a + 3b - 6 = 7a + 7b \)
\( 2a - 4b = 6 \)
\( a - 2b = 3 \) ...(2)
સમીકરણ (1) માંથી \( a = 5b \) ને સમીકરણ (2) માં મુકતા:
\( 5b - 2b = 3 \)
\( 3b = 3 \)
\( b = 1 \)
\( b = 1 \) ને સમીકરણ (1) માં મુકતા:
\( a = 5(1) \)
\( a = 5 \)
આમ, \( a = 5 \) અને \( b = 1 \) માટે આપેલા સુરેખ સમીકરણયુગ્મને અનંત ઉકેલો છે.

(ii) આપેલા સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
\( 3x + y - 1 = 0 \)
\( (2k-1)x + (k-1)y - (3k+1) = 0 \)
અહીં, \( a_1 = 3, a_2 = 2k - 1, b_1 = 1, b_2 = k - 1, c_1 = -1, c_2 = -(3k+1) \)
સમીકરણયુગ્મને કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટેની શરત છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)
\( \frac{3}{2k-1} = \frac{1}{k-1} \neq \frac{-1}{-(3k+1)} = \frac{1}{3k+1} \)
પહેલા બે ગુણોત્તર સરખાવતા:
\( \frac{3}{2k-1} = \frac{1}{k-1} \)
\( 3(k-1) = 1(2k-1) \)
\( 3k - 3 = 2k - 1 \)
\( k = 2 \)
હવે, \( k=2 \) માટે શરત \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) નું પાલન થાય છે કે નહીં તે તપાસીએ:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2(2)-1} = \frac{3}{3} = 1 \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2-1} = \frac{1}{1} = 1 \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{3(2)+1} = \frac{1}{7} \)
અહીં, \( 1 = 1 \neq \frac{1}{7} \), જે શરતને સંતોષે છે.
આમ, \( k = 2 \) માટે આપેલા સુરેખ સમીકરણયુગ્મને ઉકેલ ન મળે.
In simple words: અનંત ઉકેલો માટે, બધા ગુણોત્તર સરખા હોવા જોઈએ: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \). કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે, પ્રથમ બે ગુણોત્તર સરખા હોવા જોઈએ પરંતુ ત્રીજા ગુણોત્તરથી અલગ હોવા જોઈએ: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \). આ શરતોનો ઉપયોગ કરીને અજ્ઞાત કિંમતો શોધો.

Exam Tip: Remember to check your calculated values of 'a', 'b', or 'k' against all parts of the condition (\( =, \neq \)) to ensure correctness, especially for cases of no solution or infinite solutions.

Question 3. નીચેના સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ આદેશની રીતે અને ચોકડી ગુણાકારની રીતે શોધોઃ
\( 8x + 5y = 9 \)
\( 3x + 2y = 4 \)
Answer:
આપેલા સમીકરણો છે:
\( 8x + 5y = 9 \) ...(1)
\( 3x + 2y = 4 \) ...(2)

(i) આદેશની રીત:
સમીકરણ (2) માંથી \( y \) ને \( x \) ના પદોમાં દર્શાવતા:
\( 2y = 4 - 3x \)
\( y = \frac{4-3x}{2} \)
હવે, \( y \) ની આ કિંમતને સમીકરણ (1) માં મુકતા:
\( 8x + 5 \left( \frac{4-3x}{2} \right) = 9 \)
સમીકરણને 2 વડે ગુણતા:
\( 16x + 5(4-3x) = 18 \)
\( 16x + 20 - 15x = 18 \)
\( x + 20 = 18 \)
\( x = 18 - 20 \)
\( x = -2 \)
હવે, \( x = -2 \) ની કિંમત \( y = \frac{4-3x}{2} \) માં મુકતા:
\( y = \frac{4-3(-2)}{2} \)
\( y = \frac{4+6}{2} \)
\( y = \frac{10}{2} \)
\( y = 5 \)
આમ, આપેલા સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \( x = -2, y = 5 \) છે.

(ii) ચોકડી ગુણાકારની રીત:
સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
\( 8x + 5y - 9 = 0 \)
\( 3x + 2y - 4 = 0 \)
અહીં, \( a_1 = 8, b_1 = 5, c_1 = -9 \)
અને \( a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -4 \)
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)
\( \frac{x}{(5)(-4) - (2)(-9)} = \frac{y}{(-9)(3) - (-4)(8)} = \frac{1}{(8)(2) - (3)(5)} \)
\( \frac{x}{-20 - (-18)} = \frac{y}{-27 - (-32)} = \frac{1}{16 - 15} \)
\( \frac{x}{-20 + 18} = \frac{y}{-27 + 32} = \frac{1}{1} \)
\( \frac{x}{-2} = \frac{y}{5} = \frac{1}{1} \)
\( \implies x = -2 \) અને \( y = 5 \)
આમ, આપેલા સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \( x = -2, y = 5 \) છે.
In simple words: આદેશની રીતમાં, એક સમીકરણમાંથી એક ચલને અલગ કરો અને તેને બીજા સમીકરણમાં મુકો. ચોકડી ગુણાકારની રીતમાં, ચોક્કસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( x \) અને \( y \) ના ગુણોત્તર શોધો અને તેમને 1 સાથે સરખાવો. બંને પદ્ધતિઓથી સમાન ઉકેલ મળશે.

Exam Tip: For problems requiring specific methods like substitution or cross-multiplication, ensure you follow the steps of that particular method exactly. Double-check calculations, especially with negative numbers, to avoid errors.

Question 4. નીચેના કૂટપ્રશ્નોમાં સુરેખ સમીકરણયુગ્મ મેળવો અને કોઈ પણ બૈજિક રીતે તેમના ઉકેલ (જો શક્ય હોય તો) શોધો.
(i) એક હોસ્ટેલના વિદ્યાર્થીઓનું ભોજન-ખર્ચ અંશતઃ અચળ અને અંશતઃ વિદ્યાર્થીઓએ જેટલા દિવસ ભોજન લીધું હોય તે દિવસોની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે. વિદ્યાર્થી A, 20 દિવસ ભોજન લે છે અને તેનું ભોજન-ખર્ચ Rs 1000 ચૂકવે છે. વિદ્યાર્થી B, 26 દિવસ ભોજન લે છે અને ભોજન-ખર્ચ પેટે Rs 1180 ચૂકવે છે, તો નિશ્ચિત ખર્ચ તથા દૈનિક ભોજન-ખર્ચ શોધો.
Answer:
ધારો કે, નિશ્ચિત માસિક ખર્ચ Rs \( x \) છે અને દૈનિક ભોજન ખર્ચ Rs \( y \) છે.
આપેલી માહિતી મુજબ બે સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
વિદ્યાર્થી A માટે: \( x + 20y = 1000 \) ...(1)
વિદ્યાર્થી B માટે: \( x + 26y = 1180 \) ...(2)
સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
\( x + 20y - 1000 = 0 \)
\( x + 26y - 1180 = 0 \)
હવે, આપણે સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ ચોકડી ગુણાકારની રીતે શોધીએ.
અહીં, \( a_1 = 1, b_1 = 20, c_1 = -1000 \)
અને \( a_2 = 1, b_2 = 26, c_2 = -1180 \)
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)
\( \frac{x}{(20)(-1180) - (26)(-1000)} = \frac{y}{(-1000)(1) - (-1180)(1)} = \frac{1}{(1)(26) - (1)(20)} \)
\( \frac{x}{-23600 - (-26000)} = \frac{y}{-1000 - (-1180)} = \frac{1}{26 - 20} \)
\( \frac{x}{-23600 + 26000} = \frac{y}{-1000 + 1180} = \frac{1}{6} \)
\( \frac{x}{2400} = \frac{y}{180} = \frac{1}{6} \)
\( \implies x = \frac{2400}{6} = 400 \)
અને \( y = \frac{180}{6} = 30 \)
આમ, નિશ્ચિત માસિક ખર્ચ Rs 400 અને દૈનિક ભોજન ખર્ચ Rs 30 છે.
In simple words: નિશ્ચિત ખર્ચ અને દૈનિક ખર્ચ માટે ચલ ધારો. આપેલ માહિતીમાંથી બે સમીકરણો બનાવો. પછી, તમે x અને y ના મૂલ્યો શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકાર જેવી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આ તમને નિશ્ચિત ખર્ચ અને પ્રતિ દિવસના ખર્ચ જણાવશે.

Exam Tip: When setting up equations for word problems, clearly define your variables. Always write down both equations and perform the calculations carefully to avoid errors.

Question 4.
(ii) એક અપૂર્ણાંકના અંશમાંથી 1 બાદ કરવામાં આવે તો નવા અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ \( \frac{1}{3} \) છે અને તે જ અપૂર્ણાકના છેદમાં 8 ઉમેરવામાં આવે, તો મળતા અપૂર્ણાકનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ \( \frac{1}{4} \) થાય છે, તો તે અપૂર્ણાક શોધો.
Answer:
ધારો કે, માગેલ અપૂર્ણાકનો અંશ \( x \) અને છેદ \( y \) છે. માટે, માગેલ અપૂર્ણાંક \( = \frac{x}{y} \) છે.
આપેલી માહિતી મુજબ:
પ્રથમ શરત: અંશમાંથી 1 બાદ કરતા અપૂર્ણાંક \( \frac{1}{3} \) થાય છે.
\( \frac{x-1}{y} = \frac{1}{3} \)
\( 3(x-1) = y \)
\( 3x - 3 = y \)
\( 3x - y = 3 \) ...(1)
દ્વિતીય શરત: છેદમાં 8 ઉમેરતા અપૂર્ણાંક \( \frac{1}{4} \) થાય છે.
\( \frac{x}{y+8} = \frac{1}{4} \)
\( 4x = y+8 \)
\( 4x - y = 8 \) ...(2)
સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતા:
\( (4x - y) - (3x - y) = 8 - 3 \)
\( 4x - y - 3x + y = 5 \)
\( x = 5 \)
હવે, \( x = 5 \) ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મુકતા:
\( 3(5) - y = 3 \)
\( 15 - y = 3 \)
\( y = 15 - 3 \)
\( y = 12 \)
આમ, માગેલ અપૂર્ણાંક \( = \frac{x}{y} = \frac{5}{12} \) છે.
In simple words: અપૂર્ણાંકને \( \frac{x}{y} \) ધારો. આપેલી બે શરતો પરથી \( x \) અને \( y \) માટે બે સમીકરણો બનાવો. પછી, વિલોપન પદ્ધતિ જેવી કોઈપણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને \( x \) અને \( y \) ના મૂલ્યો શોધો. આનાથી તમને મૂળ અપૂર્ણાંક મળશે.

Exam Tip: Be careful with setting up the equations based on the problem description. Make sure to correctly apply changes to the numerator and denominator for each condition.

Question 4.
(iii) યશને એક કસોટીમાં 40 ગુણ મળ્યા હતા. તેને પ્રત્યેક સાચા જવાબના 3 ગુણ મળે છે અને પ્રત્યેક ખોટા જવાબ માટે 1 ગુણ કપાય છે. જો પરીક્ષકે દરેક સત્ય જવાબ માટે 4 ગુણ આપ્યા હોત અને દરેક ખોટા જવાબ માટે 2 ગુણ કાપ્યા હોત, તો તેણે 50 ગુણ મેળવ્યા હોત. તો આ કસોટીમાં કેટલા પ્રશ્નો હતા?
Answer:
ધારો કે, યશના સાચા જવાબોની સંખ્યા \( x \) છે અને ખોટા જવાબોની સંખ્યા \( y \) છે.
આપેલી માહિતી પરથી નીચેના સમીકરણો મળે છે:
પ્રથમ શરત મુજબ (3 ગુણ સાચા માટે, 1 ગુણ ખોટા માટે કપાય):
\( 3x - y = 40 \) ...(1)
બીજી શરત મુજબ (4 ગુણ સાચા માટે, 2 ગુણ ખોટા માટે કપાય):
\( 4x - 2y = 50 \)
આ સમીકરણને 2 વડે ભાગતા:
\( 2x - y = 25 \) ...(2)
સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
\( 3x - y - 40 = 0 \)
\( 2x - y - 25 = 0 \)
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
અહીં, \( a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = -40 \)
અને \( a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = -25 \)
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)
\( \frac{x}{(-1)(-25) - (-1)(-40)} = \frac{y}{(-40)(2) - (-25)(3)} = \frac{1}{(3)(-1) - (2)(-1)} \)
\( \frac{x}{25 - 40} = \frac{y}{-80 + 75} = \frac{1}{-3 + 2} \)
\( \frac{x}{-15} = \frac{y}{-5} = \frac{1}{-1} \)
\( \implies x = \frac{-15}{-1} = 15 \)
અને \( y = \frac{-5}{-1} = 5 \)
આમ, યશના સાચા જવાબો 15 અને ખોટા જવાબો 5 હતા.
કસોટીમાં કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા \( = x + y = 15 + 5 = 20 \) પ્રશ્નો હતી.
In simple words: સાચા અને ખોટા જવાબો માટે ચલ ધારો. બે અલગ-અલગ ગુણ પદ્ધતિઓ પરથી બે સમીકરણો બનાવો. પછી, ચોકડી ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને સાચા અને ખોટા જવાબોની સંખ્યા શોધો. કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા મેળવવા માટે બંનેનો સરવાળો કરો.

Exam Tip: Be very clear about how marks are awarded and deducted for each scenario. Ensure you correctly form the equations by considering these rules for both cases given in the problem.

Question 4.
(iv) ધોરીમાર્ગ પર સ્થાન A અને સ્થાન B એકબીજાથી 100 કિમી દૂર છે. એક ગાડી Aથી ઊપડે છે અને બીજી ગાડી Bથી ઊપડે છે. ગાડીઓ એક જ દિશામાં ભિન્ન પરંતુ એકધારી ઝડપથી ચાલે તો 5 કલાકમાં એકબીજાને મળે છે. તેઓ એકબીજા તરફ ચાલે તો તે 1 કલાકમાં મળે છે, તો બે ગાડીઓની ઝડપ કેટલી હશે?
Answer:
ધારો કે, સ્થાન A થી ઉપડતી ગાડીની ઝડપ \( x \) કિમી/કલાક છે અને સ્થાન B થી ઉપડતી ગાડીની ઝડપ \( y \) કિમી/કલાક છે, જ્યાં \( x > y \).
સ્થાન A અને સ્થાન B વચ્ચેનું અંતર 100 કિમી છે.
પ્રથમ કિસ્સો: ગાડીઓ એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે.
સાપેક્ષ ઝડપ \( = (x - y) \) કિમી/કલાક.
તેઓ 5 કલાકમાં એકબીજાને મળે છે.
અંતર \( = \) ઝડપ \( \times \) સમય
\( 100 = (x - y) \times 5 \)
\( x - y = \frac{100}{5} \)
\( x - y = 20 \) ...(1)
દ્વિતીય કિસ્સો: ગાડીઓ એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે (વિરુદ્ધ દિશામાં).
સાપેક્ષ ઝડપ \( = (x + y) \) કિમી/કલાક.
તેઓ 1 કલાકમાં એકબીજાને મળે છે.
અંતર \( = \) ઝડપ \( \times \) સમય
\( 100 = (x + y) \times 1 \)
\( x + y = 100 \) ...(2)
સમીકરણો (1) અને (2) નો સરવાળો કરતા:
\( (x - y) + (x + y) = 20 + 100 \)
\( 2x = 120 \)
\( x = \frac{120}{2} \)
\( x = 60 \)
\( x = 60 \) ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મુકતા:
\( 60 + y = 100 \)
\( y = 100 - 60 \)
\( y = 40 \)
આમ, સ્થાન A થી ઉપડતી ગાડીની ઝડપ 60 કિમી/કલાક અને સ્થાન B થી ઉપડતી ગાડીની ઝડપ 40 કિમી/કલાક છે.
In simple words: બંને કારની ઝડપ માટે ચલ ધારો. જ્યારે કારો એક જ દિશામાં જાય ત્યારે તેમની સંબંધિત ઝડપ \( x-y \) હોય છે અને જ્યારે તેઓ એકબીજા તરફ આવે ત્યારે તે \( x+y \) હોય છે. આ શરતોનો ઉપયોગ કરીને બે સમીકરણો બનાવો. પછી, \( x \) અને \( y \) ના મૂલ્યો શોધવા માટે વિલોપન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

Exam Tip: For relative motion problems, remember that speeds are subtracted when objects move in the same direction and added when they move towards each other. Clearly define which speed is greater if the problem implies it.

Question 4.
(v) જો એક લંબચોરસની લંબાઈમાં 5 એકમ ઘટાડો થાય અને પહોળાઈમાં 3 એકમ વધારો થાય, તો લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ 9 ચોરસ એકમ જેટલું ઘટે છે. જો આપણે લંબાઈમાં 3 એકમ અને પહોળાઈમાં 2 એકમ વધારીએ, તો ક્ષેત્રફળ 67 ચોરસ એકમ વધે છે, તો લંબચોરસનાં પરિમાણ શોધો.
Answer:
ધારો કે, લંબચોરસની લંબાઈ \( x \) એકમ અને પહોળાઈ \( y \) એકમ છે.
લંબચોરસનું મૂળ ક્ષેત્રફળ \( = \) લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ \( = xy \) ચોરસ એકમ.
પ્રથમ શરત મુજબ:
લંબાઈમાં 5 એકમ ઘટાડો થાય તો નવી લંબાઈ \( = (x - 5) \) એકમ.
પહોળાઈમાં 3 એકમ વધારો થાય તો નવી પહોળાઈ \( = (y + 3) \) એકમ.
નવું ક્ષેત્રફળ \( = (x - 5)(y + 3) \) ચોરસ એકમ.
ક્ષેત્રફળ 9 ચોરસ એકમ જેટલું ઘટે છે, તેથી:
\( (x - 5)(y + 3) = xy - 9 \)
\( xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9 \)
\( 3x - 5y - 15 = -9 \)
\( 3x - 5y - 6 = 0 \) ...(1)
બીજી શરત મુજબ:
લંબાઈમાં 3 એકમ વધારો થાય તો નવી લંબાઈ \( = (x + 3) \) એકમ.
પહોળાઈમાં 2 એકમ વધારો થાય તો નવી પહોળાઈ \( = (y + 2) \) એકમ.
નવું ક્ષેત્રફળ \( = (x + 3)(y + 2) \) ચોરસ એકમ.
ક્ષેત્રફળ 67 ચોરસ એકમ વધે છે, તેથી:
\( (x + 3)(y + 2) = xy + 67 \)
\( xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67 \)
\( 2x + 3y + 6 = 67 \)
\( 2x + 3y - 61 = 0 \) ...(2)
સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ ચોકડી ગુણાકારની રીતે મેળવીએ.
અહીં, \( a_1 = 3, b_1 = -5, c_1 = -6 \)
અને \( a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -61 \)
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)
\( \frac{x}{(-5)(-61) - (3)(-6)} = \frac{y}{(-6)(2) - (-61)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (2)(-5)} \)
\( \frac{x}{305 - (-18)} = \frac{y}{-12 - (-183)} = \frac{1}{9 - (-10)} \)
\( \frac{x}{305 + 18} = \frac{y}{-12 + 183} = \frac{1}{9 + 10} \)
\( \frac{x}{323} = \frac{y}{171} = \frac{1}{19} \)
\( \implies x = \frac{323}{19} = 17 \)
અને \( y = \frac{171}{19} = 9 \)
આમ, આપેલા લંબચોરસની લંબાઈ 17 એકમ અને પહોળાઈ 9 એકમ છે.
In simple words: લંબાઈ અને પહોળાઈ માટે ચલ \( x \) અને \( y \) ધારો. લંબચોરસનું મૂળ ક્ષેત્રફળ \( xy \) હશે. દરેક શરત માટે નવી લંબાઈ, પહોળાઈ અને ક્ષેત્રફળ માટે સમીકરણો બનાવો. તમને બે સુરેખ સમીકરણો મળશે. આ સમીકરણોને ચોકડી ગુણાકાર જેવી પદ્ધતિથી ઉકેલો. આ તમને લંબચોરસના પરિમાણો જણાવશે.

Exam Tip: When dealing with geometric problems, draw a diagram if it helps visualize the changes. Pay close attention to whether the area "decreases" or "increases" to correctly form the right-hand side of your equations.