GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Exercise 3.7

Question 1. બે મિત્રો અની અને બીજુની ઉંમરનો તફાવત 3 વર્ષ છે. અનીના પિતા ધરમની ઉંમર (વર્ષમાં) અનીની ઉંમરથી બમણી છે અને બીજુની ઉંમર (વર્ષમાં) તેની બહેન કેથી કરતાં બે ગણી છે. જો કેથી અને ધરમની ઉંમરનો તફાવત 30 વર્ષનો હોય, તો અની અને બીજુની ઉંમર શોધો.
Answer: ધારો કે, અનીની ઉંમર \(x\) વર્ષ છે અને બીજુની ઉંમર \(y\) વર્ષ છે. તો, આપેલી માહિતી મુજબ:
\(x - y = 3\) .......... (1)
અથવા \(y - x = 3\) .......... (2)
ધરમની ઉંમર અનીની ઉંમર કરતાં બમણી છે.
\(\therefore\) ધરમની ઉંમર \( = 2x \) વર્ષ
બીજુની ઉંમર તેની બહેન કેથીની ઉંમરથી બે ગણી છે. આનો અર્થ છે કે કેથીની ઉંમર બીજુની ઉંમર કરતાં અડધી છે.
\(\therefore\) કેથીની ઉંમર \( = \frac{y}{2} \) વર્ષ
સ્વાભાવિક છે કે ધરમની ઉંમર કેથીની ઉંમર કરતાં વધારે હોય છે.
\(\therefore 2x - \frac{y}{2} = 30\) .......... (3)

(i) પહેલાં આપણે સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (3) નો ઉકેલ મેળવીએ.
સમીકરણ (3) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં,
\( (2x - \frac{y}{2}) - (x - y) = 30 - 3 \)
\( 2x - \frac{y}{2} - x + y = 27 \)
\( x + \frac{y}{2} = 27 \)
\( 2x + y = 54 \) (Multiplying by 2)
Now, from \( (2x - \frac{y}{2}) - (x - y) = 30 - 3 \) if we mean \( (4x - y) \) from \( 2x - y/2 = 30 \) by multiplying by 2. The solution provided multiplies equation (3) by 2 implicitly or re-writes it to be \(4x - y = 60\). Let's follow the calculation provided in the source which uses \(4x - y = 60\).
સમીકરણ (3) એટલે \( 4x - y = 60 \).
સમીકરણ (3) \( (4x - y = 60) \) માંથી સમીકરણ (1) \( (x - y = 3) \) બાદ કરતાં,
\( (4x - y) - (x - y) = 60 - 3 \)
\( 3x = 57 \)
\(\therefore x = 19 \)
સમીકરણ (1)માં \(x = 19\) મૂકતાં,
\(19 - y = 3\)
\(\therefore 19 - 3 = y\)
\(\therefore y = 16\)
આમ, અનીની ઉંમર 19 વર્ષ અને બીજુની ઉંમર 16 વર્ષ થાય છે.

(ii) હવે આપણે સમીકરણ (2) અને સમીકરણ (3) નો ઉકેલ શોધીએ.
સમીકરણો (2) \( (y - x = 3) \) અને (3) \( (4x - y = 60) \) નો સરવાળો કરતાં,
\( (y - x) + (4x - y) = 3 + 60 \)
\( 3x = 63 \)
\(\therefore x = 21 \)
સમીકરણ (2) માં \(x = 21\) મૂકતાં,
\(y - 21 = 3\)
\(y = 3 + 21\)
\(y = 24\)
આમ, અનીની ઉંમર 21 વર્ષ અને બીજુની ઉંમર 24 વર્ષ થાય છે.
આથી અની અને બીજુની ઉંમર અનુક્રમે 19 વર્ષ અને 16 વર્ષ અથવા 21 વર્ષ અને 24 વર્ષ છે.
In simple words: પહેલાં અની અને બીજુની ઉંમર \(x\) અને \(y\) ધારીએ. પછી આપેલ શરતો પરથી બે સમીકરણો બનાવીએ. એકવાર પિતાની ઉંમર અને બીજીવાર બહેનની ઉંમરના તફાવત પરથી. આ સમીકરણોને જુદી જુદી રીતે ઉકેલવાથી અની અને બીજુની ઉંમરના બે શક્ય જવાબો મળે છે.

Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં, ઉંમરને ચલ તરીકે ધારીને આપેલ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ સમીકરણો બનાવો. પછી સમીકરણોની જોડીને ઉકેલીને સાચો જવાબ મેળવો.

 

Question 2. એક વ્યક્તિ તેના મિત્રને કહે છે, “જો તું મને સો રૂપિયા આપે, તો મારી પાસે તારાથી બે ગણા રૂપિયા હશે.” બીજો વ્યક્તિ કહે છે, “જો તું મને દસ રૂપિયા આપે, તો મારી પાસે તારાથી છ ગણા રૂપિયા હશે." અનુક્રમે બંનેની મૂડી રકમ જણાવો. (ભાસ્કર ના બીજગણિતમાંથી) [ \( x + 100 = 2 (y-100), y + 10 = 6 (x -10) \) ]
Answer: ધારો કે, પ્રથમ વ્યક્તિ (જેને આપણે A કહીએ) પાસે \( ₹x \) છે અને બીજી વ્યક્તિ (જેને આપણે B કહીએ) પાસે \( ₹y \) છે.
જો B એ A ને \( ₹100 \) આપે, તો A પાસે \( ₹(x + 100) \) થાય અને B પાસે \( ₹(y – 100) \) થાય.
આપેલ શરત મુજબ,
\(x + 100 = 2 (y - 100)\)
\(\therefore x + 100 = 2y – 200\)
\(\therefore x - 2y = -200 - 100 \)
\(x - 2y = -300\) ..........(1)

જો A એ Bને \( ₹10 \) આપે, તો A પાસે \( ₹(x – 10) \) થાય અને B પાસે \( ₹(y + 10) \) થાય.
આપેલ શરત મુજબ,
\(y + 10 = 6 (x – 10)\)
\(\therefore y + 10 = 6x – 60\)
\(\therefore 10 + 60 = 6x – y\)
\(\therefore 6x - y = 70\) ..........(2)

સમીકરણ (2)ને 2 વડે ગુણતાં,
\(2(6x - y) = 2(70)\)
\(12x - 2y = 140\) ..........(3)
સમીકરણ (3)માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં,
\( (12x - 2y) - (x - 2y) = 140 - (-300) \)
\( 12x - 2y - x + 2y = 140 + 300 \)
\( 11x = 440 \)
\(\therefore x = \frac{440}{11}\)
\(\therefore x = 40\)

સમીકરણ (1)માં \(x = 40\) મૂકતાં,
\(40 - 2y = -300\)
\(40 + 300 = 2y\)
\(340 = 2y\)
\(\therefore y = \frac{340}{2}\)
\(\therefore y = 170\)
આમ, પ્રથમ વ્યક્તિ પાસે \( ₹40 \) છે અને બીજા વ્યક્તિ પાસે \( ₹170 \) છે.
In simple words: બે વ્યક્તિ પાસે કેટલા રૂપિયા છે તે જાણવા માટે, તેમની વાતોને ગણિતના સમીકરણોમાં બદલો. એકબીજાને રૂપિયા આપ-લે કરવાની શરતો પરથી બે સમીકરણો બનાવો. પછી, આ સમીકરણોને ઉકેલીને દરેક વ્યક્તિ પાસે કેટલા રૂપિયા છે તે શોધો.

Exam Tip: આવા "વર્ડ પ્રોબ્લેમ્સ" માં, ચલો (variables) ને સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત કરો અને પછી દરેક શરત માટે યોગ્ય સમીકરણો બનાવો. સમીકરણોને કાળજીપૂર્વક ઉકેલો.

 

Question 3. એક ટ્રેન અચળ ઝડપે ચોક્કસ અંતર કાપે છે. જો ટ્રેનની ઝડપમાં 10 કિમી / કલાક વધારો થાય, તો તે મુસાફરી માટે નક્કી સમય કરતાં 2 કલાક ઓછો સમય લે છે અને ટ્રેનની ઝડપમાં 10 કિમી/કલાકનો ઘટાડો કરતાં, તે મુસાફરી માટે નક્કી સમય કરતાં 3 કલાક વધારે સમય લે છે, તો ટ્રેન દ્વારા કપાયેલું કુલ અંતર શોધો.
Answer: ધારો કે, ટ્રેનની કાયમી અચળ ઝડપ \(x\) કિમી/કલાક છે અને મુસાફરીનો કાયમી સમય \(y\) કલાક છે. આથી ટ્રેન દ્વારા કપાયેલું કુલ અંતર \( = \) ઝડપ \( \times \) સમય \( = xy \) કિમી.

હવે, પ્રથમ માહિતી મુજબ, ટ્રેનની નવી ઝડપ \( = (x + 10) \) કિમી/કલાક અને નવો સમય \( = (y – 2) \) કલાક.
વળી, ઝડપ \( \times \) સમય \( = \) અંતર પરથી
\( (x + 10) (y – 2) = xy \)
\( xy – 2x + 10y – 20 = xy \)
\(\therefore – 2x + 10y = 20\) ..........(1)

તે જ રીતે, દ્વિતીય માહિતી મુજબ, ટ્રેનની નવી ઝડપ \( = (x – 10) \) કિમી/કલાક અને નવો સમય \( = (y + 3) \) કલાક.
આથી \( (x – 10) (y + 3) = xy \)
\( xy + 3x – 10y – 30 = xy \)
\(\therefore 3x – 10y = 30\) ..........(2)

સમીકરણો (1) અને (2) નો સરવાળો લેતાં,
\( (-2x + 10y) + (3x - 10y) = 20 + 30 \)
\( x = 50 \)
સમીકરણ (1)માં \(x = 50\) મૂકતાં,
\( -2(50) + 10y = 20 \)
\( -100 + 10y = 20 \)
\( 10y = 20 + 100 \)
\( 10y = 120 \)
\(\therefore y = 12 \)

હવે, ટ્રેન દ્વારા કપાયેલું કુલ અંતર \( = xy = 50 \times 12 = 600 \) કિમી.
આમ, ટ્રેન દ્વારા કપાયેલું કુલ અંતર 600 કિમી છે.
In simple words: ટ્રેનની સામાન્ય ઝડપ અને સમયને \(x\) અને \(y\) તરીકે લો. જ્યારે ઝડપ વધે કે ઘટે, ત્યારે સમયમાં શું ફેરફાર થાય છે તે પરથી બે સમીકરણો બનાવો. પછી આ સમીકરણો ઉકેલીને ઝડપ અને સમય શોધો. અંતે, ઝડપ અને સમયનો ગુણાકાર કરીને કુલ અંતર મેળવો.

Exam Tip: અંતર, ઝડપ અને સમય વચ્ચેના સંબંધ (અંતર = ઝડપ × સમય) નો ઉપયોગ કરીને આવા દાખલાઓમાં સમીકરણો બનાવો અને તેને ઉકેલો.

 

Question 4. એક વર્ગના વિદ્યાર્થીઓને હારમાં ઊભા રાખવામાં આવ્યા છે. દરેક હારમાં 3 વિદ્યાર્થીઓ વધારે ઊભા રાખતાં 1 હાર ઓછી બને છે. 3 વિદ્યાર્થીઓ પ્રત્યેક હારમાં ઓછા ઊભા રાખતાં 2 હાર વધારે બને છે, તો વર્ગખંડમાં રહેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધો.
Answer: ધારો કે, દરેક હારમાં ઊભા રાખેલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા \(x\) છે અને કુલ હારની સંખ્યા \(y\) છે.
આથી કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા \( = xy \) થાય.

હવે, પ્રથમ માહિતી મુજબ, દરેક હારમાં ઊભા રાખેલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા \( = (x + 3) \) અને કુલ હારની સંખ્યા \( = (y – 1) \) થાય.
\(\therefore (x + 3) (y – 1) = xy \)
\( xy – x + 3y – 3 = xy \)
\(\therefore – x + 3y = 3\) .......... (1)

તે જ રીતે, દ્વિતીય માહિતી મુજબ, દરેક હારમાં ઊભા રાખેલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા \( = (x – 3) \) અને કુલ હારની સંખ્યા \( = (y + 2) \) થાય.
\(\therefore (x – 3) (y + 2) = xy \)
\( xy + 2x – 3y – 6 = xy \)
\(\therefore 2x – 3y = 6\) .......... (2)

સમીકરણો (1) અને (2) નો સરવાળો લેતાં,
\( (-x + 3y) + (2x - 3y) = 3 + 6 \)
\( x = 9 \)
સમીકરણ (1)માં \(x = 9\) મૂકતાં,
\( -9 + 3y = 3 \)
\( 3y = 3 + 9 \)
\( 3y = 12 \)
\(\therefore y = \frac{12}{3}\)
\(\therefore y = 4 \)

હવે, કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા \( = xy = 9 \times 4 = 36 \).
આમ, વર્ગખંડમાં રહેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા 36 છે.
In simple words: વર્ગમાં કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવા માટે, હારમાં વિદ્યાર્થીઓની ગોઠવણના બે અલગ-અલગ નિયમો પરથી સમીકરણો બનાવો. એક સમીકરણ માટે વધુ વિદ્યાર્થીઓ પ્રતિ હાર અને ઓછા હાર, અને બીજા માટે ઓછા વિદ્યાર્થીઓ પ્રતિ હાર અને વધુ હાર. આ સમીકરણોને ઉકેલીને પ્રતિ હાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અને કુલ હારની સંખ્યા શોધી કાઢો.

Exam Tip: "કુલ સંખ્યા = હારની સંખ્યા × પ્રતિ હાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા" આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જુદી જુદી શરતો હેઠળ સમીકરણો બનાવો અને તેમને ઉકેલો.

 

Question 5. જો \( \triangle ABC \) માં \( \angle C = 3\angle B = 2 (\angle A + \angle B) \) હોય, તો ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપ શોધો.
Answer: \( \triangle ABC \) માટે, આપણને ખબર છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો \(180^\circ\) હોય છે.
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)

આપેલ શરત મુજબ,
\( \angle C = 3\angle B \) અને \( 3\angle B = 2 (\angle A + \angle B) \)
\(\therefore 3\angle B = 2\angle A + 2\angle B \)
\(\therefore \angle B = 2\angle A \)
આથી, \( \angle A = \frac{\angle B}{2} \)

આ કિંમતોને \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \) માં મૂકતાં,
\( \frac{\angle B}{2} + \angle B + 3\angle B = 180^\circ \)
\( \frac{\angle B + 2\angle B + 6\angle B}{2} = 180^\circ \)
\( \frac{9\angle B}{2} = 180^\circ \)
\( 9\angle B = 180^\circ \times 2 \)
\( 9\angle B = 360^\circ \)
\(\therefore \angle B = \frac{360^\circ}{9} \)
\(\therefore \angle B = 40^\circ \)

હવે, \( \angle C = 3\angle B \)
\( \angle C = 3(40^\circ) \)
\(\therefore \angle C = 120^\circ \)

અને \( \angle A = \frac{\angle B}{2} \)
\( \angle A = \frac{40^\circ}{2} \)
\(\therefore \angle A = 20^\circ \)
આમ, \( \triangle ABC \) માં, \( \angle A = 20^\circ; \angle B = 40^\circ \) અને \( \angle C = 120^\circ \).
In simple words: ત્રિકોણના બધા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° હોય છે. આપેલ શરતોનો ઉપયોગ કરીને, એક ખૂણાની કિંમત બીજા ખૂણાના સંબંધમાં શોધો. પછી, આ સંબંધોને સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકીને બધા ખૂણાઓની સાચી કિંમતો ગણો.

Exam Tip: સમીકરણો \( \angle C = 3\angle B \) અને \( 3\angle B = 2 (\angle A + \angle B) \) નો ઉપયોગ કરીને \( \angle A, \angle B, \angle C \) વચ્ચેના સંબંધોને સરળ બનાવો અને પછી ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ મેળવો.

 

Question 6. \( 5x - y = 5 \) અને \( 3x – y = 3 \) દ્વારા દર્શાવાતી રેખાના આલેખ દોરો. પુ-અક્ષ અને બંને રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ જણાવો.
Answer: \( 5x - y = 5 \) પરથી, \( y = 5x – 5 \) મળે.

\( 3x – y = 3 \) પરથી, \( y = 3x – 3 \) મળે.

આલેખમાંથી સ્પષ્ટ છે કે x-અક્ષ અને બંને સમીકરણોની રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ \( (1, 0) \), \( (0, -3) \) અને \( (0, -5) \) છે.
In simple words: પહેલાં બંને સમીકરણોમાંથી \(y\) ને \(x\) ના પદમાં અલગ કરો. પછી દરેક સમીકરણ માટે \(x\) ની અલગ અલગ કિંમતો લઈને \(y\) ની કિંમતો શોધો અને કોષ્ટક બનાવો. આ બિંદુઓને આલેખપત્ર પર દર્શાવો અને રેખાઓ દોરો. આ રેખાઓ અને x-અક્ષથી બનતા ત્રિકોણના ખૂણાઓના બિંદુઓ શોધીને લખો.

Exam Tip: રેખીય સમીકરણોના આલેખ દોરવા માટે, ઓછામાં ઓછા બે બિંદુઓ શોધો જે સમીકરણને સંતોષે. x-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ માટે \(y=0\) મૂકો અને y-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ માટે \(x=0\) મૂકો. આલેખ પરથી ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ સરળતાથી શોધી શકાય છે.

 

Question 7. નીચેનાં સુરેખ સમીકરણયુગ્મ ઉકેલોઃ
(i) \( px + qy = p-q \)
\( qx - py = p + q \)
Answer:
આપેલ સમીકરણો છે:
\( px + qy = p-q \) .......... (1)
\( qx - py = p+q \) .......... (2)

સમીકરણ (1) ને \(p\) વડે અને સમીકરણ (2) ને \(q\) વડે ગુણતાં,
\( p(px + qy) = p(p-q) \implies p^2x + pqy = p^2 - pq \) .......... (3)
\( q(qx - py) = q(p+q) \implies q^2x - pqy = pq + q^2 \) .......... (4)
સમીકરણો (3) અને (4) નો સરવાળો લેતાં,
\( (p^2x + pqy) + (q^2x - pqy) = (p^2 - pq) + (pq + q^2) \)
\( p^2x + q^2x = p^2 + q^2 \)
\( x(p^2 + q^2) = p^2 + q^2 \)
\(\therefore x = 1 \)

સમીકરણ (1)માં \(x = 1\) મૂકતાં,
\( p(1) + qy = p-q \)
\( p + qy = p-q \)
\( qy = p-q-p \)
\( qy = -q \)
\(\therefore y = -1 \)
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = 1, y = -1\) છે.
In simple words: આપેલા બે સમીકરણોમાં \(x\) અથવા \(y\) ને દૂર કરવા માટે યોગ્ય સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો. પછી, સમીકરણોનો સરવાળો કે બાદબાકી કરીને એક ચલની કિંમત શોધો. તે કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકીને બીજા ચલની કિંમત મેળવો.

(ii) \( ax + by = c \)
\( bx + ay = 1 + c \)
Answer:
આપેલ સમીકરણો છે:
\( ax + by = c \) .......... (1)
\( bx + ay = 1 + c \) .......... (2)

સમીકરણ (1) ને \(a\) વડે અને સમીકરણ (2) ને \(b\) વડે ગુણતાં,
\( a(ax + by) = ac \implies a^2x + aby = ac \) .......... (3)
\( b(bx + ay) = b(1+c) \implies b^2x + aby = b + bc \) .......... (4)
સમીકરણ (3)માંથી સમીકરણ (4) બાદ કરતાં,
\( (a^2x + aby) - (b^2x + aby) = ac - (b + bc) \)
\( x(a^2 - b^2) = ac - b - bc \)
\(\therefore x = \frac{ac - b - bc}{a^2 - b^2} = \frac{c(a-b)-b}{a^2 - b^2} \)

સમીકરણ (1) માં \( x = \frac{c(a-b)-b}{a^2 - b^2} \) મૂકતાં,
\( a \left( \frac{c(a-b)-b}{a^2 - b^2} \right) + by = c \)
\( by = c - \frac{a(ca - cb - b)}{a^2 - b^2} \)
\( by = \frac{c(a^2 - b^2) - a(ca - cb - b)}{a^2 - b^2} \)
\( by = \frac{a^2c - b^2c - a^2c + abc + ab}{a^2 - b^2} \)
\( by = \frac{-b^2c + abc + ab}{a^2 - b^2} \)
\( by = \frac{b(-bc + ac + a)}{a^2 - b^2} \)
\(\therefore y = \frac{-bc + ac + a}{a^2 - b^2} = \frac{c(a-b)+a}{a^2 - b^2} \)
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \( x = \frac{c(a-b)-b}{a^2 - b^2}, y = \frac{c(a-b)+a}{a^2 - b^2} \) છે.
In simple words: \(a, b, c\) જેવા અચળાંકો (constants) વાળા સમીકરણો ઉકેલવા માટે પણ લોપની રીતનો ઉપયોગ કરો. \(x\) અથવા \(y\) ના સહગુણકો સરખા કરવા માટે બંને સમીકરણોને ગુણાકાર કરો. પછી, બાદબાકી કરીને એક ચલ દૂર કરો અને બીજા ચલ માટે ઉકેલ શોધો.

(iii) \( \frac{x}{a}-\frac{y}{b} = 0 \)
\( ax + by = a^2 + b^2 \)
Answer:
આપેલ સમીકરણો છે:
\( \frac{x}{a}-\frac{y}{b} = 0 \) .......... (1)
\( ax + by = a^2 + b^2 \) .......... (2)

સમીકરણ (1) મુજબ,
\( \frac{x}{a} = \frac{y}{b} \)
\(\therefore y = \frac{b}{a}x \)

સમીકરણ (2) માં \( y = \frac{b}{a}x \) મૂકતાં,
\( ax + b \left( \frac{b}{a}x \right) = a^2 + b^2 \)
\( ax + \frac{b^2}{a}x = a^2 + b^2 \)
\( x \left( a + \frac{b^2}{a} \right) = a^2 + b^2 \)
\( x \left( \frac{a^2 + b^2}{a} \right) = a^2 + b^2 \)
\(\therefore x = a \)

\( y = \frac{b}{a}x \) માં \(x = a\) મૂકતાં,
\( y = \frac{b}{a}(a) \)
\(\therefore y = b \)
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = a, y = b\) છે.
In simple words: પહેલાં સમીકરણને સરળ કરીને \(y\) ને \(x\) ના પદમાં લખો. પછી આ કિંમતને બીજા સમીકરણમાં મૂકીને \(x\) ની કિંમત શોધો. છેલ્લે, \(x\) ની કિંમતનો ઉપયોગ કરીને \(y\) ની કિંમત ગણો.

(iv) \( (a – b) x + (a + b) y = a^2 – 2ab – b^2 \)
\( (a + b) (x + y) = a^2 + b^2 \)
Answer:
આપેલ સમીકરણો છે:
\( (a – b) x + (a + b) y = a^2 – 2ab – b^2 \) .......... (1)
\( (a + b) x + (a + b) y = a^2 + b^2 \) .......... (2)

સમીકરણ (2)માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં,
\( [(a + b) x + (a + b) y] - [(a - b) x + (a + b) y] = (a^2 + b^2) - (a^2 – 2ab – b^2) \)
\( (a + b) x - (a - b) x = a^2 + b^2 - a^2 + 2ab + b^2 \)
\( x(a + b - a + b) = 2ab + 2b^2 \)
\( x(2b) = 2b(a + b) \)
\(\therefore x = a + b \)

સમીકરણ (2)માં \(x = a + b\) મૂકતાં,
\( (a + b) (a + b + y) = a^2 + b^2 \)
\( (a + b)^2 + (a + b) y = a^2 + b^2 \)
\( a^2 + 2ab + b^2 + (a + b) y = a^2 + b^2 \)
\( (a + b) y = a^2 + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2) \)
\( (a + b) y = a^2 + b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \)
\( (a + b) y = -2ab \)
\(\therefore y = -\frac{2ab}{a+b} \)
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \( x = a+b, y = -\frac{2ab}{a+b} \) છે.
In simple words: આ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે, \(y\) ના પદોને દૂર કરવા માટે બીજા સમીકરણમાંથી પહેલા સમીકરણને બાદ કરો. પછી \(x\) ની કિંમત શોધો અને તેને કોઈ એક મૂળ સમીકરણમાં મૂકીને \(y\) ની કિંમત મેળવો.

(v) \( 152x – 378y = – 74 \)
\( – 378x + 152y = – 604 \)
Answer:
આપેલ સમીકરણો છે:
\( 152x – 378y = – 74 \) .......... (1)
\( – 378x + 152y = – 604 \) .......... (2)

સમીકરણો (1) અને (2) નો સરવાળો લેતાં,
\( (152x – 378y) + (– 378x + 152y) = – 74 + (– 604) \)
\( 152x - 378y - 378x + 152y = -678 \)
\( -226x - 226y = -678 \)
\( -226(x + y) = -678 \)
\( x + y = \frac{-678}{-226} \)
\(\therefore x + y = 3 \) .......... (3)

સમીકરણ (1)માંથી સમીકરણ (2) બાદ કરતાં,
\( (152x – 378y) - (– 378x + 152y) = – 74 - (– 604) \)
\( 152x – 378y + 378x – 152y = – 74 + 604 \)
\( 530x - 530y = 530 \)
\( 530(x - y) = 530 \)
\(\therefore x - y = 1 \) .......... (4)

સમીકરણો (3) અને (4) નો સરવાળો લેતાં,
\( (x + y) + (x - y) = 3 + 1 \)
\( 2x = 4 \)
\(\therefore x = 2 \)

સમીકરણ (3) માં \(x = 2\) મૂકતાં,
\( 2 + y = 3 \)
\(\therefore y = 1 \)
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ \(x = 2, y = 1\) છે.
In simple words: આવા સમીકરણોમાં, પહેલાં બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરીને એક સરળ સમીકરણ મેળવો. પછી, બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરીને બીજું સરળ સમીકરણ મેળવો. આ બે નવા સરળ સમીકરણોને ઉકેલીને \(x\) અને \(y\) ની કિંમતો શોધો.

Exam Tip: જ્યારે સમીકરણોમાં મોટા સહગુણકો હોય અને \(x\) અને \(y\) ના સહગુણકો એકબીજા સાથે બદલાયેલા હોય (દા.ત., \(ax + by = c_1\) અને \(bx + ay = c_2\)), ત્યારે એકવાર સમીકરણોનો સરવાળો અને એકવાર બાદબાકી કરીને બે નવા સરળ સમીકરણો મેળવો. આ પદ્ધતિ ઉકેલને ઝડપી બનાવે છે.

 

Question 8. જો ABCD ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોય (આકૃતિ જુઓ), તો તે ચક્રીય ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનાં માપ શોધો.
Answer: ABCD ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ, સામેના ખૂણાઓનો સરવાળો \(180^\circ\) હોય છે.
\(\therefore \angle A + \angle C = 180^\circ \) અને \( \angle B + \angle D = 180^\circ \).

આકૃતિમાંથી ખૂણાઓની કિંમતો લઈએ:
\( \angle A = 4y + 20^\circ \)
\( \angle B = 3y - 5^\circ \)
\( \angle C = -4x \)
\( \angle D = -7x + 5^\circ \)

\( \angle A + \angle C = 180^\circ \) પરથી,
\( (4y + 20^\circ) + (-4x) = 180^\circ \)
\( 4y + 20^\circ - 4x = 180^\circ \)
\( 4y - 4x = 180^\circ - 20^\circ \)
\( 4y - 4x = 160^\circ \)
\( y - x = 40^\circ \) (4 વડે ભાગતાં) .......... (1)

\( \angle B + \angle D = 180^\circ \) પરથી,
\( (3y - 5^\circ) + (-7x + 5^\circ) = 180^\circ \)
\( 3y - 5^\circ - 7x + 5^\circ = 180^\circ \)
\( 3y - 7x = 180^\circ \) .......... (2)

સમીકરણ (1)માંથી \( y = x + 40^\circ \) મૂકતાં, આને સમીકરણ (2)માં મૂકીએ.
\( 3(x + 40^\circ) - 7x = 180^\circ \)
\( 3x + 120^\circ - 7x = 180^\circ \)
\( -4x + 120^\circ = 180^\circ \)
\( -4x = 180^\circ - 120^\circ \)
\( -4x = 60^\circ \)
\(\therefore x = -\frac{60^\circ}{4} \)
\(\therefore x = -15^\circ \)

સમીકરણ (1)માં \(x = -15^\circ\) મૂકતાં,
\( y - (-15^\circ) = 40^\circ \)
\( y + 15^\circ = 40^\circ \)
\( y = 40^\circ - 15^\circ \)
\(\therefore y = 25^\circ \)

હવે, ખૂણાઓની કિંમતો શોધીએ:
\( \angle A = 4y + 20^\circ = 4(25^\circ) + 20^\circ = 100^\circ + 20^\circ = 120^\circ \)
\( \angle B = 3y - 5^\circ = 3(25^\circ) - 5^\circ = 75^\circ - 5^\circ = 70^\circ \)
\( \angle C = -4x = -4(-15^\circ) = 60^\circ \)
\( \angle D = -7x + 5^\circ = -7(-15^\circ) + 5^\circ = 105^\circ + 5^\circ = 110^\circ \)
આમ, આપેલ ચક્રીય ચતુષ્કોણ ABCD માં, \( \angle A = 120^\circ, \angle B = 70^\circ, \angle C = 60^\circ, \angle D = 110^\circ \).
In simple words: ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામેના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° હોય છે. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, \(x\) અને \(y\) ના બે સમીકરણો બનાવો. પછી આ સમીકરણોને ઉકેલીને \(x\) અને \(y\) ની કિંમતો શોધો. અંતે, આ કિંમતોને દરેક ખૂણાના સૂત્રમાં મૂકીને બધા ખૂણાઓનાં માપ મેળવો.

Exam Tip: ચક્રીય ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો યાદ રાખો: વિરોધી ખૂણાઓ પૂરક હોય છે. આલેખમાંથી દરેક ખૂણાના બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ (algebraic expressions) ને ધ્યાનથી લખો અને સમીકરણો ઉકેલવામાં ભૂલ ન થાય તેનું ધ્યાન રાખો.