GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 2 બહુપદીઓ Exercise 2.3

Question 1. નીચે આપેલ તમામ બહુપદી p(x)ને બહુપદી g(x) વડે ભાગો અને ભાગફળ તથા શેષ મેળવોઃ
(i) \( p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2 \)
(ii) \( p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x \)
(iii) \( p(x) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2 – x² \)
Answer:
(i) \( p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3 \), \( g(x) = x² – 2 \)
આપેલ બહુપદીઓને ભાગતા,
\[ x-3\\ x^2-2\overline{)x^3-3x^2+5x-3}\\ \underline{-(x^3 \quad -2x)}\\ \quad \quad -3x^2+7x-3\\ \quad \underline{-(-3x^2 \quad \quad +6)}\\ \quad \quad \quad \quad 7x-9 \]
આથી, ભાગફળ \( = x – 3 \)
શેષ \( = 7x – 9 \)

(ii) \( p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5 \), \( g(x) = x² + 1 – x \)
અહીં, \( p(x) = x⁴ + 0x³ – 3x² + 4x + 5 \)
અને \( g(x) = x² – x + 1 \)
આપેલ બહુપદીઓને ભાગતા,
\[ x^2+x-3\\ x^2-x+1\overline{)x^4+0x^3-3x^2+4x+5}\\ \underline{-(x^4-x^3+x^2)}\\ \quad \quad x^3-4x^2+4x+5\\ \quad \underline{-(x^3-x^2+x)}\\ \quad \quad \quad -3x^2+3x+5\\ \quad \quad \underline{-(-3x^2+3x-3)}\\ \quad \quad \quad \quad \quad 8 \]
આથી, ભાગફળ \( = x² + x – 3 \)
શેષ \( = 8 \)

(iii) \( p(x) = x⁴ – 5x + 6 \), \( g(x) = 2 – x² \)
અહીં, \( p(x) = x⁴ + 0x³ + 0x² – 5x + 6 \)
અને \( g(x) = -x² + 2 \)
આપેલ બહુપદીઓને ભાગતા,
\[ \quad \quad \quad -x^2-2\\ -x^2+2\overline{)x^4+0x^3+0x^2-5x+6}\\ \underline{-(x^4 \quad \quad -2x^2)}\\ \quad \quad \quad 2x^2-5x+6\\ \quad \quad \underline{-(2x^2 \quad \quad -4)}\\ \quad \quad \quad \quad -5x+10 \]
આથી, ભાગફળ \( = -x² – 2 \)
શેષ \( = -5x + 10 \)
In simple words: આપેલી બે બહુપદીઓને એકબીજા વડે ભાગો. ભાગાકાર કર્યા પછી, ભાગફળ અને શેષને લખો. દરેક ભાગાકાર માટે આ પ્રક્રિયાનું પાલન કરો.

Exam Tip: Remember to arrange the terms of the dividend and divisor in descending powers of the variable, adding terms with zero coefficients if necessary, before performing polynomial long division.

Question 2. બહુપદીઓ પૈકી બીજી બહુપદીને પ્રથમ બહુપદી વડે ભાગીને ચકાસો કે, પ્રથમ બહુપદી એ બીજી બહુપદીનો અવયવ છે કે નહીં?
(i) \( t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 \)
(ii) \( x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 \)
(iii) \( x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 \)
Answer:
(i) \( p(t) = 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 \), \( g(t) = t² – 3 \)
આપેલ બહુપદીઓને ભાગતા,
\[ \quad \quad \quad 2t^2+3t+4\\ t^2-3\overline{)2t^4+3t^3-2t^2-9t-12}\\ \underline{-(2t^4 \quad \quad -6t^2)}\\ \quad \quad \quad 3t^3+4t^2-9t-12\\ \quad \quad \underline{-(3t^3 \quad \quad -9t)}\\ \quad \quad \quad \quad \quad 4t^2-12\\ \quad \quad \quad \quad \underline{-(4t^2-12)}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \]
અહીં, શેષ શૂન્ય હોવાથી, \( t² – 3 \) એ \( 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 \) નો અવયવ છે.

(ii) \( p(x) = 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 \), \( g(x) = x² + 3x + 1 \)
આપેલ બહુપદીઓને ભાગતા,
\[ \quad \quad \quad 3x^2-4x+2\\ x^2+3x+1\overline{)3x^4+5x^3-7x^2+2x+2}\\ \underline{-(3x^4+9x^3+3x^2)}\\ \quad \quad \quad -4x^3-10x^2+2x+2\\ \quad \quad \underline{-(-4x^3-12x^2-4x)}\\ \quad \quad \quad \quad \quad 2x^2+6x+2\\ \quad \quad \quad \quad \underline{-(2x^2+6x+2)}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \]
અહીં, શેષ શૂન્ય હોવાથી, \( x² + 3x + 1 \) એ \( 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 \) નો અવયવ છે.

(iii) \( p(x) = x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 \), \( g(x) = x³ – 3x + 1 \)
અહીં, \( p(x) = x⁵ + 0x⁴ – 4x³ + x² + 3x + 1 \)
આપેલ બહુપદીઓને ભાગતા,
\[ \quad \quad \quad x^2-1\\ x^3-3x+1\overline{)x^5+0x^4-4x^3+x^2+3x+1}\\ \underline{-(x^5 \quad \quad -3x^3+x^2)}\\ \quad \quad \quad -x^3 \quad \quad +3x+1\\ \quad \quad \underline{-(-x^3 \quad \quad +3x-1)}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2 \]
અહીં, શેષ શૂન્ય ન હોવાથી, \( x³ – 3x + 1 \) એ \( x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 \) નો અવયવ નથી.
In simple words: બીજી બહુપદીને પ્રથમ બહુપદી વડે ભાગો. જો શેષ 0 આવે, તો પ્રથમ બહુપદી બીજી બહુપદીનો અવયવ છે. જો શેષ 0 ન આવે, તો તે અવયવ નથી.

Exam Tip: A polynomial \( g(x) \) is a factor of \( p(x) \) if and only if the remainder when \( p(x) \) is divided by \( g(x) \) is zero. This is a fundamental concept in polynomial division.

Question 3. જો \( \sqrt { \frac { 5 }{ 3 } } \) અને \( - \sqrt { \frac { 5 }{ 3 } } \) એ \( 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 \) નાં બે શૂન્યો હોય, તો બાકીનાં શૂન્ય શોધો.
Answer:
આપેલ બહુપદી \( p(x) = 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 \).
તેના બે શૂન્યો \( \sqrt { \frac { 5 }{ 3 } } \) અને \( - \sqrt { \frac { 5 }{ 3 } } \) છે.
જો \( x = \sqrt { \frac { 5 }{ 3 } } \) અને \( x = - \sqrt { \frac { 5 }{ 3 } } \) હોય, તો \( \left( x - \sqrt { \frac { 5 }{ 3 } } \right) \) અને \( \left( x + \sqrt { \frac { 5 }{ 3 } } \right) \) એ \( p(x) \) ના અવયવો છે.
તેથી, \( \left( x - \sqrt { \frac { 5 }{ 3 } } \right) \left( x + \sqrt { \frac { 5 }{ 3 } } \right) = x² - \frac { 5 }{ 3 } \) એ \( p(x) \) નો એક અવયવ થશે.
બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે આપણે \( p(x) \) ને \( x² - \frac { 5 }{ 3 } \) વડે ભાગીશું.
\[ \quad \quad \quad 3x^2+6x+3\\ x^2-\frac{5}{3}\overline{)3x^4+6x^3-2x^2-10x-5}\\ \underline{-(3x^4 \quad \quad -5x^2)}\\ \quad \quad \quad 6x^3+3x^2-10x-5\\ \quad \quad \underline{-(6x^3 \quad \quad -10x)}\\ \quad \quad \quad \quad \quad 3x^2 \quad \quad -5\\ \quad \quad \quad \quad \underline{-(3x^2 \quad \quad -5)}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \]
ભાગફળ \( = 3x² + 6x + 3 \).
બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે, ભાગફળને 0 ની બરાબર કરીએ.
\( 3x² + 6x + 3 = 0 \)
\( 3(x² + 2x + 1) = 0 \)
\( 3(x + 1)² = 0 \)
\( (x + 1)² = 0 \)
\( x + 1 = 0 \)
\( x = -1 \)
આથી, બાકીના શૂન્યો \( -1 \) અને \( -1 \) છે.
In simple words: બે શૂન્યો આપેલા હોય, તો તેમાંથી એક બહુપદી બનાવો. પછી મૂળ બહુપદીને આ નવી બહુપદી વડે ભાગો. જે ભાગફળ મળે, તેના શૂન્યો શોધો. તે જ બાકીના શૂન્યો છે.

Exam Tip: When given zeros of a polynomial, construct a factor from them, then perform polynomial division. The zeros of the resulting quotient polynomial will be the remaining zeros of the original polynomial. Remember to factorize the quotient completely.

Question 4. \( x³ – 3x² + x + 2 \) ને બહુપદી \( g(x) \) વડે ભાગતા ભાગફળ અને શેષ અનુક્રમે \( x – 2 \) અને \( -2x + 4 \) મળે છે, તો \( g(x) \) શોધો. અહીં, ભાજ્ય \( p(x) = x³ – 3x² + x + 2 \), ભાગફળ \( q(x) = x – 2 \) અને શેષ \( r(x) = – 2x + 4 \).
Answer:
આપણને ભાગાકારના નિયમ મુજબ ખબર છે કે,
ભાજ્ય \( p(x) = \) ભાજક \( g(x) \times \) ભાગફળ \( q(x) + \) શેષ \( r(x) \)
\( p(x) = g(x) \times q(x) + r(x) \)
આપેલ મૂલ્યો મુકતા,
\( x³ – 3x² + x + 2 = g(x) \times (x – 2) + (-2x + 4) \)
\( x³ – 3x² + x + 2 - (-2x + 4) = g(x) \times (x – 2) \)
\( x³ – 3x² + x + 2 + 2x - 4 = g(x) \times (x – 2) \)
\( x³ – 3x² + 3x - 2 = g(x) \times (x – 2) \)
આથી, \( g(x) = \frac { x³ – 3x² + 3x - 2 }{ x – 2 } \)
\( x³ – 3x² + 3x - 2 \) ને \( x – 2 \) વડે ભાગતા,
\[ \quad \quad \quad x^2-x+1\\ x-2\overline{)x^3-3x^2+3x-2}\\ \underline{-(x^3-2x^2)}\\ \quad \quad \quad -x^2+3x-2\\ \quad \quad \underline{-(-x^2+2x)}\\ \quad \quad \quad \quad \quad x-2\\ \quad \quad \quad \quad \underline{-(x-2)}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \]
આમ, \( g(x) = x² – x + 1 \).
In simple words: ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરો, જે કહે છે કે ભાજ્ય = ભાજક × ભાગફળ + શેષ. આપેલા મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકો અને પછી ગણતરી કરીને ભાજક \( g(x) \) શોધો.

Exam Tip: When solving for an unknown polynomial in a division algorithm problem, always use the formula: Dividend = Divisor × Quotient + Remainder. Rearrange the formula to isolate the unknown and then perform the necessary polynomial operations.

Question 5. ભાગપ્રવિધિ અને નીચેની શરતોને સંતોષે તેવી બહુપદીઓ p(x), g (x), q(x) અને r(x)નાં ઉદાહરણો આપોઃ
(i) \( p(x) \) ની ઘાત = \( q(x) \) ની ઘાત
(ii) \( q(x) \) ની ઘાત = \( r(x) \) ની ઘાત
(iii) \( r(x) \) ની ઘાત = 0
Answer:
(i) \( p(x) \) ની ઘાત = \( q(x) \) ની ઘાત
આ શરત સંતોષવા માટે, \( g(x) \) ની ઘાત 0 હોવી જોઈએ (એટલે કે \( g(x) \) એ શૂન્યતર અચળ હોવો જોઈએ).
ઉદાહરણ તરીકે,
\( p(x) = 10x² + 15x + 7 \)
\( g(x) = 5 \)
\( q(x) = 2x² + 3x + 1 \)
\( r(x) = 2 \)
અહીં, \( p(x) \) ની ઘાત 2 છે અને \( q(x) \) ની ઘાત પણ 2 છે. ભાગાકારનો નિયમ ચકાસતા,
\( g(x) \times q(x) + r(x) = 5(2x² + 3x + 1) + 2 \)
\( = 10x² + 15x + 5 + 2 \)
\( = 10x² + 15x + 7 = p(x) \)
આ શરત સંતોષાય છે.

(ii) \( q(x) \) ની ઘાત = \( r(x) \) ની ઘાત
આ શરત સંતોષવા માટે, \( g(x) \) ની ઘાત \( q(x) \) અને \( r(x) \) બંને કરતાં મોટી હોવી જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,
\( p(x) = x³ + 5x² + 2x + 7 \)
\( g(x) = x² + 1 \)
\( q(x) = x + 5 \)
\( r(x) = x + 2 \)
અહીં, \( q(x) \) ની ઘાત 1 છે અને \( r(x) \) ની ઘાત પણ 1 છે. ભાગાકારનો નિયમ ચકાસતા,
\( g(x) \times q(x) + r(x) = (x² + 1)(x + 5) + (x + 2) \)
\( = x³ + 5x² + x + 5 + x + 2 \)
\( = x³ + 5x² + 2x + 7 = p(x) \)
આ શરત સંતોષાય છે.

(iii) \( r(x) \) ની ઘાત = 0
આ શરત સંતોષવા માટે, શેષ \( r(x) \) એક અચળ (શૂન્ય સિવાયની) હોવી જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,
\( p(x) = x³ + 4x² + 5x + 9 \)
\( g(x) = x + 3 \)
\( q(x) = x² + x + 2 \)
\( r(x) = 3 \)
અહીં, \( r(x) \) ની ઘાત 0 છે. ભાગાકારનો નિયમ ચકાસતા,
\( g(x) \times q(x) + r(x) = (x + 3)(x² + x + 2) + 3 \)
\( = x³ + x² + 2x + 3x² + 3x + 6 + 3 \)
\( = x³ + 4x² + 5x + 9 = p(x) \)
આ શરત સંતોષાય છે.
In simple words: ભાગાકારના નિયમને સંતોષતી બહુપદીઓનાં ઉદાહરણો આપો. (i) માં \( p(x) \) અને \( q(x) \) ની ઘાત સરખી હોવી જોઈએ, જે ત્યારે થાય જ્યારે \( g(x) \) એક અચળ સંખ્યા હોય. (ii) માં \( q(x) \) અને \( r(x) \) ની ઘાત સરખી હોવી જોઈએ. (iii) માં \( r(x) \) ની ઘાત 0 હોવી જોઈએ, એટલે કે \( r(x) \) એક અચળ સંખ્યા હોવી જોઈએ.

Exam Tip: To provide examples for polynomial division conditions, remember the fundamental rule \( deg(r(x)) < deg(g(x)) \). Use simple polynomials and constants to construct valid examples that satisfy the given degree requirements.