GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 2 બહુપદીઓ Exercise 2.2

Question 1. નીચે દર્શાવેલ દ્વિઘાત બહુપદીઓનાં શૂન્યો શોધો તથા તેમનાં શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસોઃ
(i) \( x^2 - 2x - 8 \)
(ii) \( 4s^2 - 4s + 1 \)
(iii) \( 6x^2 - 3 - 7x \)
(iv) \( 4u^2 + 8u \)
(v) \( t^2 - 15 \)
(vi) \( 3x^2 - x - 4 \)
Answer:
(i) \( x^2 - 2x - 8 \)
ઉત્તરઃ
\( x^2 - 2x - 8 = x^2 - 4x + 2x - 8 \)
\( = x(x - 4) + 2(x - 4) \)
\( = (x - 4)(x + 2) \)
\( x^2 - 2x - 8 \) ની કિંમત શૂન્ય લેતાં, \( x - 4 = 0 \) અથવા \( x + 2 = 0 \) થાય. એટલે કે, \( x = 4 \) અથવા \( x = -2 \).
માટે \( x^2 - 2x - 8 \) નાં શૂન્યો \( 4 \) અને \( -2 \) થાય. હવે,
શૂન્યોનો સરવાળો \( = 4 + (-2) = 2 \)
\( = \frac{-(-2)}{1} \)
\( = \frac{\text{-(x નો સહગુણક)}}{\text{x² નો સહગુણક}} \)
અને શૂન્યોનો ગુણાકાર \( = (4) (-2) = -8 \)
\( = \frac{-(-8)}{1} \)
\( = \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{x² નો સહગુણક}} \)
In simple words: પહેલાં આપેલ સમીકરણના અવયવ પાડો. પછી, દરેક અવયવને શૂન્ય બરાબર ગણીને \( x \) ની કિંમતો શોધો. આ \( x \) ની કિંમતો શૂન્યો કહેવાય છે. પછી, આ શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર કરો. છેલ્લે, આ સરવાળા અને ગુણાકારને બહુપદીના સહગુણકોના સૂત્ર સાથે સરખાવો.

Exam Tip: Always show both the factorization steps and the verification of the relationship between the zeroes and coefficients for full marks.

Answer:
(ii) \( 4s^2 - 4s + 1 \)
ઉત્તરઃ
\( 4s^2 - 4s + 1 = 4s^2 - 2s - 2s + 1 \)
\( = 2s(2s - 1) - 1(2s - 1) \)
\( = (2s - 1)(2s - 1) \)
\( 4s^2 - 4s + 1 \) ની કિંમત શૂન્ય લેતાં, \( 2s - 1 = 0 \) અથવા \( 2s - 1 = 0 \) થાય. એટલે કે, \( s = \frac{1}{2} \) અથવા \( s = \frac{1}{2} \). માટે, બહુપદી \( 4s^2 - 4s + 1 \) નાં શૂન્યો છે \( \frac{1}{2} \) અને \( \frac{1}{2} \) (સમાન) થાય. હવે,
શૂન્યોનો સરવાળો \( = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)
\( = \frac{-(-4)}{4} \)
\( = \frac{\text{-(s નો સહગુણક)}}{\text{s² નો સહગુણક}} \)
અને શૂન્યોનો ગુણાકાર \( = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \)
\( = \frac{1}{4} \)
\( = \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{s² નો સહગુણક}} \)
In simple words: પહેલાં બહુપદીના અવયવો પાડવા માટે મધ્યમ પદને બે ભાગમાં વહેંચો. પછી, સામાન્ય અવયવ કાઢીને શૂન્યો શોધો. ત્યારબાદ, શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર કરીને તેમને બહુપદીના સહગુણકો સાથે સરખાવીને સંબંધ ચકાસો.

Exam Tip: When both zeroes are identical, show both terms explicitly in the factorization and in the sum/product for clarity.

Answer:
(iii) \( 6x^2 - 3 - 7x \)
ઉત્તરઃ
\( 6x^2 - 7x - 3 \)
\( = 6x^2 - 9x + 2x - 3 \)
\( = 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) \)
\( = (2x - 3)(3x + 1) \)
\( 6x^2 - 7x - 3 = 0 \) લેતાં, \( 2x - 3 = 0 \) અથવા \( 3x + 1 = 0 \), એટલે કે, \( x = \frac{3}{2} \) અથવા \( x = -\frac{1}{3} \). માટે બહુપદી \( 6x^2 - 3 - 7x \) નાં શૂન્યો \( \frac{3}{2} \) અને \( -\frac{1}{3} \) થાય. હવે,
શૂન્યોનો સરવાળો \( = \frac{3}{2} + (-\frac{1}{3}) \)
\( = \frac{9 - 2}{6} \)
\( = \frac{7}{6} \)
\( = \frac{\text{-(x નો સહગુણક)}}{\text{x² નો સહગુણક}} \)
અને શૂન્યોનો ગુણાકાર \( = (\frac{3}{2}) \times (-\frac{1}{3}) \)
\( = -\frac{3}{6} \)
\( = -\frac{1}{2} \)
\( = \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{x² નો સહગુણક}} \)
In simple words: પ્રથમ, બહુપદીને યોગ્ય ક્રમમાં ગોઠવો. પછી, મધ્યમ પદના વિભાજનથી અવયવ પાડો. ત્યારબાદ, શૂન્યો શોધીને તેમનો સરવાળો અને ગુણાકાર કરો. અંતે, આ પરિણામોને સૂત્ર સાથે સરખાવીને સંબંધ ચકાસો.

Exam Tip: Remember to reorder the terms of the polynomial into standard form \(ax^2 + bx + c\) before attempting factorization.

Answer:
(iv) \( 4u^2 + 8u \)
ઉત્તરઃ
\( 4u^2 + 8u = 4u(u + 2) \)
\( 4u^2 + 8u = 0 \) લેતાં, \( 4u = 0 \) અથવા \( u + 2 = 0 \), એટલે કે, \( u = 0 \) અથવા \( u = -2 \). માટે બહુપદી \( 4u^2 + 8u \) નાં શૂન્યો \( 0 \) અને \( -2 \) થાય. હવે,
શૂન્યોનો સરવાળો \( = 0 + (-2) = -2 \)
\( = \frac{-8}{4} \)
\( = \frac{\text{-(u નો સહગુણક)}}{\text{u² નો સહગુણક}} \)
અને શૂન્યોનો ગુણાકાર \( = (0) (-2) = 0 \)
\( = \frac{0}{4} \)
\( = \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{u² નો સહગુણક}} \)
નોંધઃ બહુપદી \( 4u^2 + 8u = 4u^2 + 8u + 0 \) માં અચળ પદ \( 0 \) છે.
In simple words: આ બહુપદીમાં, \( u \) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢો. પછી, દરેક અવયવને શૂન્ય ગણીને શૂન્યો શોધો. ત્યારબાદ, શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર ગણીને તેમને સહગુણકોના ગુણોત્તર સાથે સરખાવો.

Exam Tip: For polynomials with a missing constant term (like this one), remember that one of the zeroes will always be zero.

Answer:
(v) \( t^2 - 15 \)
ઉત્તરઃ
\( t^2 - 15 = (t)^2 - (\sqrt{15})^2 \)
\( = (t + \sqrt{15}) (t - \sqrt{15}) \)
\( t^2 - 15 = 0 \) લેતાં, \( t + \sqrt{15} = 0 \) અથવા \( t - \sqrt{15} = 0 \), એટલે કે, \( t = -\sqrt{15} \) અથવા \( t = \sqrt{15} \).
માટે બહુપદી \( t^2 - 15 \) નાં શૂન્યો \( -\sqrt{15} \) અને \( \sqrt{15} \) થાય. હવે,
શૂન્યોનો સરવાળો \( = (-\sqrt{15}) + (\sqrt{15}) \)
\( = 0 \)
\( = \frac{-0}{1} \)
\( = \frac{\text{-(t નો સહગુણક)}}{\text{t² નો સહગુણક}} \)
અને શૂન્યોનો ગુણાકાર \( = (-\sqrt{15}) (\sqrt{15}) \)
\( = -15 \)
\( = \frac{-15}{1} \)
\( = \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{t² નો સહગુણક}} \)
નોંધઃ બહુપદી \( t^2 - 15 = t^2 + 0t - 15 \) માં \( t \) નો સહગુણક \( 0 \) છે.
In simple words: આ બહુપદીને \( a^2 - b^2 \) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અવયવ પાડો. પછી, દરેક અવયવને શૂન્ય ગણીને શૂન્યો શોધો. ત્યારબાદ, શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર કરીને તેમને સહગુણકો સાથે સરખાવીને સંબંધ ચકાસો.

Exam Tip: Recognize quadratic expressions of the form \(a^2 - b^2\) as a difference of squares, which factors into \((a-b)(a+b)\).

Answer:
(vi) \( 3x^2 - x - 4 \)
ઉત્તરઃ
\( 3x^2 - x - 4 = 3x^2 + 3x - 4x - 4 \)
\( = 3x(x + 1) - 4(x + 1) \)
\( = (x + 1)(3x - 4) \)
\( 3x^2 - x - 4 = 0 \) લેતાં, \( x + 1 = 0 \) અથવા \( 3x - 4 = 0 \), એટલે કે, \( x = -1 \) અથવા \( x = \frac{4}{3} \). માટે બહુપદી \( 3x^2 - x - 4 \) નાં શૂન્યો \( -1 \) અને \( \frac{4}{3} \) થાય. હવે,
શૂન્યોનો સરવાળો \( = (-1) + \frac{4}{3} \)
\( = \frac{-3 + 4}{3} \)
\( = \frac{1}{3} \)
\( = \frac{-(-1)}{3} \)
\( = \frac{\text{-(x નો સહગુણક)}}{\text{x² નો સહગુણક}} \)
અને શૂન્યોનો ગુણાકાર \( = (-1) \times \frac{4}{3} \)
\( = -\frac{4}{3} \)
\( = \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{x² નો સહગુણક}} \)
In simple words: પહેલાં, બહુપદીના અવયવો પાડવા માટે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરો. પછી, સામાન્ય અવયવ કાઢીને શૂન્યો શોધો. ત્યારબાદ, શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર ગણીને તેમને બહુપદીના સહગુણકોના સૂત્ર સાથે સરખાવીને સંબંધ ચકાસો.

Exam Tip: When dealing with fractions in the zeroes, ensure you correctly add or multiply them to verify the relationships with coefficients.

Question 2. નીચે દર્શાવેલ સંખ્યાઓ અનુક્રમે દ્વિઘાત બહુપદીનાં શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર છે. તે પરથી દ્વિઘાત બહુપદી મેળવોઃ
(i) \( \frac{1}{4}, -1 \)
(ii) \( \sqrt{2}, \frac{1}{3} \)
(iii) \( 0, \sqrt{5} \)
(iv) \( 1, 1 \)
(v) \( -\frac{1}{4}, \frac{1}{4} \)
(vi) \( 4, 1 \)
Answer:
(i) \( \frac{1}{4}, -1 \)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી \( ax^2 + bx + c \) નાં શૂન્યો \( \alpha \) અને \( \beta \) છે. આપેલ માહિતી મુજબ,
\( \alpha + \beta = \frac{1}{4} = \frac{-b}{a} \) અને \( \alpha\beta = -1 = \frac{c}{a} \)
જો \( a = 4 \), તો \( -b = 1 \implies b = -1 \) અને \( c = -4 \). આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી \( 4x^2 - x - 4 \) છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા \( k \) માટે \( k(4x^2 - x - 4) \) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.
In simple words: શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર આપેલ હોય, તો \( \alpha + \beta = -b/a \) અને \( \alpha\beta = c/a \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. \( a, b, c \) ની કિંમતો શોધીને \( ax^2 + bx + c \) સ્વરૂપની દ્વિઘાત બહુપદી બનાવો.

Exam Tip: Remember that if \(a, b, c\) are found, then \(k(ax^2 + bx + c)\) for any non-zero real \(k\) also represents the polynomial.

Answer:
(ii) \( \sqrt{2}, \frac{1}{3} \)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી \( ax^2 + bx + c \) નાં શૂન્યો \( \alpha \) અને \( \beta \) છે. આપેલ માહિતી મુજબ,
\( \alpha + \beta = \sqrt{2} = \frac{-b}{a} \) અને \( \alpha\beta = \frac{1}{3} = \frac{c}{a} \)
જો \( a = 3 \), તો \( -b = 3\sqrt{2} \implies b = -3\sqrt{2} \) અને \( c = 1 \). આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી \( 3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1 \) છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા \( k \) માટે \( k(3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1) \) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.
In simple words: શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને, \( -b/a \) અને \( c/a \) ના ગુણોત્તર બનાવો. \( a \) ની કિંમત પસંદ કરીને \( b \) અને \( c \) શોધો, અને પછી દ્વિઘાત બહુપદી રચો.

Exam Tip: To avoid fractions, choose 'a' as the least common multiple of the denominators in the expressions for \( -b/a \) and \( c/a \).

Answer:
(iii) \( 0, \sqrt{5} \)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી \( ax^2 + bx + c \) નાં શૂન્યો \( \alpha \) અને \( \beta \) છે. આપેલ માહિતી મુજબ,
\( \alpha + \beta = 0 = \frac{-b}{a} \) અને \( \alpha\beta = \sqrt{5} = \frac{c}{a} \)
જો \( a = 1 \), તો \( -b = 0 \implies b = 0 \) અને \( c = \sqrt{5} \). આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી \( x^2 + \sqrt{5} \) છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા \( k \) માટે \( k(x^2 + \sqrt{5}) \) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.
In simple words: શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર આપેલો છે. આ કિંમતોને \( -b/a \) અને \( c/a \) સૂત્રો સાથે સરખાવો. \( a \) ને \( 1 \) લઈને \( b \) અને \( c \) ની કિંમતો શોધો. અંતે, \( ax^2 + bx + c \) સ્વરૂપમાં બહુપદી બનાવો.

Exam Tip: If the sum of zeroes is zero, it implies that the coefficient of x (b) is zero, leading to a polynomial of the form \(ax^2 + c\).

Answer:
(iv) \( 1, 1 \)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી \( ax^2 + bx + c \) નાં શૂન્યો \( \alpha \) અને \( \beta \) છે. આપેલ માહિતી મુજબ,
\( \alpha + \beta = 1 = \frac{-b}{a} \) અને \( \alpha\beta = 1 = \frac{c}{a} \)
જો \( a = 1 \), તો \( -b = 1 \implies b = -1 \) અને \( c = 1 \). આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી \( x^2 - x + 1 \) છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા \( k \) માટે \( k(x^2 - x + 1) \) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.
In simple words: અહીં, શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર બંને \( 1 \) છે. \( -b/a = 1 \) અને \( c/a = 1 \) નો ઉપયોગ કરીને \( a=1 \) પસંદ કરો. પછી, \( b=-1 \) અને \( c=1 \) શોધીને દ્વિઘાત બહુપદી \( x^2 - x + 1 \) બનાવો.

Exam Tip: For simple integer values of sum and product, setting \(a=1\) usually simplifies finding \(b\) and \(c\) quickly.

Answer:
(v) \( -\frac{1}{4}, \frac{1}{4} \)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી \( ax^2 + bx + c \) નાં શૂન્યો \( \alpha \) અને \( \beta \) છે. આપેલ માહિતી મુજબ,
\( \alpha + \beta = -\frac{1}{4} = \frac{-b}{a} \) અને \( \alpha\beta = \frac{1}{4} = \frac{c}{a} \)
જો \( a = 4 \), તો \( -b = -1 \implies b = 1 \) અને \( c = 1 \). આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી \( 4x^2 + x + 1 \) છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા \( k \) માટે \( k(4x^2 + x + 1) \) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.
In simple words: શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અપૂર્ણાંકમાં આપેલા છે. \( a \) તરીકે અપૂર્ણાંકોના છેદનો લ.સા.અ. (આ કિસ્સામાં \( 4 \)) પસંદ કરો. આ રીતે \( b \) અને \( c \) શોધીને યોગ્ય દ્વિઘાત બહુપદી બનાવો.

Exam Tip: When fractions are involved, it's often easiest to choose \(a\) as the least common multiple of the denominators to convert \(b\) and \(c\) into integers.

Answer:
(vi) \( 4, 1 \)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી \( ax^2 + bx + c \) નાં શૂન્યો \( \alpha \) અને \( \beta \) છે. આપેલ માહિતી મુજબ,
\( \alpha + \beta = 4 = \frac{-b}{a} \) અને \( \alpha\beta = 1 = \frac{c}{a} \)
જો \( a = 1 \), તો \( -b = 4 \implies b = -4 \) અને \( c = 1 \). આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી \( x^2 - 4x + 1 \) છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા \( k \) માટે \( k(x^2 - 4x + 1) \) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.
In simple words: આપેલ શૂન્યોનો સરવાળો અને ગુણાકાર \( 4 \) અને \( 1 \) છે. \( a \) ને \( 1 \) ધારીને \( -b/a \) અને \( c/a \) ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો. પછી, \( b=-4 \) અને \( c=1 \) શોધીને દ્વિઘાત બહુપદી \( x^2 - 4x + 1 \) બનાવો.

Exam Tip: Always double-check your signs when calculating \(b\) from \( -b/a \). A positive sum of zeroes means \(b\) will be negative if \(a\) is positive.