GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 14 આંકડાશાસ્ત્ર Exercise 14.3

 

Question 1. નીચેનું આવૃત્તિ-વિતરણ એક વિસ્તારમાં 68 ગ્રાહકોનો માસિક વીજવપરાશ આપે છે. આ માહિતીનો મધ્યસ્થ, મધ્યક અને બહુલક શોધો અને તેમને સરખાવો.

Answer: અહીં \( h = 20 \) છે. \( a = 135 \) લઈને નીચેનું કોષ્ટક બનાવીએ:

મધ્યસ્થ:
અહીં, \( n = 68 \) માટે, \( \frac{n}{2} = \frac{68}{2} = 34 \).
સંચયી આવૃત્તિના સ્તંભ પરથી સ્પષ્ટ છે કે 34મું અવલોકન વર્ગ 125 – 145માં આવેલ છે. આથી 125 – 145 મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, \( l \) = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 125
\( cf \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 22
\( f \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 20
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 20
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ \( M = l + \left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h \)
\( = 125 + \left(\frac{34-22}{20}\right) \times 20 \)
\( = 125 + \frac{12}{20} \times 20 \)
\( = 125 + 12 \)
\( = 137 \) એકમ.

મધ્યક:
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
\( \overline{x} = a + \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \times h \)
\( = 135 + \frac{7}{68} \times 20 \)
\( = 135 + \frac{140}{68} \)
\( = 135 + 2.0588 \)
\( \approx 137.06 \) એકમ.

બહુલક:
અહીં, મહત્તમ આવૃત્તિ 20 એ વર્ગ 125 – 145ની આવૃત્તિ છે. તેથી 125 – 145 એ બહુલક વર્ગ છે.
હવે, \( l \) = બહુલક વર્ગની અધઃસીમા = 125
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 20
\( f_1 \) = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ = 20
\( f_0 \) = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ = 13
\( f_2 \) = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ = 14
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
બહુલક \( Z = l + \left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right) \times h \)
\( = 125 + \left(\frac{20-13}{2 \times 20-13-14}\right) \times 20 \)
\( = 125 + \left(\frac{7}{40-13-14}\right) \times 20 \)
\( = 125 + \left(\frac{7}{40-27}\right) \times 20 \)
\( = 125 + \left(\frac{7}{13}\right) \times 20 \)
\( = 125 + \frac{140}{13} \)
\( = 125 + 10.769 \)
\( \approx 135.77 \) એકમ.
આમ, માહિતીનો મધ્યસ્થ, મધ્યક અને બહુલક અનુક્રમે 137 એકમ, 137.06 એકમ અને 135.77 એકમ છે.

સરખામણી:
મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનાં ત્રણેય માપની સરખામણી કરતાં જણાય છે કે તે ત્રણેયની કિંમત લગભગ સમાન છે.
In simple words: પહેલા આપણે આપેલી માહિતીનો મધ્યસ્થ, મધ્યક અને બહુલક શોધ્યા. પછી તેમના પરિણામોની તુલના કરી. આપણે જોયું કે આ ત્રણેય માપોની કિંમતો લગભગ સરખી જ છે.

Exam Tip: મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલકની ગણતરી માટેના સૂત્રો અને દરેક પદનો અર્થ સ્પષ્ટ રીતે યાદ રાખો. આ દાખલામાં, દરેક ગણતરી માટે યોગ્ય કોષ્ટક બનાવવું એ ભૂલ ટાળવા માટે ખૂબ જ જરૂરી છે.

 

Question 2. જો નીચે આપેલ આવૃત્તિ-વિતરણનો મધ્યસ્થ 28.5 હોય, તો \( x \) અને \( y \) ઇનાં મૂલ્યો શોધો:

Answer: અહીં, કુલ અવલોકનો \( n = 60 \) છે.\( \frac{n}{2} = \frac{60}{2} = 30 \)
\( 45 + x + y = 60 \)
\( x + y = 15 \) ... (1)
મધ્યસ્થ 28.5 છે, જે વર્ગ 20 – 30માં સમાયેલ છે. આથી 20 – 30 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, \( l \) = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 20
\( cf \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = \( 5 + x \)
\( f \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 20
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 10
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ \( M = l + \left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h \)
\( 28.5 = 20 + \left(\frac{30-(5+x)}{20}\right) \times 10 \)
\( 28.5 - 20 = \frac{25-x}{2} \)
\( 8.5 = \frac{25-x}{2} \)
\( 17 = 25 - x \)
\( x = 25 - 17 \)
\( x = 8 \)
હવે, (1) પરથી \( 8 + y = 15 \) મળે.
\( y = 15 - 8 \)
\( y = 7 \)
આમ, \( x \) અને \( y \) નાં મૂલ્યો અનુક્રમે 8 અને 7 છે.
In simple words: આપણે મધ્યસ્થના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( x \) અને \( y \) ની કિંમતો શોધી. પહેલા સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક બનાવ્યું, પછી \( n/2 \) શોધ્યો અને મધ્યસ્થ વર્ગ નક્કી કર્યો. પછી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને ગણતરી કરી.

Exam Tip: ખૂટતી આવૃત્તિઓ શોધતી વખતે, કુલ આવૃત્તિ \( n \) અને સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટકનો સાચો ઉપયોગ કરવો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. મધ્યસ્થ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતી વખતે ગણતરીમાં ભૂલ ન થાય તેનું ખાસ ધ્યાન રાખો.

 

Question 3. એક જીવનવીમા એજન્ટ, 100 પૉલિસી-ધારકોની ઉંમર માટે નીચેનું વિતરણ પ્રાપ્ત કર્યું. જેમની ઉંમર 18 વર્ષથી વધુ, પરંતુ 60 વર્ષથી ઓછી હોય તેવી જ વ્યક્તિઓને પૉલિસીઓ આપવામાં આવી હોય, તો તેમની મધ્યસ્થ ઉંમર શોધો.

Answer: અહીં, આપેલ આવૃત્તિ-વિતરણ 'થી ઓછા' પ્રકારનું આવૃત્તિ-વિતરણ છે. તે પરથી નીચે પ્રમાણેનું સતત આવૃત્તિ-વિતરણ સહેલાઈથી મળે. પૉલિસી 18 વર્ષથી વધુ ઉંમરવાળી વ્યક્તિઓને આપવામાં આવે છે. તેથી પ્રથમ વર્ગ 18 – 20 થશે.અહીં, \( n = 100 \)
\( \frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50 \)
50મું અવલોકન વર્ગ 35 – 40માં સમાયેલું હોવાથી 35 – 40 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, \( l \) = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 35
\( cf \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 45
\( f \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 33
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 5
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ \( M = l + \left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h \)
\( = 35 + \left(\frac{50-45}{33}\right) \times 5 \)
\( = 35 + \frac{5}{33} \times 5 \)
\( = 35 + \frac{25}{33} \)
\( = 35 + 0.7575 \)
\( \approx 35.76 \) વર્ષ.
આમ, પૉલિસી-ધારકોની મધ્યસ્થ ઉંમર 35.76 વર્ષ છે.
નોંધ:
અહીં, પ્રથમ વર્ગની વર્ગલંબાઈ બીજા વર્ગની વર્ગલંબાઈથી અલગ પડે છે. તેથી સૂત્ર વાપરવાની શરતનું પાલન થતું નથી. પરંતુ મધ્યસ્થની કિંમત પર છેડાની કિંમતો(ખૂબ નાની અથવા ખૂબ મોટી કિંમતો)ની ખાસ અસર પડતી ન હોવાથી, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
In simple words: પહેલા આપણે આપેલા ડેટાને યોગ્ય વર્ગોમાં ગોઠવીને સંચયી આવૃત્તિનું કોષ્ટક બનાવ્યું. પછી મધ્યસ્થ વર્ગ શોધ્યો અને સૂત્રમાં બધી કિંમતો મૂકી. ગણતરી કરીને પૉલિસી ધારકોની મધ્યસ્થ ઉંમર 35.76 વર્ષ મળી. ભલે વર્ગલંબાઈમાં થોડો તફાવત હતો, તેમ છતાં મધ્યસ્થની ગણતરી પર તેની મોટી અસર નહોતી થતી.

Exam Tip: 'થી ઓછા' અથવા 'થી વધુ' પ્રકારના સંચયી આવૃત્તિ વિતરણને હંમેશા સતત વર્ગોમાં રૂપાંતરિત કરો. મધ્યસ્થ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા પહેલા વર્ગોની નિયમિતતા તપાસો અને જો જરૂરી હોય તો નોંધ ઉમેરો.

 

Question 4. એક છોડનાં 40 પાંદડાઓની લંબાઈ ખૂબ જ નજીકના મિલિમીટર સુધી માપવામાં આવી અને મેળવેલ માહિતી નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવી છે :

પાંદડાઓની મધ્યસ્થ લંબાઈ શોધો.
(સૂચન: મધ્યસ્થ શોધવા માટે માહિતીને સતત વર્ગોમાં ફેરવવાની જરૂર છે, કારણ કે સૂત્ર સતત વર્ગો માટે છે. પછી વર્ગો 117.5 – 126.5, 126.5 – 135.5, ..., 171.5 – 180.5માં પરિવર્તિત થાય છે.)

Answer: માહિતીને સતત વર્ગોમાં ફેરવીને નીચેનું કોષ્ટક બનાવીએ :અહીં, \( n = 40 \)
\( \frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)
20મું અવલોકન વર્ગ 144.5 – 153.5માં સમાયેલું છે. આથી 144.5 – 153.5 મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, \( l \) = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 144.5
\( cf \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 17
\( f \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 12
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 9
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ \( M = l + \left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h \)
\( = 144.5 + \left(\frac{20-17}{12}\right) \times 9 \)
\( = 144.5 + \frac{3}{12} \times 9 \)
\( = 144.5 + \frac{27}{12} \)
\( = 144.5 + 2.25 \)
\( = 146.75 \)
આમ, પાંદડાઓની મધ્યસ્થ લંબાઈ 146.75 મિમી છે.
In simple words: પાંદડાઓની લંબાઈ શોધવા માટે, આપણે પહેલા અસતત વર્ગોને સતત વર્ગોમાં બદલ્યા. પછી સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક બનાવ્યું અને મધ્યસ્થ વર્ગ નક્કી કર્યો. છેલ્લે, મધ્યસ્થના સૂત્રમાં બધી કિંમતો મૂકીને ગણતરી કરી, જેથી પાંદડાઓની સરેરાશ લંબાઈ 146.75 મિમી મળી.

Exam Tip: અસતત વર્ગોને સતત વર્ગોમાં રૂપાંતરિત કરતી વખતે, ઉપલી સીમા અને નીચલી સીમા વચ્ચેના તફાવતને ધ્યાનમાં લઈને 0.5 ઉમેરવા કે બાદ કરવા તે સમજો. ગણતરી કરતી વખતે દશાંશ સ્થાનોની ચોકસાઈ જાળવો.

 

Question 5. નીચેનું કોષ્ટક 400 નિઓન ગોળાના આયુષ્યનું આવૃત્તિ-વિતરણ આપે છે:

ગોળાના આયુષ્યનો મધ્યસ્થ શોધો.

Answer:અહીં, \( n = 400 \)
\( \frac{n}{2} = \frac{400}{2} = 200 \)
200મું અવલોકન વર્ગ 3000 – 3500માં સમાયેલું હોવાથી 3000 – 3500 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, \( l \) = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 3000
\( cf \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 130
\( f \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 86
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 500
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ \( M = l + \left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h \)
\( = 3000 + \left(\frac{200-130}{86}\right) \times 500 \)
\( = 3000 + \frac{70}{86} \times 500 \)
\( = 3000 + \frac{35000}{86} \)
\( = 3000 + 406.976 \)
\( \approx 3406.98 \) કલાક.
આમ, ગોળાના આયુષ્યનો મધ્યસ્થ 3406.98 કલાક છે.
In simple words: આ દાખલામાં આપણે 400 નિઓન ગોળાના આયુષ્યનો મધ્યસ્થ શોધ્યો. પહેલા આપણે સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક બનાવ્યું, પછી \( n/2 \) ની મદદથી મધ્યસ્થ વર્ગ નક્કી કર્યો. પછી મધ્યસ્થના સૂત્રમાં બધી કિંમતો મૂકીને ગણતરી કરી અને ગોળાના આયુષ્યનો મધ્યસ્થ 3406.98 કલાક મળ્યો.

Exam Tip: મોટા સંખ્યાઓવાળા દાખલાઓમાં, ગણતરી કરતી વખતે ચોકસાઈ જાળવવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. \( \frac{n}{2} \) શોધ્યા પછી મધ્યસ્થ વર્ગ સાચો પસંદ કરવામાં ભૂલ ન થાય તેનું ધ્યાન રાખો.

 

Question 6. સ્થાનિક ટેલિફોન યાદીમાંથી 100 અટક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવી હતી અને અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાં અટકોમાં આવતા અક્ષરોની સંખ્યાનું આવૃત્તિ-વિતરણ નીચે પ્રમાણે મેળવ્યું હતું:

અટકોમાં આવતા અક્ષરોની સંખ્યાનો મધ્યસ્થ શોધો. અટકોમાં આવતા અક્ષરોની સંખ્યાનો મધ્યક પણ શોધો. અટકોમાં આવતા અક્ષરોની સંખ્યાનો બહુલક શોધો.

Answer: અહીં, \( h = 3 \) છે. \( a = 8.5 \) લઈને નીચેનું કોષ્ટક બનાવીએ :

મધ્યસ્થ:
અહીં, \( n = 100 \)
\( \frac{n}{2} = \frac{100}{2} = 50 \)
50મું અવલોકન વર્ગ 7 – 10માં સમાયેલું હોવાથી 7 – 10 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, \( l \) = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 7
\( cf \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 36
\( f \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 40
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 3
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ \( M = l + \left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h \)
\( = 7 + \left(\frac{50-36}{40}\right) \times 3 \)
\( = 7 + \frac{14}{40} \times 3 \)
\( = 7 + \frac{42}{40} \)
\( = 7 + 1.05 \)
\( = 8.05 \) અક્ષરો.

મધ્યક:
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યક \( \overline{x} = a + \frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i} \times h \)
\( = 8.5 + \frac{-6}{100} \times 3 \)
\( = 8.5 - \frac{18}{100} \)
\( = 8.5 - 0.18 \)
\( = 8.32 \) અક્ષરો.

બહુલક:
અહીં, મહત્તમ આવૃત્તિ 40 એ વર્ગ 7 – 10ની આવૃત્તિ હોવાથી 7 – 10 એ બહુલક વર્ગ છે.
હવે, \( l \) = બહુલક વર્ગની અધઃસીમા = 7
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 3
\( f_1 \) = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ = 40
\( f_0 \) = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ = 30
\( f_2 \) = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ = 16
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
બહુલક \( Z = l + \left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right) \times h \)
\( = 7 + \left(\frac{40-30}{2 \times 40-30-16}\right) \times 3 \)
\( = 7 + \left(\frac{10}{80-30-16}\right) \times 3 \)
\( = 7 + \left(\frac{10}{80-46}\right) \times 3 \)
\( = 7 + \frac{10}{34} \times 3 \)
\( = 7 + \frac{30}{34} \)
\( = 7 + 0.8823 \)
\( \approx 7.88 \) અક્ષરો.
આમ, અટકોમાં આવતા અક્ષરોની સંખ્યાનો મધ્યસ્થ 8.05 અક્ષરો, મધ્યક 8.32 અક્ષરો અને બહુલક 7.88 અક્ષરો છે.
In simple words: આપણે 100 અટકોમાં અક્ષરોની સંખ્યાનો મધ્યસ્થ, મધ્યક અને બહુલક શોધ્યો. પહેલા સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક અને \( f_i u_i \) કોષ્ટક બનાવ્યા. પછી દરેકના સૂત્રોમાં કિંમતો મૂકીને ગણતરી કરી. મધ્યસ્થ 8.05 અક્ષરો, મધ્યક 8.32 અક્ષરો અને બહુલક 7.88 અક્ષરો મળ્યા.

Exam Tip: જ્યારે એક જ પ્રશ્નમાં મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક ત્રણેય શોધવાનું પૂછાય, ત્યારે દરેક માટે અલગ-અલગ ગણતરી કોષ્ટકો બનાવો. ભૂલ વગર ગણતરીઓ કરવા માટે પગથિયાં સ્પષ્ટ રાખો.

 

Question 7. નીચેનું વિતરણ એક ધોરણના 30 વિદ્યાર્થીઓનાં વજન આપે છે. વિદ્યાર્થીઓના વજનનો મધ્યસ્થ શોધો.

Answer:અહીં, \( n = 30 \)
\( \frac{n}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
15મું અવલોકન વર્ગ 55 – 60માં સમાયેલું હોવાથી 55 – 60 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, \( l \) = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 55
\( cf \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 13
\( f \) = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 6
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 5
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ \( M = l + \left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h \)
\( = 55 + \left(\frac{15-13}{6}\right) \times 5 \)
\( = 55 + \frac{2}{6} \times 5 \)
\( = 55 + \frac{10}{6} \)
\( = 55 + 1.666 \)
\( \approx 56.67 \)
આમ, વિદ્યાર્થીઓનાં વજનનો મધ્યસ્થ 56.67 કિગ્રા છે.
In simple words: પહેલા આપણે વિદ્યાર્થીઓના વજનનું સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક બનાવ્યું. પછી \( n/2 \) ની મદદથી મધ્યસ્થ વર્ગ નક્કી કર્યો. છેલ્લે, મધ્યસ્થના સૂત્રમાં બધી કિંમતો મૂકીને ગણતરી કરી, જેથી વિદ્યાર્થીઓના વજનનો મધ્યસ્થ 56.67 કિગ્રા મળ્યો.

Exam Tip: મધ્યસ્થની ગણતરીમાં, \( \frac{n}{2} \) ની કિંમતનો ઉપયોગ કરીને મધ્યસ્થ વર્ગની પસંદગી ખૂબ મહત્વપૂર્ણ છે. દરેક પદને કાળજીપૂર્વક ઓળખો અને સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને સાચી ગણતરી કરો.