GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 14 આંકડાશાસ્ત્ર Exercise 14.2

 

Question 1. નીચેનું કોષ્ટક એક વર્ષ દરમિયાન એક દવાખાનામાં દાખલ થયેલા દર્દીઓની ઉંમર દર્શાવે છે: ઉપર આપેલ માહિતી માટે બહુલક અને મધ્યક શોધો. કેન્દ્રીય મધ્યવર્તી સ્થિતિનાં આ બે માપોની સરખામણી અને અર્થઘટન કરો.

Answer:
**બહુલક:**
અહીં, સૌથી વધુ આવૃત્તિ 23 એ વર્ગ 35 – 45ની આવૃત્તિ છે.
આથી 35 – 45 એ બહુલક વર્ગ ગણાય છે.
હવે, \( I \) = બહુલક વર્ગની અધ:સીમા = 35
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 10
\( f_1 \) = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ = 23
\( f_0 \) = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ = 21
\( f_2 \) = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ = 14
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતાં,
\( Z = I + \left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right) \times h \)
\( = 35 + \left(\frac{23-21}{2 \times 23-21-14}\right) \times 10 \)
\( = 35 + \frac{2 \times 10}{11} \)
\( = 36.8 \) (લગભગ)

**મધ્યક:**
\( a = 40 \) અને \( h = 10 \) લઈને પદ-વિચલનની રીતથી ગણતરી કરવા નીચેનું કોષ્ટક રચીએ:
સૂત્રમાં કિંમતો દાખલ કરતાં,
\( \bar{x} = a + \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \times h \)
\( = 40 + \frac{-37}{80} \times 10 \)
\( = 35.37 \) (લગભગ)

આમ, આ ડેટાનો બહુલક 36.8 વર્ષ છે અને મધ્યક 35.37 વર્ષ છે.
**અર્થઘટન:**
ઉપર મળેલાં પરિણામો બતાવે છે કે હોસ્પિટલમાં દાખલ થયેલા દર્દીઓ પૈકી સૌથી વધુ દર્દીઓની ઉંમર 36.8 વર્ષ છે. અને હોસ્પિટલમાં દાખલ થયેલા બધા જ દર્દીઓની સરેરાશ ઉંમર 35.37 વર્ષ છે.
In simple words: ડેટાનો બહુલક 36.8 વર્ષ છે અને તેનો મધ્યક 35.37 વર્ષ છે. આનો મતલબ છે કે મોટાભાગના દર્દીઓની ઉંમર 36.8 વર્ષ છે અને હોસ્પિટલમાં દાખલ થયેલા બધા દર્દીઓની સરેરાશ ઉંમર 35.37 વર્ષ છે.

Exam Tip: Always make sure to calculate both the mode and the mean as requested, and then interpret their meanings in the context of the problem.

 

Question 2. નીચેની માહિતી 225 વીજઉપકરણોના આયુષ્યની (કલાકોમાં) પ્રાપ્ત માહિતી દર્શાવે છે : આયુષ્યનો બહુલક નક્કી કરો.

Answer:
અહીં, મહત્તમ આવૃત્તિ 61 એ વર્ગ 60 – 80ની આવૃત્તિ હોવાથી, 60 – 80 એ બહુલક વર્ગ છે.
હવે, \( I \) = બહુલક વર્ગની અધ:સીમા = 60
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 20
\( f_1 \) = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ = 61
\( f_0 \) = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ = 52
\( f_2 \) = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ = 38
સૂત્રમાં કિંમતો દાખલ કરતાં,
\( Z = I + \left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right) \times h \)
\( = 60 + \left(\frac{61-52}{2 \times 61-52-38}\right) \times 20 \)
\( = 60 + \frac{9 \times 20}{32} \)
\( = 65.625 \)
આમ, ઉપકરણોના આયુષ્યનો બહુલક 65.625 કલાક છે.
In simple words: સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ 60-80 છે. સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા, વીજઉપકરણોના આયુષ્યનો બહુલક 65.625 કલાક મળે છે.

Exam Tip: Ensure correct identification of \(f_0\), \(f_1\), and \(f_2\) from the frequency table for accurate mode calculation.

 

Question 3. નીચેની માહિતી એક ગામનાં 200 કુટુંબો માટે તેમના ઘર ચલાવવા માટે કુલ માસિક ખર્ચનું આવૃત્તિ-વિતરણ દર્શાવે છે. કુટુંબોના માસિક ખર્ચનો બહુલક શોધો તથા કુટુંબોના માસિક ખર્ચનો મધ્યક શોધો.

Answer:
**બહુલક:**
અહીં, સૌથી વધુ આવૃત્તિ 40 એ વર્ગ 1500 – 2000ની આવૃત્તિ હોવાથી, વર્ગ 1500 – 2000 એ બહુલક વર્ગ છે.
હવે, \( I \) = બહુલક વર્ગની અધ:સીમા = 1500
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 500
\( f_1 \) = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ = 40
\( f_0 \) = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ = 24
\( f_2 \) = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ = 33
સૂત્રમાં કિંમતો દાખલ કરતાં,
\( Z = I + \left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right) \times h \)
\( = 1500 + \left(\frac{40-24}{2 \times 40-24-33}\right) \times 500 \)
\( = 1500 + \frac{16 \times 500}{23} \)
\( = 1847.83 \)

**મધ્યક:**
\( a = 2750 \) અને \( h = 500 \) લઈને પદ-વિચલનની રીતથી ગણતરી કરવા નીચેનું કોષ્ટક રચીએ:
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
\( \bar{x} = a + \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \times h \)
\( = 2750 + \frac{-35}{200} \times 500 \)
\( = 2662.50 \)
આમ, કુટુંબોના માસિક ખર્ચનો બહુલક Rs. 1847.83 છે અને મધ્યક Rs. 2662.50 છે.
In simple words: ગામના કુટુંબોના માસિક ખર્ચનો બહુલક Rs. 1847.83 છે, જેનો અર્થ છે કે સૌથી વધુ કુટુંબો આ રકમનો ખર્ચ કરે છે. મધ્યક Rs. 2662.50 છે, જે બધા કુટુંબોનો સરેરાશ માસિક ખર્ચ દર્શાવે છે.

Exam Tip: Be careful with signs when calculating \( \sum f_i u_i \) and ensure correct substitution of values into the formulas for both mode and mean.

 

Question 4. નીચેનું વિતરણ ભારતની ઉચ્ચતર માધ્યમિક શાળાઓમાં રાજ્યવાર શિક્ષક-વિદ્યાર્થી ગુણોત્તરનું વિતરણ આપે છે. આ માહિતીનો બહુલક અને મધ્યક શોધો. આ બે માપનું અર્થઘટન કરો.

Answer:
**બહુલક:**
અહીં, મહત્તમ આવૃત્તિ 10 એ વર્ગ 30 – 35ની આવૃત્તિ હોવાથી, વર્ગ 30 – 35 એ બહુલક વર્ગ છે.
હવે, \( I \) = બહુલક વર્ગની અધ:સીમા = 30
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 5
\( f_1 \) = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ = 10
\( f_0 \) = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ = 9
\( f_2 \) = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ = 3
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
\( Z = I + \left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right) \times h \)
\( = 30 + \left(\frac{10-9}{2 \times 10-9-3}\right) \times 5 \)
\( = 30 + \frac{1 \times 5}{8} \)
\( = 30 + 0.625 \)
\( = 30.625 \)

**મધ્યક:**
\( a = 32.5 \) અને \( h = 5 \) લઈને પદ-વિચલનની રીતથી ગણતરી કરવા નીચેનું કોષ્ટક રચીએ:
સૂત્રમાં કિંમતો દાખલ કરતાં,
\( \bar{x} = a + \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \times h \)
\( = 32.5 + \frac{-23}{35} \times 5 \)
\( = 32.5 - \frac{23}{7} \)
\( = 32.5 - 3.2857 \)
\( = 29.2143 \approx 29.2 \)

આમ, આપેલ માહિતીનો બહુલક 30.6 છે અને મધ્યક 29.2 છે.
**અર્થઘટન:**
ઉપરોક્ત પરિણામો બતાવે છે કે મોટા ભાગના રાજ્યો/કેન્દ્રશાસિત પ્રદેશોમાં શિક્ષકદીઠ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા 30.6 છે અને શિક્ષકદીઠ સરેરાશ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા 29.2 છે.
In simple words: બહુલક 30.6 સૂચવે છે કે મોટાભાગના રાજ્યોમાં એક શિક્ષક દીઠ 30.6 વિદ્યાર્થીઓ છે, જ્યારે મધ્યક 29.2 બતાવે છે કે સરેરાશ 29.2 વિદ્યાર્થીઓ એક શિક્ષક દીઠ જોવા મળે છે.

Exam Tip: Always state your final values for mode and mean clearly, along with their units, and then provide a concise interpretation of what those values mean in the context of the given problem.

 

Question 5. નીચે આપેલ આવૃત્તિ-વિતરણ વિશ્વના કેટલાક શ્રેષ્ઠ બૅટ્સમૅનો દ્વારા એક દિવસીય આંતરરાષ્ટ્રીય મૅચોમાં નોંધાવેલ રનની સંખ્યા આપે છે:

Answer:
અહીં, સૌથી વધુ આવૃત્તિ 18 એ વર્ગ 4000 – 5000ની આવૃત્તિ હોવાથી, વર્ગ 4000 – 5000 એ બહુલક વર્ગ છે.
હવે, \( I \) = બહુલક વર્ગની અધ:સીમા = 4000
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 1000
\( f_1 \) = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ = 18
\( f_0 \) = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ = 4
\( f_2 \) = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ = 9
સૂત્રમાં કિંમતો દાખલ કરતાં,
\( Z = I + \left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right) \times h \)
\( = 4000 + \left(\frac{18-4}{2 \times 18-4-9}\right) \times 1000 \)
\( = 4000 + \frac{14}{36-13} \times 1000 \)
\( = 4000 + \frac{14}{23} \times 1000 \)
\( = 4000 + 608.695 \)
\( = 4608.7 \) (લગભગ)
આમ, આપેલ માહિતીનો બહુલક 4608.7 રન છે.
In simple words: સૌથી વધુ બેટ્સમેનોએ 4000-5000 રનની વચ્ચે સ્કોર કર્યો છે. ગણતરી કરતા, બેટ્સમેનો દ્વારા નોંધાવેલ રનનો બહુલક આશરે 4608.7 રન છે.

Exam Tip: For large class intervals like 1000, double-check your arithmetic, especially in the denominator of the mode formula, to avoid calculation errors.

 

Question 6. એક વિદ્યાર્થીએ પ્રત્યેક 3 મિનિટનો એક, એવા 100 સમયગાળાઓ માટે રસ્તા પરની એક જગ્યાએથી પસાર થતી ગાડીઓની સંખ્યાની નોંધ કરી અને તેને નીચે આપેલ કોષ્ટકમાં સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં દર્શાવી છે. આ માહિતીનો બહુલક શોધો.

Answer:
અહીં, સૌથી વધુ આવૃત્તિ 20 એ વર્ગ 40 – 50ની આવૃત્તિ હોવાથી, વર્ગ 40 – 50 એ બહુલક વર્ગ છે.
હવે, \( I \) = બહુલક વર્ગની અધ:સીમા = 40
\( h \) = વર્ગની લંબાઈ = 10
\( f_1 \) = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ = 20
\( f_0 \) = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ = 12
\( f_2 \) = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ = 11
સૂત્રમાં કિંમતો દાખલ કરતાં,
\( Z = I + \left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right) \times h \)
\( = 40 + \left(\frac{20-12}{2 \times 20-12-11}\right) \times 10 \)
\( = 40 + \frac{8}{40-23} \times 10 \)
\( = 40 + \frac{8}{17} \times 10 \)
\( = 40 + \frac{80}{17} \)
\( = 40 + 4.7058 \)
\( = 44.7058 \approx 44.7 \)
આમ, આપેલ માહિતીનો બહુલક 44.7 ગાડીઓ છે.
In simple words: સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ 40-50 છે. બહુલક માટેના સૂત્રમાં કિંમતો દાખલ કરતાં, ગાડીઓની સંખ્યાનો બહુલક આશરે 44.7 મળે છે.

Exam Tip: When the class interval is small, the calculated mode will be more precise. Always ensure the mode falls within the modal class (40-50 in this case).