GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Exercise 13.4

(જો \( \pi \) નું મૂલ્ય આપેલ ન હોય, તો \( \pi = \frac{22}{7} \) લો.)

Question 1. 14 સેમી ઊંચાઈવાળા પીવાના પાણીનો પ્યાલો શંકુના આડછેદના આકારનો છે. બંને વર્તુળાકાર છેડાના વ્યાસ 4 સેમી અને 2 સેમી હોય, તો આ પ્યાલાની ક્ષમતા શોધો.
Answer: આપેલ શંકુના આડછેદ આકારના પ્યાલા માટે, મોટી ત્રિજ્યા \( r_1 = \frac{4}{2} \) સેમી = 2 સેમી, નાની ત્રિજ્યા \( r_2 = \frac{2}{2} \) સેમી = 1 સેમી અને ઊંચાઈ \( h = 14 \) સેમી છે.
પ્યાલાની ક્ષમતા = શંકુના આડછેદનું ઘનફળ
\( = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 (2^2 + 1^2 + 2 \times 1) \) સેમી\(^3\)
\( = \frac{1}{3} \times 44 \times 7 \) સેમી\(^3\)
\( = \frac{308}{3} \) સેમી\(^3\)
\( = 102\frac{2}{3} \) સેમી\(^3\)
આમ, આપેલ પ્યાલાની ક્ષમતા \( 102\frac{2}{3} \) સેમી\(^3\) છે.
In simple words: આપેલો કપ શંકુના આકારનો છે. તેની મોટી અને નાની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે 2 સેમી અને 1 સેમી છે, અને ઊંચાઈ 14 સેમી છે. આપણે આ કપની કુલ જગ્યા (ક્ષમતા) શોધવા માટે શંકુના આડછેદના ઘનફળનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ. ગણતરી કરતા આપણને \( 102\frac{2}{3} \) ઘન સેમીની ક્ષમતા મળે છે.

Exam Tip: શંકુના આડછેદના ઘનફળનું સૂત્ર યાદ રાખો અને વ્યાસને ત્રિજ્યામાં બદલવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 2. એક શંકુના આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ 4 સેમી છે તથા તેના વર્તુળાકાર છેડાની પરિમિતિ (પરિઘ) 18 સેમી અને 6 સેમી છે, તો શંકુના આડછેદની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: આપેલ શંકુના આડછેદ માટે, તિર્યક ઊંચાઈ \( l = 4 \) સેમી છે. મોટા વર્તુળાકાર છેડાનો પરિઘ \( C_1 = 18 \) સેમી અને નાના વર્તુળાકાર છેડાનો પરિઘ \( C_2 = 6 \) સેમી છે.
શંકુના આડછેદની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi l (r_1 + r_2) \)
\( = \frac{1}{2} l (2 \pi r_1 + 2 \pi r_2) \)
\( = \frac{1}{2} l (C_1 + C_2) \)
\( = \frac{4}{2} (18 + 6) \) સેમી\(^2\)
\( = 2 \times 24 \) સેમી\(^2\)
\( = 48 \) સેમી\(^2\)
આમ, આપેલ શંકુના આડછેદની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ 48 સેમી\(^2\) છે.
In simple words: અહીં એક શંકુના આડછેદની ત્રાંસી ઊંચાઈ 4 સેમી છે. તેના બંને ગોળ છેડાનો પરિઘ 18 સેમી અને 6 સેમી છે. વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે બંને પરિઘના સરવાળાના અડધા અને ત્રાંસી ઊંચાઈના ગુણાકાર જેટલું થાય છે. ગણતરી પછી, આપણને 48 ચોરસ સેમી મળે છે.

Exam Tip: શંકુના આડછેદની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, ત્રિજ્યાને બદલે સીધા પરિઘનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

Question 3. એક તુર્કી ટોપીનો આકાર શંકુના આડછેદ જેવો છે. (જુઓ આકૃતિ) જો તેની ખુલ્લી બાજુની ત્રિજ્યા 10 સેમી અને ઉપરની બાજુના વર્તુળની ત્રિજ્યા 4 સેમી હોય અને તિર્યક ઊંચાઈ 15 સેમી હોય, તો તેને બનાવવા માટે વપરાતા કાપડનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: શંકુના આડછેદ આકારની તુર્કી ટોપી માટે, મોટી ત્રિજ્યા \( r_1 = 10 \) સેમી, નાની ત્રિજ્યા \( r_2 = 4 \) સેમી અને તિર્યક ઊંચાઈ \( l = 15 \) સેમી છે.
તુર્કી ટોપી બનાવવા માટે વપરાતા કાપડનું ક્ષેત્રફળ = શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + નાના વર્તુળાકાર છેડાનું ક્ષેત્રફળ
\( = \pi l (r_1 + r_2) + \pi r_2^2 \)
\( = \pi [l(r_1 + r_2) + r_2^2] \)
\( = \frac{22}{7} [15(10 + 4) + 4^2] \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{22}{7} [15(14) + 16] \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{22}{7} [210 + 16] \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{22}{7} \times 226 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{4972}{7} \) સેમી\(^2\)
\( = 710\frac{2}{7} \) સેમી\(^2\)
આમ, તુર્કી ટોપી બનાવવા માટે વપરાતા કાપડનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( 710\frac{2}{7} \) સેમી\(^2\) થાય.
In simple words: તુર્કી ટોપી શંકુના આડછેદ જેવી છે. તેની મોટી ત્રિજ્યા 10 સેમી, નાની ત્રિજ્યા 4 સેમી અને ત્રાંસી ઊંચાઈ 15 સેમી છે. ટોપી બનાવવા માટે જરૂરી કાપડ શોધવા, આપણે આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને ઉપરના નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ઉમેરીએ છીએ. ગણતરી કરતા આપણને \( 710\frac{2}{7} \) ચોરસ સેમી કાપડ મળે છે.

Exam Tip: તુર્કી ટોપીમાં ઉપરનો ભાગ બંધ હોય છે, તેથી નાના વર્તુળના ક્ષેત્રફળને પણ કુલ સપાટીમાં ઉમેરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 4. એક વાસણ એક ધાતુની શીટમાંથી બનાવવામાં આવ્યું છે. તે ઉપરથી ખુલ્લું છે અને શંકુના આડછેદ જેવા આકારનું છે. તેની ઊંચાઈ 16 સેમી તથા બંને અંત્ય વર્તુળોની નીચેની અને ઉપરની ત્રિજ્યા અનુક્રમે 8 સેમી અને 20 સેમી છે. દૂધથી સંપૂર્ણ ભરેલા વાસણમાં Rs. 20 પ્રતિ લિટર કિંમતવાળા આ વાસણમાં સમાઈ શકતા દૂધની કિંમત શોધો. આ વાસણ બનાવવા માટે વપરાયેલ ધાતુની શીટની કિંમત Rs. 8 પ્રતિ 100 સેમી\(^2\)ના દરે શોધો. (\( \pi = 3.14 \) લો.)
Answer: શંકુના આડછેદ આકારના વાસણ માટે, મોટી ત્રિજ્યા \( r_1 = 20 \) સેમી, નાની ત્રિજ્યા \( r_2 = 8 \) સેમી અને ઊંચાઈ \( h = 16 \) સેમી છે.
તિર્યક ઊંચાઈ \( l = \sqrt{h^2+(r_1-r_2)^2} \)
\( = \sqrt{16^2+(20-8)^2} \) સેમી
\( = \sqrt{256+144} \) સેમી
\( = \sqrt{400} \) સેમી
\( = 20 \) સેમી
દૂધનું ઘનફળ = શંકુના આડછેદનું ઘનફળ
\( = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) \) સેમી\(^3\)
\( = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times (20^2 + 8^2 + 20 \times 8) \) સેમી\(^3\)
\( = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times (400 + 64 + 160) \) સેમી\(^3\)
\( = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 16 \times 624 \) સેમી\(^3\)
\( = 10449.92 \) સેમી\(^3\)
\( = \frac{10449.92}{1000} \) લિટર (1 લિટર = 1000 સેમી\(^3\))
\( = 10.45 \) લિટર
1 લિટર દૂધની કિંમત = Rs. 20
\(\implies \) 10.45 લિટર દૂધની કિંમત \( = \) Rs. \((10.45 \times 20) = \) Rs. 209
વાસણ બનાવવા માટે વપરાયેલ ધાતુની શીટનું ક્ષેત્રફળ = શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + તેના નાના છેડાનું ક્ષેત્રફળ (ઉપરનો ભાગ ખુલ્લો છે)
\( = \pi l (r_1 + r_2) + \pi r_2^2 \)
\( = \pi [l(r_1 + r_2) + r_2^2] \)
\( = 3.14 [20(20 + 8) + 8^2] \) સેમી\(^2\)
\( = 3.14 [20(28) + 64] \) સેમી\(^2\)
\( = 3.14 [560 + 64] \) સેમી\(^2\)
\( = 3.14 [624] \) સેમી\(^2\)
\( = 1959.36 \) સેમી\(^2\)
100 સેમી\(^2\) ધાતુની શીટની કિંમત = Rs. 8
\(\implies \) 1959.36 સેમી\(^2\) ધાતુની શીટની કિંમત \( = \) Rs. \( \left(\frac{1959.36 \times 8}{100}\right) \)
\( = \) Rs. 156.75
આમ, સંપૂર્ણ ભરેલા વાસણમાં સમાતા દૂધની કિંમત Rs. 209 થાય છે અને વાસણ બનાવવા માટે વપરાયેલ ધાતુની શીટની કિંમત Rs. 156.75 થાય છે.
In simple words: એક વાસણ શંકુના આડછેદ આકારનું છે અને ઉપરથી ખુલ્લું છે. તેની ઊંચાઈ, મોટી અને નાની ત્રિજ્યા આપેલી છે. પહેલાં આપણે વાસણની ત્રાંસી ઊંચાઈ ગણીએ છીએ. પછી, તેનું ઘનફળ શોધીએ છીએ, જે દર્શાવે છે કે કેટલું દૂધ સમાઈ શકે. દૂધની કુલ કિંમત Rs. 20 પ્રતિ લિટરના ભાવે ગણીએ છીએ. છેલ્લે, વાસણ બનાવવા વપરાયેલી ધાતુની શીટનું ક્ષેત્રફળ શોધીને તેની કિંમત Rs. 8 પ્રતિ 100 સેમી\(^2\)ના ભાવે ગણીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે \( \pi \) ની કિંમત આપેલી હોય ત્યારે તેનો જ ઉપયોગ કરો. આવા પ્રશ્નોમાં ઘનફળ અને પૃષ્ઠફળ બંને અલગ-અલગ ગણવાના હોય છે, તેથી દરેક ભાગને ધ્યાનપૂર્વક ગણો.

Question 5. ધાતુના લંબવૃત્તીય શંકુની ઊંચાઈ 20 સેમી તથા શિરોકોણ 60° છે. પાયાને સમાંતર સમતલથી તેના ઊંચાઈના બે સમાન ભાગ થાય તે રીતે કાપવામાં આવ્યો છે. જો આડછેદનું \( \frac{1}{16} \) સેમી વ્યાસવાળા તાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતર કરવામાં આવે, તો તારની લંબાઈ શોધો.
Answer: અહીં, 20 સેમી ઊંચાઈ અને 60°નો શિરોકોણ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુ OCDને પાયાને સમાંતર સમતલથી ઊંચાઈના બે સમાન ભાગ થાય તે રીતે કાપવામાં આવ્યો છે.
એટલે કે, શિરોબિંદુ Oથી 10 સેમી અંતરેથી કાપીને શંકુ OAB તથા શંકુનો આડછેદ ACDB મેળવવામાં આવ્યા છે.
શંકુ OABના મધ્યમાં ઊભો છેદ મૂકવાથી \( \triangle \) OMB મળે, જેમાં \( \text{OM} = 10 \) સેમી, \( \text{MB} = r_2 \) અને શિરોકોણ \( \angle \text{MOB} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
\( \triangle \) OMBમાં, \( \angle \text{M} = 90^{\circ} \)
\( \implies \tan \text{O} = \frac{\text{MB}}{\text{OM}} \)
\( \implies \tan 30^{\circ} = \frac{r_2}{10} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r_2}{10} \)
\( \implies r_2 = \frac{10}{\sqrt{3}} \) સેમી
તે જ રીતે, શંકુ OCDના મધ્યમાં ઊભો છેદ મૂકવાથી \( \triangle \) OPD મળે જેમાં \( \text{OP} = 20 \) સેમી, \( \text{PD} = r_1 \), અને \( \angle \text{POD} = 30^{\circ} \).
\( \triangle \) OPDમાં, \( \angle \text{P} = 90^{\circ} \)
\( \implies \tan \text{O} = \frac{\text{PD}}{\text{OP}} \)
\( \implies \tan 30^{\circ} = \frac{r_1}{20} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r_1}{20} \)
\( \implies r_1 = \frac{20}{\sqrt{3}} \) સેમી
આથી શંકુના આડછેદ ACDBમાં, મોટી ત્રિજ્યા \( r_1 = \frac{20}{\sqrt{3}} \) સેમી, નાની ત્રિજ્યા \( r_2 = \frac{10}{\sqrt{3}} \) સેમી અને ઊંચાઈ \( h = \text{MP} = 10 \) સેમી છે.
શંકુના આડછેદ ACDBનું ઘનફળ \( = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10 \left(\frac{400}{3}+\frac{100}{3}+\frac{200}{3}\right) \) સેમી\(^3\)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 10 \times \frac{700}{3} \) સેમી\(^3\)
\( = \frac{22000}{9} \) સેમી\(^3\)
શંકુના આડછેદ ACDBનું જે તારમાં રૂપાંતર કરવામાં આવે છે તે તાર માટે, ત્રિજ્યા \( r = \frac{1}{2} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{32} \) સેમી અને ઊંચાઈ (લંબાઈ) \( = h \) સેમી છે.
તારનું ઘનફળ = શંકુના આડછેદનું ઘનફળ
\( \pi r^2 h = \frac{22000}{9} \)
\( \frac{22}{7} \times \left(\frac{1}{32}\right)^2 \times h=\frac{22000}{9} \)
\( \frac{22}{7} \times \frac{1}{1024} \times h=\frac{22000}{9} \)
\( h = \frac{22000}{9} \times \frac{7 \times 1024}{22} \)
\( h = \frac{1000 \times 7 \times 1024}{9} \)
\( h = \frac{7168000}{9} \) સેમી
\( h \approx 796444.44 \) સેમી
\( h \approx 7964.44 \) મીટર
આમ, રૂપાંતર કરીને બનાવવામાં આવતા તારની લંબાઈ 7964.4 મીટર થાય છે.
In simple words: એક શંકુને બે ભાગમાં કાપવામાં આવ્યો છે. આપણે તેના આડછેદનું ઘનફળ શોધીએ છીએ. પછી, આડછેદને પાતળા તારમાં બદલવામાં આવે છે. તારની ત્રિજ્યા આપેલી છે. આપણે જાણીએ છીએ કે ઘનફળ સરખું જ રહે છે, તેથી આડછેદના ઘનફળને તારના ઘનફળ સાથે સરખાવીને તારની લંબાઈ શોધીએ છીએ. ગણતરી પછી, તારની લંબાઈ લગભગ 7964.4 મીટર મળે છે.

Exam Tip: શંકુના શિરોકોણનો અડધો ભાગ લઈને ત્રિજ્યા શોધવા માટે \( \tan \) નો ઉપયોગ ધ્યાનપૂર્વક કરો. ઘનફળ શોધ્યા પછી, તેને તારના ઘનફળ સાથે સરખાવતી વખતે એકમોનું રૂપાંતરણ ભૂલશો નહીં (સેમીથી મીટર).