GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Exercise 13.3

(જો નું મૂલ્ય આપેલ ન હોય, તો \( \pi = \frac{22}{7} \) લો).

Question 1. 42 સેમી ત્રિજ્યાવાળા ધાતુના ગોલકને ઓગાળીને 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા નળાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. નળાકારની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: ધાતુના ગોલક માટે, તેની ત્રિજ્યા \( r_1 = 4.2 \) સેમી છે. તેમાંથી બનેલા નળાકાર માટે, તેની ત્રિજ્યા \( R = 6 \) સેમી અને ઊંચાઈ \( H \) સેમી છે.
નળાકારનું ઘનફળ ગોલકના ઘનફળ જેટલું થશે.
\( \therefore \pi R^2 H = \frac{4}{3} \pi r_1^3 \)
\( \therefore 6 \times 6 \times H = \frac{4}{3} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \)
\( \therefore H = \frac{4 \times 42 \times 42 \times 42}{3 \times 10 \times 10 \times 10 \times 6 \times 6} \)
\( \therefore H = \frac{8232}{3000} \)
\( \therefore H = 2.744 \) સેમી
\( \therefore H = 2.74 \) સેમી
આમ, નળાકારની ઊંચાઈ 2.74 સેમી પ્રાપ્ત થાય છે.
In simple words: When a metal sphere is melted and reshaped into a cylinder, the volume stays the same. Use the volume formulas for both shapes and solve for the unknown height of the cylinder.

Exam Tip: Always remember that when a solid is reshaped, its volume remains constant. This principle is key for solving such problems.

Question 2. 6 સેમી, 8 સેમી અને 10 સેમી ત્રિજ્યાવાળા ધાતુના ગોળાઓને ઓગાળીને એક મોટો નક્કર ગોળો બનાવવામાં આવે છે, તો આ રીતે બનતા ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.
Answer: ધારો કે, ઓગાળવામાં આવેલ ત્રણ ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે \( r_1, r_2 \) અને \( r_3 \) છે, જ્યારે પરિણામી મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા \( R \) છે.
અહીં, \( r_1 = 6 \) સેમી, \( r_2 = 8 \) સેમી અને \( r_3 = 10 \) સેમી.
પરિણામી ગોળાનું ઘનફળ એ ઓગાળેલા ત્રણ ગોળાઓના કુલ ઘનફળ જેટલું થશે.
\( \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3 \)
\( R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 \) (કારણ કે \( \frac{4}{3} \pi \) વડે ભાગતા)
\( R^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3 \)
\( R^3 = 216 + 512 + 1000 \)
\( R^3 = 1728 \)
\( R^3 = 12^3 \)
\( R = 12 \) સેમી
આમ, પરિણામી ગોળાની ત્રિજ્યા 12 સેમી છે.
In simple words: When smaller spheres are melted to make a larger one, the total volume stays the same. Add up the volumes of the small spheres to find the volume of the big sphere, then calculate its radius.

Exam Tip: For problems involving melting and recasting, the key is to equate the total volume of the original objects to the volume of the new object. Make sure to use the correct volume formula for each shape.

Question 3. એક કૂવો 7 મીટર વ્યાસવાળા વર્તુળ ખોદવામાં આવે છે અને તે ખોદવાથી નીકળેલી માટીને એકસરખી રીતે પાથરી 22 મીટર × 14 મીટરની એક વ્યાસપીઠ બનાવવામાં આવે છે, તો વ્યાસપીઠની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: નળાકાર કૂવા માટે, ત્રિજ્યા \( r = \frac{7}{2} \) મી અને ઊંચાઈ (ઊંડાઈ) \( h = 20 \) મી.
લંબઘન આકારની વ્યાસપીઠ માટે, લંબાઈ \( l = 22 \) મી, પહોળાઈ \( b = 14 \) મી અને ઊંચાઈ \( = H \) મી.
કૂવો ખોદીને કાઢેલ માટીનું ઘનફળ એ વ્યાસપીઠ બનાવવામાં વપરાયેલ માટીના ઘનફળ જેટલું થશે.
\( \pi r^2 h = l \times b \times H \)
\( \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20 = 22 \times 14 \times H \)
\( H = \frac{22 \times 7 \times 7 \times 20}{7 \times 2 \times 2 \times 22 \times 14} \)
\( H = \frac{5}{2} \) મી
\( H = 2.5 \) મી
આમ, વ્યાસપીઠની ઊંચાઈ 2.5 મી થાય છે.
In simple words: The volume of soil dug from the well is used to make a platform. Equate the volume of the cylindrical well to the volume of the cuboidal platform to find its height.

Exam Tip: In problems where soil or material is excavated and then spread to form another shape, the volume of the excavated material is equal to the volume of the new structure. Ensure units are consistent.

Question 4. શાળા એક વર્તુળ પર એક કૂવો 14 મીટર સુધી ખોદવામાં આવે છે. તેમાંથી નીકળેલી માટીને કૂવાની આસપાસ 4 મીટર પહોળા વર્તુળાકાર વલયમાં સમાન રીતે પાથરીને ઓટલો બનાવ્યો છે, તો ઓટલાની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: નળાકાર કૂવા માટે, ત્રિજ્યા \( r = 3 \) મી અને ઊંચાઈ (ઊંડાઈ) \( h = 14 \) મી.
કૂવામાંથી નીકળેલ માટીનું ઘનફળ \( = \pi r^2 h \)
\( = \pi \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \times 14 \) મી\(^3 \).
\( = \frac{63}{2} \pi \) મી\(^3 \).
વલયાકાર (કંકણાકાર) ઓટલા માટે, અંદરની ત્રિજ્યા \( r_1 = \frac{3}{2} \) મી (કૂવાની ત્રિજ્યા), બહારની ત્રિજ્યા \( r_2 = r_1 + \) ઓટલાની પહોળાઈ \( = (\frac{3}{2} + 4) \) મી \( = \frac{11}{2} \) મી અને ઓટલાની ઊંચાઈ \( = h \) મી.
ઓટલો બનાવવા માટે વપરાતી માટીનું ઘનફળ \( = \pi (r_2^2 – r_1^2) h \)
\( = \pi ((\frac{11}{2})^2 – (\frac{3}{2})^2) h \) મી\(^3 \)
\( = \pi (\frac{121}{4}-\frac{9}{4}) h \) મી\(^3 \)
\( = 28 \pi h \) મી\(^3 \).
ઓટલો બનાવવા માટે વપરાતી માટીનું ઘનફળ એ કૂવામાંથી નીકળેલ માટીના ઘનફળ જેટલું થશે.
\( 28 \pi h = \frac{63}{2} \pi \)
\( h = \frac{63}{2 \times 28} \)
\( h = \frac{9}{8} \)
\( h = 1.125 \) મી
આમ, ઓટલાની ઊંચાઈ 1.125 મી થાય છે.
In simple words: When soil dug from a cylindrical well is spread to form a circular embankment around it, the volume of the soil equals the volume of the embankment. Calculate the inner and outer radii of the embankment and then solve for its height using the volume formulas.

Exam Tip: For problems involving embankments around a well, remember to calculate the volume of the annular ring (embankment) by subtracting the volume of the inner cylinder (well) from the volume of the outer cylinder (well + embankment width).

Question 5. 12 સેમી વ્યાસ અને 15 સેમી ઊંચાઈવાળા એક પાત્રનો આકાર લંબવૃત્તીય નળાકાર છે. તે આઇસક્રીમથી સંપૂર્ણ ભરેલો છે. તેમાંથી 12 સેમી ઊંચાઈ અને 6 સેમી વ્યાસવાળા શંકુ આકારના કોન પર અર્ધગોળાકાર સ્વરૂપમાં આઇસક્રીમ ભરવામાં આવે છે, તો આ આઇસક્રીમ દ્વારા કેટલા કોન ભરી શકાય તે શોધો.
Answer: નળાકાર પાત્ર માટે, ત્રિજ્યા \( r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) સેમી અને ઊંચાઈ \( h = 15 \) સેમી.
નળાકાર પાત્રમાં રહેલ આઇસક્રીમનું ઘનફળ \( = \pi r^2 h \)
\( = \pi \times 6 \times 6 \times 15 \) સેમી\(^3 \)
\( = 540 \pi \) સેમી\(^3 \).
કોનમાં ભરેલ આઇસક્રીમ માટે, શંકુ તેમજ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા \( r = \frac{6}{2} = 3 \) સેમી અને શંકુની ઊંચાઈ \( h = 12 \) સેમી.
એક કોનમાં ભરાતા આઇસક્રીમનું ઘનફળ \( = \) શંકુનું ઘનફળ \( + \) અર્ધગોલકનું ઘનફળ
\( = \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 \)
\( = \frac{1}{3} \pi r^2 (h + 2r) \)
\( = \frac{1}{3} \times \pi \times 3 \times 3 (12 + 2 \times 3) \) સેમી\(^3 \)
\( = 3 \pi (12 + 6) \)
\( = 3 \pi (18) \)
\( = 54 \pi \) સેમી\(^3 \).
હવે, નળાકાર પાત્રમાંના આઇસક્રીમ દ્વારા ભરાતા કોનની સંખ્યા \( = \frac{\text{નળાકાર પાત્રમાં રહેલ આઇસક્રીમનું ઘનફળ}}{\text{એક કોનમાં ભરાતા આઇસક્રીમનું ઘનફળ}} \)
\( = \frac{540 \pi}{54 \pi} \)
\( = 10 \)
આમ, નળાકાર પાત્રમાં રહેલ આઇસક્રીમ દ્વારા 10 કોન ભરી શકાય છે.
In simple words: First, calculate the total volume of ice cream in the cylindrical container. Then, calculate the volume of ice cream that fits into one cone (which is a cone plus a hemisphere). Finally, divide the total ice cream volume by the volume of one cone to find how many cones can be filled.

Exam Tip: Be careful to calculate the volume of the combined shape (cone with hemispherical top) correctly. The radius for both the cone and hemisphere will be the same.

Question 6. 5.5 સેમી × 10 સેમી × 3.5 સેમીના માપનો લંબધન બનાવવા 1.75 સેમી વ્યાસ અને 2 મિમી જાડાઈવાળા ચાંદીના કેટલા સિક્કા ઓગાળવા પડે?
Answer: ચાંદીના દરેક સિક્કા માટે, ત્રિજ્યા \( r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{1.75}{2} = \frac{7}{8} \) સેમી અને ઊંચાઈ (જાડાઈ) \( h = 2 \) મિમી \( = \frac{1}{5} \) સેમી.
દરેક સિક્કાનું ઘનફળ \( = \pi r^2 h \)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{7}{8} \times \frac{7}{8} \times \frac{1}{5} \) સેમી\(^3 \)
\( = \frac{77}{160} \) સેમી\(^3 \).
લંબઘનનું ઘનફળ \( = lbh \)
લંબાઈ \( l = 5.5 \) સેમી, પહોળાઈ \( b = 10 \) સેમી અને ઊંચાઈ \( h = 3.5 \) સેમી.
\( = 5.5 \times 10 \times 3.5 \) સેમી\(^3 = 192.5 \) સેમી\(^3 \).
લંબઘનનું ઘનફળ ઓગાળવા પડે તેટલા સિક્કાની સંખ્યા \( = \frac{\text{લંબઘનનું ઘનફળ}}{\text{એક સિક્કાનું ઘનફળ}} \)
\( = \frac{192.5}{\frac{77}{160}} \)
\( = 192.5 \times \frac{160}{77} \)
\( = 400 \)
આમ, જરૂરી માપનો લંબઘન બનાવવા માટે 400 સિક્કા ઓગાળવા પડે છે.
In simple words: To find out how many coins are needed, first figure out the volume of one coin and the volume of the cuboid you want to make. Then, divide the cuboid's volume by the volume of a single coin.

Exam Tip: Ensure that all units are consistent (e.g., all in cm) before performing calculations. Remember that the volume of the final solid equals the total volume of the melted objects.

Question 7. 32 સેમી ઊંચાઈ અને પાયાની ત્રિજ્યા 18 સેમી હોય તેવી એક નળાકાર ડોલ રેતીથી ભરેલી છે. આ ડોલને જમીન પર ખાલી કરી શંકુ આકારનો ઢગલો બનાવ્યો છે. જો શંકુ આકારના ઢગલાની ઊંચાઈ 24 સેમી હોય, તો ઢગલાની ત્રિજ્યા અને તિર્યક ઊંચાઈ શોધો.
Answer: નળાકાર ડોલ માટે, ત્રિજ્યા \( r_1 = 18 \) સેમી અને ઊંચાઈ \( h_1 = 32 \) સેમી.
શંકુ આકારના ઢગલા માટે, ત્રિજ્યા \( = r_2 \) સેમી અને ઊંચાઈ \( h_2 = 24 \) સેમી.
નળાકાર ડોલમાં ભરેલ માટીનું ઘનફળ એ શંકુ આકારના ઢગલામાંની માટીના ઘનફળ જેટલું થશે.
\( \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 \)
\( 18 \times 18 \times 32 = \frac{1}{3} \times r_2^2 \times 24 \)
\( r_2^2 = \frac{18 \times 18 \times 32 \times 3}{24} \)
\( r_2^2 = 18 \times 18 \times 4 \)
\( r_2^2 = (18 \times 2)^2 \)
\( r_2 = 18 \times 2 \)
\( r_2 = 36 \) સેમી.
શંકુ આકારના ઢગલાની તિર્યક ઊંચાઈ \( l = \sqrt{r_2^2 + h_2^2} \)
\( = \sqrt{36^2 + 24^2} \) સેમી
\( = \sqrt{1296 + 576} \) સેમી
\( = \sqrt{1872} \) સેમી
\( = \sqrt{144 \times 13} \)
\( = 12\sqrt{13} \) સેમી
આમ, શંકુ આકારના ઢગલાની ત્રિજ્યા 36 સેમી અને તિર્યક ઊંચાઈ \( 12\sqrt{13} \) સેમી છે.
In simple words: The volume of sand in the cylindrical bucket is equal to the volume of the conical heap formed. Use this to find the radius of the cone. Then, use the Pythagorean theorem to find the slant height.

Exam Tip: For problems involving changing shapes (like a bucket of sand into a cone), remember that the volume stays constant. Once you find the radius, use the slant height formula \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \).

Question 8. 6 મીટર પહોળી અને 1.5 મીટર ઊંડી એક પાણીની નહેરમાં પાણી 10 કિમી / કલાકની ઝડપે વહે છે. 30 મિનિટમાં આ નહેરમાંથી કેટલા ક્ષેત્રફળની સિંચાઈ કરી શકાશે? સિંચાઈ માટે 8 સેમી પાણીની ઊંચાઈ આવશ્યક છે.
Answer: નહેરમાં વહેતા પાણી માટે, 30 મિનિટ દરમિયાન વહેતા પાણીનું ઘનફળ લંબઘનના ઘનફળ દ્વારા મળશે. આ લંબઘન માટે પહોળાઈ \( b = 6 \) મી (નહેરની પહોળાઈ), ઊંચાઈ \( h = 1.5 \) મી (નહેરની ઊંડાઈ) છે.
લંબાઈ \( l = \) 30 મિનિટના સમયગાળામાં પાણીના પ્રવાહે કાપેલ અંતર \( = \) ઝડપ \( \times \) સમય.
\( = 10 \) કિમી/કલાક \( \times \frac{30}{60} \) કલાક
\( = 10 \) કિમી \( \times \frac{1}{2} = 5 \) કિમી \( = 5000 \) મી.
આથી 30 મિનિટમાં સિંચાઈ માટે મળતા પાણીનું ઘનફળ \( = lbh \)
\( = 5000 \times 6 \times 1.5 \) મી\(^3 \)
\( = 45000 \) મી\(^3 \).
સિંચાઈ માટે પાણીની આવશ્યક ઊંચાઈ \( h = 8 \) સેમી \( = 0.08 \) મી છે.
જેટલા વિસ્તારમાં સિંચાઈ કરી શકાય તે વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\text{સિંચાઈ માટે મળતા પાણીનું ઘનફળ}}{\text{સિંચાઈ માટે પાણીની આવશ્યક ઊંચાઈ}} \)
\( = \frac{45000}{0.08} \) મી\(^2 = 562500 \) મી\(^2 \).
\( = 562500 \) હેક્ટર (કારણ કે 1 હેક્ટર \( = 10000 \) મી\(^2 \)) \( = 56.25 \) હેક્ટર.
આમ, 30 મિનિટમાં નહેરમાંથી 562500 મી\(^2 \), એટલે કે, 56.25 હેક્ટર ક્ષેત્રફળવાળા વિસ્તારમાં સિંચાઈ કરી શકાશે.
In simple words: First, calculate the volume of water flowing through the canal in 30 minutes. Then, divide this volume by the required height of water for irrigation to find the area that can be irrigated. Convert all units to meters for consistency.

Exam Tip: Always convert all units to a consistent system (e.g., meters) before calculation. For canal flow problems, the distance covered by water in a given time acts as the length of a cuboidal volume of water.

Question 9. એક ખેડૂત પોતાના ખેતરમાં 10 મીટર વ્યાસવાળી અને 2 મીટર ઊંડી એક નળાકાર ટાંકીને અંદરથી 20 સેમી વ્યાસવાળી એક પાઈપ દ્વારા એક નહેર સાથે જોડે છે. જો પાઇપમાં પાણીનો પ્રવાહ 3કિમી / કલાકની ઝડપે વહેતો હોય, તો કેટલા સમયમાં ટાંકી પાણીથી પૂર્ણ રીતે ભરાઈ જશે?
Answer: નળાકાર ટાંકી માટે, ત્રિજ્યા \( r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) મી અને ઊંચાઈ (ઊંડાઈ) \( h = 2 \) મી.
ટાંકી ભરવા માટે જરૂરી પાણીનું ઘનફળ \( = \) નળાકાર ટાંકીનું ઘનફળ.
\( = \pi r^2 h \)
\( = \pi \times 5 \times 5 \times 2 \) મી\(^3 = 50 \pi \) મી\(^3 \).
પાઇપમાંથી એક કલાકમાં વહેતા પાણી માટે, ત્રિજ્યા \( r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) સેમી \( = 0.1 \) મી.
ઊંચાઈ \( h = \) પ્રતિ કલાક ઝડપ \( = 3 \) કિમી \( = 3000 \) મી.
પાઇપ દ્વારા એક કલાકમાં ટાંકીમાં પડતા પાણીનું ઘનફળ \( = \) નળાકારનું ઘનફળ.
\( = \pi r^2 h \)
\( = \pi \times 0.1 \times 0.1 \times 3000 \) મી\(^3 = 30 \pi \) મી\(^3 \).
30 \( \pi \) મી\(^3 \) પાણી ભરાતા લાગતો સમય \( = 1 \) કલાક.
50 \( \pi \) મી\(^3 \) પાણી ભરાતા લાગતો સમય \( = \frac{50 \pi}{30 \pi} \) કલાક
\( = \frac{5}{3} \) કલાક
\( = \frac{5}{3} \times 60 \) મિનિટ
\( = 100 \) મિનિટ.
આમ, ટાંકી 100 મિનિટમાં પૂર્ણ રીતે ભરાઈ જશે.
In simple words: First, calculate the volume of the cylindrical tank. Then, find the volume of water that flows through the pipe in one hour. Finally, divide the tank's volume by the hourly flow rate to determine the time needed to fill the tank.

Exam Tip: Ensure all dimensions (radius, depth, speed) are in consistent units (e.g., meters and minutes or meters and hours) before proceeding with calculations. Convert units carefully.