GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Exercise 13.2

Question 1. એક ઘન પદાર્થ એ 1 સેમી ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધગોલક ઉપર તેટલી જ ત્રિજ્યાવાળો શંકુ ગોઠવીને બનાવાયો છે. શંકુની ઊંચાઈ એ તેની ત્રિજ્યા જેટલી છે, તો આ ઘન પદાર્થનું ઘનફળ \( \pi \) ના ગુણિતમાં શોધો.
Answer: અહીં, શંકુ અને અર્ધગોલક બંનેની ત્રિજ્યા \( r = 1 \text{ સેમી} \) છે. શંકુની ઊંચાઈ \( h \) તેની ત્રિજ્યા જેટલી હોવાથી, \( h = r = 1 \text{ સેમી} \).
ઘન પદાર્થનું કુલ ઘનફળ શંકુના ઘનફળ અને અર્ધગોલકના ઘનફળનો સરવાળો થાય છે.
\( \text{ઘન પદાર્થનું ઘનફળ} = \text{શંકુનું ઘનફળ} + \text{અર્ધગોલકનું ઘનફળ} \)
\( = \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 \)
ત્રિજ્યા \( r = 1 \) અને ઊંચાઈ \( h = 1 \) ના મૂલ્યો મૂકતા,
\( = \frac{1}{3} \pi (1)^2 (1) + \frac{2}{3} \pi (1)^3 \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{1}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi \text{ સેમી}^3 \)
\( = (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) \pi \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{3}{3} \pi \text{ સેમી}^3 \)
\( = \pi \text{ સેમી}^3 \)
આમ, સંયોજિત ઘન પદાર્થનું ઘનફળ \( \pi \text{ સેમી}^3 \) છે.
In simple words: એક શંકુ અને એક અર્ધગોળાકાર વસ્તુને જોડીને બનાવેલ આકારનું કુલ કદ શોધવા માટે, આપણે શંકુ અને અર્ધગોળકના કદને ઉમેરીએ છીએ. જો શંકુની ઊંચાઈ અને ત્રિજ્યા સરખી હોય, તો કુલ કદ \( \pi \) ના ગુણાકારમાં આવે છે.

Exam Tip: જ્યારે શંકુ અને અર્ધગોળાકાર જેવી આકૃતિઓ એકબીજા પર મૂકવામાં આવે, ત્યારે હંમેશા તેમની સામાન્ય ત્રિજ્યા અને શંકુની ઊંચાઈને યોગ્ય રીતે ઓળખો. સૂત્રમાં કિંમતો યોગ્ય રીતે મૂકીને ગણતરી કરો.

Question 2. એન્જિનિયરિંગના વિદ્યાર્થી રશેલને નળાકારના બંને છેડે પાતળી ઍલ્યુમિનિયમની શીટમાંથી બનેલો શંકુ બેસાડી એક નમૂનો તૈયાર કરવાનું કહેવામાં આવ્યું. નમૂનાનો વ્યાસ 3 સેમી અને લંબાઈ 12 સેમી છે. જો શંકુની ઊંચાઈ 2 સેમી હોય, તો રશેલે બનાવેલ નમૂનામાં કેટલી હવા સમાશે તે શોધો. (ધારી લો કે, નમૂનાના બહારના અને અંદરના માપો લગભગ સમાન છે.)
Answer: અહીં, નમૂનાનો આકાર એક નળાકાર છે જેના બંને છેડે શંકુ લગાવવામાં આવ્યા છે. તેનો વ્યાસ 3 સેમી અને કુલ લંબાઈ 12 સેમી છે. દરેક શંકુની ઊંચાઈ 2 સેમી છે.
નમૂનાની ત્રિજ્યા (નળાકાર અને શંકુ બંને માટે) \( r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{3}{2} \text{ સેમી} \)
દરેક શંકુની ઊંચાઈ \( h = 2 \text{ સેમી} \)
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ \( H = \text{કુલ લંબાઈ} - 2 \times \text{શંકુની ઊંચાઈ} \)
\( = 12 \text{ સેમી} - (2 \times 2 \text{ સેમી}) \)
\( = 12 \text{ સેમી} - 4 \text{ સેમી} \)
\( = 8 \text{ સેમી} \)
નમૂનામાં સમાતી હવાનું કુલ ઘનફળ, નળાકારના ઘનફળ અને બે શંકુના ઘનફળનો સરવાળો થાય છે.
\( \text{નમૂનાનું ઘનફળ} = \text{નળાકારનું ઘનફળ} + 2 \times \text{શંકુનું ઘનફળ} \)
\( = \pi r^2 H + 2 \times \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\( = \pi r^2 (H + \frac{2}{3} h) \)
હવે, કિંમતો મૂકતા \( \pi = \frac{22}{7}, r = \frac{3}{2}, H = 8, h = 2 \):
\( = \frac{22}{7} \times (\frac{3}{2})^2 (8 + \frac{2}{3} \times 2) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{9}{4} (8 + \frac{4}{3}) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{9}{4} (\frac{24+4}{3}) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{9}{4} \times \frac{28}{3} \text{ સેમી}^3 \)
\( = 22 \times 9 \times \frac{1}{4} \times \frac{28}{3 \times 7} \text{ સેમી}^3 \)
\( = 22 \times \frac{9}{4} \times \frac{4}{3} \text{ સેમી}^3 \)
\( = 22 \times 3 \text{ સેમી}^3 \)
\( = 66 \text{ સેમી}^3 \)
આમ, રશેલે બનાવેલ નમૂનામાં આશરે 66 સેમી³ હવા સમાશે.
In simple words: એક રમકડા જેવો આકાર છે જેમાં વચ્ચે નળાકાર છે અને બંને છેડે શંકુ જોડાયેલા છે. આપણે આખા આકારનું કદ શોધવાનું છે, જે નળાકારના કદ અને બે શંકુના કદનો સરવાળો છે. ગણતરી કરતા, આપણને 66 ઘન સેન્ટીમીટર હવા સમાય છે.

Exam Tip: જ્યારે સંયુક્ત ઘન પદાર્થોનું ઘનફળ શોધવાનું હોય, ત્યારે દરેક ભાગના પરિમાણોને અલગથી સ્પષ્ટ કરો અને પછી બધા ભાગોના ઘનફળનો સરવાળો કરો. નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ નક્કી કરતી વખતે કુલ ઊંચાઈમાંથી શંકુની ઊંચાઈઓને બાદ કરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 3. ગુલાબજાંબુમાં તેના કદના 30 % જેટલી ખાંડની ચાસણી છે. દરેક ગુલાબજાંબુનો આકાર નળાકારના બંને છેડે અર્ધગોલક લગાવ્યા હોય તેવો છે. તેની કુલ લંબાઈ 5 સેમી અને વ્યાસ 2.8 સેમી છે, તો આવા 45 ગુલાબજાંબુમાં આશરે કેટલી ખાંડની ચાસણી હશે તે શોધો. (જુઓ આકૃતિ 1)
Answer: અહીં, ગુલાબજાંબુનો આકાર એક નળાકાર છે જેના બંને છેડે અર્ધગોળક જોડાયેલા છે. તેની કુલ લંબાઈ 5 સેમી અને વ્યાસ 2.8 સેમી છે.
નળાકાર ભાગની તેમજ બંને છેડે લાગેલ અર્ધગોલક ભાગોની ત્રિજ્યા \( r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{2.8}{2} \text{ સેમી} = 1.4 \text{ સેમી} \)
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ (લંબાઈ) \( h = \text{કુલ લંબાઈ} - 2 \times \text{અર્ધગોલકોની ત્રિજ્યા} \)
\( = 5 \text{ સેમી} - (2 \times 1.4 \text{ સેમી}) \)
\( = 5 \text{ સેમી} - 2.8 \text{ સેમી} \)
\( = 2.2 \text{ સેમી} \)
એક ગુલાબજાંબુનું ઘનફળ, નળાકાર ભાગનું ઘનફળ અને બે અર્ધગોલક ભાગના ઘનફળનો સરવાળો છે.
\( \text{એક ગુલાબજાંબુનું ઘનફળ} = \text{નળાકાર ભાગનું ઘનફળ} + 2 \times \text{અર્ધગોલક ભાગનું ઘનફળ} \)
\( = \pi r^2 h + 2 \times \frac{2}{3} \pi r^3 \)
\( = \pi r^2 (h + \frac{4}{3} r) \)
કિંમતો મૂકતા \( \pi = \frac{22}{7}, r = 1.4, h = 2.2 \):
\( = \frac{22}{7} \times (1.4)^2 (2.2 + \frac{4}{3} \times 1.4) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{22}{7} \times 1.96 (2.2 + \frac{5.6}{3}) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 22 \times 0.28 ( \frac{6.6 + 5.6}{3} ) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 6.16 ( \frac{12.2}{3} ) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{6.16 \times 12.2}{3} \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{75.152}{3} \text{ સેમી}^3 \approx 25.0506 \text{ સેમી}^3 \)
આવા 45 ગુલાબજાંબુનું કુલ ઘનફળ શોધીએ.
\( \text{45 ગુલાબજાંબુનું ઘનફળ} = 45 \times \frac{75.152}{3} \text{ સેમી}^3 \)
\( = 15 \times 75.152 \text{ સેમી}^3 \)
\( = 1127.28 \text{ સેમી}^3 \)
ચાસણીનું ઘનફળ ગુલાબજાંબુના કુલ ઘનફળના 30 % જેટલું છે.
\( \text{ચાસણીનું ઘનફળ} = 30\% \text{ ના 45 ગુલાબજાંબુના ઘનફળનું} \)
\( = \frac{30}{100} \times 1127.28 \text{ સેમી}^3 \)
\( = 0.30 \times 1127.28 \text{ સેમી}^3 \)
\( = 338.184 \text{ સેમી}^3 \)
આશરે, \( \approx 338 \text{ સેમી}^3 \)
આમ, 45 ગુલાબજાંબુમાં આશરે 338 સેમી³ ચાસણી હશે.
In simple words: ગુલાબજાંબુનો આકાર નળાકાર જેવો છે જેમાં બંને છેડે ગોળાકાર ભાગ છે. આપણે પહેલા એક ગુલાબજાંબુનું કદ શોધીએ છીએ. પછી 45 ગુલાબજાંબુનું કુલ કદ શોધીએ. કુલ કદના 30% ભાગ ચાસણીનો છે, જે આપણને કુલ ચાસણીનું પ્રમાણ આપે છે.

Exam Tip: ગુલાબજાંબુ જેવા સંયુક્ત આકારના ઘનફળની ગણતરી કરતી વખતે, નળાકાર ભાગની ઊંચાઈની ગણતરી કુલ લંબાઈમાંથી બંને છેડાના અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા બાદ કરીને કરવામાં આવે તેની ખાતરી કરો.

Question 4. એક લાકડાનું લંબધન પેન-સ્ટૅન્ડ ચાર શંકુ આકારના છિદ્રવાળું બનાવેલું છે. લંબધનનાં માપ 15 સેમી \( \times \) 10 સેમી \( \times \) 3.5 સેમી છે. છિદ્રવાળા દરેક ભાગની ત્રિજ્યા 0.5 સેમી અને ઊંડાઈ 1.4 સેમી છે, તો લાકડાના આ સ્ટેન્ડનું ઘનફળ શોધો. (જુઓ આકૃતિ)
Answer: અહીં, એક લાકડાનું પેન-સ્ટેન્ડ લંબઘન આકારનું છે અને તેમાં ચાર શંકુ આકારના છિદ્રો છે.
લંબઘન માટે:
લંબાઈ \( l = 15 \text{ સેમી} \)
પહોળાઈ \( b = 10 \text{ સેમી} \)
ઊંચાઈ \( h = 3.5 \text{ સેમી} \)
લંબઘનનું ઘનફળ \( V_{\text{લંબઘન}} = l \times b \times h \)
\( = 15 \times 10 \times 3.5 \text{ સેમી}^3 \)
\( = 150 \times 3.5 \text{ સેમી}^3 \)
\( = 525 \text{ સેમી}^3 \)
શંકુ આકારના દરેક છિદ્ર માટે:
ત્રિજ્યા \( r = 0.5 \text{ સેમી} = \frac{1}{2} \text{ સેમી} \)
ઊંચાઈ (ઊંડાઈ) \( h' = 1.4 \text{ સેમી} = \frac{14}{10} \text{ સેમી} = \frac{7}{5} \text{ સેમી} \)
એક શંકુ આકારના છિદ્રનું ઘનફળ \( V_{\text{શંકુ}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h' \)
ચાર છિદ્રોનું કુલ ઘનફળ \( V_{\text{કુલ શંકુ}} = 4 \times \frac{1}{3} \pi r^2 h' \)
\( = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{1}{2})^2 \times \frac{7}{5} \text{ સેમી}^3 \)
\( = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{1}{4} \times \frac{7}{5} \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{1} \times \frac{1}{1} \times \frac{1}{5} \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{22}{15} \text{ સેમી}^3 \)
\( = 1.466... \text{ સેમી}^3 \)
આશરે, \( \approx 1.47 \text{ સેમી}^3 \)
લાકડાના સ્ટેન્ડનું કુલ ઘનફળ શોધવા માટે, લંબઘનના ઘનફળમાંથી ચાર શંકુ આકારના છિદ્રોનું ઘનફળ બાદ કરીએ.
\( \text{લાકડાના સ્ટેન્ડનું ઘનફળ} = V_{\text{લંબઘન}} - V_{\text{કુલ શંકુ}} \)
\( = (525 - 1.47) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 523.53 \text{ સેમી}^3 \)
આમ, લાકડાના સ્ટેન્ડનું કુલ ઘનફળ 523.53 સેમી³ છે.
In simple words: એક પેન સ્ટેન્ડ ચોરસ લાકડાના બ્લોક જેવું છે, જેમાં પેન રાખવા માટે ચાર શંકુ આકારના ખાડા છે. પહેલા આપણે લાકડાના આખા બ્લોકનું કદ શોધીએ. પછી ચારેય શંકુ આકારના ખાડાઓનું કુલ કદ શોધીએ. છેલ્લે, બ્લોકના કદમાંથી ખાડાઓનું કદ બાદ કરીએ તો લાકડાના સ્ટેન્ડનું ચોખ્ખું કદ મળી જાય છે.

Exam Tip: આવા સંયુક્ત પદાર્થોના ઘનફળની ગણતરી કરતી વખતે, પહેલા લંબઘન જેવા મૂળ આકારનું ઘનફળ શોધો અને પછી કાપેલા કે દૂર કરાયેલા ભાગો (જેમ કે શંકુ આકારના છિદ્રો) ના ઘનફળની ગણતરી કરો. અંતિમ ઘનફળ મેળવવા માટે બંને મૂલ્યોને યોગ્ય રીતે બાદ કરો.

Question 5. એક વાસણનું સ્વરૂપ ઊંધા શંકુ જેવું છે. તેની ઊંચાઈ 8 સેમી અને ઉપરના ભાગની ત્રિજ્યા 5 સેમી છે. તે ઉપરની ધાર સુધી પાણીથી ભરેલું છે. જ્યારે વાસણમાં 0.5 સેમી ત્રિજ્યાવાળી ધાતુની ગોળીઓ નાખવામાં આવે છે, ત્યારે એક-ચતુર્થાંશ જેટલું પાણી બહાર નીકળે છે, તો વાસણમાં નાખેલી ધાતુની ગોળીઓની સંખ્યા શોધો.
Answer: અહીં, એક ઊંધા શંકુ આકારનું વાસણ પાણીથી ભરેલું છે. તેમાં નાની ધાતુની ગોળીઓ નાખવામાં આવે છે, જેના કારણે પાણી બહાર નીકળે છે.
શંકુ આકારના વાસણ માટે:
ત્રિજ્યા \( r = 5 \text{ સેમી} \)
ઊંચાઈ \( h = 8 \text{ સેમી} \)
શંકુ આકારના વાસણમાં પાણીનું ઘનફળ \( V_{\text{શંકુ}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\( = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (8) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{1}{3} \pi (25)(8) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{200}{3} \pi \text{ સેમી}^3 \)
જ્યારે ધાતુની ગોળીઓ નાખવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ પાણીના ઘનફળનો એક-ચતુર્થાંશ ભાગ બહાર નીકળે છે.
બહાર નીકળેલા પાણીનું ઘનફળ \( V_{\text{બહાર}} = \frac{1}{4} \times V_{\text{શંકુ}} \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{200}{3} \pi \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{50}{3} \pi \text{ સેમી}^3 \)
દરેક ધાતુની ગોળી માટે:
ત્રિજ્યા \( r' = 0.5 \text{ સેમી} = \frac{1}{2} \text{ સેમી} \)
એક ધાતુની ગોળીનું ઘનફળ \( V_{\text{ગોળી}} = \frac{4}{3} \pi (r')^3 \)
ધારો કે, \( n \) ગોળીઓ વાસણમાં નાખવામાં આવે છે.
\( n \) ગોળીઓનું કુલ ઘનફળ બહાર નીકળેલા પાણીના ઘનફળ જેટલું હશે.
\( n \times V_{\text{ગોળી}} = V_{\text{બહાર}} \)
\( n \times \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{2})^3 = \frac{50}{3} \pi \)
\( n \times \frac{4}{3} \pi \times \frac{1}{8} = \frac{50}{3} \pi \)
\( n \times \frac{1}{6} \pi = \frac{50}{3} \pi \)
બંને બાજુથી \( \pi \) અને \( \frac{1}{3} \) કેન્સલ કરતા:
\( n \times \frac{4}{8} = 50 \)
\( n \times \frac{1}{2} = 50 \)
\( n = 50 \times 2 \)
\( n = 100 \)
આમ, વાસણમાં નાખેલ ધાતુની ગોળીઓની સંખ્યા 100 છે.
In simple words: એક પાણીથી ભરેલા શંકુ આકારના વાસણમાં નાની ગોળીઓ નાખવામાં આવે છે. ગોળીઓ નાખવાથી ચોથા ભાગનું પાણી બહાર ઢોળાય છે. પહેલા કુલ પાણીનું કદ શોધીએ, પછી ઢોળાયેલા પાણીનું કદ શોધીએ. એક ગોળીનું કદ શોધીને, ઢોળાયેલા પાણીના કદને એક ગોળીના કદથી ભાગીને ગોળીઓની સંખ્યા શોધી શકાય છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, બહાર નીકળેલા પ્રવાહીનું ઘનફળ નાખવામાં આવેલા પદાર્થોના કુલ ઘનફળ જેટલું હોય છે. યોગ્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો અને અપૂર્ણાંક ગણતરીમાં સાવચેત રહો.

Question 6. એક લોખંડના નળાકાર સ્વરૂપના નક્કર થાંભલાની ઊંચાઈ 220 સેમી છે અને પાયાનો વ્યાસ 24 સેમી છે. તેની ઉપર 60 સેમી ઊંચાઈ અને 8 સેમી ત્રિજ્યાવાળા બીજા નળાકારને મૂકવામાં આવે છે, તો થાંભલાનું દળ શોધો. 1 સેમી³ લોખંડનું દળ આશરે 8 ગ્રામ છે. (\( \pi = 3.14 \) લો.)
Answer: અહીં, થાંભલો બે નળાકારથી બનેલો છે, એક મોટો નળાકાર અને તેની ઉપર એક નાનો નળાકાર.
મોટા નળાકાર (નીચેના ભાગ) માટે:
વ્યાસ \( = 24 \text{ સેમી} \implies \text{ત્રિજ્યા} \ r_1 = \frac{24}{2} = 12 \text{ સેમી} \)
ઊંચાઈ \( h_1 = 220 \text{ સેમી} \)
નાના નળાકાર (ઉપરના ભાગ) માટે:
ત્રિજ્યા \( r_2 = 8 \text{ સેમી} \)
ઊંચાઈ \( h_2 = 60 \text{ સેમી} \)
થાંભલાનું કુલ ઘનફળ બંને નળાકારના ઘનફળનો સરવાળો છે.
\( \text{થાંભલાનું ઘનફળ} = \pi r_1^2 h_1 + \pi r_2^2 h_2 \)
\( = \pi (r_1^2 h_1 + r_2^2 h_2) \)
\( \pi = 3.14 \) નો ઉપયોગ કરતા:
\( = 3.14 ((12)^2 \times 220 + (8)^2 \times 60) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 3.14 (144 \times 220 + 64 \times 60) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 3.14 (31680 + 3840) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 3.14 \times 35520 \text{ સેમી}^3 \)
\( = 111532.8 \text{ સેમી}^3 \)
લોખંડની ઘનતા: 1 સેમી³ લોખંડનું દળ = 8 ગ્રામ = 0.008 કિગ્રા
થાંભલાનું કુલ દળ = થાંભલાનું ઘનફળ \( \times \) 1 સેમી³ નું દળ
\( = 111532.8 \text{ સેમી}^3 \times 0.008 \text{ કિગ્રા/સેમી}^3 \)
\( = 892.2624 \text{ કિગ્રા} \)
આશરે, \( \approx 892.26 \text{ કિગ્રા} \)
આમ, થાંભલાનું કુલ દળ આશરે 892.26 કિગ્રા છે.
In simple words: એક થાંભલો બે જુદા-જુદા નળાકારને એકબીજા ઉપર મૂકીને બનાવવામાં આવ્યો છે. આપણે પહેલા બંને નળાકારના કદ શોધીએ અને પછી તેમને ઉમેરીને થાંભલાનું કુલ કદ મેળવીએ. પછી લોખંડની ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને થાંભલાનું વજન કિલોગ્રામમાં શોધી શકીએ.

Exam Tip: સંયુક્ત આકારના દળની ગણતરી કરતી વખતે, પ્રથમ કુલ ઘનફળ શોધો અને પછી ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને દળમાં રૂપાંતર કરો. \( \pi \) ના મૂલ્ય માટે આપેલા સૂચનો (જેમ કે 3.14) ને અનુસરો.

Question 7. 60 સેમી ત્રિજ્યાવાળા અર્ધગોલક પર સ્થિત લંબવૃત્તીય શંકુની ઊંચાઈ 120 સેમી અને ત્રિજ્યા 60 સેમી છે. તેને પાણીથી સંપૂર્ણ ભરેલા એક લંબવૃત્તીય નળાકારમાં તેના તળિયાને સ્પર્શ તે રીતે ઊભો મૂક્યો છે. જો નળાકારની ત્રિજ્યા 60 સેમી અને ઊંચાઈ 180 સેમી હોય, તો નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ શોધો.
Answer: અહીં, એક શંકુ-અર્ધગોલક સંયુક્ત ઘન પદાર્થને પાણીથી ભરેલા નળાકારમાં મૂકવામાં આવે છે. આપણે બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ શોધવાનું છે.
સંયોજિત ઘન પદાર્થ (શંકુ અને અર્ધગોલક) માટે:
શંકુની ત્રિજ્યા \( r = 60 \text{ સેમી} \)
અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા \( r = 60 \text{ સેમી} \)
શંકુની ઊંચાઈ \( h = 120 \text{ સેમી} \)
સંયોજિત ઘન પદાર્થનું ઘનફળ \( V_{\text{ઘન}} = \text{શંકુનું ઘનફળ} + \text{અર્ધગોલકનું ઘનફળ} \)
\( = \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 \)
\( = \frac{1}{3} \pi r^2 (h + 2r) \)
કિંમતો મૂકતા \( r = 60, h = 120 \):
\( = \frac{1}{3} \pi (60)^2 (120 + 2 \times 60) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{1}{3} \pi (3600) (120 + 120) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{1}{3} \pi (3600) (240) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \pi \times 1200 \times 240 \text{ સેમી}^3 \)
\( = 288000 \pi \text{ સેમી}^3 \)
નળાકાર પાત્ર માટે:
ત્રિજ્યા \( R = 60 \text{ સેમી} \)
ઊંચાઈ \( H = 180 \text{ સેમી} \)
નળાકાર પાત્રમાં શરૂઆતમાં રહેલ પાણીનું ઘનફળ \( V_{\text{પાણી}} = \pi R^2 H \)
\( = \pi (60)^2 (180) \text{ સેમી}^3 \)
\( = \pi \times 3600 \times 180 \text{ સેમી}^3 \)
\( = 648000 \pi \text{ સેમી}^3 \)
નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ, નળાકારના કુલ પાણીના ઘનફળમાંથી સંયોજિત ઘન પદાર્થનું ઘનફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
\( \text{બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ} = V_{\text{પાણી}} - V_{\text{ઘન}} \)
\( = 648000 \pi \text{ સેમી}^3 - 288000 \pi \text{ સેમી}^3 \)
\( = (648000 - 288000) \pi \text{ સેમી}^3 \)
\( = 360000 \pi \text{ સેમી}^3 \)
હવે, તેને મીટર ક્યુબમાં ફેરવીએ (\( 1 \text{ મી}^3 = 1000000 \text{ સેમી}^3 \)):
\( = 360000 \times \frac{22}{7} \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{7920000}{7} \text{ સેમી}^3 \)
\( = \frac{7920000}{7 \times 1000000} \text{ મી}^3 \)
\( = \frac{7.92}{7} \text{ મી}^3 \)
\( = 1.131428... \text{ મી}^3 \)
આશરે, \( \approx 1.131 \text{ મી}^3 \)
આમ, નળાકારમાં બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ આશરે 1.131 મી³ છે.
In simple words: એક પાણીથી ભરેલા નળાકારમાં, શંકુ અને અર્ધગોળકનો બનેલો એક પદાર્થ મૂકવામાં આવે છે. આપણે પહેલા શંકુ અને અર્ધગોળાકારનો કુલ આકારનું કદ શોધીએ. પછી, નળાકારમાં ભરેલા પાણીના કુલ કદમાંથી આ પદાર્થનું કદ બાદ કરીને બાકી રહેલા પાણીનું કદ શોધીએ.

Exam Tip: જ્યારે એક ઘન પદાર્થને પાણી ભરેલા પાત્રમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે વિસ્થાપિત થયેલા પાણીનું ઘનફળ તે ઘન પદાર્થના ઘનફળ જેટલું હોય છે. બાકી રહેલા પાણીનું ઘનફળ શોધવા માટે કુલ ઘનફળમાંથી વિસ્થાપિત ઘનફળ બાદ કરો.

Question 8. એક ગોળાકાર કાચના વાસણની ઉપરનો ભાગ નળાકાર છે. તે નળાકારની ઊંચાઈ 8 સેમી છે અને વ્યાસ 2 સેમી છે. ગોળાકાર ભાગનો વ્યાસ 8.5 સેમી છે. એક બાળક માહિતી પ્રાપ્ત કરે છે કે તેમાં ભરેલા પાણીનું ઘનફળ 345 સેમી³ છે. બાળકનો જવાબ સાચો છે કે નહિ તે ચકાસો. (\( \pi = 3.14 \) લો.)
Answer: અહીં, એક કાચનું વાસણ છે જે નીચેથી ગોળાકાર છે અને ઉપરથી નળાકાર ગરદન ધરાવે છે. આપણે તેનું વાસ્તવિક ઘનફળ શોધીને બાળક દ્વારા આપેલા જવાબ સાથે સરખાવવાનું છે.
વાસણના નળાકાર ભાગ માટે:
વ્યાસ \( = 2 \text{ સેમી} \implies \text{ત્રિજ્યા} \ r = \frac{2}{2} = 1 \text{ સેમી} \)
ઊંચાઈ \( h = 8 \text{ સેમી} \)
વાસણના ગોળાકાર ભાગ માટે:
વ્યાસ \( = 8.5 \text{ સેમી} \implies \text{ત્રિજ્યા} \ R = \frac{8.5}{2} = 4.25 \text{ સેમી} = \frac{17}{4} \text{ સેમી} \)
વાસણનું કુલ ઘનફળ નળાકાર ભાગના ઘનફળ અને ગોળાકાર ભાગના ઘનફળનો સરવાળો છે.
\( \text{વાસણનું ઘનફળ} = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi R^3 \)
\( = \pi (r^2 h + \frac{4}{3} R^3) \)
\( \pi = 3.14 \) નો ઉપયોગ કરતા:
\( = 3.14 ((1)^2 \times 8 + \frac{4}{3} \times (\frac{17}{4})^3) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 3.14 (1 \times 8 + \frac{4}{3} \times \frac{17 \times 17 \times 17}{4 \times 4 \times 4}) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 3.14 (8 + \frac{4913}{48}) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 3.14 (8 + 102.35416...) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 3.14 (110.35416...) \text{ સેમી}^3 \)
\( = 346.51016... \text{ સેમી}^3 \)
આશરે, \( \approx 346.51 \text{ સેમી}^3 \)
બાળકે આપેલું ઘનફળ 345 સેમી³ છે, જ્યારે વાસણનું સાચું ઘનફળ આશરે 346.51 સેમી³ છે.
આમ, બાળકનો જવાબ સાચો નથી.
In simple words: એક બોટલ છે જેનો નીચેનો ભાગ ગોળાકાર છે અને ઉપરનો ભાગ નળાકાર છે. આપણે પહેલા બંને ભાગના કદ શોધીએ, પછી તેમને ઉમેરીને બોટલનું કુલ કદ મેળવીએ. આ કુલ કદની સરખામણી બાળકે આપેલા કદ સાથે કરીએ છીએ અને જણાવીએ કે તેમનો જવાબ સાચો છે કે નહીં.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, સંયુક્ત આકારના દરેક ભાગના પરિમાણોને અલગથી સ્પષ્ટ કરો. દરેક ભાગનું ઘનફળ શોધીને તેમનો સરવાળો કરો. ગણતરીમાં \( \pi \) ના આપેલા મૂલ્યનો ઉપયોગ કરો અને અંતિમ જવાબને આશરે કરવાના નિયમોનું પાલન કરો.