GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Exercise 13.1

Question 1. બે ઘન પૈકી પ્રત્યેકનું ધનફળ 64 સેમી³ હોય તેવા બે ઘનને જોડવાથી બનતા લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધો.
Answer: બે ઘનને જોડવાથી એક લંબઘન બને છે. જો દરેક ઘનનું કદ 64 સેમી³ હોય, તો ઘનની બાજુની લંબાઈ \( a \) શોધવા માટે આપણે કદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
\( a^3 = 64 \)
\( a = \sqrt[3]{64} \)
\( a = 4 \) સેમી
જ્યારે બે આવા ઘનને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે લંબઘનની લંબાઈ ઘનની બે બાજુઓના સરવાળા જેટલી થાય છે, જ્યારે પહોળાઈ અને ઊંચાઈ ઘનની બાજુની લંબાઈ જેટલી જ રહે છે.
લંબાઈ \( (l) = a + a = 4 + 4 = 8 \) સેમી
પહોળાઈ \( (b) = a = 4 \) સેમી
ઊંચાઈ \( (h) = a = 4 \) સેમી
લંબઘનના કુલ પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર છે: \( 2(lb + bh + hl) \).
પૃષ્ઠફળ \( = 2 \times (8 \times 4 + 4 \times 4 + 4 \times 8) \)
\( = 2 \times (32 + 16 + 32) \)
\( = 2 \times (80) \)
\( = 160 \) સેમી²
તેથી, બે ઘનને જોડતા બનતા લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ 160 સેમી² થશે.
In simple words: બે ઘન જોડીને એક લાંબો લંબઘન બનાવો. દરેક ઘનનું કદ 64 સેમી³ છે, એટલે તેની બાજુ 4 સેમી હશે. લંબઘનની લંબાઈ 4+4=8 સેમી, જ્યારે પહોળાઈ અને ઊંચાઈ 4 સેમી રહેશે. આ માપનો ઉપયોગ કરીને કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 160 સેમી² આવે છે.

Exam Tip: જ્યારે બે ઘનને જોડવામાં આવે, ત્યારે લંબાઈ બમણી થાય છે, પરંતુ પહોળાઈ અને ઊંચાઈ સમાન રહે છે, આ વાત હંમેશા યાદ રાખો. આ પૃષ્ઠફળ ગણતરીમાં મહત્વનો મુદ્દો છે.

Question 2. એક અર્ધગોલક ઉપર એક પોલો નળાકાર બેસાડેલો હોય તેવું એક પાત્ર છે. અર્ધગોલકનો વ્યાસ 14 સેમી છે અને પાત્રની કુલ ઊંચાઈ 13 સેમી છે. પાત્રની અંદરની સપાટીનું પૃષ્ઠફળ શોધો.
Answer: આપેલ પાત્ર અર્ધગોલક ઉપર નળાકાર મૂકીને બનાવવામાં આવેલું છે.
અર્ધગોલકનો વ્યાસ \( = 14 \) સેમી.
તેથી, ત્રિજ્યા \( (r) = \frac{14}{2} = 7 \) સેમી.
પાત્રની કુલ ઊંચાઈ \( = 13 \) સેમી.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ \( (h) \) શોધવા માટે, આપણે કુલ ઊંચાઈમાંથી અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા બાદ કરીશું.
નળાકારની ઊંચાઈ \( h = \) કુલ ઊંચાઈ – અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા
\( h = 13 - 7 = 6 \) સેમી.
પાત્રની અંદરની સપાટીનું પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે, આપણે નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરીશું.
પાત્રની અંદરની સપાટીનું પૃષ્ઠફળ \( = \) નળાકારનું વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( + \) અર્ધગોલકનું વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
\( = 2\pi rh + 2\pi r^2 \)
\( = 2\pi r (h + r) \)
અહીં \( \pi = \frac{22}{7} \), \( r = 7 \) સેમી અને \( h = 6 \) સેમી.
પૃષ્ઠફળ \( = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (6 + 7) \)
\( = 2 \times 22 \times 13 \)
\( = 44 \times 13 \)
\( = 572 \) સેમી²
આથી, આપેલ પાત્રની અંદરની સપાટીનું કુલ ક્ષેત્રફળ 572 સેમી² છે.
In simple words: પાત્રમાં એક અર્ધગોલક પર નળાકાર છે. અર્ધગોલકનો વ્યાસ 14 સેમી છે, તેથી ત્રિજ્યા 7 સેમી થાય. કુલ ઊંચાઈ 13 સેમી છે, એટલે નળાકારની ઊંચાઈ 13 - 7 = 6 સેમી. કુલ અંદરની સપાટી શોધવા માટે, નળાકાર અને અર્ધગોલકના વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરીએ. ગણતરી કરતા, 572 સેમી² જવાબ મળે છે.

Exam Tip: સંયોજિત આકારોના પૃષ્ઠફળની ગણતરી કરતી વખતે, ખાતરી કરો કે ફક્ત બહારની સપાટીઓને જ ધ્યાનમાં લો, અંદરના ભાગોને નહીં જે એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય.

Question 3. અર્ધગોલકની ઉપર શંકુ લગાવેલો હોય તેવું એક રમકડું છે. તે બંનેની ત્રિજ્યા 3.5 સેમી છે. રમકડાની કુલ ઊંચાઈ 15.5 સેમી હોય, તો રમકડાનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.
Answer: રમકડું એક અર્ધગોલક અને તેની ઉપર બેસાડેલા શંકુથી બનેલું છે.
અર્ધગોલક અને શંકુની ત્રિજ્યા \( (r) = 3.5 \) સેમી \( = \frac{7}{2} \) સેમી.
રમકડાની કુલ ઊંચાઈ \( = 15.5 \) સેમી.
શંકુની ઊંચાઈ \( (h) \) શોધવા માટે, આપણે રમકડાની કુલ ઊંચાઈમાંથી અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા બાદ કરીશું.
શંકુની ઊંચાઈ \( h = \) કુલ ઊંચાઈ – અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા
\( h = 15.5 - 3.5 = 12 \) સેમી.
શંકુની તિર્ધક ઊંચાઈ \( (l) \) શોધવા માટે, આપણે પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું: \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \).
\( l = \sqrt{(3.5)^2 + (12)^2} \)
\( l = \sqrt{12.25 + 144} \)
\( l = \sqrt{156.25} \)
\( l = 12.5 \) સેમી.
રમકડાનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે, આપણે શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરીશું.
કુલ પૃષ્ઠફળ \( = \) શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( + \) અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
\( = \pi rl + 2\pi r^2 \)
\( = \pi r (l + 2r) \)
અહીં \( \pi = \frac{22}{7} \), \( r = \frac{7}{2} \) સેમી, અને \( l = 12.5 \) સેમી.
પૃષ્ઠફળ \( = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times (12.5 + 2 \times \frac{7}{2}) \)
\( = 11 \times (12.5 + 7) \)
\( = 11 \times 19.5 \)
\( = 214.5 \) સેમી²
આથી, રમકડાનું કુલ પૃષ્ઠફળ 214.5 સેમી² થશે.
In simple words: રમકડું એક અર્ધગોલક પર શંકુથી બનેલું છે. બંનેની ત્રિજ્યા 3.5 સેમી અને કુલ ઊંચાઈ 15.5 સેમી છે. શંકુની ઊંચાઈ 12 સેમી અને તિર્ધક ઊંચાઈ 12.5 સેમી મળે છે. રમકડાની કુલ સપાટી શંકુ અને અર્ધગોલકના વક્ર ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે, જે 214.5 સેમી² થાય છે.

Exam Tip: શંકુ અને અર્ધગોલકના સંયોજનમાં કુલ ઊંચાઈમાંથી અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા બાદ કરીને શંકુની ઊંચાઈ મેળવવાની પ્રક્રિયા ભૂલશો નહીં.

Question 4. 7 સેમી બાજુના માપવાળા સમઘનની ઉપર અર્ધગોલક મૂકેલો છે, તો અર્ધગોલકનો મહત્તમ વ્યાસ શું હોઈ શકે? આ રીતે બનેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.
Answer: જ્યારે એક સમઘન ઉપર અર્ધગોલક મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે અર્ધગોલકનો મહત્તમ વ્યાસ સમઘનની બાજુની લંબાઈ જેટલો હોઈ શકે છે.
અહીં, સમઘનની બાજુ \( (a) = 7 \) સેમી.
તેથી, અર્ધગોલકનો મહત્તમ વ્યાસ \( = 7 \) સેમી.
આથી, અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા \( (r) = \frac{7}{2} \) સેમી.
બનતા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે, આપણે સમઘનના કુલ પૃષ્ઠફળ, અર્ધગોલકના વક્ર પૃષ્ઠફળ અને સમઘનની સપાટી પરથી અર્ધગોલક દ્વારા આવરી લેવાયેલ આધાર ક્ષેત્રફળને બાદ કરીશું.
કુલ પૃષ્ઠફળ \( = \) સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ \( + \) અર્ધગોલકનું વક્ર પૃષ્ઠફળ – અર્ધગોલકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ
\( = 6a^2 + 2\pi r^2 - \pi r^2 \)
\( = 6a^2 + \pi r^2 \)
અહીં \( a = 7 \) સેમી અને \( r = \frac{7}{2} \) સેમી.
પૃષ્ઠફળ \( = (6 \times 7 \times 7) + (\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}) \)
\( = (6 \times 49) + (\frac{22 \times 7}{4}) \)
\( = 294 + (\frac{154}{4}) \)
\( = 294 + 38.5 \)
\( = 332.5 \) સેમી²
આથી, અર્ધગોલકનો મહત્તમ વ્યાસ 7 સેમી છે અને બનતા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ 332.5 સેમી² થશે.
In simple words: 7 સેમી બાજુવાળા ઘન પર અર્ધગોલક મૂકવાથી, અર્ધગોલકનો સૌથી મોટો વ્યાસ 7 સેમી હશે. આથી ત્રિજ્યા 3.5 સેમી થાય. કુલ સપાટી શોધવા માટે, ઘનની સપાટીમાં અર્ધગોલકની વક્ર સપાટી ઉમેરો અને ઘનની ટોચ પરથી અર્ધગોલકનો આધાર બાદ કરો. ગણતરી કરતા 332.5 સેમી² મળે છે.

Exam Tip: આવા સંયુક્ત પદાર્થોના પૃષ્ઠફળની ગણતરી કરતી વખતે, યાદ રાખો કે સમઘનનો જે ભાગ અર્ધગોલકથી ઢંકાયેલો છે, તેનું ક્ષેત્રફળ કુલ પૃષ્ઠફળમાં ગણાશે નહીં.

Question 5. એક સમઘન લાકડાના ટુકડાના એક પૃષ્ઠમાંથી એક અર્ધગોલક કાપવામાં આવે છે. અર્ધગોલકનો વ્યાસ \( l \) એ સમધનની બાજુના માપ બરાબર છે, તો બાકી પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.
Answer: આપણી પાસે એક સમઘન લાકડાનો ટુકડો છે જેમાંથી એક અર્ધગોલક કાપી લેવામાં આવ્યો છે.
સમઘનની બાજુની લંબાઈ \( = l \).
અર્ધગોલકનો વ્યાસ \( = l \).
તેથી, અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા \( (r) = \frac{l}{2} \).
બાકી રહેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે, આપણે સમઘનના કુલ પૃષ્ઠફળમાં અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઉમેરીશું અને સમઘનના તે પૃષ્ઠમાંથી અર્ધગોલકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીશું જ્યાંથી તેને કાપી લેવામાં આવ્યું છે.
સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ \( = 6l^2 \).
કાપવામાં આવેલ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( = 2\pi r^2 = 2\pi (\frac{l}{2})^2 = 2\pi \frac{l^2}{4} = \frac{1}{2}\pi l^2 \).
કાપવામાં આવેલ અર્ધગોલકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi r^2 = \pi (\frac{l}{2})^2 = \pi \frac{l^2}{4} = \frac{1}{4}\pi l^2 \).
બાકી પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ \( = \) સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ \( + \) અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ – અર્ધગોલકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ
\( = 6l^2 + \frac{1}{2}\pi l^2 - \frac{1}{4}\pi l^2 \)
\( = 6l^2 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4})\pi l^2 \)
\( = 6l^2 + \frac{1}{4}\pi l^2 \)
\( = l^2 (6 + \frac{\pi}{4}) \)
\( = \frac{l^2}{4} (24 + \pi) \)
આથી, બાકી પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ \( \frac{l^2}{4} (24 + \pi) \) થશે.
In simple words: એક ઘનમાંથી અર્ધગોલક કાપી લેવામાં આવે છે. ઘનની બાજુ અને અર્ધગોલકનો વ્યાસ \( l \) છે. બાકી પદાર્થની કુલ સપાટી શોધવા માટે, ઘનના કુલ પૃષ્ઠફળમાં અર્ધગોલકની વક્ર સપાટી ઉમેરીને તેનો આધાર બાદ કરીએ. અંતિમ સૂત્ર \( \frac{l^2}{4} (24 + \pi) \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે ઘનમાંથી કોઈ ભાગ કાપી લેવામાં આવે ત્યારે કુલ પૃષ્ઠફળની ગણતરી કરતી વખતે, કાપેલા ભાગની વક્ર સપાટી ઉમેરાય છે, પરંતુ કાપવાના કારણે બનેલા છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ (જે પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે) બાદ કરવામાં આવે છે.

Question 6. દવાની એક કૅસ્યુલનો આકાર નળાકારની બંને બાજુએ અર્ધગોલક લગાડેલા હોય તે રીતનો છે. કૅસ્યુલની લંબાઈ 14 મિમી છે અને તેનો વ્યાસ 5 મિમી છે, તો કૅસ્યુલનું પૃષ્ઠફળ શોધો.
Answer: દવાના કૅસ્યુલનો આકાર મધ્યમાં નળાકાર અને બંને છેડે બે અર્ધગોલક જોડાયેલા હોય તેવો છે.
કૅસ્યુલનો કુલ વ્યાસ \( = 5 \) મિમી.
તેથી, ત્રિજ્યા \( (r) = \frac{5}{2} = 2.5 \) મિમી.
કૅસ્યુલની કુલ લંબાઈ \( = 14 \) મિમી.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ \( (h) \) શોધવા માટે, આપણે કુલ લંબાઈમાંથી બંને અર્ધગોલકની ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો બાદ કરીશું (કારણ કે અર્ધગોલકની ઊંચાઈ તેની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે).
નળાકારની ઊંચાઈ \( h = \) કુલ લંબાઈ – \( (2 \times \) અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા)
\( h = 14 - (2 \times 2.5) \)
\( h = 14 - 5 = 9 \) મિમી.
કૅસ્યુલનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે, આપણે નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને બંને અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરીશું.
કુલ પૃષ્ઠફળ \( = \) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( + 2 \times \) અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
\( = 2\pi rh + 2(2\pi r^2) \)
\( = 2\pi rh + 4\pi r^2 \)
\( = 2\pi r (h + 2r) \)
અહીં \( \pi = \frac{22}{7} \), \( r = \frac{5}{2} \) મિમી અને \( h = 9 \) મિમી.
પૃષ્ઠફળ \( = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{2} \times (9 + 2 \times \frac{5}{2}) \)
\( = \frac{22}{7} \times 5 \times (9 + 5) \)
\( = \frac{110}{7} \times 14 \)
\( = 110 \times 2 \)
\( = 220 \) મિમી²
આથી, કૅસ્યુલનું કુલ પૃષ્ઠફળ 220 મિમી² થશે.
In simple words: કૅસ્યુલ એક નળાકાર અને બે છેડે અર્ધગોલકથી બનેલી છે. તેનો વ્યાસ 5 મિમી (ત્રિજ્યા 2.5 મિમી) અને કુલ લંબાઈ 14 મિમી છે. નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ 14 - (2x2.5) = 9 મિમી થશે. કુલ સપાટી શોધવા માટે, નળાકાર અને બે અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનો સરવાળો કરતા 220 મિમી² જવાબ મળે છે.

Exam Tip: કૅસ્યુલ જેવા આકારમાં નળાકાર ભાગની લંબાઈ નક્કી કરતી વખતે, કુલ લંબાઈમાંથી બંને છેડેના અર્ધગોલકની ત્રિજ્યાઓ બાદ કરવાનું યાદ રાખો.

Question 7. એક તંબુનો આકાર નળાકાર ઉપર શંકુ મૂકવામાં આવેલ હોય તેવો છે. જો નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ અને વ્યાસ અનુક્રમે 2.1 મીટર અને 4 મીટર હોય તથા ઉપરના ભાગની તિર્યક ઊંચાઈ 2.8 મીટર હોય, તો આ તંબુ બનાવવા વપરાતા કૅન્વાસનું ક્ષેત્રફળ શોધો અને જો કેન્વાસનો ભાવ 500 પ્રતિ મીટર હોય, તો તેમાં વપરાતા કેન્વાસની કિંમત પણ શોધો. (તંબુના તળિયાને કેન્વાસથી ઢાંકવામાં આવતો નથી તે ધ્યાનમાં લેવું.)
Answer: તંબુ એક નળાકારના આકારમાં છે, જેના ઉપર શંકુ આકારનું છાપરું છે.
નળાકાર ભાગનો વ્યાસ \( = 4 \) મીટર.
તેથી, ત્રિજ્યા \( (r) = \frac{4}{2} = 2 \) મીટર.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ \( (h) = 2.1 \) મીટર.
શંકુ આકારના ભાગની તિર્ધક ઊંચાઈ \( (l) = 2.8 \) મીટર.
તંબુ બનાવવા માટે વપરાતા કૅન્વાસનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરીશું. તળિયું કૅન્વાસથી ઢાંકવામાં આવતું નથી.
કૅન્વાસનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = \) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( + \) શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
\( = 2\pi rh + \pi rl \)
\( = \pi r (2h + l) \)
અહીં \( \pi = \frac{22}{7} \), \( r = 2 \) મીટર, \( h = 2.1 \) મીટર અને \( l = 2.8 \) મીટર.
ક્ષેત્રફળ \( = \frac{22}{7} \times 2 \times (2 \times 2.1 + 2.8) \)
\( = \frac{44}{7} \times (4.2 + 2.8) \)
\( = \frac{44}{7} \times 7 \)
\( = 44 \) મીટર².
કૅન્વાસની કિંમત ગણવા માટે, આપણે કુલ ક્ષેત્રફળને પ્રતિ મીટર²ના ભાવથી ગુણીશું.
1 મીટર² કૅન્વાસનો ભાવ \( = \) Rs. 500.
કૅન્વાસની કુલ કિંમત \( = 44 \times 500 \)
\( = \) Rs. 22,000.
આથી, તંબુ બનાવવા માટે 44 મીટર² કૅન્વાસની જરૂર પડશે અને તેની કુલ કિંમત Rs. 22,000 થશે.
In simple words: તંબુ એક સિલિન્ડર પર શંકુથી બનેલો છે. સિલિન્ડરની ઊંચાઈ 2.1 મીટર અને વ્યાસ 4 મીટર છે, તેથી ત્રિજ્યા 2 મીટર. શંકુની ત્રાંસી ઊંચાઈ 2.8 મીટર છે. તંબુના કૅન્વાસનું ક્ષેત્રફળ 44 મીટર² મળે છે (સિલિન્ડર અને શંકુની વક્ર સપાટીનો સરવાળો). જો 1 મીટર² કૅન્વાસનો ભાવ Rs. 500 હોય, તો કુલ કિંમત 44 * 500 = Rs. 22,000 થશે.

Exam Tip: તંબુના પ્રશ્નોમાં "તળિયાને કૅન્વાસથી ઢાંકવામાં આવતું નથી" જેવી સૂચનાઓ પર ધ્યાન આપો, કારણ કે તે કુલ પૃષ્ઠફળની ગણતરીમાં આધાર ક્ષેત્રફળને બાકાત રાખે છે.

Question 8. નળાકાર પદાર્થની ઊંચાઈ 2.4 સેમી અને વ્યાસ 1.4 સેમી છે. તેમાંથી તેટલી જ ઊંચાઈ અને વ્યાસવાળો શંકુ કાપી લેવામાં આવે, તો વધેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ નજીકના સેમીમાં શોધો.
Answer: આપણી પાસે એક નળાકાર છે જેમાંથી તેટલી જ ઊંચાઈ અને વ્યાસ ધરાવતો શંકુ કાપી લેવામાં આવ્યો છે.
નળાકાર અને શંકુનો વ્યાસ \( = 1.4 \) સેમી.
તેથી, ત્રિજ્યા \( (r) = \frac{1.4}{2} = 0.7 \) સેમી.
નળાકાર અને શંકુની ઊંચાઈ \( (h) = 2.4 \) સેમી.
શંકુની તિર્ધક ઊંચાઈ \( (l) \) શોધવા માટે, આપણે પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું: \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \).
\( l = \sqrt{(0.7)^2 + (2.4)^2} \)
\( l = \sqrt{0.49 + 5.76} \)
\( l = \sqrt{6.25} \)
\( l = 2.5 \) સેમી.
વધેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે, આપણે નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ, નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ અને કાપેલા શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરીશું.
કુલ પૃષ્ઠફળ \( = \) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( + \) નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ \( + \) શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
\( = 2\pi rh + \pi r^2 + \pi rl \)
\( = \pi r (2h + r + l) \)
અહીં \( \pi = \frac{22}{7} \), \( r = 0.7 \) સેમી, \( h = 2.4 \) સેમી અને \( l = 2.5 \) સેમી.
પૃષ્ઠફળ \( = \frac{22}{7} \times 0.7 \times (2 \times 2.4 + 0.7 + 2.5) \)
\( = 2.2 \times (4.8 + 0.7 + 2.5) \)
\( = 2.2 \times 8 \)
\( = 17.6 \) સેમી².
નજીકના પૂર્ણાંકમાં, પૃષ્ઠફળ \( = 18 \) સેમી².
આથી, વધેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ નજીકના 18 સેમી² થશે.
In simple words: એક સિલિન્ડરમાંથી સમાન ઊંચાઈ અને વ્યાસનો શંકુ કાપી લેવામાં આવે છે. સિલિન્ડરની ઊંચાઈ 2.4 સેમી અને વ્યાસ 1.4 સેમી (ત્રિજ્યા 0.7 સેમી) છે. શંકુની ત્રાંસી ઊંચાઈ 2.5 સેમી મળે છે. બાકી રહેલી વસ્તુની કુલ સપાટી શોધવા માટે, સિલિન્ડરની વક્ર સપાટી, સિલિન્ડરનો આધાર અને શંકુની વક્ર સપાટીનો સરવાળો કરતા 17.6 સેમી² મળે છે, જે નજીકના 18 સેમી² છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, કાપેલા શંકુની વક્ર સપાટીને કુલ પૃષ્ઠફળમાં ઉમેરવાનું અને નળાકારના પાયાને ભૂલ્યા વિના ગણવાનું યાદ રાખો. નજીકના પૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર કરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 9. આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે લાકડાના નળાકારમાંથી બંને બાજુએથી અર્ધગોલક કાઢી એક લાકડાનો શો-પીસ બનાવ્યો છે. જો નળાકારની ઊંચાઈ 10 સેમી હોય અને પાયાની ત્રિજ્યા 3.5 સેમી હોય, તો શો-પીસનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.
Answer: આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, એક નળાકાર લાકડામાંથી બંને છેડેથી અર્ધગોલક કાપીને એક શો-પીસ બનાવવામાં આવ્યો છે.
નળાકારની ઊંચાઈ \( (h) = 10 \) સેમી.
નળાકારના પાયાની ત્રિજ્યા \( (r) = 3.5 \) સેમી \( = \frac{7}{2} \) સેમી.
શો-પીસનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે, આપણે નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને બંને કાપી લીધેલા અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરીશું. આ કિસ્સામાં, નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવામાં આવતું નથી કારણ કે અર્ધગોલક અંદરથી કાપીને પોલો ભાગ બનાવે છે, જે નવી સપાટી ઉમેરે છે.
કુલ પૃષ્ઠફળ \( = \) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( + 2 \times \) અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
\( = 2\pi rh + 2(2\pi r^2) \)
\( = 2\pi rh + 4\pi r^2 \)
\( = 2\pi r (h + 2r) \)
અહીં \( \pi = \frac{22}{7} \), \( r = \frac{7}{2} \) સેમી અને \( h = 10 \) સેમી.
પૃષ્ઠફળ \( = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times (10 + 2 \times \frac{7}{2}) \)
\( = 2 \times 11 \times (10 + 7) \)
\( = 22 \times 17 \)
\( = 374 \) સેમી².
આથી, શો-પીસનું કુલ પૃષ્ઠફળ 374 સેમી² થશે.
In simple words: એક સિલિન્ડરમાંથી બંને છેડે અર્ધગોલક કાપીને શો-પીસ બનાવાયો છે. સિલિન્ડરની ઊંચાઈ 10 સેમી અને ત્રિજ્યા 3.5 સેમી છે. શો-પીસની કુલ સપાટી શોધવા માટે, સિલિન્ડરની વક્ર સપાટી અને બંને અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનો સરવાળો કરીએ. ગણતરી કરતા 374 સેમી² જવાબ મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ ઘનમાંથી ભાગ કાપીને બહાર કાઢવામાં આવે છે, ત્યારે તે અંદરની સપાટી ખુલ્લી કરે છે. આથી, કાપેલા ભાગની વક્ર સપાટીને હંમેશા કુલ પૃષ્ઠફળમાં ઉમેરવામાં આવે છે.