GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Exercise 13.5

Question 1. 3 mm વ્યાસવાળા તાંબાના તારને 12 સેમી ઊંચાઈ અને 10 સેમી વ્યાસવાળા નળાકાર પર એવી રીતે વીંટવામાં આવે છે કે નળાકારની વક્રસપાટી સંપૂર્ણપણે ઢંકાઈ જાય છે, તો તારની લંબાઈ અને દળ શોધો. તાંબાની ધનતા 8.88 ગ્રામ / સેમી³ સ્વીકારવામાં આવી છે.
Answer: નળાકારની ઊંચાઈ = 12 સેમી = 120 મિમી
તારનો વ્યાસ 3 મિમી હોવાથી, તારનો એક આંટો નળાકારની ઊંચાઈમાંથી 3 મિમી જેટલા ભાગને ઢાંકી દે છે.
આથી નળાકારની વક્રસપાટીને સંપૂર્ણપણે કવર કરવા માટે તારના જરૂરી આંટાની સંખ્યા = \(\frac{120}{3} = 40\).
નળાકારની ત્રિજ્યા \(r = \frac{10}{2}\) સેમી = 5 સેમી
આથી નળાકાર ફરતે એક આંટો મારતા તારની લંબાઈ = નળાકારના પાયાનો પરિઘ = \(2\pi r\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 5 \) સેમી
આથી નળાકારની સપાટીને સંપૂર્ણપણે કવર કરવા જરૂરી તારની લંબાઈ \(H = (40 \times \frac{22}{7} \times 5)\) સેમી = 1257.14 સેમી
તારની ત્રિજ્યા \(R = \frac{3 \text{ મિમી}}{2} = \frac{3}{20}\) સેમી (મિમી ને સેમી માં બદલતા)
તારનું ઘનફળ \( = \pi R^2 H\)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{3}{20} \times \frac{3}{20} \times 1257.14 \) સેમી³
\( = 88.8978 \) સેમી³
તારનું દળ \( = \) ઘનફળ \(\times\) ઘનતા
\( = (88.8978 \times 8.88) \) ગ્રામ
\( = 789.41 \) ગ્રામ \( = 789 \) ગ્રામ (આશરે)
આમ, તારની લંબાઈ 1257.14 સેમી થાય અને તારનું દળ 789 ગ્રામ (આશરે) થાય.
In simple words: પહેલા નળાકારને ઢાંકવા માટે તારના કેટલા આંટા જોઈએ તે શોધો. પછી તારની કુલ લંબાઈ શોધીએ. તારનું ઘનફળ શોધવા માટે તેની ત્રિજ્યા અને કુલ લંબાઈ વાપરો. છેલ્લે, ઘનફળને ધનતા વડે ગુણીને તારનું દળ મેળવીએ.

Exam Tip: એકમોનું રૂપાંતરણ (મિમીથી સેમી) કાળજીપૂર્વક કરો અને ગણતરીમાં પાયાના પરિઘનો ઉપયોગ યોગ્ય રીતે કરો.

Question 2. એક કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ 3 સેમી અને 4 સેમી (કર્ણ સિવાયની બાજુઓ) છે. તેને તેના કર્ણ આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે. તેનાથી પ્રાપ્ત થતા બે શંકુનું ઘનફળ અને તેમની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો. (\(\pi\) ની કિંમત તમને અનુકૂળ પસંદ કરો.)
Answer: \(\triangle\) ABCમાં, \(\angle A = 90^\circ\); AB = 3 સેમી અને AC = 4 સેમી
તેથી, BC = \( \sqrt{AB^2+AC^2} \) (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
\( = \sqrt{3^2+4^2} \) સેમી
\( = \sqrt{9+16} \) સેમી
\( = 5 \) સેમી
ધારો કે, AD \( \perp \) BC.
\(\triangle\) ABCનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} \times AB \times AC \) (કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ)
\( = \frac{1}{2} \times BC \times AD \) (પાયો \(\times\) ઊંચાઈ)
\(\implies AB \times AC = BC \times AD\)
\(\implies 3 \times 4 = 5 \times AD\)
\(\implies AD = \frac{12}{5}\) સેમી
\(\implies AD = 2.4\) સેમી
શંકુ BAA′ અને શંકુ CAA′ દ્વારા શંકુની જોડ બને છે. (અહીં B અને C એ શંકુના શિરોબિંદુઓ છે, અને A એ બિંદુ છે જે સામાન્ય વર્તુળાકાર પાયો બનાવે છે. AD એ આ પાયાની ત્રિજ્યા છે.)
શંકુ BAA′ માટે, ત્રિજ્યા \(r = AD = 2.4\) સેમી, ઊંચાઈ \(h_1 = BD\), અને તિર્યક ઊંચાઈ \(l_1 = AB = 3\) સેમી.
શંકુ CAA′ માટે, ત્રિજ્યા \(r = AD = 2.4\) સેમી, ઊંચાઈ \(h_2 = CD\), અને તિર્યક ઊંચાઈ \(l_2 = AC = 4\) સેમી.
શંકુની જોડનું ઘનફળ \( = \) શંકુ BAA′નું ઘનફળ \( + \) શંકુ CAA′નું ઘનફળ
\( = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 \)
\( = \frac{1}{3} \pi r^2 (h_1 + h_2) \)
\( = \frac{1}{3} \pi r^2 (BD + CD) \)
\( = \frac{1}{3} \pi r^2 (BC) \) (\( \because BD + CD = BC \))
\( = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (2.4)^2 \times 5 \) સેમી³ (\( \pi = 3.14 \) લેતા)
\( = 30.14 \) સેમી³
શંકુની જોડની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( = \) શંકુ BAA′ની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( + \) શંકુ CAA′ની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ
\( = \pi r l_1 + \pi r l_2 \)
\( = \pi r (l_1 + l_2) \)
\( = 3.14 \times 2.4 \times (3 + 4) \) સેમી²
\( = 3.14 \times 2.4 \times 7 \) સેમી²
\( = 52.75 \) સેમી²
આમ, શંકુની જોડનું ઘનફળ 30.14 સેમી³ થાય અને તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 52.75 સેમી² થાય.
In simple words: કાટકોણ ત્રિકોણને તેના કર્ણની આસપાસ ફેરવવાથી બે શંકુ બને છે જે એકબીજાના પાયાથી જોડાયેલા હોય છે. પહેલા, પાયથાગોરસનો નિયમ વાપરીને કર્ણની લંબાઈ અને સામાન્ય પાયાની ત્રિજ્યા (ઉંચાઈ) શોધીએ. પછી, દરેક શંકુના ઘનફળ અને વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર વાપરીને કુલ ઘનફળ અને કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ મેળવીએ.

Exam Tip: કાટકોણ ત્રિકોણને કર્ણની આસપાસ ફેરવવાથી બનતા ઘન આકારમાં બે શંકુ એક સામાન્ય પાયા પર જોડાયેલા હોય છે, અને મૂળ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શંકુના શિરોબિંદુઓ અને સામાન્ય પાયાની ત્રિજ્યા બનશે.

Question 3. એક ટાંકીનાં આંતરિક માપ 150 સેમી \(\times\) 120 સેમી \(\times\) 110 સેમી છે. તેમાં 129600 સેમી³ પાણી છે. ટાંકી પૂરેપૂરી ભરાય ન જાય ત્યાં સુધી તે પાણીમાં છિદ્રવાળી ઈંટો નાખવામાં આવે છે. પ્રત્યેક ઈટ તેના \(\frac{1}{17}\) ઘનફળ જેટલું પાણી શોષી લે છે. પ્રત્યેક ઈંટનું માપ 22.5 સેમી \(\times\) 7.5 સેમી \(\times\) 6.5 સેમી છે, તો પાણી બહાર ન આવે તે રીતે તે ટાંકીમાં કેટલી ઈંટો નાખી શકાય?
Answer: લંબઘનાકાર ટાંકી માટે, લંબાઈ \(l = 150\) સેમી, પહોળાઈ \(b = 120\) સેમી અને ઊંચાઈ \(h = 110\) સેમી.
ટાંકીનું ઘનફળ \( = l \times b \times h \)
\( = 150 \times 120 \times 110 \) સેમી³
\( = 1980000 \) સેમી³
ટાંકીમાં રહેલ પાણીનું ઘનફળ \( = 129600 \) સેમી³
ઈંટો નાખવાથી ખસતા પાણી દ્વારા ભરવાનો બાકી રહેલો ટાંકીના ભાગનું ઘનફળ \( = (1980000 - 129600) \) સેમી³
\( = 1850400 \) સેમી³
લંબઘનાકાર ઈંટ માટે, લંબાઈ \(l = 22.5\) સેમી; પહોળાઈ \(b = 7.5\) સેમી અને ઊંચાઈ \(h = 6.5\) સેમી.
1 ઈંટનું ઘનફળ \( = l \times b \times h \)
\( = 22.5 \times 7.5 \times 6.5 \) સેમી³
\( = 1096.875 \) સેમી³
ઈંટ તેના \(\frac{1}{17}\) ઘનફળ જેટલું પાણી શોષી લે છે.
આથી ઈંટ દ્વારા તેના ઘનફળના \(\frac{16}{17}\) ભાગ જેટલું પાણી ખસેડવામાં આવે છે.
\(\implies\) 1 ઈંટ દ્વારા ખસેડાતા પાણીનું ઘનફળ \( = (\frac{16}{17} \times 1096.875) \) સેમી³
ધારો કે, પાણી બહાર ન આવે તે રીતે ટાંકીમાં \(n\) ઈંટો નાખી શકાય.
\(\implies n\) ઈંટો દ્વારા ખસેડાતા પાણીનું ઘનફળ \( = \) ખસતા પાણી દ્વારા ભરવાનો બાકી રહેલો ટાંકીના ભાગનું ઘનફળ
\(\implies n \times \frac{16}{17} \times 1096.875 = 1850400\)
\(\implies n = \frac{1850400 \times 17}{16 \times 1096.875}\)
\(\implies n = 1792.41\)
\(\implies n = 1792\) (પૂર્ણકમાં)
આમ, પાણી બહાર ન આવે તે રીતે તે ટાંકીમાં 1792 ઈંટો નાખી શકાય.
In simple words: પહેલા ટાંકીમાં કેટલા પાણીની જરૂર છે તે શોધો. પછી એક ઈંટ કેટલું પાણી ખસેડી શકે છે તે શોધો (પાણી શોષી લેવાનો ભાગ બાદ કરીને). પછી ટાંકીમાં જેટલા પાણીની જરૂર છે તેને એક ઈંટ દ્વારા ખસેડાતા પાણી વડે ભાગીને કુલ કેટલી ઈંટો જોઈશે તે મેળવો.

Exam Tip: ઈંટો દ્વારા શોષાઈ જતા પાણીના ભાગને બાદ કરવાનું ભૂલશો નહીં અને ખાલી જગ્યા ભરવા માટે જરૂરી ચોખ્ખા ઘનફળની ગણતરી બરાબર કરો.

Question 4. આપેલા મહિનાના કોઈ એક પખવાડિયામાં એક નદીની ઘાટીમાં 10 સેમી વરસાદ પડ્યો છે. જો તે ઘાટીનું ક્ષેત્રફળ 7280 કિમી² હોય, તો બતાવો કે કુલ વરસાદ લગભગ ત્રણ નદીઓના સામાન્ય પાણીના સરવાળા બરાબર હતો. પ્રત્યેક નદી 1072 કિમી લાંબી, 75 મીટર પહોળી અને 3 મીટર ઊંડી છે.
Answer: 1 કિમી² \( = 1000000 \) મી².
એક પખવાડિયામાં નદીની ઘાટીમાં પડેલા વરસાદના પાણીનું કુલ ઘનફળ \( = \) ઘાટીનું ક્ષેત્રફળ \(\times\) પડેલ વરસાદની ઊંચાઈ
\( = 7280 \) કિમી² \(\times\) 10 સેમી
\( = 7280 \times 10^6 \) મી² \(\times\) 0.1 મી (\( \because \) 1 કિમી² \( = 10^6 \) મી² અને 10 સેમી \( = 0.1 \) મી)
\( = 728000000 \) મી³
\( = 0.728 \) કિમી³ ................(1)
એક નદીમાં રહેતા સામાન્ય પાણીનું ઘનફળ \( = 1072 \) કિમી \(\times\) 75 મી \(\times\) 3 મી
\( = 1072 \times 0.075 \) કિમી \(\times\) 0.003 \) કિમી (\( \because \) 75 મી \( = 0.075 \) કિમી અને 3 મી \( = 0.003 \) કિમી)
\( = 0.2412 \) કિમી³
ત્રણ નદીમાં રહેતા સામાન્ય પાણીનું કુલ ઘનફળ \( = 3 \times 0.2412 \) કિમી³
\( = 0.7236 \) કિમી³ ................(2)
(1) અને (2)માં મળેલ કિંમતો લગભગ સમાન છે.
આમ, એક પખવાડિયામાં નદીની ઘાટીમાં પડેલા વરસાદનું પાણી ત્રણ નદીઓના સામાન્ય પાણીના સરવાળા બરાબર હતું.
In simple words: પહેલા ઘાટીમાં પડેલા વરસાદના પાણીનું કુલ ઘનફળ શોધો. પછી એક નદીમાં કેટલું પાણી હોય તે શોધો અને તેને ત્રણ વડે ગુણો. જો આ બંને કિંમતો સરખી આવે, તો તમારો જવાબ સાચો છે.

Exam Tip: કદની ગણતરી કરતી વખતે કિલોમીટર અને મીટર જેવા એકમો વચ્ચે યોગ્ય રૂપાંતરણ કરવાનું યાદ રાખો.

Question 5. પતરાની એક ચીમની 10 સેમી લાંબા નળાકારના છેડે શંકુના આડછેદથી બનેલી છે. જો તેની કુલ ઊંચાઈ 22 સેમી હોય તથા નળાકાર ભાગનો વ્યાસ 8 સેમી અને ચીમનીના ઉપરના ભાગનો વ્યાસ 18 સેમી હોય, તો ચીમની બનાવવામાં વપરાતા પતરાનું ક્ષેત્રફળ શોધો. (જુઓ આકૃતિ)
Answer: ચીમનીના નળાકાર ભાગ માટે:
ત્રિજ્યા \(r = \frac{8}{2}\) સેમી = 4 સેમી
ઊંચાઈ \(h = 10\) સેમી
નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( = 2\pi r h\)
\( = 2 \times \pi \times 4 \times 10 \)
\( = 80\pi \) સેમી²
શંકુના આડછેદ (frustum) માટે:
મોટી ત્રિજ્યા \(r_1 = \frac{18}{2}\) સેમી = 9 સેમી (ચીમનીના ઉપરના ભાગનો વ્યાસ)
નાની ત્રિજ્યા \(r_2 = \) નળાકારની ત્રિજ્યા \( = 4 \) સેમી (નળાકારના ઉપરના ભાગનો વ્યાસ)
આડછેદની ઊંચાઈ \(h_f = \) કુલ ઊંચાઈ \( - \) નળાકારની ઊંચાઈ \( = 22 - 10 = 12 \) સેમી
શંકુના આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ \( l = \sqrt{h_f^2 + (r_1-r_2)^2} \)
\( = \sqrt{12^2 + (9-4)^2} \)
\( = \sqrt{12^2 + 5^2} \)
\( = \sqrt{144 + 25} \)
\( = \sqrt{169} \)
\( = 13 \) સેમી
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi l (r_1 + r_2) \)
\( = \pi \times 13 \times (9 + 4) \) સેમી²
\( = \pi \times 13 \times 13 \)
\( = 169\pi \) સેમી²
ચીમની બનાવવામાં વપરાતા પતરાનું ક્ષેત્રફળ \( = \) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( + \) શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( + \) નળાકારનો પાયો (ચીમનીનો નીચેનો ભાગ)
\( = 80\pi + 169\pi + \pi r^2 \)
\( = 249\pi + \pi (4)^2 \)
\( = 249\pi + 16\pi \)
\( = 265\pi \) સેમી²
\( = 265 \times \frac{22}{7} \)
\( = \frac{5830}{7} \approx 832.86 \) સેમી²
આમ, ચીમની બનાવવામાં વપરાતા પતરાનું ક્ષેત્રફળ 832.86 સેમી² (આશરે) છે.
In simple words: ચીમનીમાં એક નળાકાર ભાગ અને એક શંકુનો આડછેદ છે. પહેલા નળાકાર ભાગની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો. પછી આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ શોધીને તેની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો. છેલ્લે, બંનેના ક્ષેત્રફળ અને નળાકારના પાયાના ક્ષેત્રફળને ભેગા કરીને કુલ પતરાનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

Exam Tip: સંયુક્ત ઘન આકારોના પ્રશ્નોમાં, દરેક ઘટક આકાર (જેમ કે નળાકાર અને શંકુનો આડછેદ) માટે અલગથી ગણતરી કરો અને પછી કુલ ક્ષેત્રફળ અથવા ઘનફળ શોધવા માટે તેમને ઉમેરો.

Question 6. વિભાગ 13.5માં આપવામાં આવેલા સંકેતોની મદદથી શંકુના આડછેદની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને કુલ પૃષ્ઠફળનું સૂત્ર તારવો.
Answer: શંકુના આડછેદની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને કુલ પૃષ્ઠફળના સૂત્રો શંકુના ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાંથી તારવી શકાય છે. શંકુનો આડછેદ એ એક મોટા શંકુમાંથી નાના શંકુને કાપીને બનાવવામાં આવે છે, જે મૂળ મોટા શંકુના શિરોબિંદુ અને પાયાની સમાંતર સમતલ વચ્ચે આવેલો હોય છે. આથી, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે મોટા શંકુના ક્ષેત્રફળમાંથી નાના શંકુના ક્ષેત્રફળને બાદ કરીને સૂત્રો મેળવી શકાય છે. આ પ્રક્રિયામાં સમાન ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
In simple words: શંકુના આડછેદના સૂત્રો મોટા શંકુમાંથી એક નાના શંકુને કાપી નાખવાના વિચારથી બને છે. મોટા શંકુના ક્ષેત્રફળમાંથી નાના શંકુના ક્ષેત્રફળને બાદ કરીને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: શંકુના આડછેદના સૂત્રો તારવતી વખતે સમાન ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો એ મુખ્ય પગલું છે.

Question 7. વિભાગ 13.5માં આપેલ સંકેતોની મદદથી શંકુના આડછેદનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર તારવો.
Answer: આપણે પ્રથમ ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર તારવીએ અને ત્યારબાદ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ તથા કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનાં સૂત્રો તારવીએ.

ધારો કે, શંકુના આડછેદ ACDB માટે ઊંચાઈ \(h\), તિર્યક ઊંચાઈ \(l\), મોટી ત્રિજ્યા \(r_1\), અને નાની ત્રિજ્યા \(r_2\) છે. આપણે તેની જોડે શંકુ PCD જોડી દઈએ (ચિત્રમાં P શિરોબિંદુ અને D નાના શંકુનો પાયો દર્શાવે છે).
આથી શંકુનો આડછેદ ACDB એ શંકુ PAB અને શંકુ PCD નો તફાવત છે.
શંકુ PAB ની ઊંચાઈ \(h_1\), અને તિર્યક ઊંચાઈ \(l_1\) છે, એટલે કે, \(PE = h_1\); અને \(PA = PB = l_1\).
તો, શંકુ PCD ની ઊંચાઈ \( = PQ = h_1 - h\).
\(\triangle PQD \sim \triangle PEB\) (સમરૂપતાના ગુણધર્મો)
\(\implies \frac{PQ}{PE} = \frac{QD}{EB}\)
\(\implies \frac{h_1 - h}{h_1} = \frac{r_2}{r_1}\)
\(\implies 1 - \frac{h}{h_1} = \frac{r_2}{r_1}\)
\(\implies \frac{h}{h_1} = 1 - \frac{r_2}{r_1}\)
\(\implies \frac{h}{h_1} = \frac{r_1 - r_2}{r_1}\)
\(\implies h_1 = \frac{h r_1}{r_1 - r_2}\) ...............(1)
હવે, શંકુ PCD ની ઊંચાઈ \( = PQ = h_1 - h \)
\( = \frac{h r_1}{r_1 - r_2} - h \)
\( = \frac{h r_1 - h(r_1 - r_2)}{r_1 - r_2} \)
\( = \frac{h r_1 - h r_1 + h r_2}{r_1 - r_2} \)
\( = \frac{h r_2}{r_1 - r_2}\) ...............(2)
શંકુના આડછેદનું ઘનફળ \( = \) શંકુ PABનું ઘનફળ \( - \) શંકુ PCDનું ઘનફળ
\( = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 - \frac{1}{3} \pi r_2^2 (h_1 - h) \)
\( = \frac{\pi}{3} [r_1^2 \frac{h r_1}{r_1 - r_2} - r_2^2 \frac{h r_2}{r_1 - r_2}] \) (સમીકરણ (1) અને (2) પરથી)
\( = \frac{\pi h}{3} [\frac{r_1^3 - r_2^3}{r_1 - r_2}] \)
\( = \frac{\pi h}{3} [\frac{(r_1 - r_2)(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)}{r_1 - r_2}] \)
\( = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) \)
આમ, શંકુના આડછેદનું ઘનફળ \( = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) \)

વળી, \(\triangle QPD \sim \triangle EPB\) (સમરૂપતાના ગુણધર્મો)
\(\implies \frac{QD}{EB} = \frac{PD}{PB}\)
\(\implies \frac{r_2}{r_1} = \frac{l_1 - l}{l_1}\)
\(\implies 1 - \frac{l}{l_1} = \frac{r_2}{r_1}\)
\(\implies \frac{l}{l_1} = 1 - \frac{r_2}{r_1}\)
\(\implies \frac{l}{l_1} = \frac{r_1 - r_2}{r_1}\)
\(\implies l_1 = \frac{l r_1}{r_1 - r_2}\) ...............(3)
આથી, \(l_1 - l = \frac{l r_1}{r_1 - r_2} - l = \frac{l r_2}{r_1 - r_2}\) ...............(4)
શંકુના આડછેદની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( = \) શંકુ PABની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( - \) શંકુ PCDની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
\( = \pi r_1 l_1 - \pi r_2 (l_1 - l) \)
\( = \pi [r_1 \frac{l r_1}{r_1 - r_2} - r_2 \frac{l r_2}{r_1 - r_2}] \) (સમીકરણ (3) અને (4) પરથી)
\( = \pi l [\frac{r_1^2 - r_2^2}{r_1 - r_2}] \)
\( = \pi l [\frac{(r_1 - r_2)(r_1 + r_2)}{r_1 - r_2}] \)
\( = \pi l (r_1 + r_2) \)
આમ, શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi l (r_1 + r_2) \), જ્યાં \( l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} \)
આથી શંકુના આડછેદની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi l (r_1 + r_2) + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 \)
In simple words: શંકુના આડછેદનું ઘનફળ શોધવા માટે, આપણે આડછેદને એક મોટા શંકુમાંથી નાના શંકુને કાપીને બનેલો ભાગ તરીકે જોઈ શકીએ છીએ. મોટા શંકુના ઘનફળમાંથી નાના શંકુનું ઘનફળ બાદ કરીને આડછેદનું ઘનફળ મળે છે. આ જ રીતે, વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ પણ મોટા શંકુના વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળમાંથી નાના શંકુનું વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને શોધી શકાય છે. કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે વક્ર સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ઉપરના અને નીચેના વર્તુળાકાર પાયાના ક્ષેત્રફળને ઉમેરો.

Exam Tip: શંકુના આડછેદના ઘનફળ અને પૃષ્ઠફળના સૂત્રો તારવતી વખતે સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મો અને પાયાની ત્રિજ્યા તથા ઊંચાઈ વચ્ચેના સંબંધનો કાળજીપૂર્વક ઉપયોગ કરો.