GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 12 વર્તુળ સંબંધિત ક્ષેત્રફળ Exercise 12.2

નોંધ: જો ઉલ્લેખ કર્યો ન હોય, તો \( \pi = \frac{22}{7} \) લો.

Question 1. જો 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના વૃત્તાંશ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો 60° હોય, તો વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: આપેલા વર્તુળના વૃત્તાંશ માટે, ત્રિજ્યા \( r = 6 \) સેમી છે અને વૃત્તાંશનો કોણ \( \theta = 60° \) છે.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેનું સૂત્ર \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \) છે.
માપ મુકતા, \( = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \) સેમી\( ^2 \)
\( = \frac{132}{7} \) સેમી\( ^2 \)
આથી, આપેલા વૃત્તાંશનું કુલ વિસ્તાર \( \frac{132}{7} \) સેમી\( ^2 \) પ્રાપ્ત થાય છે.
In simple words: એક વર્તુળના ટુકડાની ત્રિજ્યા 6 સેમી અને તેનો ખૂણો 60 ડિગ્રી છે. તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( \frac{132}{7} \) ચોરસ સેમી મળે છે.

Exam Tip: વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધતી વખતે, \( \pi \) ની કિંમત દાખલામાં આપેલી હોય તો તે જ વાપરવી. ન આપેલી હોય તો \( \frac{22}{7} \) નો ઉપયોગ કરવો.

Question 2. 22 સેમી પરિઘવાળા વર્તુળના ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: ધારો કે, APB એ એક વર્તુળનો ચોથો ભાગ છે અને વર્તુળનો ઘેરાવો \( 22 \) સેમી છે.
પરિઘનું સૂત્ર \( 2\pi r = 22 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r = 22 \)
\( r = \frac{22 \times 7}{2 \times 22} \)
\( r = \frac{7}{2} \) સેમી
તેથી, વર્તુળના ચોથા ભાગની ત્રિજ્યા \( r = \frac{7}{2} \) સેમી થાય છે.
વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{4} \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \) સેમી\( ^2 \)
\( = \frac{77}{8} \) સેમી\( ^2 \)
આથી, આપેલા વર્તુળના ચોથા ભાગનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( \frac{77}{8} \) સેમી\( ^2 \) મળે છે.
In simple words: 22 સેમી પરિઘ ધરાવતા વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે. પહેલાં, પરિઘના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિજ્યા 3.5 સેમી મેળવીએ છીએ. પછી, આ ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{77}{8} \) ચોરસ સેમી મળે છે.

Exam Tip: વર્તુળના ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, પહેલાં ત્રિજ્યા શોધો અને પછી \( \frac{1}{4} \pi r^2 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

Question 3. એક ઘડિયાળના મિનિટ-કાંટાની લંબાઈ 14 સેમી છે. મિનિટ કાંટા દ્વારા 5 મિનિટમાં રચાતું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે 60 મિનિટમાં, ઘડિયાળનો મિનિટ-કાંટો કેન્દ્ર આગળ \( 360° \) નો કોણ બનાવે છે.
તેથી, 5 મિનિટમાં, મિનિટ-કાંટો કેન્દ્ર આગળ બનાવેલો કોણ \( = \frac{5}{60} \times 360° = 30° \) થશે.
આથી, 5 મિનિટમાં મિનિટ-કાંટો જે જગ્યા ઢાંકે છે તે એક નાનો વૃત્તાંશ બનાવે છે. તેની ત્રિજ્યા \( r = \) મિનિટ-કાંટાની લંબાઈ \( = 14 \) સેમી છે અને વૃત્તાંશનો કોણ \( \theta = 30° \) છે.
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \) છે.
માપ મુકતા, \( = \frac{30}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \) સેમી\( ^2 \)
\( = \frac{154}{3} \) સેમી\( ^2 \)
આમ, મિનિટ-કાંટો 5 મિનિટમાં \( \frac{154}{3} \) સેમી\( ^2 \) જેટલો વિસ્તાર ઢાંકે છે.
In simple words: 14 સેમી લાંબા ઘડિયાળના મિનિટ-કાંટા દ્વારા 5 મિનિટમાં કેટલી જગ્યા ઢંકાય છે તે શોધવા માટે, આપણે પહેલાં 5 મિનિટમાં કેટલો ખૂણો બને છે તે ગણીએ છીએ (30 ડિગ્રી). પછી વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર વાપરીને કુલ \( \frac{154}{3} \) ચોરસ સેમી વિસ્તાર મળે છે.

Exam Tip: ઘડિયાળના કાંટા દ્વારા રચાતા ક્ષેત્રફળના દાખલાઓમાં, સમયને મિનિટમાં રૂપાંતરિત કરીને તેના અનુરૂપ ખૂણો શોધવો આવશ્યક છે.

Question 4. 10 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની જીવા કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. તેને અનુરૂપ (i) લઘુવૃત્તખંડ (ii) ગુરુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો. (\( \pi = 3.14 \) લો.)
Answer: આ કિસ્સામાં, વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = 10 \) સેમી છે અને લઘુવૃત્તાંશનો ખૂણો \( \theta = 90° \) બને છે.
પહેલાં, લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
માપ મુકતા, \( = \frac{90}{360} \times 3.14 \times 10 \times 10 \) સેમી\( ^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 78.5 \) સેમી\( ^2 \)
ત્રિકોણ AOBમાં, \( \angle O = 90° \) હોવાથી, તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ત્રિકોણ AOBનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} \times \text{OA} \times \text{OB} \)
\( = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 50 \) સેમી\( ^2 \)
(i) લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( - \) ત્રિકોણ AOBનું ક્ષેત્રફળ
\( = (78.5 - 50) \) સેમી\( ^2 = 28.5 \) સેમી\( ^2 \)
(ii) ગુરુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( = \) વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( - \) લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ
વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = \pi r^2 = 3.14 \times 10 \times 10 = 314 \) સેમી\( ^2 \)
ગુરુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( = (314 - 78.5) \) સેમી\( ^2 = 235.5 \) સેમી\( ^2 \)
તેથી, લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ \( 28.5 \) સેમી\( ^2 \) અને ગુરુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( 235.5 \) સેમી\( ^2 \) મળે છે.
In simple words: 10 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં એક જીવા કેન્દ્ર પર 90 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે છે. આપણે પહેલાં નાના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ (78.5 ચોરસ સેમી) અને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (50 ચોરસ સેમી) શોધીએ છીએ. પછી નાના વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ (28.5 ચોરસ સેમી) મેળવવા માટે તેમને બાદ કરીએ છીએ. મોટા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ (235.5 ચોરસ સેમી) મેળવવા માટે કુલ વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી નાના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીએ છીએ.

Exam Tip: વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવું પડે છે. ગુરુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, વર્તુળના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરો.

Question 5. 21 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું એક ચાપ કેન્દ્ર આગળ 60°નો ખૂણો આંતરે છે. તેને અનુરૂપ (i) ચાપની લંબાઈ (ii) ચાપ વડે બનતા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ (iii) અનુરૂપ જીવા વડે બનતા વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: આપેલા વર્તુળ માટે, ત્રિજ્યા \( r = 21 \) સેમી છે અને લઘુવૃત્તાંશનો ખૂણો \( \theta = 60° \) છે.
(i) ચાપની લંબાઈ શોધવી:
ચાપ APBની લંબાઈનું સૂત્ર \( = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r \)
માપ મુકતા, \( = \frac{60}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \) સેમી
\( = 22 \) સેમી
(ii) ચાપ વડે બનતા લઘુવૃત્તાંશ OAPBનું ક્ષેત્રફળ શોધવું:
લઘુવૃત્તાંશ OAPBનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
માપ મુકતા, \( = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 231 \) સેમી\( ^2 \)
(iii) અનુરૂપ જીવા વડે બનતા વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ શોધવું:
ત્રિકોણ OABમાં, \( \angle O = 60° \) છે અને \( \text{OA} = \text{OB} = 21 \) સેમી (ત્રિજ્યા) હોવાથી, આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
આથી, \( \angle A = \angle B = (180° - 60°)/2 = 60° \). તેથી, \( \triangle \) OAB એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે, જેમાં દરેક બાજુની લંબાઈ \( a = 21 \) સેમી છે.
સમબાજુ \( \triangle \) OABનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 21 \times 21 \) સેમી\( ^2 \)
\( = \frac{441 \sqrt{3}}{4} \) સેમી\( ^2 \)
લઘુવૃત્તખંડ APBનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લઘુવૃત્તાંશ OAPBનું ક્ષેત્રફળ \( - \) \( \triangle \) OABનું ક્ષેત્રફળ
\( = (231 - \frac{441 \sqrt{3}}{4}) \) સેમી\( ^2 \)
તેથી, ચાપની લંબાઈ \( 22 \) સેમી, લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( 231 \) સેમી\( ^2 \) અને લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ \( (231 - \frac{441 \sqrt{3}}{4}) \) સેમી\( ^2 \) મળે છે.
In simple words: 21 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં એક ચાપ કેન્દ્ર પર 60 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે છે. આપણે ચાપની લંબાઈ (22 સેમી), ચાપ વડે રચાતા નાના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ (231 ચોરસ સેમી), અને જીવા વડે બનતા નાના વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ (231 \( - \frac{441 \sqrt{3}}{4} \) ચોરસ સેમી) શોધીએ છીએ.

Exam Tip: વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ ગણતી વખતે, જો કેન્દ્ર પરનો ખૂણો 60° હોય, તો ત્રિકોણ સમબાજુ બને છે, જે ગણતરી સરળ બનાવે છે.

Question 6. 15 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની જીવા કેન્દ્ર આગળ 60°નો ખૂણો આંતરે છે. તેને અનુરૂપ લઘુવૃત્તખંડ અને ગુરુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો. (\( \pi = 3.14 \) અને \( \sqrt{3}= 1.73 \) લો.)
Answer: આપેલા દાખલામાં, વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = 15 \) સેમી છે અને જીવા AB કેન્દ્ર આગળ \( 60° \) નો કોણ રચે છે.
આથી, લઘુવૃત્તાંશ OAPBનો ખૂણો \( \theta = 60° \) છે.
પહેલાં, લઘુવૃત્તાંશ OAPBનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
માપ મુકતા, \( = \frac{60}{360} \times 3.14 \times 15 \times 15 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 117.75 \) સેમી\( ^2 \)
હવે, \( \triangle \) OABમાં, \( \angle O = 60° \) છે અને \( \text{OA} = \text{OB} = 15 \) સેમી (ત્રિજ્યા) હોવાથી, આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
આથી, \( \angle A = \angle B = (180° - 60°)/2 = 60° \). તેથી, \( \triangle \) OAB એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે, જેમાં દરેક બાજુની લંબાઈ \( a = 15 \) સેમી છે.
સમબાજુ \( \triangle \) OABનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
\( = \frac{1.73}{4} \times 15 \times 15 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 97.3125 \) સેમી\( ^2 \)
લઘુવૃત્તખંડ APBનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લઘુવૃત્તાંશ OAPBનું ક્ષેત્રફળ \( - \) \( \triangle \) OABનું ક્ષેત્રફળ
\( = (117.75 - 97.3125) \) સેમી\( ^2 \)
\( = 20.4375 \) સેમી\( ^2 \)
હવે, ગુરુવૃત્તખંડ AQBનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે:
વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = \pi r^2 \)
\( = 3.14 \times 15 \times 15 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 706.5 \) સેમી\( ^2 \)
ગુરુવૃત્તખંડ AQBનું ક્ષેત્રફળ \( = \) વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( - \) લઘુવૃત્તખંડ APBનું ક્ષેત્રફળ
\( = (706.5 - 20.4375) \) સેમી\( ^2 \)
\( = 686.0625 \) સેમી\( ^2 \)
તેથી, લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ \( 20.4375 \) સેમી\( ^2 \) અને ગુરુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ \( 686.0625 \) સેમી\( ^2 \) પ્રાપ્ત થાય છે.
In simple words: 15 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં એક જીવા કેન્દ્ર પર 60 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે છે. આપણે પહેલાં નાના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ (117.75 ચોરસ સેમી) અને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (97.3125 ચોરસ સેમી) શોધીએ છીએ. તેમને બાદ કરીને નાના વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ (20.4375 ચોરસ સેમી) મળે છે. પછી, કુલ વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી નાના વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને મોટા વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ (686.0625 ચોરસ સેમી) મળે છે.

Exam Tip: જીવા દ્વારા કેન્દ્ર પર 60° નો ખૂણો રચાય ત્યારે ત્રિજ્યા અને જીવા સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે, જે ક્ષેત્રફળ ગણવામાં મદદરૂપ થાય છે.

Question 7. 12 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની જીવા કેન્દ્ર આગળ 120°નો ખૂણો આંતરે છે. તેને અનુરૂપ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ શોધો. (\( \pi = 3.14 \) અને \( \sqrt{3} = 1.73 \) લો.)
Answer: આપેલા દાખલામાં, વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = 12 \) સેમી છે અને લઘુવૃત્તાંશનો ખૂણો \( \theta = 120° \) છે.
પહેલાં, લઘુવૃત્તાંશ OAPBનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
માપ મુકતા, \( = \frac{120}{360} \times 3.14 \times 12 \times 12 \) સેમી\( ^2 \)
\( = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 144 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 150.72 \) સેમી\( ^2 \)
હવે, \( \triangle \) OABનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, કેન્દ્ર O માંથી જીવા AB પર લંબ OM દોરીએ.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ OABમાં \( \text{OA} = \text{OB} \) હોવાથી, OM એ \( \angle \text{AOB} \) ને બે સમાન ભાગમાં વહેંચે છે અને જીવા AB ને પણ દુભાગે છે.
તેથી, \( \angle \text{AOM} = \frac{1}{2} \angle \text{AOB} = \frac{1}{2} \times 120° = 60° \) અને \( \text{AB} = 2\text{AM} \).
કાટકોણ ત્રિકોણ \( \triangle \) OMAમાં, \( \angle M = 90° \).
\( \cos 60° = \frac{\text{OM}}{\text{OA}} \)
\( \implies \frac{1}{2} = \frac{\text{OM}}{12} \)
\( \implies \text{OM} = 6 \) સેમી.
\( \sin 60° = \frac{\text{AM}}{\text{OA}} \)
\( \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{AM}}{12} \)
\( \implies \text{AM} = 6\sqrt{3} \) સેમી.
તેથી, જીવા \( \text{AB} = 2\text{AM} = 2 \times 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \) સેમી.
\( \triangle \) OABનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{OM} \)
\( = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} \times 6 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 36\sqrt{3} \) સેમી\( ^2 \)
\( = 36 \times 1.73 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 62.28 \) સેમી\( ^2 \)
હવે, લઘુવૃત્તખંડ APBનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લઘુવૃત્તાંશ OAPBનું ક્ષેત્રફળ \( - \) \( \triangle \) OABનું ક્ષેત્રફળ
\( = (150.72 - 62.28) \) સેમી\( ^2 = 88.44 \) સેમી\( ^2 \)
તેથી, અનુરૂપ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ \( 88.44 \) સેમી\( ^2 \) પ્રાપ્ત થાય છે.
In simple words: 12 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં એક જીવા કેન્દ્ર પર 120 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે છે. આપણે પહેલાં નાના વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ (150.72 ચોરસ સેમી) શોધીએ છીએ. પછી, ત્રિકોણ OABનું ક્ષેત્રફળ (62.28 ચોરસ સેમી) મેળવવા માટે લંબ OM નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અંતે, નાના વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ (88.44 ચોરસ સેમી) મેળવવા માટે તેમને બાદ કરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે કેન્દ્ર પરનો ખૂણો 90° સિવાયનો હોય, ત્યારે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે \( \frac{1}{2} r^2 \sin \theta \) સૂત્રનો અથવા લંબ દોરીને ઊંચાઈ અને આધાર શોધીને \( \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

Question 8. 15 મી બાજુવાળા ચોરસ આકારના ઘાસના ખેતરના એક ખૂણે ઘોડાને 5 મી લાંબા દોરડાથી ખીલા સાથે બાંધેલો છે. (જુઓ આકૃતિ)
(i) ઘોડો ખેતરના જેટલા ભાગમાં ચરી શકે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
(ii) દોરડું 5 મીને બદલે 10 મી લાંબું રાખ્યું હોત, તો ચરવાના ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો શોધો. (\( \pi = 3.14 \) લો.)
Answer: આ દાખલામાં, ABCD એ \( 15 \) મી બાજુવાળું ચોરસ ખેતર છે. તેના એક ખૂણે, એટલે કે, શિરોબિંદુ A પર ઘોડાને 5 મી લાંબા દોરડાથી ખીલા સાથે બાંધવામાં આવેલો છે.
(i) ઘોડો કેટલા ભાગમાં ચરી શકે તેનું ક્ષેત્રફળ:
આથી, ઘોડો લઘુવૃત્તાંશ APQR જેટલા ભાગમાં ચરી શકે છે. આ લઘુવૃત્તાંશ APQR માટે ત્રિજ્યા \( r = 5 \) મી (દોરડાની લંબાઈ) છે અને \( \theta = 90° \) (ચોરસનો ખૂણો) છે.
ઘોડો જેટલા ભાગમાં ચરી શકે તેનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લઘુવૃત્તાંશ APQRનું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{90}{360} \times 3.14 \times 5 \times 5 \) મી\( ^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 25 \) મી\( ^2 \)
\( = 19.625 \) મી\( ^2 \)
(ii) જો દોરડું 10 મી લાંબુ રાખવામાં આવે તો ચરવાના ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો:
જો દોરડું 10 મી લાંબુ રાખવામાં આવે, તો હવે ઘોડો લઘુવૃત્તાંશ AP’Q’R’ જેટલા ભાગમાં ચરી શકે છે.
લઘુવૃત્તાંશ AP’Q’R' માટે ત્રિજ્યા \( r = 10 \) મી અને \( \theta = 90° \) છે.
આ સંજોગોમાં ઘોડો ખેતરના જેટલા ભાગમાં ચરી શકે તેનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લઘુવૃત્તાંશ AP'Q'R' નું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{90}{360} \times 3.14 \times 10 \times 10 \) મી\( ^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 \) મી\( ^2 \)
\( = 78.5 \) મી\( ^2 \)
આથી ચરવાના ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો \( = (78.5 - 19.625) \) મી\( ^2 = 58.875 \) મી\( ^2 \)
તેથી, મૂળ પરિસ્થિતિમાં જ્યારે દોરડાની લંબાઈ 5 મીટર હોય, ત્યારે ઘોડો ખેતરમાં \( 19.625 \) મી\( ^2 \) વિસ્તારમાં ચરી શકે છે અને જો દોરડાની લંબાઈ 10 મીટર કરવામાં આવે, તો ઘોડો ચરી શકે તે વિસ્તારના ક્ષેત્રફળમાં \( 58.875 \) મી\( ^2 \) નો વધારો જોવા મળે છે.
In simple words: એક 15 મીટર ચોરસ ખેતરમાં, ઘોડાને 5 મીટર લાંબા દોરડાથી એક ખૂણે બાંધ્યો છે. ઘોડો 19.625 ચોરસ મીટર વિસ્તારમાં ચરી શકે છે. જો દોરડું 10 મીટર લાંબુ કરવામાં આવે, તો તે 78.5 ચોરસ મીટર વિસ્તારમાં ચરી શકે છે, જે પહેલાં કરતાં 58.875 ચોરસ મીટર વધુ છે.

Exam Tip: ચોરસના ખૂણે બાંધેલા પ્રાણી દ્વારા ચરાયેલું ક્ષેત્રફળ હંમેશા ચોથા ભાગના વર્તુળ (વૃત્તાંશ) જેટલું હોય છે, જેમાં ખૂણો 90° હોય છે.

Question 9. ચાંદીના તારથી 35 મિમી વ્યાસવાળું વર્તુળ આકારનું એક બક્કલ જેવું ઘરેણું બનાવ્યું છે. આપેલ આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે વર્તુળને 10 સમાન વૃત્તાંશમાં વિભાજિત કરે તેવા 5 વ્યાસ બનાવવામાં પણ તારનો ઉપયોગ કર્યો છે.
(i) જરૂરી ચાંદીના તારની કુલ લંબાઈ શોધો.
(ii) વર્તુળના દરેક વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: આપેલા બક્કલ જેવા ઘરેણાનો વ્યાસ \( d = 35 \) મિમી છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા \( r = \frac{35}{2} \) મિમી થાય છે.
(i) જરૂરી ચાંદીના તારની કુલ લંબાઈ:
ચાંદીના તારની કુલ લંબાઈ વર્તુળના પરિઘ અને તેમાં રહેલા પાંચ વ્યાસના સરવાળા દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે.
જરૂરી ચાંદીના તારની કુલ લંબાઈ \( = \pi d + 5d \)
\( = (\frac{22}{7} \times 35 + 5 \times 35) \) મિમી
\( = (110 + 175) \) મિમી
\( = 285 \) મિમી
(ii) વર્તુળના દરેક વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ:
વર્તુળને 10 સમાન વૃત્તાંશમાં વહેંચવામાં આવેલું છે.
તેથી, દરેક વૃત્તાંશ માટે ત્રિજ્યા \( r = \frac{35}{2} \) મિમી છે અને વૃત્તાંશનો ખૂણો \( \theta = \frac{360}{10} = 36° \) છે.
દરેક લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{36}{360} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2} \) મિમી\( ^2 \)
\( = \frac{1}{10} \times \frac{22}{7} \times \frac{1225}{4} \) મિમી\( ^2 \)
\( = \frac{385}{4} \) મિમી\( ^2 \)
તેથી, કુલ લંબાઈ \( 285 \) મિમી મળે છે અને દરેક વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{385}{4} \) મિમી\( ^2 \) પ્રાપ્ત થાય છે.
In simple words: ચાંદીના તારથી 35 મિમી વ્યાસવાળું એક વર્તુળાકાર ઘરેણું બનાવ્યું છે. તેને 10 સમાન ટુકડાઓમાં વહેંચવા માટે 5 વ્યાસ પણ બનાવ્યા છે. કુલ તારની લંબાઈ 285 મિમી છે, અને દરેક ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{385}{4} \) ચોરસ મિમી છે.

Exam Tip: આવા ડિઝાઈનના દાખલાઓમાં, કુલ લંબાઈ શોધવા માટે પરિઘ અને અંદરના તમામ વિભાગો (વ્યાસ) ની લંબાઈનો સરવાળો કરો. દરેક વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, કુલ વર્તુળના ક્ષેત્રફળને ભાગોની સંખ્યા વડે ભાગો.

Question 10. એક છત્રીમાં સમાન અંતરે 8 સળિયા આવેલા છે. (જુઓ આકૃતિ) છત્રીને 45 સેમી ત્રિજ્યાવાળું સમતલીય વર્તુળ ધારી, છત્રીના બે ક્રમિક સળિયા વચ્ચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: છત્રીના બે ક્રમિક સળિયા વચ્ચેનો વિસ્તાર એ એક લઘુવૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળ દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. આ લઘુવૃત્તાંશ માટે ત્રિજ્યા \( r = 45 \) સેમી છે અને ખૂણો \( \theta = \frac{360^{\circ}}{8} = 45° \) છે.
બે ક્રમિક સળિયા વચ્ચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
માપ મુકતા, \( = \frac{45}{360} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45 \) સેમી\( ^2 \)
\( = \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 2025 \) સેમી\( ^2 \)
\( = \frac{22275}{28} \) સેમી\( ^2 \)
તેથી, છત્રીના બે ક્રમિક સળિયા વચ્ચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{22275}{28} \) સેમી\( ^2 \) મળે છે.
In simple words: એક છત્રીમાં 8 સળિયા સમાન અંતરે છે. છત્રીને 45 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ ગણીને, બે સળિયા વચ્ચેનો વિસ્તાર \( \frac{22275}{28} \) ચોરસ સેમી મળે છે. આ માટે, આપણે ખૂણો 45 ડિગ્રી લઈને વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ વસ્તુને સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે, ત્યારે દરેક ભાગનો ખૂણો \( \frac{360^{\circ}}{\text{ભાગોની સંખ્યા}} \) સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે.

Question 11. એક ગાડીને એકબીજા પર આચ્છાદિત ન થાય તેવાં બે વાઇપર છે. દરેક વાઇપરને 115° ના ખૂણા જેટલી સફાઈ કરતી 25 સેમી લંબાઈની બ્લેડ છે. પ્રત્યેક વખતે વાઇપરથી સાફ થતા વિસ્તારનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: વાઇપર એકબીજા પર ન ચડે તે રીતે ગોઠવેલા હોવાથી, પ્રત્યેક વખતે વાઇપરથી સાફ થતો કુલ વિસ્તાર બે લઘુવૃત્તાંશના કુલ ક્ષેત્રફળ પ્રમાણે મળે છે.
આ દાખલામાં, દરેક લઘુવૃત્તાંશ માટે ત્રિજ્યા \( r = 25 \) સેમી (જે વાઇપરની બ્લેડની લંબાઈ છે) અને ખૂણો \( \theta = 115° \) છે.
પ્રત્યેક વખતે વાઇપરથી સાફ થતા વિસ્તારનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = 2 \times \) લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ
\( = 2 \times \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
માપ મુકતા, \( = 2 \times \frac{115}{360} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 25 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 2 \times \frac{115}{360} \times \frac{22}{7} \times 625 \) સેમી\( ^2 \)
\( = \frac{158125}{126} \) સેમી\( ^2 \)
તેથી, પ્રત્યેક વખતે વાઇપરથી સાફ થતા વિસ્તારનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( \frac{158125}{126} \) સેમી\( ^2 \) પ્રાપ્ત થાય છે.
In simple words: કારમાં બે વાઇપર છે જે એકબીજા પર ચડતા નથી. દરેક વાઇપરની બ્લેડ 25 સેમી લાંબી છે અને 115 ડિગ્રી સુધી ફરે છે. આથી, એક વખતમાં બે વાઇપર દ્વારા સાફ થતો કુલ વિસ્તાર \( \frac{158125}{126} \) ચોરસ સેમી થાય છે, કારણ કે બંને વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરવામાં આવે છે.

Exam Tip: જો બે વૃત્તાંશ એકબીજા પર ન ચડે, તો તેમનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે દરેક વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનો સીધો સરવાળો કરો.

Question 12. પાણીની નીચેના ખડકો વિશે જહાજને ચેતવણી આપવા માટે, એક દીવાદાંડી 16.5 કિમી અંતર સુધી 80° વૃત્તાંશના ખૂણે લાલ રંગનો પ્રકાશ પાથરે છે. સમુદ્રના જેટલા ક્ષેત્રફળ પર જ્હાજને ચેતવણી અપાતી હોય તે શોધો. (\( \pi = 3.14 \) લો.)
Answer: દીવાદાંડીનો લાલ રંગનો પ્રકાશ લઘુવૃત્તાંશ OAPB વિસ્તારમાં ફેલાય છે.
આ લઘુવૃત્તાંશ OAPB માટે, ત્રિજ્યા \( r = 16.5 \) કિમી છે અને ખૂણો \( \theta = 80° \) છે.
સમુદ્રના જેટલા વિસ્તાર પર જહાજને ચેતવણી આપવામાં આવતી હોય તેનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લઘુવૃત્તાંશ OAPBનું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
માપ મુકતા, \( = \frac{80}{360} \times 3.14 \times 16.5 \times 16.5 \) કિમી\( ^2 \)
\( = \frac{2}{9} \times 3.14 \times 272.25 \) કિમી\( ^2 \)
\( = 189.97 \) કિમી\( ^2 \)
તેથી, સમુદ્રના \( 189.97 \) કિમી\( ^2 \) વિસ્તારમાં જહાજને ચેતવણી આપવામાં આવે છે.
In simple words: દીવાદાંડી 16.5 કિમી દૂર સુધી 80 ડિગ્રીના ખૂણે લાલ પ્રકાશ ફેંકે છે. જહાજોને ચેતવણી આપવા માટે આવરી લેવાયેલું કુલ દરિયાઈ ક્ષેત્રફળ 189.97 ચોરસ કિલોમીટર છે.

Exam Tip: જ્યારે વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરતા હો, ત્યારે હંમેશા ત્રિજ્યા અને ખૂણાના માપ એક જ એકમમાં છે તેની ખાતરી કરો.

Question 13. આપેલ આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે એક વર્તુળાકાર મેજ પર એક ભાતવાળું કવર પાથરેલું છે. જો કવરની ત્રિજ્યા 28 સેમી હોય, તો Rs. 0.35 પ્રતિ સેમી\( ^2 \) ના દરે ડિઝાઇન બનાવવાનો ખર્ચ શોધો. (\( \sqrt{3} = 1.7 \) લો.)
Answer: વર્તુળાકાર કવર માટે ત્રિજ્યા \( r = 28 \) સેમી છે.
પહેલાં, વર્તુળાકાર કવરનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 28 \times 28 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 2464 \) સેમી\( ^2 \)
હવે, ડિઝાઇન કરાયેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે, નિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવું પડે છે. ષટ્કોણની દરેક બાજુનું માપ \( a = 28 \) સેમી (જે વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું છે).
નિયમિત ષટ્કોણ ABCDEFનું ક્ષેત્રફળ \( = 6 \times \) સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ
\( = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
\( = 6 \times \frac{1.7}{4} \times 28 \times 28 \) સેમી\( ^2 \)
\( = 1999.2 \) સેમી\( ^2 \)
ડિઝાઇન કરેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( = \) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( - \) નિયમિત ષટ્કોણ ABCDEFનું ક્ષેત્રફળ
\( = (2464 - 1999.2) \) સેમી\( ^2 \)
\( = 464.8 \) સેમી\( ^2 \)
1 સેમી\( ^2 \) વિસ્તારમાં ડિઝાઇન બનાવવાનો ખર્ચ \( = \text{Rs. } 0.35 \) છે.
આથી, \( 464.8 \) સેમી\( ^2 \) વિસ્તારમાં ડિઝાઇન બનાવવાનો કુલ ખર્ચ
\( = \text{Rs. } (464.8 \times 0.35) = \text{Rs. } 162.68 \)
તેથી, ડિઝાઇન બનાવવાનો કુલ ખર્ચ \( \text{Rs. } 162.68 \) થાય છે.
In simple words: એક ગોળ ટેબલ પર ભાતવાળું કવર છે, જેની ત્રિજ્યા 28 સેમી છે. આપણે કુલ વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી (2464 ચોરસ સેમી) નિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (1999.2 ચોરસ સેમી) બાદ કરીને ડિઝાઇન કરેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ (464.8 ચોરસ સેમી) શોધીએ છીએ. પછી, 0.35 Rs. પ્રતિ ચોરસ સેમીના દરે કુલ ખર્ચ 162.68 Rs. થાય છે.

Exam Tip: વર્તુળમાં બનેલા નિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તેને 6 સમબાજુ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીને ગણતરી કરો, જ્યાં ત્રિકોણની બાજુ ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે.

Question 14. નીચેનામાં સાચા જવાબ આગળ નિશાની કરોઃ R ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનો વૃત્તાંશ ખૂણો p° હોય, તો વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ .............. થાય.
(a) \( \frac{P}{180} \times 2\pi R \)
(b) \( \frac{P}{180} \times \pi R^2 \)
(c) \( \frac{P}{360} \times 2\pi R \)
(d) \( \frac{P}{720} \times 2\pi R^2 \)
Answer: (d) \( \frac{P}{720} \times 2\pi R^2 \)
આપેલા વૃત્તાંશ માટે, ત્રિજ્યા \( r = \text{R} \) છે અને વૃત્તાંશનો ખૂણો \( \theta = \text{p} \) છે.
વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું મૂળભૂત સૂત્ર \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \) છે.
આપેલા માપ મુકતા, ક્ષેત્રફળ \( = \frac{p}{360} \times \pi R^2 \) થાય.
વિકલ્પ (d) માં આપેલું પદ \( \frac{P}{720} \times 2\pi R^2 \) છે.
આ પદને સાદું રૂપ આપતા: \( \frac{P}{720} \times 2\pi R^2 = \frac{P \times 2}{720} \times \pi R^2 = \frac{P}{360} \times \pi R^2 \).
તેથી, વિકલ્પ (d) સાચો જવાબ છે, કારણ કે તે વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળના સૂત્રને અનુરૂપ છે.
In simple words: વર્તુળના એક ટુકડા (વૃત્તાંશ)નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે \( \frac{\text{ખૂણો}}{360} \times \pi \times \text{ત્રિજ્યા}^2 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો ખૂણો P અને ત્રિજ્યા R હોય, તો સાચો વિકલ્પ \( \frac{P}{720} \times 2\pi R^2 \) છે, જે ગણતરી કરતા \( \frac{P}{360} \times \pi R^2 \) બને છે.

Exam Tip: વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર હંમેશા યાદ રાખો: \( \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \). વિકલ્પોને સાદું રૂપ આપીને તેની સાથે સરખાવો.