GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 12 વર્તુળ સંબંધિત ક્ષેત્રફળ Exercise 12.3

Question 1. જો PQ = 24 સેમી, PR = 7 સેમી અને વર્તુળનું કેન્દ્ર છે હોય, તો આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, O એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. RQ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે, અને \( \angle RPG \) એ અર્ધવર્તુળનો ખૂણો છે. તેથી, \( \angle RPQ = 90^\circ \).
ત્રિકોણ RPQમાં, પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ:
\( RQ = \sqrt{PQ^2 + PR^2} \)
\( = \sqrt{24^2 + 7^2} \) સેમી
\( = \sqrt{576 + 49} \) સેમી
\( = \sqrt{625} \) સેમી
\( \implies RQ = 25 \) સેમી
આથી, વર્તુળનો વ્યાસ \( = 25 \) સેમી છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = \frac{25}{2} \) સેમી થશે.
ત્રિકોણ RPQનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} \times PQ \times PR \)
\( = \frac{1}{2} \times 24 \times 7 \) સેમી\(^2\)
\( = 84 \) સેમી\(^2\)
રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( = \) અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( - \) ત્રિકોણ RPQનું ક્ષેત્રફળ
\( = (\frac{1}{2} \pi r^2 - 84) \) સેમી\(^2\)
\( = (\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{2} \times \frac{25}{2} - 84) \) સેમી\(^2\)
\( = (\frac{6875}{28} - 84) \) સેમી\(^2\)
\( = (\frac{6875 - 2352}{28}) \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{4523}{28} \) સેમી\(^2\)
આમ, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{4523}{28} \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં પાયથાગોરસનો નિયમ વાપરીને વર્તુળનો વ્યાસ શોધો. પછી વર્તુળની ત્રિજ્યા અને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ગણો. છેલ્લે, અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને રંગીન ભાગનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે ત્રિકોણ વર્તુળમાં હોય અને તેનો એક ખૂણો 90 ડિગ્રી હોય, ત્યારે સામેની બાજુ હંમેશાં વર્તુળનો વ્યાસ હોય છે.

Question 2. જો O કેન્દ્રવાળાં બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોની ત્રિજ્યા અનુક્રમે 7 સેમી અને 14 સેમી તથા \( \angle AOC = 40^\circ \) હોય, તો આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: લઘુવૃત્તાંશ OAC માટે:
ત્રિજ્યા \( r = 14 \) સેમી અને \( \theta = 40^\circ \)
લઘુવૃત્તાંશ OBCનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\theta}{360} \pi r^2 \)
\( = \frac{40}{360} \times \pi \times 14 \times 14 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{196}{9} \pi \) સેમી\(^2\)
લઘુવૃત્તાંશ OBD માટે:
ત્રિજ્યા \( r = 7 \) સેમી અને \( \theta = 40^\circ \)
લઘુવૃત્તાંશ OBDનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\theta}{360} \pi r^2 \)
\( = \frac{40}{360} \times \pi \times 7 \times 7 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{49}{9} \pi \) સેમી\(^2\)
રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લઘુવૃત્તાંશ OACનું ક્ષેત્રફળ \( - \) લઘુવૃત્તાંશ OBDનું ક્ષેત્રફળ
\( = (\frac{196}{9} \pi - \frac{49}{9} \pi) \) સેમી\(^2\)
\( = \pi (\frac{196}{9} - \frac{49}{9}) \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{147}{9} \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{154}{3} \) સેમી\(^2\)
આમ, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{154}{3} \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં મોટા વર્તુળના ભાગનું ક્ષેત્રફળ ગણો, પછી નાના વર્તુળના ભાગનું ક્ષેત્રફળ ગણો. પછી, મોટા ભાગમાંથી નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરો જેથી રંગીન ભાગનું ક્ષેત્રફળ મળે.

Exam Tip: સમકેન્દ્રીય વર્તુળોના ક્ષેત્રફળ માટે, મોટા ત્રિજ્યાવાળા ક્ષેત્રફળમાંથી નાના ત્રિજ્યાવાળા ક્ષેત્રફળને બાદ કરીને રંગીન વિસ્તાર શોધો.

Question 3. 14 સેમી બાજુવાળા ચોરસ ABCDમાં જો અર્ધવર્તુળો APP અને BPC આવેલાં હોય, તો આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, ABCD એ 14 સેમી બાજુવાળો ચોરસ છે.
ચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ \( = (બાજુ)^2 \)
\( = (14)^2 \) સેમી\(^2\)
\( = 196 \) સેમી\(^2\)
AD અને BC વ્યાસવાળાં બે અર્ધવર્તુળો માટે, દરેક અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = \frac{AD}{2} = \frac{14}{2} \) સેમી \( = 7 \) સેમી
આ બે અર્ધવર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = 2 (\frac{1}{2} \pi r^2) \)
\( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \) સેમી\(^2\)
\( = 154 \) સેમી\(^2\)
રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( = \) ચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ \( - \) બે અર્ધવર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ
\( = (196 - 154) \) સેમી\(^2\)
\( = 42 \) સેમી\(^2\)
આમ, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( 42 \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધો. પછી બે અર્ધવર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ ગણો. ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને રંગીન ભાગનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

Exam Tip: ભૂમિતિના દાખલાઓમાં, આકૃતિને ધ્યાનથી જુઓ અને કયા આકારોનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે તે ઓળખો.

Question 4. 12 સેમી બાજુવાળા સમભુજ ત્રિકોણ OABના શિરોબિંદ 0ને કેન્દ્ર તરીકે અને ત્રિજ્યા 6 સેમી લઈ વર્તુળાકાર ચાપ દોર્યું છે. આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: સમભુજ ત્રિકોણ AB માટે, બાજુ \( a = 12 \) સેમી
સમભુજ \( \triangle OAB \) નું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} (12)^2 \) સેમી\(^2\)
\( = 36\sqrt{3} \) સેમી\(^2\)
O કેન્દ્રવાળા વર્તુળ માટે, ત્રિજ્યા \( r = 6 \) સેમી
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{792}{7} \) સેમી\(^2\)
ત્રિકોણ અને વર્તુળમાં સામાન્ય હોય તેવો પ્રદેશ એ લઘુવૃત્તાંશ છે.
જેને માટે ત્રિજ્યા \( r = 6 \) સેમી અને \( \theta = 60^\circ \) (સમબાજુ ત્રિકોણનો ખૂણો) છે.
લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{132}{7} \) સેમી\(^2\)
હવે, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( = \triangle OAB \) નું ક્ષેત્રફળ \( + \) O કેન્દ્રવાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( - \) લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ
\( = (36\sqrt{3} + \frac{792}{7} - \frac{132}{7}) \) સેમી\(^2\)
\( = (36\sqrt{3} + \frac{660}{7}) \) સેમી\(^2\)
આમ, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( (36\sqrt{3} + \frac{660}{7}) \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ગણો. પછી, વર્તુળના તે ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધો જે ત્રિકોણની અંદર નથી. બંનેના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરો અને સામાન્ય ભાગને બાદ કરો.

Exam Tip: સમબાજુ ત્રિકોણના દરેક ખૂણાનું માપ \( 60^\circ \) હોય છે, જે વર્તુળના ક્ષેત્રફળ ગણતરીમાં \( \theta \) તરીકે વપરાય છે.

Question 5. આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે 4 સેમી બાજુવાળા ચોરસના પ્રત્યેક ખૂણે 1 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનો ચતુર્થાંશ ભાગ કપાયેલો છે તથા 2 સેમી વ્યાસવાળું એક વર્તુળ પણ કાપેલું છે. ચોરસના બાકીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: ચોરસ ABCD માટે, બાજુ \( a = 4 \) સેમી
ચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ \( = a^2 \)
\( = (4)^2 \) સેમી\(^2\)
\( = 16 \) સેમી\(^2\)
ચોરસના ચારેય ખૂણેથી કાપેલ પ્રત્યેક ચતુર્થાંશ માટે ત્રિજ્યા, \( r = 1 \) સેમી
ચાર ચતુર્થાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = 4 (\frac{1}{4} \pi r^2) \)
\( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 1 \times 1 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{22}{7} \) સેમી\(^2\)
મધ્યમાંથી કાપેલ વર્તુળ માટે વ્યાસ \( = 2 \) સેમી હોવાથી ત્રિજ્યા \( r = 1 \) સેમી
મધ્યમાંથી કાપેલ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 1 \times 1 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{22}{7} \) સેમી\(^2\)
ચોરસ ABCDના બાકીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ \( = \) ચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ \( - \) ચાર ચતુર્થાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( - \) મધ્યમાંથી કાપેલ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ
\( = (16 - \frac{22}{7} - \frac{22}{7}) \) સેમી\(^2\)
\( = (16 - \frac{44}{7}) \) સેમી\(^2\)
\( = (\frac{112 - 44}{7}) \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{68}{7} \) સેમી\(^2\)
આમ, આપેલ ચોરસના બાકીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{68}{7} \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં આખા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો. પછી ચાર ખૂણાના વર્તુળના ટુકડા અને વચ્ચેના નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ગણો. આ બધા કાપેલા ભાગોનું કુલ ક્ષેત્રફળ ચોરસના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી બાદ કરો.

Exam Tip: જ્યારે આવા આકાર હોય, ત્યારે દરેક ભાગનું ક્ષેત્રફળ અલગથી ગણીને પછી જરૂર મુજબ સરવાળો કે બાદબાકી કરો.

Question 6. આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ટેબલના એક 32 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર આવરણના વચ્ચેના ભાગમાં એક સમભુજ ત્રિકોણ ABC છોડી બાકીના ભાગમાં ભાત બનાવી છે. આ ભાતનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: \( \triangle ABC \) સમભુજ ત્રિકોણ હોવાથી વર્તુળની જીવાઓ AB, BC અને CA સમાન છે અને તેથી AB, BC અને CA ને અનુરૂપ લઘુવૃત્તખંડ પણ સમાન અને સમક્ષેત્ર છે. આપણે BC ને અનુરૂપ લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ.
ધારો કે, વર્તુળનું કેન્દ્ર O છે. આથી \( OB = OC = 32 \) સેમી અને \( \angle BOC = \theta = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \).
લઘુવૃત્તાંશ OBPC માટે, ત્રિજ્યા \( r = 32 \) સેમી અને લઘુવૃત્તાંશનો ખૂણો \( \theta = 120^\circ \)
લઘુવૃત્તાંશ OBPCનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times 32 \times 32 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{22528}{21} \) સેમી\(^2\)
\( \triangle OBC \) ના ક્ષેત્રફળ માટે, \( r = 32 \) સેમી;
\( \frac{\theta}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \);
\( sin \frac{\theta}{2} = sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) અને \( cos \frac{\theta}{2} = cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \triangle OBC \) નું ક્ષેત્રફળ \( = sin \frac{\theta}{2} cos \frac{\theta}{2} r^2 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} \times 32 \times 32 \) સેમી\(^2\)
\( = 256\sqrt{3} \) સેમી\(^2\)
આથી લઘુવૃત્તખંડ BPCનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લઘુવૃત્તાંશ OPBCનું ક્ષેત્રફળ \( - \triangle OBC \) નું ક્ષેત્રફળ
\( = (\frac{22528}{21} - 256\sqrt{3}) \) સેમી\(^2\)
ભાતનું ક્ષેત્રફળ \( = 3 \times \) લઘુવૃત્તખંડ BPCનું ક્ષેત્રફળ
\( = 3 (\frac{22528}{21} - 256\sqrt{3}) \) સેમી\(^2\)
\( = (\frac{22528}{7} - 768\sqrt{3}) \) સેમી\(^2\)
આમ, આપેલ ભાતનું ક્ષેત્રફળ \( (\frac{22528}{7} - 768\sqrt{3}) \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં વર્તુળના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરો. અથવા, ત્રણ સમાન વૃત્તખંડોનું ક્ષેત્રફળ ગણો, જે ભાત બનાવે છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, મોટા આકારનું ક્ષેત્રફળ શોધીને તેમાંથી અંદરના આકારનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરો, અથવા નાના વિભાગોનું ક્ષેત્રફળ શોધીને તેનો સરવાળો કરો.

Question 7. આપેલ આકૃતિમાં 14 સેમી બાજુવાળો ચોરસ ABCD છે. પ્રત્યેક વર્તુળ બાકીનાં ત્રણ વર્તુળોમાંથી બે વર્તુળને બહારથી સ્પર્શે તેમ A, B, C અને D કેન્દ્રવાળાં ચાર વર્તુળ દોર્યા છે. દર્શાવેલા રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: ચોરસ ABCDની બાજુ \( a = 14 \) સેમી છે.
ચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ \( = a^2 \)
\( = (14)^2 \) સેમી\(^2\)
\( = 196 \) સેમી\(^2\)
A, B, C અને D કેન્દ્રવાળાં ચાર વર્તુળો પૈકી પ્રત્યેક વર્તુળ બાકીનાં ત્રણ વર્તુળોમાંથી બે વર્તુળને બહારથી સ્પર્શે છે.
આથી પ્રત્યેક વર્તુળની ત્રિજ્યા ચોરસ ABCDની બાજુ કરતાં અડધી થાય.
આથી દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા \( = \frac{14}{2} \) સેમી \( = 7 \) સેમી
રંગીન પ્રદેશ એ ચોરસ ABCDમાંથી ચાર ચતુર્થાંશ દૂર કરવાથી મળતો પ્રદેશ છે.
ABCDનાં શિરોબિંદુઓ પર દોરેલ પ્રત્યેક ચતુર્થાંશ માટે, ત્રિજ્યા \( r = 7 \) સેમી.
ચાર ચતુર્થાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = 4 \times (\frac{1}{4} \pi r^2) \)
\( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \) સેમી\(^2\)
\( = 154 \) સેમી\(^2\)
રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( = \) ચોરસ ABCDનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( - \) ચાર ચતુર્થાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ
\( = (196 - 154) \) સેમી\(^2\)
\( = 42 \) સેમી\(^2\)
આમ, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( 42 \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: ચોરસનું આખું ક્ષેત્રફળ ગણો. પછી, ચારેય ખૂણા પરથી કાપેલા વર્તુળના ભાગો (ચતુર્થાંશ)નું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધો. ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી આ કાપેલા ભાગોનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને રંગીન ભાગનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે વર્તુળો ચોરસના ખૂણા પરથી દોરવામાં આવે અને એકબીજાને સ્પર્શે, ત્યારે વર્તુળની ત્રિજ્યા ચોરસની બાજુની અડધી હોય છે.

Question 8. (i) માર્ગની અંદરની ધારનું ચારેય તરફનું અંતર શોધો. (ii) માર્ગનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: દોડમાર્ગનો અંદરની તરફનો ભાગ બે રેખાખંડ AB અને CD તથા બે અર્ધવર્તુળ AD અને BC દ્વારા ઘેરાયેલ બંધ આકૃતિ રચે છે.
દરેક રેખાખંડની લંબાઈ \( 106 \) મી છે તથા દરેક અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ અંદરના બે સમાંતર રેખાખંડ AB અને CD વચ્ચેના અંતર જેટલો, એટલે કે, \( 60 \) મી છે.
\( 60 \) મી વ્યાસવાળા દરેક અર્ધવર્તુળની લંબાઈ \( = \frac{\pi d}{2} \)
\( = \frac{22 \times 60}{7 \times 2} \)
\( = \frac{660}{7} \) મી.
(i) માર્ગની અંદરની ધારનું ચારેય તરફનું અંતર \( = AB + CD + 2 \times \) દરેક અર્ધવર્તુળની લંબાઈ
\( = (106 + 106 + 2 \times \frac{660}{7}) \) મી
\( = (212 + \frac{1320}{7}) \) મી
\( = (\frac{1484 + 1320}{7}) \) મી
\( = \frac{2804}{7} \) મી
(ii) માર્ગનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દોડમાર્ગ \( 106 \) મી \( \times 10 \) મી માપના બે લંબચોરસ PQRS અને XYZW તથા બંને તરફ બે અર્ધવર્તુળોના તફાવત દ્વારા બનેલ છે.
લંબચોરસ PQRSનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ
\( = (106 \times 10) \) મી\(^2\)
\( = 1060 \) મી\(^2\)
બે લંબચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = (2 \times 1060) \) મી\(^2\)
\( = 2120 \) મી\(^2\)
હવે, RW \( = 60 \) મી
\( \implies SZ = SR + RW + WZ \)
\( = (10 + 60 + 10) \) મી \( = 80 \) મી
બે અર્ધવર્તુળાકાર પ્રદેશોનું ક્ષેત્રફળ \( = \) SZ વ્યાસવાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( - \) RW વ્યાસવાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac{\pi R^2}{2} - \frac{\pi r^2}{2} \); જ્યાં, \( R = \frac{SZ}{2} = 40 \) મી અને \( r = \frac{RW}{2} = 30 \) મી
\( = \frac{\pi}{2}(R^2 - r^2) \)
\( = \frac{\pi}{2}(40^2 - 30^2) \) મી\(^2\)
\( = \frac{22}{7 \times 2} (1600 - 900) \) મી\(^2\)
\( = \frac{11}{7} \times 700 \) મી\(^2\)
\( = 1100 \) મી\(^2\)
આથી બંને તરફનાં બે અર્ધવર્તુળોના તફાવત દ્વારા બનતા પ્રદેશોનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = (2 \times 1100) \) મી\(^2\)
\( = 2200 \) મી\(^2\)
દોડમાર્ગનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = \) બે લંબચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( + \) બંને તરફનાં અર્ધવર્તુળોના તફાવત દ્વારા બનતા પ્રદેશોનું કુલ ક્ષેત્રફળ
\( = (2120 + 2200) \) મી\(^2\)
\( = 4320 \) મી\(^2\)
આમ, દોડમાર્ગની અંદરની ધારનું ચારેય તરફનું અંતર \( \frac{2804}{7} \) મી છે તથા દોડમાર્ગનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( 4320 \) મી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં અંદરની ધારની લંબાઈ શોધવા માટે સીધા ભાગો અને અર્ધવર્તુળના પરિઘનો સરવાળો કરો. પછી, ટ્રેકનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, લંબચોરસ ભાગોનું ક્ષેત્રફળ અને બે અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત ગણો.

Exam Tip: દોડના ટ્રેકના દાખલાઓમાં, લંબચોરસ ભાગો અને અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોને અલગથી ગણીને પછી તેમનો સરવાળો કરો. અંદરના અને બહારના માપનું ધ્યાન રાખો.

Question 9. આપેલ આકૃતિમાં બે કેન્દ્રવાળા વર્તુળના બે વ્યાસ AB અને CD પરસ્પર લંબ છે અને નાના વર્તુળનો વ્યાસ OD છે. જો OA = 7 સેમી હોય, તો દર્શાવેલ રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, OA, OB, OC તથા CD એ મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે તથા \( OA = 7 \) સેમી
\( \implies OA = OB = OC = OD = 7 \) સેમી
આથી, \( AB = OA + OB = (7 + 7) \) સેમી \( = 14 \) સેમી
વળી, \( AB \perp CD \)
\( \implies CO \perp AB \)
\( \triangle ABC \) નું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} \times AB \times CO \)
\( = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 \) સેમી\(^2\)
\( = 49 \) સેમી\(^2\)
AB વ્યાસવાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \) સેમી\(^2\)
\( = 77 \) સેમી\(^2\)
આથી મોટા વર્તુળના બે વૃત્તખંડનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = \) અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( - \triangle ABC \) નું ક્ષેત્રફળ
\( = (77 - 49) \) સેમી\(^2 = 28 \) સેમી\(^2\)
OD વ્યાસવાળા નાના વર્તુળ માટે, ત્રિજ્યા \( r = \frac{OD}{2} = \frac{7}{2} \) સેમી
નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \) સેમી\(^2\)
\( = 38.5 \) સેમી\(^2\)
આથી રંગીન પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = (28 + 38.5) \) સેમી\(^2 = 66.5 \) સેમી\(^2\)
આમ, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( 66.5 \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં મોટા વર્તુળના અર્ધવર્તુળ અને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો. પછી, નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ગણો. છેલ્લે, મોટા વર્તુળના વૃત્તખંડ અને નાના વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરીને રંગીન ભાગનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે બે વર્તુળો હોય અને વ્યાસ એકબીજાને લંબ હોય, ત્યારે દરેક ભાગનું ક્ષેત્રફળ અલગથી ગણીને સરવાળો કે બાદબાકી કરો.

Question 10. એક સમભુજ ત્રિકોણ ABCનું ક્ષેત્રફળ 17320.5 સેમી છે. ત્રિકોણની બાજુની લંબાઇથી ત્રિજ્યાવાળા અને પ્રત્યેક શિરોબિંદુ કેન્દ્ર હોય તેવાં વર્તુળ દોર્યા છે. (જુઓ આકૃતિ) દર્શાવેલ રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો. (ત્તે = 3.14 અને \( \sqrt{3} = 1.73205 \) લો.)
Answer: સમભુજ ત્રિકોણ ABCની બાજુની લંબાઈ ધારો કે \( a \) સેમી છે.
સમભુજ ત્રિકોણ ABCનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
\( \implies 17320.5 = \frac{1.73205}{4} \times a^2 \)
\( \implies a^2 = \frac{17320.5 \times 4}{1.73205} \)
\( \implies a^2 = 40000 \)
\( \implies a = \sqrt{40000} \)
\( \implies a = 200 \) સેમી
આમ, \( \triangle ABC \) ની દરેક બાજુનું માપ \( 200 \) સેમી છે.
\( \triangle ABC \) ના દરેક શિરોબિંદુ પર દોરેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = \frac{200}{2} \) સેમી \( = 100 \) સેમી
શિરોબિંદુ A પર દોરેલ વર્તુળનો વૃત્તાંશ કે જે \( \triangle ABC \) ના અંદરના ભાગમાં સમાયેલ છે.
જેના માટે ત્રિજ્યા \( r = 100 \) સેમી અને વૃત્તાંશનો ખૂણો \( \theta = 60^\circ \) (સમભુજ ત્રિકોણનો ખૂણો)
લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{60}{360} \times 3.14 \times 100 \times 100 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 10000 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{31400}{6} \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{15700}{3} \) સેમી\(^2\)
તે જ રીતે, શિરોબિંદુ B અને C પર દોરેલા વર્તુળના વૃત્તાંશ કે જે \( \triangle ABC \) ના અંદરના ભાગમાં સમાયેલ છે, તે દરેકનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{15700}{3} \) સેમી\(^2\) થાય.
\( \implies \) શિરોબિંદુ A, B અને C પરના ત્રણ લઘુવૃત્તાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = 3 \times \frac{15700}{3} \) સેમી\(^2 = 15700 \) સેમી\(^2\)
રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( = \triangle ABC \) નું ક્ષેત્રફળ \( - \) ત્રણ લઘુવૃત્તાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ
\( = (17320.5 - 15700) \) સેમી\(^2\)
\( = 1620.5 \) સેમી\(^2\)
આમ, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( 1620.5 \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરીને તેની બાજુની લંબાઈ શોધો. પછી, દરેક શિરોબિંદુ પર બનેલા ત્રણ વૃત્તાંશોનું કુલ ક્ષેત્રફળ ગણો. ત્રિકોણના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી આ વૃત્તાંશોનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને રંગીન ભાગનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે આવા દાખલાઓમાં \( \pi \) અને \( \sqrt{3} \) ની કિંમત આપેલી હોય, ત્યારે તે કિંમતોનો જ ઉપયોગ કરો.

Question 11. એક ચોરસ હાથરૂમાલ પર 7 સેમી ત્રિજ્યાવાળી નવ વર્તુળાકાર ભાત બનાવી છે. (જુઓ આકૃતિ) હાથરૂમાલના બાકીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: નવ વર્તુળાકાર ભાત પૈકી દરેક ભાત માટે, ત્રિજ્યા \( r = 7 \) સેમી.
નવ વર્તુળાકાર ભાતનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = 9 \pi r^2 \)
\( = 9 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \) સેમી\(^2\)
\( = 1386 \) સેમી\(^2\)
દરેક વર્તુળાકાર ભાતનો વ્યાસ \( = (2 \times 7) \) સેમી \( = 14 \) સેમી
ચોરસ ABCDની દરેક બાજુની લંબાઈ \( = (3 \times 14) \) સેમી \( = 42 \) સેમી
ચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ \( = (બાજુ)^2 \)
\( = (42)^2 \) સેમી\(^2\)
\( = 1764 \) સેમી\(^2\)
હાથરૂમાલના બાકીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ \( = \) ચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ \( - \) નવ વર્તુળાકાર ભાતનું કુલ ક્ષેત્રફળ
\( = (1764 - 1386) \) સેમી\(^2\)
\( = 378 \) સેમી\(^2\)
આમ, હાથરૂમાલના બાકીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ \( 378 \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં એક વર્તુળનો વ્યાસ શોધો. પછી, ત્રણ વર્તુળોની હારની મદદથી ચોરસની બાજુની લંબાઈ ગણો. પછી, ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ અને નવ વર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધીને બાદબાકી કરો.

Exam Tip: જ્યારે ચોરસમાં સમાન વર્તુળો ગોઠવેલા હોય, ત્યારે ચોરસની બાજુની લંબાઈ વર્તુળોના વ્યાસના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.

Question 12. આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ ચતુર્થાંશ OACBનું કેન્દ્ર O છે અને ત્રિજ્યા 3.5 સેમી છે. જો OD = 2 સેમી હોય, તો, (i) ચતુર્થાંશ (AC)નું ક્ષેત્રફળ શોધો. (ii) દર્શાવેલ રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: ચતુર્થાંશ OACB માટે, ત્રિજ્યા \( r = 3.5 \) સેમી \( = \frac{7}{2} \) સેમી
(i) ચતુર્થાંશ OACBનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{4} (\pi r^2) \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{77}{8} \) સેમી\(^2\)
OACB એ વર્તુળનો ચતુર્થાંશ હોવાથી, \( \angle BOA = \angle BOD = 90^\circ \)
\( \triangle BOD \) માં, \( \angle BOD = 90^\circ \)
\( \triangle BOD \) નું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{2} \times BO \times OD \)
\( = (\frac{1}{2} \times \frac{7}{2} \times 2) \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{7}{2} \) સેમી\(^2\)
(ii) રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( = \) ચતુર્થાંશ OACBનું ક્ષેત્રફળ \( - \triangle BOD \) નું ક્ષેત્રફળ
\( = (\frac{77}{8} - \frac{7}{2}) \) સેમી\(^2\)
\( = (\frac{77 - 28}{8}) \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{49}{8} \) સેમી\(^2\)
આમ, ચતુર્થાંશ OACBનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{77}{8} \) સેમી\(^2\) છે તથા રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{49}{8} \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં આખા ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો. પછી, ત્રિકોણ BOD નું ક્ષેત્રફળ ગણો. છેલ્લે, ચતુર્થાંશના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને રંગીન ભાગનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે ચતુર્થાંશમાં ત્રિકોણ કાપેલો હોય, ત્યારે ચતુર્થાંશના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને બાકીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકાય છે.

Question 13. આપેલ આકૃતિમાં, એક વર્તુળના ચતુર્થાંશ OPBQની અંતર્ગત ચોરસ OABC છે. જો OA = 20 સેમી હોય, તો દર્શાવેલ રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો. ( \( \pi = 3.14 \) લો.)
Answer: ચોરસ OABC માટે, બાજુ \( a = OA = 20 \) સેમી
ચોરસ OABCનું ક્ષેત્રફળ \( = a^2 \)
\( = (20)^2 \) સેમી\(^2\)
\( = 400 \) સેમી\(^2\)
\( \triangle OAB \) માં, \( \angle A = 90^\circ \) અને \( OA = AB = 20 \) સેમી
આથી \( OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} \) (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
\( = \sqrt{20^2 + 20^2} \)
\( = \sqrt{2 \times 20^2} \)
\( = 20\sqrt{2} \) સેમી
આથી ચતુર્થાંશ OPBQની ત્રિજ્યા \( r = OB = 20\sqrt{2} \) સેમી.
ચતુર્થાંશ OPBQનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac{1}{4} (\pi r^2) \)
\( = \frac{1}{4} \times 3.14 \times (20\sqrt{2})^2 \) સેમી\(^2\)
\( = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 400 \times 2 \) સેમી\(^2\)
\( = 3.14 \times 200 \) સેમી\(^2\)
\( = 628 \) સેમી\(^2\)
રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( = \) ચતુર્થાંશ OPBQ નું ક્ષેત્રફળ \( - \) ચોરસ OABCનું ક્ષેત્રફળ
\( = (628 - 400) \) સેમી\(^2\)
\( = 228 \) સેમી\(^2\)
આમ, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( 228 \) સેમી\(^2\) છે.
In simple words: પહેલાં ચોરસ OABC નું ક્ષેત્રફળ ગણો. પછી, ચોરસના કર્ણની લંબાઈ શોધો, જે ચતુર્થાંશની ત્રિજ્યા બને છે. ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ ગણીને તેમાંથી ચોરસનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરો.

Exam Tip: જ્યારે ચોરસ વર્તુળના ચતુર્થાંશમાં અંકિત હોય, ત્યારે ચોરસનો કર્ણ ચતુર્થાંશની ત્રિજ્યા બને છે.

Question 14. O કેન્દ્રવાળા, 21 સેમી અને 7 સેમી બે ત્રિજ્યાવાળાં બે સમકેન્દ્રી વર્તુળના ચાપ અનુક્રમે AB અને CD છે. (જુઓ આકૃતિ) જો ∠AOB = 30° હોય, તો દર્શાવેલ રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: મોટા વૃત્તાંશ OAB માટે, ત્રિજ્યા \( r_1 = 21 \) સેમી અને ખૂણો \( \theta = 30° \) છે.
નાના વૃત્તાંશ OCD માટે, ત્રિજ્યા \( r_2 = 7 \) સેમી અને ખૂણો \( \theta = 30° \) છે.
રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે, આપણે મોટા વૃત્તાંશ OABના ક્ષેત્રફળમાંથી નાના વૃત્તાંશ OCDનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીશું.
\( = \frac{\theta}{360} \times \pi r_1^2 - \frac{\theta}{360} \times \pi r_2^2 \)
\( = \frac{\theta}{360} \pi (r_1^2 - r_2^2) \)
\( = \frac{30}{360} \times \frac{22}{7} \times (21^2 - 7^2) \) સેમી²
\( = \frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times (21 + 7)(21 - 7) \) સેમી²
\( = \frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 14 \) સેમી²
\( = \frac{308}{3} \) સેમી²
આથી, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{308}{3} \) સેમી² થાય છે.
In simple words: રંગીન ભાગનું ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે, મોટા વર્તુળના ટુકડા (વૃત્તાંશ) માંથી નાના વર્તુળનો ટુકડો બાદ કરો. આ કરવા માટે, ખૂણો (\( \theta \)) અને બંને ત્રિજ્યાઓ (\( r_1, r_2 \)) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.

Exam Tip: યાદ રાખો કે વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \) છે. જ્યારે બે સમકેન્દ્રી વૃત્તાંશો સાથે કામ કરો ત્યારે, ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે સામાન્ય પદોને પહેલા બહાર કાઢો.

Question 15. આપેલ આકૃતિમાં, ABC એ 14 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનો ચતુર્થાંશ છે. BCને વ્યાસ તરીકે લઈ વર્તુળ દોર્યું છે, તો દર્શાવેલ રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: આપણે ચતુર્થાંશ ABCની ચાપ BC પર એક બિંદુ P લઈએ. ચતુર્થાંશ ABC માટે, ત્રિજ્યા \( r = 14 \) સેમી છે.
ચતુર્થાંશ ABCનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( \frac{1}{4} (\pi r^2) \) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \) સેમી²
\( = 154 \) સેમી²
\( \triangle BAC \) માં, \( \angle A = 90° \) છે.
તેથી, \( \triangle BAC \) નું ક્ષેત્રફળ = \( \frac{1}{2} \times AB \times AC \)
\( = 98 \) સેમી²
હવે, વૃત્તખંડ BPCનું ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે, ચતુર્થાંશ ABCના ક્ષેત્રફળમાંથી \( \triangle BAC \) નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીએ.
\( = (154 - 98) \) સેમી² \( = 56 \) સેમી²
\( \triangle BAC \) માં, \( \angle A = 90° \) અને \( AB = AC = 14 \) સેમી છે.
આથી, પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને \( BC \) શોધીશું: \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} \)
\( = \sqrt{14^2 + 14^2} \)
\( = \sqrt{2 \times 14^2} \)
\( = 14\sqrt{2} \) સેમી
તેથી, BC વ્યાસવાળા અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = \frac{BC}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} \) સેમી \( = 7\sqrt{2} \) સેમી છે.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = \( \frac{1}{2} (\pi r^2) \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7\sqrt{2} \times 7\sqrt{2} \)
\( = 154 \) સેમી²
અંતે, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે, અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી વૃત્તખંડ BPCનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીએ.
\( = (154 - 56) \) સેમી² \( = 98 \) સેમી²
આમ, રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( 98 \) સેમી² થાય છે.
In simple words: સૌપ્રથમ, મોટા વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધો. પછી, ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીને તેમાંથી બાદ કરો. ત્યારબાદ, BC ને વ્યાસ તરીકે લઈને અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ગણો. છેલ્લે, અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને રંગીન ભાગનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે અનેક આકારો શામેલ હોય તેવી સમસ્યાઓ હોય, ત્યારે જટિલ આકૃતિને સરળ ભૌમિતિક આકારોમાં વિભાજીત કરો. દરેક ઘટકનું ક્ષેત્રફળ ગણો અને પછી રંગીન પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે જરૂર મુજબ ઉમેરો અથવા બાદ કરો.

Question 16. આપેલ આકૃતિમાં, 8 સેમી ત્રિજ્યાવાળાં બે વર્તુળના સામાન્ય ચતુર્થાંશની ભાતના પ્રદેશના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો.
Answer: પ્રત્યેક ચતુર્થાંશ માટે ત્રિજ્યા \( r = 8 \) સેમી આપવામાં આવી છે.
બંને ચતુર્થાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે \( 2 \times \frac{1}{4} (\pi r^2) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
\( = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 8 \times 8 \) સેમી²
\( = \frac{704}{7} \) સેમી²
હવે, ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુના વર્ગ બરાબર હોય છે.
\( = (8)^2 \) સેમી²
\( = 64 \) સેમી²
ભાતના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે, આપણે બે ચતુર્થાંશના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી ચોરસનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીશું.
\( = (\frac{704}{7} - 64) \) સેમી²
\( = (\frac{704 - 448}{7}) \) સેમી²
\( = \frac{256}{7} \) સેમી²
તેથી, ભાતના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{256}{7} \) સેમી² થાય છે.
In simple words: ભાતના ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, બે વર્તુળના ચોથા ભાગના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી વચ્ચેના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરો. આ ગણતરી ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

Exam Tip: જ્યારે ઓવરલેપ થતા આકારો દ્વારા રચાયેલા સામાન્ય પ્રદેશના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો, ત્યારે વ્યક્તિગત આકારો અને તેમના ગુણધર્મોને ઓળખો. ઓવરલેપ એક અનન્ય પેટર્ન બનાવે છે તે પ્રદેશને શોધવા માટે ક્ષેત્રફળની બાદબાકીનો ઉપયોગ કરો.