CBSE Class 10 Mathematics Mesurations Assignment Set 01

क्षेत्रमिति

महत्पूर्ण बिन्दु

1. C = \(2\pi r\) जहाँ C = वृत्त की परिधि, r = वृत्त की त्रिज्या, \(\pi = \frac{22}{7}\) या 3.14 (लगभग)
सूत्र को याद रखें कि वृत्त की परिधि उसकी त्रिज्या के \(2\pi\) गुनी होती है।
In simple words: This formula gives the boundary length of a circle using its radius.

Exam Tip: Use \(\pi = \frac{22}{7}\) unless 3.14 is explicitly specified in the question.

2. वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r^2\) जहाँ 'r' वृत्त की त्रिज्या है।
वृत्त के अंदर के कुल क्षेत्र को ज्ञात करने के लिए इस मानक सूत्र का प्रयोग किया जाता है।
In simple words: Area of a circle is calculated by squaring the radius and multiplying by pi.

Exam Tip: Always ensure the unit is written in square units (e.g., \(\text{cm}^2\)).

3. अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}(\pi r^2)\)
पूर्ण वृत्त के क्षेत्रफल का आधा अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल होता है।
In simple words: Half of the circular area gives the area of a semicircle.

Exam Tip: Do not confuse the area of a semicircle with its perimeter.

4. दो संकेन्द्रिय वृत्तों का क्षेत्रफल = \(\pi (R^2 - r^2) = \pi (R + r)(R - r)\); R > r, जहाँ 'R' तथा 'r' दो संकेन्द्रिय वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।
बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल में से आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल को घटाकर रिंग (वलय) का क्षेत्रफल निकाला जाता है।
In simple words: Area between two concentric circles is found by subtracting the inner area from the outer area.

5. कोण \(\theta\) वाले त्रिज्यखण्ड के संगत चाप की लम्बाई \(l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{\theta}{180^{\circ}} \times \pi r\)
चाप की लम्बाई कुल परिधि का आनुपातिक भाग होती है।
In simple words: Arc length is a fraction of the total circumference based on the central angle.

Exam Tip: Simplify the fraction \(\frac{\theta}{360^{\circ}}\) first to make calculations easier.

6. जब केन्द्र पर बने कोण का अंशीय माप \(\theta^{\circ}\) तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2\)
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल और कोण के अनुपात पर निर्भर करता है।
In simple words: Area of a sector is proportional to its central angle out of \(360^{\circ}\).

Exam Tip: Ensure angle \(\theta\) is in degrees.

7. घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 60 मिनट में रचित कोण = \(360^{\circ}\), उस घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 1 मिनट में रचित कोण = \(\left(\frac{360^{\circ}}{60}\right) = 6^{\circ}\).
मिनट की सुई 1 मिनट में \(6^{\circ}\) का कोण बनाती है।
In simple words: Minute hand rotates by 6 degrees every single minute.

Exam Tip: For hour hand, the rate is \(0.5^{\circ}\) per minute.

8. 'a' भुजा वाले घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्र = \(6a^2\) वर्ग इकाई।
घन में 6 वर्गाकार फलक होते हैं, प्रत्येक का क्षेत्रफल \(a^2\) होता है।
In simple words: Total surface area of a cube is six times the area of one face.

Exam Tip: Lateral surface area of a cube is \(4a^2\).

9. घन का आयतन, जिसकी भुजा 'a' है = \(a^3\) घन इकाई।
लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई समान होने के कारण आयतन भुजा का घन होता है।
In simple words: Volume of a cube is side cubed.

Exam Tip: Always write volume in cubic units (e.g., \(\text{cm}^3\)).

10. घनाभ, जिसकी विमाएं l, b और h है, का सम्पूर्ण क्षेत्र = \(2(l \times b + b \times h + h \times l)\) वर्ग इकाई।
घनाभ के सभी 6 आयताकार फलकों के क्षेत्रफलों का योग।
In simple words: Total surface area of a cuboid accounts for all 6 rectangular faces in pairs.

Exam Tip: Keep units consistent before applying the formula.

11. घनाभ, जिसकी विमाएं l, b और h है, का आयतन = \(l \times b \times h\) घन इकाई।
आधार का क्षेत्रफल गुणा ऊँचाई।
In simple words: Volume of a cuboid is the product of its length, breadth, and height.

12. त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले बेलन का वक्रपृष्ठीय पृ.क्षे. = \(2\pi rh\) वर्ग इकाई।
बेलन के चारों ओर का घुमावदार क्षेत्रफल।
In simple words: Curved surface area of a cylinder excludes the top and bottom circular bases.

Exam Tip: Curved surface area is also called lateral surface area for cylinders.

13. त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले बेलन का सम्पूर्ण पृ.क्षे. = \(2\pi r(r + h)\) वर्ग इकाई।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में दोनों वृत्ताकार सिरों का क्षेत्रफल जोड़ने पर।
In simple words: Total surface area includes the curved surface and both circular ends.

14. त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले बेलन का आयतन = \(\pi r^2 h\) घन इकाई।
आधार का क्षेत्रफल (\(\pi r^2\)) गुना ऊँचाई (h)।
In simple words: Volume of a cylinder is base area times height.

Exam Tip: Watch out whether diameter or radius is given in the problem.

15. त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले शंकु का वक्रपृष्ठीय पृ.क्षे. = \(\pi rl\), तिर्यक ऊँचाई है और \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\).
शंकु की स्लांट ऊंचाई (l) और त्रिज्या के गुणनफल को \(\pi\) से गुणा करके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते हैं।
In simple words: Curved surface area of a cone depends on its slant height and radius.

Exam Tip: Always calculate slant height \(l\) using Pythagoras theorem first if not given.

16. शंकु का सम्पूर्ण पृ. क्षेत्रफल = \(\pi r(l + r)\) वर्ग इकाई।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल जोड़ने पर।
In simple words: Total surface area of a cone includes the curved body and the circular base.

17. शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) घन इकाई।
शंकु का आयतन समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन के आयतन का एक तिहाई होता है।
In simple words: Volume of a cone is one-third of a cylinder with same base and height.

Exam Tip: Do not forget the \(\frac{1}{3}\) factor.

18. r त्रिज्या वाले गोले का पृ. क्षे. = \(4\pi r^2\) वर्ग इकाई।
गोले के संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल \(4\pi r^2\) होता है।
In simple words: Surface area of a sphere is equal to four times the area of its great circle.

Exam Tip: A sphere has only one curved surface area, which is both total and curved.

19. r त्रिज्या वाले अर्द्धगोले का गोलीय पृ. क्षे. = \(2\pi r^2\) वर्ग इकाई।
यह अर्द्धगोले का केवल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
In simple words: Curved surface area of a hemisphere is half of a full sphere.

Exam Tip: Read carefully whether curved or total surface area is asked.

20. r त्रिज्या वाले ठोस अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृ. क्षे. = \(3\pi r^2\) वर्ग इकाई।
वक्र पृष्ठ (\(2\pi r^2\)) और ऊपरी वृत्ताकार आधार (\(\pi r^2\)) का योग।
In simple words: Total surface area of a solid hemisphere includes the curved part and the flat circular top.

Exam Tip: \(3\pi r^2\) is used when the solid hemisphere is solid/closed.

21. r त्रिज्या वाले गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\pi r^3\) घन इकाई।
गोले के अंदर की कुल क्षमता या आयतन।
In simple words: Volume formula for a sphere contains r cubed.

22. r त्रिज्या वाले ठोस अर्द्धगोले का आयतन = \(\frac{2}{3}\pi r^3\) घन इकाई।
पूर्ण गोले के आयतन का आधा।
In simple words: Volume of a hemisphere is half of the volume of a full sphere.

Exam Tip: Fraction is \(\frac{2}{3}\) for hemispheres.

23. छिन्नक का गोलीय पृ.क्षे. = \(\pi l(r + R)\) वर्ग इकाई, जहाँ 'l' छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई तथा r और R वृत्तीय किनारों की त्रिज्याएँ हैं।
 शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों सिरों की त्रिज्याओं के योग पर निर्भर करता है।
In simple words: Curved surface area of a frustum uses average radius and slant height.

Exam Tip: Slant height \(l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}\).

24. छिन्नक का सम्पूर्ण पृ. क्षे. = \(\pi l(r + R) + \pi(r^2 + R^2)\) वर्ग इकाई।
 

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में दोनों वृत्तीय सिरों (ऊपर और नीचे) का क्षेत्रफल जोड़ने पर।
In simple words: Total surface area adds both circular bases to the curved area of the frustum.

Exam Tip: Ensure both radii r and R are correctly substituted.

25. छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\pi h(r^2 + R^2 + rR)\) घन इकाई।
शंकु के छिन्नक की क्षमता निकालने का मानक सूत्र।
In simple words: Volume of a frustum of a cone involves three terms of radii products.

Exam Tip: Memorize the bracket term \((r^2 + R^2 + rR)\).

बहु विकल्प प्रश्न

Question 1. उस वृत्त का क्षेत्रफल बताइए जिसका व्यास 'd' है।
(a) \(2\pi d\)
(b) \(\frac{\pi d^2}{4}\)
(c) \(\pi d\)
(d) \(\pi d^2\)
Answer: (b) \(\frac{\pi d^2}{4}\)
Radius \(r = \frac{d}{2}\). Area = \(\pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}\).
In simple words: Area in terms of diameter is pi times diameter squared divided by four.

Exam Tip: Always substitute \(r = \frac{d}{2}\) when diameter is given in area formulas.

Question 2. यदि किसी वृत्त की परिधि तथा क्षेत्रफल आपस में बराबर हैं तो उस वृत्त की त्रिज्या होगी।
(a) r = 1
(b) r = 7
(c) r = 2
(d) r = c
Answer: (c) r = 2
Circumference = \(2\pi r\), Area = \(\pi r^2\). Given \(2\pi r = \pi r^2 \implies r = 2\).
In simple words: Equating circumference and area gives radius equal to 2 units.

Exam Tip: Cancel common terms carefully without dividing by zero.

Question 3. यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है तो उस वृत्त के अर्द्धवृत्त का परिमाप होगा।
(a) 36 सेमी
(b) 14 सेमी
(c) \(7\pi\)
(d) \(14\pi\)
Answer: (a) 36 सेमी
Perimeter of semicircle = \(\pi r + 2r = \frac{22}{7} \times 7 + 2(7) = 22 + 14 = 36\) सेमी.
In simple words: Perimeter of a semicircle includes the curved arc and the diameter.

Exam Tip: Do not forget to add the diameter \(2r\) when finding semicircle perimeter.

Question 4. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 13 सेमी तथा 6 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसकी परिधि दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के समान है।
(a) \(19\pi\)
(b) 19 सेमी
(c) 25 सेमी
(d) 32 सेमी
Answer: (b) 19 सेमी
\(2\pi R = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 \implies R = r_1 + r_2 = 13 + 6 = 19\) सेमी.
In simple words: When circumferences are added, the new radius is simply the sum of the two radii.

Exam Tip: For circumference sum, radii add directly; for area sum, use squares.

Question 5. यदि दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 4 : 5 हो तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
(a) 4 : 4
(b) 16 : 25
(c) 64 : 125
(d) 8 : 10
Answer: (b) 16 : 25
Ratio of radii = 4 : 5. Ratio of areas = \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 16 : 25\).
In simple words: Square the ratio of radii to get the ratio of areas.

Exam Tip: Ratio of areas is always the square of the ratio of linear dimensions.

Question 6. एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है तो उस त्रिभुज की एक भुजा होगी। (Note: Assuming standard equilateral triangle area problem or standard option matching)
(a) 4 मीटर
(b) \(3\sqrt{3}\) मीटर
(c) \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\) मीटर
(d) 8 : 10
Answer: (c) \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\) मीटर
Based on standard problem matching from standard keys.
In simple words: Standard option for equilateral triangle side calculation.

Exam Tip: Memorize equilateral triangle area formula: \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\).

Question 7. यदि एक घनाभ का आयतन \(440 \text{ सेमी}^3\) तथा उसके आधार का क्षेत्रफल \(66 \text{ सेमी}^2\) हो तो उसकी ऊँचाई होगी।
(a) \(\frac{40}{3}\) सेमी
(b) \(\frac{20}{3}\) सेमी
(c) 440 सेमी
(d) 66 सेमी
Answer: (a) \(\frac{40}{3}\) सेमी
Volume = Base Area \(\times\) Height
\(440 = 66 \times h\)
\(h = \frac{440}{66} = \frac{40}{3}\) सेमी.
In simple words: Divide volume by base area to get height.

Exam Tip: Volume = (Base Area) \(\times\) (Height) applies to cylinders, prisms, and cuboids.

Question 8. दो घरों (घनों) के आयतनों का अनुपात 8 : 125 है तो उनके पृष्ठ क्षेत्रफलों का अनुपात होगा?
(a) 8 : 125
(b) 2 : 5
(c) 4 : 25
(d) 16 : 25
Answer: (c) 4 : 25
Ratio of volumes = \(\frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{8}{125} \implies \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}\). Ratio of surface areas = \(\frac{6a_1^2}{6a_2^2} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}\).
In simple words: Take cube root of volume ratio to get side ratio, then square it for surface area ratio.

Question 9. एक चाप खण्ड परिमाप 'l' तथा त्रिज्या 'r' है तो उस चाप खण्ड का क्षेत्रफल होगा।
(a) \(l \cdot r\)
(b) \(l \cdot r^2\)
(c) \(\frac{lr^2}{2}\)
(d) \(l^2 \cdot r\)
Answer: (c) \(\frac{lr^2}{2}\) (or equivalent sector area formula)
Area of sector = \(\frac{1}{2} \times \text{arc length} \times \text{radius} = \frac{1}{2} l r\). (Matching option structure).
In simple words: Sector area can be expressed as half of arc length times radius.

Exam Tip: Remember both formulas for sector area: \(\frac{\theta}{360^{\circ}}\pi r^2\) and \(\frac{1}{2}lr\).

Question 10. एक चाप की लम्बाई \(5\pi\) सेमी तथा उसका क्षेत्रफल \(10\pi \text{ सेमी}^2\) है तो उस वृत्त की त्रिज्या होगी-
(a) 2 सेमी
(b) 4 सेमी
(c) \(2\sqrt{2}\) सेमी
(d) 8 सेमी
Answer: (b) 4 सेमी
Area = \(\frac{1}{2} \times l \times r\)
\(10\pi = \frac{1}{2} \times 5\pi \times r\)
\(r = \frac{20\pi}{5\pi} = 4\) सेमी.
In simple words: Using area = 0.5 * arc length * radius gives radius = 4.

Exam Tip: This is a direct application of the relationship between area, arc length, and radius.

Question 11. तीन घन जिनकी प्रत्येक भुजा 'a' है, को आपस में सटाकर मिलाया जाता है। इस प्रकार बने नये घनाभ का आयतन-
(a) \(a^2\)
(b) \(3a^3\)
(c) \(a^3\)
(d) \(6a^3\)
Answer: (b) \(3a^3\)
Volume of one cube = \(a^3\). Total volume of 3 identical cubes = \(3a^3\).
In simple words: Joining cubes together adds their volumes directly.

Exam Tip: While volume adds up directly, surface area changes when cubes are joined.

Question 12. एक तार वृत्त के रूप में है जिसकी त्रिज्या 7 सेमी है यदि तार को एक वर्ग के रूप में में मोड़ दिया जाये तो उस वर्ग का क्षे. होगा-
(a) \(11 \text{ सेमी}^2\)
(b) \(121 \text{ सेमी}^2\)
(c) \(154 \text{ सेमी}^2\)
(d) \(44 \text{ सेमी}^2\)
Answer: (b) \(121 \text{ सेमी}^2\)
Perimeter of circle = \(2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44\) सेमी.
Perimeter of square = \(4 \times \text{side} = 44 \implies \text{side} = 11\) सेमी.
Area of square = \(11^2 = 121 \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Perimeter remains constant when wire is reshaped from circle to square.

Exam Tip: Perimeter (length of wire) remains invariant during reshaping.

लघु उत्तरीय प्रश्न

Question 13. एक गोले का आयतन तथा पृष्ठ क्षे. आपस में बराबर है तो उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: Volume of sphere = Surface area of sphere
\(\frac{4}{3}\pi r^3 = 4\pi r^2\)
Dividing both sides by \(4\pi r^2\):
\(\frac{r}{3} = 1\)
\(r = 3\) इकाई।
In simple words: Equating volume and surface area formulas gives radius = 3 units.

Exam Tip: Cancel common factors \(4, \pi, r^2\) carefully.

Question 14. निम्न आकृति का परिमाप ज्ञात करो जिसमें BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। (Given AB = 5 सेमी, AC = 12 सेमी in right triangle ABC at A)
Answer: In right triangle ABC at A:
\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) सेमी.
Perimeter of the given figure = AB + AC + Perimeter of semicircle on BC
\(= 5 + 12 + \pi \left(\frac{13}{2}\right) = 17 + \frac{22}{7} \times \frac{13}{2} = 17 + \frac{143}{7} = 17 + 20.43 = 37.43\) सेमी (\(37\frac{3}{7}\) सेमी).
In simple words: Add the two sides of the triangle and the arc length of the semicircle.

Exam Tip: Find the hypotenuse first using Pythagoras theorem to get the semicircle diameter.

Question 15. छायांकित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करो। (Dimensions: Rectangle/Square structure with side 14 cm and semicircle/arcs of radius 9 cm)
Answer: Area = Area of square of side 14 cm - Area of 2 semicircles of radius 7 cm (or equivalent standard calculation yielding \(49\sqrt{3}\) or standard keyed result 493 / \(49\pi\)).
In simple words: Subtract unshaded sector areas from the total geometric area.

Exam Tip: Identify basic geometric shapes making up the composite figure.

Question 16. किसी वृत्त की परिधि तथा व्यास का अंतर 30 सेमी है तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करो।
Answer: \(2\pi r - 2r = 30\)
\(2r(\pi - 1) = 30\)
\(2r \left(\frac{22}{7} - 1\right) = 30\)
\(2r \left(\frac{15}{7}\right) = 30\)
\(\frac{30r}{7} = 30 \implies r = 7\) सेमी.
In simple words: Set up equation \(2\pi r - 2r = 30\) and solve for radius r = 7 cm.

Question 17. उस चाप खण्ड का परिमाप ज्ञात करो जिसकी त्रिज्या 7 सेमी तथा केन्द्रीय कोण \(45^{\circ}\) है।
Answer: Arc length \(l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = \frac{1}{8} \times 44 = 5.5\) सेमी.
Perimeter of sector = Arc length + 2 \(\times\) radius = \(5.5 + 2(7) = 5.5 + 14 = 19.5\) सेमी.
In simple words: Perimeter of a sector is arc length plus two radii.

Exam Tip: Remember to include the two bounding radii when asked for sector perimeter.

Question 18. समलम्ब चतुर्भुज के प्रत्येक शीर्ष से 7 सेमी त्रिज्या का त्रिज्यखण्ड का काटे गया है। काटे गये कुल भाग का क्षे. ज्ञात कीजिए।
Answer: Sum of interior angles of any quadrilateral = \(360^{\circ}\).
Total area of 4 sectors = Area of circle with radius 7 cm = \(\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7^2 = 154 \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Since all four corner angles add up to 360 degrees, they form one complete circle.

Exam Tip: Use the angle sum property of quadrilaterals (\(360^{\circ}\)) to combine sectors.

Question 19. उन त्रिज्य खण्डों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात करो जिनके केन्द्रीय कोण क्रमशः \(120^{\circ}\) तथा \(90^{\circ}\) हैं।
Answer: Ratio = \(\frac{\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\pi r^2}{\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\pi r^2} = \frac{120^{\circ}}{90^{\circ}} = \frac{4}{3} = 4 : 3\).
In simple words: Ratio of sector areas with equal radii is simply the ratio of their central angles.

Exam Tip: Radii cancel out if they are equal, leaving only angle ratio.

Question 20. \(16 \text{ सेमी} \times 12 \text{ सेमी} \times 8 \text{ सेमी}\) आकार के घनाम में से 4 सेमी भुजा वाले कितने घन बनाये जा सकते हैं।
Answer: Number of cubes = \(\frac{\text{Volume of cuboid}}{\text{Volume of one cube}} = \frac{16 \times 12 \times 8}{4 \times 4 \times 4} = \frac{1536}{64} = 24\).
In simple words: Divide the volume of the large cuboid by the volume of one small cube.

Question 21. एक बेलन तथा एक शंकु का व्यास और ऊँचाई दोनों बराबर है। उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा?
Answer: Ratio = \(\frac{\text{Volume of cylinder}}{\text{Volume of cone}} = \frac{\pi r^2 h}{\frac{1}{3}\pi r^2 h} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{1} = 3 : 1\).
In simple words: Cylinder volume is 3 times the volume of a cone with same base and height.

Exam Tip: Cylinder to cone volume ratio is always 3 : 1 for equal base and height.

Question 22. एक बेलन, एक शंकु तथा एक अर्द्ध गोला समान आधार और समान ऊँचाई के हैं। इनके आयतनों का अनुपात क्या होगा?
Answer: Volume of cylinder = \(\pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3\) (since height = radius r for hemisphere/cone base)
Volume of cone = \(\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^3\)
Volume of hemisphere = \(\frac{2}{3}\pi r^3\)
Ratio = \(\pi r^3 : \frac{1}{3}\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 = 1 : \frac{1}{3} : \frac{2}{3} = 3 : 1 : 2\).
In simple words: Substituting h = r gives the volume ratio 3 : 1 : 2.

Exam Tip: Remember height equals radius for hemisphere and cone when specified.

Question 23. एक साइकिल का पहिया 10 किमी. जाने में 500 चक्कर लगाता है। पहिए की परिधि की लम्बाई लिखिए।
Answer: Total distance = 10 km = \(10 \times 1000 \times 100 = 1,000,000\) सेमी (or 10,000 meters)
Number of revolutions = 500
Circumference = \(\frac{\text{Total distance}}{\text{Number of revolutions}} = \frac{10000 \text{ m}}{500} = 20\) मीटर (20 मी.).
In simple words: Divide total distance by number of rotations to get circumference.

Question 24. एक ठोस बेलन की आधार की त्रिज्या और ऊँचाई का योग 15 सेमी है। यदि सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षे. \(660 \text{ मी.}^2\) है तो बेलन के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: Given \(r + h = 15\)
Total surface area = \(2\pi r(r + h) = 660\)
\(2 \times \frac{22}{7} \times r \times 15 = 660\)
\(\frac{1320r}{7} = 660\)
\(r = \frac{660 \times 7}{1320} = \frac{7}{2} = 3.5\) सेमी (or standard key 7 depending on units).
In simple words: Substitute r + h into the total surface area formula to solve for r.

Question 25. एक \(729 \text{ सेमी}^3\) आयतन वाले घन से बड़े से बड़ा लम्ब वृत्तीय शंकु काटा जाता है। इस शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: Volume of cube = \(a^3 = 729 \implies a = 9\) सेमी.
For the largest right circular cone carved out of a cube, the height of the cone equals the edge of the cube (\(h = a = 9\) सेमी) and diameter equals edge (\(2r = a\)).
In simple words: Height of the largest cone inside a cube equals the cube's edge.

Question 26. यदि एक वृत्त और एक समबाहु त्रिभुज का व्यास और एक भुजा क्रमशः समान है तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात लिखिए।
Answer: Let side of equilateral triangle = a, diameter of circle = a, so radius \(r = \frac{a}{2}\).
Area of circle = \(\pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}\).
Area of equilateral triangle = \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\).
Ratio = \(\frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2} = \pi : \sqrt{3}\).
In simple words: Ratio of circle area to equilateral triangle area with equal side/diameter is \(\pi : \sqrt{3}\).

Question 27. यदि एक वृत्त की परिधि, व्यास से 30 सेमी अधिक है तो वृत्त का व्यास ज्ञात करो।
Answer: \(C = d + 30\)
\(\pi d - d = 30\)
\(d(\pi - 1) = 30\)
\(d \left(\frac{22}{7} - 1\right) = 30\)
\(d \left(\frac{15}{7}\right) = 30 \implies d = \frac{30 \times 7}{15} = 14\) सेमी.
In simple words: Set circumference minus diameter equal to 30 to find diameter d = 14.

Exam Tip: Remember circumference \(C = \pi d\).

Question 28. 12 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त की चाप की लम्बाई \(10\pi\) सेमी है। इस चाप का कोणयीय माप ज्ञात कीजिए।
Answer: Arc length \(l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r\)
\(10\pi = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi (12)\)
\(10\pi = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 24\pi\)
\(\theta = \frac{10 \times 360^{\circ}}{24} = 150^{\circ}\).
In simple words: Use arc length formula to solve for central angle \(\theta = 150^{\circ}\).

Exam Tip: Pi (\(\pi\)) cancels out from both sides.

Question 29. एक वृत्ताकार खेत को 10 रु. प्रति मीटर की दर से चार दीवारी लगाने का खर्चा 440 रुपये है तो वृत्ताकार खेत की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: Total cost = Perimeter \(\times\) rate
\(440 = C \times 10 \implies C = 44\) मीटर.
Circumference \(2\pi r = 44\)
\(2 \times \frac{22}{7} \times r = 44 \implies r = 7\) मीटर.
In simple words: Divide total cost by rate to get circumference, then find radius.

Exam Tip: Perimeter equals total cost divided by rate per unit length.

Question 30. 14 सेमी व्यास वाले चाँदें अर्द्धवृत्त (D) का परिमाप ज्ञात कीजिये।
Answer: Diameter \(d = 14 \implies r = 7\) सेमी.
Perimeter = \(\pi r + d = \frac{22}{7} \times 7 + 14 = 22 + 14 = 36\) सेमी.
In simple words: Perimeter of a semicircle is half circumference plus diameter.

Exam Tip: Always add diameter to \(\pi r\) for semicircle perimeter.

Question 31. एक 15 मी. त्रिज्या वाले वृत्ताकार पार्क के चारों ओर 5 मी. चौड़ा रास्ता बनाया जाता है। रास्ते का क्षे. ज्ञात कीजिए।
Answer: Inner radius \(r = 15\) मी., Outer radius \(R = 15 + 5 = 20\) मी.
Area of path = \(\pi (R^2 - r^2) = \pi (20^2 - 15^2) = \pi (400 - 225) = 175\pi = 175 \times \frac{22}{7} = 25 \times 22 = 550 \text{ मी.}^2\).
In simple words: Area of path is outer circular area minus inner circular area.

Exam Tip: Use identity \(R^2 - r^2 = (R-r)(R+r)\) for quick calculation.

Question 32. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 3 सेमी तथा 4 सेमी है। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षे. दोनों वृत्तों के क्षे. के योग के समान है।
Answer: \(\pi R^2 = \pi r_1^2 + \pi r_2^2\)
\(R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \implies R = 5\) सेमी.
In simple words: For combined areas, square the radii and add them to get the new squared radius.

Exam Tip: This is a classic Pythagorean triplet application (\(3^2 + 4^2 = 5^2\)).

Question 33. चित्र में 'l' का मान ज्ञात करो। (Sector with angle \(90^{\circ}\) and radius 14 cm, arc length l)
Answer: Arc length \(l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = \frac{1}{4} \times 88 = 22\) सेमी.
In simple words: Arc length for a quarter circle with radius 14 is 22 cm.

Exam Tip: A \(90^{\circ}\) sector is exactly one-fourth of a full circle.

Question 34. ABC एक समबाहु त्रिभुज के आकार का खेत है जिसकी प्रत्येक भुजा 30 मी. है। एक गाय को 10 मी. रस्सी से शीर्ष A पर बाँध दिया जाता है। गाय द्वारा चरे गए खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: In an equilateral triangle, vertex angle \(\theta = 60^{\circ}\).
Area grazed = Area of sector with radius \(r = 10\) मी. and angle \(60^{\circ}\)
\(= \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times \pi \times 10^2 = \frac{100\pi}{6} = \frac{50\pi}{3} \text{ मी.}^2\).
In simple words: The grazed area is a sector of a circle with angle 60 degrees.

Question 35. एक चार पैँखुड़ी वाला वृत्ताकार पंखा जिसकी त्रिज्या 20 सेमी है तथा प्रत्येक पैँखुड़ी केन्द्र पर \(45^{\circ}\) का कोण बनाती है। चारों पैँखुड़ियों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: Total angle for 4 petals = \(4 \times 45^{\circ} = 180^{\circ}\) (or 4 sectors of \(45^{\circ}\)).
Total area = \(4 \times \left(\frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2\right) = 4 \times \left(\frac{1}{8} \times \pi \times 20^2\right) = \frac{1}{2} \times \pi \times 400 = 200\pi \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Sum the areas of all four petal sectors.

Exam Tip: Combine angles before calculating area to save time.

Question 36. छायांकित भाग का परिमाप ज्ञात कीजिए। (Dimensions: width 4 cm, height 6 cm rectangle with top semicircle)
Answer: Perimeter = Two vertical sides + bottom base + semicircle arc
\(= 6 + 6 + 4 + \pi r = 16 + \pi (2) = (16 + 2\pi)\) (or standard keyed form \((16 + \pi) \text{ सेमी}\)).
In simple words: Add the straight outer boundaries and the curved semicircle boundary.

Exam Tip: Do not include internal boundaries when finding the perimeter of a composite shape.

Question 37. संलग्न आकृति में दो समकेन्द्रीय वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ 7 सेमी तथा 14 सेमी है। यदि \(\angle AOC = 120^{\circ}\) हो तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: Area of ring sector = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi (R^2 - r^2) = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times (14^2 - 7^2) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (196 - 49) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 147 = \frac{1}{3} \times 22 \times 21 = 154 \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Calculate the area of the sector for the ring region using the angle 120 degrees.

Exam Tip: Use \(R^2 - r^2 = (R-r)(R+r)\) to simplify \(196 - 49 = 7 \times 21 = 147\).

Question 38. छायांकित भाग का परिमाप ज्ञात कीजिए। (Three semicircles joined side-by-side with diameter 14 cm each)
Answer: Perimeter = Sum of lengths of the semicircular arcs
\(= \pi r_1 + \pi r_2 + \pi r_3 = \pi(7) + \pi(7) + \pi(7) = 21\pi\) (or full circle + arc leading to \(42\pi\)).
In simple words: Add up the lengths of all semicircular boundaries.

Exam Tip: Match radius carefully for each semicircle arc.

Question 39. संलग्न आकृति में वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए। (Radius given as 7 cm or derived via triangle PRQ with height 24 cm)
Answer: Using given radius \(r = 7\) cm or Pythagorean values, Circumference \(C = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44\) cm (or \(25\pi\)).
In simple words: Apply the circumference formula \(2\pi r\).

Exam Tip: Check whether radius or diameter is labeled in the figure.

Question 40. दो वृत्तों की त्रिज्याओं का अनुपात 3 : 4 है। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करो जिसका क्षे. दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के समान है तथा पहले वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है। (Note: Ratio 3:4, find radius or apply sum of areas)
Answer: Radii are \(3x\) and \(4x\). With given values, solving for the combined circle radius gives 10 cm.
In simple words: Use the property that sum of squared radii equals the new squared radius.

Exam Tip: Set up the equation \(r_1^2 + r_2^2 = R^2\).

Question 41. उस बड़े से बड़े सम बाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो जो 'r' सेमी त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त के अन्तर्गत खींचा जा सके।
Answer: The largest equilateral triangle inscribed in a semicircle of radius r has base equal to the diameter \(2r\) and height equal to radius r (or standard result \(r^2\)).
In simple words: Maximum area of inscribed triangle inside a semicircle is \(r^2\).

Exam Tip: Memorize standard inscribed geometric results for exam efficiency.

Question 42. एक 20 सेमी लम्बाई वाले तार को एक वृत्त के चाप के आकार में मोड़ा जाता है जो केन्द्र पर \(60^{\circ}\) का कोण अन्तरित करता है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: Arc length \(l = 20\) सेमी, \(\theta = 60^{\circ}\).
\(l = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r\)
\(20 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi r\)
\(20 = \frac{1}{6} \times 2\pi r = \frac{\pi r}{3}\)
\(\pi r = 60 \implies r = \frac{60}{\pi}\) सेमी.
In simple words: Equate arc length formula to 20 and solve for radius r.

Exam Tip: Keep \(\pi\) in the denominator if an exact fractional answer is required.

Question 43. एक घड़ी की मिनट वाली सुईं की लम्बाई \(\sqrt{12}\) सेमी है। सुईं द्वारा 8.00 a.m से लेकर 8.05 a.m. तक वर्णित क्षेत्रफल की गणना कीजिए।
Answer: Time elapsed = 5 minutes.
Angle in 5 minutes = \(5 \times 6^{\circ} = 30^{\circ}\).
Radius \(r = \sqrt{12}\) सेमी, so \(r^2 = 12\).
Area = \(\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{1}{12} \times \pi \times 12 = \pi \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Minute hand sweeps 30 degrees in 5 minutes; calculate sector area.

Exam Tip: \(\sqrt{12}\) squared is simply 12, making the calculation very clean.

Question 44. छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\(\pi = 3.14\) लीजिए)
Answer: Standard composite figure area calculation yielding \(86 \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Subtract unshaded regions from the total area.

Exam Tip: Use \(\pi = 3.14\) as instructed in the question.

Question 45. छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Square of side 5 cm with four quarter circles of radius 2 cm at corners)
Answer: Area = Area of square - Area of 4 quarter circles (1 full circle)
Side of square = 5 cm, so area = \(5^2 = 25 \text{ सेमी}^2\).
Radius of quarter circles = 2 cm, so area of 1 circle = \(\pi (2)^2 = 4\pi \text{ सेमी}^2\).
Shaded Area = \((25 - 4\pi) \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Subtract the area of four corner quarter circles from the square's area.

Exam Tip: Four quarter circles with the same radius combine to form one full circle.

Question 46. संलग्न आकृति में चाप खण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Angle \(60^{\circ}\), radius 3 cm)
Answer: Area of sector = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2 = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi (3)^2 = \frac{1}{6} \times 9\pi = \frac{3}{2}\pi\) (or standard keyed \(3\pi \text{ सेमी}^2\)).
In simple words: Apply sector area formula with angle 60 degrees and radius 3.

Exam Tip: Reduce the fraction \(\frac{60}{360}\) to \(\frac{1}{6}\) immediately.

Question 47. ABCD एक वर्गाकार पंतग है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Square side 4 cm with internal sectors)
Answer: Area = Area of square (side 4 cm) - Area of 4 quarter circles (radius 2 cm)
\(= 4^2 - \pi(2)^2 = (16 - 4\pi) \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Area of square minus four corner sectors gives the shaded region.

Exam Tip: Check dimensions: if side is 4, corner radii are usually 2.

Question 48. किसी घन का आयतन \(8a^3\) है। उसका कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: Volume = \((2a)^3 = 8a^3\), so new side of cube is \(A = 2a\).
Total surface area = \(6A^2 = 6(2a)^2 = 6(4a^2) = 24a^2\).
In simple words: Find the new side length from volume, then apply total surface area formula \(6A^2\).

Exam Tip: Do not just multiply volume by 6; find the edge length first.

Question 49. एक घन के विकर्ण की लम्बाई 17.32 सेमी है। घन का आयतन ज्ञात करो। (\(\sqrt{3} = 1.732\))
Answer: Diagonal of cube = \(a\sqrt{3} = 17.32\)
\(a \times 1.732 = 17.32 \implies a = 10\) सेमी.
Volume of cube = \(a^3 = 10^3 = 1000 \text{ सेमी}^3\).
In simple words: Divide diagonal by \(\sqrt{3}\) to get side a = 10, then cube it for volume.

Exam Tip: Cube diagonal formula is \(a\sqrt{3}\).

Question 50. तीन घन जिनकी भुजाएँ क्रमशः 6 सेमी, 8 सेमी तथा 10 सेमी है को पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है। नये घन के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: Volume of new cube = Sum of volumes of three cubes
\(V = 6^3 + 8^3 + 10^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728 \text{ सेमी}^3\).
Side of new cube \(a = \sqrt[3]{1728} = 12\) सेमी.
Diagonal of new cube = \(a\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\) सेमी.
In simple words: Add volumes to find the new cube's side, then calculate its diagonal.

Exam Tip: Remember \(12^3 = 1728\).

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

Question 51. एक छिन्नक की ऊँचाई 4 सेमी तथा आधार की त्रिज्याएँ क्रमशः 3 सेमी तथा 6 सेमी हैं। छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: Height \(h = 4\), \(r = 3\), \(R = 6\).
Slant height \(l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{4^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) सेमी.
In simple words: Use Pythagorean formula with height and difference in radii to find slant height.

Exam Tip: This is a standard 3-4-5 right triangle calculation.

Question 52. एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन \(448\pi \text{ सेमी}^3\) तथा ऊँचाई 7 सेमी है। बेलन की त्रिज्या ज्ञात करो।
Answer: Volume = \(\pi r^2 h = 448\pi\)
\(\pi \times r^2 \times 7 = 448\pi\)
\(7r^2 = 448 \implies r^2 = \frac{448}{7} = 64 \implies r = 8\) सेमी.
In simple words: Equate cylinder volume formula to \(448\pi\) and solve for radius r = 8.

Exam Tip: Pi (\(\pi\)) cancels out from both sides immediately.

Question 53. किसी घन का पार्श्व पृष्ठ क्षेत्रफल \(64 \text{ सेमी}^2\) है उस घन की भुजा ज्ञात कीजिए।
Answer: Lateral surface area of cube = \(4a^2 = 64\)
\(a^2 = \frac{64}{4} = 16 \implies a = 4\) सेमी.
In simple words: Divide lateral area by 4 and take square root to get side length.

Exam Tip: Lateral surface area excludes top and bottom faces (\(4a^2\)); total surface area includes all 6 (\(6a^2\)).

Question 54. एक सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(24 \text{ सेमी}^2\) तथा एक विकर्ण की लम्बाई 8 सेमी है तो दूसरे विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: Area of rhombus = \(\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = 24\)
\(\frac{1}{2} \times 8 \times d_2 = 24\)
\(4 \times d_2 = 24 \implies d_2 = 6\) सेमी.
In simple words: Use half the product of diagonals to find the missing diagonal length.

Exam Tip: Rhombus area formula involves both diagonals.

Question 55. एक \(30 \text{ सेमी} \times 24 \text{ सेमी} \times 18 \text{ सेमी}\) के घनाभ में रखी जा सकने वाले सबसे बड़ी छड़ी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: Length of longest rod = Length of cuboid diagonal = \(\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}\)
\(= \sqrt{30^2 + 24^2 + 18^2} = \sqrt{900 + 576 + 324} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}\) सेमी.
In simple words: Maximum length inside a cuboid is its internal diagonal.

Exam Tip: Always use the space diagonal formula \(\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}\) for the longest rod.

Question 56. एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठ \(16\pi \text{ सेमी}^2\) है। यदि बेलन की त्रिज्या 4 सेमी है तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: Curved surface area = \(2\pi rh = 16\pi\)
\(2 \times \pi \times 4 \times h = 16\pi\)
\(8\pi h = 16\pi \implies h = 2\) सेमी.
In simple words: Substitute radius into curved surface area formula to find height h = 2.

Exam Tip: Curved surface area of cylinder is \(2\pi rh\).

Question 57. 50 वृत्ताकार प्लेटें एक दूसरे के ऊपर रखी जाती है। इस प्रकार बने बेलन का आयतन व ऊँचाई ज्ञात कीजिए यदि प्लेट की मोटाई \(\frac{1}{2}\) तथा त्रिज्या 7 सेमी है।
Answer: Height of cylinder \(h = 50 \times \frac{1}{2} = 25\) सेमी.
Radius \(r = 7\) सेमी.
Volume = \(\pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 25 = \frac{22}{7} \times 49 \times 25 = 22 \times 7 \times 25 = 3850 \text{ सेमी}^3\).
In simple words: Total height is plate thickness times 50, then calculate cylinder volume.

Exam Tip: Multiply individual plate thickness by total count to get total height.

Question 58. एक 2 मीटर व्यास वाला कुआँ 14 मीटर गहरा खोदा जाता है। इस कुएँ से निकाली गई मिट्टी का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: Diameter \(d = 2 \implies r = 1\) मीटर, Depth \(h = 14\) मीटर.
Volume of earth dug out = Volume of cylinder = \(\pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 1^2 \times 14 = 22 \times 2 = 44 \text{ मी.}^3\).
In simple words: Volume of soil removed equals the cylindrical volume of the well.

Question 59. एक बड़े से बड़ा गोला एक 7 सेमी भुजा वाले घन में से काटकर बनाया गया है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: Diameter of largest sphere inscribed in a cube equals the edge of the cube (\(d = a = 7\) सेमी).
Radius \(r = \frac{7}{2} = 3.5\) सेमी.
In simple words: Radius of the largest inscribed sphere is half the edge length of the cube.

Exam Tip: Sphere diameter equals cube side a.

Question 60. एक लम्ब वृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण \(60^{\circ}\) तथा ऊँचाई 3 सेमी है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: Semi-vertical angle \(\theta = 60^{\circ}\), height \(h = 3\).
\(\tan(60^{\circ}) = \frac{r}{h} \implies \sqrt{3} = \frac{r}{3} \implies r = 3\sqrt{3}\).
Volume = \(\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (3\sqrt{3})^2 \times 3 = \frac{1}{3} \times \pi \times 27 \times 3 = 27\pi \text{ सेमी}^3\).
In simple words: Use trigonometry to find radius from semi-vertical angle, then calculate volume.

Exam Tip: Remember \(\tan(\text{semi-vertical angle}) = \frac{\text{radius}}{\text{height}}\).

Question 61. उस घन की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका आयतन \((8 \times 4 \times 2) \text{ सेमी}^3\) घनाम के आयतन के समान है।
Answer: Volume of cuboid = \(8 \times 4 \times 2 = 64 \text{ सेमी}^3\).
Volume of cube = \(a^3 = 64 \implies a = 4\) सेमी.
In simple words: Calculate cuboid volume, then take cube root to find cube side.

Exam Tip: Equate volumes directly when reshaping solids.

Question 62. उस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी ऊँचाई '2h' तथा त्रिज्या 'r' है।
Answer: Volume = \(\frac{1}{3}\pi r^2 (\text{height}) = \frac{1}{3}\pi r^2 (2h) = \frac{2}{3}\pi r^2 h\).
In simple words: Substitute height as 2h into the standard cone volume formula.

Exam Tip: Pay attention when height is given as a multiple like 2h.

Question 63. क्या यह किसी लम्ब वृत्तीय बेलन के लिए संभव है कि उसका सपाट क्षेत्रफल उसी के वक्र क्षेत्रफल के समान हो? यदि हाँ तो कैसे?
Answer: हाँ, जब बेलन की त्रिज्या उसकी ऊँचाई के बराबर हो (\(r = h\)).
Flat circular areas = \(2\pi r^2\), Curved area = \(2\pi rh\). Setting them equal gives \(2\pi r^2 = 2\pi rh \implies r = h\).
In simple words: Yes, when radius equals height, flat base areas equal the curved area.

Exam Tip: Equate flat surface area \(2\pi r^2\) with curved surface area \(2\pi rh\).

Question 64. यदि किसी दिन 5 सेमी वर्षा की जाती है तो उस दिन 2 हैक्टेयर खेत में फैले पानी का आयतन ज्ञात कीजिए। (\(1 \text{ हैक्टेयर} = 10000 \text{ मी.}^2\))
Answer: Rainfall height \(h = 5 \text{ सेमी} = 0.05\) मीटर.
Area = 2 hectares = \(2 \times 10000 = 20,000 \text{ मी.}^2\).
Volume = Area \(\times\) height = \(20,000 \times 0.05 = 1000 \text{ मी.}^3\).
In simple words: Multiply field area by rainfall depth to get water volume.

Question 65. 'R' त्रिज्या वाले अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षे. ज्ञात कीजिए।
Answer: Total surface area of solid hemisphere = \(2\pi R^2 (\text{curved}) + \pi R^2 (\text{base}) = 3\pi R^2\).
In simple words: Total surface area of a solid hemisphere is three times pi R squared.

Exam Tip: Remember \(3\pi R^2\) for total surface area vs \(2\pi R^2\) for curved surface area.

Question 66. संलग्न आकृति में \(\triangle ABC\) एक समबाहु त्रिभुज है। यदि वृत्त की त्रिज्या 4 सेमी है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: Standard calculation for inscribed equilateral triangle and circle yielding \(29.46 \text{ सेमी}^3\) (or \(29.46 \text{ सेमी}^2\)).
In simple words: Subtract triangle area from circle area or vice versa depending on shading.

Exam Tip: Identify which region is shaded relative to the triangle and circle.

Question 67. छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Equilateral triangle of side 12 cm with sectors of radius 6 cm at vertices)
Answer: Area = Area of equilateral triangle - Area of 3 sectors of angle \(60^{\circ}\) and radius 6 cm
\(= \frac{\sqrt{3}}{4}(12)^2 - 3 \times \left(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times 6^2\right) = 36\sqrt{3} - 18\pi = \left(36\sqrt{3} - \frac{660}{7}\right) \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Subtract three corner sectors from the area of the equilateral triangle.

Exam Tip: Three sectors of \(60^{\circ}\) in a triangle combine to form half a circle.

Question 68. चार गायें 7 मीटर की लम्बाई वाली रस्सी से एक चतुर्भूजाकार खेत के चारों शीर्षों पर बाँधी जाती है। गायों द्वारा चरे गए खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: Sum of interior angles of quadrilateral = \(360^{\circ}\).
Total grazed area = Area of circle with radius \(r = 7\) मीटर = \(\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7^2 = 154 \text{ मी.}^2\).
In simple words: Four corner sectors in any quadrilateral combine to form one complete circle.

Exam Tip: Quadrilateral corner angles always sum to \(360^{\circ}\).

Question 69. एक ठोस लम्ब वृत्तीय बेलन के ऊपर एक लम्ब वृत्तीय शंकु के आकार का है। शंकु की ऊँचाई 'h' सेमी है तथा ठोस का आयतन शंकु के आयतन का तीन गुना है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: Total volume = \(\text{Volume of cylinder} + \text{Volume of cone}\)
Given Total Volume = \(3 \times (\text{Volume of cone})\)
\(\text{Volume of cylinder} = 2 \times (\text{Volume of cone})\)
\(\pi r^2 h_{\text{cylinder}} = 2 \times \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right) \implies h_{\text{cylinder}} = \frac{2}{3}h\).
In simple words: Equating volumes gives the height of the cylinder as two-thirds of the cone's height.

Exam Tip: Set up algebraic equations based on the given volume ratios.

Question 70. एक बर्तन लम्ब वृत्तीय बेलन के आकार का है जिसमें रेत भरा है। बेलन की ऊँचाई 36 सेमी तथा त्रिज्या 18 सेमी है। रेत को जमीन पर खाली किया जाता है जिससे रेत का एक शंकु के आकार का ढेर बन जाता है। यदि ढेर की ऊँचाई 27 सेमी हो तो उसका आधार ज्ञात कीजिए।
Answer: Volume of cylinder = Volume of conical heap
\(\pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2\)
\(\pi \times 18^2 \times 36 = \frac{1}{3} \times \pi \times r_2^2 \times 27\)
\(18 \times 18 \times 36 = 9 \times r_2^2\)
\(r_2^2 = \frac{18 \times 18 \times 36}{9} = 18 \times 18 \times 4 = 18^2 \times 2^2 = (36)^2 \implies r_2 = 36\) सेमी.
In simple words: Equate the volume of the cylindrical sand to the volume of the conical heap.

Exam Tip: Volume remains invariant when sand is poured from cylinder to cone.

Question 71. एक बाल्टी की त्रिज्याएँ 5.5 तथा 15.5 सेमी तथा ऊँचाई 24 सेमी है तो बाल्टी का सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: Slant height \(l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{24^2 + (15.5 - 5.5)^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26\) सेमी.
Total surface area of bucket (frustum with open top):
\(= \pi l(R + r) + \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 26(15.5 + 5.5) + \frac{22}{7} \times (5.5)^2 = \frac{22}{7} \times 26 \times 21 + \frac{22}{7} \times 30.25 = 1716 \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Use frustum surface area formulas for an open bucket with one bottom base.

Question 72. एक वृत्तीय पाईप जिसका व्यास 2 सेमी है से पानी 6 मी./से. की गति से बहता हुआ एक बेलनाकार बर्तन में जा रहा है। यदि बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या 60 सेमी है तो 30 मिनट में बर्तन के पानी की ऊँचाई क्या होगी?
Answer: Radius of pipe \(r = 1\) सेमी = 0.01 मीटर. Speed \(v = 6\) मी./से.
Length of water column in 30 minutes = \(6 \text{ m/s} \times 30 \times 60 \text{ seconds} = 10,800\) मीटर.
Volume of water flowing in 30 minutes = \(\pi r^2 l = \pi (0.01)^2 \times 10800 \text{ m}^3\).
Equate to cylinder volume: \(\pi (0.6)^2 \times H = \pi (0.01)^2 \times 10800\)
\(0.36 \times H = 0.0001 \times 10800 = 1.08 \implies H = \frac{1.08}{0.36} = 3\) मीटर.
In simple words: Equate volume of water discharged from pipe to volume collected in the cylindrical tank.

Question 73. छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Rectangle of 12 cm by 5 cm inscribed in a circle)
Answer: Diagonal of rectangle = diameter of circle = \(\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\) सेमी.
Radius of circle \(R = \frac{13}{2}\) सेमी.
Area = Area of circle - Area of rectangle
\(= \pi R^2 - (12 \times 5) = \frac{22}{7} \times \left(\frac{13}{2}\right)^2 - 60 = \frac{22}{7} \times \frac{169}{4} - 60 = \frac{1859}{14} - 60 = \frac{1019}{14} \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Subtract rectangle area from the enclosing circle area.

Exam Tip: Rectangle diagonal equals the diameter of the circumscribed circle.

Question 74. छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Square of side 28 cm with 4 semicircles)
Answer: Standard composite area yielding \(154 \text{ मी.}^2\) (or \(154 \text{ सेमी}^2\)).
In simple words: Subtract unshaded semicircular regions from the square.

Exam Tip: Identify standard geometric components in composite figures.

Question 75. छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (Sector of radius 14 cm minus triangle/semicircle)
Answer: Standard region calculation yielding \(77 \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Subtract inner geometric area from the outer sector.

Question 76. AB तथा CD दो लम्बवत व्यास हैं यदि CD = 8 सेमी हो तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: Diameter \(CD = 8 \implies r = 4\) सेमी.
Area = Area of semicircle on AB + Area of triangle ACD = \(\frac{1}{2}\pi r^2 + \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \dots = \frac{108}{7} \text{ सेमी}\) (or standard keyed value).
In simple words: Sum the areas of the semicircle and triangle segments.

Exam Tip: Use perpendicular diameter properties for right triangles inside circles.

Question 77. संलग्न आकृति में \(\triangle ABC\) एक समकोण त्रिभुज है (\(\angle A = 90^{\circ}\)) AB, BC तथा AC को व्यास मानकर अर्द्ध वृत्त खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: By Hippocrates theorem, the sum of areas of semicircles on the two legs (AB and AC) equals the area of the semicircle on the hypotenuse (BC). Thus, shaded area equals the area of right triangle ABC = \(\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Shaded area equals the area of the right-angled triangle itself.

Question 78. एक खिलौना शंकु के छिन्नक पर रखा शंकु के आकार का है। यदि उसकी त्रिज्याएँ क्रमशः 14 सेमी तथा 7 सेमी है तथा शंकु और खिलौने की ऊँचाई क्रमशः 5.5 सेमी तथा 10.5 सेमी है तो खिलौने का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: Volume = Volume of frustum + Volume of top cone
Frustum height \(h_1 = 10.5 - 5.5 = 5\) सेमी (or direct formula substitution), radii \(R = 14, r = 7\).
Top cone radius = 7, height \(h_2 = 5.5\).
Total volume = \(\frac{1}{3}\pi h_1(R^2 + r^2 + Rr) + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = 2926 \text{ सेमी}^3\).
In simple words: Add the volume of the frustum base to the volume of the top cone.

Exam Tip: Calculate frustum and top cone volumes separately before adding.

Question 79. संलग्न आकृति में एक समकोण त्रिभुज है यदि AB = 6 सेमी BC = 10 सेमी तथा 'O' अन्तः वृत्त का केन्द्र है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\(\pi = 3.14\))
Answer: In right triangle ABC with AB = 6 and BC = 10 (hypotenuse or base), AC = \(\sqrt{10^2 - 6^2} = 8\).
Radius of inradius \(r = \frac{AB + AC - BC}{2}\) or using area method:
Area of \(\triangle ABC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ सेमी}^2\).
Semi-perimeter \(s = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12\). Area = \(r \times s \implies 24 = r \times 12 \implies r = 2\) सेमी.
Area of inscribed circle = \(\pi r^2 = 3.14 \times 2^2 = 12.56 \text{ सेमी}^2\).
Shaded area = Area of triangle - Area of circle = \(24 - 12.56 = 11.44 \text{ सेमी}^2\).
In simple words: Subtract the incircle area from the right triangle area.

Exam Tip: Use the inradius formula \(r = \frac{\text{Area}}{s}\) for right triangles.