UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.1

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem And Factor Theorem Ex 6.1 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय

Ex 6.1 Remainder Theorem And Factor Theorem अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. बहुपद \(5x^3 - 2x^2 - 7x + 1\) को \(x\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
जब \(5x^3 - 2x^2 - 7x + 1\) को \(x\) से विभाजित किया जाता है तो \(x = 0\) रखने पर शेषफल \( = 0 - 0 - 0 + 1 = 1\)
In simple words: जब किसी बहुपद को \(x\) से भाग दिया जाता है, तो शेषफल ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं और बहुपद में यह मान रखकर परिणाम निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय का उपयोग करते समय, भाजक को शून्य के बराबर करके चर का मान ज्ञात करना महत्वपूर्ण है।

Question 2. बहुपद \(p(x)\) को \((x - a)\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल: जब \(P(x)\) को \((x - a)\) से विभाजित किया जाता है तो \(x - a = 0 \implies x = a\) रखने पर शेषफल \( = P(a)\)
In simple words: किसी बहुपद \(P(x)\) को \((x - a)\) से विभाजित करने पर शेषफल \(P(a)\) होता है, यानी \(x\) के स्थान पर \(a\) रखा जाता है।

🎯 Exam Tip: यह शेषफल प्रमेय का मूल सिद्धांत है। इसे अच्छी तरह से समझना और याद रखना चाहिए।

Question 3. बहुपद \(p(x)\) को \((ax - b)\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः जब \(P(x)\) को \((ax - b)\) से विभाजित किया जाता है तो \(ax - b = 0\) या \(x = \frac{b}{a}\) रखने पर शेषफल \( = \boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}}\right)\)
In simple words: यदि भाजक \((ax - b)\) के रूप में हो, तो \(x\) का मान \(\frac{b}{a}\) निकालकर बहुपद में रखने पर शेषफल प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: \((ax - b)\) जैसे रैखिक भाजक के लिए, \(x = b/a\) प्रतिस्थापन करना सीखें। यह एक सामान्य गलती है जहाँ छात्र केवल \(b\) का उपयोग करते हैं।

Question 4. बहुपद \(x^3 - 2x^2 + x + 1\) को \((x - 1)\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
\(x^3 - 2x^2 + x + 1\) को \((x - 1)\) से विभाजित किया जाता है तो \(x - 1 = 0\) या \(x = 1\) रखने पर
शेषफल \( = (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 1 = 1 - 2 + 1 + 1 = 1\)
In simple words: \((x - 1)\) से भाग देने पर, हम \(x=1\) को बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे गणना करके शेषफल 1 मिलता है।

🎯 Exam Tip: चर का मान प्रतिस्थापित करते समय घातों और गुणांकों का ध्यानपूर्वक मूल्यांकन करें।

Question 5. बहुपद \(x^{31} + 31\) को \((x + 1)\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
जब \(x^{31} + 31\) को \((x + 1)\) से विभाजित किया जाता है तो \(x + 1 = 0\) या \(x = 0 - 1 = -1\) रखने पर
शेषफल \( = (-1)^{31} + 31 = -1 + 31 = 30\)
In simple words: \((x + 1)\) से भाग देने पर, हम \(x=-1\) को बहुपद में रखते हैं, जिससे \((-1)^{31}\) के विषम घात के कारण शेषफल 30 आता है।

🎯 Exam Tip: नकारात्मक संख्याओं की विषम और सम घातों को याद रखें: \((-1)^{\text{odd}} = -1\) और \((-1)^{\text{even}} = 1\)।

Question 6. बहुपद \(3x^3 - 4x^2 + 7x - 5\) को \((x - 3)\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
जब \(3x^3 - 4x^2 + 7x - 5\) को \((x - 3)\) से विभाजित किया जाता है तो \(x - 3 = 0\) या \(x = 3\) रखने पर
शेषफल \( = 3(3)^3 - 4(3)^2 + 7(3) - 5 = 3 \cdot 27 - 36 + 21 - 5 = 81 - 36 + 21 - 5 = 102 - 41 = 61\)
In simple words: \((x - 3)\) से भाग देने पर, \(x=3\) को बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं, और गणना के बाद शेषफल 61 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन करते समय गुणा, घात और घटाव के क्रम का पालन करें ताकि सही परिणाम मिल सके।

Question 7. बहुपद \(x³ + 5x^2 - 2\) को \((x - 1)\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
\(x^3 + 5x^2 - 2\) को \((x - 1)\) से विभाजित किया जाता है तो \(x - 1 = 0\) या \(x = 1\) रखने पर
शेषफल \( = (1)^3 + 5(1)^2 - 2 = 1 + 5 - 2 = 4\)
In simple words: \((x - 1)\) से भाग देने पर, हम \(x=1\) को बहुपद में रखते हैं, जिससे शेषफल 4 मिलता है।

🎯 Exam Tip: सरल गणनाओं में भी सावधानी बरतें, क्योंकि एक छोटी सी गलती पूरे उत्तर को प्रभावित कर सकती है।

Ex 6.1 Remainder Theorem And Factor Theorem लघु उत्तरीय प्रश्न - I (Short Answer Type Questions - I)

Question 8. शेषफल ज्ञात कीजिए यदि \(3x^3 - 4x^2 + 7x - 5\) को \((x + 3)\) से भाग दिया जाता है।
Answer: हलः
जब \(3x^3 - 4x^2 + 7x - 5\) को \((x + 3)\) से विभाजित किया जाता है तो
\(x + 3 = 0\) या \(x = 0 - 3 = -3\) रखने पर
शेषफल \( = 3(-3)^3 - 4(-3)^2 + 7(-3) - 5 = 3(-27) - 4(9) - 21 - 5 = -81 - 36 - 21 - 5 = -143\)
In simple words: \((x + 3)\) से भाग देने पर, हम \(x=-3\) को बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे शेषफल -143 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक संख्याओं की घातों को हल करते समय चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।

Question 9. \(x = 3\) पर \(p(x)\) का मान ज्ञात कीजिए यदि \(p(x) = 3x^2 - 4x + \sqrt{17}\)
Answer: हलः
\(P(x) = 3x^2 - 4x + \sqrt{17}\), यदि \(x = 3\)
शेषफल \( = 3(3)^2 - 4 \times 3 + \sqrt{17} = 27 - 12 + \sqrt{17} = 15 + \sqrt{17}\)
In simple words: \(x=3\) का मान बहुपद \(p(x)\) में रखने पर, हमें \(15 + \sqrt{17}\) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: अचर पदों या वर्गमूल वाली संख्याओं को अंतिम गणना में यथावत रखें जब तक कि उन्हें सरल न किया जा सके।

Question 10. शेषफल ज्ञात कीजिए यदि \(f (x) = 3x^4 + 29x^3 - 5a^2x^2 + 5x\) को \((x - a)\) से भाग दिया जाता है।
Answer: हलः
\(f(x) = 3x^4 + 29x^3 - 5a^2x^2 + 5x\) को \((x - a)\) से विभाजित किया जाता है तो
\(x - a = 0\) या \(x = 0 + a = a\)
शेषफल \( = 3a^4 + 29a^3 - 5a^2 \cdot a^2 + 5a = 3a^4 + 29a^3 - 5a^4 + 5a = -2a^4 + 29a^3 + 5a\)
In simple words: \((x - a)\) से भाग देने पर, हम \(x=a\) को बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं, और समान घातों वाले पदों को जोड़कर शेषफल \(-2a^4 + 29a^3 + 5a\) प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: जब चर स्वयं एक भाजक का हिस्सा हो, तो समान पदों को सावधानीपूर्वक सरल करें।

Question 11. शेषफल ज्ञात कीजिए यदि \(P(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 50\) को \((x - 3)\) से भाग दिया जाता है।
Answer: हलः
\(P(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 50\) को \((x-3)\) से भाग किया जाता है तो \(x - 3 = 0\) या \(x = 3\) रखने पर
शेषफल \( = (3)^3 - 3(3)^2 + 4 \times 3 + 50 = 27 - 27 + 12 + 50 = 62\)
In simple words: \((x - 3)\) से भाग देने पर, हम \(x=3\) को बहुपद में रखते हैं, जिससे शेषफल 62 मिलता है।

🎯 Exam Tip: संख्यात्मक गणनाओं में सावधानी और सटीकता सुनिश्चित करें, खासकर जब कई पद हों।

Ex 6.1 Remainder Theorem And Factor Theorem लघु उत्तरीय प्रश्न - II (Short Answer Type Questions - II)

Question 12. शेषफल प्रमेय का प्रयोग करते हुए निम्न में शेषफल ज्ञात कीजिए जब \(f(x)\) को \(g(x)\) से भाग दिया जाता है।
(i) \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 12x + 7\) तथा \(g(x) = x + \frac{1}{2}\)
(ii) \(f(x) = 4x^4 -3x^3 -2x^2 + x - 7\) तथा \(g(x) = x-1\)
(iii) \(f(x) = 9x^3 -3x^2 + x - 5\) तथा \(g(x) = x - \frac{2}{3}\)
(iv) \(f(x) = 2x^4 -6x^3 + 2x^2 - x + 2\) तथा \(g(x) = x + 2\)
(v) \(f(x) = x^3 + 4x^2 -3x + 10\) तथा \(g(x) = x + 4\)
(vi) \(f(x) = 3x^4 + 2x^3 - \frac{x^2}{3} + \frac{2}{27}\) तथा \(g(x) = x + \frac{2}{3}\)
(vii) \(f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 11x - 3\) तथा \(g(x) = x + \frac{1}{2}\)
(viii) \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 2x - 4\) तथा \(g(x) = 1-3x\)
Answer: हलः
(i) \(f(x)\) को \(g(x)\) से भाग करने पर \(x + \frac{1}{2} = 0\) या \(x = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\) रखने पर
शेषफल \( = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 12\left(-\frac{1}{2}\right) + 7 = -\frac{1}{8} - 4\left(\frac{1}{4}\right) - 6 + 7 = -\frac{1}{8} - 1 - 6 + 7 = -\frac{1}{8}\)
(ii) \(f(x) = 4x^4 -3x^3 -2x^2 + x - 7\) को \(g(x) = x-1\) से भाग किया जाता है तो \(x = 1\) रखने पर
शेषफल \( = 4(1)^4 - 3(1)^3 - 2(1)^2 + 1 - 7 = 4 - 3 - 2 + 1 - 7 = -7\)
(iii) \(f(x) = 9x^3 - 3x^2 + x + 5\) को \(g(x) = x - \frac{2}{3}\) से भाग किया जाता है तो \(x - \frac{2}{3} = 0\) या \(x = \frac{2}{3}\) रखने पर
शेषफल \( = 9\left(\frac{2}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} + 5 = 9 \times \frac{8}{27} - 3 \times \frac{4}{9} + \frac{2}{3} + 5\)
\( = \frac{72 - 36 - 18 - 135}{27} = \frac{-81}{27} = -3\)
(iv) \(f(x) = 2x^4 - 6x^3 + 2x^2 - x + 2\) को \(g(x) = x + 2\) से भाग किया जाता है तो \(x + 2 = 0\) या \(x = 0 - 2 = -2\) रखने पर
शेषफल \( = 2(-2)^4 - 6(-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) + 2 = 32 + 48 + 8 + 2 + 2 = 92\)
(v) \(f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 10\) को \(g(x) = x + 4\) से भाग किया जाता है तो \(x + 4 = 0\) या \(x = 0 - 4 = -4\) रखने पर
शेषफल \( = (-4)^3 + 4(-4)^2 - 3(-4) + 10 = -64 + 64 + 12 + 10 = 22\)
(vi) \(f(x) = 3x^4 + 2x^3 - \frac{x^2}{3} + \frac{2}{27}\) को \(g(x) = x + \frac{2}{3}\) से भाग किया जाता है तो \(x + \frac{2}{3} = 0\) या \(x = 0 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}\) रखने पर
शेषफल \( = 3\left(-\frac{2}{3}\right)^4 + 2\left(-\frac{2}{3}\right)^3 - \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^2}{3} + \frac{2}{27}\)
\( = 3 \times \frac{16}{81} + 2\left(-\frac{8}{27}\right) - \frac{4}{9 \times 3} + \frac{2}{27}\)
\( = \frac{16}{27} - \frac{16}{27} - \frac{4}{27} + \frac{2}{27} = \frac{16 - 16 - 4 + 2}{27} = \frac{-2}{27}\)
(vii) \(f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 11x - 3\) को \(g(x) = x + \frac{1}{2}\) से भाग करने पर
\(x + \frac{1}{2} = 0\) या \(x = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\) रखने पर
शेषफल \( = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 12\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 11\left(-\frac{1}{2}\right) - 3\)
\( = 4\left(-\frac{1}{8}\right) - 12\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{11}{2} - 3\)
\( = -\frac{1}{2} - 3 - \frac{11}{2} - 3 = \frac{-1 - 6 - 11 - 6}{2} = \frac{-24}{2} = -12\)
(viii) \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 2x - 4\) को \(g(x) = 1-3x\) से भाग करने पर
\(1-3x = 0\) या \(1 = 3x\) या \(x = \frac{1}{3}\) रखने पर
शेषफल \( = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 6\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{3}\right) - 4\)
\( = \frac{1}{27} - 6\left(\frac{1}{9}\right) + \frac{2}{3} - 4 = \frac{1}{27} - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} - 4 = \frac{1 - 108}{27} = \frac{-107}{27}\)
In simple words: प्रत्येक उप-भाग में, दिए गए भाजक \(g(x)\) को शून्य के बराबर सेट करके \(x\) का मान निकाला जाता है। फिर इस \(x\) मान को बहुपद \(f(x)\) में प्रतिस्थापित करके शेषफल प्रमेय के अनुसार शेषफल की गणना की जाती है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों और ऋणात्मक संख्याओं वाली गणनाओं में, विशेष रूप से घातों और गुणन में, त्रुटियों से बचने के लिए प्रत्येक चरण को सावधानीपूर्वक हल करें।

Question 13. सिद्ध कीजिए कि \(2x^3 + 13x^2 + x - 70\), \((x - 2)\) से विभाजित है।
Answer: हलः
\(2x^3 + 13x^2 + x - 70\) को \((x - 2)\) से भाग करने पर \(x - 2 = 0\) या \(x = 2\) रखने पर
शेषफल \( = 2(2)^3 + 13(2)^2 + 2 - 70 = 16 + 52 + 2 - 70 = 0\)
अतः \(2x^3 + 13x^2 + x - 70\), \((x - 2)\) से पूर्णतया विभाजित होगा ।
In simple words: किसी बहुपद को पूर्णतया विभाजित होने के लिए, शेषफल शून्य होना चाहिए। \((x - 2)\) से भाग देने पर, \(x=2\) रखने पर शेषफल 0 आता है, इसलिए यह पूर्णतया विभाजित है।

🎯 Exam Tip: पूर्ण विभाजन के लिए शेषफल शून्य होना चाहिए। यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, खासकर जब गुणनखंड प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

Question 14. यदि बहुपदों \(px^3 + 4x^2 + 3x - 4\) व \(x^3 - 4x + p\) को \((x - 3)\) से भाग करने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तो सिद्ध कीजिए कि \(p = -1\) (NCERT Exemplar)
Answer: हलः
जब \(Px^3 + 4x^2 + 3x - 4\) को \((x - 3)\) से भाग करने पर \(x - 3 = 0\) या \(x = 3\) रखने पर
शेषफल \( = P(3)^3 + 4(3)^2 + 3(3) - 4 = 27P + 36 + 9 - 4 = 27P + 41\)
जब \(x^3 - 4x + P\) को \((x - 3)\) से भाग करने पर \(x - 3 = 0\) या \(x = 3\) रखने पर
शेषफल \( = 3^3 - 4(3) + P = 27 - 12 + P = 15 + P\)
\(\implies 27P + 41 = 15 + P\)
\(\implies 27P - P = 15 - 41\)
\(\implies 26P = -26\).
\(\implies P = \frac{-26}{26} = -1\)
In simple words: दोनों बहुपदों को \((x - 3)\) से भाग देने पर समान शेषफल मिलता है। दोनों शेषफलों को बराबर रखकर, हम \(p\) के लिए एक समीकरण बनाते हैं और इसे हल करके \(p = -1\) प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दोनों बहुपदों के लिए शेषफल प्रमेय लागू करें, प्राप्त व्यंजकों को बराबर करें, और अज्ञात चर के लिए हल करें।

Question 15. यदि \(px³ + 9x² + 4x - 10\) को \((x + 3)\) से भाग देने पर -22 शेषफल प्राप्त होता है तो \(p\) का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः
जब \(Px^3 + 9x^2 + 4x - 10\) को \((x + 3)\) से भाग किया जाता है तो \(x + 3 = 0\) या \(x = -3\) रखने पर
शेषफल \( = P(-3)^3 + 9(-3)^2 + 4(-3) - 10 = -22\)
\(\implies -27P + 81 - 12 - 10 = -22\)
\(\implies -27P = -22 - 81 + 22\)
\(\implies -27P = -81\)
\(\implies P = \frac{-81}{-27} = 3\)
In simple words: \((x + 3)\) से भाग देने पर शेषफल -22 दिया गया है। \(x=-3\) को बहुपद में प्रतिस्थापित करके और परिणामी समीकरण को -22 के बराबर सेट करके \(p\) का मान 3 प्राप्त किया जाता है।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय ऋणात्मक संख्याओं के साथ सावधानीपूर्वक काम करें, विशेषकर गुणा और पक्षांतरण में।

Question 16. यदि बहुपद \(f (x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - ax + b\) को \((x - 1)\) और \((x + 1)\) से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5 व 19 प्राप्त होते हैं, तो \(a\) व \(b\) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
यदि \(f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - ax + b\) को \((x - 1)\) से भाग किया जाता है तो \(x - 1 = 0\) या \(x = 1\) रखने पर
शेषफल \( = (1)^4 - 2(1)^3 + 3(1)^2 - a(1) + b = 1 - 2 + 3 - a + b = 2 - a + b\)
प्रश्नानुसार, \(2 - a + b = 5\)
\(\implies -a + b = 5 - 2 = 3 \implies -a + b = 3 ..................(1)\)
प्रश्नानुसार, यदि \(f(x)\) को \((x + 1)\) से भाग किया जाता है तो
\(x + 1 = 0\) या \(x = -1\) रखने पर
शेषफल \( = (-1)^4 - 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - a(-1) + b = 1 + 2 + 3 + a + b = 6 + a + b\)
तथा \(6 + a + b = 19\)
\(\implies a + b = 19 - 6 \implies a + b = 13 .......... (2)\)
(1) व (2) जोडने पर, \(2b = 16\)
\(\implies b = \frac{16}{2} = 8\)
समी॰ (2) मे \(b\) का मान रखने पर, \(a + 8 = 13\)
\(\implies a = 13 - 8 = 5\)
अतः \(a = 5\) व \(b = 8\)
In simple words: दिए गए बहुपद को दो अलग-अलग भाजकों से भाग करने पर दो शेषफल प्राप्त होते हैं। इन दो शेषफलों से \(a\) और \(b\) में दो रैखिक समीकरण बनते हैं, जिन्हें हल करने पर \(a=5\) और \(b=8\) प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: दो अज्ञात चर वाले प्रश्नों को हल करने के लिए, दो समीकरण बनाएं और उन्हें विलोपन या प्रतिस्थापन विधि से हल करें।

Question 17. बहुपद \(x³ + px^2 + qx + 6\) को जब \((x - 3)\) से भाग दिया जाता है तो शेषफल 3 तथा जब \((x - 2)\) से भाग दिया जाता है तो शेषफल शून्य प्राप्त होता है। \(p\) व 4 के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
यदि \(x³ + px^2 + qx + 6\) को \((x - 3)\) से भाग किया जाता है तो \(x - 3 = 0\) या \(x = 3\) रखने पर
शेषफल \( = (3)^3 + p(3)^2 + q(3) + 6 = 3\)
\(27 + 9p + 3q + 6 = 3\)
\(9p + 3q + 33 = 3\)
\(9p + 3q = 3 - 33\)
\(9p + 3q = -30\)
\(3(3p + q) = -30\)
\(\implies 3p + q = \frac{-33}{3} = -10 ...............(1)\)
यदि \(x³ + px^2 + qx + 6\) को \((x - 2)\) से भाग किया जाता है तो \(x - 2 = 0\) या \(x = 2\) रखने पर
शेषफल \( = (2)^3 + p(2)^3 + q(2) + 6 = 0\)
\(8 + 4p + 2q + 6 = 0\)
\(4p + 2q = -14\)
\(2(2p + q) = -14\)
\(\implies 2p + q = \frac{-14}{2} = -7 ................(2)\)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
\(3p + q = -10\)
\(-2P + q = -7\)
घटाने पर,
\(p = -3\)
समीकरण (1) में \(p\) का मान रखने पर, \(3 \times -3 + q = -10\)
\(\implies -9 + q = -10\)
\(\implies q = -10 + 9 = -1\)
अतः \(p = -3, q = -1\)
In simple words: दो अलग-अलग भाजकों से भाग देने पर दिए गए शेषफल का उपयोग करके \(p\) और \(q\) में दो समीकरण बनाए जाते हैं। इन समीकरणों को हल करके, \(p=-3\) और \(q=-1\) प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: जब दो अलग-अलग शेषफल दिए गए हों, तो दो स्वतंत्र समीकरण बनाएं और उन्हें एक साथ हल करें। समीकरणों को हल करते समय, ऋणात्मक संख्याओं और चिन्हों को लेकर सावधान रहें।

Question 18. बहुपद \(kr⁴ + 3x^3 + 6\) को \((x - 2)\) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल, दूसरे बहुपद \(2x^3 + 17x + k\) को \((x - 2)\) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल का दोगुना है। \(k\) का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः
बहुपद \(kr^4 + 3x^3 + 6\) को \((x - 2)\) से भाग किया जाता है तो \(x - 2 = 0\) या \(x = 2\) रखने पर शेषफल
\( = k(2)^4 + 3(2)^3 + 6\)
\( = 16k + 24 + 6 = 16k + 30\)
और जब \(2x^3 + 17x + k\) को \((x - 2)\) से भाग किया जाता है तो \(x - 2 = 0\) या \(x = 2\) रखने पर
शेषफल \( = 2(2)^3 + 17(2) + k = 2 \times 8 + 34 + k = 50 + k\)
प्रश्नानुसार, \(16k + 30 = 2(50 + k)\)
\(\implies 16k + 30 = 100 + 2k\)
\(\implies 16k - 2k = 100 - 30\)
\(\implies 14k = 70\)
\(\implies k = \frac{70}{14} = 5\)
In simple words: दोनों बहुपदों के लिए \((x-2)\) से भाग देने पर शेषफल की गणना की जाती है। पहली शेषफल को दूसरी शेषफल के दोगुने के बराबर रखने पर \(k\) का मान 5 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: दिए गए संबंध को एक समीकरण में सही ढंग से अनुवाद करना महत्वपूर्ण है। फिर, बीजगणितीय गणनाओं को ध्यान से करें।

Question 19. यदि बहुपदों \(9x^3 + 3x^2 - 13\) तथा \(2x^3 - 5x + a\) को \((x - 2)\) से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तो \(a\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
बहुपद \(9x^3 + 3x^2 - 13\) को \((x - 2)\) से भाग किया जाता है तो \(x - 2 = 0\) या \(x = 2\) रखने पर,
शेषफल \( = 9(2)^3 + 3(2)^2 - 13 = 72 + 12 - 13 = 71\)
बहुपद \(2x^3 - 5x + a\) को \((x - 2)\) से भाग किया जाता है तो \(x - 2 = 0\) या \(x = 2\) रखने पर,
शेषफल \( = 2(2)^3 - 5(2) + a = 16 - 10 + a\) या \(6 + a\)
प्रश्नानुसार, \(6 + a = 71\)
\(\implies a = 71 - 6 = 65\)
In simple words: दोनों बहुपदों को \((x - 2)\) से भाग देने पर शेषफल समान प्राप्त होते हैं। दोनों शेषफलों को बराबर रखकर, हम \(a\) के लिए एक समीकरण बनाते हैं और इसे हल करके \(a = 65\) प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप प्रत्येक बहुपद के लिए शेषफल की सही ढंग से गणना करें और फिर समीकरण स्थापित करें।

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