NCERT Solutions for Class 9 Maths: Chapter 03 निर्देशांक ज्यामिति
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प्रश्नावली 3.1
Question 1. एक अन्य व्यक्ति को आप अपने अध्ययन मेज पर रखे टेबल-लैम्प की स्थिति किस तरह बताएँगे?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक मेज और उस पर रखे एक टेबल-लैंप की स्थिति को दर्शाता है। इसमें लैंप को दो कोर से दूरियों x और y के रूप में दर्शाया गया है, जिससे उसकी स्थिति (x, y) के निर्देशांक में परिभाषित होती है।
Answer: हल : मान लिया कि मेज का तल एक समतल है और उस पर रखा हुआ टेबल-लैम्प समतल में स्थित एक बिन्दु है। मेज की एक कोर के साथ इस प्रकार खड़े हुए कि इस कोर के साथ लगी दूसरी कोर बाएँ हाथ की ओर रहे। यदि दूसरी कोर से लैम्प की दूरी x यूनिट हो और पहली कोर से लैम्प की दूरी y यूनिट हो तो लैम्प की स्थिति = (x, y)
In simple words: हम मेज के किनारे को अक्ष मानकर टेबल-लैम्प की स्थिति को दो लंबवत दूरियों (x, y) के रूप में बता सकते हैं, जैसे कि हम ग्राफ पर किसी बिंदु को दर्शाते हैं।
🎯 Exam Tip: यह प्रश्न कार्तीय निर्देशांक प्रणाली की मूल अवधारणा को समझने में मदद करता है, जिसमें किसी भी बिंदु की स्थिति को दो संदर्भ रेखाओं के सापेक्ष उसकी दूरी के रूप में व्यक्त किया जाता है।
Question 2. (सड़क योजना) : एक नगर में दो मुख्य सड़कें हैं, जो नगर के केन्द्र पर मिलती हैं। ये दो सड़कें उत्तर-दक्षिण की दिशा और पूर्व-पश्चिम की दिशा में हैं। नगर की अन्य सभी सड़कें इन मुख्य सड़कों के समान्तर परस्पर 200 मीटर की दूरी पर हैं। प्रत्येक दिशा में पाँच सड़कें हैं। एक सेन्टीमीटर = 200 मीटर का पैमाना लेकर अपनी नोट-बुक में नगर को एक मॉडल बनाइए । सड़कों को एकल रेखाओं से निरूपित कीजिए।
आपके मॉडल में एक-दूसरे को काटती हुई अनेक क्रॉस-स्ट्रीट (चौराहे) हो सकती हैं। एक विशेष क्रॉस स्ट्रीट दो सड़कों से बनी है जिनमें से एक उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और दूसरी पूर्व-पश्चिम दिशा में । प्रत्येक क्रॉस स्ट्रीट का निर्देशन इस प्रकार किया जाता है :
यदि दूसरी सड़क उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और पाँचवीं सड़क पूर्व-पश्चिम दिशा में जाती है और ये एक क्रॉसिंग पर मिलती हैं, तब इसे क्रॉस स्ट्रीट (2, 5) कहेंगे। इसी परम्परा से यह ज्ञात कीजिए कि
(i) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (4, 3) माना जा सकता है।
(ii) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (3, 4) माना जा सकता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक नगर के मॉडल को दर्शाता है जिसमें उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम दिशा में समानांतर सड़कें हैं। इसमें विभिन्न क्रॉस-स्ट्रीटों को उनके निर्देशांक (जैसे (2,5), (3,4)) द्वारा चिह्नित किया गया है, जो सड़कों के चौराहों को दर्शाते हैं।
Answer: हल : मॉडल से स्पष्ट है कि क्रॉस-स्ट्रीट (4, 3) और क्रॉस-स्ट्रीट (3, 4) अद्वितीय (unique) और अलग-अलग हैं।
(i) केवल एक क्रॉस-स्ट्रीट को (4, 3) माना जा सकता है क्योंकि उत्तर-दक्षिण दिशा की चौथी सड़क और पूर्व-पश्चिम दिशा की तीसरी सड़क केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(ii) केवल एक क्रॉस-स्ट्रीट को (3, 4) माना जा सकता है क्योंकि उत्तर-दक्षिण दिशा की तीसरी सड़क और पूर्व-पश्चिम दिशा की चौथी सड़क केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
In simple words: एक सड़क योजना में, किसी भी विशेष चौराहे (क्रॉस-स्ट्रीट) को केवल एक अद्वितीय निर्देशांक (जैसे (4,3) या (3,4)) द्वारा दर्शाया जा सकता है, क्योंकि दो विशिष्ट सड़कें केवल एक ही बिंदु पर मिलती हैं।
🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में कार्तीय निर्देशांक प्रणाली की वास्तविक जीवन में उपयोगिता को दर्शाया गया है, जहाँ अद्वितीय बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए क्रमबद्ध युग्मों का उपयोग किया जाता है। मानचित्रण और नेविगेशन में यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।
प्रश्नावली 3.2
Question 1. निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक का उत्तर दीजिए।
(i) कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के क्या नाम हैं?
(ii) इन दो रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग के नाम बताइए ।
(iii) उस बिन्दु का नाम बताइए जहाँ ये दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं।
Answer: हल :
(i) कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज रेखा का नाम -अक्ष है और ऊर्ध्वाधर रेखा का नाम -अक्ष है।
(ii) ये दोनों रेखाएँ x-अक्ष और y-अक्ष तल को चार भागों में विभक्त करती हैं। प्रत्येक भाग, को एक चतुर्थांश (Quadrant) कहते हैं ।
(iii) x-अक्ष और y-अक्ष जिस बिन्दु पर एक-दूसरे को काटते हैं, उस बिन्दु को मूलबिन्दु (Origin) कहते हैं।
In simple words: ग्राफ पर क्षैतिज रेखा को x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा को y-अक्ष कहते हैं; ये तल को चार चतुर्थांशों में बांटते हैं और जहाँ ये मिलते हैं उसे मूलबिंदु कहते हैं।
🎯 Exam Tip: यह प्रश्न कार्तीय प्रणाली की शब्दावली और बुनियादी संरचना को समझने के लिए महत्वपूर्ण है। अक्षों, चतुर्थांशों और मूलबिंदु की सही पहचान परीक्षा में अच्छे अंक लाने के लिए आवश्यक है।
Question 2. दी गई आकृति देखकर निम्नलिखित को लिखिए :
(i) B के निर्देशांक
(ii) C के निर्देशांक
(iii) निर्देशांक (-3, -5) द्वारा पहचाना गया बिन्दु
(iv) निर्देशांक (2, -4) द्वारा पहचाना गया बिन्दु
(v) D का भुज
(vi) बिन्दु H की कोटि
(vii) बिन्दु L के निर्देशांक
(viii) बिन्दु M के निर्देशांक ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक कार्तीय निर्देशांक तल का ग्राफ है जिस पर विभिन्न बिंदु (B, C, D, E, G, H, L, M) प्लॉट किए गए हैं। इसमें x-अक्ष और y-अक्ष दर्शाए गए हैं, और प्रत्येक बिंदु की स्थिति उसके निर्देशांक (भुज और कोटि) द्वारा स्पष्ट की गई है।
Answer: हल :
(i) बिन्दु B का भुज = - 5 और कोटि = 2 (बिन्दु B द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है ।) बिन्दु B के निर्देशांक = (-5, 2)
(ii) बिन्दु C का भुज = 5 और कोटि = - 5 (बिन्दु C चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।) बिन्दु C के निर्देशांक = (5, -5)
(iii) बिन्दु (-3, -5) के दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं। यह बिन्दु तृतीय चतुर्थांश में स्थित होगा। निर्देशांक (-3, -5) द्वारा पहचाना गया बिन्दु = E
(iv) बिन्दु (2, -4) का भुज धनात्मक तथा कोटि ऋणात्मक है। यह बिन्दु चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित होगा। निर्देशांक (2, -4) द्वारा पहचाना गया बिन्दु = G
(v) बिन्दु D प्रथम चतुर्थांश में स्थित है। इसका भुज धनात्मक होगा । बिन्दु D की भुज = 6
(vi) बिन्दु H तृतीय चतुर्थांश में स्थित है। बिन्दु H की कोटि ऋणात्मक होगी । बिन्दु H की कोटि = -3
(vii) बिन्दु L के निर्देशांक = (भुज, कोटि) = (0, 5) (बिन्दु L धनात्मक y-अक्ष पर स्थित है ।)
(viii) बिन्दु M के निर्देशांक (-3, 0) (बिन्दु M ऋणात्मक x-अक्ष पर स्थित है ।)
In simple words: दिए गए ग्राफ से बिंदुओं के x और y मानों को देखकर उनके निर्देशांक, भुज और कोटि की पहचान की गई है, और यह भी बताया गया है कि कौन सा बिंदु किस चतुर्थांश में स्थित है।
🎯 Exam Tip: ग्राफ से बिंदुओं के निर्देशांक को सही ढंग से पढ़ना और भुज (x-निर्देशांक) तथा कोटि (y-निर्देशांक) की पहचान करना महत्वपूर्ण है। अक्षों और चतुर्थांशों पर बिंदुओं की स्थिति को समझना भी आवश्यक है।
प्रश्नावली 3.3
Question 1. किस चतुर्थांश में या किस अक्ष पर बिन्दु (-2, 4), (3, -1), (-1, 0), (1, 2) और (-3, -5) स्थित हैं? कार्तीय तल पर इनका स्थान निर्धारण करके अपने उत्तर सत्यापित कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह कार्तीय तल पर विभिन्न बिंदुओं को दर्शाता है, जिसमें प्रत्येक बिंदु को उसके निर्देशांक के साथ चिह्नित किया गया है और उसके चतुर्थांश या अक्ष पर स्थिति को स्पष्ट किया गया है। उदाहरण के लिए, (-2,4) द्वितीय चतुर्थांश में, (1,2) प्रथम में, और (-1,0) x-अक्ष पर है।
Answer: हल :
बिन्दु (-2, 4) का भुज (-) और कोटि (+) है। अतः यह द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु (3, -1) का भुज (+) और कोटि (-) है। अतः यह चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु (-1, 0) की कोटि शून्य तथा भुज ऋणात्मक है। अतः यह ऋणात्मक x-अक्ष पर स्थित है।
बिन्दु (1, 2) का भुज (+) और कोटि (+) है। अतः यह प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु (-3, -5) के भुज और कोटि दोनों ऋणात्मक हैं। अतः यह तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
In simple words: किसी बिंदु के x और y निर्देशांक के चिह्नों (धनात्मक या ऋणात्मक) के आधार पर हम यह निर्धारित करते हैं कि वह बिंदु किस चतुर्थांश (प्रथम, द्वितीय, तृतीय, चतुर्थ) में है, या यदि कोई निर्देशांक शून्य है, तो वह किसी अक्ष पर स्थित होगा।
🎯 Exam Tip: बिंदुओं के निर्देशांकों के चिह्नों (+/-) का विश्लेषण करके उनके चतुर्थांश या अक्ष पर स्थिति को पहचानना एक महत्वपूर्ण कौशल है। इसे ग्राफ पर प्लॉट करके सत्यापित करना उत्तर की सटीकता सुनिश्चित करता है।
Question 2. अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिन्दुओं को तल पर आलेखित कीजिए।
| x | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 8 | 7 | - 1.25 | 3 | - 1 |
Answer: हल : बिन्दुओं का आलेखन चित्र में प्रदर्शित किया गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक कार्तीय तल पर विभिन्न बिंदुओं को आलेखित करता है। इसमें तालिका में दिए गए (x, y) निर्देशांक युग्मों जैसे (-2,8), (-1,7), (0,-1.25), (1,3), और (3,-1) को ग्राफ पर उनके सही स्थानों पर दर्शाया गया है।
In simple words: दिए गए x और y मानों के प्रत्येक जोड़े को कार्तीय तल पर एक बिंदु के रूप में प्लॉट करना (आलेखित करना) है, जहाँ x क्षैतिज स्थिति और y ऊर्ध्वाधर स्थिति बताता है।
🎯 Exam Tip: ग्राफ पेपर पर बिंदुओं को सटीक रूप से आलेखित करना महत्वपूर्ण है। ऋणात्मक निर्देशांक और दशमलव मानों को प्लॉट करते समय विशेष ध्यान दें, और अक्षों पर सही पैमाने का उपयोग करें।
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Maths Class 9 Curriculum Solutions: Chapter 03 निर्देशांक ज्यामिति
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