UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials

Exercise 2.1

Question 1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
(i) \(4x^2 - 3x+7\)
(ii) \(y^2 + \sqrt{2}\)
(iii) \(3\sqrt{t} + t\sqrt{2}\)
(iv) \(y + \frac{2}{y}\)
(v) \(x^{10} + y^3 + t^{50}\)
Answer:
(i) \(4x^2 - 3x + 7\) में केवल एक चर \(x\) है। इसमें \(x\) की सभी घात धनात्मक पूर्णांक हैं। व्यंजक \(4x^2 - 3x + 7\) एक चर में बहुपद है।
(ii) \(y^2 + \sqrt{2}\) में केवल एक चर \(y\) है। इसमें \(y\) की सभी घात धनात्मक पूर्णांक हैं। व्यंजक \(y^2 + \sqrt{2}\) एक चर में बहुपद है।
(iii) \(3\sqrt{t} + t\sqrt{2}\) के पद \(3\sqrt{t}\) में \(t\) की घात \(\frac{1}{2}\) है जो धनात्मक पूर्णांक नहीं है। व्यंजक \(3\sqrt{t} + t\sqrt{2}\) बहुपद नहीं है।
(iv) \(y + \frac{2}{y}\) के पद \(\frac{2}{y}\) में \(y\) की घात \(-1\) है जो धनात्मक पूर्णांक नहीं है। व्यंजक \(y + \frac{2}{y}\) बहुपद नहीं है।
(v) \(x^{10} + y^3 + t^{50}\) में तीन चर \(x, y\) और \(t\) हैं तथा इनकी घात धनात्मक पूर्णांक हैं। अतः यह बहुपद है परन्तु एक चर में नहीं है।
In simple words: एक बहुपद में चर की घात हमेशा एक पूर्ण संख्या (धनात्मक पूर्णांक या शून्य) होनी चाहिए। यदि किसी व्यंजक में चर की घात भिन्न या ऋणात्मक है, तो वह बहुपद नहीं है। एक चर में बहुपद का अर्थ है कि पूरे व्यंजक में केवल एक ही प्रकार का चर (जैसे केवल \(x\), या केवल \(y\)) होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: बहुपद की पहचान करते समय, चर की घात (power of the variable) पर विशेष ध्यान दें; यह हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए।

Question 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में \(x^2\) का गुणांक लिखिए :
(i) \(2 + x^2 + x\)
(ii) \(2 - x^2 + x^3\)
(iii) \(\frac{\pi}{2} x^2 + x\)
(iv) \(\sqrt{2} x - 1\)
Answer:
(i) \(2 + x^2 + x\) में \(x^2\) का गुणांक = \(1\)
(ii) \(2 - x^2 + x^3\) में \(x^2\) का गुणांक = \(-1\)
(iii) \(\frac{\pi}{2} x^2 + x\) में \(x^2\) का गुणांक = \(\frac{\pi}{2}\)
(iv) \(\sqrt{2} x - 1\) अर्थात \(0.x^2 + \sqrt{2} x - 1\) में \(x^2\) का गुणांक = \(0\)
In simple words: गुणांक वह संख्यात्मक मान है जो चर (variable) के साथ गुणा किया गया होता है। \(x^2\) का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हमें समीकरण में \(x^2\) पद के सामने वाली संख्या को देखना होगा। यदि \(x^2\) पद मौजूद नहीं है, तो उसका गुणांक शून्य होता है।

🎯 Exam Tip: गुणांक की पहचान करते समय, चिह्न (positive/negative) को शामिल करना न भूलें, खासकर जब पद घटाया जा रहा हो।

Question 3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।
Answer: हल : 35 घात के द्विपद का उदाहरण = \(x^{35} + 1\)
100 घात के एकपदी का उदाहरण = \(10x^{100}\)
In simple words: द्विपद वह बहुपद होता है जिसमें दो पद होते हैं, और एकपदी वह बहुपद होता है जिसमें केवल एक पद होता है। घात (degree) चर की सबसे बड़ी शक्ति होती है।

🎯 Exam Tip: उदाहरण देते समय, सुनिश्चित करें कि घात सही है और द्विपद में दो पद हों, जबकि एकपदी में केवल एक पद हो।

Question 4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :
(i) \(5x^3 + 4x^2 + 7x\)
(ii) \(4 - y^2\)
(iii) \(5t - \sqrt{7}\)
(iv) \(3\)
Answer:
(i) \(5x^3 + 4x^2 + 7x\) में चर \(x\) की अधिकतम घात = \(3\)
दिए हुए बहुपद की घात= \(3\)
(ii) \(4 - y^2\) में चर \(y\) की अधिकतम घात = \(2\)
दिए हुए बहुपद की घात = \(2\)
(iii) \(5t - \sqrt{7}\) में चर \(t\) की अधिकतम घात = \(1\)
दिए हुए बहुपद की घात = \(1\)
(iv) \(3\) एक अचर पद है अर्थात \(3.x^0\) दिए हुए बहुपद की घात = \(0\)
In simple words: बहुपद की घात (degree) उसके सभी पदों में चर की उच्चतम घात होती है। यदि कोई संख्यात्मक मान अकेला हो (अचर पद), तो उसकी घात शून्य होती है।

🎯 Exam Tip: बहुपद की घात निर्धारित करते समय, सभी पदों की चरों की घातों की तुलना करें और सबसे बड़ी घात चुनें। अचर पद की घात हमेशा शून्य होती है।

Question 5. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन बहुपद रैखिक है, कौन-कौन द्विघाती हैं और कौन-कौन त्रिघाती हैं :
(i) \(x^2 + x\)
(ii) \(x - x^3\)
(iii) \(y + y^2 + 4\)
(iv) \(1 + x\)
(v) \(3t\)
(vi) \(r^2\)
(vii) \(7x^3\)
Answer:
(i) बहुपद \(x^2 + x\) में चर \(x\) की अधिकतम घात = \(2\)
यह बहुपद द्विघाती है।
(ii) बहुपद \(x - x^3\) में चर \(x\) की अधिकतम घात = \(3\)
यह बहुपद त्रिघाती है।
(iii) बहुपद \(y + y^2 + 4\) में चर \(y\) की अधिकतम घात = \(2\)
यह बहुपद द्विघाती है।
(iv) बहुपद \(1 + x\) में चर \(x\) की अधिकतम घात \(1\) है।
यह बहुपद रैखिक है।
(v) बहुपद \(3t\) में चर \(t\) की अधिकतम घात \(1\) है।
यह बहुपद रैखिक है।
(vi) बहुपद \(r^2\) में चर \(r\) की अधिकतम घात \(2\) है।
यह बहुपद द्विघाती है।
(vii) बहुपद \(7x^3\) में चर \(x\) की अधिकतम घात \(3\) है। यह बहुपद त्रिघाती है।
In simple words: बहुपद को उसकी अधिकतम घात के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है। घात 1 वाले बहुपद को रैखिक, घात 2 वाले को द्विघाती, और घात 3 वाले को त्रिघाती बहुपद कहते हैं।

🎯 Exam Tip: बहुपद के प्रकार को निर्धारित करने के लिए, हमेशा चर की उच्चतम घात को देखें।

Exercise 2.2

Question 1. निम्नलिखित पर बहुपद \(5x - 4x^2 + 3\) के मान ज्ञात कीजिए ।
(i) \(x = 0\)
(ii) \(x = - 1\)
(iii) \(x = 2\)
Answer: हल : माना बहुपद \(p(x) = 5x - 4x^2 + 3\)
(i) \(x = 0\) पर बहुपद \(p(x)\) का मान
\(p(0) = 5 (0) - 4 (0)^2 + 3 = 3\)
(ii) \(x = -1\) पर बहुपद \(p(x)\) का मान
\(p(-1) = 5 (-1) - 4 (-1)^2 + 3 = -5 - 4 + 3 = -6\)
(iii) \(x = 2\) पर बहुपद \(p(x)\) का मान
\(p(2) = 5 (2) - 4 (2)^2 + 3 = 10 - 16 + 3 = -3\)
In simple words: किसी बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए चर के मान को बहुपद में प्रतिस्थापित (substitute) किया जाता है और फिर गणितीय संक्रियाएँ (operations) की जाती हैं।

🎯 Exam Tip: चर का मान प्रतिस्थापित करते समय, विशेषकर ऋणात्मक संख्याओं के लिए, चिह्नों और घातों की गणना करते समय सावधानी बरतें।

Question 2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए \(p(0), p(1)\) और \(p(2)\) ज्ञात कीजिए :
(i) \(p(y) = y^2 - y + 1\)
(ii) \(p(t) = 2 + t + 2t^2 - t^3\)
(iii) \(p(x) = x^3\)
(iv) \(p(x) = (x - 1)(x + 1)\)
Answer: हल :
(i) \(p(y) = y^2 - y + 1\)
\(p(0) = 0^2 - 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1\)
\(p(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1\)
\(p(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3\)
(ii) \(p(t) = 2 + t + 2t^2 - t^3\)
\(p(0) = 2 + 0 + 2 (0)^2 - (0)^3 = 2\)
\(p(1) = 2 + 1 + 2 (1)^2 - (1)^3 = 2 + 1 + 2 - 1 = 4\)
\(p(2) = 2 + 2 + 2 (2)^2 - (2)^3 = 2 + 2 + 8 - 8 = 4\)
(iii) \(p(x) = x^3\)
\(p(0) = (0)^3 = 0\)
\(p(1) = (1)^3 = 1\)
\(p(2) = (2)^3 = 8\)
(iv) \(p(x) = (x - 1)(x + 1)\)
\(p(0) = (0 - 1) (0 + 1) = (-1) (1) = -1\)
\(p(1) = (1 - 1) (1 + 1) = (0) (2) = 0\)
\(p(2) = (2 - 1) (2 + 1) = (1) (3) = 3\)
In simple words: यह प्रश्न पिछले प्रश्न के समान है, बस इसमें हमें एक ही बहुपद के लिए \(0, 1\) और \(2\) जैसे विभिन्न मानों को प्रतिस्थापित करना है। प्रत्येक मान को बहुपद के चर में रखकर परिणाम प्राप्त किया जाता है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणनाएँ सही हैं, प्रत्येक मान को अलग-अलग चरणों में सावधानीपूर्वक हल करें।

Question 3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं :
(i) \(p(x) = 3x + 1; x = - \frac{1}{3}\)
(ii) \(p(x) = 5x - \pi ; x = \frac{4}{5}\)
(iii) \(p(x) = x^2 - 1; x = 1, -1\)
(iv) \(p(x) = (x + 1) (x - 2) ; x = - 1,2\)
(v) \(p(x) = x^2 ; x = 0\)
(vi) \(p(x) = lx + m ; x = - \frac{m}{l}\)
(vii) \(p(x) = 3x^2 - 1; x = - \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
(viii) \(p(x) = 2x + 1; x = \frac{1}{2}\)
Answer: हल :
(i) \(p(x) = 3x + 1\)
\(\implies p\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = -1 + 1 = 0\)
अतः \(-\frac{1}{3}, p(x)\) का एक शून्यक है।
(ii) \(p(x) = 5x - \pi\)
\(\implies p\left(\frac{4}{5}\right) = 5\left(\frac{4}{5}\right) - \pi = 4 - \pi \ne 0\)
अतः \(\frac{4}{5}, p(x)\) का शून्यक नहीं है।
(iii) \(p(x) = x^2 - 1\)
\(\implies p(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0\)
अतः \(1, p(x)\) का एक शून्यक है।
\(\implies p(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0\)
अतः \(-1, p(x)\) का एक शून्यक है।
(iv) \(p(x) = (x + 1) (x - 2)\)
\(\implies p(-1) = (-1+1) (-1-2) = (0) (-3) = 0\)
अतः \(-1, p(x)\) का एक शून्यक है।
\(\implies p(2) = (2+1) (2-2) = 3 (0) = 0\)
अतः \(2, p(x)\) का एक शून्यक है।
(v) \(p(x) = x^2\)
\(\implies p(0) = 0^2 = 0\)
अतः \(0, p(x)\) का एक शून्यक है।
(vi) \(p(x) = lx + m\)
\(\implies p\left(-\frac{m}{l}\right) = l\left(-\frac{m}{l}\right) + m = -m + m = 0\)
अतः \(-\frac{m}{l}, p(x)\) का एक शून्यक है।
(vii) \(p(x) = 3x^2 - 1\)
\(\implies p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1 = 3 \times \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0\)
अतः \(-\frac{1}{\sqrt{3}}, p(x)\) का एक शून्यक है।
\(\implies p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 3\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1 = 3 \times \frac{4}{3} - 1 = 4 - 1 = 3 \ne 0\)
अतः \(\frac{2}{\sqrt{3}}, p(x)\) का शून्यक नहीं है।
(viii) \(p(x) = 2x + 1\)
\(\implies p\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 1 + 1 = 2 \ne 0\)
अतः \(\frac{1}{2}, p(x)\) का शून्यक नहीं है।
In simple words: किसी दिए गए मान को बहुपद का शून्यक तब कहा जाता है जब उस मान को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है। यदि परिणाम शून्य नहीं आता है, तो वह मान शून्यक नहीं है।

🎯 Exam Tip: शून्यक सत्यापित करते समय, सभी चर मानों को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करें और गणना करें। ऋणात्मक संख्याओं और भिन्नों के वर्ग या घन करते समय विशेष ध्यान दें।

Question 4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद को शून्यक ज्ञात कीजिए :
(i) \(p(x) = x + 5\)
(ii) \(p(x) = x - 5\)
(iii) \(p(x) = 2x + 5\)
(iv) \(p(x) = 3x - 2\)
(v) \(p(x) = 3x\)
(vi) \(p(x) = ax; a \ne 0\)
(vii) \(p(x) = cx + d; c \ne 0, c, d\) वास्तविक संख्याएँ हैं।
Answer: हल :
(i) बहुपद \(p(x) = x + 5\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं । \(p(x) = 0 \implies x + 5 = 0 \implies x = -5\)
\(p(x)\) का शून्यक = \(-5\)
(ii) बहुपद \(p(x) = x - 5\) को शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं। \(p(x) = 0 \implies x - 5 = 0 \implies x = 5\)
\(p(x)\) का शून्यक = \(5\)
(iii) बहुपद \(p(x) = 2x + 5\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं । \(p(x) = 0 \implies 2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}\)
\(p(x)\) का शून्यक = \(-\frac{5}{2}\)
(iv) बहुपद \(p(x) = 3x - 2\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं । \(p(x) = 0 \implies 3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}\)
\(p(x)\) का शून्यक = \(\frac{2}{3}\)
(v) बहुपद \(p(x) = 3x\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं। \(p(x) = 0 \implies 3x = 0 \implies x = 0\)
\(p(x)\) का शून्यक = \(0\)
(vi) बहुपद \(p(x) = ax; a \ne 0\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं । \(p(x) = 0 \implies ax = 0 \implies x = 0\) (a \(\ne\) 0)
\(p(x)\) का शून्यक = \(0\)
(vii) बहुपद \(p(x) = cx + d, c \ne 0\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे शून्य के बराबर रखते हैं । \(p(x) = 0 \implies cx + d = 0 \implies cx = -d \implies x = -\frac{d}{c}\) (c \(\ne\) 0)
\(p(x)\) का शून्यक = \(-\frac{d}{c}\)
In simple words: किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसे चर के स्थान पर रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है। इसे ज्ञात करने के लिए बहुपद को शून्य के बराबर रखकर चर का मान हल किया जाता है।

🎯 Exam Tip: शून्यक ज्ञात करते समय, बहुपद को शून्य के बराबर सेट करें और चर के लिए हल करें। ध्यान दें कि यदि गुणांक शून्य नहीं है, तो चर का मान भी शून्य नहीं होगा, सिवाय उन मामलों के जहाँ \(ax = 0\) हो।

Exercise 2.3

Question 1. \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1\) को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) \(x + 1\)
(ii) \(x - \frac{1}{2}\)
(iii) \(x\)
(iv) \(x + \pi\)
(v) \(5 + 2x\)
Answer: हल : माना \(p(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)
(i) माना \(x + 1 = 0 \implies x = -1\)
\(p(x)\) को \(x + 1\) से भाग देने पर शेषफल
\(p(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 1 = 0\)
(ii) माना \(x - \frac{1}{2} = 0 \implies x = \frac{1}{2}\)
\(p(x)\) को \(x - \frac{1}{2}\) से भाग देने पर शेषफल = \(p\left(\frac{1}{2}\right)\)
\( = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1\)
\( = \frac{1}{8} + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 1\)
\( = \frac{1 + 6 + 12 + 8}{8} = \frac{27}{8}\)
(iii) माना \(x = 0\)
\(p(x)\) को \(x\) से भाग देने पर शेषफल = \(p(0)\)
\( = (0)^3 + 3 (0)^2 + 3 (0) + 1\)
\( = 0 + 0 + 0 + 1 = 1\)
(iv) माना \(x + \pi = 0 \implies x = -\pi\)
\(p(x)\) को \(x + \pi\) से भाग देने पर शेषफल = \(p(-\pi)\)
\( = (-\pi)^3 + 3(-\pi)^2 + 3(-\pi) + 1\)
\( = -\pi^3 + 3\pi^2 - 3\pi + 1\)
(v) माना \(5 + 2x = 0\)
\(2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}\)
\(p(x)\) को \(5 + 2x\) से भाग देने पर शेषफल = \(p\left(-\frac{5}{2}\right)\)
\( = \left(-\frac{5}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{5}{2}\right) + 1\)
\( = -\frac{125}{8} + 3\left(\frac{25}{4}\right) - \frac{15}{2} + 1\)
\( = -\frac{125}{8} + \frac{75}{4} - \frac{15}{2} + 1\)
\( = \frac{-125 + 150 - 60 + 8}{8} = \frac{-27}{8}\)
In simple words: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके, किसी बहुपद को एक रैखिक व्यंजक से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हमें रैखिक व्यंजक को शून्य के बराबर रखकर चर का मान निकालना होता है। फिर इस मान को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर जो मान प्राप्त होता है, वही शेषफल होता है।

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) को लागू करने के लिए, भाजक (divisor) को शून्य के बराबर सेट करके चर का मान ज्ञात करें, और फिर उस मान को बहुपद (dividend) में प्रतिस्थापित करें।

Question 2. \(x^3 - ax^2 + 6x - a\) को \(x - a\) से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : माना \(p(x) = x^3 - ax^2 + 6x - a\) तथा \(x - a = 0 \implies x = a\)
\(p(x)\) को \(x - a\) से भाग देने पर शेषफल = \((a)^3 - a(a)^2 + 6(a) - a = a^3 - a^3 + 6a - a = 5a\)
In simple words: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके, जब \(x - a\) से एक बहुपद को भाग दिया जाता है, तो शेषफल \(p(a)\) होता है। यहां, चर \(x\) को \(a\) से प्रतिस्थापित किया गया है।

🎯 Exam Tip: जब भाजक \(x-a\) के रूप में हो, तो शेषफल सीधे \(p(a)\) होता है। यदि भाजक \(x+a\) हो, तो शेषफल \(p(-a)\) होगा।

Question 3. जाँच कीजिए कि \(7 + 3x, 3x^3 + 7x\) का एक गुणनखण्ड है या नहीं।
Answer: हल : माना \(p(x) = 3x^3 + 7x\)
यदि \(7 + 3x, p(x)\) का एक गुणनखण्ड है तो \(p(x)\) को \(7 + 3x\) से भाग देने पर शेषफल शून्य होना चाहिए ।
माना \(7 + 3x = 0 \implies 3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3}\)
\(p(x)\) को \(7 + 3x\) से भाग देने पर शेषफल = \(p\left(-\frac{7}{3}\right)\)
\( = 3\left(-\frac{7}{3}\right)^3 + 7\left(-\frac{7}{3}\right)\)
\( = 3\left(-\frac{343}{27}\right) - \frac{49}{3}\)
\( = -\frac{343}{9} - \frac{147}{9}\)
\( = -\frac{343 - 147}{9} = -\frac{490}{9} \ne 0\)
अतः शेषफल शून्य नहीं है
अतः \(7 + 3x, p(x)\) का गुणनखण्ड नहीं है।
In simple words: कोई रैखिक व्यंजक \((ax+b)\) किसी बहुपद का गुणनखंड तब होता है जब उस व्यंजक से बहुपद को भाग देने पर शेषफल शून्य आता है। यदि शेषफल शून्य नहीं है, तो वह गुणनखंड नहीं है।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) शेषफल प्रमेय का एक विशेष मामला है। यदि \(p(a) = 0\), तो \(x-a\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखंड है।

Exercise 2.4

Question 1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड \((x + 1)\) है।
(i) \(x^3 + x^2 + x + 1\)
(ii) \(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\)
(iii) \(x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1\)
(iv) \(x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{2}) x + \sqrt{2}\)
Answer: हल : माना \(x+1=0 \implies x=-1\)
(i) माना \(p(x) = x^3 + x^2 + x + 1\)
\(p(x)\) को \(x + 1\) से भाग देने पर शेषफल = \(p(-1)\)
\( = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1\)
\( = -1 + 1 - 1 + 1 = 0\)
शेषफल शून्य है
अतः \(x + 1, p(x)\) का एक गुणनखण्ड है।
(ii) माना \(p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\)
\(p(x)\) को \(x + 1\) से भाग देने पर शेषफल = \(p(-1)\)
\( = (-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1\)
\( = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1 \ne 0\)
शेषफल शून्य नहीं है।
अतः \(x + 1, p(x)\) का गुणनखण्ड नहीं है।
(iii) माना \(p(x) = x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x + 1\)
\(p(x)\) को \(x + 1\) से भाग देने पर शेषफल = \(p(-1)\)
\( = (-1)^4 + 3(-1)^3 + 3(-1)^2 + (-1) + 1\)
\( = 1 - 3 + 3 - 1 + 1 = 1 \ne 0\)
शेषफल शून्य नहीं है।
अतः \(x + 1, p(x)\) का गुणनखण्ड नहीं है।
(iv) माना \(p(x) = x^3 - x^2 - (2 + \sqrt{2}) x + \sqrt{2}\)
\(p(x)\) को \(x + 1\) से भाग देने पर शेषफल = \(p(-1)\)
\( = (-1)^3 - (-1)^2 - (2 + \sqrt{2}) (-1) + \sqrt{2}\)
\( = -1 - 1 + 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}\)
\( = 2\sqrt{2} \ne 0\)
शेषफल शून्य नहीं है।
अतः \(x + 1, p(x)\) का गुणनखण्ड नहीं है।
In simple words: यह जाँचने के लिए कि \((x+1)\) किसी बहुपद का गुणनखंड है या नहीं, हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं। यदि \(x=-1\) (जो \((x+1)\) का शून्यक है) को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य आता है, तो \((x+1)\) उसका गुणनखंड है।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते समय, \((x+1)\) के शून्यक \(-1\) को बहुपद में सही ढंग से प्रतिस्थापित करें। यदि परिणाम शून्य हो, तो यह एक गुणनखंड है; अन्यथा, नहीं।

Question 2. गुणनखण्ड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में \(g(x), p(x)\) का एक गुणनखण्ड है या नहीं :
(i) \(p(x) = 2x^3 + x^2 - 2x - 1, g(x) = x + 1\)
(ii) \(p(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1, g(x) = x + 2\)
(iii) \(p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6, g(x) = x - 3\)
Answer: हल :
(i) माना \(g(x) = 0 \implies x+1=0 \implies x=-1\)
\(p(x)\) को \(g(x)\) से भाग देने पर शेषफल = \(p(-1)\)
\( = 2 (-1)^3 + (-1)^2 - 2 (-1) - 1\)
\( = -2 + 1 + 2 - 1 = 0\)
शेषफल शून्य है।
अतः \(g(x), p(x)\) का एक गुणनखण्ड है।
(ii) माना \(g(x) = 0 \implies x+2=0 \implies x=-2\)
\(p(x)\) को \(g(x)\) से भाग देने पर शेषफल = \(p(-2)\)
\( = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 1\)
\( = -8 + 12 - 6 + 1\)
\( = -1 \ne 0\)
शेषफल शून्य नहीं है।
अतः \(g(x), p(x)\) का गुणनखण्ड नहीं है।
(iii) माना \(g(x) = 0 \implies x-3=0 \implies x = 3\)
\(p(x)\) को \(g(x)\) से भाग देने पर शेषफल = \(p(3)\)
\( = (3)^3 - 4(3)^2 + 3 + 6\)
\( = 27 - 36 + 3 + 6 = 0\)
शेषफल शून्य है।
अतः \(g(x), p(x)\) का एक गुणनखण्ड है।
In simple words: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि एक बहुपद \(g(x)\) किसी बहुपद \(p(x)\) का गुणनखंड है, तो \(g(x)\) के शून्यक (यानी, \(g(x)=0\) से प्राप्त \(x\) का मान) को \(p(x)\) में प्रतिस्थापित करने पर परिणाम शून्य होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करते समय, पहले \(g(x)\) के शून्यक का पता लगाएँ, फिर उसे \(p(x)\) में प्रतिस्थापित करें। यदि परिणाम शून्य है, तो \(g(x)\) एक गुणनखंड है।

Question 3. \(k\) का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में \((x - 1), p(x)\) का एक गुणनखण्ड हो :
(i) \(p(x) = x^2 + x + k\)
(ii) \(p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2}\)
(iii) \(p(x) = kx^2 - \sqrt{2} x + 1\)
(iv) \(p(x) = kx^2 - 3x + k\)
Answer: हल : माना \(x-1=0 \implies x=1\)
(i) \(p(x) = x^2 + x + k\)
चूँकि \(x - 1, p(x)\) का एक गुणनखण्ड है, तो \(p(1) = 0\)
\((1)^2 + 1 + k = 0\)
\(1 + 1 + k = 0\)
\(2 + k = 0 \implies k = -2\)
(ii) \(p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2}\)
चूँकि \(x - 1, p(x)\) का एक गुणनखण्ड है, तो \(p(1) = 0\)
\(2 (1)^2 + k (1) + \sqrt{2} = 0\)
\(2 + k + \sqrt{2} = 0\)
\(k = -(2 + \sqrt{2})\)
(iii) \(p(x) = kx^2 - \sqrt{2} x + 1\)
चूँकि \(x - 1, p(x)\) का एक गुणनखण्ड है, तो \(p(1) = 0\)
\(k (1)^2 - \sqrt{2} (1) + 1 = 0\)
\(k - \sqrt{2} + 1 = 0\)
\(k = \sqrt{2} - 1\)
(iv) \(p(x) = kx^2 - 3x + k\)
चूँकि \(x - 1, p(x)\) का एक गुणनखण्ड है, तो \(p(1) = 0\)
\(k (1)^2 - 3 (1) + k = 0\)
\(k - 3 + k = 0\)
\(2k - 3 = 0\)
\(2k = 3 \implies k = \frac{3}{2}\)
In simple words: यदि \((x-1)\) किसी बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखंड है, तो गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, \(p(1)\) का मान हमेशा शून्य होगा। हम इस तथ्य का उपयोग करके \(k\) का मान ज्ञात करने के लिए बहुपद में \(x=1\) प्रतिस्थापित करते हैं और समीकरण को \(k\) के लिए हल करते हैं।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय की शर्त \(p(a)=0\) का उपयोग \(k\) या किसी अन्य अज्ञात गुणांक को हल करने के लिए किया जाता है, जब एक गुणनखंड दिया गया हो।

Question 4. गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(i) \(12x^2 - 7x + 1\)
(ii) \(2x^2 + 7x + 3\)
(iii) \(6x^2 + 5x - 6\)
(iv) \(3x^2 - x - 4\)
Answer: हल :
(i) \(12x^2 - 7x + 1 = 12x^2 - 4x - 3x + 1\) [चूँकि \(12 \times 1 = 12\), \((-4) \times (-3) = 12\), \(-4 - 3 = -7\)]
\( = 4x (3x - 1) - 1 (3x - 1)\)
\( = (3x - 1) (4x - 1)\)
(ii) \(2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3\) [चूँकि \(2 \times 3 = 6\), \(6 \times 1 = 6\), \(6 + 1 = 7\)]
\( = 2x (x + 3) + 1 (x + 3)\)
\( = (x + 3) (2x + 1)\)
(iii) \(6x^2 + 5x - 6 = 6x^2 + 9x - 4x - 6\) [चूँकि \(6 \times (-6) = -36\), \(9 \times (-4) = -36\), \(9 - 4 = 5\)]
\( = 3x (2x + 3) - 2 (2x + 3)\)
\( = (2x + 3) (3x - 2)\)
(iv) \(3x^2 - x - 4 = 3x^2 - 4x + 3x - 4\) [चूँकि \(3 \times (-4) = -12\), \(-4 + 3 = -1\)]
\( = x (3x - 4) + 1 (3x - 4)\)
\( = (3x - 4) (x + 1)\)
In simple words: द्विघाती बहुपद के गुणनखंड करने के लिए, हम मध्य पद को इस प्रकार तोड़ते हैं कि दो नए पदों का गुणनफल पहले और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर हो और उनका योगफल मध्य पद के बराबर हो। फिर हम समूहन करके गुणनखंड करते हैं।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड करते समय, मध्य पद को तोड़ने के लिए दो संख्याओं को ध्यान से चुनें; उनका गुणनफल \(ac\) (जहाँ \(a\) और \(c\) क्रमशः \(x^2\) और अचर पद के गुणांक हैं) के बराबर होना चाहिए और उनका योग \(b\) (जहाँ \(b\) \(x\) का गुणांक है) के बराबर होना चाहिए।

Question 5. गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए :
(i) \(x^3 - 2x^2 - x + 2\)
(ii) \(x^3 - 3x^2 - 9x - 5\)
(iii) \(x^3 + 13x^2 + 32x + 20\)
(iv) \(2y^3 + y^2 - 2y - 1\)
Answer: हल :
(i) माना \(p(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2\)
\(p(x) = x^3 - x - 2x^2 + 2\)
\( = x (x^2 - 1) - 2 (x^2 - 1)\)
\( = (x^2 - 1^2) (x - 2)\)
[: \(a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)\)]
\( = (x - 1) (x + 1) (x - 2)\)
(ii) माना \(p(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 5\)
यहां अचर पद = \(5\)
\(5\) के अपवर्तक = \(\pm 1, \pm 5\)
\(x = -1\) पर
शेषफल \(p(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 5\)
\( = -1 - 3 + 9 - 5 = 0\)
शेषफल शून्य है।
अतः \(x + 1, p(x)\) का एक गुणनखण्ड है।
अब \(p(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 5\)
\( = x^2 (x + 1) - 4x^2 - 9x - 5\)
\( = x^2 (x + 1) - 4x (x + 1) - 5x - 5\)
\( = x^2 (x + 1) - 4x (x + 1) - 5 (x + 1)\)
\( = (x + 1) (x^2 - 4x - 5)\)
\( = (x + 1) (x^2 - 5x + x - 5)\) [\(1 \times (-5) = -5\), \(-5 + 1 = -4\)]
\( = (x + 1) [x (x - 5) + 1 (x - 5)]\)
\( = (x + 1) (x - 5) (x + 1)\)
\( = (x + 1)^2 (x - 5)\)
(iii) माना \(p(x) = x^3 + 13x^2 + 32x + 20\)
यहां अचर पद = \(20\)
\(20\) के अपवर्तक = \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\)
\(x = -1\) पर
शेषफल \(p(-1) = (-1)^3 + 13(-1)^2 + 32(-1) + 20\)
\( = -1 + 13 - 32 + 20 = 0\)
शेषफल शून्य है।
अतः \(x + 1, p(x)\) का एक गुणनखण्ड है।
अब \(p(x) = x^3 + 13x^2 + 32x + 20\)
\( = x^2 (x + 1) + 12x^2 + 32x + 20\)
\( = x^2 (x + 1) + 12x (x + 1) + 20x + 20\)
\( = x^2 (x + 1) + 12x (x + 1) + 20 (x + 1)\)
\( = (x + 1) (x^2 + 12x + 20)\)
\( = (x + 1) (x^2 + 2x + 10x + 20)\) [(\(1 \times 20 = 20\), \(10 \times 2 = 20\), \(10 + 2 = 12\))]
\( = (x + 1) [x (x + 2) + 10 (x + 2)]\)
\( = (x + 1) (x + 2) (x + 10)\)
(iv) माना \(p(y) = 2y^3 + y^2 - 2y - 1\)
\( = 2y^3 - 2y + y^2 - 1\)
\( = 2y (y^2 - 1) + 1 (y^2 - 1)\)
\( = (y^2 - 1) (2y + 1)\)
\( = (y^2 - 1^2) (2y + 1)\)
[: \(a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)\)]
\( = (y - 1) (y + 1) (2y + 1)\)
In simple words: त्रिघाती बहुपदों के गुणनखंड करने के लिए, हम पहले गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके एक गुणनखंड ज्ञात करते हैं। उसके बाद, बहुपद को उस गुणनखंड से भाग देकर एक द्विघाती बहुपद प्राप्त करते हैं, जिसे फिर से मध्य पद को तोड़कर गुणनखंडित किया जाता है।

🎯 Exam Tip: त्रिघाती बहुपद के गुणनखंड करते समय, पहले अचर पद के संभावित गुणनखंडों का परीक्षण करके एक शून्यक (और इस प्रकार एक रैखिक गुणनखंड) खोजें। फिर लंबी भाग विधि या संश्लेषित भाग विधि का उपयोग करके बहुपद को सरल करें।

Exercise 2.5

Question 1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) \((x + 4) (x + 10)\)
(ii) \((x + 8) (x - 10)\)
(iii) \((3x + 4) (3x - 5)\)
(iv) \((y^2 + \frac{3}{2}) (y^2 - \frac{3}{2})\)
(v) \((3 - 2x) (3 + 2x)\)
Answer: हल :
(i) \((x + 4) (x + 10) = x^2 + x (4 + 10) + (4) (10)\) [चूँकि \((x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) + ab\)]
\( = x^2 + 14x + 40\)
(ii) \((x + 8) (x - 10) = x^2 + x (8 - 10) + (8) (-10)\) [चूँकि \((x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) + ab\)]
\( = x^2 - 2x - 80\)
(iii) \((3x + 4) (3x - 5) = (3x)^2 + 3x (4 - 5) + (4) (-5)\) [चूँकि \((x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) + ab\)]
\( = 9x^2 - 3x - 20\)
(iv) \(\left(y^2 + \frac{3}{2}\right) \left(y^2 - \frac{3}{2}\right) = (y^2)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\) [चूँकि \((a - b) (a + b) = a^2 - b^2\)]
\( = y^4 - \frac{9}{4}\)
(v) \((3 - 2x) (3 + 2x) = (3)^2 - (2x)^2\) [चूँकि \((a - b) (a + b) = a^2 - b^2\)]
\( = 9 - 4x^2\)
In simple words: उपयुक्त बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनफल ज्ञात करने से सीधे गुणा करने की तुलना में गणनाएँ सरल हो जाती हैं। \((x+a)(x+b)\) और \((a-b)(a+b)\) जैसी सर्वसमिकाएँ गुणनफल को तुरंत विस्तारित करने में मदद करती हैं।

🎯 Exam Tip: सर्वसमिकाओं को याद रखें और उन्हें सही ढंग से पहचानना सीखें कि किस गुणनफल के लिए कौन सी सर्वसमिका उपयुक्त है, इससे समय बचता है और त्रुटियाँ कम होती हैं।

Question 2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) \(103 \times 107\)
(ii) \(95 \times 96\)
(iii) \(104 \times 96\)
Answer: हल :
(i) \(103 \times 107 = (100 + 3) \times (100 + 7)\)
\( = (100)^2 + 100 \times (3 + 7) + 3 \times 7\) [चूँकि \((x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) + ab\)]
\( = 10000 + 1000 + 21\)
\( = 11021\)
(ii) \(95 \times 96 = (100 - 5) (100 - 4)\)
\( = (100)^2 + 100 \times (-5 - 4) + (-5) (-4)\) [चूँकि \((x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) + ab\)]
\( = 10000 - 900 + 20\)
\( = 9120\)
(iii) \(104 \times 96 = (100 + 4) \times (100 - 4)\)
\( = (100)^2 - (4)^2\) [चूँकि \((a + b) (a - b) = a^2 - b^2\)]
\( = 10000 - 16 = 9984\)
In simple words: सीधे गुणा करने से बचने के लिए, संख्याओं को सुविधाजनक आधार (जैसे \(100\) या \(10\)) के योग या अंतर के रूप में लिखा जाता है और फिर बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनफल ज्ञात किया जाता है।

🎯 Exam Tip: संख्याओं को आधार \(100\) या \(10\) के निकटवर्ती रूप में व्यक्त करने से सर्वसमिकाओं का अनुप्रयोग आसान हो जाता है। विशेष रूप से \((a+b)(a-b)\) या \((x+a)(x+b)\) का उपयोग अक्सर किया जाता है।

Question 3. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखण्डन कीजिए :
(i) \(9x^2 + 6xy + y^2\)
(ii) \(4y^2 - 4y + 1\)
(iii) \(x^2 - \frac{y^2}{100}\)
Answer: हल :
(i) \(9x^2 + 6xy + y^2 = (3x)^2 + 2 (3x) (y) + (y)^2\) [चूँकि \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)]
\( = (3x + y)^2\)
(ii) \(4y^2 - 4y + 1 = (2y)^2 - 2 (2y) (1) + 1^2\) [चूँकि \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)]
\( = (2y - 1)^2\)
(iii) \(x^2 - \frac{y^2}{100} = (x)^2 - \left(\frac{y}{10}\right)^2\) [चूँकि \(a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)\)]
\( = \left(x - \frac{y}{10}\right) \left(x + \frac{y}{10}\right)\)
In simple words: गुणनखंडन करने के लिए, हम दिए गए व्यंजकों को पहचानने योग्य बीजगणितीय सर्वसमिकाओं के रूप में लिखते हैं, जैसे पूर्ण वर्ग \((a+b)^2\) या दो वर्गों का अंतर \((a^2-b^2)\)। फिर इन सर्वसमिकाओं के सूत्र का उपयोग करके गुणनखंड करते हैं।

🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग त्रिपदों (perfect square trinomials) और वर्गों के अंतर (difference of squares) की पहचान करें, क्योंकि ये सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली गुणनखंडन सर्वसमिकाएँ हैं।

Question 4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) \((x + 2y + 4z)^2\)
(ii) \((2x - y + z)^2\)
(iii) \((-2x + 3y + 2z)^2\)
(iv) \((3a - 7b - c)^2\)
(v) \((-2x + 5y - 3z)^2\)
(vi) \(\left(\frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 1\right)^2\)
Answer: हल : इनमें से प्रत्येक में निम्नलिखित सर्वसमिका का प्रयोग करेंगे -
\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)
(i) \((x + 2y + 4z)^2 = x^2 + (2y)^2 + (4z)^2 + 2x (2y) + 2 (2y) (4z) + 2 (4z) x\)
\( = x^2 + 4y^2 + 16z^2 + 4xy + 16yz + 8zx\)
(ii) \((2x - y + z)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + z^2 + 2 (2x) (-y) + 2 (-y) z + 2z (2x)\)
\( = 4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 2yz + 4zx\)
(iii) \((-2x + 3y + 2z)^2 = (-2x)^2 + (3y)^2 + (2z)^2 + 2(-2x) (3y) + 2 (3y) (2z) + 2 (2z) (-2x)\)
\( = 4x^2 + 9y^2 + 4z^2 - 12xy + 12yz - 8zx\)
(iv) \((3a - 7b - c)^2 = (3a)^2 + (-7b)^2 + (-c)^2 + 2 (3a) (-7b) + 2(-7b) (-c) + 2 (-c) (3a)\)
\( = 9a^2 + 49b^2 + c^2 - 42ab + 14bc - 6ca\)
(v) \((-2x + 5y - 3z)^2 = (-2x)^2 + (5y)^2 + (-3z)^2 + 2(-2x) (5y) + 2 (5y) (-3z) + 2 (-3z) (-2x)\)
\( = 4x^2 + 25y^2 + 9z^2 - 20xy - 30yz + 12zx\)
(vi) \(\left(\frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 1\right)^2 = \left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 + 1^2 + 2\left(\frac{a}{4}\right)\left(-\frac{b}{2}\right) + 2\left(-\frac{b}{2}\right)(1) + 2(1)\left(\frac{a}{4}\right)\)
\( = \frac{a^2}{16} + \frac{b^2}{4} + 1 - \frac{ab}{4} - b + \frac{a}{2}\)
In simple words: तीन पदों वाले व्यंजक के वर्ग का प्रसार करने के लिए, हम सर्वसमिका \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\) का उपयोग करते हैं। इसमें प्रत्येक पद का वर्ग और प्रत्येक दो पदों के गुणनफल का दुगुना शामिल होता है।

🎯 Exam Tip: \((a+b+c)^2\) के विस्तार में, गुणांकों और चिह्नों का ध्यानपूर्वक ध्यान रखें, विशेष रूप से जब कुछ पद ऋणात्मक हों।

प्रश्नावली 2.5

Question 1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए :
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
(iv) \( (y^2 + \frac{3}{2}) (y^2 – \frac{3}{2}) \)
(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
Answer: हल : (i) \( (x + 4) (x + 10) = x^2 + x (4 + 10) + (4) (10) \) [:: \( (x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) + ab \)]
\( = x^2 + 14x + 40 \)
(ii) \( (x + 8) (x - 10) = x^2 + x (8 - 10) + (8) (-10) \) [:: \( (x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) x + ab \)]
\( = x^2 - 2x - 80 \)
(iii) \( (3x + 4) (3x - 5) = (3x)^2 + 3x (4 - 5) + (4) (-5) \)
[:: \( (x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) + ab \)]
\( = 9x^2 - 3x - 20 \)
(iv) \( (y^2 + \frac{3}{2}) (y^2 - \frac{3}{2}) = (y^2)^2 - (\frac{3}{2})^2 \)
[:: \( (a - b) (a + b) = a^2 - b^2 \)]
\( = y^4 - \frac{9}{4} \)
(v) \( (3 - 2x) (3 + 2x) = (3)^2 - (2x)^2 \)
[:: \( (a - b) (a + b) = a^2 - b^2 \)]
\( = 9 - 4x^2 \)
In simple words: This question requires applying algebraic identities like \( (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab \) and \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) to multiply polynomials without direct expansion.

🎯 Exam Tip: Mastering common algebraic identities is crucial for efficiently solving multiplication and factorization problems, saving time in exams.

Question 2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 x 107
(ii) 95 x 96
(iii) 104 x 96
Answer: हल : (i) \( 103 \times 107 = (100+3) \times (100+7) \)
\( = (100)^2 + 100 \times (3+7)+3 \times 7 \)
[:: \( (x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) + ab \)]
\( = 10000+1000+21 \)
\( = 11021 \)
(ii) \( 95 \times 96 = (100-5) (100-4) \)
\( = (100)^2 + 100 \times (-5-4)+(-5) (-4) \)
[:: \( (x + a) (x + b) = x^2 + x (a + b) + ab \)]
\( = 10000-900+20 \)
\( = 9120 \)
(iii) \( 104 \times 96 = (100+4) \times (100-4) \)
\( = (100)^2 - (4)^2 \)
[:: \( (a + b) (a - b) = a^2 - b^2 \)]
\( = 10000-16 = 9984 \)
In simple words: This question demonstrates how to use algebraic identities to multiply numbers efficiently by expressing them as sums or differences from a base (like 100), avoiding direct multiplication.

🎯 Exam Tip: Recognizing numbers as \( (100+a) \) or \( (100-b) \) allows the application of identities, which is faster and reduces calculation errors in competitive exams.

Question 3. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखण्डन कीजिए :
(i) \( 9x^2 + 6xy + y^2 \)
(ii) \( 4y^2 - 4y + 1 \)
(iii) \( x^2 – \frac{y^2}{100} \)
Answer: हल : (i) \( 9x^2 + 6xy + y^2 = (3x)^2 + 2 (3x) (y) + (y)^2 \)
\( = (3x + y)^2 \)
[:: \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)]
(ii) \( 4y^2 - 4y + 1 = (2y)^2 - 2 (2y) (1) + 1^2 \)
\( = (2y - 1)^2 \)
[:: \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \)]
(iii) \( x^2 - \frac{y^2}{100} = (x)^2 - (\frac{y}{10})^2 \)
\( = (x - \frac{y}{10}) (x + \frac{y}{10}) \)
[:: \( a^2 - b^2 = (a - b) (a + b) \)]
In simple words: This question involves factorizing expressions by identifying and applying perfect square identities like \( (a+b)^2 \) or \( (a-b)^2 \), and the difference of squares identity \( a^2-b^2 \).

🎯 Exam Tip: Factorization using identities is a fundamental skill. Practice identifying patterns for perfect squares and differences of squares to quickly factorize polynomials.

Question 4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए :
(i) \( (x + 2y + 4z)^2 \)
(ii) \( (2x - y + z)^2 \)
(iii) \( (-2x + 3y + 2z)^2 \)
(iv) \( (3a-7b - c)^2 \)
(v) \( (-2x + 5y - 3z)^2 \)
(vi) \( (\frac{a}{4} - \frac{b}{2} + 1)^2 \)
Answer: हल : इनमें से प्रत्येक में निम्नलिखित सर्वसमिका का प्रयोग करेंगे -
\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)
(i) \( (x + 2y + 4z)^2 = x^2 + (2y)^2 + (4z)^2 + 2x (2y) + 2 (2y) (4z) + 2 (4z) x \)
\( = x^2 + 4y^2 + 16z^2 + 4xy + 16yz + 8zx \)
(ii) \( (2x - y + z)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + z^2 + 2 (2x) (-y) + 2 (-y) z + 2z (2x) \)
\( = 4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 2yz + 4zx \)
(iii) \( (-2x + 3y + 2z)^2 = (-2x)^2 + (3y)^2 + (2z)^2 + 2(-2x) (3y) + 2 (3y) (2z) + 2 (2z) (-2x) \)
\( = 4x^2 + 9y^2 + 4z^2 - 12xy + 12yz - 8zx \)
(iv) \( (3a - 7b - c)^2 = (3a)^2 + (-7b)^2 + (-c)^2 + 2 (3a) (-7b) + 2 (-7b) (-c) + 2 (-c) (3a) \)
\( = 9a^2 + 49b^2 + c^2 - 42ab + 14bc - 6ca \)
(v) \( (-2x + 5y - 3z)^2 = (-2x)^2 + (5y)^2 + (-3z)^2 + 2 (-2x) (5y) + 2 (5y) (-3z) + 2 (-3z) (-2x) \)
\( = 4x^2 + 25y^2 + 9z^2 - 20xy - 30yz + 12zx \)
(vi) \( (\frac{a}{4} - \frac{b}{2} + 1)^2 = (\frac{a}{4})^2 + (-\frac{b}{2})^2 + 1^2 + 2 (\frac{a}{4}) (-\frac{b}{2}) + 2 (-\frac{b}{2}) (1) + 2 (1) (\frac{a}{4}) \)
\( = \frac{a^2}{16} + \frac{b^2}{4} + 1 - \frac{ab}{4} - b + \frac{a}{2} \)
In simple words: This question expands trinomials (expressions with three terms) by applying the identity \( (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \), carefully handling signs and coefficients.

🎯 Exam Tip: Be meticulous with the signs when applying the trinomial square identity, especially for terms like \( -y \) or \( -c \), as a single sign error can invalidate the entire expansion.

Question 5. गुणनखण्डन कीजिए :
(i) \( 4x^2 + y^2 + 16z^2 + 12xy - 24yz – 16xz \)
(ii) \( 2x^2 + y^2 + 8z^2 - 2\sqrt{2}xy + 4\sqrt{2}yz - 8xz \)
Answer: हल : इनमें से प्रत्येक में निम्नलिखित सर्वसमिका का प्रयोग करेंगे :
\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)
(i) \( 4x^2 + y^2 + 16z^2 + 12xy - 24yz – 16xz \)
\( = (2x)^2 + (y)^2 + (-4z)^2 + 2 (2x) (y) + 2 (y) (-4z) + 2 (-4z) (2x) \)
\( = (2x+3y - 4z)^2 \)
(ii) \( 2x^2 + y^2 + 8z^2 - 2\sqrt{2}xy + 4\sqrt{2}yz - 8xz \)
\( = (-\sqrt{2}x)^2 + (y)^2 + (2\sqrt{2}z)^2 + 2(-\sqrt{2}x) (y) + 2 (y) (2\sqrt{2}z) + 2 (2\sqrt{2}z) (-\sqrt{2}x) \)
\( = (-\sqrt{2}x + y + 2\sqrt{2}z)^2 \)
In simple words: This question is about factoring quadratic trinomials by reversing the expansion of \( (a+b+c)^2 \), identifying the terms that make up \( a, b, \) and \( c \), and paying close attention to negative signs to find the correct squared expression.

🎯 Exam Tip: When factorizing expressions with three squared terms and cross-product terms, look for which variables have negative coefficients in the cross-product to determine which base terms \( (a, b, c) \) must be negative.

Question 6. निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए :
(i) \( (2x+1)^3 \)
(ii) \( (2a - 3b)^3 \)
(iii) \( (\frac{3}{2}x+1)^3 \)
(iv) \( (x - \frac{2}{3}y)^3 \)
Answer: हल : (i) \( (2x + 1)^3 \) के प्रसार के लिए निम्नलिखित सर्वसमिका का प्रयोग करेंगे :
\( (a + b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 + b^3 = a^3+b^3+3ab(a + b) \)
\( (2x + 1)^3 = (2x)^3 + (1)^3 + 3 (2x) (1) (2x + 1) \)
\( = 8x^3 + 1 + 6x (2x + 1) \)
\( = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 \)
(ii) \( (2a - 3b)^3 \) के प्रसार के लिए निम्नलिखित सर्वसमिका का प्रयोग करेंगे :
\( (x - y)^3 = x^3-3x^2y + 3xy^2 - y^3 = x^3-y^3-3xy (x - y) \)
\( (2a-3b)^3 = (2a)^3 - (3b)^3 - 3 (2a) (3b) (2a - 3b) \)
\( = 8a^3 - 27b^3 - 18ab (2a - 3b) \)
\( = 8a^3 - 27b^3 – 36a^2b+ 54ab^2 \)
(iii) \( (\frac{3}{2}x+1)^3 \) के प्रसार के लिए निम्नलिखित सर्वसमिका का प्रयोग करेंगे :
\( (a + b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 + b^3 = a^3+b^3+3ab(a + b) \)
\( (\frac{3}{2}x+1)^3 = (\frac{3}{2}x)^3 + (1)^3 + 3 (\frac{3}{2}x) (1) (\frac{3}{2}x+1) \)
\( = \frac{27}{8}x^3 + 1 + \frac{9}{2}x (\frac{3}{2}x+1) = \frac{27}{8}x^3 + \frac{27}{4}x^2 + \frac{9}{2}x + 1 \)
(iv) \( (x - \frac{2}{3}y)^3 \) के प्रसार के लिए निम्नलिखित सर्वसमिका का प्रयोग करेंगे :
\( (a - b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 - b^3 = a^3-b^3-3ab(a - b) \)
\( (x - \frac{2}{3}y)^3 = (x)^3 - (\frac{2}{3}y)^3 - 3 (x) (\frac{2}{3}y) (x - \frac{2}{3}y) \)
\( = x^3 - \frac{8}{27}y^3 - 2xy (x - \frac{2}{3}y) \)
\( = x^3 - \frac{8}{27}y^3 - 2x^2y + \frac{4}{3}xy^2 \)
In simple words: This question uses cubic identities, \( (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \) and \( (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \), to expand given binomials into their full polynomial form.

🎯 Exam Tip: Carefully identify \( a \) and \( b \) in the binomial and remember the sign conventions for the terms in the cubic identities to avoid common errors.

Question 7. उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) \( (99)^3 \)
(ii) \( (102)^3 \)
(iii) \( (998)^3 \)
Answer: हल : (i) \( (99)^3 = (100-1)^3 \)
[सर्वसमिका \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2 – b^3 = a^3 – b^3 – 3ab (a – b) \) से]
\( = (100)^3 - (1)^3 - 3 (100) (1) (100 – 1) \)
\( = 1000000-1-300 \times 99 \)
\( = 1000000-1-29700 \)
\( = 970299 \)
(ii) \( (102)^3 = (100+2)^3 \)
\( = (100)^3 + (2)^3 + 3 (100) (2) (100+2) \)
[सर्वसमिका \( (a + b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab (a + b) \) से]
\( = 1000000+8+600 \times 102 \)
\( = 1000000+8+61200 \)
\( = 1061208 \)
(iii) \( (998)^3 = (1000-2)^3 \)
\( = (1000)^3 - (2)^3 - 3 (1000) (2) (1000 – 2) \)
[सर्वसमिका \( (a - b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 - b^3 = a^3-b^3-3ab(a - b) \) से]
\( = 1000000000-8-6000 \times 998 \)
\( = 1000000000-8-5988000 \)
\( = 994011992 \)
In simple words: This question utilizes cubic identities to calculate powers of numbers close to multiples of 10 (like 99 as 100-1, 102 as 100+2, 998 as 1000-2) without direct multiplication, simplifying calculations.

🎯 Exam Tip: Expressing numbers as \( (10 \pm a) \) or \( (100 \pm a) \) or \( (1000 \pm a) \) is a smart technique for simplifying calculations using binomial expansion identities, which is faster and reduces errors.

Question 8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए।
(i) \( 8a^3 + b^3 + 12a^2b+6ab^2 \)
(ii) \( 8a^3 - b^3 – 12a^2b+6ab^2 \)
(iii) \( 27- 125a^3 – 135a + 225a^2 \)
(iv) \( 64a^3- 27b^3 – 144a^2b+108ab^2 \)
(v) \( 27p^3 - \frac{1}{216} - \frac{9}{2}p^2 + \frac{1}{4}p \)
Answer: हल : (i) \( 8a^3 + b^3 + 12a^2b+6ab^2 = (2a)^3 + (b)^3 + 3 (2a)^2(b) +3 (2a) (b)^2 \)
\( = (2a)^3 + (b)^3 +3 (2a) (b) (2a+b) \)
[सर्वसमिका \( (x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2 = x^3 + y^3 + 3xy (x + y) \) से]
\( = (2a + b)^3 \)
(ii) \( 8a^3 - b^3 - 12a^2b+6ab^2 = (2a)^3 - (b)^3 - 3 (2a)^2b+3 (2a) b^2 \)
\( = (2a)^3 - (b)^3-3 (2a) (b) (2a - b) \)
[सर्वसमिका \( (x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3x^2y + 3xy^2 = x^3 – y^3 – 3xy (x - y) \) से]
\( = (2a - b)^3 \)
(iii) \( 27-125a^3 – 135a + 225a^2 = (3)^3 - (5a)^3 - 3 (3)^2 (5a) +3 (3) (5a)^2 \)
\( = (3)^3 - (5a)^3 - 3 (3) (5a) (3-5a) \)
[सर्वसमिका \( (x - y)^3 = x^3 – y^3 – 3x^2y + 3xy^2 = x^3 - y^3 - 3xy (x - y) \) से]
\( = (3-5a)^3 \)
(iv) \( 64a^3- 27b^3 – 144a^2b+108ab^2 = (4a)^3 - (3b)^3 - 3 (4a)^2 (3b) +3 (4a) (3b)^2 \)
\( = (4a)^3 - (3b)^3-3 (4a) (3b) (4a-3b) \)
[सर्वसमिका \( (x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3x^2y + 3xy^2 = x^3 – y^3 – 3xy (x - y) \) से]
\( = (4a-3b)^3 \)
(v) \( 27p^3 - \frac{1}{216} - \frac{9}{2}p^2 + \frac{1}{4}p = (3p)^3 - (\frac{1}{6})^3 - 3(3p)^2(\frac{1}{6}) +3 (3p) (\frac{1}{6})^2 \)
\( = (3p)^3 - (\frac{1}{6})^3 - 3(3p) (\frac{1}{6}) (3p - \frac{1}{6}) \)
[सर्वसमिका \( (x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3x^2y + 3xy^2 = x^3 – y^3 – 3xy (x - y) \) से]
\( = (3p - \frac{1}{6})^3 \)
In simple words: This question involves factorizing polynomials by recognizing them as the expanded form of a cubic identity, either \( (a+b)^3 \) or \( (a-b)^3 \). The key is to identify the base terms 'a' and 'b' and match the coefficients of the middle terms.

🎯 Exam Tip: When factorizing cubic expressions, mentally or explicitly check if the terms match \( a^3 \), \( b^3 \), \( 3a^2b \), and \( 3ab^2 \). Pay special attention to the signs to determine if it's a sum or difference of cubes identity.

Question 9. सत्यापित कीजिए :
(i) \( x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2) \)
(ii) \( x^3 - y^3 = (x - y) (x^2 + xy + y^2) \)
Answer: हल : (i) सर्वसमिका \( (x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy (x + y) \) से,
\( x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy (x + y) \)
\( = (x + y) [(x + y)^2 - 3xy] \)
\( = (x + y) (x^2 + y^2 + 2xy - 3xy) \)
\( = (x + y) (x^2 - xy + y^2) \)
यही सिद्ध करना था।
(ii) सर्वसमिका \( (x - y)^3 = x^3 – y^3 – 3xy (x - y) \) से,
\( x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy (x - y) \)
\( = (x - y) [(x - y)^2 + 3xy] \)
\( = (x - y) (x^2 + y^2 - 2xy + 3xy) \)
\( = (x - y) (x^2 + xy + y^2) \)
यही सिद्ध करना था।
In simple words: This question proves the sum and difference of cubes factorization formulas by rearranging the expanded form of \( (x+y)^3 \) and \( (x-y)^3 \) respectively.

🎯 Exam Tip: Knowing how to derive these factorization identities from the cubic expansion identities helps in understanding their structure and is useful for proofs or complex factorization problems.

Question 10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए
(i) \( 27y^3 + 125z^3 \)
(ii) \( 64m^3 – 343n^3 \)
Answer: हल : (i) \( 27y^3 + 125z^3 = (3y)^3 + (5z)^3 \)
\( = (3y + 5z) [(3y)^2 - (3y) (5z) + (5z)^2] \)
[सर्वसमिका \( x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2) \) से]
\( = (3y + 5z) (9y^2 - 15yz + 25z^2) \)
(ii) \( 64m^3 - 343n^3 = (4m)^3 - (7n)^3 \)
\( = (4m-7n) [(4m)^2 + (4m) (7n) + (7n)^2] \)
[सर्वसमिका \( x^3 - y^3 = (x - y) (x^2 + xy + y^2) \) से]
\( = (4m - 7n) (16 m^2 + 28mn + 49n^2) \)
In simple words: This question asks to factorize expressions that are a sum or difference of two cubes, using the identities \( a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \) or \( a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \).

🎯 Exam Tip: For sum/difference of cubes, identify the cube roots of each term first. Then, carefully apply the corresponding identity, ensuring the signs in the quadratic factor are correct.

Question 11. गुणनखण्ड कीजिए : \( 27x^3 + y^3 + z^3 – 9xyz \)
Answer: हल : \( 27x^3 + y^3 + z^3 - 9xyz = (3x)^3 + (y)^3 + (z)^3 – 3 (3x) (y) z \)
\( = (3x + y + z) [(3x)^2 + y^2 + z^2 - (3x) y - yz - z (3x)] \)
[सर्वसमिका \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2+c^2 - ab-bc-ca) \) से]
\( = (3x + y + z) (9x^2 + y^2 + z^2 - 3xy - yz – 3zx) \)
In simple words: This question involves factorizing a polynomial of the form \( a^3+b^3+c^3-3abc \), which factors into \( (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \).

🎯 Exam Tip: Recognize the specific form \( a^3+b^3+c^3-3abc \) to directly apply its factorization identity. This identity is crucial for advanced factorization problems.

Question 12. सत्यापित कीजिए : \( x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = \frac{1}{2} (x + y + z) [ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z – x)^2] \)
Answer: हल : हम जानते हैं कि
\( x^3 + y^3 + z^3-3xyz = (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \)
\( = \frac{1}{2} (x + y + z) (2x^2 + 2y^2 + 2z^2 – 2xy - 2yz - 2zx) \)
\( = \frac{1}{2} (x + y + z) [(x^2 + y^2 – 2xy) + (y^2 + z^2 – 2yz) + (z^2 + x^2 – 2zx)] \)
[:: \( a^2 – 2ab + b^2 = (a - b)^2 \)]
\( = \frac{1}{2} (x + y + z) [(x - y)^2 + (y – z)^2 + (z – x)^2] \)
यही सिद्ध करना था।
In simple words: This question proves an alternative factorization identity for \( x^3+y^3+z^3-3xyz \) by manipulating the standard factorization and using the perfect square identity.

🎯 Exam Tip: This extended identity is powerful for problems where the difference between variables is relevant. Remember the factor of \( \frac{1}{2} \) and the squared differences.

Question 13. यदि \( x + y + z = 0 \) हो तो दिखाइए कि \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \)
Answer: हल : हम जानते हैं कि
\( x^3 + y^3 + z^3-3xyz = (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \)
\( x + y + z = 0 \) रखने पर,
\( x^3 + y^3 + z^3-3xyz = 0 \times (x^2 + y^2 + z^2 - xy-yz-zx) = 0 \)
\( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \)
यही सिद्ध करना था।
In simple words: This question proves that if the sum of three numbers \( (x+y+z) \) is zero, then the sum of their cubes \( (x^3+y^3+z^3) \) is equal to three times their product \( (3xyz) \).

🎯 Exam Tip: This is a very important conditional identity. If \( x+y+z=0 \), then \( x^3+y^3+z^3=3xyz \). This shortcut is frequently used in algebraic simplification and problem-solving.

Question 14. घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए :
(i) \( (-12)^3 + (7)^3 + (5)^3 \)
(ii) \( (28)^3 + (-15)^3 + (-13)^3 \)
Answer: हल : (i) माना \( -12 = x, 7 = y, 5=z \)
हम जानते हैं कि \( x+y+z = -12+7+5=0 \)
यदि \( x+y+z=0 \), तब \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \)
\( (-12)^3 + (7)^3 + (5)^3= 3 (-12) (7) (5) \)
\( = -1260 \)
(ii) माना \( 28 = x, -15 = y, -13=z \)
हम जानते हैं कि \( x+y+z = 28-15-13=0 \)
यदि \( x+y+z=0 \), तब \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \)
\( (28)^3 + (-15)^3 + (-13)^3= 3 (28) (-15) (-13) \)
\( = 16380 \)
In simple words: This question uses the special identity (proved in Q13) that if \( x+y+z=0 \), then \( x^3+y^3+z^3=3xyz \), to quickly calculate the sum of cubes without cubing the individual numbers.

🎯 Exam Tip: Always check if the sum of the bases in a sum of cubes is zero. If it is, applying the identity \( x^3+y^3+z^3=3xyz \) will save a lot of calculation time and is a common trap in problems.

Question 15. नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए सम्भव व्यंजक दीजिए ।
(i) क्षेत्रफल : \( 25a^2 – 35a + 12 \)
(ii) क्षेत्रफल : \( 35y^2 + 13y – 12 \)
Answer: हल : (i) आयत का क्षेत्रफल \( = 25a^2 - 35a + 12 \)
लम्बाई \( \times \) चौड़ाई \( = 25a^2 - 35a + 12 \)
\( = 25a^2 - 20a - 15a + 12 \)
[:: \( 25 \times 12 = 300 \); \( 300 = (-20) (-15) \); \( -20-15=-35 \)]
\( = 5a (5a-4)-3 (5a-4) \)
\( = (5a-4) (5a - 3) \)
यहाँ पर दो परिणाम सम्भव है :
यदि लम्बाई \( = 5a-4 \) तो चौड़ाई \( = 5a - 3 \)
यदि लम्बाई \( = 5a-3 \) तो चौड़ाई \( = 5a - 4 \)
(ii) आयत का क्षेत्रफल \( = 35y^2 + 13y - 12 \)
\( = 35y^2 + 28y-15y - 12 \)
[:: \( 35 \times (-12) = -420 \); \( -420 = 28 \times (-15) \); \( 28-15 = 13 \)]
\( = 7y (5y + 4) - 3 (5y + 4) = (5y + 4) (7y - 3) \)
यहाँ पर दो परिणाम सम्भव है :
यदि लम्बाई \( = 5y + 4 \) तो चौड़ाई \( = 7y - 3 \)
यदि लम्बाई \( = 7y - 3 \) तो चौड़ाई \( = 5y + 4 \)
In simple words: This question requires factorizing quadratic expressions (representing areas) to find two linear factors, which correspond to the possible expressions for length and width of the rectangle.

🎯 Exam Tip: For factorizing quadratic expressions \( ax^2+bx+c \), look for two numbers whose product is \( ac \) and whose sum is \( b \). This is called splitting the middle term method.

Question 16. घनाभों (Cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए सम्भव व्यंजक क्या हैं :
(i) आयतन : \( 3x^2 – 12x \)
(ii) आयतन : \( 12ky^2 + 8ky – 20k \)
Answer: हल : (i) घनाभ का आयतन \( = 3x^2 - 12x \)
लम्बाई \( \times \) चौड़ाई \( \times \) ऊँचाई \( = 3x^2 - 12x \)
\( = 3x (x - 4) \)
घनाभ की विमाएँ \( = 3, x \) और \( (x - 4) \)
(ii) घनाभ का आयतन \( = 12ky^2 + 8ky - 20k \)
लम्बाई \( \times \) चौड़ाई \( \times \) ऊँचाई \( = 12ky^2 + 8ky - 20k \)
\( = 4k (3y^2 + 2y - 5) \)
\( = 4k (3y^2 + 5y - 3y - 5) \)
[:: \( 3 \times (-5) = -15 \); \( -15 = 5 \times (-3) \); \( 5-3=2 \)]
\( = 4k [y (3y + 5) - 1 (3y + 5)] = 4k (3y + 5) (y - 1) \)
घनाभ की विमाएँ \( = 4k, (3y + 5) \) और \( (y - 1) \)
In simple words: This question involves factorizing polynomial expressions (representing volumes) into three linear factors, which correspond to the possible expressions for the length, width, and height of a cuboid.

🎯 Exam Tip: For volume problems, first factor out common terms, then factorize the remaining quadratic expression using methods like splitting the middle term to get three linear factors for the dimensions.