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Detailed Chapter 21 संभावना UP Board Solutions for Class 9 Maths
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Class 9 Maths Chapter 21 संभावना UP Board Solutions PDF
प्रायिकता
Exercise 21.1 Probability अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)
Question 1. यदि एक घटना E के होने की प्रायिकता P है तब निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
(a) 0 \( \le \) p \( \le \) 1
(b) 0 < p < 1
(c) p > 1
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: विकल्प (a)
In simple words: किसी भी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है, जिसमें 0 और 1 भी शामिल हैं।
🎯 Exam Tip: प्रायिकता का मान हमेशा 0 से 1 के बीच में होता है।
Question 2. निम्न में से कौन-सी एक घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: विकल्प (c)
In simple words: किसी भी घटना की प्रायिकता का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं हो सकता है, इसलिए 2 एक प्रायिकता नहीं हो सकती।
🎯 Exam Tip: प्रायिकता का अधिकतम मान 1 होता है।
Question 3. निम्न में से कौन-सी एक घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है?
(a) \( \frac{1}{3} \)
(b) \( \frac{3}{4} \)
(c) \( \frac{5}{4} \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: विकल्प (c)
In simple words: \( \frac{5}{4} \) का मान 1 से अधिक (1.25) है, और प्रायिकता कभी भी 1 से अधिक नहीं हो सकती।
🎯 Exam Tip: एक भिन्न के रूप में, प्रायिकता का अंश हमेशा हर से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
Question 4. निम्न में सही सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
(a) P(E) = 1+ P(\( \overline{\boldsymbol{E}} \))
(b) P(E) + P(\( \overline{\boldsymbol{E}} \)) = 1
(c) P(E)-P(\( \overline{\boldsymbol{E}} \)) = 0
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: विकल्प (b)
In simple words: किसी घटना के होने की प्रायिकता (P(E)) और उसके न होने की प्रायिकता (P(\( \overline{\boldsymbol{E}} \))) का योग हमेशा 1 होता है।
🎯 Exam Tip: यह प्रायिकता का एक मौलिक नियम है जो बताता है कि या तो कोई घटना होगी या नहीं होगी।
Question 5. एक घटना E के लिए, यदि P(E) = \( \frac{3}{7} \) तब P(\( \overline{\boldsymbol{E}} \)) ज्ञात कीजिए।
Answer:P(\( \overline{\boldsymbol{E}} \)) = 1 - P(E)
P(\( \overline{\boldsymbol{E}} \)) = 1 - \( \frac{3}{7} \)
P(\( \overline{\boldsymbol{E}} \)) = \( \frac{7-3}{7} \)
P(\( \overline{\boldsymbol{E}} \)) = \( \frac{4}{7} \)
In simple words: यदि किसी घटना के होने की प्रायिकता दी गई है, तो उसके न होने की प्रायिकता को 1 में से होने की प्रायिकता घटाकर ज्ञात किया जा सकता है।
🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप 1 में से सही ढंग से भिन्न को घटाएं।
Question 6. ताश के पत्तों के एक पैकेट में, लाल रंग की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: लाल रंग के पत्तों की संख्या = 26
In simple words: ताश के 52 पत्तों के एक मानक डेक में, 26 पत्ते लाल रंग के होते हैं (13 दिल और 13 ईंट)।
🎯 Exam Tip: ताश के पत्तों के वितरण को याद रखना प्रायिकता के प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण है।
Question 7. एक सिक्के को 100 बार निम्न बारम्बारताओं के साथ उछाला गया है, चित् = 45, पट = 55 तब एक चित् प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:\[
\text{एक चित् प्राप्त होने की प्रायिकता} = \frac{\text{अनुकूल प्रकार}}{\text{कुल प्रकार}}
\]
\[
= \frac{45}{100}
\]
\[
= 0.45
\]
In simple words: चित् आने की प्रायिकता कुल उछालों की संख्या में से चित् आने की संख्या को विभाजित करके निकाली जाती है।
🎯 Exam Tip: प्रायिकता निकालते समय, अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या को सही ढंग से पहचानें।
Question 8. एक सिक्के को 200 बार उछाला गया है तब 79 बार चित् आता है। एक चित् की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
Answer:\[
\text{एक चित् आने की प्रायिकता} = \frac{79}{200}
\]
In simple words: यहाँ, चित् आने की प्रायिकता को चित् की संख्या को कुल उछालों की संख्या से भाग देकर प्राप्त किया गया है।
🎯 Exam Tip: दिए गए डेटा के अनुसार प्रायिकता की सीधी गणना के लिए यह एक सरल अनुप्रयोग है।
Question 9. E₁ और E2 एक घटना के केवल दो परिणाम है तथा P(E₁) = 0.32 तब P(E2) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:P(E₁) + P(E₂) = 1
0.32 + P(E₂) = 1
P(E₂) = 1 – 0.32
P(E₂) = 0.68
In simple words: चूंकि E1 और E2 एक घटना के केवल दो परिणाम हैं, उनका योग 1 होना चाहिए; इसलिए, E2 की प्रायिकता 1 में से E1 की प्रायिकता घटाकर ज्ञात की जा सकती है।
🎯 Exam Tip: जब किसी प्रयोग में केवल दो परस्पर अनन्य परिणाम होते हैं, तो उनकी प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
Question 10. एक परीक्षण में, एक सिक्के को 500 बार उछाला गया है यदि चित् 280 बार ऊपर आता है तब एक पट प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:चित् आने के प्रकार = 280
कुल उछाल = 500
पट आने के प्रकार = कुल उछाल - चित् आने के प्रकार
पट आने के प्रकार = 500 – 280 = 220
पट प्राप्त करने की प्रायिकता = \( \frac{\text{पट आने के प्रकार}}{\text{कुल उछाल}} \) = \( \frac{220}{500} \) = \( \frac{22}{50} \) = \( \frac{11}{25} \) = 0.44
In simple words: पट आने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, पहले पटों की संख्या निकालें (कुल उछालों में से चित् घटाकर) और फिर उसे कुल उछालों से भाग दें।
🎯 Exam Tip: जब दो ही संभव परिणाम हों, तो एक की संख्या ज्ञात होने पर दूसरे की संख्या आसानी से निकाली जा सकती है।
Question 11. 400 विद्यार्थियों के एक सर्वेक्षण में, 160 गणित को पसन्द करते हैं तथा अन्य इसे पसन्द नहीं करते हैं। एक विद्यार्थी के यादृच्छया चुने जाने पर गणित को पसन्द करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:\[
\text{गणित को पसन्द करने की प्रायिकता} = \frac{\text{अनुकूल प्रकार}}{\text{कुल प्रकार}}
\]
\[
= \frac{160}{400}
\]
\[
= \frac{2}{5}
\]
In simple words: गणित पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या को कुल विद्यार्थियों की संख्या से विभाजित करके गणित पसंद करने की प्रायिकता ज्ञात की जाती है।
🎯 Exam Tip: ऐसे सर्वेक्षण-आधारित प्रश्नों में, अनुकूल घटना की संख्या और कुल घटनाओं की संख्या को स्पष्ट रूप से पहचानना महत्वपूर्ण है।
Question 12. लूडो के एक खेल में एक पासे को फेंकने पर एक सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:कुल संख्या (पासे पर) = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (कुल 6 संख्याएँ)
सम संख्या = 2, 4, 6 (कुल 3 संख्याएँ)
प्रायिकता = \( \frac{3}{6} \) = \( \frac{1}{2} \)
In simple words: पासे पर सम संख्याएँ 2, 4, और 6 होती हैं; इनकी संख्या को कुल संभव परिणामों (1 से 6) से भाग देकर प्रायिकता मिलती है।
🎯 Exam Tip: पासे से संबंधित प्रश्नों में, सभी संभव परिणामों और अनुकूल परिणामों को सूचीबद्ध करना सहायक होता है।
Question 13. एक क्रिकेट मैच में, एक बल्लेबाज खेली गई 400 गेंदों में 8 बार चौका मारता है तब प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह चौका नहीं मारता है।
Answer:कुल गेंदे = 400
चौकों की संख्या = 8
चौके मारने की प्रायिकता P(E) = \( \frac{8}{400} \) = \( \frac{1}{50} \)
चौका न मारने की प्रायिकता = 1 - P(E)
= 1 - \( \frac{1}{50} \)
= \( \frac{50-1}{50} \)
= \( \frac{49}{50} \)
In simple words: चौका न मारने की प्रायिकता को 1 में से चौका मारने की प्रायिकता घटाकर प्राप्त किया जाता है।
🎯 Exam Tip: "न होने" की प्रायिकता की गणना के लिए पूरक घटना के नियम (P(A') = 1 - P(A)) का प्रयोग करें।
Question 14. एक पासे को 1000 बार फेंका गया है तथा प्राप्त आंकड़ों को निम्न प्रकार लिख लिया गया है
| परिणाम | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | 180 | 150 | 160 | 170 | 150 | 190 |
Answer:5 आने के अनुकूल प्रकार = 150 पासे को फेंकने पर कुल प्रकार = 1000 \[ \text{संख्या 5 को दिखाने की प्रायिकता} = \frac{\text{अनुकूल प्रकार}}{\text{कुल प्रकार}} \] \[ = \frac{150}{1000} \] \[ = \frac{3}{20} \]
In simple words: 5 आने की प्रायिकता को 5 के आने की बारंबारता को कुल परीक्षणों की संख्या से भाग देकर ज्ञात किया जाता है।
🎯 Exam Tip: प्रायिकता की गणना करते समय, दी गई बारंबारता तालिका से सही संख्यात्मक मानों का उपयोग करें।
Exercise 21.1. Probability लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)
Question 15. एक सिक्के को 150 बार उछाला जाता है तथा परिणाम लिख लिये जाते हैं। परिणामों का बारम्बारता बंटन नीचे दिया गया है-
| परिणाम | H | T |
|---|---|---|
| बारंबारता | 85 | 65 |
Answer:कुल उछालों की संख्या = 150 चित प्राप्त होने की संख्या = 85 एक अकेले परीक्षण में एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता P(E) = \( \frac{85}{150} \) = 0.56 (लगभग)
In simple words: चित प्राप्त होने की प्रायिकता को चित की बारंबारता को कुल उछालों की संख्या से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप दशमलव मान को सही ढंग से दो स्थानों तक पूर्णांकित करें यदि आवश्यक हो।
Question 16. दो सिक्के एक साथ 500 बार उछाले गये हैं तथा निम्न परिणाम प्राप्त किए गए हैं।
| परिणाम | 2 चित् | 1 चित् | कोई चित् नहीं |
|---|---|---|---|
| बारंबारता | 105 | 275 | 12 |
Answer:कुल उछालों की संख्या = 500 2 चित् आने की प्रायिकता = \( \frac{105}{500} \) = 0.21 1 चित् आने की प्रायिकता = \( \frac{275}{500} \) = 0.55 कोई चित् नहीं आने की प्रायिकता = \( \frac{12}{500} \) = 0.024
In simple words: प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता उस परिणाम की बारंबारता को कुल परीक्षणों की संख्या से विभाजित करके निकाली जाती है।
🎯 Exam Tip: गणना के बाद, आप अपनी प्रायिकताओं को जोड़कर देख सकते हैं कि क्या वे 1 के करीब आती हैं, यह एक त्वरित जांच है।
Question 17. एक समूह में से 80 बल्बों को यादृच्छया चुना गया है तथा उनका जीवन समय (घंटों में) नीचे दी गई बारम्बारता सारणी के रूप में लिख लिया गया है|
| जीवन आयु (घंटो में) | 300 | 500 | 700 | 900 | 1100 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | 10 | 12 | 23 | 25 | 10 |
Answer:कुल बल्बों की संख्या = 80 1150 घण्टे जीवन वाले बल्बों की संख्या = 0 (तालिका में 1150 घंटे का कोई वर्ग नहीं है) प्रायिकता = \( \frac{0}{80} \) = 0
In simple words: चूंकि 1150 घंटे जीवनकाल वाला कोई बल्ब नहीं पाया गया, इसलिए ऐसे बल्ब के चुने जाने की प्रायिकता 0 है।
🎯 Exam Tip: यदि कोई घटना संभव नहीं है (या उसकी बारंबारता 0 है), तो उसकी प्रायिकता 0 होती है।
Question 18. एक मौसम केन्द्र के रिकॉर्ड को देखने से पता चलता है कि पिछले 250 क्रमागत दिनों में दिए गए मौसम पूर्वानुमानों में से 175 बार उसके पूर्वानुमान सही रहे हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक दिए गए दिन पर पूर्वानुमान (i) सही था (ii) सही नहीं था।
Answer:कुल दिनों की संख्या = 250
सही पूर्वानुमानों की संख्या = 175
गलत पूर्वानुमानों की संख्या = 250 - 175 = 75
(i) P(एक दिए गये दिन पर पूर्वानुमान सही था) = \( \frac{n(E)}{n(J)} \) = \( \frac{175}{250} \) = \( \frac{7}{10} \) = 0.7
(ii) P(एक दिए गये दिन पर पूर्वानुमान सही नहीं था) = \( \frac{n(E)}{n(J)} \) = \( \frac{75}{250} \) = \( \frac{3}{10} \) = 0.3
In simple words: सही पूर्वानुमान की प्रायिकता सही पूर्वानुमानों की संख्या को कुल दिनों से भाग देकर मिलती है, और गलत पूर्वानुमान की प्रायिकता गलत पूर्वानुमानों की संख्या को कुल दिनों से भाग देकर मिलती है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप पूरक घटनाओं का उपयोग करके या सीधे गणना करके सही और गलत दोनों पूर्वानुमानों के लिए प्रायिकता की गणना करते हैं।
Question 19. एक पासे को 100 बार फेंका गया है यदि एक सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता \( \frac{2}{5} \) है। एक विषम संख्या कितनी बार प्राप्त होगी?
Answer:कुल परीक्षण = 100
सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \( \frac{2}{5} \)
विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = 1 - \( \frac{2}{5} \) = \( \frac{3}{5} \)
विषम संख्या प्राप्त होने के प्रकार = प्रायिकता \( \times \) कुल परीक्षण = \( \frac{3}{5} \times 100 \) = 60
In simple words: विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता को 1 में से सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता घटाकर निकाला जाता है, और फिर इस प्रायिकता को कुल परीक्षणों से गुणा करके विषम संख्या की बारंबारता ज्ञात की जाती है।
🎯 Exam Tip: यदि किसी घटना की प्रायिकता और परीक्षणों की कुल संख्या दी गई है, तो घटना की बारंबारता की गणना की जा सकती है।
Exercise 21.1. Probability दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)
Question 20. एक थैले में 4 सफेद गेंद तथा अन्य लाल गेंदे हैं यदि थैले से एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता \( \frac{2}{5} \) है। थैले में लाल गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:सफेद गेंद = 4
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता = \( \frac{2}{5} \)
माना कुल गेंदे = x
तब, \( \frac{4}{x} \) = \( \frac{2}{5} \)
\( 2x = 4 \times 5 \)
\( 2x = 20 \)
\( x = 10 \)
कुल गेंदे = 10
लाल गेंदों की संख्या = कुल गेंदे - सफेद गेंद = 10 – 4 = 6 गेंदे
In simple words: सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता का उपयोग करके थैले में कुल गेंदों की संख्या ज्ञात की जाती है, और फिर कुल गेंदों में से सफेद गेंदों की संख्या घटाकर लाल गेंदों की संख्या निकाली जाती है।
🎯 Exam Tip: प्रायिकता के सूत्र (अनुकूल परिणाम/कुल परिणाम) का उपयोग करके अज्ञात चर (कुल गेंदों की संख्या) को हल किया जा सकता है।
Question 21. मासिक इकाई परीक्षा में, एक विद्यार्थी द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत नीचे दिया गया है-
| इकाई परीक्षा | I | II | III | IV | V |
|---|---|---|---|---|---|
| प्राप्तांकों का प्रतिशत | 69 | 71 | 73 | 68 | 76 |
Answer:कुल परीक्षाओं की संख्या = 5 (i) 70% से अधिक अंक (71%, 73%, 76%) = 3 बार 70% से अधिक अंक आने की प्रायिकता P(E) = \( \frac{3}{5} \) = 0.6 (ii) 70% से कम अंक (69%, 68%) = 2 बार 70% से कम अंक आने की प्रायिकता P(E) = \( \frac{2}{5} \) = 0.4 (iii) 75% से अधिक अंक (76%) = 1 बार 75% से अधिक अंक आने की प्रायिकता P(E) = \( \frac{1}{5} \) = 0.2
In simple words: प्रत्येक शर्त के लिए प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, उस शर्त को पूरा करने वाले अंकों की संख्या को कुल परीक्षाओं की संख्या से विभाजित किया जाता है।
🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, प्रत्येक श्रेणी के अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करने के लिए डेटा को ध्यान से देखें।
Question 22. निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैम्पों के जीवन समय को दर्शाती है-
| जीवन समय (घंटों में) | 300-400 | 400-500 | 500-600 | 600-700 | 700-800 | 800-900 | 900-1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| लैम्पों की संख्या | 14 | 56 | 60 | 86 | 74 | 62 | 48 |
Answer:कुल लैम्पों की संख्या = 400 (i) 400 से कम जीवन काल दर्शाने वाले बल्बों की संख्या (300-400) = 14 प्रायिकता = \( \frac{14}{400} \) = \( \frac{7}{200} \) (ii) 300 से 800 घंटों के बीच का जीवन काल दर्शाने वाले बल्बों की संख्या = 14+56+60+86+74 = 290 प्रायिकता = \( \frac{290}{400} \) = \( \frac{29}{40} \) (iii) कम-से-कम 700 घंटे जीवन काल दर्शाने वाले बल्बों की संख्या = 700-800 + 800-900 + 900-1000 = 74+62+48 = 184 यह गणना गलत है, कम से कम 700 घंटे का अर्थ है 700 घंटे या उससे अधिक। कम से कम 700 घंटे जीवन काल दर्शाने वाले बल्बों की संख्या = 700-800 + 800-900 + 900-1000 = 74 + 62 + 48 = 184. दिया गया हल: 86+74+62+48 = 270. (यह 600-700 घंटे से ऊपर के सभी लैंपों को जोड़ता है) यदि "कम से कम 700 घंटे" का अर्थ 700 घंटे से अधिक या बराबर है: अनुकूल परिणाम = 74 (700-800) + 62 (800-900) + 48 (900-1000) = 184 प्रायिकता = \( \frac{184}{400} \) = \( \frac{23}{50} \) = 0.46 यदि "कम से कम 700 घंटे" का अर्थ 700 घंटे से अधिक या बराबर है और इसमें 600-700 भी शामिल है (जैसा कि समाधान में दिखाया गया है, जो 600-700, 700-800, 800-900, 900-1000 को जोड़ता है): अनुकूल परिणाम = 86 (600-700) + 74 (700-800) + 62 (800-900) + 48 (900-1000) = 270 प्रायिकता = \( \frac{270}{400} \) = \( \frac{27}{40} \)
In simple words: विभिन्न जीवनकालों के लिए बल्बों की प्रायिकता को प्रत्येक श्रेणी में बल्बों की संख्या को कुल बल्बों की संख्या से भाग देकर ज्ञात किया जाता है।
🎯 Exam Tip: "कम से कम" जैसे वाक्यांशों की व्याख्या करते समय सावधान रहें, क्योंकि यह समावेशी होता है और उचित श्रेणियों को जोड़ना चाहिए।
Question 23. बीजों के 5 थैलों में से प्रत्येक थैले से पचास बीज यादृच्छया चुनकर उन्हें ऐसी मानकीकृत अवस्थाओं में रखा गया जो अंकुरण के अनुकूल है। 20 दिन बाद प्रत्येक संग्रह में अंकुरित हुए बीजों की संख्या गिन कर नीचे दर्शाये अनुसार एक सारणी में लिखी गई है-
| थैले | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| अंकुरित बीजों की संख्या | 40 | 48 | 42 | 39 | 41 |
Answer:कुल थैले = 5 (i) एक थैले में 40 से अधिक बीज (48, 42, 41) वाले थैले = 3 प्रायिकता = \( \frac{3}{5} \) = 0.6 (ii) एक थैले में 49 बीज वाले थैले = 0 प्रायिकता = \( \frac{0}{5} \) = 0 (iii) एक थैले में, 35 से अधिक बीज (40, 48, 42, 39, 41) वाले थैले = 5 प्रायिकता = \( \frac{5}{5} \) = 1
In simple words: प्रत्येक शर्त के लिए, अनुकूल थैलों की संख्या को कुल थैलों की संख्या से विभाजित करके अंकुरण की प्रायिकता ज्ञात की जाती है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप डेटा तालिका से प्रत्येक शर्त को पूरा करने वाले थैलों की संख्या की सटीक गणना करते हैं।
Question 24. एक फैक्ट्री के 30 मजदूरों की आय (र में) का बारम्बारता बंटन नीचे दिया गया है-
| आय (Rs. में) | 110-130 | 130-150 | 150-170 | 170-190 | 190-210 | 210-230 | 230-250 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| मजदूरों की संख्या | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 |
Answer:कुल मजदूरों की संख्या = 30 (i) Rs. 150 से कम आय वाले मजदूर (110-130, 130-150) = 3 + 4 = 7 प्रायिकता = \( \frac{7}{30} \) (ii) Rs. 210 से कम आय वाले मजदूर (110-130, 130-150, 150-170, 170-190, 190-210) = 3 + 4 + 5 + 6 + 5 = 23 प्रायिकता = \( \frac{23}{30} \) (iii) Rs. 150 के बराबर या अधिक किन्तु Rs. 210 से कम आय वाले मजदूर (150-170, 170-190, 190-210) = 5 + 6 + 5 = 16 प्रायिकता = \( \frac{16}{30} \) = \( \frac{8}{15} \)
In simple words: प्रत्येक आय वर्ग के लिए प्रायिकता उस वर्ग में मजदूरों की संख्या को कुल मजदूरों की संख्या से विभाजित करके ज्ञात की जाती है, ध्यान रहे कि "कम से कम" और "के बराबर या अधिक किन्तु कम" जैसी शर्तों के अनुसार सही वर्गों को जोड़ा जाए।
🎯 Exam Tip: अंतराल आधारित डेटा के लिए, ऊपरी और निचली सीमाओं पर ध्यान दें ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि आप प्रत्येक शर्त के लिए सही मजदूरों की संख्या को शामिल कर रहे हैं।
Exercise 21.1. Probability बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)
Question 1. एक सिक्के को 200 बार उछालने पर, 112 बार चित् तथा 88 बार पट प्राप्त हुए एक सिक्के की एक उछाल में एक पट प्राप्त होने की प्रायिकता है-
(a) 10/25
(b) 11/25
(c) 14/25
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) 11/25
In simple words: पट आने की प्रायिकता पटों की संख्या (88) को कुल उछालों की संख्या (200) से भाग देकर निकाली जाती है, जिसे सरल करने पर \( \frac{11}{25} \) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप परिणामों को उनके सरलतम भिन्न रूप में व्यक्त करते हैं।
Question 2. एक सिक्के की 50 उछालों में, 32 बार पट आता है यदि एक सिक्का यादृच्छया उछाला जाता है तो एक चित् प्राप्त होने की प्रायिकता है-
(a) \( \frac{9}{25} \)
(b) \( \frac{10}{25} \)
(c) \( \frac{11}{25} \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) \( \frac{9}{25} \)
In simple words: कुल उछालों (50) में से पटों की संख्या (32) घटाकर चित्तों की संख्या (18) ज्ञात की जाती है, फिर चित्तों की संख्या को कुल उछालों से भाग देकर चित्त आने की प्रायिकता \( \frac{18}{50} \) या \( \frac{9}{25} \) प्राप्त होती है।
🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि प्रश्न में 'चित्त' की प्रायिकता पूछी गई है, न कि 'पट' की।
Question 3. एक सिक्का 100 बार उछाला जाता है तब एक चित् के प्राप्त होने की प्रायिकता है-
(a) \( \frac{41}{100} \)
(b) \( \frac{57}{100} \)
(c) \( \frac{43}{100} \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) \( \frac{43}{100} \)
In simple words: यदि कुल उछालें 100 हैं और 57 बार पट आता है, तो चित्त 100-57=43 बार आता है, इसलिए चित्त आने की प्रायिकता \( \frac{43}{100} \) है।
🎯 Exam Tip: उपलब्ध जानकारी (जैसे 'पट' की संख्या) का उपयोग करके 'चित्त' की संख्या की गणना करना सीखें।
Question 4. दो सिक्के 1000 बार उछाले गये हैं तथा परिणाम निम्न प्रकार लिखे गये हैं-
| चितों की संख्या | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|
| बारंबारता | 266 | 540 | 194 |
(a) \( \frac{367}{500} \)
(b) \( \frac{97}{500} \)
(c) \( \frac{403}{500} \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) \( \frac{367}{500} \)
In simple words: अधिक से अधिक एक चित्त प्राप्त होने का अर्थ है कि या तो एक चित्त आए या कोई चित्त न आए। इन दोनों की बारंबारताओं को जोड़कर (540 + 194 = 734) कुल उछालों (1000) से भाग देने पर प्रायिकता \( \frac{734}{1000} \) या \( \frac{367}{500} \) प्राप्त होती है।
🎯 Exam Tip: "अधिक से अधिक" या "कम से कम" जैसी शब्दावली को ध्यान से समझें क्योंकि वे एक से अधिक परिणामों को शामिल कर सकते हैं।
Question 5. 60 व्यक्तियों के एक समूह में, 35 कॉफी पसन्द करते हैं। इस समूह से यदि एक व्यक्ति यादृच्छया चुना गया तब उसके कॉफी न पसन्द करने की प्रायिकता है-
(a) \( \frac{3}{12} \)
(b) \( \frac{5}{12} \)
(c) \( \frac{7}{12} \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) \( \frac{5}{12} \)
In simple words: कुल व्यक्तियों (60) में से कॉफी पसंद करने वालों (35) को घटाकर कॉफी पसंद न करने वाले व्यक्तियों की संख्या (25) ज्ञात की जाती है, फिर इस संख्या को कुल व्यक्तियों से भाग देकर प्रायिकता \( \frac{25}{60} \) या \( \frac{5}{12} \) प्राप्त होती है।
🎯 Exam Tip: सीधे 'न पसन्द' करने वालों की संख्या की गणना करें या 'पसन्द' करने वालों की प्रायिकता को 1 में से घटा दें।
Question 6. यदि एक खेल को जीतने की प्रायिकता 0.8 है, तब खेल को हारने की प्रायिकता है-
(a) 1
(b) 0
(c) 0.2
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) 0.2
In simple words: हारने की प्रायिकता 1 में से जीतने की प्रायिकता (0.8) को घटाकर (1 - 0.8 = 0.2) ज्ञात की जाती है।
🎯 Exam Tip: पूरक घटनाओं का नियम (P(हार) = 1 - P(जीत)) ऐसे प्रश्नों को हल करने का सबसे सीधा तरीका है।
Question 7. एक पासे की 65 उछालों में, निम्न परिणाम लिखे गये हैं-
| परिणाम | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारो की संख्या | 8 | 10 | 12 | 16 | 9 | 10 |
(a) \( \frac{31}{65} \)
(b) \( \frac{33}{65} \)
(c) \( \frac{3}{65} \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) \( \frac{31}{65} \)
In simple words: अभाज्य संख्याएँ (2, 3, 5) प्राप्त होने की बारंबारताओं (10, 12, 9) को जोड़कर (10 + 12 + 9 = 31) और इसे कुल उछालों (65) से भाग देकर अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता \( \frac{31}{65} \) प्राप्त होती है।
🎯 Exam Tip: अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5) को सही ढंग से पहचानें और उनकी संबंधित बारंबारताओं को जोड़ें।
Question 8. एक सिक्के को 60 बार उछालने पर, 35 बार पट् आया है। एक चित् प्राप्त होने की प्रायिकता है-
(a) \( \frac{5}{12} \)
(b) \( \frac{7}{12} \)
(c) \( \frac{5}{12} \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) \( \frac{5}{12} \)
In simple words: चित्त आने की संख्या कुल उछालों (60) में से पटों की संख्या (35) घटाकर (60 - 35 = 25) ज्ञात की जाती है, फिर चित्त आने की प्रायिकता \( \frac{25}{60} \) या \( \frac{5}{12} \) प्राप्त होती है।
🎯 Exam Tip: यादृच्छिक प्रयोगों में कुल परिणामों में से एक घटना के परिणामों को घटाकर दूसरी घटना के परिणामों को आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।
Exercise 21.1. Probability स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)
Question 1. जैसे सिक्के को उछालने की संख्या बढ़ती है, तब चित् एवं पट् का अनुपात \( \frac{1}{2} \)- है। क्या ये सत्य है? यदि नहीं, तो सत्य मान लिखिये।
Answer:यह कथन असत्य है।
सत्य मान: जैसे सिक्के को उछालने की संख्या बढ़ती है, तब चित् एवं पट् का अनुपात 1-1 के करीब आता है, अर्थात प्रत्येक की प्रायिकता \( \frac{1}{2} \) होती है।
In simple words: सिक्के को जितनी अधिक बार उछाला जाता है, चित्त और पट आने की प्रायिकता 0.5 (या अनुपात 1:1) के करीब आती है, न कि 1/2 का अनुपात स्वयं (जो 1:2 या 2:1 के अर्थ में भ्रमित कर सकता है)।
🎯 Exam Tip: बड़ी संख्या के नियम को याद रखें, जो बताता है कि परीक्षणों की संख्या बढ़ने पर प्रायिकताएँ सैद्धांतिक मानों के करीब आती हैं।
Question 2. सांख्यिकी विषय के बारे में विद्यार्थियों के विचार जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का एक सर्वेक्षण किया गया तथा प्राप्त आंकड़े निम्न सारणी में लिखे गये हैं-
| विचार | विद्यार्थियों की संख्या |
|---|---|
| पसन्द | 135 |
| पसन्द नही | 65 |
Answer:कुल विद्यार्थियों की संख्या = 135 + 65 = 200 (i) सांख्यिकी को पसन्द करने वाले विद्यार्थी की प्रायिकता = \( \frac{135}{200} \) = \( \frac{27}{40} \) (ii) सांख्यिकी को पसन्द नहीं करने वाले विद्यार्थी की प्रायिकता = \( \frac{65}{200} \) = \( \frac{13}{40} \)
In simple words: प्रत्येक श्रेणी (पसंद या नापसंद) की प्रायिकता उस श्रेणी में विद्यार्थियों की संख्या को कुल विद्यार्थियों की संख्या से विभाजित करके ज्ञात की जाती है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप अपने भिन्नों को सरलतम रूप में व्यक्त करें।
Question 3. निम्न सारणी से
| अंक | 0-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70 से अधिक | कुल |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थियों की संख्या | 7 | 10 | 10 | 20 | 20 | 15 | 8 | 90 |
Answer:कुल विद्यार्थियों की संख्या = 90 (i) 20% से कम अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थी (0-20 वर्ग) = 7 प्रायिकता = \( \frac{7}{90} \) (ii) 60 या 60 से अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थी (60-70 और 70 से अधिक वर्ग) = 15 + 8 = 23 प्रायिकता = \( \frac{23}{90} \)
In simple words: प्रत्येक शर्त के लिए, अनुकूल विद्यार्थियों की संख्या को कुल विद्यार्थियों की संख्या से विभाजित करके प्रायिकता ज्ञात की जाती है, जिसमें "60 या से अधिक" के लिए कई श्रेणियों को जोड़ा जाता है।
🎯 Exam Tip: वर्गीकृत डेटा से प्रायिकता ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप प्रश्न में उल्लिखित सटीक श्रेणी या श्रेणियों के योग को लेते हैं।
Question 4. एक वयस्त सड़क पर एक निश्चित समय अन्तराल में गुजरने वाली 60 कारों में बैठे व्यक्तियों की संख्या निम्न तालिका में दी गयी है-
| कार में बैठे व्यक्तियों की संख्या | बारंबारता |
|---|---|
| 1 | 22 |
| 2 | 16 |
| 3 | 12 |
| 4 | 6 |
| 5 | 4 |
Answer:कुल कारें = 60 (i) कार में केवल 2 व्यक्ति बैठे हों, इसकी बारंबारता = 16 प्रायिकता = \( \frac{16}{60} \) = \( \frac{4}{15} \) = 0.267 (लगभग) (ii) कार में 3 से कम व्यक्ति बैठे हों (अर्थात् 1 या 2 व्यक्ति) = 22 + 16 = 38 प्रायिकता = \( \frac{38}{60} \) = \( \frac{19}{30} \) = 0.63 (लगभग) (iii) दो से अधिक व्यक्ति बैठे हों (अर्थात् 3, 4, या 5 व्यक्ति) = 12 + 6 + 4 = 22 प्रायिकता = \( \frac{22}{60} \) = \( \frac{11}{30} \) = 0.367 (लगभग)
In simple words: प्रत्येक स्थिति के लिए, अनुकूल बारंबारता को कुल कारों की संख्या से विभाजित करके प्रायिकता ज्ञात की जाती है, जिसमें "कम से कम" या "दो से अधिक" जैसी शर्तों के लिए सही बारंबारताओं को जोड़ा जाता है।
🎯 Exam Tip: "केवल", "कम से कम", और "से अधिक" जैसे कीवर्ड का सही ढंग से अर्थ निकालें ताकि डेटा तालिका से सही बारंबारताओं का योग हो सके।
Question 5. 60 विद्यार्थियों के घर से स्कूल की दूरी निम्न तालिका में दी गयी है।
| घर से सन्निकट दूरी | विद्यार्थियों की संख्या |
|---|---|
| 7 से कम | 35 |
| 7 से अधिक 10 से कम | 20 |
| 10 से अधिक | 5 |
Answer:कुल विद्यार्थियों की संख्या = 35 + 20 + 5 = 60 (i) 7 किमी से कम दूरी पर रहने की प्रायिकता = \( \frac{35}{60} \) = \( \frac{7}{12} \) = 0.583 (लगभग) (ii) 7 किमी से अधिक परन्तु 10 किमी से कम दूरी पर रहने की प्रायिकता = \( \frac{20}{60} \) = \( \frac{1}{3} \) = 0.333 (लगभग) (iii) 10 किमी से अधिक दूरी पर रहने की प्रायिकता = \( \frac{5}{60} \) = \( \frac{1}{12} \) = 0.083 (लगभग)
In simple words: प्रत्येक दूरी श्रेणी के लिए, प्रायिकता उस श्रेणी में विद्यार्थियों की संख्या को कुल विद्यार्थियों की संख्या से विभाजित करके ज्ञात की जाती है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप प्रत्येक दूरी श्रेणी के लिए सटीक संख्या का चयन करते हैं और अपने परिणामों को सरलतम भिन्न या दशमलव में व्यक्त करते हैं।
Question 6. दो पासों को 500 बार उछाला जाता है प्रत्येक बार उसके ऊपर वाले सिरों पर आने वाली संख्याओं का योग निम्न प्रकार है।
| योग | बारंबारता |
|---|---|
| 2 | 14 |
| 3 | 30 |
| 4 | 42 |
| 5 | 55 |
| 6 | 72 |
| 7 | 75 |
| 8 | 70 |
| 9 | 53 |
| 10 | 46 |
| 11 | 28 |
| 12 | 15 |
Answer:कुल उछाल = 500 (i) योग 3 प्राप्त हो इसकी प्रायिकता = \( \frac{30}{500} \) = \( \frac{3}{50} \) = 0.06 (ii) योग 10 से अधिक होने पर (अर्थात् 11 या 12) = 28 + 15 = 43 प्रायिकता = \( \frac{43}{500} \) = 0.086 (iii) \( \le \) 5 प्राप्त होने पर (अर्थात् 2, 3, 4, या 5) = 14 + 30 + 42 + 55 = 141 प्रायिकता = \( \frac{141}{500} \) = 0.282 (iv) 8 व 12 के बीच होने पर (अर्थात् 9, 10, 11) = 53 + 46 + 28 = 127 प्रायिकता = \( \frac{127}{500} \) = 0.254
In simple words: प्रत्येक शर्त के लिए, अनुकूल योगों की बारंबारता को कुल उछालों की संख्या से विभाजित करके प्रायिकता ज्ञात की जाती है, जिसमें "से अधिक", "से कम या बराबर", और "के बीच" जैसी शर्तों के लिए सही बारंबारताओं का योग किया जाता है।
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि सभी सही बारंबारताएँ शामिल हैं, "से अधिक", "से कम", और "के बीच" जैसे प्रायिकता वाक्यांशों की सावधानीपूर्वक व्याख्या करें।
Question 7. पिछले 200 कार्य दिवसों पर एक मशीन द्वारा प्रदत्त त्रुटि वाले उपकरणों की संख्या निम्न है।
| त्रुटि पूर्ण उपकरण | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| दिन | 50 | 32 | 22 | 18 | 12 | 12 | 10 | 10 | 10 | 8 | 6 | 6 | 2 | 2 |
Answer:कुल कार्य दिवस = 200 (i) कोई त्रुटिपूर्ण उपकरण न हो (0 त्रुटिपूर्ण उपकरण) की बारंबारता = 50 इसकी प्रायिकता = \( \frac{50}{200} \) = 0.25 (ii) कम से कम एक त्रुटिपूर्ण उपकरण हो (अर्थात् 1 या अधिक) की बारंबारता = 200 - 50 = 150 या 32+22+18+12+12+10+10+10+8+6+6+2+2 = 150 इसकी प्रायिकता = \( \frac{150}{200} \) = 0.75 (iii) 5 से अधिक त्रुटिपूर्ण उपकरण न हो (अर्थात् 0 से 5 त्रुटिपूर्ण उपकरण) की बारंबारता = 50+32+22+18+12+12 = 146 इसकी प्रायिकता = \( \frac{146}{200} \) = 0.73
In simple words: प्रत्येक शर्त के लिए, अनुकूल त्रुटिपूर्ण उपकरणों की संख्या की बारंबारता को कुल कार्य दिवसों की संख्या से विभाजित करके प्रायिकता ज्ञात की जाती है, जिसमें "कम से कम" या "से अधिक न हो" जैसी शर्तों के लिए सही बारंबारताओं का योग किया जाता है।
🎯 Exam Tip: "कोई नहीं", "कम से कम", और "से अधिक न हो" जैसे वाक्यांशों के अर्थ को स्पष्ट रूप से समझें ताकि डेटा से सही मानों का चयन किया जा सके।
Question 8. एक सर्वे में एक फैक्टरी में मजदूरों की आयु निम्न प्रकार प्राप्त हुई है।
| आयु (वर्षो में) | 20-29 | 30-39 | 40-49 | 50-59 | 60 व उससे अधिक |
|---|---|---|---|---|---|
| मजदूरों की संख्या | 38 | 27 | 86 | 46 | 3 |
Answer:कुल मजदूरों की संख्या = 38+27+86+46+3 = 200 (i) 40 वर्ष या उससे अधिक आयु वाले मजदूर (40-49, 50-59, 60 व उससे अधिक) = 86+46+3 = 135 प्रायिकता P(E) = \( \frac{135}{200} \) = 0.675 (ii) 40 वर्ष से कम आयु वाले मजदूर (20-29, 30-39) = 38+27 = 65 प्रायिकता = \( \frac{65}{200} \) = 0.325 (iii) 30 वर्ष से 39 के बीच आयु के मजदूर = 27 प्रायिकता = \( \frac{27}{200} \) = 0.135 (iv) 39 से अधिक परन्तु 60 से कम आयु के मजदूर (40-49, 50-59) = 86+46 = 132 प्रायिकता = \( \frac{132}{200} \) = 0.66
In simple words: प्रत्येक आयु समूह के लिए प्रायिकता उस समूह में मजदूरों की संख्या को कुल मजदूरों की संख्या से विभाजित करके ज्ञात की जाती है, विभिन्न शर्तों जैसे "या उससे अधिक" या "के बीच" के अनुसार अनुकूल समूहों को जोड़ते हुए।
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप सही आयु समूहों को शामिल कर रहे हैं, आयु श्रेणियों की सीमाओं और समावेशी/अनन्य शर्तों पर विशेष ध्यान दें।
Question 9. दो सिक्कों को 500 बार उछाला जाता है तथा निम्न परिणाम प्राप्त किये जाते हैं। दो चित् : 95 बार एक पट : 290 बार कोई चित् नही : 115 बार इनमें प्रत्येक घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer:कुल उछालों की संख्या = 500
(i) दो चित् आने की बारंबारता = 95
P(E) = \( \frac{95}{500} \) = 0.19
(ii) एक पट आने की बारंबारता (जो कि 1 चित् के बराबर है) = 290
P(E) = \( \frac{290}{500} \) = 0.58
(iii) कोई चित् नहीं आने की बारंबारता = 115
P(E) = \( \frac{115}{500} \) = 0.23
In simple words: प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता उस परिणाम की बारंबारता को कुल उछालों की संख्या से विभाजित करके निकाली जाती है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप परिणामों की प्रायिकताओं को उनके सरलतम रूप में व्यक्त करें या दशमलव मान दें जैसा कि आवश्यक हो।
Question 10. गेहूं के 11 बैग, जिनमें प्रत्येक पर 5 किग्रा गेहूँ होने के बारे में लिखा है, में वास्तव में निम्न भार पाये गये- 4.97, 5.05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00 प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इनमें से यादृच्छया तीन बैग निकालने पर उनमें 5 किग्रा से ज्यादा गेहूँ हो ।
Answer:गेहूं के कुल बैग = 11
5 किग्रा से ज्यादा गेंहूँ वाले बैग की संख्या (5.05, 5.08, 5.03, 5.06, 5.08, 5.04, 5.07) = 7
प्रायिकता P(E) = \( \frac{n(E)}{n(S)} \) = \( \frac{7}{11} \)
In simple words: 5 किग्रा से अधिक वजन वाले बैगों की संख्या को कुल बैगों की संख्या से विभाजित करके, 5 किग्रा से अधिक वजन वाले बैगों के चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात की जाती है।
🎯 Exam Tip: डेटा सेट को ध्यान से पढ़ें और सुनिश्चित करें कि आप '5 किग्रा से ज्यादा' की शर्त को पूरा करने वाले सभी मानों को सही ढंग से गिनें।
Question 11. टेलीफोन डायरेक्ट्री के एक पन्ने पर 200 टेलीफोन नम्बर लिखे हैं उनमें से इकाई स्थान के अंक की बारम्बारता निम्न तालिका में दी गयी है।
| अंक | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | 22 | 26 | 22 | 22 | 20 | 10 | 14 | 28 | 16 | 20 |
Answer:कुल टेलीफोन नंबर = 200 (i) इकाई स्थान पर संख्या 6 आये, इसकी बारंबारता = 14 प्रायिकता = \( \frac{14}{200} \) = \( \frac{7}{100} \) = 0.07 (ii) 3 का गुणक (अशून्य) है (अर्थात् 3, 6, 9) की बारंबारता = 22 + 14 + 20 = 56 प्रायिकता = \( \frac{56}{200} \) = \( \frac{7}{25} \) = 0.28 (iii) एक अशून्य सम संख्या है (अर्थात् 2, 4, 6, 8) की बारंबारता = 22 + 20 + 14 + 16 = 72 प्रायिकता = \( \frac{72}{200} \) = \( \frac{9}{25} \) = 0.36 (iv) एक विषम संख्या है (अर्थात् 1, 3, 5, 7, 9) की बारंबारता = 26 + 22 + 10 + 28 + 20 = 106 प्रायिकता P(E) = \( \frac{106}{200} \) = \( \frac{53}{100} \) = 0.53
In simple words: प्रत्येक शर्त के लिए, अनुकूल अंक की बारंबारता (या बारंबारताओं का योग) को कुल टेलीफोन नंबरों की संख्या से विभाजित करके प्रायिकता ज्ञात की जाती है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप '3 के गुणक' या 'सम संख्या' जैसी शर्तों के लिए सही अंकों और उनकी संबंधित बारंबारताओं का चयन करते हैं।
Question 12. दो सिक्को को 1000 बार उछालने पर परिणामों की बारंबारता निम्न प्राप्त होगी।
| परिणाम | 2 चित् | 1 चित् | कोई चित् नहीं |
|---|---|---|---|
| बारंबारता | 350 | 310 | 340 |
Answer:कुल उछाल = 1000 (i) कम से कम एक चित् आये (अर्थात् 1 चित् या 2 चित्) की बारंबारता = 310 + 350 = 660 इसकी प्रायिकता = \( \frac{660}{1000} \) = 0.66 (ii) अधिक से अधिक एक चित् आये (अर्थात् 0 चित् या 1 चित्) की बारंबारता = 340 + 310 = 650 इसकी प्रायिकता = \( \frac{650}{1000} \) = 0.65
In simple words: प्रत्येक शर्त के लिए, अनुकूल परिणामों की बारंबारता को कुल उछालों की संख्या से विभाजित करके प्रायिकता ज्ञात की जाती है, जिसमें "कम से कम" और "अधिक से अधिक" जैसी शर्तों के लिए सही बारंबारताओं को जोड़ा जाता है।
🎯 Exam Tip: "कम से कम" का अर्थ है उस मान से बराबर या अधिक, जबकि "अधिक से अधिक" का अर्थ है उस मान से बराबर या कम। इन शर्तों को सही ढंग से समझें।
Question 13. निम्न तालिका में कक्षा IX के 39 विद्यार्थियों के जन्म माह को दर्शाती है।
| जनवरी | फरवरी | मार्च | अप्रैल | मई | जून | जुलाई | अगस्त | सितम्बर | अक्टूबर | नवम्बर | दिसम्बर |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 2 | 2 | 5 | 1 | 2 | 5 | 3 | 4 | 4 | 4 |
Answer:कुल विद्यार्थियों की संख्या = 39 अगस्त माह में पैदा होने वाले विद्यार्थी की संख्या = 5 प्रायिकता P(E) = \( \frac{5}{39} \)
In simple words: अगस्त में पैदा होने वाले विद्यार्थियों की संख्या को कुल विद्यार्थियों की संख्या से विभाजित करके प्रायिकता ज्ञात की जाती है।
🎯 Exam Tip: तालिका से सही डेटा बिंदु को सीधे चुनें और इसे कुल परिणामों की संख्या से विभाजित करें।
Question 14. मासिक यूनिट टैस्ट में एक विद्यार्थी द्वारा प्राप्त अंकों का विवरण निम्न है।
| यूनिट टेस्ट | I | II | III | IV | V |
|---|---|---|---|---|---|
| अंकों की प्रतिशतता | 58 | 64 | 76 | 62 | 85 |
Answer:कुल यूनिट टेस्ट = 5 (i) कम से कम 60% अंक प्राप्त किये हों (अर्थात् 60% या उससे अधिक): 64, 76, 62, 85 - संख्या = 4 इसकी प्रायिकता = \( \frac{4}{5} \) = 0.8 (ii) 70% व 80% के बीच अंक प्राप्त किये हों (अर्थात् 70% से अधिक और 80% से कम): 76 - संख्या = 1 इसकी प्रायिकता = \( \frac{1}{5} \) = 0.2 (iii) 75% व उससे अधिक अंक प्राप्त किये हों (अर्थात् 75% या उससे अधिक): 76, 85 - संख्या = 2 इसकी प्रायिकता = \( \frac{2}{5} \) = 0.4 (iv) 65% से कम अंक प्राप्त किये हों (अर्थात् 65% से कम): 58, 64, 62 - संख्या = 3 इसकी प्रायिकता = \( \frac{3}{5} \) = 0.6
In simple words: प्रत्येक शर्त के लिए, अनुकूल अंकों की संख्या को कुल यूनिट टेस्ट की संख्या से विभाजित करके प्रायिकता ज्ञात की जाती है, जिसमें "कम से कम", "के बीच", और "से अधिक" जैसी शर्तों के लिए सही अंकों की गणना की जाती है।
🎯 Exam Tip: शर्तों (जैसे 'कम से कम', 'के बीच', 'से अधिक') की सावधानीपूर्वक व्याख्या करें ताकि आप डेटा से सही अंकों को शामिल कर सकें।
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