UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 20 Statistics Ex 20.8

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 20 Statistics Ex 20.8 सांख्यिकी

Exercise 20.8 Statistics अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए : 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3 हलः बहुलक = 2
Answer: बहुलक = 2
In simple words: The mode is the number that appears most frequently in a data set. In this set, 2 occurs three times, which is more than any other number.

🎯 Exam Tip: Identify all unique values and count their occurrences to find the mode in a data set.

Question 2. आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए : 14, 25, 14, 28, 17, 18, 14, 23, 22, 14, 18 हलः बहुलक = 14
Answer: बहुलक = 14
In simple words: The mode is the value that appears most often in a given data set. Here, the number 14 is present four times, making it the mode.

🎯 Exam Tip: Listing the numbers in ascending order can sometimes help in quickly identifying the frequency of each number.

Question 3. आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए : 15, 14, 19, 20, 14, 15, 16, 14, 15, 18, 14, 19, 15, 17, 15 हलः बहुलक = 15
Answer: बहुलक = 15
In simple words: The mode of a dataset is the value that occurs with the highest frequency. In this list of numbers, 15 appears more often than any other number.

🎯 Exam Tip: Double-check your counts for each number to avoid errors, especially with longer lists.

Question 4. यदि स्कोर 3, 4, 3, 5, 4, 6, 6, x का बहुलक 4 है तो x का मान ज्ञात कीजिए। हल: x = 4
Answer: x = 4
In simple words: Given that the mode of the scores is 4, it means 4 is the most frequent number. Since 3 and 6 appear twice, and 4 already appears twice, x must be 4 to make it the most frequent.

🎯 Exam Tip: Understand that the mode must have a strictly higher frequency than other values, or share the highest frequency in a multi-modal set.

Question 5. बहुलक है : (a) कम बारंबारता वाला मान (b) अधिक बारंबारता वाला मान (c) सबसे मध्य वाला मान (d) इनमें से कोई नहीं हलः (b) अधिक बारम्बारता वाला मान
Answer: (b) अधिक बारम्बारता वाला मान
In simple words: The mode is fundamentally defined as the value that appears most frequently within a data set. Therefore, it is the value with the highest frequency.

🎯 Exam Tip: Memorize the definitions of mode, median, and mean to correctly answer theoretical questions.

Exercise 20.8 Statistics लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 6. निम्नलिखित आँकड़ों से बहुलक ज्ञात कीजिए : 125, 175, 225, 125, 225, 175, 325, 375, 225, 125 हलः 125
Answer: बहुलक = 125
In simple words: To find the mode, we count how many times each number appears. The number 125 appears three times, which is more than any other number in the given data set.

🎯 Exam Tip: For sets with multiple values, organize data or use tally marks to accurately count frequencies.

Question 7. किसी विशेष दिन पर एक दुकान द्वारा बेची गई कमीजों की निम्नलिखित मापों के बहुलक की गणना कीजिए : 35, 39, 38, 36, 39, 34, 33, 39, 31, 36, 33, 39, 37, 31, 32, 35, 39 हल: 39
Answer: बहुलक = 39
In simple words: The mode is the value that occurs most frequently. By counting, we find that the size 39 appears 5 times, which is more than any other shirt size.

🎯 Exam Tip: It is helpful to make a frequency table for larger datasets to systematically count occurrences and identify the mode.

Question 8. निम्नलिखित आँकड़ों से बहुलक ज्ञात कीजिए। यदि 15 को 24 से बदल दिया जाये तो बहुलक में क्या बदलाव होगा? 7, 4, 10, 9, 15, 11, 7, 9, 9 हलः बहुलक = 9 यदि 15 को 24 से बदल दिया जाए तो बहुलक 9 ही रहेगा।
Answer: बहुलक = 9
यदि 15 को 24 से बदल दिया जाए तो बहुलक 9 ही रहेगा।
In simple words: Initially, the number 9 appears three times, making it the mode. If 15 is changed to 24, 9 still remains the most frequent number (3 times), so the mode does not change.

🎯 Exam Tip: When a value is changed, always re-evaluate the frequencies of all numbers, especially those around the mode, to determine if the mode shifts.

Question 9. K का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक 7 है :
(i) 3, 5, 5, 7, 3, 6, 7, 9, 6, 7, 3, 5, 7, 3, K
(ii) 3, 5, 6, 7, 5, 4, 7, 5, 6, K, 8, 7
हलः (i) 3, 5, 5, 7, 3, 6, 7, 9, 6, 7, 3, 5, 7, 3, K K = 7
(ii) 3, 5, 6, 7, 5, 4, 7, 5, 6, K, 8, 7 K = 7
Answer:
(i) K = 7
(ii) K = 7
In simple words: If the mode is given as 7, it means 7 is the number that occurs most often. For both parts, K must be 7 to ensure that 7 is the most frequent number in the data set.

🎯 Exam Tip: To confirm K's value, count the occurrences of all other numbers and ensure that with K=7, the frequency of 7 is indeed the highest.

Exercise 20.8 Statistics दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 10. संख्याएँ 2, 3, 4, 4, (x +3), 5, 5, 6, 7 आरोही क्रम में रखी गयी है। यदि माध्यक 5 है तो x ज्ञात कीजिए तथा उपरोक्त आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। हलः आरोही क्रम = 2, 3, 4, 4, (x + 3), 5, 5, 6, 7 n = 9 (विषम संख्या)। 5 = x + 3 5-3 = x
\( \implies \) x = 2 अतः संख्याएँ = 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7.. बहुलक = 5
Answer:
आरोही क्रम = 2, 3, 4, 4, (x + 3), 5, 5, 6, 7
यहाँ n = 9 (विषम संख्या)।
माध्यक \( = \left( \frac{n+1}{2} \right) \) वाँ पद
\( = \left( \frac{9+1}{2} \right) \) वाँ पद
\( = \frac{10}{2} \) वाँ पद
\( = 5 \) वाँ पद
दिए गए माध्यक = 5
अतः, 5 वाँ पद = 5
x + 3 = 5
x = 5 - 3
x = 2
संख्याएँ (x = 2 रखने पर) = 2, 3, 4, 4, (2 + 3), 5, 5, 6, 7
= 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7
इन आँकड़ों में, संख्या 5 तीन बार आती है, जो सबसे अधिक है।
बहुलक = 5
In simple words: Since the data is arranged in ascending order and the median for 9 terms is the 5th term, we equate the 5th term (x+3) to the median (5) to find x=2. After substituting x=2, the list becomes 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7. The number 5 appears most frequently (3 times), so the mode is 5.

🎯 Exam Tip: Remember to re-list the complete data set after finding 'x' before determining the mode, as the values might change and affect the frequency counts.

Question 11. 12 एकदिवसीय क्रिकेट मैचों में एक बल्लेबाज ने निम्नलिखित रन स्कोर किये : 50, 30, 9, 32, 60, 50, 28, 50, 19, 27, 35 बहुलक स्कोर ज्ञात कीजिए । हल: बहुलक = 50
Answer: बहुलक = 50
In simple words: To find the mode, count the occurrences of each score. The score 50 appears 3 times, which is more than any other score in the list, thus it is the mode.

🎯 Exam Tip: For raw data, quickly scanning and circling repeated values can help identify the mode efficiently.

Question 12. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए बहुलक ज्ञात कीजिए। यदि 15 की बारंबारता को 3 से बदलकर 9 कर दिया जाये तो नया बहुलक भी ज्ञात कीजिए :

हलः . 12 की बारम्बारता 6 सबसे अधिक है बहुलक = 12 यदि 15 की बारम्बारता को 3 से बदलकर 9 कर दिया जाए तो नया बहुलक = 15
Answer:
दिए गए आँकड़ों में:
x = 6 की बारंबारता = 4
x = 9 की बारंबारता = 5
x = 12 की बारंबारता = 6
x = 15 की बारंबारता = 3
x = 18 की बारंबारता = 2
सबसे अधिक बारंबारता 6 है, जो x = 12 के लिए है।
अतः, बहुलक = 12
यदि 15 की बारंबारता को 3 से बदलकर 9 कर दिया जाए:
अब, x = 15 की बारंबारता = 9
सभी बारंबारताओं की तुलना करने पर, 9 (जो x = 15 के लिए है) सबसे अधिक है।
अतः, नया बहुलक = 15
In simple words: Initially, 12 has the highest frequency (6), making it the mode. If the frequency of 15 changes from 3 to 9, then 15 becomes the value with the highest frequency, making the new mode 15.

🎯 Exam Tip: When given frequency distributions, always scan for the highest frequency to determine the mode. If a frequency changes, re-scan to identify the new highest frequency.

Question 13. संख्याएं 42, 43, 44,44, (2x +3), 45, 45, 46, 47 आरोही क्रम में व्यवस्थित है। यदि माध्यक 45 है तो x ज्ञात कीजिए तथा उपरोक्त आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। हलः आरोही क्रम = 42, 43, 44, 44, (2x + 3), 45, 45, 46, 47 n = 9 (विषम) 45 = 2x +3
45-3 = 2x
42 = 2x
.
\( \implies \) संख्याएँ = 42, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 47 अतः बहुलक = 45
Answer:
आँकड़ें आरोही क्रम में हैं: 42, 43, 44, 44, (2x + 3), 45, 45, 46, 47
कुल पदों की संख्या (n) = 9, जो कि विषम है।
माध्यक = \( \left( \frac{n+1}{2} \right) \) वाँ पद \( = \left( \frac{9+1}{2} \right) \) वाँ पद = 5 वाँ पद
दिया गया माध्यक = 45
अतः, 5 वाँ पद = 45
2x + 3 = 45
2x = 45 - 3
2x = 42
x = \( \frac{42}{2} \)
x = 21
अब, आँकड़ों को x = 21 के साथ पुनः लिखते हैं:
42, 43, 44, 44, (2 * 21 + 3), 45, 45, 46, 47
42, 43, 44, 44, (42 + 3), 45, 45, 46, 47
42, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 47
इस संशोधित सूची में, संख्या 45 तीन बार आती है, जो किसी भी अन्य संख्या से अधिक है।
अतः, बहुलक = 45
In simple words: Since the median is 45 and there are 9 terms, the 5th term (2x+3) equals 45, which gives x=21. After substituting x, the data becomes 42, 43, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 47. In this updated set, 45 appears three times, making it the mode.

🎯 Exam Tip: Always verify that the final data set remains in ascending order after calculating 'x', as this is crucial for correctly identifying both the median and the mode.

Question 14. x के किस मान के लिए निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक 27 है? 25, 26, 27, 23, 27, 26, 24, x, 27, 26, 25, 25 हलः 27
Answer: x = 27
In simple words: The problem states that the mode of the given data is 27. This means 27 must be the most frequently occurring value. By counting, we find that 27 already appears 3 times. To ensure 27 is definitely the mode, x should also be 27, thus making its frequency 4.

🎯 Exam Tip: Count the frequencies of all existing numbers first. If the mode is given, the unknown value 'x' should correspond to that mode if its current frequency is not uniquely the highest or if 'x' can make it uniquely highest.

Exercise 20.8 Statistics विविध प्रश्नावली

Question 1. 16 संख्याओं का माध्य 8 है। यदि प्रत्येक संख्या में 2 जोड़ दिया जाये तो नया माध्य क्या होगा? हलः 16 संख्याओं का माध्य = 8 16 संख्याओं का योग = 16 × 8 = 128 प्रत्येक संख्या में 2 जोडने पर 16 संख्याओं का योग = 128 + 2 x 16 = 128 + 32 = 160
Answer:
दिया है, 16 संख्याओं का माध्य = 8
16 संख्याओं का योग = माध्य \( \times \) संख्याओं की संख्या
= 8 \( \times \) 16 = 128
यदि प्रत्येक संख्या में 2 जोड़ दिया जाए, तो 16 संख्याओं में कुल वृद्धि = 2 \( \times \) 16 = 32
नया योग = पुराना योग + कुल वृद्धि
= 128 + 32 = 160
नया माध्य = \( \frac{\text{नया योग}}{\text{संख्याओं की संख्या}} \)
= \( \frac{160}{16} \)
= 10
नया माध्य = 10
In simple words: If each number in a dataset is increased by a constant, the mean of the dataset also increases by the same constant. Since the original mean was 8 and each of the 16 numbers is increased by 2, the new mean will be 8 + 2 = 10.

🎯 Exam Tip: Remember the property: if each observation in a data set is increased/decreased by a constant 'k', the mean also increases/decreases by 'k'.

Question 2. यदि M, X1, X₁...., X6 का माध्य है तो सिद्ध कीजिए कि,
(X1 – M) + (x2 – M) + (x3 – M) + (X4 – M) + (X5 – M) + (X6 – M) = 0
हलः
\( \implies \) L.H.S. (x₁ – M) + (x2 – M) + (X3 – M) + (X4 – M) + (X5 – M) + (X6 – M) = (X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6) - (M + M + M + M + M + M)
\( 6M-6M=0 \implies \) R.H.S.
Answer:
दिया है कि M, \( x_1, x_2, \ldots, x_6 \) का माध्य है।
माध्य की परिभाषा से,
M = \( \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6}{6} \)

\( \implies \) 6M = \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 \)
हमें सिद्ध करना है:
\( (x_1 - M) + (x_2 - M) + (x_3 - M) + (x_4 - M) + (x_5 - M) + (x_6 - M) = 0 \)
बायाँ पक्ष (L.H.S.):
\( (x_1 - M) + (x_2 - M) + (x_3 - M) + (x_4 - M) + (x_5 - M) + (x_6 - M) \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6) - (M + M + M + M + M + M) \)
\( = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6) - 6M \)
समीकरण \( 6M = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 \) का उपयोग करने पर:
\( = 6M - 6M \)
\( = 0 \)
दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है।
अतः, सिद्ध हुआ।
In simple words: The sum of deviations of individual observations from their mean is always zero. This is a fundamental property of the arithmetic mean. By grouping the terms, we can replace the sum of \( x_i \) with \( n \times M \) (which is \( 6M \) in this case), leading to \( 6M - 6M = 0 \).

🎯 Exam Tip: This is a key theoretical property of the mean. Practise algebraic manipulation to prove such properties efficiently.

Question 3. 200 वस्तुओं का माध्य 50 था। बाद में पता चला कि 192 की जगह 92 तथा 88 की जगह 8 पढ़ लिया गया था। सही माध्य ज्ञात कीजिए। हलः 200 वस्तुओं का माध्य = 50 200 वस्तुओं का योग = 50 × 200 = 10000 192 की जगह 92 तथा 88 की जगह 8 की त्रुटि होने पर 200 वस्तुओं का योग = 10, 000 – 92 + 192 – 8+ 88 = 10,180
Answer:
दिया है: वस्तुओं की संख्या (n) = 200
गलत माध्य = 50
गलत योग = माध्य \( \times \) संख्या
= 50 \( \times \) 200 = 10000
त्रुटियाँ:
गलत प्रविष्टि: 92 (सही मूल्य 192 की जगह)
गलत प्रविष्टि: 8 (सही मूल्य 88 की जगह)
सही योग की गणना:
सही योग = गलत योग - गलत प्रविष्टियाँ + सही प्रविष्टियाँ
= 10000 - 92 - 8 + 192 + 88
= 10000 - 100 + 280
= 9900 + 280
= 10180
सही माध्य = \( \frac{\text{सही योग}}{\text{वस्तुओं की संख्या}} \)
= \( \frac{10180}{200} \)
= 50.9
सही माध्य = 50.9
In simple words: First, calculate the incorrect sum using the incorrect mean. Then, rectify this sum by subtracting the wrongly read values and adding the correct values. Finally, divide the corrected sum by the total number of items to get the correct mean.

🎯 Exam Tip: Be careful with the signs when adjusting the sum: subtract incorrect values and add correct values. Always ensure the total number of items remains unchanged unless explicitly stated.

Question 4. निम्नलिखित बंटन के लिए अज्ञात बारंबारता (p) ज्ञात कीजिए जिसका माध्य 7.68 है।

हलः

सामान्तर माध्य \( \overline{x} = \frac{\Sigma fx}{\Sigma f} \)
\( 7.68 = \frac{303 + 9p}{41 + p} \)
\( 7.68 (41 + p) = 303 + 9p \)
\( 314.88 + 7.68p = 303 + 9p \)
\( 314.88 - 303 = 9p - 7.68p \)
\( 11.88 = 1.32p \)
\( p = \frac{11.88}{1.32} \)

\( \implies \) p = 9
In simple words: To find the unknown frequency 'p', we first calculate the sum of \( fx \) and the sum of frequencies \( f \) in terms of 'p'. Then, we use the formula for the mean (\( \overline{x} = \frac{\Sigma fx}{\Sigma f} \)) and the given mean (7.68) to set up an equation, which is then solved for 'p'.

🎯 Exam Tip: Organize your calculations in a table, calculate \( fx \) for each row, and then sum \( \Sigma fx \) and \( \Sigma f \) carefully. Be precise with decimal calculations while solving for 'p'.

Question 5. हलः n = 5 (विषम संख्या) माध्यिका \( = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) वाँ पद
Answer:
यह प्रश्न incomplete है क्योंकि इसमें डेटा नहीं दिया गया है।
यदि हम एक काल्पनिक डेटा सेट लेते हैं, जैसे: 2, 4, 6, 8, 10
तब n = 5 (विषम संख्या)
माध्यिका = \( \left( \frac{n+1}{2} \right) \) वाँ पद
= \( \left( \frac{5+1}{2} \right) \) वाँ पद
= 3 वाँ पद
इस डेटा सेट में, 3 वाँ पद 6 है। अतः माध्यिका = 6.
(जैसा कि OCR में दिया गया है, यदि 3 वाँ पद x है और 4 वाँ पद \( \frac{x}{4} = 4 \Rightarrow x=16 \) तब यह स्पष्ट नहीं है कि यह प्रश्न किस संदर्भ में है। OCR में दिए गए हल के अनुसार, 'x' की माध्यिका '4' है, तो यह 'x' के मान को 4 के रूप में हल करता है) यदि माध्यिका 4 है और 3 वाँ पद x है, तो x = 4।
In simple words: The median for an odd number of observations (n=5) is the value at the \((n+1)/2\)th position, which is the 3rd term. Without the actual data, we assume the 3rd term is the median value. The provided partial solution snippet appears to be solving for a variable 'x' which is implicitly the median or related to it. If the median is 4, then the 3rd term (x) would be 4.

🎯 Exam Tip: Always ensure you have the full data set or context when asked to find the median. For odd 'n', the median is a single value; for even 'n', it's the average of the two middle values.

Question 6. 5 संख्याओं का माध्य 28 है। यदि एक संख्या को हटा दिया जाये तो माध्य 2 कम हो जाता है। हटायी गयी संख्या ज्ञात कीजिए। हलः 5 सँख्याओं का माध्य = 28 5 सँख्याओं का योग = 28 × 5 = 140 हटायी गयी संख्या = x 1 संख्या हटाने पर 4 संख्याओं का योग = 140 – x 4 संख्याओं का माध्य = 28 – 2 = 26
\( \implies \frac{140-x}{4} = \frac{26}{1} \)
\( 140-x=104 \)
\( 140-104=x \)
\( 36=x \)
.
\( \implies \) हटायी गयी संख्या = 36
Answer:
5 संख्याओं का माध्य = 28
5 संख्याओं का कुल योग = 5 \( \times \) 28 = 140
माना हटायी गयी संख्या x है।
एक संख्या हटाने के बाद, शेष संख्याएँ = 5 - 1 = 4
नया माध्य = 28 - 2 = 26
4 संख्याओं का नया योग = 4 \( \times \) 26 = 104
हम जानते हैं कि:
नया योग = पुराना योग - हटायी गयी संख्या
104 = 140 - x
x = 140 - 104
x = 36
हटायी गयी संख्या = 36
In simple words: Calculate the initial sum of the 5 numbers. Then, calculate the new sum of the remaining 4 numbers using the reduced mean. The difference between the initial sum and the new sum will be the value of the removed number.

🎯 Exam Tip: Always write down the initial and final sums clearly. This helps in setting up the equation correctly to find the unknown value.

Question 7. एक बल्लेबाज अपनी 12वीं पारी में 63 रन बनाता है जिससे उसका कुल औसत 2 बढ़ जाता है। उसका 12वीं पारी के बाद का औसत ज्ञात कीजिए। हलः 12 वीं पारी में रन = 63 11 पारी तक औसत = x 11 पारी तक कुल रन = 11x 12 पारी तक कुल रन = 11x + 63
Answer:
माना 11 पारियों के बाद बल्लेबाज का औसत = x रन
11 पारियों में कुल रन = 11x
12वीं पारी में बनाए गए रन = 63
12 पारियों में कुल रन = 11x + 63
12 पारियों के बाद नया औसत = \( \frac{11x + 63}{12} \)
प्रश्न के अनुसार, नया औसत पुराने औसत से 2 अधिक है।
\( \frac{11x + 63}{12} = x + 2 \)
\( 11x + 63 = 12(x + 2) \)
\( 11x + 63 = 12x + 24 \)
\( 63 - 24 = 12x - 11x \)
\( 39 = x \)
तो, 11 पारियों के बाद औसत = 39 रन
12वीं पारी के बाद औसत = x + 2 = 39 + 2 = 41 रन
In simple words: Let the average after 11 innings be 'x'. After scoring 63 runs in the 12th inning, the total runs become \(11x + 63\), and the new average is \((11x + 63)/12\). This new average is also \(x+2\). By equating these, we solve for 'x' and then find the new average.

🎯 Exam Tip: Clearly define your variables, especially for 'average before' and 'average after', to avoid confusion in setting up the equation.

Question 8. निम्नलिखित सारणी एक कक्षा के 41 विद्यार्थियों के द्वारा प्राप्त अंकों को दर्शाती है। बहुलक ज्ञात कीजिए ।

हलः

.
\( \implies \) प्राप्तांक 22 लेने वाले विद्यार्थियों की संख्या 12 सबसे अधिक है
.
\( \implies \) बहुलक = 22
In simple words: In a frequency distribution table, the mode is the value of the variate (प्राप्तांक) that has the highest frequency (विद्यार्थियों की संख्या). By observing the table, the highest frequency is 12, which corresponds to the marks 22.

🎯 Exam Tip: For a discrete frequency distribution, the mode is simply the value with the highest frequency. No calculations are required, just careful observation.

Question 9. यदि 10 प्रेक्षण 10, 13, 15, 18, x + 1, x + 3, 30, 32, 35, 41 एक आरोही क्रम में व्यवस्थित है, जिनका माध्यक 24 है तो x ज्ञात कीजिए। हलः n = 10 (सम संख्या) माध्यक या माध्यिका \( = \frac{5 \text{ वाँ पद } + 6 \text{ वाँ पद }}{2} \)
\( 24 = \frac{x+1+x+3}{2} \)
\( 48 = 2x + 4 \)
\( 48-4 = 2x \)
\( 44 = 2x \)
\( \frac{44}{2} = x \)
.
\( \implies \) x = 22
Answer:
प्रेक्षणों की संख्या (n) = 10 (जो कि एक सम संख्या है)
आँकड़ें आरोही क्रम में हैं: 10, 13, 15, 18, x + 1, x + 3, 30, 32, 35, 41
माध्यक का सूत्र (सम संख्या के लिए):
माध्यक = \( \frac{\left(\frac{n}{2}\right) \text{वाँ पद } + \left(\frac{n}{2} + 1\right) \text{वाँ पद}}{2} \)
माध्यक = \( \frac{\left(\frac{10}{2}\right) \text{वाँ पद } + \left(\frac{10}{2} + 1\right) \text{वाँ पद}}{2} \)
माध्यक = \( \frac{5 \text{ वाँ पद } + 6 \text{ वाँ पद}}{2} \)
दिए गए प्रेक्षणों से:
5 वाँ पद = x + 1
6 वाँ पद = x + 3
दिया गया माध्यक = 24
तो, \( 24 = \frac{(x + 1) + (x + 3)}{2} \)
\( 24 \times 2 = x + 1 + x + 3 \)
\( 48 = 2x + 4 \)
\( 48 - 4 = 2x \)
\( 44 = 2x \)
\( x = \frac{44}{2} \)
x = 22
In simple words: Since there are 10 observations (an even number) arranged in ascending order and the median is 24, we calculate the median as the average of the 5th and 6th terms. By setting this average equal to 24, we form an equation \(\frac{(x+1)+(x+3)}{2} = 24\) and solve for x.

🎯 Exam Tip: Distinguish between the median formulas for odd and even numbers of observations. Ensure the data is in ascending order before applying the median formula.

Question 10. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए :

हलः प्राप्तांक 20 प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 36 जो सबसे अधिक है। अतः बहुलक = 20
Answer:
दिए गए आँकड़ों में, हम प्रत्येक प्राप्तांक के लिए विद्यार्थियों की संख्या (बारंबारता) देखते हैं:
प्राप्तांक 10 की बारंबारता = 8
प्राप्तांक 15 की बारंबारता = 12
प्राप्तांक 20 की बारंबारता = 36
प्राप्तांक 25 की बारंबारता = 35
प्राप्तांक 30 की बारंबारता = 28
प्राप्तांक 35 की बारंबारता = 18
प्राप्तांक 40 की बारंबारता = 9
सबसे अधिक बारंबारता 36 है, जो प्राप्तांक 20 के लिए है।
अतः, बहुलक = 20
In simple words: In a frequency distribution, the mode is the value of the variable (प्राप्तांक) that has the highest frequency (विद्यार्थियों की संख्या). Here, the maximum frequency is 36, which corresponds to the score of 20.

🎯 Exam Tip: For grouped or discrete frequency distributions, simply locate the highest frequency and identify the corresponding data value as the mode. No complex calculations are needed.

Exercise 20.8 Statistics बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

Question 1. एक बारंबारता बंटन में एक वर्ग का मध्यमान 10 है तथा वर्ग की चौड़ाई 6 है। वर्ग की निम्न सीमा है- (a) 5 (b) 7 (c) 8 (d) इनमें से कोई नहीं हलः
माना वर्ग की निम्न सीमा \( l_1 \) व उच्च सीमा \( l_2 \) है, तब \( \frac{l_1+l_2}{2} = 10 \)
\( l_1 + l_2 = 20 \) ...(1)
\( l_2-l_1 = 6 \) ...(2)
समीकरण (1) व (2) से,
\( 2l_1 = 14 \)
\( l_1 = 7 \)
अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) 7
In simple words: The midpoint of a class interval is the average of its lower and upper limits, and the width is the difference between them. Using these two equations, we can solve for the lower limit by adding the equations together and then dividing.

🎯 Exam Tip: Remember the formulas: Midpoint = (Lower Limit + Upper Limit) / 2 and Class Width = Upper Limit - Lower Limit. Use simultaneous equations to find the unknowns.

Question 2. माना एक सतत् बारंबारता बंटन में एक वर्ग का मध्यमान m तथा ऊपरी वर्ग सीमा l है। वर्ग की निम्न सीमा है- (a) 2m (b) 2m + l (c) 2m – l (d) इनमें से कोई नहीं हलः माना वर्ग की निम्न सीमा \( l_1 \) है तब
\( \frac{l_1+l}{2} = m \)
\( l_1 = 2m-l \)
अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) 2m – l
In simple words: The midpoint 'm' is the average of the lower limit \( l_1 \) and the upper limit 'l'. By rearranging the midpoint formula \( m = (l_1 + l) / 2 \), we can express the lower limit \( l_1 \) as \( 2m - l \).

🎯 Exam Tip: Clearly define your variables. The midpoint formula is crucial here; isolate the desired variable by simple algebraic manipulation.

Question 3. वर्ग अन्तराल 10-20 व 20-30 में संख्या 20 किस अन्तराल में स्थित है- (a) 10 – 20 (b) 20 – 30 (c) दोनों अन्तराल (d) इनमें से कोई नहीं हल: 20 – 30 अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) 20 – 30
In simple words: In continuous frequency distributions, the upper limit of one class interval is typically exclusive. This means that a value equal to the upper limit (like 20) belongs to the *next* class interval, where it acts as the lower limit.

🎯 Exam Tip: Remember the convention for class intervals in continuous frequency distributions: the upper limit is generally exclusive, meaning the value belongs to the subsequent interval.

Question 4.
(a) \( \overline{x}+\overline{y} \)
(b) \( \frac{\overline{x}+\overline{y}}{n} \)
(c) \( \frac{\overline{x}+\overline{y}}{2} \)
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
\( \overline{x} = \frac{x_1 + x_2+.....+x_n}{n} \) ...(1)
\( \overline{y} = \frac{y_1 + y_2+.....+y_n}{n} \) ...(2)
\( \overline{z} = \frac{x_1 + x_2+.....+x_n+y_1+y_2+.....+y_n}{2n} \)
\( = \frac{n\overline{x}+n\overline{y}}{2n} = \frac{n(\overline{x} + \overline{y})}{2n} = \frac{\overline{x} + \overline{y}}{2} \)
अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) \( \frac{\overline{x}+\overline{y}}{2} \)
In simple words: If we have two sets of 'n' observations each, with means \( \overline{x} \) and \( \overline{y} \), and we combine them into a single set of '2n' observations, the mean of the combined set is the average of the two individual means, i.e., \( (\overline{x} + \overline{y}) / 2 \).

🎯 Exam Tip: This specific formula for combining means is applicable only when the number of observations in both sets is equal. If 'n' is different, a weighted average would be needed.

Question 5.
माना \( x_1, x_2,..., x_n \) का माध्य \( \overline{x} \) है, तब \( a \neq 0 \) के लिए \( ax_1, ax_2,..., ax_n, \frac{x_1}{a}, \frac{x_2}{a},..., \frac{x_n}{a} \) का माध्य है-
(a) \( \left(a+\frac{1}{a}\right) \frac{\overline{x}}{2} \)
(b) \( \left(a+\frac{1}{a}\right) \overline{x} \)
(c) \( \left(a+\frac{1}{a}\right) \frac{\overline{x}}{x} \)
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
\( \overline{x} = \frac{x_1 + x_2+.....+x_n}{n} \) ...(1)
तब दी गई बंटन का माध्य =
\( \frac{ax_1 + ax_2+.....+ax_n + \frac{x_1}{a} + \frac{x_2}{a} +.....+\frac{x_n}{a}}{2n} \)
\( = \frac{a(x_1 + x_2+.....+x_n) + \frac{1}{a}(x_1 + x_2+.....+x_n)}{2n} \)
\( = \frac{an\overline{x} + \frac{n\overline{x}}{a}}{2n} = \frac{n\overline{x}(a + \frac{1}{a})}{2n} \)
\( = \left(a + \frac{1}{a}\right) \frac{\overline{x}}{2} \)
अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) \( \left(a+\frac{1}{a}\right) \frac{\overline{x}}{2} \)
In simple words: When operations (multiplication or division by 'a') are applied to each observation, and then combined into a new dataset, the mean of the new dataset can be expressed in terms of the original mean \( \overline{x} \) and 'a'. We sum all the new terms and divide by the total count (2n).

🎯 Exam Tip: Recall the property that if each observation is multiplied by 'a', the mean is also multiplied by 'a'. Use this property to simplify the sum of the new terms before calculating the overall mean.

Question 6. माना एक बारंबारता बंटन में, एक वर्ग की निम्न सीमा \( l \) है तथा \( m \) वर्ग का मध्य बिन्दु है तब वर्ग की ऊपरी सीमा है
(a) m + l (b) 2m + l (c) 2m – l (d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना वर्ग की ऊपरी सीमा \( l_1 \) है-
तब \( \frac{l+l_1}{2} = m \)
\( l+l_1 = 2m \)
\( l_1 = 2m-l \)
अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) 2m – l
In simple words: The midpoint 'm' of a class interval is the average of its lower limit 'l' and its upper limit \( l_1 \). By setting up the equation \( m = (l + l_1) / 2 \) and rearranging it, we can find the expression for the upper limit \( l_1 \).

🎯 Exam Tip: This is a direct application of the midpoint formula. Ensure you correctly identify which variable represents the lower limit, upper limit, and midpoint.

Question 7. एक समूह में 6 लड़कों का माध्य भार 48 किग्रा है उनमें से 5 लड़कों का भार 51, 45, 49, 46 व 44 किग्रा है। तब 6वें लड़के का भार (a) 52 किग्रा (b) 53 किग्रा (c) 54 किग्रा (d) इनमें से कोई नहीं हलः माना 6वें लड़के का भार x किग्रा है।
तब \( \frac{51+45+49+46+44 + x}{6} = 48 \)
\( \frac{235 + x}{6} = 48 \)
\( 235 + x = 48 \times 6 \)
\( 235 + x = 288 \)
\( x = 288 - 235 \)
\( x = 53 \) किग्रा
अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) 53 किग्रा
In simple words: We know the mean weight of 6 boys and the weights of 5 of them. To find the weight of the 6th boy, we first calculate the total weight of all 6 boys using the mean. Then, we sum the weights of the 5 known boys and subtract this sum from the total weight to find the weight of the 6th boy.

🎯 Exam Tip: The formula "Sum = Mean \( \times \) Number of observations" is critical here. Always calculate the total sum first when dealing with missing values and means.

Question 8. 100 नगों का माध्य 64 है। बाद में पाया गया कि 36 के स्थान पर 26 तथा 90 के स्थान पर 9 पढ़ लिया गया था। सही माध्य ज्ञात कीजिए- (a) 64.91 (b) 49.61 (c) 64.49 (d) इनमें से कोई नहीं हलः कुल योग = 100 \( \times \) 64 = 6400 सही योग = 6400 + (36 – 26) + (90 – 9) = 6400 + 10 + 81 = 6491 अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) 64.91
In simple words: We start with the incorrect total sum obtained from the given mean. We then correct this sum by adding the difference between the correct and incorrect values for each error. Finally, we divide the corrected total sum by the number of items to get the correct mean.

🎯 Exam Tip: When correcting a mean, remember to add correct values and subtract incorrect values from the total sum. The number of observations (n) usually remains constant unless an item is added or removed.

Question 9. पाँच संख्याओं का माध्य 30 है। यदि एक संख्या हटा दी जाये, तब उनका माध्य 28 है। हटायी गयी संख्या है- (a) 35 (b) 36 (c) 38 (d) इनमें से कोई नहीं हलः पाँच संख्याओं का कुल योग = 5 \( \times \) 30 = 150 चार संख्याओं का
कुल योग = 4 \( \times \) 28 = 112 हटायी गयी संख्या = 150 -112 = 38 अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) 38
In simple words: First, find the total sum of the five numbers using their mean. Then, find the total sum of the remaining four numbers using their new mean. The difference between these two sums will be the value of the number that was removed.

🎯 Exam Tip: These types of problems always involve calculating the total sums. Ensure your sum calculations are accurate to find the correct missing value.

Question 10. 25 प्रेक्षणों का माध्य 36 है। इन प्रेक्षणों के प्रथम 13 का माध्य 32 है तथा अन्तिम 13 का माध्य 40 है। 13वां प्रेक्षण है- (a) 34 (b) 36 (c) 38 (d) इनमें से कोई नहीं हलः 25 प्रेक्षणों का कुल योग = 25 \( \times \) 36 = 900 प्रथम 13 प्रेक्षणों का योग = 13 \( \times \) 32 = 416 अन्तिम 13 प्रेक्षणों का योग = 13 \( \times \) 40 = 520 13 वाँ प्रेक्षण = -900 + (416 + 520) = -900 + 936 = 36 अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) 36
In simple words: Calculate the total sum of all 25 observations. Then, find the sum of the first 13 observations and the sum of the last 13 observations. Since the 13th observation is included in both the first 13 and the last 13, its value is found by adding the two partial sums and subtracting the total sum of all 25 observations.

🎯 Exam Tip: When an observation is common to overlapping groups, its value can be found by adding the sums of the groups and subtracting the overall sum. This effectively isolates the value of the overlapping observation.

Question 11. 50 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का औसत 39 है। बाद में पता चला कि एक अंक 43 को 23 पढ़ लिया गया था। सही समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए । (a) 39 (b) 39.2 (c) 39.4 (d) इनमें से कोई नहीं हलः 50 अंकों का कुल योग = 50 \( \times \) 39 = 1950 सही योग = 1950 + (43 – 23) = 1950 + 20 = 1970 सही समान्तर माध्य = \( \frac{1970}{50} \) = 39.4 अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) 39.4
In simple words: First, calculate the incorrect total sum from the given average. Then, adjust this sum by adding the correct value and subtracting the incorrect value (43-23=20). Finally, divide the corrected total sum by the number of students to get the correct average.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to whether the correction involves adding or subtracting values. "Read as X instead of Y" means subtract X and add Y to the sum.

Question 12. आँकड़े 8, 9, 12, 18, (x + 2), (x + 4), 30, 31, 34, 39 आरोही क्रम में व्यवस्थित है इनका माध्यक 24 है। x का मान है- (a) 19 (b) 20 (c) 21 (d) इनमें से कोई नहीं हल: n = 10 (सम)
माध्यक \( = \frac{\frac{n}{2} \text{ वाँ प्रेक्षण } + (\frac{n}{2} + 1) \text{ वाँ प्रेक्षण}}{2} \)
\( 24 = \frac{5 \text{वाँ प्रेक्षण } + 6 \text{वाँ प्रेक्षण}}{2} \)
\( \implies 24 = \frac{(x+2)+(x+4)}{2} \)
\( 2x + 6 = 48 \)
\( 2x = 42 \)
\( x = 21 \)
अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) 21
In simple words: With 10 observations arranged in ascending order, the median is the average of the 5th and 6th terms. Given the median is 24, we set \(( (x+2) + (x+4) ) / 2 = 24\), then solve the resulting equation for x.

🎯 Exam Tip: Double-check the order of operations when solving for 'x'. Ensure that you correctly identify the middle terms for an even number of observations.

Exercise 20.8 Statistics स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

Question 1. तीन सिक्के 30 बार उछाले गये । प्रत्येक बार आये चितों की संख्या निम्न प्रकार लिखी गयी :
0 1 2 2 1 2 3 1 3 0
1 3 1 1 2 2 0 1 2 1
3 0 0 1 1 2 3 2 2 0
उपरोक्त आँकड़ों के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी तैयार कीजिए।
हलः
बारंबारता बंटन सारणी-

In simple words: A frequency distribution table organizes raw data by showing how often each unique value occurs. For the number of heads, we count how many times 0, 1, 2, and 3 appear in the given tosses and record these counts as frequencies, along with tally marks.

🎯 Exam Tip: Use tally marks carefully for each observation to avoid miscounts, especially for large datasets. Ensure the sum of frequencies equals the total number of observations (30 in this case).

Question 2. तीस बच्चों से यह पूछा गया कि पिछले सप्ताह उन्होंने कितने घंटों तक टीवी के प्रोग्राम देखे । प्राप्त परिणाम निम्न
1 6 2 3 5 12 5 8 4 8
हैं: 10 3 4 12 2 8 15 1 17 6
3 2 8 5 9 6 8 7 14 12
(i) वर्ग चौड़ाई 5 लेकर और एक वर्ग अंतराल को 5-10 लेकर इन आँकड़ों की एक वगीकृत बंटन सारणी बनाइए ।
(ii) कितने बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घंटो तक टेलीविजन देखा?
हलः
(i)

(ii) 2
Answer:
(i) बारंबारता बंटन सारणी:
(तालिका ऊपर प्रदान की गई है)
(ii) वे बच्चे जिन्होंने सप्ताह में 15 या अधिक घंटे टीवी देखी, वे 15-20 वर्ग अंतराल में शामिल हैं।
इस वर्ग अंतराल की बारंबारता = 2
अतः, 2 बच्चों ने सप्ताह में 15 या अधिक घंटे टीवी देखी।
In simple words: (i) A grouped frequency distribution table organizes the data into class intervals (0-5, 5-10, etc., where the upper limit is exclusive) and counts the number of observations falling into each interval using tally marks. (ii) To find how many children watched 15 or more hours, we sum the frequencies of the class intervals that start at 15 or greater. In this case, only the 15-20 interval is relevant, which has a frequency of 2.

🎯 Exam Tip: When constructing grouped frequency tables, ensure that class intervals are mutually exclusive and exhaustive. For "15 or more", include the frequency of the interval starting with 15 and any subsequent intervals.

Question 3. 40 महिला इंजीनियरों की उनके आवास से उनके कार्यस्थल की दूरी (किमी में) निम्न प्रकार है:
5 3 10 20 25 11 13 7 12 31
19 10 12 17 18 11 32 17 16 2
7 9 7 8 3 5 12 15 18 3
12 14 2 9 6 15 15 7 6 12
0-5 को (जिसमें 5 सम्मिलित नहीं है) पहला अंतराल लेकर ऊपर दिए गए आँकड़ों से वर्ग-माप 5 वाली एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए। इस सारणी बद्ध निरूपण से आपको कौन-से मुख्य लक्षण देखने को मिलते हैं?
हलः

मुख्य लक्षण:
(i) अधिकांश महिला इंजीनियरों (11+11 = 22, यानी 40 में से 22) का कार्यस्थल उनके आवास से 5 किमी से 15 किमी की दूरी पर है।
(ii) बहुत कम महिला इंजीनियरों (1+1 = 2) का कार्यस्थल उनके आवास से 20 किमी से 30 किमी की दूरी पर है।
(iii) 25 किमी से अधिक दूरी पर काम करने वाली इंजीनियरों की संख्या बहुत कम है।
In simple words: We create a grouped frequency distribution table with class intervals of width 5, starting from 0-5 (excluding 5). After counting the frequencies for each interval, we observe that most engineers live between 5-15 km from their workplace, while very few live beyond 20 km.

🎯 Exam Tip: When making a grouped frequency table, be consistent with your class interval rules (e.g., exclusive upper limit). For observations, highlight patterns like 'most frequent range' and 'least frequent range'.

Question 4. 50 दशमलव स्थान तक शुद्ध \( \pi \) का मान नीचे दिया गया है :
3.141592653589793238462643383279502884419716939937510
(i) दशमलव बिंदु के बाद आने वाले 0 से 9 तक के अंकों का एक बारंबारता बंटन बनाइए । (ii) सबसे अधिक बार और सबसे कम बार आने वाले अंक कौन-कौन से हैं?
हलः
(i)

(ii) 3 या 9, 0
Answer:
(i) बारंबारता बंटन सारणी (जैसा कि ऊपर प्रदान की गई है)।
(ii) सारणी से, सबसे अधिक बार आने वाले अंक हैं 3 और 9 (प्रत्येक की बारंबारता 8 है)।
सबसे कम बार आने वाला अंक है 0 (बारंबारता 2)।
In simple words: (i) We count the occurrence of each digit (0-9) after the decimal point in the given value of \( \pi \) and present it in a frequency distribution table with tally marks. (ii) By observing the frequencies, we identify digits 3 and 9 as appearing most frequently, and digit 0 as appearing least frequently.

🎯 Exam Tip: When counting frequencies for digits, go through the number digit by digit to ensure accuracy. The total sum of frequencies should match the total number of decimal places (50 here).

Question 5. गणित की एक परीक्षा में 10 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों को नीचे दर्शाया गया है : 55, 36, 95, 73, 60, 42, 25, 78, 75, 62 ज्ञात कीजिए : (i) अधिकतम और निम्नतम अंक (ii) आँकड़ों का परास (iii) आँकड़ों का आरोही क्रम में व्यवस्थितिकरण हलः (ⅰ) 95, 25 (ii) 70 (iii) 25, 36, 42, 55, 60, 62, 73, 75, 78, 95
Answer:
दिए गए अंक: 55, 36, 95, 73, 60, 42, 25, 78, 75, 62
(i) अधिकतम अंक: इन अंकों में सबसे बड़ा अंक 95 है।
निम्नतम अंक: इन अंकों में सबसे छोटा अंक 25 है।
(ii) आँकड़ों का परास (Range) = अधिकतम अंक - निम्नतम अंक
= 95 - 25 = 70
(iii) आँकड़ों का आरोही क्रम (Ascending order): अंकों को छोटे से बड़े क्रम में व्यवस्थित करना:
25, 36, 42, 55, 60, 62, 73, 75, 78, 95
In simple words: (i) Identify the highest and lowest values from the given list of scores. (ii) The range is calculated by subtracting the minimum score from the maximum score. (iii) Arrange the given scores from the smallest to the largest to get them in ascending order.

🎯 Exam Tip: For range, ensure you've accurately identified both the absolute minimum and maximum values. Arranging data in order (ascending or descending) is a good first step for many statistical calculations.

Question 6. भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की (निकटतम दस तक की) संख्या के आँकड़े नीचे दिए गए हैं :

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को एक दण्ड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए ।
(ii) कक्षा में चर्चा करके बताइए कि आप इस आलेख से कौन-कौन से निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
हलः
(i)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक दण्ड आलेख है जो विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष पर विभिन्न क्षेत्र (अनुसूचित जाति, अनुसूचित जनजाति, गैर अनुसूचित जाति/जनजाति, पिछड़े जिले, गैर पिछड़े जिले, ग्रामीण, शहरी) दर्शाए गए हैं। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या (900 से 1000 तक) दर्शाई गई है। प्रत्येक क्षेत्र के लिए एक दण्ड खींचा गया है जिसकी ऊँचाई लड़कियों की संख्या को इंगित करती है। उदाहरण के लिए, अनुसूचित जनजाति में लड़कियों की संख्या सबसे अधिक (970) है, जबकि शहरी क्षेत्र में सबसे कम (910) है।

(ii) अनुसूचित जनजाति में प्रति 1000 लड़कों पर लड़कियों की संख्या अधिकतम (अर्थात् 970) है तथा शहरी क्षेत्र में निम्नतम् अर्थात् (910) है।
Answer:
(i) दण्ड आलेख (बार ग्राफ) - (चित्र व्याख्या ऊपर प्रदान की गई है।)
(ii) इस आलेख से निकाले गए निष्कर्ष:
1. अनुसूचित जनजाति क्षेत्रों में प्रति 1000 लड़कों पर लड़कियों की संख्या सबसे अधिक (970) है। यह दर्शाता है कि इन क्षेत्रों में लिंग अनुपात अपेक्षाकृत बेहतर है।
2. शहरी क्षेत्रों में प्रति 1000 लड़कों पर लड़कियों की संख्या सबसे कम (910) है। यह शहरीकरण के साथ लिंग अनुपात में गिरावट का संकेत हो सकता है।
3. गैर-अनुसूचित जाति/जनजाति और गैर-पिछड़े जिलों में लड़कियों की संख्या समान (920) है, जो अनुसूचित जनजाति क्षेत्रों की तुलना में कम है।
4. ग्रामीण क्षेत्रों में लिंग अनुपात (930) शहरी क्षेत्रों से बेहतर है, लेकिन अनुसूचित जाति और पिछड़े जिलों से कम है।
5. समग्र रूप से, लड़कियों की संख्या प्रति हजार लड़कों पर 1000 से काफी कम है, जो एक चिंता का विषय है।
In simple words: (i) The bar graph visually represents the number of girls per 1000 boys across different categories. (ii) Key conclusions from this graph are that Scheduled Tribes have the highest ratio (970), while urban areas have the lowest (910). Overall, the ratio is below 1000, indicating a gender imbalance across all categories, with significant variations by region.

🎯 Exam Tip: When interpreting a bar graph, identify the highest and lowest values, compare different categories, and look for overall trends or significant differences. Use these observations to form concise conclusions.

Question 7. एक कक्षा के 80 विद्यार्थियों द्वारा (100 में से) प्राप्त अंक नीचे दिए हैं :

उपरोक्त आँकड़ों के निरूपण के लिए एक आयत चित्र बनाइये ।
हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आयत चित्र (हिस्टोग्राम) है जो कक्षा के 80 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों के वितरण को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष पर प्राप्तांक (वर्ग अंतराल जैसे 10-20, 20-30, 30-50, 50-70, 70-100) दर्शाए गए हैं। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर विद्यार्थियों की संख्या (बारंबारता) दर्शाई गई है। चूंकि वर्ग अंतरालों की चौड़ाई समान नहीं है (जैसे 10-20 की चौड़ाई 10 है, जबकि 30-50 की चौड़ाई 20 है), बारंबारता घनत्व की गणना करके आयतों की ऊँचाई समायोजित की जाएगी ताकि आयत का क्षेत्रफल बारंबारता के समानुपाती हो। यह आलेख दिखाता है कि 70-100 अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या सबसे अधिक है, जो 26 है।
In simple words: A histogram is to be drawn to represent the given grouped frequency distribution of student scores. The horizontal axis will represent the score intervals, and the vertical axis will represent the number of students. Since the class intervals have unequal widths, the height of each bar will be adjusted based on frequency density (frequency/class width) to ensure the area of the rectangle is proportional to the frequency.

🎯 Exam Tip: When constructing histograms for unequal class widths, calculate the frequency density (frequency divided by class width) for each interval. The height of the bar for each interval should correspond to its frequency density.

Question 8. नीचे की दो सारणियों में प्राप्त किए गए अंकों के अनुसार दो सेक्शनों के विद्यार्थियों का बंटन दिया गया है :

दो बारंबारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों सेक्शनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक निरूपित कीजिए। दोनों बहुभुजों अध्ययन करके दोनों सेक्शनों के निष्पादनों की तुलना कीजिए ।
हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक ही आलेख पर दो बारंबारता बहुभुज (फ्रीक्वेंसी पॉलीगॉन) हैं जो सेक्शन A और सेक्शन B के विद्यार्थियों के प्राप्तांकों के वितरण की तुलना करते हैं। प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु (वर्ग चिन्ह) को उसकी बारंबारता के साथ प्लॉट किया गया है और बिंदुओं को रेखाखंडों से जोड़ा गया है। क्षैतिज अक्ष पर प्राप्तांक (अंक) और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर बारंबारता (विद्यार्थियों की संख्या) दर्शाई गई है। यह आलेख दोनों सेक्शनों के प्रदर्शन की सापेक्षिक तुलना करने में मदद करता है।
In simple words: We need to draw two frequency polygons on the same graph to compare the performance of students in Section A and Section B. For each class interval, the mid-point (class mark) is plotted against its frequency. These points are then joined by line segments. The graph will show how the scores are distributed in both sections and allow for a visual comparison of their performance.

🎯 Exam Tip: To draw a frequency polygon, first find the mid-point (class mark) for each class interval. Plot these mid-points against their respective frequencies. Connect the points with straight lines, and extend the polygon to the mid-points of hypothetical preceding and succeeding classes with zero frequency.

Question 9. निम्नलिखित प्रेक्षण आरोही क्रम में व्यवस्थित हैं : 26, 29, 42, 53, x, x + 2, 70, 75, 82, 93 यदि माध्यक 65 है तो x का मान ज्ञात कीजिए। हलः n = 10 (सम संख्या)
माध्यक या माध्यिका \( = \frac{\frac{n}{2} \text{ वाँ पद } + (\frac{n}{2} + 1) \text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{\frac{10}{2} \text{ वाँ पद } + (\frac{10}{2} + 1) \text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{5 \text{वाँ पद } + 6 \text{ वाँ पद}}{2} \)
\( 65 = \frac{x+x+2}{2} \)
\( 130 = 2x + 2 \)
\( 130-2 = 2x \)
\( 128 = 2x \)
\( \frac{128}{2} = x \)
.
\( \implies \) x = 64
Answer:
प्रेक्षणों की संख्या (n) = 10 (जो कि एक सम संख्या है)
आँकड़ें आरोही क्रम में हैं: 26, 29, 42, 53, x, x + 2, 70, 75, 82, 93
माध्यक का सूत्र (सम संख्या के लिए):
माध्यक = \( \frac{\left(\frac{n}{2}\right) \text{वाँ पद } + \left(\frac{n}{2} + 1\right) \text{वाँ पद}}{2} \)
माध्यक = \( \frac{\left(\frac{10}{2}\right) \text{वाँ पद } + \left(\frac{10}{2} + 1\right) \text{वाँ पद}}{2} \)
माध्यक = \( \frac{5 \text{ वाँ पद } + 6 \text{ वाँ पद}}{2} \)
दिए गए प्रेक्षणों से:
5 वाँ पद = x
6 वाँ पद = x + 2
दिया गया माध्यक = 65
तो, \( 65 = \frac{x + (x + 2)}{2} \)
\( 65 \times 2 = 2x + 2 \)
\( 130 = 2x + 2 \)
\( 130 - 2 = 2x \)
\( 128 = 2x \)
\( x = \frac{128}{2} \)
x = 64
In simple words: Since there are 10 observations (an even number) in ascending order, the median is the average of the 5th and 6th terms. Given the median is 65, we set up the equation \((x + (x+2))/2 = 65\) and solve for x.

🎯 Exam Tip: Always verify that the data is indeed in ascending order before applying the median formula. This is a common pitfall in such questions.

Question 10. एक कक्षा के 9 विद्यार्थियों की लम्बाइयाँ (सेमी में) निम्न है- 155, 160, 145, 140, 150, 147, 152, 144, 149 माध्यक ज्ञात कीजिए । हल: n = 9 (विषम संख्या) आरोही क्रम = 140, 144, 145, 147, 149, 150, 152, 155, 160
Answer:
दी गई लम्बाइयाँ (सेमी में): 155, 160, 145, 140, 150, 147, 152, 144, 149
प्रेक्षणों की संख्या (n) = 9 (जो कि एक विषम संख्या है)
सबसे पहले, आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
140, 144, 145, 147, 149, 150, 152, 155, 160
माध्यक का सूत्र (विषम संख्या के लिए):
माध्यक = \( \left( \frac{n+1}{2} \right) \) वाँ पद
माध्यक = \( \left( \frac{9+1}{2} \right) \) वाँ पद
माध्यक = \( \frac{10}{2} \) वाँ पद
माध्यक = 5 वाँ पद
आरोही क्रम में, 5 वाँ पद 149 है।
अतः, माध्यक = 149 सेमी
In simple words: First, arrange the given heights in ascending order. Since there are 9 observations (an odd number), the median is the value at the \((n+1)/2\)th position, which is the 5th term in the ordered list.

🎯 Exam Tip: Always arrange the data in ascending or descending order before finding the median. Failure to do so is a common mistake that leads to incorrect answers.

Question 11. 5 व्यक्तियों से यह पूछा गया कि अपने समुदाय के सामाजिक कार्य करने में वे एक सप्ताह में कितना समय देते हैं। उनका कहना था क्रमशः 10, 7, 13, 20 और 15 घंटे । एक सप्ताह में उनके द्वारा सामाजिक कार्य में लगाए गए समयों का माध्य ज्ञात कीजिए। हलः
Answer:
दिए गए समय (घंटों में): 10, 7, 13, 20, 15
व्यक्तियों की संख्या (n) = 5
माध्य का सूत्र = \( \frac{\text{सभी प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की संख्या}} \)
सभी प्रेक्षणों का योग = 10 + 7 + 13 + 20 + 15 = 65
माध्य = \( \frac{65}{5} \)
माध्य = 13
अतः, सामाजिक कार्य में लगाए गए समयों का माध्य 13 घंटे है।
In simple words: To find the mean, sum all the given hours spent on social work and then divide by the total number of individuals (5 in this case).

🎯 Exam Tip: The mean is simply the arithmetic average. Ensure accurate addition of all values before dividing by the count.

Question 12. एक टीम द्वारा मैचों की एक श्रृंखला में प्राप्त किए गए अंक हैं : 17, 2, 7, 27, 15, 5, 14, 8, 10, 24, 48, 10, 8, 7, 18, 28 टीम द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का माध्यक ज्ञात कीजिए। हलः अंको का माध्यक (माध्यिका) के लिए n = 16 (सम संख्या) आरोही क्रम = 2,5,7,7,8,8,10,10,14,15,17,18, 24, 27, 28,48
माध्यिका \( = \frac{16 \text{ वाँ पद } + (\frac{16}{2} + 1) \text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{8 \text{वाँ पद } + 9 \text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{10+14}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
Answer:
दिए गए अंक: 17, 2, 7, 27, 15, 5, 14, 8, 10, 24, 48, 10, 8, 7, 18, 28
प्रेक्षणों की कुल संख्या (n) = 16 (जो कि एक सम संख्या है)
अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
2, 5, 7, 7, 8, 8, 10, 10, 14, 15, 17, 18, 24, 27, 28, 48
माध्यक का सूत्र (सम संख्या के लिए):
माध्यक = \( \frac{\left(\frac{n}{2}\right) \text{वाँ पद } + \left(\frac{n}{2} + 1\right) \text{वाँ पद}}{2} \)
माध्यक = \( \frac{\left(\frac{16}{2}\right) \text{वाँ पद } + \left(\frac{16}{2} + 1\right) \text{वाँ पद}}{2} \)
माध्यक = \( \frac{8 \text{ वाँ पद } + 9 \text{ वाँ पद}}{2} \)
आरोही क्रम में:
8 वाँ पद = 10
9 वाँ पद = 14
माध्यक = \( \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
अतः, टीम द्वारा प्राप्त अंकों का माध्यक 12 है।
In simple words: First, arrange all the scores in ascending order. Since there are 16 scores (an even number), the median is the average of the two middle scores: the 8th and 9th terms in the ordered list.

🎯 Exam Tip: Always carefully list out the ordered data and pinpoint the middle terms. For even 'n', failing to average the two correct middle terms is a common error.

Question 13. आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए: 4, 6, 5, 9, 3, 2, 7, 7, 6, 5, 4, 9, 10, 10, 3, 4, 7, 6, 9, 9 हलः १
Answer: बहुलक = 9
In simple words: The mode is the number that appears most frequently in the data set. By counting, the number 9 appears four times, which is more than any other number in the given list.

🎯 Exam Tip: For longer lists, it's beneficial to make a quick tally or arrange the numbers to easily count frequencies and identify the mode.

Question 14. बॉस्केट-बॉल की एक टीम द्वारा अनेक मैचों में प्राप्त किए गए अंक निम्न हैं : 17, 2, 7, 27, 25, 5, 14, 18, 10, 24, 48, 10, 8, 7, 10, 28 उपरोक्त आँकड़ों का माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए। हलः आरोही क्रम = 2, 5,7,7, 8, 10, 10, 10,14,17,18,24, 25, 27, 28, 48 n = 16 (सम संख्या)
माध्यिका \( = \frac{16 \text{ वा पद } + (\frac{16}{2} + 1) \text{ वा पद}}{2} \)
\( = \frac{8 \text{वाँ पद } + 9 \text{ वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{10+14}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
बहुलक = 10
Answer:
दिए गए अंक: 17, 2, 7, 27, 25, 5, 14, 18, 10, 24, 48, 10, 8, 7, 10, 28
प्रेक्षणों की कुल संख्या (n) = 16 (जो कि एक सम संख्या है)
अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
2, 5, 7, 7, 8, 10, 10, 10, 14, 17, 18, 24, 25, 27, 28, 48
माध्यक का सूत्र (सम संख्या के लिए):
माध्यक = \( \frac{\left(\frac{n}{2}\right) \text{वाँ पद } + \left(\frac{n}{2} + 1\right) \text{वाँ पद}}{2} \)
माध्यक = \( \frac{\left(\frac{16}{2}\right) \text{वाँ पद } + \left(\frac{16}{2} + 1\right) \text{वाँ पद}}{2} \)
माध्यक = \( \frac{8 \text{ वाँ पद } + 9 \text{ वाँ पद}}{2} \)
आरोही क्रम में:
8 वाँ पद = 10
9 वाँ पद = 14
माध्यक = \( \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
बहुलक के लिए, हम आँकड़ों में सबसे अधिक बार आने वाले अंक को देखते हैं।
अंक 10 तीन बार आता है, जो किसी भी अन्य अंक से अधिक है।
अतः, बहुलक = 10
In simple words: First, arrange the scores in ascending order. The median for 16 scores (even n) is the average of the 8th and 9th terms, which are 10 and 14 respectively, giving a median of 12. The mode is 10, as it appears three times, more than any other score.

🎯 Exam Tip: When asked for both median and mode, arrange the data once. Then, use the appropriate formula for the median (odd/even n) and simply count frequencies for the mode.

Question 15.
यदि चर X के n मान \( x_1, x_2,..., x_n \) इस प्रकार से हैं कि \( \sum_{i=1}^{n} (x_i-2) = 110 \) तथा \( \sum_{i=1}^{n} (x_i-5) = 20 \) है तो n का मान तथा माध्य ज्ञात कीजिए।
हलः
Answer:
दिया गया है:
1. \( \sum_{i=1}^{n} (x_i-2) = 110 \)
2. \( \sum_{i=1}^{n} (x_i-5) = 20 \)
समीकरण (1) का विस्तार करने पर:
\( \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} 2 = 110 \)
\( \sum_{i=1}^{n} x_i - 2n = 110 \)
\( \sum_{i=1}^{n} x_i = 110 + 2n \) ...(A)
समीकरण (2) का विस्तार करने पर:
\( \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} 5 = 20 \)
\( \sum_{i=1}^{n} x_i - 5n = 20 \)
\( \sum_{i=1}^{n} x_i = 20 + 5n \) ...(B)
समीकरण (A) और (B) की तुलना करने पर (क्योंकि दोनों \( \sum_{i=1}^{n} x_i \) के बराबर हैं):
\( 110 + 2n = 20 + 5n \)
\( 110 - 20 = 5n - 2n \)
\( 90 = 3n \)
\( n = \frac{90}{3} \)
n = 30
अब n का मान 30 को समीकरण (A) में रखने पर:
\( \sum_{i=1}^{n} x_i = 110 + 2(30) \)
\( \sum_{i=1}^{n} x_i = 110 + 60 \)
\( \sum_{i=1}^{n} x_i = 170 \)
माध्य (mean) \( \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \)
\( \overline{x} = \frac{170}{30} \)
\( \overline{x} = \frac{17}{3} \)
\( \overline{x} \approx 5.67 \)
अतः, n का मान 30 है और माध्य \( \frac{17}{3} \) (या लगभग 5.67) है।
In simple words: We are given two summation equations involving \( x_i \) and 'n'. By expanding both summations and isolating \( \sum x_i \), we get two expressions for \( \sum x_i \). Equating these expressions allows us to solve for 'n'. Once 'n' is known, we substitute it back into one of the \( \sum x_i \) expressions to find the total sum of \( x_i \), and then calculate the mean by dividing the sum by 'n'.

🎯 Exam Tip: Remember the property \( \sum_{i=1}^{n} (x_i - k) = \sum_{i=1}^{n} x_i - nk \). This is crucial for expanding the summations correctly. Solve for 'n' first, then for the mean.

Question 19. गणित की एक परीक्षा में एक कक्षा के 90 विद्यार्थियों द्वारा 100 में से प्राप्त किए गए अंक निम्न सारणी में दिए गए हैं:

उपरोक्त आँकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयत चित्र खींचिए ।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक आयत चित्र (Histogram) को दर्शाता है, जिसमें क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर 'प्राप्तांक' (Marks) और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर 'विद्यार्थियों की संख्या' (Number of Students) दर्शाई गई है। यह 0-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70 और 70 व उससे अधिक के अंक अंतरालों के लिए क्रमशः 7, 10, 10, 20, 20, 15 और 8 छात्रों की संख्या को प्रदर्शित करता है, जो दिए गए डेटा का ग्राफिक निरूपण है।
In simple words: यह आयत चित्र (हिस्टोग्राम) दिखाता है कि कितने छात्रों को विभिन्न अंक श्रेणियों में प्राप्त हुए हैं, जहाँ सबसे अधिक छात्र (20-20) 40-50 और 50-60 अंकों की श्रेणी में हैं।

🎯 Exam Tip: आयत चित्र बनाते समय वर्ग अंतरालों को X-अक्ष पर और बारंबारता को Y-अक्ष पर सही ढंग से दर्शाना सुनिश्चित करें, तथा आयतों की चौड़ाई और ऊँचाई डेटा के अनुरूप होनी चाहिए।

Question 20. यदि n प्रेक्षणों \( ax_1, ax_2,..., ax_n \) का माध्य \( \overline{ax} \), है तो दिखाइए कि, \( (ax_1 - \overline{ax}) + (ax_2 - \overline{ax}) + ... + (ax_n - \overline{ax}) = 0 \)
Answer: हलः
L.H.S. \( = (ax_1 - \overline{ax}) + (ax_2 - \overline{ax}) + ... + (ax_n - \overline{ax}) \)
\( = (ax_1 + ax_2 + ... + ax_n) - (\overline{ax} + \overline{ax} + ... + \overline{ax}) \) (n बार)
\( = a(x_1 + x_2 + ... + x_n) - n\overline{ax} \)
हम जानते हैं कि माध्य का सूत्र है: \( \overline{x} = \frac{\Sigma x}{n} \)
इसलिए, \( x_1 + x_2 + ... + x_n = n\overline{x} \)
और, दिए गए प्रेक्षणों \( ax_1, ax_2, ..., ax_n \) का माध्य \( \overline{ax} \) है।
अतः, \( \overline{ax} = \frac{ax_1 + ax_2 + ... + ax_n}{n} \)
\( \overline{ax} = \frac{a(x_1 + x_2 + ... + x_n)}{n} \)
\( \overline{ax} = \frac{a(n\overline{x})}{n} \)
\( \overline{ax} = a\overline{x} \)
अब, L.H.S. में वापस रखने पर:
\( = a(n\overline{x}) - n(a\overline{x}) \)
\( = an\overline{x} - an\overline{x} \)
\( = 0 \)
\( \implies R.H.S. \)
इतिसिद्धम्
In simple words: जब डेटा सेट के प्रत्येक मान से उसके माध्य को घटाकर योग किया जाता है, तो परिणाम हमेशा शून्य होता है, क्योंकि माध्य डेटा के केंद्रीय बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रमाणों को हल करते समय माध्य की परिभाषा और योग के गुणों का सही उपयोग महत्वपूर्ण है। याद रखें कि \( \Sigma (x_i - \overline{x}) = 0 \) हमेशा सत्य होता है।