Step-by-Step Textbook Solutions for Class 9 Maths Chapter 20 आंकड़े
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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 20 Statistics Ex 20.1 सांख्यिकी
Question 1. शब्द “सांख्यिकी' द्वारा (i) एकवचन रूप में, (ii) बहुवचन रूप में तुम क्या समझते हो?
Answer: सांख्यिकी वह विज्ञान है जिसमें किसी अनुसन्धान क्षेत्र से सम्बन्धित आँकडो का संकलन, वर्गीकरण, सारणीकरण, प्रस्तुतीकरण, विश्लेषण निर्वचन तथा पूर्वानुमान, किसी निश्चित उद्देश्य की पूर्ति हेतू किया जाता है।
In simple words: सांख्यिकी डेटा को इकट्ठा करने, व्यवस्थित करने, प्रस्तुत करने, विश्लेषण करने और व्याख्या करने का विज्ञान है, जिसका उपयोग किसी विशेष उद्देश्य के लिए भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है। यह संख्याओं के माध्यम से जानकारी को समझने में मदद करता है।
🎯 Exam Tip: सांख्यिकी की परिभाषा को स्पष्ट रूप से याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह विषय की नींव है और अक्सर सीधे प्रश्न के रूप में पूछा जाता है।
Question 2. 30 विद्यार्थियों ने एक परीक्षा में निम्न अंक प्राप्त किए- 20, 23, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 36, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 45, 48, 44, 50, 50, 52, 53, 54, 56, 56, 58, 61, 62, 65, 65 वर्ग अन्तराल 20-29, 30-39, 40-49, 50-59 तथा 60-69 लेकर इन्हें बारंबारता बंटनीय रूप में दर्शाइये ।
Answer:
| वर्ग अन्तराल | मिलान चिह्न | बारंबारता |
|---|---|---|
| 20-29 | ||| | 3 |
| 30-39 | 6 | |
| 40-49 | 9 | |
| 50-59 | ||| | 8 |
| 60-69 | |||| | 4 |
| कुल | 30 |
In simple words: इस प्रश्न में दिए गए अंकों को निर्धारित वर्ग अंतरालों में वर्गीकृत किया गया है, और प्रत्येक अंतराल में आने वाले अंकों की संख्या को मिलान चिह्नों और बारंबारता के रूप में दर्शाया गया है। यह डेटा को एक संगठित तरीके से प्रस्तुत करने में मदद करता है।
🎯 Exam Tip: बारंबारता बंटन सारणी बनाते समय, सुनिश्चित करें कि सभी डेटा बिंदु शामिल हैं और प्रत्येक अंतराल के लिए मिलान चिह्न तथा बारंबारता की गणना सही ढंग से की गई है। अंत में, कुल बारंबारता मूल डेटा बिंदुओं की कुल संख्या से मेल खानी चाहिए।
Question 3. एक सोसाइटी में 30 घरों के पानी के बिल (Rs. में) नीचे दिये गये हैं। वर्ग-माप 10 लेकर एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी के रूप में निरूपित कीजिए: 30, 32, 45, 54, 74, 78, 108, 112, 66, 76, 88, 40, 14, 20, 15, 35, 44, 66, 75, 84, 95, 96, 102, 110, 88, 74, 112, 14, 34, 44
Answer:
| बिल (Rs. में) | मिलान चिह्न | बारंबारता |
|---|---|---|
| 14-24 | |||| | 4 |
| 24-34 | || | 2 |
| 34-44 | ||| | 3 |
| 44-54 | ||| | 3 |
| 54-64 | | | 1 |
| 64-74 | || | 2 |
| 74-84 | 5 | |
| 84-94 | ||| | 3 |
| 94-104 | ||| | 3 |
| 104-114 | |||| | 4 |
| कुल | 30 |
In simple words: पानी के बिलों के डेटा को वर्ग-माप 10 का उपयोग करके वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी में व्यवस्थित किया गया है। यह दिखाता है कि विभिन्न बिल श्रेणियों में कितने घर आते हैं, जिससे डेटा का अवलोकन आसान हो जाता है।
🎯 Exam Tip: जब वर्ग-माप दिया गया हो, तो सुनिश्चित करें कि वर्ग अंतराल सही ढंग से निर्धारित किए गए हैं और कोई भी डेटा बिंदु छूट न जाए। प्रत्येक वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा को अगले वर्ग अंतराल की निचली सीमा के रूप में उपयोग करें (यदि समावेशी श्रृंखला नहीं है)।
Question 4. निम्नलिखित आँकड़ों के प्रयोग से एक बारंबारता सारणी बनाइयेः 315, 320, 324, 317, 324, 319, 320, 317, 323, 325, 316, 318, 321, 322, 325, 319, 324, 321, 316, 319, 320, 320, 322, 323.
Answer:
| x | मिलान चिह्न | बारंबारता |
|---|---|---|
| 315 | | | 1 |
| 316 | || | 2 |
| 317 | || | 2 |
| 318 | | | 1 |
| 319 | ||| | 3 |
| 320 | |||| | 4 |
| 321 | || | 2 |
| 322 | || | 2 |
| 323 | || | 2 |
| 324 | ||| | 3 |
| 325 | || | 2 |
| कुल | 24 |
In simple words: दिए गए डेटा बिंदुओं को व्यक्तिगत मानों के अनुसार एक बारंबारता सारणी में सूचीबद्ध किया गया है, जहाँ प्रत्येक मान की कितनी बार पुनरावृत्ति हुई है, उसे मिलान चिह्नों और बारंबारता के माध्यम से दिखाया गया है।
🎯 Exam Tip: जब डेटा वर्गीकृत न हो, तो प्रत्येक अद्वितीय मान की बारंबारता की गणना करते समय सावधानी बरतें। मिलान चिह्नों का उपयोग करके गणना त्रुटियों से बचा जा सकता है और अंत में कुल बारंबारता की जाँच करना महत्वपूर्ण है।
Question 5. नीचे 16 विद्यार्थियों की लम्बाइयाँ इंचों में दी गई हैं। 5 के वर्ग-अन्तराल के प्रयोग से एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइये : 62, 70, 72, 64, 65, 71, 70, 60, 64, 72, 60, 61, 69, 70, 64, 71
Answer:
| ऊँचाई (इंचों में) | मिलान चिह्न | बारंबारता |
|---|---|---|
| 60-65 | 7 | |
| 65-70 | || | 2 |
| 70-75 | 7 | |
| कुल | 16 |
In simple words: 16 विद्यार्थियों की ऊंचाइयों को 5 इंच के वर्ग-अंतराल का उपयोग करके एक बारंबारता बंटन सारणी में व्यवस्थित किया गया है। यह सारणी दिखाती है कि प्रत्येक ऊंचाई श्रेणी में कितने विद्यार्थी आते हैं।
🎯 Exam Tip: वर्गीकृत बारंबारता बंटन बनाते समय, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यदि वर्ग अंतराल समावेशी नहीं हैं, तो ऊपरी सीमा को अगले अंतराल में शामिल किया जाएगा। यहाँ, 65-70 में 65 शामिल है लेकिन 70 नहीं, और 70-75 में 70 शामिल है लेकिन 75 नहीं। सुनिश्चित करें कि डेटा को सही वर्ग में रखा गया है।
Question 6. एक बंटन के वर्ग-चिह्न 104, 114, 124, 134, 144, 154 तथा 164 हैं। वर्ग-माप तथा वर्ग-सीमा निकालिये।
Answer: वर्ग माप = 10
वर्ग सीमा = 100-110, 110-120, 120-130, 130-140, 140-150, 150-160, 160-170, 170-180 है।
In simple words: वर्ग-चिह्न दिए गए हैं, जो वर्ग अंतरालों के मध्य बिंदु होते हैं। वर्ग-माप किन्हीं भी दो लगातार वर्ग-चिह्नों के बीच का अंतर होता है। एक बार वर्ग-माप और वर्ग-चिह्न ज्ञात हो जाने पर, प्रत्येक वर्ग अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाओं की गणना की जा सकती है।
🎯 Exam Tip: वर्ग-माप की गणना दो क्रमागत वर्ग-चिह्नों के बीच के अंतर से की जाती है। वर्ग-सीमाओं को प्राप्त करने के लिए, वर्ग-चिह्न में से वर्ग-माप के आधे को घटाएं और जोड़ें। उदाहरण के लिए, यदि वर्ग-चिह्न \(M\) और वर्ग-माप \(h\) है, तो वर्ग सीमाएँ \(M - h/2\) से \(M + h/2\) होंगी।
Question 7. एक सोसाइटी के 40 घरों के बिजली के बिल (Rs. में) नीचे दिये गये हैं: 116, 127, 107, 100, 80, 82, 91, 101, 65, 95,87,81, 105, 129, 92, 75, 89, 78,87, 81, 59,52, 65, 101, 115, 108,95, 65, 98, 62,84, 76, 63, 128, 121, 61, 118, 108, 116, 130. वर्गीकृत-बारंबारता सारणी बनाइये।
Answer:
| बिजली के बिल (Rs. में) | मिलान चिह्न | बारंबारता |
|---|---|---|
| 52-62 | ||| | 3 |
| 62-72 | 5 | |
| 72-82 | 6 | |
| 82-92 | 6 | |
| 92-102 | 7 | |
| 102-112 | |||| | 4 |
| 112-122 | 5 | |
| 122-132 | |||| | 4 |
| कुल | 40 |
In simple words: 40 घरों के बिजली के बिलों के डेटा को एक वर्गीकृत बारंबारता सारणी में व्यवस्थित किया गया है। प्रत्येक वर्ग अंतराल में आने वाले बिलों की संख्या को मिलान चिह्नों और बारंबारता का उपयोग करके दर्शाया गया है, जिससे बिल वितरण का स्पष्ट चित्र मिलता है।
🎯 Exam Tip: वर्गीकृत बारंबारता सारणी बनाते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए सावधानीपूर्वक डेटा को अंतराल में रखें कि कोई भी मान गलत वर्ग में न जाए, विशेष रूप से जब वर्ग सीमाएँ दोहराव वाली हों (जैसे 62-72 और 72-82)।
Question 8. नीचे दिये गये आँकड़ों से एक बारंबारता सारणी तैयार कीजिए। 90, 97, 92, 95, 93, 95, 93, 85, 93, 85, 83, 77, 83, 77, 74, 60, 71, 65, 74, 80, 87, 82, 81, 76, 61, 63, 58, 58, 56, 57
Answer:
| वर्ग अन्तराल | मिलान चिह्न | बारंबारता |
|---|---|---|
| 50-60 | |||| | 4 |
| 60-70 | |||| | 4 |
| 70-80 | 6 | |
| 80-90 | 8 | |
| 90-100 | 8 | |
| कुल | 30 |
In simple words: दिए गए अंकों को विभिन्न वर्ग अंतरालों में वर्गीकृत करके एक बारंबारता सारणी बनाई गई है। यह सारणी दिखाती है कि प्रत्येक अंक सीमा में कितने डेटा बिंदु आते हैं, जिससे डेटा का संगठन स्पष्ट होता है।
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई डेटा बिंदु छूट न जाए या दो बार गिना न जाए, वर्ग अंतरालों को ध्यान से परिभाषित करें। मिलान चिह्नों का उपयोग करके गणना में सटीकता बनाए रखें।
Question 9. 30 विद्यार्थियों के गणित में अन्तिम अंक निम्न प्रकार दिये गये हैं: 53, 61, 48, 60, 78, 68, 55, 100, 67, 90, 75, 88, 77, 37, 84, 58, 60, 48, 62, 56, 44, 58, 52, 64, 98, 59, 70, 39, 56, 60.
Answer:
(i) इन अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। जैसे - 30-39 एक समूह, 40-49 दूसरा समूह आदि ।: सारणी 30-49, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79, 80-89, 90-99 तथा 100-109 तक बनाओ ।
(ii) अधिकतम स्कोर क्या है?: 100
(iii) निम्नतम स्कोर क्या है?: 37
(iv) परास क्या है?: 63
(v) यदि उत्तीर्ण अंक 40 है तो कितने अनुत्तीर्ण हैं?: 2
(vi) 75 या अधिक अंक कितने विद्यार्थियों ने प्राप्त किए?: 8
(vii) 50 से 60 के बीच कौन-सा प्रेक्षण वास्तव में नहीं होगा।: 51, 54, 57
(viii) 50 से कम अंक कितनों ने प्राप्त किए?: 5
In simple words: यह प्रश्न गणित के अंकों का विश्लेषण करता है। हमने अधिकतम और न्यूनतम अंक, परास (रेंज) और पास/फेल हुए छात्रों की संख्या जैसे विभिन्न सांख्यिकीय गुणों की पहचान की है, साथ ही विशिष्ट अंक श्रेणियों में आने वाले प्रेक्षणों की भी जाँच की है।
🎯 Exam Tip: ऐसे बहु-भागीय प्रश्नों में, प्रत्येक भाग का उत्तर देने से पहले डेटा को ध्यान से पढ़ें और व्यवस्थित करें (जैसे आरोही क्रम में)। प्रत्येक उप-प्रश्न को सावधानीपूर्वक हल करें और यह सुनिश्चित करने के लिए अपनी गणना की दोबारा जांच करें कि सभी शर्तें पूरी हुई हैं।
Question 10. दी गई समावेशी श्रृंखला को अपवर्जी श्रृंखला में बदलिए :
Answer:
| वर्ग अन्तराल | बारंबारता |
|---|---|
| 10-19 | 3 |
| 20-29 | 5 |
| 30-39 | 2 |
| 40-49 | 9 |
| 50-59 | 5 |
| कुल | 24 |
| वर्ग अन्तराल | बारंबारता |
|---|---|
| 9.5-19.5 | 3 |
| 19.5-29.5 | 5 |
| 29.5-39.5 | 2 |
| 39.5-49.5 | 9 |
| 49.5-59.5 | 5 |
| कुल | 24 |
In simple words: समावेशी श्रृंखला में, प्रत्येक वर्ग की ऊपरी सीमा और अगले वर्ग की निचली सीमा में एक अंतराल होता है। इसे अपवर्जी श्रृंखला में बदलने के लिए, हम अंतराल को दूर करने के लिए निचली सीमा से 0.5 घटाते हैं और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ते हैं, जिससे डेटा निरंतर हो जाता है।
🎯 Exam Tip: समावेशी से अपवर्जी श्रृंखला में बदलते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप सभी वर्ग अंतरालों पर आवश्यक समायोजन (निचली सीमा से 0.5 घटाना, ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ना) समान रूप से लागू करें। इससे डेटा की निरंतरता बनी रहती है और गणनाओं में सटीकता सुनिश्चित होती है।
Question 11. वर्ग अन्तराल 13.5 - 15.5 का मध्य-बिन्दु क्या है?
Answer: 14.5
In simple words: वर्ग अंतराल का मध्य-बिंदु उस अंतराल की निचली सीमा और ऊपरी सीमा का औसत होता है। इसे निचली सीमा और ऊपरी सीमा को जोड़कर और फिर 2 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
🎯 Exam Tip: किसी वर्ग अंतराल का मध्य-बिंदु (या वर्ग-चिह्न) ज्ञात करने के लिए, निचली वर्ग सीमा और ऊपरी वर्ग सीमा को जोड़ें और परिणाम को 2 से विभाजित करें। यह माध्य मान डेटा प्रतिनिधित्व और आगे की सांख्यिकीय गणनाओं के लिए महत्वपूर्ण है।
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