UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 16 Constructions Ex 16.1

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 16 Constructions Ex 16.1 रचनाएँ

Question 1. एक △ ABC बनायें, जिसका आधार BC = 4 सेमी, ∠B = 60° तथा AB - AC = 1 सेमी है। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: BC, 4 सेमी की रेखा खींची तथा बिन्दु B पर एक कोण 60° का बनाया। चरण 2 : इस 60° के कोण वाली रेखा पर 1 सेमी पर चाप D लगाया। चरण 3 : बिन्दु D को C से मिलाकर DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो रेखा को A पर काटता है। A को C से मिलाया ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है। इसमें आधार BC 4 सेमी है और कोण B 60 डिग्री है। AB और AC भुजाओं का अंतर 1 सेमी है, जिसे बिन्दु D द्वारा दर्शाया गया है, जहाँ BD 1 सेमी है। △ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जहाँ आधार BC 4 सेमी है, कोण B 60 डिग्री है, और भुजा AB, भुजा AC से 1 सेमी लंबी है। यह एक विशेष प्रकार की त्रिभुज रचना है जहाँ दो भुजाओं का अंतर दिया होता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की रचना में, दिए गए कोण और भुजाओं के अंतर का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है। लम्ब समद्विभाजक खींचने की सटीकता पर ध्यान दें।

Question 2. एक त्रिभुज PQR बनाये, जिसमें आधार QR = 4 सेमी, ∠R = 30° तथा PR - PQ = 1.1 सेमी है। हलः
Answer: रचनाः चरण 1: QR, 4 सेमी की रेखा खींची तथा ∠R, 30° का कोण बनाती हुई रेखा खींची। चरण 2 : बिन्दु R से एक चाप लगाया जो 30° वाली रेखा को पीछे बढ़ाने पर बिन्दु D पर काटता है। QD को मिलाया। चरण 3 : QD का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो रेखा को P पर काटता है, PQ को मिलाया । △ PQR ही अभीष्ट त्रिभुज है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज PQR के निर्माण को दर्शाता है। इसमें आधार QR 4 सेमी है और कोण R 30 डिग्री है। भुजा PR और PQ का अंतर 1.1 सेमी है, जिसे बिन्दु D द्वारा दर्शाया गया है, जहाँ RD 1.1 सेमी है और D को Q से मिलाया गया है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज PQR बनाना है जहाँ आधार QR 4 सेमी है, कोण R 30 डिग्री है, और भुजा PR, भुजा PQ से 1.1 सेमी लंबी है। यह भी दो भुजाओं के अंतर पर आधारित रचना है।

🎯 Exam Tip: इस रचना में कोण R का सही माप और रेखा RD की लंबाई (भुजाओं का अंतर) की सटीकता महत्वपूर्ण है। लम्ब समद्विभाजक की क्रिया को ध्यान से करें।

Question 3. एक △ ABC बनायें, जिसमें आधार BC = 4.5 सेमी, ∠B = 60° तथा AB + AC = 7 सेमी है। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: BC, 4.5 सेमी की एक रेखा खींची। उसके ∠B पर 60° का कोण बनाया। चरण 2: 60° के कोण वाली रेखा से 7 सेमी की रेखा BD काटी तथा DC को मिलाया । चरण 3 : भुजा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BD को बिन्दु A पर काटता है, AC को मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है। इसमें आधार BC 4.5 सेमी है और कोण B 60 डिग्री है। भुजा AB और AC का योग 7 सेमी है, जिसे BD रेखाखंड पर दर्शाया गया है, जहाँ BD 7 सेमी है। इस प्रकार △ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जहाँ आधार BC 4.5 सेमी है, कोण B 60 डिग्री है, और भुजा AB तथा AC का योग 7 सेमी है। यह एक विशेष प्रकार की त्रिभुज रचना है जहाँ दो भुजाओं का योग दिया होता है।

🎯 Exam Tip: दो भुजाओं का योग दिए होने पर, रचना के चरणों का सावधानी से पालन करें। कोण B की सटीकता और BD की सही लंबाई सुनिश्चित करें।

Question 4. एक △ ABC बनाये, जिसमें ∠B = 45%, ∠C = 60° तथा शीर्ष A से आधार BC पर लम्ब 4.5 सेमी का है। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: AD, 4.5 सेमी की एक रेखा खींची। उसके बिन्दु A पर 30° का कोण ऊपर तथा 45° का कोण नीचे की ओर बनाया। चरण 2 : बिन्दु D पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा खींची जो उपर बिन्दु C तथा नीचे बिन्दु B पर काटती है। अतः △ ABC ही अभीष्ट △ है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है। इसमें शीर्ष A से आधार BC पर लम्ब AD की लंबाई 4.5 सेमी है। कोण B 45 डिग्री है और कोण C 60 डिग्री है। कोणों का निर्माण AD पर 30 और 45 डिग्री के रूप में दर्शाया गया है, और D पर 90 डिग्री का कोण BC को काटता है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जहाँ कोण B 45 डिग्री, कोण C 60 डिग्री और शीर्ष A से आधार BC पर डाले गए लम्ब की लंबाई 4.5 सेमी है। रचना शुरू करने के लिए पहले लम्ब खींचा जाता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की रचना में, शीर्षलम्ब से शुरुआत करना और दिए गए आधार कोणों के पूरक कोणों का उपयोग करना एक प्रमुख बिंदु है। कोणों की सटीकता पर विशेष ध्यान दें।

Question 5. एक △ ABC बनाइए यदि इसका परिमाप 11 सेमी तथा आधार कोण 75° तथा 30° के है। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: PQ, 11 सेमी की एक रेखा खींची। उसके बिन्दु P तथा Q पर क्रमशः 75° व 30° के कोण बनाये । चरण 2 : ∠P व ∠Q के समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करते हैं। चरण 3 : AP तथा AQ के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो आधार PQ को क्रमशः B व C पर प्रतिच्छेद करते हैं। चरण 4: A को B तथा A को C से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है जहाँ उसका परिमाप 11 सेमी है। एक रेखा PQ 11 सेमी लंबी खींची गई है। P पर 75 डिग्री और Q पर 30 डिग्री के कोण बनाए गए हैं। इन कोणों के समद्विभाजक बिंदु A पर मिलते हैं। AP और AQ के लम्ब समद्विभाजक PQ को B और C पर काटते हैं, जिससे त्रिभुज ABC बनता है। △ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जिसका कुल परिमाप 11 सेमी है और उसके आधार पर दो कोण 75 डिग्री और 30 डिग्री हैं। यह रचना आधार रेखा की कुल लंबाई (जो परिमाप है) लेकर शुरू होती है।

🎯 Exam Tip: परिमाप और आधार कोण दिए होने पर, रचना में पहले एक रेखा को परिमाप के बराबर खींचना और फिर उसके अंत बिंदुओं पर दिए गए कोणों के आधे कोण बनाना महत्वपूर्ण है। कोण समद्विभाजक और लम्ब समद्विभाजक की सटीकता पर ध्यान दें।

Question 6. एक △ ABC बनाये जिसका परिमाप 14 सेमी है तथा भुजाएं 2 : 3 : 4 के अनुपात में है। हलः रचनाः
Answer: △ ABC में परिमाप = 14 सेमी माना AB = 2x, BC = 3x, AC = 4x \( 2x + 3x + 4x = 14 \) \( \implies 9x = 14 \) चरण 1: BC, 4.7 सेमी की एक रेखा खींची । चरण 2: उसके बिन्दु B व C को केन्द्र मानकर क्रमशः 3.1 सेमी व 6.2 सेमी लम्बाई के चाप लगाये जो परस्पर A पर प्रतिच्छेद करते हैं। चरण 3 : A को B से तथा A को C से मिलाया। अतः △ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है जिसकी भुजाएँ 2:3:4 के अनुपात में हैं और परिमाप 14 सेमी है। भुजाओं की गणना के बाद, BC 4.7 सेमी, AB 3.1 सेमी, और AC 6.2 सेमी प्राप्त होती हैं। इन भुजाओं की लंबाई के चाप खींचकर त्रिभुज ABC का निर्माण किया गया है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जिसका परिमाप 14 सेमी है और जिसकी भुजाओं का अनुपात 2:3:4 है। सबसे पहले, आपको इस अनुपात और परिमाप का उपयोग करके प्रत्येक भुजा की वास्तविक लंबाई ज्ञात करनी होगी।

🎯 Exam Tip: भुजाओं का अनुपात और परिमाप दिए होने पर, पहले x का मान निकालकर प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात करें। फिर इन भुजाओं का उपयोग करके त्रिभुज का निर्माण करें।

Question 7. एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए यदि इसकी ऊँचाई 5 सेमी है। हलः रचना :
Answer: चरण 1: PQ, एक रेखा खींची। उसके किसी बिन्दु D पर 90° का कोण बनाती हुई एक रेखा DE खींची। चरण 2 : रेखा DE से DA, 5 सेमी की रेखा काटी। चरण 3 : रेखा DE के बिन्दु A पर दोनों ओर 30° के कोण बनाये जो आधार PQ को क्रमश: B व C पर काटते हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समबाहु त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है जिसकी ऊँचाई 5 सेमी है। एक रेखा PQ खींची गई है और उस पर बिन्दु D पर 90 डिग्री का कोण बनाती हुई DE रेखा खींची गई है। DA को 5 सेमी मापा गया है। बिन्दु A से दोनों ओर 30 डिग्री के कोण बनाए गए हैं जो PQ को B और C पर काटते हैं। अतः △ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक समबाहु त्रिभुज बनाना है जिसकी ऊँचाई 5 सेमी है। समबाहु त्रिभुज में सभी कोण 60 डिग्री होते हैं। आप एक आधार रेखा और शीर्षलम्ब खींचकर शुरुआत कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज की रचना में, ऊँचाई (शीर्षलम्ब) का सही माप और शीर्ष से आधार पर बनने वाले 30 डिग्री के कोणों का सटीक निर्माण महत्वपूर्ण है।

Question 8. एक समकोण A बनाये जब एक भुजा 3.5 सेमी तथा कर्ण व अन्य दो भुजाओं का योग 5.5 सेमी है। (NCERT Exemplar) हलः रचना :
Answer: चरण 1: BC, 3.5 सेमी की एक रेखा खींची। उसके किसी बिन्दु B पर 90° का कोण बनाती हुई 5.5 सेमी की एक रेखा BD खींची। चरण 2: बिन्दु D को C से मिलाया। तथा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा, जो BD को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करता है। चरण 3 : A को C से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समकोण त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है। इसमें एक भुजा BC 3.5 सेमी है और कर्ण (hypotenuse) तथा अन्य भुजा (AB) का योग 5.5 सेमी है। बिन्दु B पर 90 डिग्री का कोण बनाया गया है और BD को 5.5 सेमी मापा गया है। DC का लम्ब समद्विभाजक BD को A पर काटता है। अतः △ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक समकोण त्रिभुज बनाना है जहाँ एक भुजा 3.5 सेमी है और कर्ण व दूसरी भुजा का योग 5.5 सेमी है। रचना में 90 डिग्री के कोण का उपयोग करना और भुजाओं के योग को एक रेखाखंड पर प्रदर्शित करना शामिल है।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज की रचना में, 90° का कोण और भुजाओं के योग की लंबाई का सही माप महत्वपूर्ण है। लम्ब समद्विभाजक का उपयोग करके शीर्ष A को सही ढंग से निर्धारित करें।

Question 9. एक त्रिभुज ABC बनायें जिसमें BC = 4 सेमी, ∠B = 75° तथा माध्यिका 3.2 सेमी है। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: BC, 4 सेमी की एक रेखा खींची। उसके किसी बिन्दु B पर 75° का कोण बनाती हुई एक रेखा खींची । चरण 2 : बिन्दु BC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BC को बिन्दु M पर काटता है। चरण 3: बिन्दु M को केन्द्र मानकर 75° के कोण वाली रेखा पर एक चाप । काटा जो उसे A पर काटता है। A को C से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है। इसमें आधार BC 4 सेमी है और कोण B 75 डिग्री है। माध्यिका AM की लंबाई 3.2 सेमी है। BC का मध्यबिंदु M ज्ञात किया गया है, और M से एक चाप खींचा गया है जो कोण B की रेखा को A पर काटता है, जिससे माध्यिका AM 3.2 सेमी बनती है। अतः △ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज हैं।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जहाँ आधार BC 4 सेमी, कोण B 75 डिग्री और A से BC पर माध्यिका (जो BC को दो बराबर भागों में बांटती है) की लंबाई 3.2 सेमी है।

🎯 Exam Tip: इस रचना में माध्यिका की लंबाई का सही उपयोग करने के लिए आधार के मध्यबिंदु को ज्ञात करना और उससे सही लंबाई का चाप लगाना महत्वपूर्ण है।

Question 10. एक △ABC बनाये जिसमें आधार BC = 5.4 सेमी, A शीर्षलम्ब 2.6 सेमी है तथा AB को समद्विभाग करने वाली माध्यिका 3.5 सेमी है। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: BC, 5.4 सेमी की एक रेखा खींची। उसके बिन्दु B पर नीचे की ओर 30° का कोण बनाया तथा उस रेखा पर 90° का कोण बनाती हुई एक रेखा खींची। चरण 2: BC रेखा का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो उसे M पर काटता है तथा 90° वाली रेखा को O पर काटता है। चरण 3: बिन्दु 0 को केन्द्र मानकर BO दूरी परकार में लेकर एक वृत्तखण्ड खींचा। बिन्दु M को केन्द्र मानकर माध्यिका 3.5 सेमी से दो चाप लगाये जो वृत्तखण्ड को A व A' पर काटते हैं। चरण 4: A को B से तथा A को C से मिलाया । A' को B तथा C से मिलया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC और A'BC के निर्माण को दर्शाता है। आधार BC 5.4 सेमी है। शीर्षलम्ब 2.6 सेमी है और AB को समद्विभाग करने वाली माध्यिका 3.5 सेमी है। रचना में BC का मध्यबिंदु M, और 90 डिग्री कोण पर बिंदु O का उपयोग करके एक वृत्तखण्ड बनाया गया है। M से 3.5 सेमी की माध्यिका के चाप ने वृत्तखण्ड को A और A' पर काटा, जिससे दो संभव त्रिभुज बनते हैं। अत: △ ABC तथा A'BC दो अभीष्ट त्रिभुज है। इस प्रकार ABC तथा A'BC दो त्रिभुज सम्भव है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जिसमें आधार BC 5.4 सेमी, शीर्षलम्ब 2.6 सेमी और AB को समद्विभाग करने वाली माध्यिका की लंबाई 3.5 सेमी है। इस प्रकार की रचना में दो संभव त्रिभुज बन सकते हैं।

🎯 Exam Tip: इस रचना में शीर्षलम्ब और माध्यिका दोनों का उपयोग होता है। BC के लम्ब समद्विभाजक और 90° कोण पर खींची गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु (O) वृत्तखण्ड बनाने के लिए महत्वपूर्ण है। माध्यिका की लंबाई का सही उपयोग शीर्ष A को ज्ञात करने में सहायक होता है।

Question 11. एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें आधार AB = 3.8 सेमी, AD = DC = 3.2 सेमी, BD = 4.1 सेमी तथा BC = 2.2 सेमी है। अब चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल का एक त्रिभुज DAE बनायें। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: AB, 3.8 सेमी की रेखा खींची। A का केन्द्र मानकर 3.2 सेमी से एक चाप तथा बिन्दु B को केन्द्र मानकर 4.1 सेमी से एक चाप लगाया जो परस्पर D पर काटता है। चरण 2: बिन्दु D से 3.2 सेमी का एक चाप तथा 2.2 सेमी का एक चाप लगाया जो परस्पर C पर काटते हैं। चरण 3 : BD, DC तथा BC को मिलाया। इस प्रकार ABCD एक चतुर्भुज है। चरण 4: AB को आगे बढ़ाया तथा बिन्दु C से DB||CE खींची, फिर D को E से मिलाया। अतः △DAE ही अभीष्ट त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल, चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चतुर्भुज ABCD और एक त्रिभुज DAE को दर्शाता है। चतुर्भुज ABCD की भुजाएं AB=3.8 सेमी, AD=DC=3.2 सेमी, BD=4.1 सेमी, BC=2.2 सेमी हैं। चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर एक त्रिभुज DAE बनाने के लिए, AB को आगे E तक बढ़ाया गया है और C से DB के समानांतर CE रेखा खींची गई है।
In simple words: आपको एक चतुर्भुज ABCD बनाना है जिसकी भुजाओं की लंबाई और एक विकर्ण दिया गया है। फिर, आपको इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल वाला एक त्रिभुज DAE बनाना है।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज बनाने के लिए दी गई भुजाओं और विकर्णों का सही माप महत्वपूर्ण है। चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर त्रिभुज बनाने के लिए, विकर्ण के समानांतर एक रेखा खींचना और आधार को बढ़ाना एक मानक विधि है।

Question 12. एक चतुर्भुज PQRS बनायें जिसमें PQ = 3.5 सेमी, QR = 6.2 सेमी, ∠P = 60°, ∠Q=105° तथा ∠S = 75° है । इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल का एक त्रिभुज बनायें । हलः
Answer: चतुर्भुज का \( \angle R = 360^\circ - (60^\circ + 105^\circ + 75^\circ) = 360^\circ – 240^\circ = 120^\circ \) रचनाः चरण 1: PQ, 3.5 सेमी की रेखा खींची । बिन्दु P पर 60° तथा Q पर 105° का कोण बनाती हुई QR, 6.2 सेमी खींची। चरण 2: QR के बिन्दु R पर 120° का कोण बनाती हुई रेखा खींची जो S पर काटती है। PQRS ही अभीष्ट चतुर्भुज है। चरण 3 : PQ को आगे तक बढ़ाया तथा R से RT || SQ खींची । S को T से मिलाया। इस प्रकार △ SPT ही अभीष्ट त्रिभुज है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चतुर्भुज PQRS और एक त्रिभुज SPT को दर्शाता है। चतुर्भुज PQRS में PQ=3.5 सेमी, QR=6.2 सेमी, कोण P=60°, कोण Q=105°, कोण S=75° हैं। कोण R की गणना 120° की गई है। चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर त्रिभुज SPT बनाने के लिए, PQ को T तक बढ़ाया गया है और R से SQ के समानांतर RT रेखा खींची गई है।
In simple words: आपको एक चतुर्भुज PQRS बनाना है जिसकी भुजाओं की लंबाई और कोण दिए गए हैं। पहले, अज्ञात कोण R ज्ञात करें। फिर, इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल वाला एक त्रिभुज SPT बनाना है।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है, इस गुण का उपयोग करके अज्ञात कोण R को ज्ञात करें। चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर त्रिभुज बनाने के लिए विकर्ण के समानांतर रेखा खींचने की विधि का सही उपयोग करें।

Question 13. एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 5.2 सेमी, BC = 6.4 सेमी, CD = 7.2 सेमी, ∠B = ∠C = 90° है। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: BC, 6.4 सेमी की रेखा खींची। चरण 2: उसके बिन्दु B व C पर 90° के कोण बनाती हुई रेखायें क्रमशः AB = 5.2 तथा CD = 7.2 सेमी खींची । चरण 3: A को D से मिलाया इस प्रकार ABCD एक अभीष्ट चतुर्भुज होगा ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चतुर्भुज ABCD के निर्माण को दर्शाता है। इसमें BC 6.4 सेमी है, AB 5.2 सेमी है, CD 7.2 सेमी है, और कोण B तथा कोण C दोनों 90 डिग्री के हैं। B और C पर 90 डिग्री के कोण बनाते हुए AB और CD को मापा गया है, फिर A और D को मिलाकर चतुर्भुज पूरा किया गया है।
In simple words: आपको एक चतुर्भुज ABCD बनाना है जहाँ भुजाओं BC, AB, CD की लंबाई और कोण B तथा कोण C 90 डिग्री दिए गए हैं। यह एक समलंब चतुर्भुज (trapezium) के समान हो सकता है यदि AB और CD समानांतर न हों।

🎯 Exam Tip: दिए गए 90° के कोणों का सटीक निर्माण और भुजाओं की लंबाई का सही माप इस रचना के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 14. एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 5.4 सेमी, BC = 6 सेमी, AD = 4 सेमी, विकर्ण BD = 8.6 सेमी तथा विकर्ण AC = 10 सेमी है। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: BC, 6 सेमी खींची, उसके बिन्दु B पर 5.4 सेमी का चाप लगाया तथा बिन्दु C पर 10 सेमी का चाप लगाया जो एक दूसरे को A पर काटते है। A को B तथा C से मिलाया। चरण 2: बिन्दु A को केन्द्र मानकर 4 सेमी की दूरी से एक चाप तथा B को केन्द्र मानकर 8.6 सेमी की दूरी पर एक चाप लगाया जो । परस्पर D पर काटते हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चतुर्भुज ABCD के निर्माण को दर्शाता है। इसमें भुजाएं AB=5.4 सेमी, BC=6 सेमी, AD=4 सेमी हैं, और विकर्ण BD=8.6 सेमी, AC=10 सेमी हैं। चतुर्भुज का निर्माण भुजाओं और विकर्णों के माप का उपयोग करके चाप लगाने से किया गया है। चरण 3 : A को D से तथा C को D से मिलाया। अत: ABCD एक अभीष्ट चर्तुभुज है।
In simple words: आपको एक चतुर्भुज ABCD बनाना है जहाँ सभी चार भुजाओं और दोनों विकर्णों की लंबाई दी गई है। आप इसे दो त्रिभुजों के रूप में सोचकर बना सकते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की रचना में, भुजाओं और विकर्णों की लंबाई का सटीक माप और चापों का सही प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना अत्यंत महत्वपूर्ण है।

Question 15. एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 3.5 सेमी, BC = 2.5 सेमी, CD =4 सेमी, ∠B =60° तथा ∠C = 135° । इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल का एक त्रिभुज बनायें। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: AB = 3.5 सेमी की रेखा खींची। उसके बिन्दु B पर 60° का कोण बनाती हुई रेखा 2.5 सेमी की खींची। चरण 2: बिन्दु C पर 135° का कोण बनाती हुई एक रेखा CD 4 सेमी की खींची। A को D से मिलाया। चरण 3: BD को मिलाया तथा AB को आगे बिन्दु E तक बढ़ाया तथा बिन्दु C से BD के समान्तर CE रेखा खींची। बिन्दु D को E से मिलाया। अतः △DAE ही ऐसा अभीष्ट त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल दिये गये चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चतुर्भुज ABCD और एक त्रिभुज DAE को दर्शाता है। चतुर्भुज ABCD में AB=3.5 सेमी, BC=2.5 सेमी, CD=4 सेमी, कोण B=60°, कोण C=135° हैं। चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर त्रिभुज DAE बनाने के लिए, AB को आगे E तक बढ़ाया गया है और C से विकर्ण BD के समानांतर CE रेखा खींची गई है।
In simple words: आपको एक चतुर्भुज ABCD बनाना है जिसकी भुजाओं की लंबाई और दो कोण दिए गए हैं। फिर, इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल वाला एक त्रिभुज DAE बनाना है।

🎯 Exam Tip: दिए गए कोणों का सटीक निर्माण और भुजाओं की लंबाई का सही माप इस रचना के लिए महत्वपूर्ण है। चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर त्रिभुज बनाने के लिए विकर्ण के समानांतर रेखा खींचने की विधि का सही उपयोग करें।

Question 16. एक आयत ABCD इस प्रकार खींचे कि AB = 6 सेमी तथा BC = 3.5 सेमी, तब दिये गये आयत के क्षेत्रफल में बराबर, आधार AB पर एक त्रिभुज बनायें । हलः रचनाः
Answer: चरण 1: AB = 6 सेमी की रेखा खींची। बिन्दु A पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा AD = 3.5 सेमी खींची। चरण 2: बिन्दु B से 3.5 सेमी की रेखा से एक चाप तथा बिन्दु D को केन्द्र मानकर 6 सेमी दूरी से एक चाप लगाया जो परस्पर C पर काटते है। D को C से तथा B को C से मिलाया। चरण 3 : AC के समान्तर बिन्दु B पर BE रेखा खींची। बिन्दु A को बिन्दु E से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक आयत ABCD और एक त्रिभुज ABE को दर्शाता है। आयत की भुजाएं AB=6 सेमी और BC=3.5 सेमी हैं। आयत बनाने के बाद, इसके क्षेत्रफल के बराबर एक त्रिभुज ABE बनाने के लिए, विकर्ण AC के समानांतर एक रेखा BE खींची गई है, जो बढ़ी हुई आधार AB को E पर काटती है। अतः △ ABE ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको AB = 6 सेमी और BC = 3.5 सेमी भुजाओं वाला एक आयत ABCD बनाना है। फिर, आपको इस आयत के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल वाला एक त्रिभुज ABE बनाना है जिसका आधार AB ही हो।

🎯 Exam Tip: आयत के कोण 90° होते हैं, इसलिए उनके सटीक निर्माण पर ध्यान दें। आयत के क्षेत्रफल के बराबर त्रिभुज बनाने के लिए विकर्ण के समानांतर रेखा खींचने की विधि का सही उपयोग करें।

Question 17. एक चतुर्भुज ABCD बनायें जिसमें AB = 6 सेमी, BC =5 सेमी, AC = 8 सेमी, ∠DAC = 30° तथा D, AC से 2 सेमी की दूरी पर है। हलः रचनाः
Answer: चरण 1: BC, 5 सेमी की रेखा खींची। B पर 6 सेमी से तथा C पर 8 सेमी से चाप लगाये । चरण 2: बिन्दु A पर 30° का कोण बनाती हुई रेखा खींची तथा AC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो AC को बिन्दु M पर काटता है। चरण 3: बिन्दु M से 2 सेमी लम्बाई से एक चाप घुमाया जो 30° वाली रेखा को बिन्दु D पर काटती है। अब D को C से मिलाया। अतः चतुर्भुज ABCD ही अभीष्ट चतुर्भुज है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चतुर्भुज ABCD के निर्माण को दर्शाता है। इसमें AB=6 सेमी, BC=5 सेमी, AC=8 सेमी, कोण DAC=30° है और बिंदु D, AC से 2 सेमी की दूरी पर है। रचना में BC खींचा गया, फिर A को ज्ञात करने के लिए चाप लगाए गए। A पर 30° का कोण बनाया गया और D को ज्ञात करने के लिए M से 2 सेमी का चाप लगाया गया।
In simple words: आपको एक चतुर्भुज ABCD बनाना है जिसकी भुजाओं और एक विकर्ण की लंबाई, एक कोण, और एक बिंदु की दूसरे रेखाखंड से दूरी दी गई है।

🎯 Exam Tip: इस रचना में कई मापों का एक साथ उपयोग होता है। कोण DAC का सही निर्माण और बिंदु D की AC से दूरी का सटीक माप सुनिश्चित करें।

Ex 16.1 Constructions बहु विकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

Question 1. एक परकार एवं एक पैमाने की सहायता से, किस एक कोण का बनाना संभव है-
(a) 37.5°
(b) 35°
(c) 40°
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) 37.5°
In simple words: एक कोण को रूलर और कंपास का उपयोग करके तभी बनाया जा सकता है जब उसे \( \frac{15^\circ}{2^n} \) के रूप में व्यक्त किया जा सके। \( 37.5^\circ = \frac{75^\circ}{2} = \frac{15^\circ \times 5}{2} = \frac{15^\circ \times 5}{2^1} \) जो इस शर्त को पूरा करता है।

🎯 Exam Tip: रूलर और कंपास से केवल उन कोणों का निर्माण संभव है जो \( 15^\circ \) के गुणज हों या उन्हें \( 2^n \) से विभाजित करके प्राप्त किया जा सके। \( 37.5^\circ \) को \( 75^\circ \) का आधा करके बनाया जा सकता है, और \( 75^\circ \) एक मानक रचना कोण है।

Question 2. एक त्रिभुज को बनाना संभव है जब इसके दो कोण है-
(a) 90° और 100°
(b) 60° और 45°
(c) 90° और 110°
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) 60° और 45°
In simple words: किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा 180° होता है। यदि दिए गए दो कोणों का योग 180° से कम है, तो तीसरा कोण संभव है, और त्रिभुज बनाया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। यदि दो दिए गए कोणों का योग 180° से अधिक या बराबर हो, तो त्रिभुज बनाना संभव नहीं होता।

Question 3. एक त्रिभुज को बनाना संभव नहीं है जब इसके दो कोण है-
(a) 105° और 90°
(b) 90° और 45°
(c) 45° और 60°
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) 105° और 90°
In simple words: यदि दो कोणों का योग 180° से अधिक हो जाता है, तो तीसरा कोण धनात्मक नहीं हो सकता, और इसलिए त्रिभुज बनाना असंभव है। \( 105^\circ + 90^\circ = 195^\circ \), जो 180° से अधिक है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। यदि दिए गए दो कोणों का योग 180° से अधिक है, तो त्रिभुज का निर्माण संभव नहीं है।

Question 4. △ABC को बनाना, जब BC = 6 सेमी, ∠B = 45° संभव नहीं है जब AB और AC का अन्तर निम्न में से किसके बराबर है।
(a) 5.9 सेमी
(b) 6.9 सेमी
(c) 5.0 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) 6.9 सेमी
In simple words: त्रिभुज के गुणों के अनुसार, किसी भी दो भुजाओं का अंतर हमेशा तीसरी भुजा से छोटा होना चाहिए। यदि AB और AC का अंतर तीसरी भुजा (BC) से बड़ा या बराबर है, तो त्रिभुज बनाना संभव नहीं होगा।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमिका (triangle inequality) नियम का पालन करना अनिवार्य है: त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का अंतर हमेशा तीसरी भुजा से कम होना चाहिए। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती, तो त्रिभुज बनाना संभव नहीं है।

Question 5. एक परकार एवं एक पैमाने की सहायता से, इस एक कोण का बनाना संभव नहीं है
(a) 40°
(b) 37.5°
(c) 60°
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) 40°
In simple words: रूलर और कंपास का उपयोग करके केवल कुछ विशेष कोणों का निर्माण किया जा सकता है। 40° एक ऐसा कोण नहीं है जिसे इन उपकरणों का उपयोग करके बनाया जा सके।

🎯 Exam Tip: मानक रचना कोणों को याद रखें (जैसे 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 105°, 120°, 135°, 150°, 165° और उनके आधे)। 40° इनमें से किसी श्रेणी में नहीं आता है।

Question 6. एक △ABC को बनायें जब BC = 3 सेमी, ∠C=60° संभव है जब AB और AC का अन्तर बराबर
(a) 3.2 सेमी
(b) 2.8 सेमी
(c) 3.1 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) 2.8 सेमी
In simple words: त्रिभुज तभी संभव है जब किन्हीं दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से कम हो। यहाँ BC = 3 सेमी है। AB और AC का अंतर 3 सेमी से कम होना चाहिए। 2.8 सेमी ही एकमात्र विकल्प है जो इस शर्त को पूरा करता है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज की दो भुजाओं का अंतर हमेशा तीसरी भुजा से छोटा होना चाहिए। इस नियम का पालन करके ही त्रिभुज का निर्माण संभव है।

Question 7. एक △ABC को बनायें जब AB = 6.5 सेमी, ∠B = 45° संभव नहीं है जब BC + CA =
(a) 6 सेमी
(b) 8 सेमी
(c) 8.5 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) 6 सेमी
In simple words: त्रिभुज तभी संभव है जब किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक हो। यहाँ AB = 6.5 सेमी है। यदि BC + CA का योग 6.5 सेमी से कम या बराबर है, तो त्रिभुज बनाना संभव नहीं होगा। 6 सेमी 6.5 सेमी से कम है, इसलिए यह संभव नहीं है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमिका नियम के अनुसार, किसी भी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती, तो त्रिभुज का निर्माण असंभव है।

Ex 16.1 Constructions स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

Question 1. निम्नलिखित मापन के कोण बनाइये:
(i) 30°
(ii) 15°
(iii) \( 22 \frac{1}{2} ^\circ \)
Answer: रचनाः
(i) AB एक रेखा खींची। बिन्दु A पर एक चाप लगाया। उसी दूरी से उस चाप को काटा। यह 60° का कोण बनता है। इस कोण का अर्द्धक खींचा। अतः ∠MAB, 30° का कोण बनता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 30° के कोण की रचना को दर्शाता है। एक रेखा AB खींची गई है। A को केंद्र मानकर एक चाप खींचा गया है जो रेखा को काटता है। उसी त्रिज्या के साथ पहले चाप को काटकर 60° का कोण बनाया गया, फिर इस 60° के कोण का समद्विभाजक खींचकर 30° का कोण MAB बनाया गया।
(ii) 30° के कोण का समद्विभाजक खींचने पर 15° का कोण बनता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 15° के कोण की रचना को दर्शाता है। पहले 30° का कोण बनाया गया (जैसा कि (i) में है)। फिर उस 30° के कोण का समद्विभाजक खींचकर 15° का कोण बनाया गया है।
(iii) 45° के कोण का समद्विभाजक ही \( 22 \frac{1}{2} ^\circ \) का कोण बनाता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र \( 22 \frac{1}{2} ^\circ \) के कोण की रचना को दर्शाता है। पहले 90° का कोण बनाया गया, फिर उसका समद्विभाजक खींचकर 45° का कोण बनाया गया। अंत में, 45° के कोण का समद्विभाजक खींचकर \( 22 \frac{1}{2} ^\circ \) का कोण बनाया गया है।
In simple words: आपको रूलर और कंपास का उपयोग करके 30°, 15° और \( 22 \frac{1}{2} ^\circ \) के कोण बनाने हैं। ये सभी कोण मानक रचनात्मक कोणों के आधे या चौथाई होते हैं।

🎯 Exam Tip: मानक कोणों (60°, 90°, 45°) और उनके समद्विभाजकों का सही निर्माण इस प्रकार के प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण है। प्रत्येक चरण में सटीकता बनाए रखें।

Question 2. निम्नलिखित कोणों को बनाये तथा उनकी मापकर जाँच भी कीजिए ।
(i) 75°
(ii) 105°
(iii) 135°
Answer: हलः रचनाः
(i) AB रेखा खींची। उस पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा खींची। 90° के कोण तथा 60° के बीच बनने वाला कोण समद्विभाजक खींचा, जो 75° का कोण है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 75° के कोण की रचना को दर्शाता है। एक रेखा AB खींची गई है। B पर 90° का कोण बनाया गया है। फिर 60° और 90° के बीच के कोण का समद्विभाजक खींचकर 75° का कोण बनाया गया है।
(ii) 90° व 120° के बीच का कोण का समद्विभाजक कोण ही 105° का कोण होगा ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 105° के कोण की रचना को दर्शाता है। पहले 90° और 120° के कोण बनाए गए हैं। फिर इन दोनों कोणों के बीच के कोण का समद्विभाजक खींचकर 105° का कोण बनाया गया है।
(iii) 120° व 150° के बीच का कोण का समद्विभाजक कोण ही 135° का कोण होगा।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 135° के कोण की रचना को दर्शाता है। पहले 120° और 150° के कोण बनाए गए हैं। फिर इन दोनों कोणों के बीच के कोण का समद्विभाजक खींचकर 135° का कोण बनाया गया है।
In simple words: आपको रूलर और कंपास का उपयोग करके 75°, 105° और 135° के कोण बनाने और उनकी माप की जांच करनी है। ये कोण 15° के गुणज होते हैं।

🎯 Exam Tip: 75° को \( (60^\circ + 90^\circ)/2 \) के रूप में, 105° को \( (90^\circ + 120^\circ)/2 \) के रूप में, और 135° को \( (120^\circ + 150^\circ)/2 \) के रूप में बनाया जा सकता है। इन मानक कोणों का सही निर्माण महत्वपूर्ण है।

Question 3. दी गयी भुजा का एक समबाहु त्रिभुज बनायें तथा रचना के औचित्य की जाँच कीजिए।
Answer: हलः रचनाः चरण 1. BC, 4 सेमी खींची। उसके बिन्दु B तथा C से 4 सेमी की दूरी लेकर चाप लगाये। चरण 2. ये चाप परस्पर A पर काटते है। A को B तथा C से मिलाया ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समबाहु त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है जिसकी भुजा की लंबाई 4 सेमी है। एक आधार रेखा BC 4 सेमी खींची गई है। B और C को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं जो A पर प्रतिच्छेद करते हैं। A को B और C से मिलाकर समबाहु त्रिभुज ABC पूरा किया गया है। अतः △ ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको 4 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाना है। समबाहु त्रिभुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण 60 डिग्री होते हैं।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए, आधार रेखा खींचने के बाद, दोनों अंत बिंदुओं को केंद्र मानकर उसी लंबाई की त्रिज्या के दो चाप खींचें। उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को आधार के अंत बिंदुओं से मिला दें।

Question 4. एक समचतुर्भुज बनाये जिसकी भुजा की लम्बाई 3.4 सेमी है तथा इसका एक कोण 45° का है। हलः रचना
Answer: चरण 1. सर्वप्रथम BC = 3.4 cm खींची, उसेक बिन्दु B तथा C पर 45° का कोण बनाती हुई रेखायें BA तथा CD खींची। चरण 2. A को D से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समचतुर्भुज ABCD के निर्माण को दर्शाता है। इसमें भुजा की लंबाई 3.4 सेमी है और एक कोण (जैसे B या C) 45 डिग्री है। BC को 3.4 सेमी खींचा गया है, B और C पर 45 डिग्री के कोण बनाए गए हैं। फिर BA और CD को 3.4 सेमी पर चिह्नित करके A और D को मिलाया गया है। अत: ABCD ही अभीष्ट समचतुर्भुज है।
In simple words: आपको एक समचतुर्भुज बनाना है जिसकी सभी भुजाएँ 3.4 सेमी लंबी हों और उसका कोई एक कोण 45 डिग्री का हो। समचतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। दिए गए कोण का सटीक निर्माण और भुजाओं की लंबाई का सही माप महत्वपूर्ण है।

Question 5. एक △ABC बनायें जिसमें BC =5 सेमी, LB = 60° तथा AB+ AC = 7.5 सेमी है। हलः रचना चरण
Answer: 1. BC = 5 सेमी खींची, उसेक बिन्दु B पर 60° का कोण बनाती हुई एक 7.5 सेमी की BD रेखा खींची। चरण 2. D को C से मिलाया। तथा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा। जो BD को A पर काटता है। चरण 3. A को C से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है। इसमें आधार BC 5 सेमी है, कोण B 60 डिग्री है, और भुजा AB तथा AC का योग 7.5 सेमी है। BD रेखा 7.5 सेमी लंबी खींची गई है, और DC का लम्ब समद्विभाजक BD को A पर काटता है। अतः △ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जहाँ आधार BC 5 सेमी, कोण B 60 डिग्री और भुजा AB तथा AC का योग 7.5 सेमी है। यह एक विशिष्ट रचना है जहाँ दो भुजाओं का योग दिया गया है।

🎯 Exam Tip: भुजाओं का योग दिए होने पर, कोण B पर BD रेखा को योग के बराबर खींचना और फिर DC के लम्ब समद्विभाजक का उपयोग करके शीर्ष A को ज्ञात करना महत्वपूर्ण है।

Question 6. एक समबाहु A बनायें यदि इसकी ऊँचाई 6 सेमी है तथा रचना के औचित्य की जाँच कीजिए। हलः रचना चरण
Answer: 1. एक रेखा खींची, उसके किसी बिन्दु D पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा DE खींची। चरण 2. DE से 6 सेमी का AD रेखाखण्ड काटा। चरण 3. बिन्दु A पर ऊपर व नीचे 30° का कोण बनाती हुई रेखायें खींची जो रेखा को B तथा C पर काटती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समबाहु त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है जिसकी ऊँचाई 6 सेमी है। एक रेखा (आधार) खींची गई है और उस पर बिन्दु D पर 90° का कोण बनाती हुई DE रेखा खींची गई है। DE पर AD को 6 सेमी मापा गया है। बिन्दु A से दोनों ओर 30° के कोण बनाए गए हैं जो आधार रेखा को B और C पर काटते हैं। अतः △ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक समबाहु त्रिभुज बनाना है जिसकी ऊँचाई (शीर्षलम्ब) 6 सेमी है। समबाहु त्रिभुज के सभी कोण 60 डिग्री होते हैं।

🎯 Exam Tip: इस रचना में ऊँचाई को पहले खींचकर, फिर शीर्ष से आधार की ओर 30° के कोण बनाकर आधार बिंदुओं को ज्ञात किया जाता है। कोणों और ऊँचाई के माप में सटीकता आवश्यक है।

Question 7. एक △ABC बनायें जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° तथा AB + AC = 13 सेमी ।
Answer: हलः रचना चरण 1. BC = 7 सेमी रेखा खींची, उसके बिन्दु B पर 75° का कोण बनाती हुई BE रेखा 13 सेमी की खींची। चरण 2. E को C से मिलाया तथा EC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BE को बिन्दु A पर काटता है। चरण 3. बिन्दु A को बिन्दु C से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है। इसमें आधार BC 7 सेमी है, कोण B 75 डिग्री है, और भुजा AB तथा AC का योग 13 सेमी है। BD रेखा 13 सेमी लंबी खींची गई है, और DC का लम्ब समद्विभाजक BD को A पर काटता है। अतः AABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जहाँ आधार BC 7 सेमी, कोण B 75 डिग्री और भुजा AB तथा AC का योग 13 सेमी है। यह भुजाओं के योग पर आधारित एक मानक रचना है।

🎯 Exam Tip: भुजाओं का योग दिए होने पर, कोण B पर BE रेखा को योग के बराबर खींचना और फिर EC के लम्ब समद्विभाजक का उपयोग करके शीर्ष A को ज्ञात करना महत्वपूर्ण है।

Question 8. एक त्रिभुज बनाइए जिसकी भुजाएं 3.6 सेमी, 3 सेमी और 4.8 सेमी हैं। सबसे छोटे कोण को समद्विभाजित करें तथा प्रत्येक भाग की माप भी ज्ञात कीजिए। हलः रचना चरण
Answer: 1. BC = 4.8 सेमी रेखा खींची। चरण 2. उसके बिन्दु B पर 3 सेमी तथा बिन्दु C पर 3.6 सेमी दूरी लेकर चाप लगाये जो परस्पर A पर काटते है। चरण 3. बिन्दु A को B तथा A को बिन्दु C से मिलाया। ∠ACB सबसे छोटा कोण है। ∠ACM तथा ∠BCM नापकर देखेंगे।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है जिसकी भुजाएं 3 सेमी, 3.6 सेमी और 4.8 सेमी हैं। आधार BC 4.8 सेमी है, AB 3 सेमी है, और AC 3.6 सेमी है। सबसे छोटे कोण (∠ACB) को समद्विभाजित किया गया है। अतः △ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको 3.6 सेमी, 3 सेमी और 4.8 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाना है। फिर, इस त्रिभुज के सबसे छोटे कोण को समद्विभाजित करना है और प्रत्येक आधे कोण की माप ज्ञात करनी है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज बनाने के लिए सबसे लंबी भुजा को आधार लेना अक्सर सुविधाजनक होता है। सबसे छोटा कोण सबसे छोटी भुजा के सामने होता है। कोण समद्विभाजक का निर्माण सटीकता से करें।

Question 9. 4 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड AB खीचिये । A और B से क्रमशः AB के लम्बवत् एक रेखा खीचिये। क्या ये रेखायें समान्तर है? हलः रचना चरण
Answer: 1. AB = 4 सेमी खींची। चरण 2. AB के बिन्दु A तथा B पर 90° के कोण बनाये । चरण 3. एक निश्चित लम्बाई लेकर क्रमशः A व B को केन्द्र मानकर दो चाप लगाये। चरण 4. दोनों चापों के शीर्षों को मिलाती हुई रेखा CD खींची। AB||CD होगी ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 4 सेमी लंबे रेखाखंड AB को दर्शाता है। बिंदु A और B पर 90 डिग्री के कोण बनाते हुए रेखाएं खींची गई हैं। A और B से समान लंबाई के चाप लेकर C और D बिंदु प्राप्त किए गए हैं। CD को मिलाने पर, रेखा CD, AB के समानांतर होगी क्योंकि दोनों रेखाएं AB पर लंबवत हैं।
In simple words: आपको 4 सेमी लंबा एक रेखाखंड AB खींचना है। फिर, A और B दोनों बिंदुओं पर AB के लंबवत रेखाएँ खींचनी हैं। आपको यह निर्धारित करना है कि ये लंबवत रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर हैं या नहीं।

🎯 Exam Tip: यदि दो रेखाएँ एक ही रेखा पर लंबवत हों, तो वे एक-दूसरे के समानांतर होती हैं। 90° के कोणों का सटीक निर्माण और लंबवत रेखाओं का विस्तार इस प्रदर्शन के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 10. एक चाँदे की सहायता से, 110° का एक कोण खीचियें और इसे समद्विभाजित कीजिए। हलः
Answer: चरण 1. आधार BC खींचा। चरण 2. बिन्दु B पर चाँदे की सहायता से 110° का कोण ∠ABC बनाया। चरण 3. ∠ABC का समद्विभाजक BM खींचा BM ही अभीष्ट समद्विभाजक है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 110° के कोण ∠ABC की रचना और उसके समद्विभाजन को दर्शाता है। एक आधार रेखा BC खींची गई है। बिंदु B पर एक चाँदे की मदद से 110° का कोण बनाया गया है। फिर, इस 110° के कोण का समद्विभाजक BM खींचा गया है, जो कोण को दो बराबर भागों में बांटता है।
In simple words: आपको एक चाँदे (protractor) का उपयोग करके 110° का कोण बनाना है, और फिर उस कोण को रूलर और कंपास का उपयोग करके दो बराबर भागों में समद्विभाजित करना है।

🎯 Exam Tip: चाँदे का उपयोग करके कोण बनाने में सावधानी बरतें। कोण समद्विभाजक बनाने के लिए चापों का सही उपयोग करना और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को शीर्ष से मिलाना महत्वपूर्ण है।

Question 11. एक △ABC बनायें जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी है। हलः रचना :
Answer: चरण 1. BC = 7 सेमी खींची। उसके बिन्दु B पर 75° का कोण बनाती हुई BD रेखा = 13 सेमी खींची। चरण 2. बिन्दु D को C से मिलाया तथा DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा, जो BD को बिन्दु A पर काटता है। चरण 3. बिन्दु A को C से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है। इसमें आधार BC 7 सेमी है, कोण B 75 डिग्री है, और भुजा AB तथा AC का योग 13 सेमी है। BD रेखा 13 सेमी लंबी खींची गई है, और DC का लम्ब समद्विभाजक BD को A पर काटता है। अतः AABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जहाँ आधार BC 7 सेमी, कोण B 75 डिग्री और भुजा AB तथा AC का योग 13 सेमी है। यह भुजाओं के योग पर आधारित एक विशिष्ट रचना है।

🎯 Exam Tip: भुजाओं का योग दिए होने पर, कोण B पर BD रेखा को योग के बराबर खींचना और फिर DC के लम्ब समद्विभाजक का उपयोग करके शीर्ष A को ज्ञात करना महत्वपूर्ण है।

Question 12. एक △ABC बनायें जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° तथा AB - AC = 3.5 सेमी है ।
Answer: हलः रचना : चरण 1. BC = 8 सेमी खींची। उसके बिन्दु B पर 45° का कोण बनाती हुई BD = 3.5 सेमी खींची। चरण 2. D को C से मिलाया तथा उसका लम्ब समद्विभाजक खींचा, जो BD को आगे बढ़ाने पर बिन्दु A पर काटता है। चरण 3. बिन्दु A को C से मिलाया ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है। इसमें आधार BC 8 सेमी है, कोण B 45 डिग्री है, और भुजा AB तथा AC का अंतर 3.5 सेमी है। BD रेखा 3.5 सेमी लंबी खींची गई है, और DC का लम्ब समद्विभाजक बढ़ी हुई BD रेखा को A पर काटता है। अतः △ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज ABC बनाना है जहाँ आधार BC 8 सेमी, कोण B 45 डिग्री और भुजा AB तथा AC का अंतर 3.5 सेमी है। यह भुजाओं के अंतर पर आधारित एक मानक रचना है।

🎯 Exam Tip: भुजाओं का अंतर दिए होने पर, कोण B पर BD रेखा को अंतर के बराबर खींचना और फिर DC के लम्ब समद्विभाजक का उपयोग करके शीर्ष A को ज्ञात करना महत्वपूर्ण है। इस स्थिति में BD को आगे बढ़ाना पड़ सकता है।

Question 13. एक △PQR बनायें जिसमें QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° तथा PR - PQ = 2 सेमी है।
Answer: हलः रचना : चरण 1. QR = 6 सेमी खींची तथा बिन्दु Q पर 60° का कोण बनाती हुई XY' रेखा खींची । चरण 2. बिन्दु Q को केन्द्र मानकर QY' = 2 सेमी काटी । चरण 3. Y' का R से मिलाया तथा : 'R का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो YY' को बिन्दु P पर काटता है। चरण 4. बिन्दु P को R से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज PQR के निर्माण को दर्शाता है। इसमें आधार QR 6 सेमी है, कोण Q 60 डिग्री है, और भुजा PR तथा PQ का अंतर 2 सेमी है। QY' रेखा पर Q से 2 सेमी की दूरी पर Y' को चिह्नित किया गया है। Y'R का लम्ब समद्विभाजक QY' को P पर काटता है। अतः △PQR ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज PQR बनाना है जहाँ आधार QR 6 सेमी, कोण Q 60 डिग्री और भुजा PR तथा PQ का अंतर 2 सेमी है। यह भुजाओं के अंतर पर आधारित एक मानक रचना है।

🎯 Exam Tip: भुजाओं का अंतर दिए होने पर, कोण Q पर QY' रेखा को अंतर के बराबर खींचना और फिर Y'R के लम्ब समद्विभाजक का उपयोग करके शीर्ष P को ज्ञात करना महत्वपूर्ण है।

Question 14. एक △XYZ बनायें जिसमें ∠Y = 30, ∠z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 सेमी है ।
Answer: हलः रचना : चरण 1. PQ रेखा 11 सेमी की खींची। चरण 2. बिन्दु P पर 30° व Q पर 90° के कोण बनाकर उसके समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु X पर प्रतिच्छेद करते हैं। चरण 3. PX व QX के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो PQ को क्रमश: Y तथा Z पर काटते हैं। X को Y तथा Z से मिलाया ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज XYZ के निर्माण को दर्शाता है। इसमें कोण Y 30 डिग्री, कोण Z 90 डिग्री, और परिमाप (XY + YZ + ZX) 11 सेमी है। एक रेखा PQ 11 सेमी लंबी खींची गई है। P पर 30° और Q पर 90° के कोणों के समद्विभाजक बिंदु X पर मिलते हैं। PX और QX के लम्ब समद्विभाजक PQ को Y और Z पर काटते हैं, जिससे त्रिभुज XYZ बनता है। अतः △XYZ ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक त्रिभुज XYZ बनाना है जिसका परिमाप 11 सेमी है और जिसके दो कोण Y 30 डिग्री और Z 90 डिग्री हैं। यह परिमाप और आधार कोणों पर आधारित एक मानक रचना है।

🎯 Exam Tip: परिमाप और आधार कोण दिए होने पर, पहले एक रेखा को परिमाप के बराबर खींचना और फिर उसके अंत बिंदुओं पर दिए गए कोणों के आधे कोण बनाना महत्वपूर्ण है। कोण समद्विभाजक और लम्ब समद्विभाजक की सटीकता पर ध्यान दें।

Question 15. एक समकोण त्रिभुज बनायें जिसका आधार 12 सेमी है तथा इसके कर्ण और अन्य भुजाओं का योग 18 सेमी है।
Answer: हलः अर्थात् समकोण △ABC में, BC = 12 सेमी, AB + AC = 18 सेमी रचना : चरण 1. BC = 12 सेमी खींची । बिन्दु B पर 90° का कोण बनाते हुए BD = 18 सेमी खींची । D को C से मिलाया। चरण 2. DC का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो BD को A पर । प्रतिच्छेद करता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समकोण त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है। इसमें आधार BC 12 सेमी है और कर्ण (hypotenuse) तथा अन्य भुजा (AB) का योग 18 सेमी है। बिन्दु B पर 90 डिग्री का कोण बनाया गया है और BD को 18 सेमी मापा गया है। DC का लम्ब समद्विभाजक BD को A पर काटता है। चरण 3. A को C से मिलाया। △ABC ही अभीष्ट त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक समकोण त्रिभुज बनाना है जिसका आधार 12 सेमी है और उसके कर्ण तथा दूसरी भुजा का योग 18 सेमी है।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज की रचना में, 90° का कोण और भुजाओं के योग की लंबाई का सही माप महत्वपूर्ण है। लम्ब समद्विभाजक का उपयोग करके शीर्ष A को सही ढंग से निर्धारित करें।

Question 16. 14.5 सेमी परिमाप का एक समबाहु त्रिभुज बनायें। हलः रचना :
Answer: चरण 1. PQ = 14.5 खींची । बिन्दु P तथा Q पर 60° के कोण बनाये तथा उसके समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु A पर काटते हैं। चरण 2. PA तथा QA के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर PQ को क्रमश: B व C पर प्रतिच्छेद करते हैं। चरण 3. A को B तथा C से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समबाहु त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है जिसका परिमाप 14.5 सेमी है। एक रेखा PQ 14.5 सेमी लंबी खींची गई है। P और Q पर 60° के कोण बनाए गए हैं और उनके समद्विभाजक बिंदु A पर मिलते हैं। PA और QA के लम्ब समद्विभाजक PQ को B और C पर काटते हैं, जिससे समबाहु त्रिभुज ABC बनता है। अतः AABC ही अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।
In simple words: आपको एक समबाहु त्रिभुज बनाना है जिसका परिमाप 14.5 सेमी है। समबाहु त्रिभुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और प्रत्येक कोण 60 डिग्री का होता है।

🎯 Exam Tip: परिमाप दिए होने पर, पहले एक रेखा को परिमाप के बराबर खींचें। समबाहु त्रिभुज में आधार कोण 60° होते हैं, इसलिए उनके आधे (30°) के समद्विभाजक बनाएं।

Question 17. एक आयत ABCD इस प्रकार खीचिये कि AB = 6 सेमी और BC = 3.5 सेमी, तब दिये गये आयत के क्षेत्रफल के बराबर, क्षेत्रफल का तथा आधार AB का एक त्रिभुज बनायें । हलः रचना :
Answer: चरण 1. AB = 6 सेमी खींची । उसके बिन्दु A व B पर 90° के कोण बनाती हुई रेखाये AD व BC 3.5 सेमी की खींची। चरण 2. DC = 6 सेमी एक चाप बिन्दु D से लगाया, DC को मिलाया। इस प्रकार ABCD एक आयत है। चरण 3. बिन्दु A को C से मिलाया, बिन्दु B से BE || AC खींची जो बढ़ी हुई DC को आगे बिन्दु E पर मिलाती है। चरण 4. बिन्दु A को E से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक आयत ABCD और एक त्रिभुज ABE को दर्शाता है। आयत की भुजाएं AB=6 सेमी और BC=3.5 सेमी हैं। आयत बनाने के बाद, इसके क्षेत्रफल के बराबर एक त्रिभुज ABE बनाने के लिए, विकर्ण AC के समानांतर एक रेखा BE खींची गई है, जो बढ़ी हुई आधार AB को E पर काटती है। अतः △ABE अभीष्ट त्रिभुज है जिसका आधार AB = 6 सेमी ।
In simple words: आपको AB = 6 सेमी और BC = 3.5 सेमी भुजाओं वाला एक आयत ABCD बनाना है। फिर, इस आयत के क्षेत्रफल के बराबर क्षेत्रफल वाला एक त्रिभुज ABE बनाना है जिसका आधार AB ही हो।

🎯 Exam Tip: आयत के सभी कोण 90° होते हैं। क्षेत्रफल के बराबर त्रिभुज बनाने के लिए, आयत के विकर्ण के समानांतर एक रेखा खींचकर आधार को बढ़ाना एक मानक ज्यामितीय रचना है।

Question 18. दी गयी किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर \( 22 \frac{1}{2} \) का कोण बनाइये । हलः रचना :
Answer: चरण 1. आधार AB खींचा तथा उस पर 60° व 120° के कोण चाप लगाये। चरण 2. 60° व 120° का समद्विभाजक कोण 90° का बनाया। चरण 3. 90° का कोण समद्विभाजक कोण 45° है। चरण 4. 45° के कोण का समद्विभाजक कोण \( 22 \frac{1}{2} \) है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र \( 22 \frac{1}{2} ^\circ \) के कोण की रचना को दर्शाता है। पहले 90° का कोण बनाया गया, फिर उसका समद्विभाजक खींचकर 45° का कोण बनाया गया। अंत में, 45° के कोण का समद्विभाजक खींचकर \( 22 \frac{1}{2} ^\circ \) का कोण बनाया गया है।
In simple words: आपको रूलर और कंपास का उपयोग करके \( 22 \frac{1}{2} \) डिग्री का कोण बनाना है। यह कोण 45 डिग्री का आधा होता है, जो स्वयं 90 डिग्री का आधा होता है।

🎯 Exam Tip: इस कोण को बनाने के लिए 90° से शुरू करें, फिर 45° बनाएं, और अंत में 45° का समद्विभाजक खींचकर \( 22 \frac{1}{2} \) डिग्री प्राप्त करें। प्रत्येक समद्विभाजन में सटीकता महत्वपूर्ण है।

Question 19. परकार एवं पैमाने की सहायता से, 4 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए। हलः रचना :
Answer: चरण 1. BC = 4 सेमी खींची । चरण 2. बिन्दु B व C को केन्द्र मानकर 4 सेमी दूरी लेकर दो चाप लगाये जो परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करते हैं। चरण 3. बिन्दु A को B तथा C से मिलाया।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समबाहु त्रिभुज ABC के निर्माण को दर्शाता है जिसकी भुजा की लंबाई 4 सेमी है। एक आधार रेखा BC 4 सेमी खींची गई है। B और C को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं जो A पर प्रतिच्छेद करते हैं। A को B और C से मिलाकर समबाहु त्रिभुज ABC पूरा किया गया है। अतः △ABC ही अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।
In simple words: आपको रूलर और कंपास का उपयोग करके 4 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाना है। समबाहु त्रिभुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

🎯 Exam Tip: आधार रेखा खींचने के बाद, दोनों अंत बिंदुओं को केंद्र मानकर उसी लंबाई की त्रिज्या के दो चाप खींचें। उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को आधार के अंत बिंदुओं से मिला दें।

Question 20. परकार एवं पैमाने की सहायता से, एक 75° का कोण खीचिए और समद्विभाग कीजिए। रचना के चरण भी लिखिए। हलः
Answer: सर्वप्रथम BC, 5 सेमी एक सरल रेखा खींची। बिन्दु B पर 90° का कोण बनाती हुई BE रेखा खीची । अब 60° व 90° के बीच के चाप का अर्द्धक करते हुए BD रेखा खींची जो 75° के कोण की रेखा है। अब ∠DBC का अर्द्धक करती हुए एक रेखा BM खींची। यही BM रेखा 75° के कोण का समद्विभाजक होगा।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 75° के कोण की रचना और उसके समद्विभाजन को दर्शाता है। एक आधार रेखा BC 5 सेमी खींची गई है। बिंदु B पर 90° का कोण बनाते हुए BE रेखा खींची गई है। 60° और 90° के बीच के कोण का समद्विभाजक खींचकर BD रेखा (75° का कोण) बनाई गई है। फिर, इस 75° के कोण ∠DBC का समद्विभाजक BM खींचा गया है।
In simple words: आपको रूलर और कंपास का उपयोग करके 75° का कोण बनाना है, और फिर उस कोण को दो बराबर भागों में समद्विभाजित करना है।

🎯 Exam Tip: 75° का कोण 60° और 90° के बीच के कोण का समद्विभाजक होता है। कोण समद्विभाजक बनाने के लिए चापों का सही उपयोग करना और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को शीर्ष से मिलाना महत्वपूर्ण है।