UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 15 Circle Ex 15.1

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 15 Circle Ex 15.1 वृत्त

Ex 15.1 Circle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. चित्र में O, वृत्त का केन्द्र, जीवा AB = 10 सेमी तथा व्यास AC = 26 सेमी है। जीवा AB की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है। वृत्त के अंदर एक जीवा AB है जिसकी लंबाई 10 सेमी है। एक व्यास AC दिखाया गया है जिसकी लंबाई 26 सेमी है, जिसमें C वृत्त पर एक बिंदु है। केंद्र O से जीवा AB पर एक लंब OM खींचा गया है, और OM की लंबाई ज्ञात करनी है।
व्यास AC = 26 सेमी
त्रिज्या OA = \( \frac{AC}{2} = \frac{26}{2} \) = 13 सेमी
वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है।
AM = \( \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} \) = 5 सेमी
समकोण △OAM में,
\( (OA)^2 = (OM)^2 + (AM)^2 \)
\( (13)^2 = (OM)^2 + (5)^2 \)
\( 169 = (OM)^2 + 25 \)
\( 169 - 25 = (OM)^2 \)
OM = \( \sqrt{144} \) = 12 सेमी
In simple words: Using the Pythagorean theorem in the right-angled triangle formed by the radius, half-chord, and distance from the center, we calculate the distance of the chord from the center.

🎯 Exam Tip: Remember that a perpendicular from the center of a circle to a chord bisects the chord, which is crucial for solving such problems.

Question 2. एक वृत्त की जीवा की लम्बाई 16 सेमी तथा वृत्त के केन्द्र से इसकी दूरी 6 सेमी है। तब वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है। वृत्त के अंदर एक जीवा BC है जिसकी लंबाई 16 सेमी है। केंद्र O से जीवा BC पर एक लंब OM खींचा गया है, जिसकी लंबाई 6 सेमी है। त्रिभुज OMB का उपयोग करके त्रिज्या OB की लंबाई ज्ञात करनी है।
BC = 16 सेमी
MB = \( \frac{16}{2} \) = 8 सेमी
समकोण △OMB में,
\( (OB)^2 = (OM)^2 + (MB)^2 \)
\( (OB)^2 = (6)^2 + (8)^2 \)
\( (OB)^2 = 36 + 64 = 100 \)
\( OB = \sqrt{100} \) = 10 सेमी
In simple words: We form a right-angled triangle with half the chord, the distance from the center, and the radius. Using the Pythagorean theorem, we find the length of the radius.

🎯 Exam Tip: Always remember that the perpendicular from the center bisects the chord, allowing you to use the Pythagorean theorem effectively.

Question 3. वृत्त की एक जीवा की लम्बाई 8 सेमी तथा वृत्त के केन्द्र से इसकी दूरी 3 सेमी है। तब वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है। वृत्त के अंदर एक जीवा AB है जिसकी लंबाई 8 सेमी है। केंद्र O से जीवा AB पर एक लंब OM खींचा गया है, जिसकी लंबाई 3 सेमी है। त्रिभुज OAM का उपयोग करके त्रिज्या OA की लंबाई ज्ञात करनी है।
वृत्त की जीवा AB = 8 सेमी
AM = \( \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} \) = 4 सेमी
समकोण △OAM में,
\( (OA)^2 = (AM)^2 + (OM)^2 \)
\( (OA)^2 = (4)^2 + (3)^2 = 16 + 9 = 25 \)
\( OA = \sqrt{25} \) = 5 सेमी
In simple words: We apply the Pythagorean theorem to the right-angled triangle formed by the radius, half the chord, and the perpendicular distance from the center to find the radius.

🎯 Exam Tip: Always draw a clear diagram to visualize the right-angled triangle formed, as it helps in correctly applying the Pythagorean theorem.

Question 4. वृत्त के लघु वृत्तखण्ड का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: अधिक कोण
In simple words: The angle in a minor segment of a circle is always an obtuse angle, meaning it is greater than 90 degrees.

🎯 Exam Tip: Remember the properties of angles in segments: angle in a major segment is acute, in a minor segment is obtuse, and in a semicircle is a right angle.

Question 5. एक वृत्त का केन्द्र 0 तथा त्रिज्या OP = 10 सेमी है। जीवा PQ पर लम्ब OR की लम्बाई 6 सेमी है। तब PQ का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है। वृत्त की त्रिज्या OP 10 सेमी है। एक जीवा PQ है, और केंद्र O से जीवा PQ पर एक लंब OR खींचा गया है, जिसकी लंबाई 6 सेमी है। त्रिभुज OPR का उपयोग करके जीवा PQ की लंबाई ज्ञात करनी है।
समकोण △OPR में,
\( (OP)^2 = (OR)^2 + (PR)^2 \)
\( (10)^2 = (6)^2 + (PR)^2 \)
\( 100 = 36 + (PR)^2 \)
\( 100 - 36 = (PR)^2 \)
\( PR = \sqrt{64} \) = 8 सेमी

\( \implies \) जीवा PQ = 2 × PR = 2 × 8 = 16 सेमी
In simple words: We find half the chord length using the Pythagorean theorem with the radius and the distance from the center, then double it to get the full chord length.

🎯 Exam Tip: Always remember that the perpendicular from the center of a circle to a chord bisects the chord, meaning the chord is twice the length of one of its bisected segments.

Question 6. चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र है तथा OA = 5 सेमी ।0 से AB पर लम्ब OC की लम्बाई 4 सेमी है तब जीवा AB का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है। वृत्त की त्रिज्या OA 5 सेमी है। एक जीवा AB है, और केंद्र O से जीवा AB पर एक लंब OC खींचा गया है, जिसकी लंबाई 4 सेमी है। त्रिभुज OAC का उपयोग करके जीवा AB की लंबाई ज्ञात करनी है।
समकोण △OAC में,
\( (OA)^2 = (AC)^2 + (OC)^2 \)
\( (5)^2 = (AC)^2 + (4)^2 \)
\( 25 = (AC)^2 + 16 \)
\( 25 - 16 = (AC)^2 \)
या \( (AC)^2 = 9 \)

\( \implies \) AC = \( \sqrt{9} \) = 3 सेमी

\( \implies \) जीवा AB = 2 × AC = 2 × 3 = 6 सेमी
In simple words: We use the Pythagorean theorem to find half the chord length, and then double it to find the full length of the chord.

🎯 Exam Tip: Remember that the perpendicular from the center to a chord bisects the chord, making the Pythagorean theorem applicable to find unknown lengths.

Question 7. चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा एक जीवा AB = 24 सेमी है। जीवा की वृत्त के केन्द्र O से दूरी 5 सेमी है। तब वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है। वृत्त के अंदर एक जीवा AB है जिसकी लंबाई 24 सेमी है। केंद्र O से जीवा AB पर एक लंब OP खींचा गया है, जिसकी लंबाई 5 सेमी है। त्रिभुज OAP का उपयोग करके वृत्त का व्यास ज्ञात करना है।
समकोण △OAP में,
\( (OA)^2 = (OP)^2 + (AP)^2 \)
\( (OA)^2 = (5)^2 + (12)^2 \) (:: AP = AB /2)
\( (OA)^2 = 25 + 144 = 169 \)
OA = \( \sqrt{169} \) = 13 सेमी

\( \implies \) वृत्त का व्यास = 2 × त्रिज्या
= 2 × 13 = 26 सेमी
In simple words: We find the radius using the Pythagorean theorem with half the chord and the distance from the center, then double the radius to get the diameter.

🎯 Exam Tip: Clearly identify the radius, half-chord, and distance from the center to the chord to correctly apply the Pythagorean theorem. Remember that diameter is twice the radius.

Question 8. चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा एक जीवा AB = 30 सेमी है तथा इसका व्यास AD = 34 सेमी है। जीवा AB की केन्द्र O से दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है। वृत्त के अंदर एक जीवा AB है जिसकी लंबाई 30 सेमी है। वृत्त का व्यास AD 34 सेमी है। केंद्र O से जीवा AB पर एक लंब OM खींचा गया है। त्रिभुज OAM का उपयोग करके OM की लंबाई ज्ञात करनी है।
त्रिज्या OA = \( \frac{AD}{2} = \frac{34}{2} \) = 17 सेमी
AM = \( \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} \) = 15 सेमी
समकोण △OAM में,
\( (OA)^2 = (OM)^2 + (AM)^2 \)
\( (17)^2 = (OM)^2 + (15)^2 \)
\( 289 = (OM)^2 + 225 \)
\( 289 - 225 = (OM)^2 \)
\( 64 = (OM)^2 \)
OM = \( \sqrt{64} \) = 8 सेमी
In simple words: We first find the radius and half the chord length. Then, using the Pythagorean theorem in the right-angled triangle formed, we calculate the distance of the chord from the center.

🎯 Exam Tip: Always derive the radius from the diameter and half-chord from the full chord before applying the Pythagorean theorem to find the unknown distance.

Ex 15.1 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

Question 9. एक 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 8 सेमी की एक जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है। वृत्त की त्रिज्या OP 5 सेमी है। वृत्त के अंदर एक जीवा PQ है जिसकी लंबाई 8 सेमी है। केंद्र O से जीवा PQ पर एक लंब OM खींचा गया है। त्रिभुज OPM का उपयोग करके OM की लंबाई ज्ञात करनी है।
वृत्त की त्रिज्या OP = 5 सेमी
... वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
PM = \( \frac{PQ}{2} = \frac{8}{2} \) = 4 सेमी
समकोण △OPM में,
\( (OP)^2 = (OM)^2 + (PM)^2 \)
\( (5)^2 = (OM)^2 + (4)^2 \)
\( 25 = (OM)^2 + 16 \)
\( 25 - 16 = (OM)^2 \)
या \( (OM)^2 = 9 \)

\( \implies \) OM = \( \sqrt{9} \) = 3 सेमी
In simple words: We use the Pythagorean theorem in the right-angled triangle formed by the radius, half the chord, and the distance from the center to find the unknown distance.

🎯 Exam Tip: Always remember that the perpendicular from the center of a circle to a chord bisects the chord, which is crucial for applying the Pythagorean theorem correctly.

Question 10. एक 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 3 सेमी की दूरी पर जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है। वृत्त की त्रिज्या OA 5 सेमी है। केंद्र O से एक जीवा AB पर एक लंब OM खींचा गया है, जिसकी लंबाई 3 सेमी है। त्रिभुज OAM का उपयोग करके जीवा AB की लंबाई ज्ञात करनी है।
समकोण △OAM में,
\( (OA)^2 = (OM)^2 + (AM)^2 \)
\( (5)^2 = (3)^2 + (AM)^2 \)
\( 25 = 9 + (AM)^2 \)
\( 25 - 9 = (AM)^2 \)
\( 16 = (AM)^2 \)

\( \implies \) AM = \( \sqrt{16} \) = 4 सेमी

\( \implies \) जीवा AB = 2 × AM = 2 × 4 = 8 सेमी
In simple words: We find half the chord length using the Pythagorean theorem, then double it to get the total length of the chord.

🎯 Exam Tip: This question is the reverse of finding the distance to the chord. Ensure you correctly identify what needs to be found (half-chord) before doubling it for the final answer.

Question 11. एक वृत्त की एक चाप दी गयी है। प्रदर्शित कीजिए कि वृत्त को पूरा कैसे किया जायेगा?
Answer: एक वृत्त का चाप AXB दिया है। वृत्त का केन्द्र ज्ञात करने के लिए AB को मिलाया। जीवा AB का लम्बार्द्धक खींचा, जो चाप को M बिन्दु पर काटता है। बिन्दु A अथवा B से कोई न्यूनकोण बनाती AY रेखा नीचे की ओर खींची। रेखा AY पर \( 90^\circ \) का कोण बनाते हुए AX रेखा खींची जो AB के लम्बार्द्धक को बिन्दु O पर काटती है। अब बिन्दु 0 को केन्द्र मानकर OA त्रिज्या परकार में लेकर एक वृत्त खींचा जो दिये गये । चाप को ही पूर्ण करता है।
In simple words: To complete a given arc into a full circle, first find the center of the circle by drawing perpendicular bisectors of two non-parallel chords formed from points on the arc. The intersection point is the center.

🎯 Exam Tip: Understanding the geometric properties, such as the perpendicular bisector of a chord passing through the center, is key for constructions like completing a circle from an arc.

Question 12. दिये गये वृत्त का केन्द्र ज्ञात करने की विधि बताइये ।
Answer:
(1) वृत्त पर तीन बिन्दु A, B,C लिए ।
(2) AB तथा BC को मिलाया ।
(3) AB तथा BC के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो एक-दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं।
(4) बिन्दु O वृत्त का अभीष्ट केन्द्र है।
In simple words: To find the center of a given circle, choose any three points on its circumference, form two chords, and then draw the perpendicular bisectors of these chords. Their intersection point will be the center of the circle.

🎯 Exam Tip: The principle that the perpendicular bisector of any chord passes through the center of the circle is fundamental for this construction.

Ex 15.1 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

Question 13. चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र, त्रिज्या 5 सेमी तथा OP ⊥ AB, OQ ⊥ CD व AB||CD, AB = 6 सेमी, CD = 8 सेमी है। PQ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 5 सेमी है। दो समांतर जीवाएँ AB (6 सेमी) और CD (8 सेमी) हैं। केंद्र O से AB पर लंब OP और CD पर लंब OQ खींचा गया है। हमें P और Q के बीच की दूरी (PQ) ज्ञात करनी है।
CD = 8 सेमी
CQ = \( \frac{CD}{2} = \frac{8}{2} \) = 4 सेमी
समकोण △COQ में,
\( (CO)^2 = (CQ)^2 + (QO)^2 \)
\( (5)^2 = (4)^2 + (QO)^2 \)
\( 25 = 16 + (QO)^2 \)
\( 25 - 16 = (QO)^2 \)

\( \implies \) QO = \( \sqrt{9} \) = 3 सेमी
इसी प्रकार AB = 6 सेमी, AP = \( \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} \) = 3 सेमी, वृत्त की त्रिज्या OC = OA = 5 सेमी
तब समकोण △OAP में,
\( (OP)^2 = (OA)^2 - (AP)^2 \)
\( (OP)^2 = (5)^2 - (3)^2 \)
\( (OP)^2 = 25 - 9 = 16 \)
OP = \( \sqrt{16} \) = 4 सेमी

\( \implies \) PQ = OP - OQ = 4 - 3 = 1 सेमी
In simple words: We calculate the distance of each chord from the center using the Pythagorean theorem. Since the chords are parallel and on the same side of the center (implied by the subtraction), the distance between them is the difference of their individual distances from the center.

🎯 Exam Tip: When dealing with parallel chords, always determine if they are on the same side or opposite sides of the center, as this affects whether you add or subtract their distances from the center to find the distance between them.

Question 14. यदि वृत्त का व्यास उसकी प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है तब सिद्ध कीजिए कि उसकी जीवाऐं समान्तर हैं।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त दिखाया गया है जिसका केंद्र O है और उसमें दो जीवाएँ AB और CD हैं। केंद्र O से जीवा AB पर लंब OM और जीवा CD पर लंब ON खींचा गया है। यह दर्शाया गया है कि AB और CD समांतर हैं, चाहे वे केंद्र के एक ही ओर हों या विपरीत ओर।
प्रथम स्थिति : यदि वृत्त की दो जीवाऐं वृत्त के एक ही ओर हैं।
वृत्त के केन्द्र तथा जीवा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
\( \angle OMA = \angle OMB = 90^\circ \) (प्रत्येक \( 90^\circ \))
\( \angle ONC = \angle OND = 90^\circ \) (प्रत्येक \( 90^\circ \))
\( \angle OMA = \angle ONC = 90^\circ \) (संगत कोण)
तथा \( \angle OMB = \angle OND = 90^\circ \) (संगत कोण)
परन्तु ये संगत कोण तभी बराबर होंगे जबकि AB ||CD
द्वितीय स्थिति : यदि वृत्त की दोनों जीवाऐं वृत्त के केन्द्र के विपरीत ओर हैं।
वृत्त के केन्द्र तथा जीवा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
\( \angle OMA = \angle OMB = 90^\circ \) (प्रत्येक \( 90^\circ \))
\( \angle ONC = \angle OND = 90^\circ \) (प्रत्येक \( 90^\circ \))
\( \angle OMA = \angle OND = 90^\circ \)
तथा \( \angle OMB = \angle ONC = 90^\circ \)
परन्तु ये कोण एकान्तर कोण हैं। ये कोण एकान्तर तभी हो सकते हैं जबकि AB||CD

\( \implies \) वृत्त की जीवायें AB तथा CD समान्तर होंगी ।
In simple words: If a line from the center bisects two chords, it implies that the line is perpendicular to both chords. Since both chords are perpendicular to the same line (or line segment passing through the center), they must be parallel to each other, regardless of whether they are on the same side or opposite sides of the center.

🎯 Exam Tip: The key geometric principle here is that if two lines are perpendicular to the same transversal, then the two lines are parallel. Apply this property to the chords and the line connecting the midpoints through the center.

Question 15. दो समान वृत्त परस्पर P व Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। P से एक रेखा, वृत्तों पर बिन्दु A व B से मिलती है। सिद्ध कीजिए कि QA = QB
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): दो समान वृत्त दिखाए गए हैं जो बिंदु P और Q पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु P से एक सीधी रेखा खींची गई है जो पहले वृत्त को बिंदु A पर और दूसरे वृत्त को बिंदु B पर काटती है। हमें यह सिद्ध करना है कि QA = QB।
चाप PQ दोनों वृत्तों में उभयनिष्ठ हैं।

\( \implies \angle QAP = \angle QBP \) (PQ उभयनिष्ठ जीवा तथा \( \angle APQ = \angle QPB \) (वृत्तों के शेष कोणों द्वारा बने कोण))
अतः \( \triangle APQ \cong \triangle BPQ \)

\( \implies \) QA = QB
In simple words: Since the two circles are equal and intersect, the chords PQ are common. Angles subtended by the common chord PQ in the respective segments of equal circles are equal. By congruence criteria (e.g., ASA if angles at P are also equal, or considering properties of equal circles), we can prove QA = QB.

🎯 Exam Tip: For problems involving intersecting circles, focus on the common chord and the angles it subtends. Remember properties of angles in the same segment or alternate segments for congruent circles.

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