UP Board Solutions Class 8 Maths Chapter 2 Vargmool

UP Board Solutions For Class 8 Maths Chapter 2 वर्गमूल

वर्गमूल

Exercise 2(A)

Question 1. 1 से 15 के बीच की सभी विषम संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए ।

Answer:3\(^2\) = 9, 5\(^2\) = 25, 7\(^2\) = 49, 9\(^2\) = 81, 11\(^2\) = 121, 13\(^2\) = 169
In simple words: To find the squares of odd numbers between 1 and 15, we multiply each odd number (3, 5, 7, 9, 11, 13) by itself.

🎯 Exam Tip: Remember that squaring a number means multiplying it by itself. Identifying odd numbers within a range is crucial for this type of problem.

 

Question 2. निम्नांकित के मान बताइए ।

Answer:
(i) 56\(^2\) = 3136
(ii) 65\(^2\) = 4225
(iii) 82\(^2\) = 6724
(iv) 75\(^2\) = 5625
In simple words: To find the value of the square of a number, multiply the number by itself. For example, 56\(^2\) is 56 multiplied by 56.

🎯 Exam Tip: Practice mental math or quick multiplication techniques for squaring two-digit numbers to save time during exams.

 

Question 3. निम्नांकित परिमेय संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए ।

Answer:
(i) (-5)\(^2\) = (-5) × (-5) = 25
(ii) \(\left(\frac{13}{17}\right)^2 = \frac{13 \times 13}{17 \times 17} = \frac{169}{289}\)
(iii) \(\left(-\frac{6}{7}\right)^2 = \left(-\frac{6}{7}\right) \times \left(-\frac{6}{7}\right) = \frac{36}{49}\)
(iv) \(\left(\frac{15}{19}\right)^2 = \frac{15 \times 15}{19 \times 19} = \frac{225}{361}\)
(v) (-125)\(^2\) = (-125) × (-125) = 15625
(vi) \(\left(-\frac{9}{23}\right)^2 = \left(-\frac{9}{23}\right) \times \left(-\frac{9}{23}\right) = \frac{81}{529}\)
In simple words: To square a rational number, square both the numerator and the denominator. For negative numbers, remember that a negative number multiplied by a negative number results in a positive number.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to signs when squaring negative numbers. For fractions, square the numerator and denominator independently.

 

Exercise 2(B)

Question 1. गुणनखंड विधि से निम्नांकित के वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 7744
(ii) 1664
(iii) 4900
(iv) 47089

Answer:
(i) 7744
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 7744 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 2 से विभाजित किया गया है, और फिर 11 से, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 7744 के गुणनखंड 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11 प्राप्त होते हैं। 7744 = 2×2 × 2×2 × 2×2 × 11×11 \(\sqrt{7744}\) = \(\pm\) (2×2×2×11) = \(\pm\) 88
(ii) 11664
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 11664 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 2 से विभाजित किया गया है, और फिर 3 से, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 11664 के गुणनखंड 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 प्राप्त होते हैं। 11664 = 2×2 × 2×2 × 3×3 × 3×3 × 3×3 \(\sqrt{11664}\) = \(\pm\) (2×2×3×3×3) = \(\pm\) 108
(iii) 4900
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 4900 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 2 से, फिर 5 से, और फिर 7 से विभाजित किया गया है, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 4900 के गुणनखंड 2 × 2 × 5 × 5 × 7 × 7 प्राप्त होते हैं। 4900 = 2×2 × 5×5 × 7×7 \(\sqrt{4900}\) = \(\pm\) (2×5×7) = \(\pm\) 70
(iv) 47089
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 47089 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 7 से, और फिर 31 से विभाजित किया गया है, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 47089 के गुणनखंड 7 × 7 × 31 × 31 प्राप्त होते हैं। 47089 = 7×7 × 31×31 \(\sqrt{47089}\) = \(\pm\) (7×31) = \(\pm\) 217
In simple words: To find the square root by prime factorization, break down the number into its prime factors. Then, group identical prime factors in pairs and multiply one factor from each pair to get the square root. Remember to include both positive and negative roots.

🎯 Exam Tip: Ensure that all prime factors are correctly identified and paired. A common mistake is missing factors or incorrectly pairing them, which leads to an incorrect square root.

 

Question 2. गुणनखंड विधि से निम्नांकित के धन वर्गमूल ज्ञात कीजिए ।

Answer:
(i) \(\frac{625}{1296}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 625 और 1296 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। 625 को लगातार 5 से विभाजित किया गया है, और 1296 को 2 से फिर 3 से। इससे उनके गुणनखंड 5×5×5×5 और 2×2×2×2×3×3×3×3 प्राप्त होते हैं। \(\frac{625}{1296} = \frac{5 \times 5 \times 5 \times 5}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}\) \(\sqrt{\frac{625}{1296}} = \frac{5 \times 5}{2 \times 2 \times 3 \times 3} = \frac{25}{36}\)
(ii) \(\frac{529}{196}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 529 और 196 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। 529 को लगातार 23 से विभाजित किया गया है, और 196 को 2 से फिर 7 से। इससे उनके गुणनखंड 23×23 और 2×2×7×7 प्राप्त होते हैं। \(\frac{529}{196} = \frac{23 \times 23}{2 \times 2 \times 7 \times 7}\) \(\sqrt{\frac{529}{196}} = \frac{23}{2 \times 7} = \frac{23}{14} = 1\frac{9}{14}\)
(iii) \(\frac{225}{49}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 225 और 49 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। 225 को लगातार 3 से फिर 5 से विभाजित किया गया है, और 49 को 7 से। इससे उनके गुणनखंड 3×3×5×5 और 7×7 प्राप्त होते हैं। \(\frac{225}{49} = \frac{3 \times 3 \times 5 \times 5}{7 \times 7}\) \(\sqrt{\frac{225}{49}} = \frac{3 \times 5}{7} = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}\)
(iv) \(\frac{2809}{121}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 2809 और 121 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। 2809 को लगातार 53 से विभाजित किया गया है, और 121 को 11 से। इससे उनके गुणनखंड 53×53 और 11×11 प्राप्त होते हैं। \(\frac{2809}{121} = \frac{53 \times 53}{11 \times 11}\) \(\sqrt{\frac{2809}{121}} = \frac{53}{11} = 4\frac{9}{11}\)
(v) \(\frac{3721}{49}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 3721 और 49 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। 3721 को लगातार 61 से विभाजित किया गया है, और 49 को 7 से। इससे उनके गुणनखंड 61×61 और 7×7 प्राप्त होते हैं। \(\frac{3721}{49} = \frac{61 \times 61}{7 \times 7}\) \(\sqrt{\frac{3721}{49}} = \frac{61}{7} = 8\frac{5}{7}\)
In simple words: To find the positive square root of a rational number, find the prime factorization of both the numerator and the denominator separately. Then take the square root of each, combining them into a fraction. Only the positive root is considered here.

🎯 Exam Tip: For fractions, always simplify the fraction before or after finding the square roots if possible. Remember that "धन वर्गमूल" means only the positive root.

 

Question 3. एक बाग में आम के 2304 पेड़ हैं। प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पेड़ हैं, जितनी कि बाग में पंक्तियाँ हैं। बाग में कुल कितनी पंक्तियाँ हैं?

Answer:बाग में कुल पंक्तियाँ = \(\sqrt{2304}\) 2304 = 2×2 × 2×2 × 2×2 × 2×2 × 3×3 \(\sqrt{2304}\) = 2×2×2×2 × 3 = 48 अतः बाग में कुल 48 पंक्तियाँ हैं।
In simple words: If the number of trees in each row is equal to the number of rows, then the total number of trees is a perfect square. To find the number of rows, we calculate the square root of the total number of trees.

🎯 Exam Tip: Problems involving equal rows and columns (or side lengths of a square) always require finding the square root of the total number.

 

Question 4. एक सेनानायक ने अपनी सेना को टोलियों में इस प्रकार विभाजित किया कि प्रत्येक टोली में उतने ही सैनिक थे जितनी कि कुल टोलियाँ थीं। यदि उस सेना में कुल 6561 सैनिक थे तो प्रत्येक टोली में कितने सैनिक थे?

Answer:प्रत्येक टोली में सैनिकों की संख्या = \(\sqrt{6561}\) 6561 = 3×3×3×3×3×3×3×3 \(\sqrt{6561}\) = 3×3×3×3 = 81 अतः प्रत्येक टोली में 81 सैनिक थे।
In simple words: Similar to the previous problem, if the number of soldiers in each team equals the number of teams, the total soldiers form a perfect square. The number of soldiers per team is the square root of the total soldiers.

🎯 Exam Tip: These types of "square arrangement" problems are direct applications of square roots. Prime factorization is a reliable method for finding the square root of larger numbers.

 

Question 5. एक सेनानायक अपने जवानों को पंक्तियों में खड़ा करके एक वर्ग बनवाता है। बाद में उसे ज्ञात होता है कि 60 जवान शेष रह जाते हैं। यदि उसके पास कुल 8160 जवान थे, तो बताइए कि प्रत्येक पंक्ति में सेनानायक ने कितने जवान खड़े किए थे?

Answer:कुल जवानों की संख्या = 8160 शेष जवान = 60 वर्ग में खड़े जवान = 8160 - 60 = 8100 प्रत्येक पंक्ति में खड़े जवानों की संख्या = \(\sqrt{8100}\) 8100 = 2×2×3×3×3×3×5×5 \(\sqrt{8100}\) = 2×3×3×5 = 90 अतः प्रत्येक पंक्ति में सेनानायक ने 90 जवान खड़े किए थे।
In simple words: First, subtract the remaining soldiers from the total to find the number of soldiers forming a perfect square arrangement. Then, find the square root of this number to determine the number of soldiers in each row (or column).

🎯 Exam Tip: When some items are left over, subtract them first to get the perfect square quantity. Always recheck the subtraction and then the prime factorization or division method for the square root.

 

Question 6. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1890 में गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग होगा।

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 1890 का अभाज्य गुणनखंड निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 2, 3, 5, 7 से विभाजित किया गया है, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 1890 के गुणनखंड 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7 प्राप्त होते हैं। 1890 = 2 × 3×3 × 3 × 5 × 7 1890 में 2 × 3 × 5 × 7 = 210 से गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाएगा।
In simple words: Find the prime factors of the given number. Identify the factors that are not in pairs. Multiply the original number by these unpaired factors to make it a perfect square.

🎯 Exam Tip: To make a number a perfect square by multiplication, ensure all prime factors appear an even number of times. The multiplying factor will be the product of all single (unpaired) prime factors.

 

Question 7. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 9408 में भाग देने से भागफल पूर्ण वर्ग हो जाए।

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 9408 का अभाज्य गुणनखंड निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 2, 3, 7 से विभाजित किया गया है, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 9408 के गुणनखंड 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7 प्राप्त होते हैं। 9408 = 2×2 × 2×2 × 2×2 × 3 × 7×7
In simple words: Find the prime factors of the given number. Identify the factors that are not in pairs. Divide the original number by these unpaired factors to make the quotient a perfect square.

🎯 Exam Tip: To make a number a perfect square by division, remove the unpaired prime factors. The dividing factor will be the product of all prime factors that appear an odd number of times.

 

Exercise 2(C)

Question 1. भाग विधि से निम्नांकित के वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 4489
(ii) 27225
(iii) 49284
(iv) 1234321
(v) 4937284

Answer:
(i) 4489 का वर्गमूल = \(\sqrt{4489}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 4489 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को दाईं ओर से दो-दो अंकों के जोड़े में बांटा गया है। भागफल 67 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 4489 का वर्गमूल 67 है। अतः \(\sqrt{4489}\) = \(\pm\) 67
(ii) 27225 का वर्गमूल = \(\sqrt{27225}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 27225 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को दाईं ओर से दो-दो अंकों के जोड़े में बांटा गया है, पहले अंक 2 को छोड़कर। भागफल 165 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 27225 का वर्गमूल 165 है। अतः \(\sqrt{27225}\) = \(\pm\) 165
(iii) 49284 का वर्गमूल = \(\sqrt{49284}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 49284 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को दाईं ओर से दो-दो अंकों के जोड़े में बांटा गया है, पहले अंक 4 को छोड़कर। भागफल 222 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 49284 का वर्गमूल 222 है। अतः \(\sqrt{49284}\) = \(\pm\) 222
(iv) 1234321 का वर्गमूल = \(\sqrt{1234321}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 1234321 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को दाईं ओर से दो-दो अंकों के जोड़े में बांटा गया है, पहले अंक 1 को छोड़कर। भागफल 1111 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 1234321 का वर्गमूल 1111 है। अतः \(\sqrt{1234321}\) = \(\pm\) 1111
(v) 4937284 का वर्गमूल = \(\sqrt{4937284}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 4937284 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को दाईं ओर से दो-दो अंकों के जोड़े में बांटा गया है, पहले अंक 4 को छोड़कर। भागफल 2222 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 4937284 का वर्गमूल 2222 है।
In simple words: The long division method for square roots involves grouping digits in pairs from the right, finding the largest square less than or equal to the first group, then iteratively performing division and subtraction, doubling the current quotient and finding the next digit.

🎯 Exam Tip: Practice the long division method diligently, especially for larger numbers, as it is a systematic approach to finding square roots. Careful estimation of the next digit is key to accuracy.

 

Question 2. भाग विधि से निम्नांकित के वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

Answer:
(i) \(\sqrt{\frac{361}{625}}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 361 और 625 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। 361 का वर्गमूल 19 है और 625 का वर्गमूल 25 है, दोनों ही भाग विधि का उपयोग करके प्राप्त किए गए हैं। अतः \(\sqrt{\frac{361}{625}} = \frac{19}{25} = \pm \frac{19}{25}\)
(ii) \(34\frac{1681}{49}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र मिश्रित भिन्न \(34\frac{1681}{49}\) को अनुचित भिन्न में बदलकर वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। 1681 का वर्गमूल 41 है और 49 का वर्गमूल 7 है, दोनों ही भाग विधि का उपयोग करके प्राप्त किए गए हैं। अतः \(\sqrt{34\frac{1681}{49}} = \sqrt{\frac{34 \times 49 + 1681}{49}} = \sqrt{\frac{1666+1681}{49}} = \sqrt{\frac{1681}{49}} = \frac{41}{7} = \pm 5\frac{6}{7}\)
In simple words: To find the square root of a fraction using the division method, find the square root of the numerator and the denominator separately using the division method. For mixed fractions, first convert them to improper fractions.

🎯 Exam Tip: When dealing with mixed fractions, converting them to improper fractions is the first and most crucial step before attempting to find the square root. Be meticulous with the division method for both numerator and denominator.

 

Question 2 (continued). भाग विधि से निम्नांकित के वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

Answer:
(iii) \(21\frac{51}{169}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र मिश्रित भिन्न \(21\frac{51}{169}\) को अनुचित भिन्न में बदलकर वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। 3600 का वर्गमूल 60 है और 169 का वर्गमूल 13 है, दोनों ही भाग विधि का उपयोग करके प्राप्त किए गए हैं। अतः \(\sqrt{21\frac{51}{169}} = \sqrt{\frac{21 \times 169 + 51}{169}} = \sqrt{\frac{3549+51}{169}} = \sqrt{\frac{3600}{169}} = \frac{60}{13} = \pm 4\frac{8}{13}\)
(iv) \(10\frac{151}{225}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र मिश्रित भिन्न \(10\frac{151}{225}\) को अनुचित भिन्न में बदलकर वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। 2401 का वर्गमूल 49 है और 225 का वर्गमूल 15 है, दोनों ही भाग विधि का उपयोग करके प्राप्त किए गए हैं। अतः \(\sqrt{10\frac{151}{225}} = \sqrt{\frac{10 \times 225 + 151}{225}} = \sqrt{\frac{2250+151}{225}} = \sqrt{\frac{2401}{225}} = \frac{49}{15} = \pm 3\frac{4}{15}\)
(v) \(23\frac{394}{729}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र मिश्रित भिन्न \(23\frac{394}{729}\) को अनुचित भिन्न में बदलकर वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। 17161 का वर्गमूल 131 है और 729 का वर्गमूल 27 है, दोनों ही भाग विधि का उपयोग करके प्राप्त किए गए हैं। अतः \(\sqrt{23\frac{394}{729}} = \sqrt{\frac{23 \times 729 + 394}{729}} = \sqrt{\frac{16767+394}{729}} = \sqrt{\frac{17161}{729}} = \frac{131}{27} = \pm 4\frac{23}{27}\)
In simple words: Convert the mixed fraction to an improper fraction. Then, use the long division method to find the square root of the numerator and the denominator separately. Express the final answer as a mixed fraction if the improper fraction is greater than 1.

🎯 Exam Tip: Always double-check the conversion from mixed fraction to improper fraction. Errors in this initial step will lead to incorrect final answers. Consistency in applying the long division method is key.

 

Question 3. वह छोटी से छोटी प्राकृतिक संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 4931 में जोड़ दें, तो योगफल पूर्ण वर्ग होगा।

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 4931 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। इसमें 70 का वर्ग 4900 है, और 71 का वर्ग 5041 है। 4931, 70 के वर्ग से बड़ा है लेकिन 71 के वर्ग से छोटा है। अतः स्पष्ट है कि दी गई संख्या (70)\(^2\) से बड़ी, परंतु (71)\(^2\) से छोटी है। यदि दी गई संख्या में हम (141-31) = 110 जोड़ दें, तो योगफल पूर्ण वर्ग हो जाएगा। अतः अभीष्ट छोटी से छोटी प्राकृतिक संख्या 110 है।
In simple words: To find the smallest number to add to make a perfect square, find the square root of the given number using the long division method. Identify the next perfect square greater than the given number. The difference between this next perfect square and the given number is the required addition.

🎯 Exam Tip: When using the long division method to find the number to be added, pay attention to the remainder. The next perfect square is \((Q+1)^2\), where Q is the quotient. The number to be added is \((Q+1)^2\) - given number.

 

Question 4. वह छोटी से छोटी प्राकृतिक संख्या बताईए जिसे 18265 मे से घटने पर शेषफल पूर्ण वर्ग होगा।

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 18265 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। भागफल 135 प्राप्त होता है और शेषफल 40 बचता है। यह शेषफल ही वह संख्या है जिसे घटाने पर दी गई संख्या पूर्ण वर्ग बन जाएगी। यदि 18265 में से 40 घटा दिया जाए, तो शेषफल पूर्ण वर्ग होगा। अतः अभीष्ट छोटी से छोटी प्राकृतिक संख्या 40 है।
In simple words: To find the smallest number to subtract to make a perfect square, find the square root of the given number using the long division method. The remainder obtained from this process is the number that must be subtracted.

🎯 Exam Tip: When using the long division method to find the number to be subtracted, the remainder directly tells you how much to subtract. There's no need for further calculation using the quotient.

 

Question 5. पाँच अंकों की बड़ी से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या बताइए ।

Answer:पाँच अंकों की बड़ी से बड़ी संख्या = 99999
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 99999 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। भागफल 316 प्राप्त होता है और शेषफल 143 बचता है। यह दर्शाता है कि 99999 पूर्ण वर्ग नहीं है। यदि 99999 में से 143 घटा दिया जाए, तो शेषफल पूर्ण वर्ग होगा। अतः अभीष्ट बड़ी से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या = 99999 - 143 = 99856
In simple words: Start with the largest 5-digit number (99999). Use the long division method to find its square root. The remainder indicates how much must be subtracted from 99999 to get the largest 5-digit perfect square.

🎯 Exam Tip: To find the largest perfect square of 'n' digits, take the largest 'n' digit number and apply the long division method. The remainder obtained is the value to be subtracted from the original 'n' digit number.

 

Question 6. 62500 का गुणनखंड विधि तथा भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात करके दोनों उत्तरों की तुलना कीजिए।

Answer:गुणनखंड विधि -
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 62500 का अभाज्य गुणनखंड निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 2 से फिर 5 से विभाजित किया गया है, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 62500 के गुणनखंड 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 प्राप्त होते हैं। 62500 = 2×2 × 5×5 × 5×5 × 5×5 \(\sqrt{62500}\) = 2 × 5×5×5 = 250 भाग विधि -
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 62500 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को दाईं ओर से दो-दो अंकों के जोड़े में बांटा गया है, पहले अंक 6 को छोड़कर। भागफल 250 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 62500 का वर्गमूल 250 है। \(\sqrt{62500}\) = 250 अतः दोनों विधियों से 62500 का वर्गमूल समान है।
In simple words: Both prime factorization and long division methods are used to find the square root of 62500. Prime factorization involves breaking it into prime factors and pairing them. Long division involves a step-by-step division process. Both methods yield 250 as the square root.

🎯 Exam Tip: For verification, it's good practice to use both methods. If the results match, your answer is likely correct. This question specifically asks for a comparison, highlighting that both methods should yield the same result.

 

Exercise 2(D)

• निम्नांकित प्रश्नों के उत्तर बताइए -

Question 1. संख्या 1809025 के वर्गमूल में अंकों की संख्या है :
(i) 2
(ii) 5
(iii) 4
(iv) 3

Answer: (iii) 4
In simple words: To find the number of digits in the square root of a number, group the digits from the right in pairs. The number of such groups (including any single digit on the far left) is the number of digits in the square root. For 1809025, there are 4 groups (1, 80, 90, 25), so the square root has 4 digits.

🎯 Exam Tip: This is a quick way to check your answer or to estimate. If the number of digits in the original number is 'n', then the number of digits in its square root is \(\lceil n/2 \rceil\).

 

Question 2. 100 से 999 तक की प्रत्येक संख्या के वर्ग के वर्गमूल में अंकों की संख्या है :
(i) 2
(ii) 4
(iii) 5
(iv) 3

Answer: (iv) 3
In simple words: Numbers from 100 to 999 are all 3-digit numbers. When you take the square root of any 3-digit number (e.g., \(\sqrt{100}=10\), \(\sqrt{999} \approx 31.6\)), the result will always have 2 digits. The question asks for the number of digits in the square root of the *square* of these numbers. The square of a 3-digit number can be a 5-digit (e.g., \(100^2=10000\)) or 6-digit number (e.g., \(999^2 \approx 998001\)). The square root of a 5-digit number has 3 digits, and the square root of a 6-digit number also has 3 digits. Hence, the square root of the square of these numbers will have 3 digits.

🎯 Exam Tip: Be careful with the phrasing: "वर्ग के वर्गमूल में अंकों की संख्या" means the number of digits in the square root of the number's square, which is essentially the number of digits in the original number if it's a perfect square. The number of digits in the square root of a number with 'n' digits is \(\lceil n/2 \rceil\).

 

Question 3. एक सात अंकों की संख्या के वर्गमूल में अंकों की संख्या है :
(i) 2
(ii) 3
(iii) 4
(iv) 5

Answer: (iii) 4
In simple words: For a number with 'n' digits, the number of digits in its square root is \(\lceil n/2 \rceil\). For a 7-digit number, n=7, so the number of digits in the square root is \(\lceil 7/2 \rceil = \lceil 3.5 \rceil = 4\).

🎯 Exam Tip: Use the formula: if N has 'n' digits, then \(\sqrt{N}\) has \(\lceil n/2 \rceil\) digits. This is a quick mental calculation for MCQs.

 

Question 4. किसी संख्या के वर्गमूल में केवल दो अंक हैं, तो वह संख्या है :
(i) एक अंक या दो अंक की
(ii) दो अंक या तीन अंक की ।
(iii) तीन अंक या चार अंक की
(iv) चार अंक या पाँच अंक की

Answer: (iii) तीन अंक या चार अंक की
In simple words: If the square root has two digits, it means the square root is between 10 and 99. Squaring these numbers gives \(10^2 = 100\) (a 3-digit number) and \(99^2 = 9801\) (a 4-digit number). Therefore, the original number must be a 3-digit or a 4-digit number.

🎯 Exam Tip: To solve this, consider the smallest and largest numbers with the given number of digits in their square root. Their squares will give the range of digits for the original number.

 

Question 5. निम्नांकित प्रत्येक संख्या के वर्गमूल में कितने-कितने अंक होंगे?
(i) 2304
(ii) 75625
(iii) 166464
(iv) 32901696
(v) 64432729

Answer:1. 23 04 में पड़ी रेखाओं की संख्या दो है अतः 2304 के वर्गमूल में अंकों की संख्या 2 होगी। 2. 756 25 में पड़ी रेखाओं की संख्या दो है अतः 75625 के वर्गमूल में अंकों की संख्या 3 होगी। 3. 16 64 64 में पड़ी रेखाओं की संख्या तीन है अतः 166464 के वर्गमूल में अंकों की संख्या 3 होगी । 4. 32 90 16 96 में पड़ी रेखाओं की संख्या चार है अतः 32901696 के वर्गमूल में अंकों की संख्या 4 होगी । 5. 64 43 27 29 में पड़ी रेखाओं की संख्या चार है अतः 64432729 के वर्गमूल में अंकों की संख्या 4 होगी ।
In simple words: To find the number of digits in a square root, count the number of pairs formed by grouping digits from the right. If the number of digits is odd, the leftmost digit forms a single group. Each group corresponds to one digit in the square root.

🎯 Exam Tip: This method of grouping pairs is simple and reliable. It's especially useful for numbers with many digits to quickly determine the length of their square roots.

 

Exercise 2(E)

Question 1. निम्नांकित के धन वर्गमूल ज्ञात कीजिए ।
(i) 84.8241
(ii) 150.0625
(iii) 477.4225
(iv) 225.6004
(v) 0.00008281

Answer:
(i) 84.8241
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 84.8241 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। दशमलव संख्या में, पूर्णांक और दशमलव भागों को अलग-अलग जोड़े में बांटा जाता है। भागफल 9.21 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 84.8241 का वर्गमूल 9.21 है। अतः \(\sqrt{84.8241}\) = 9.21
(ii) 150.0625
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 150.0625 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। दशमलव संख्या में, पूर्णांक और दशमलव भागों को अलग-अलग जोड़े में बांटा जाता है। भागफल 12.25 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 150.0625 का वर्गमूल 12.25 है। अतः \(\sqrt{150.0625}\) = 12.25
(iii) 477.4225
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 477.4225 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। दशमलव संख्या में, पूर्णांक और दशमलव भागों को अलग-अलग जोड़े में बांटा जाता है। भागफल 21.85 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 477.4225 का वर्गमूल 21.85 है। अतः \(\sqrt{477.4225}\) = 21.85
(iv) 225.6004
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 225.6004 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। दशमलव संख्या में, पूर्णांक और दशमलव भागों को अलग-अलग जोड़े में बांटा जाता है। भागफल 15.02 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 225.6004 का वर्गमूल 15.02 है। अतः \(\sqrt{225.6004}\) = 15.02
(v) 0.00008281
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 0.00008281 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। दशमलव संख्या में, दशमलव के बाद के अंकों को दाईं ओर से जोड़े में बांटा जाता है। भागफल 0.0091 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 0.00008281 का वर्गमूल 0.0091 है। अतः \(\sqrt{0.00008281}\) = 0.0091
In simple words: To find the square root of a decimal number using the long division method, group the digits in pairs from the decimal point outwards. For the integer part, group pairs to the left. For the decimal part, group pairs to the right, adding zeros if needed to complete a pair. Place the decimal point in the quotient when you cross the decimal point in the number.

🎯 Exam Tip: Correctly placing the decimal point in the quotient is crucial. Also, ensure you pair digits correctly from the decimal point, both to the left (for integers) and to the right (for decimals).

 

Question 2. निम्नांकित प्रत्येक संख्या का धन वर्गमूल दशमलव के निकटतम तीसरे स्थान पर ज्ञात कीजिए।
(i) 1.7
(ii) 23.1
(iii) 5
(iv) 237.615
(v) 0.016

Answer:
(i) 1.7
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 1.7 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जिसे दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात किया गया है। 1.7 को 1.70000000 के रूप में लिखा गया है। भागफल 1.3038 है। अतः \(\sqrt{1.7}\) = 1.3038 \(\approx\) 1.304
(ii) 23.1
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 23.1 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जिसे दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात किया गया है। 23.1 को 23.10000000 के रूप में लिखा गया है। भागफल 4.8062 है। अतः \(\sqrt{23.1}\) = 4.8062 \(\approx\) 4.806
(iii) 5
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 5 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जिसे दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात किया गया है। 5 को 5.00000000 के रूप में लिखा गया है। भागफल 2.2360 है। अतः \(\sqrt{5}\) = 2.2360 \(\approx\) 2.236
(iv) 237.615
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 237.615 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जिसे दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात किया गया है। 237.615 को 237.61500000 के रूप में लिखा गया है। भागफल 15.4146 है। अतः \(\sqrt{237.615}\) = 15.4146 \(\approx\) 15.415
(v) 0.016
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 0.016 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जिसे दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात किया गया है। 0.016 को 0.01600000 के रूप में लिखा गया है। भागफल 0.1264 है। अतः \(\sqrt{0.0160}\) = 0.1264 \(\approx\) 0.126
In simple words: To find the square root to three decimal places, you need to calculate it to at least four decimal places and then round the third decimal place based on the fourth. This is done by adding pairs of zeros after the decimal point in the original number.

🎯 Exam Tip: When rounding to 'n' decimal places, calculate to 'n+1' decimal places. If the (n+1)th digit is 5 or greater, round up the 'n'th digit. If it's less than 5, keep the 'n'th digit as is.

 

Question 3. निम्नांकित प्रत्येक परिमेय भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलकर उनके धन वर्गमूल दशमलव के निकटतम तीन स्थान पर ज्ञात कीजिए ।
(i) \(\frac{5}{12}\)
(ii) \(2\frac{1}{12}\)
(iii) \(287\frac{5}{8}\)
(iv) \(367\frac{2}{7}\)

Answer:
(i) \(\frac{5}{12}\) = 0.41666666..........
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 0.41666666 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जिसे दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात किया गया है। भागफल 0.6454 है। अतः \(\sqrt{\frac{5}{12}}\) = \(\sqrt{0.41666666}\) = 0.6454 \(\approx\) 0.645
(ii) \(2\frac{1}{12}\) = \(\frac{25}{12}\) = 2.08333333 .....
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 2.08333333 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जिसे दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात किया गया है। भागफल 1.4433 है। अतः \(\sqrt{\frac{25}{12}}\) = \(\sqrt{2.08333333}\) = 1.4433 \(\approx\) 1.443
(iii) \(287\frac{5}{8}\) = \(\frac{2301}{8}\) = 287.625
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 287.625 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जिसे दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात किया गया है। 287.625 को 287.62500000 के रूप में लिखा गया है। भागफल 16.9595 है। अतः \(\sqrt{287\frac{5}{8}}\) = 16.9595 \(\approx\) 16.960
(iv) \(367\frac{2}{7}\) = \(\frac{2571}{7}\) = 367.28571428
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 367.28571428 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है, जिसे दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात किया गया है। भागफल 19.1646 है। अतः \(\sqrt{367\frac{2}{7}}\) = 19.1646 \(\approx\) 19.165
In simple words: First convert the given rational fraction (or mixed fraction) into its decimal form by division. Then, use the long division method to find the square root of this decimal number, calculating to four decimal places and then rounding to the nearest third decimal place.

🎯 Exam Tip: Accuracy in converting the fraction to a decimal is critical. Ensure enough decimal places are computed during the conversion to support rounding to three places in the final square root calculation.

 

Question 4. वह कौन सी दशमलव संख्या है, जिसे उसी दशमलव संख्या से गुणा करने पर गुणनफल 1227.8016 होता है?

Answer:अभीष्ट संख्या 1227.8016 का वर्गमूल होगी।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 1227.8016 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को दाईं ओर से दो-दो अंकों के जोड़े में बांटा गया है, दशमलव के दोनों ओर। भागफल 35.04 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 1227.8016 का वर्गमूल 35.04 है। \(\sqrt{1227.8016}\) = 35.04 अतः अभीष्ट संख्या 35.04 है।
In simple words: If a decimal number multiplied by itself gives a product, that product is the square of the number. To find the original number, you must calculate the square root of the given product using the long division method for decimals.

🎯 Exam Tip: This problem is a direct application of finding the square root of a decimal number. Pay close attention to the decimal point placement and pairing of digits during the long division process.

 

Question 5. एक वर्ग का क्षेत्रफल 0.00037636 मी\(^2\) है। वर्ग की भुजा की लम्बाई लगभग सेंटीमीटर में ज्ञात कीजिए।

Answer:वर्ग का क्षेत्रफल = 0.00037636 मी\(^2\) वर्ग की भुजा = \(\sqrt{0.00037636}\) मीटर
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 0.00037636 का भाग विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। दशमलव के बाद के अंकों को दाईं ओर से जोड़े में बांटा गया है। भागफल 0.0194 है, जिसमें शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि 0.00037636 का वर्गमूल 0.0194 है। \(\sqrt{0.00037636}\) मीटर = 0.0194 मीटर 0.0194 मीटर = 1.94 सेमी लगभग 2 सेमी अतः वर्ग की भुजा की लम्बाई = 2 सेमी लगभग
In simple words: The side length of a square is the square root of its area. First, find the square root of the given area in square meters using the long division method. Then, convert the result from meters to centimeters (1 meter = 100 centimeters) and round to the nearest whole number as requested for "लगभग".

🎯 Exam Tip: Remember the conversion factor: 1 meter = 100 centimeters. Always ensure units are consistent or converted as required by the question. Rounding should be done at the very end.

 

Question 6. यदि \(\sqrt{2}\) = 1.4142, तो \(\sqrt{8}\) का मान दशमलव के निकटतम तीसरे स्थान तक ज्ञात कीजिए।

Answer:\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\) अब, \(\sqrt{8} = 2 \times 1.4142\) \(\sqrt{8}\) = 2.8284 दशमलव के निकटतम तीसरे स्थान तक = 2.828
In simple words: We can simplify \(\sqrt{8}\) as \(2\sqrt{2}\). Given the value of \(\sqrt{2}\), we multiply it by 2. Finally, we round the result to three decimal places.

🎯 Exam Tip: Simplifying square roots (like \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)) before calculation can often make problems easier when the value of a smaller square root is given.

 

दक्षता अभ्यास – 2

Question 1. ज्ञात कीजिए कि क्या 5400 एक पूर्ण वर्ग संख्या है?

Answer:सबसे पहले हम 5400 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 5400 का अभाज्य गुणनखंड निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 2, 3, 5 से विभाजित किया गया है, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 5400 के गुणनखंड 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 प्राप्त होते हैं। 5400 = 2×2 × 2 × 3×3 × 3 × 5×5 अतः 5400 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
In simple words: To check if 5400 is a perfect square, find its prime factors. If all prime factors can be grouped into pairs, then it is a perfect square. In this case, 2 and 3 have unpaired factors, so 5400 is not a perfect square.

🎯 Exam Tip: A number is a perfect square if and only if all prime factors in its prime factorization appear an even number of times. If any prime factor has an odd exponent, the number is not a perfect square.

 

Question 2. \(\sqrt{41^2 - 40^2}\) का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer:\(\sqrt{41^2 - 40^2}\) = \(\sqrt{(41-40)(41+40)}\) = \(\sqrt{1 \times 81}\) = \(\sqrt{81}\) = \(\sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 3}\) = \((3 \times 3)\) = \(\pm\)9
In simple words: Use the difference of squares identity, \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), to simplify the expression inside the square root. Then, find the square root of the resulting number.

🎯 Exam Tip: The difference of squares identity is very useful for simplifying expressions like this. Remember that square roots always have both a positive and a negative value.

 

Question 3. गुणनखंड विधि से निम्नांकित के वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 15876
(ii) 148225
(iii) 69696

Answer:
(i) 15876
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 15876 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 2, 3, 7 से विभाजित किया गया है, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 15876 के गुणनखंड 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 7 × 7 प्राप्त होते हैं। 15876 = 2×2 × 3×3 × 3×3 × 7×7 \(\sqrt{15876}\) = \(\pm\) (2×3×3×7) = \(\pm\) 126
(ii) 148225
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 148225 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 5, 7, 11 से विभाजित किया गया है, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 148225 के गुणनखंड 5 × 5 × 7 × 7 × 11 × 11 प्राप्त होते हैं। 148225 = 5×5 × 7×7 × 11×11 \(\sqrt{148225}\) = \(\pm\) (5×7×11) = \(\pm\) 385
(iii) 69696
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 69696 का अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया को दर्शाता है। संख्या को लगातार 2, 3, 11 से विभाजित किया गया है, जब तक भागफल 1 न हो जाए। इससे 69696 के गुणनखंड 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 11 × 11 प्राप्त होते हैं। 69696 = 2×2 × 2×2 × 2×2 × 3×3 × 11×11 \(\sqrt{69696}\) = \(\pm\) (2×2×2×3×11) = \(\pm\) 264
In simple words: To find the square root by prime factorization, break down each number into its prime factors. Group identical factors in pairs, and the product of one factor from each pair gives the square root. Remember to indicate both positive and negative roots.

🎯 Exam Tip: When dealing with larger numbers, systematically dividing by prime numbers (starting with 2, then 3, 5, 7, etc.) is the most efficient way to find prime factors.

 

Question 4. धनात्मक वर्गमूल लेते हुए सरल कीजिए :
(i) 5\(^2\) + (-5)\(^2\)
(ii) \(\sqrt{ (5^2 + 12^2) }\)
(iii) 30\(^2\) + \(\sqrt{900}\)
(iv) \(\sqrt{400}\) + \(\sqrt{0.04}\) + \(\sqrt{0.000004}\)

Answer:
(i) 5\(^2\) + (-5)\(^2\) = 25 + 25 = 50
(ii) \(\sqrt{ (5^2 + 12^2) }\) = \(\sqrt{25 + 144}\) = \(\sqrt{169}\) = 13
(iii) 30\(^2\) + \(\sqrt{900}\) = 900 + 30 = 930
(iv) \(\sqrt{400}\) + \(\sqrt{0.04}\) + \(\sqrt{0.000004}\) = 20 + 0.2 + 0.002 = 20.202
In simple words: For each expression, first evaluate the squares and square roots. Remember that squaring a negative number results in a positive number. For decimals, find their square roots carefully. Then, perform the additions or subtractions as indicated. Only consider positive square roots as specified.

🎯 Exam Tip: Pay attention to the order of operations (PEMDAS/BODMAS). Squares and square roots are evaluated before addition and subtraction. For decimal square roots, correctly identifying the number of decimal places in the root is crucial.

 

Question 5. भाग विधि से निम्नांकित के धन वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 4225
(ii) 75625
(iii) 3915380329
Answer:
(i)

अतः \( \sqrt{4225} = 65 \)
(ii)अतः \( \sqrt{75625} = 275 \)
(iii)अतः \( \sqrt{3915380329} = 62573 \)
In simple words: This question asks to find the square roots of large numbers using the long division method, which involves systematically finding pairs of digits and determining the largest integer whose square is less than or equal to the current dividend.

🎯 Exam Tip: Mastering the long division method for square roots is crucial for questions involving large numbers, as it provides a systematic way to calculate precise roots, often required in real-world applications.

 

Question 6. गुणनखंड विधि से निम्नांकित के धन वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) \( \frac{625}{121} \)
(ii) \( 38\frac{139}{169} \)
(iii) \( 28\frac{189}{289} \)
Answer:
(i) \( \frac{625}{121} = \frac{5 \times 5 \times 5 \times 5}{11 \times 11} \)

\( \implies \sqrt{\frac{625}{121}} = \frac{5 \times 5}{11} = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \)
(ii) \( 38\frac{139}{169} = \frac{38 \times 169 + 139}{169} = \frac{6422 + 139}{169} = \frac{6561}{169} \)
गुणनखंड विधि से 6561 और 169 का वर्गमूल ज्ञात करने पर,
6561 = \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
169 = \( 13 \times 13 \)

\( \implies \sqrt{\frac{6561}{169}} = \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{13} = \frac{81}{13} = 6\frac{3}{13} \)
(iii) \( 28\frac{189}{289} = \frac{28 \times 289 + 189}{289} = \frac{8192 + 189}{289} = \frac{8381}{289} \)
गुणनखंड विधि से 8381 और 289 का वर्गमूल ज्ञात करने पर,
8381 = \( 13 \times 13 \times 7 \times 7 \)
289 = \( 17 \times 17 \)

\( \implies \sqrt{\frac{8381}{289}} = \frac{13 \times 7}{17} = \frac{91}{17} = 5\frac{6}{17} \)
In simple words: This problem requires finding the square roots of mixed fractions by first converting them into improper fractions, then finding the prime factorization of both the numerator and the denominator, and finally taking the square root of each to simplify the fraction.

🎯 Exam Tip: When dealing with mixed fractions, always convert them to improper fractions before attempting to find their square roots. Prime factorization is a reliable method for finding square roots of both numerators and denominators.

 

Question 7. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 9792 में गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग हो जाता है।
Answer:

9792 = \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 17 \)
संख्या 17 को छोड़कर बाकी सभी संख्याओं के जोड़े हैं। अतः 9792 में 17 से गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण वर्ग बन जाएगा।
In simple words: To make a number a perfect square, we find its prime factorization. Any prime factor that appears an odd number of times must be multiplied by itself to make its count even, thereby making the original number a perfect square. In this case, 17 is the missing factor.

🎯 Exam Tip: For perfect square problems, always perform prime factorization first. Identify factors that do not form a pair; these are the numbers you need to multiply (or divide) by to achieve a perfect square.

 

Question 8. वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें 3675 में भाग देने से भागफल पूर्ण वर्ग हो जाता है।
Answer:

3675 = \( 3 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \)
संख्या 3 को छोड़कर बाकी सभी संख्याओं के जोड़े हैं। अतः 3675 में 3 से भाग देने पर भागफल पूर्ण वर्ग बन जाएगा।
In simple words: To find the smallest number to divide by to get a perfect square, perform prime factorization. The prime factor that does not have a pair is the number by which you should divide.

🎯 Exam Tip: Similar to multiplication problems for perfect squares, prime factorization is key. The unpaired prime factor is the smallest number to divide by to make the quotient a perfect square.

 

Question 9. चार अंकों की छोटी से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
चार अंकों की सबसे छोटी संख्या = 1000

124-100 = 24
चार अंकों की छोटी से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या = 1000 + 24 = 1024
अतः 1024 चार अंकों की सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या है।
In simple words: To find the smallest four-digit perfect square, we start with the smallest four-digit number (1000), find its square root using the division method, and then determine how much needs to be added to it to reach the next perfect square.

🎯 Exam Tip: For problems asking for the smallest N-digit perfect square, start with the smallest N-digit number and use the long division method. The remainder and the next perfect square's root will guide you to the answer.

 

Question 10. चार अंकों की बड़ी से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
चार अंकों की बड़ी से बड़ी संख्या = 9999

अतः चार अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या = 9999 - 198 = 9801
In simple words: To find the largest N-digit perfect square, start with the largest N-digit number, find its square root using the division method, and subtract the remainder to get the largest perfect square.

🎯 Exam Tip: When finding the largest N-digit perfect square, begin with the largest N-digit number. The remainder from the long division method indicates how much to subtract to get the perfect square.

 

Question 11. वह छोटी से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए, जो 16, 18 और 45 से पूरी-पूरी विभाजित हो जाती है।
Answer:

ल०स० = \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \)
यहाँ 5 को छोड़कर सभी संख्याओं का जोड़ा है। अतः ल०स० में यदि 5 की गुणा कर दी जाए तो गुणनफल, छोटी से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या हो जाएगी ।
अतः अभीष्ट संख्या = \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 3600 \)
In simple words: To find the smallest perfect square divisible by a set of numbers, first find their LCM. Then, examine the prime factors of the LCM; any factor that doesn't have a pair must be multiplied to the LCM to make it a perfect square.

🎯 Exam Tip: Always find the Least Common Multiple (LCM) first. Then, check the prime factorization of the LCM and multiply by any missing factors to complete the pairs, ensuring the result is a perfect square.

 

Question 12. एक टोकरी में 1250 फूले हैं। एक व्यक्ति किसी नगर के प्रत्येक मन्दिर में उतने ही फूल चढ़ाता है, जितने कि उस नगर में मन्दिर हैं। यदि उसने कुल 8 टोकरी फूल चढ़ाए हों, तो बताइए कि उस नगर में कुल कितने मन्दिर हैं?
Answer:
1 टोकरी में फूल = 1250
8 टोकरी में फूल = \( 1250 \times 8 = 10000 \)
नगर में मन्दिरों की संख्या = \( \sqrt{10000} \)

10000 = \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
\( \sqrt{10000} = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 100 \)
अतः नगर में मन्दिरों की संख्या = 100
In simple words: This problem involves finding the total number of flowers and then calculating the square root of that total, since the number of flowers offered per temple is equal to the number of temples.

🎯 Exam Tip: Identify the core relationship in word problems (e.g., number of items = number of groups). This often translates to finding a square root. Calculate the total quantity first, then apply the square root operation.

 

Question 13. 15 अगस्त को कक्षा 6 की प्रत्येक छात्रा को उतने ही ग्राम मिठाई दी गई, जितनी कि उस कक्षा में छात्राएँ थी। यदि कुल 1.6 किलोग्राम मिठाई बाँटी गई हो, तो ज्ञात कीजिए कि उस कक्षा में कुल कितनी छात्राएँ हैं और प्रत्येक छात्रा को कितने डेकाग्राम मिठाई मिली।
Answer:
1.6 किलोग्राम = \( 1.6 \times 1000 = 1600 \) ग्राम
छात्राओं की कुल संख्या = \( \sqrt{1600} \)

1600 = \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
\( \sqrt{1600} = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 40 \)
अतः कुल छात्राओं की संख्या = 40 छात्राएँ
प्रत्येक छात्रा को मिठाई मिली = 40 ग्राम
= 4 डेका ग्राम
In simple words: First, convert the total weight of sweets from kilograms to grams. Since each student received sweets equal to the number of students, the total sweets distributed is a perfect square. Find the square root of the total grams to get both the number of students and the grams received per student. Finally, convert grams to decagrams.

🎯 Exam Tip: Pay attention to unit conversions (kilograms to grams, grams to decagrams). The 'equal to the number of students' phrasing indicates a square root operation. Clearly state both parts of the answer after calculation.

 

Question 14. वह छोटी से छोटी प्राकृतिक संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 16160 से घटाने पर शेषफल पूर्ण वर्ग जाता है।
Answer:

यदि 16160 में से 31 घटा दिया जाए तो शेषफल पूर्ण वर्ग प्राप्त होगा।
अतः छोटी से छोटी अभीष्ट संख्या 31 है।
In simple words: To find the smallest number to subtract from a given number to make it a perfect square, use the long division method to find its square root. The remainder obtained from this process is the number that should be subtracted.

🎯 Exam Tip: The remainder from the long division method directly tells you the number to subtract to get the closest perfect square. Practice this method to efficiently solve such problems.

 

Question 15. वह बेटी से छोटी प्रकृतिक संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 594 में जोड़ दें, तो योगफल पूर्ण वर्ग हो जाता है।
Answer:

24 का वर्ग \( = 24^2 = 576 \)
25 का वर्ग \( = 25^2 = 625 \)
यदि दी गई संख्या में \( (25^2 - 594) = (625 - 594) = 31 \) जोड़ दें, तो योगफल पूर्ण वर्ग हो जाएगा।
अतः छोटी से छोटी अभीष्ट संख्या = 31 है।
In simple words: To find the smallest number to add to make a number a perfect square, find its square root using the division method. If there's a remainder, take the next integer above the square root, square it, and subtract the original number to find the required addition.

🎯 Exam Tip: When asked to find the number to *add* to make a perfect square, calculate the square root. If it's not a whole number, take the next whole number, square it, and subtract the original number. This difference is the smallest addition needed.

 

Question 16. एक वर्गाकार बाग को स्वच्छ, निर्मल एवं प्रदूषण मुक्त बनाने के लिए रख-रखाव पर प्रति वर्ग मीटर Rs. 2.25 मासिक व्यय आता है। यदि बाग के रख रखाव पर मासिक व्यय Rs. 3600 हो तो बाग की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
Answer:
1 वर्ग मीटर बाग को स्वच्छ रखने का व्यय = Rs. 2.25
बाग को स्वच्छ रखने का कुल व्यय = Rs. 3600
वर्गाकार बाग का क्षेत्रफल = \( \frac{3600}{2.25} = 1600 \) वर्ग मीटर
अतः वर्गाकार बाग की लम्बाई = \( \sqrt{1600} = 40 \) मीटर
In simple words: First, divide the total monthly maintenance cost by the cost per square meter to find the total area of the square garden. Then, take the square root of the area to find the length of one side of the square garden.

🎯 Exam Tip: Problems involving area of squares and total costs require dividing the total cost by the per-unit cost to find the total area. Remember that the side of a square is the square root of its area.

 

Question 17. स्वतन्त्रता दिवस के अवसर पर बच्चों द्वारा एक गाँव में 289 वृक्ष लगाये गये । प्रत्येक क्यारी में उतने से वृक्ष लगाये गये जितनी कुल क्यारियाँ थीं, तो प्रत्येक क्यारी में कितने वृक्ष लगाये गये ।
Answer:
कुल लगाए गए वृक्षों की संख्या = 289
प्रत्येक क्यारी में वृक्षों की संख्या = \( \sqrt{289} \)

289 = \( 17 \times 17 \)

\( \implies \sqrt{289} = 17 \)
अतः प्रत्येक क्यारी में वृक्षों की संख्या 17 है।
In simple words: Since the number of trees in each row is equal to the total number of rows, the total number of trees represents a perfect square. Finding the square root of the total trees will give both the number of rows and the number of trees per row.

🎯 Exam Tip: Recognize scenarios where quantities are equal (e.g., number of rows = number of items per row). These are direct square root problems. Calculate the square root of the total to find the unknown quantity.