UP Board Solutions Class 8 Maths Chapter 1 Parimey sankhyaon par sankriyayein

UP Board Solutions For Class 8 Maths Chapter 1 परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ

परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ

Exercise 1(A)

Question 1. सरल कीजिए
Answer:
(i) \( \frac{4}{7} + (\frac{-2}{7}) = \frac{4-2}{7} = \frac{2}{7} \)
(ii) \( (\frac{-4}{5}) + (\frac{-2}{5}) = \frac{-4-2}{5} = \frac{-6}{5} \)
In simple words: परिमेय संख्याओं को सरल करने के लिए, यदि हर समान हैं, तो अंशों को सीधे जोड़ या घटा दिया जाता है। यदि हर भिन्न हैं, तो उन्हें समान बनाने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लिया जाता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, भिन्न के हरों को ध्यान से देखें। यदि वे समान हैं, तो अंशों को सीधा जोड़ें या घटाएं। यदि हर भिन्न हैं, तो पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करके हरों को समान बनाएं।

Question 2. संख्या-रेखा की सहायता से सरल कीजिए :
Answer:
(i) \( \frac{3}{4} + (\frac{-2}{4}) = \frac{3-2}{4} = \frac{1}{4} \)
यहाँ संख्या-रेखा पर एक बिन्दु से दूसरे बिन्दु तक का विस्थापन \( = \frac{1}{4} \)
\( = \) 6 विस्थापन विपरीत दिशा में
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह संख्या रेखा पर परिमेय संख्याओं को दर्शाती है। \( \frac{3}{4} \) से शुरू करके, \( \frac{1}{4} \) के 6 विस्थापन विपरीत (बाएँ) दिशा में किए गए हैं, जो \( -\frac{6}{4} \) को दर्शाता है। यह क्रिया अंततः \( -\frac{3}{4} \) पर पहुँचती है, जो \( \frac{3}{4} + (-\frac{6}{4}) \) का परिणाम है।
3 विस्थापन \( = \frac{3}{4} \)
अतः \( -\frac{3}{4} \)
(ii) \( (\frac{-5}{6}) + (\frac{-4}{9}) = \frac{-15}{18} + \frac{-8}{18} = \frac{-15-8}{18} = \frac{-23}{18} \)
यहाँ संख्या-रेखा पर एक बिन्दु से दूसरे बिन्दु तक का विस्थापन \( = \frac{1}{12} \)
\( \frac{-10}{12} = \) 10 विस्थापन विपरीत दिशा में \( \frac{9}{12} = \) 9 विस्थापन विपरीत दिशा में
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह संख्या रेखा पर परिमेय संख्याओं का योग दिखाती है, जहाँ प्रत्येक इकाई \( \frac{1}{12} \) है। प्रारंभिक बिंदु \( \frac{0}{12} \) से \( \frac{-10}{12} \) तक 10 विस्थापन बाएँ ओर किए गए, और फिर \( \frac{-10}{12} \) से 9 विस्थापन बाएँ ओर करके \( \frac{-19}{12} \) पर पहुँचा गया, जो योगफल दर्शाता है।
विस्थापन विपरीत दिशा में, \( = -\frac{1}{12} \)
अतः \( (\frac{-5}{6}) + (\frac{-4}{9}) = \frac{-15}{18} - \frac{8}{18} = \frac{-23}{18} \)
In simple words: संख्या रेखा पर परिमेय संख्याओं का योग करने के लिए, पहले उनके हरों को समान बनाएं और फिर दिए गए हर के अनुसार इकाई विस्थापन लेकर धनात्मक संख्या के लिए दाईं ओर और ऋणात्मक संख्या के लिए बाईं ओर चलें।

🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर परिमेय संख्याओं को सरल करते समय, पहले हरों का LCM लें ताकि समान हर वाली भिन्नें प्राप्त हों। फिर, प्रत्येक भिन्न के अंश के अनुसार संख्या रेखा पर दाईं (धनात्मक) या बाईं (ऋणात्मक) ओर विस्थापन करें। सटीक विस्थापन बिंदुओं को चिह्नित करना महत्वपूर्ण है।

Question 3. हर का ल०स० लेकर सरल कीजिए :
Answer:
(i) \( \frac{5}{12} + (\frac{-7}{16}) = \frac{5}{12} - \frac{7}{16} = \frac{20-21}{48} = \frac{-1}{48} \)
(ii) \( (\frac{-3}{11}) + (\frac{-4}{33}) = \frac{-9-4}{33} = \frac{-13}{33} \)
In simple words: भिन्नों को सरल करने के लिए, हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, फिर प्रत्येक भिन्न को उस LCM के साथ समतुल्य भिन्न में बदलें और अंशों को जोड़ें या घटाएं।

🎯 Exam Tip: जब हरों का LCM लेते हैं, तो यह सुनिश्चित करें कि आप सभी हरों के अभाज्य गुणनखंडों का सही ढंग से उपयोग करें। LCM लेने के बाद, हर भिन्न के अंश को तदनुसार समायोजित करें ताकि कोई गणना त्रुटि न हो।

Question 4. मान ज्ञात कीजिए :
Answer:
(i) \( 2 + (\frac{-11}{9}) = 2 - \frac{11}{9} = \frac{18-11}{9} = \frac{7}{9} \)
(ii) \( (-3) + (\frac{-2}{3}) = -3 + \frac{2}{3} = \frac{-9+2}{3} = \frac{-7}{3} \)
In simple words: किसी भी पूर्णांक और परिमेय संख्या का योग करने के लिए, पहले पूर्णांक को परिमेय संख्या के रूप में लिखें (जैसे \( 2 = \frac{2}{1} \)), फिर हरों का LCM लेकर जोड़ें या घटाएं।

🎯 Exam Tip: पूर्णांकों को परिमेय संख्याओं के साथ जोड़ते या घटाते समय, पूर्णांक को हमेशा हर 1 वाली परिमेय संख्या के रूप में लिखें। इससे हरों का LCM लेना और गणना करना आसान हो जाता है।

Exercise 1(B)

Question 1. निम्नांकित कथनों में सत्य/असत्य बताइए ।
Answer:
(i) \( (\frac{-4}{5}) + (\frac{-4}{5}) = (\frac{-8}{5}) \) (सत्य)
(ii) \( [\frac{-6}{7} + 6] \) परिमेय संख्या नहीं है। (असत्य)
(iii) दो परिमेय संख्याओं के जोड़ने पर क्रम बदलने पर योगफल वही रहता है। (सत्य)
(iv) तीन परिमेय संख्याओं का योगफल परिमेय संख्या नहीं होती है। (असत्य)
In simple words: परिमेय संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों को समझें। जोड़ का क्रम विनिमेय नियम (commutative property) और साहचर्य नियम (associative property) दोनों को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि योग का क्रम बदलने या समूह बनाने से परिणाम नहीं बदलता। परिमेय संख्याओं का योग हमेशा एक परिमेय संख्या ही होता है।

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्याओं के गुणों – जैसे क्रम विनिमेयता (commutativity) और साहचर्यता (associativity) – को हमेशा याद रखें। इन नियमों को लागू करके आप ऐसे कथन आसानी से सत्यापित कर सकते हैं। यह सुनिश्चित करें कि किसी भी परिमेय संख्या के साथ पूर्णांक का योग भी एक परिमेय संख्या ही होता है।

Question 2. निम्नांकित परिमेय संख्याओं को जोड़कर बताइए कि योगफल परिमेय संख्या है अथवा नहीं:
Answer:
(i) \( (\frac{-3}{4}) + 3 = \frac{-3+12}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} \) जो कि परिमेय संख्या है।
(ii) \( (-1) + (\frac{-2}{3}) = \frac{-3-2}{3} = \frac{-5}{3} \) जो कि परिमेय संख्या है।
In simple words: दो परिमेय संख्याओं का योग हमेशा एक परिमेय संख्या होता है। पूर्णांकों को भी परिमेय संख्या माना जा सकता है।

🎯 Exam Tip: यह एक मौलिक नियम है कि परिमेय संख्याओं का योगफल हमेशा एक परिमेय संख्या ही होता है। यह दिखाने के लिए कि योगफल परिमेय संख्या है, बस उसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त करें, जहाँ \( q \neq 0 \) हो।

Question 3. दोनों पक्षों को हल करके सत्यापित कीजिए ।
Answer:
(i) \( (\frac{-5}{8}) + (\frac{-9}{13}) = (\frac{-9}{13}) + (\frac{-5}{8}) \)
बायाँ पक्ष \( = \frac{-5}{8} + \frac{-9}{13} = \frac{-5 \times 13 - 9 \times 8}{8 \times 13} = \frac{-65-72}{104} = \frac{-137}{104} \)
दायाँ पक्ष \( = \frac{-9}{13} + \frac{-5}{8} = \frac{-9 \times 8 - 5 \times 13}{13 \times 8} = \frac{-72-65}{104} = \frac{-137}{104} \)
अतः बायाँ पक्ष \( = \) दायाँ पक्ष
(ii) \( 3 + (\frac{-7}{12}) = (\frac{-7}{12}) + 3 \)
बायाँ पक्ष \( = 3 + (\frac{-7}{12}) = 3 - \frac{7}{12} = \frac{36-7}{12} = \frac{29}{12} \)
दायाँ पक्ष \( = (\frac{-7}{12}) + 3 = \frac{-7+36}{12} = \frac{29}{12} \)
अतः बायाँ पक्ष \( = \) दायाँ पक्ष
(iii) \( [\frac{-7}{4} + \frac{1}{(-16)}] + (\frac{-3}{8}) = \frac{-7}{4} + [\frac{1}{(-16)} + (\frac{-3}{8})] \)
बायाँ पक्ष \( = [\frac{-7}{4} + \frac{-1}{16}] + \frac{-3}{8} = [\frac{-28-1}{16}] + \frac{-3}{8} = \frac{-29}{16} - \frac{3}{8} \)
\( = \frac{-29-6}{16} = \frac{-35}{16} \)
दायाँ पक्ष \( = \frac{-7}{4} + [\frac{-1}{16} + \frac{-3}{8}] = \frac{-7}{4} + [\frac{-1-6}{16}] = \frac{-7}{4} + \frac{-7}{16} \)
\( = \frac{-28-7}{16} = \frac{-35}{16} \)
अतः बायाँ पक्ष \( = \) दायाँ पक्ष
In simple words: परिमेय संख्याओं में योग का क्रम विनिमेय (commutative) और साहचर्य (associative) गुण दोनों लागू होते हैं। क्रम विनिमेय गुण कहता है कि संख्याओं का क्रम बदलने पर योगफल नहीं बदलता (a+b = b+a), जबकि साहचर्य गुण कहता है कि समूह बदलने पर योगफल नहीं बदलता ((a+b)+c = a+(b+c))।

🎯 Exam Tip: सत्यापन वाले प्रश्नों में, बायाँ पक्ष (LHS) और दायाँ पक्ष (RHS) दोनों को अलग-अलग हल करें। अंतिम परिणाम समान आना चाहिए। हरों का LCM लेते समय और अंशों को समायोजित करते समय सावधानी बरतें।

Question 4. यदि A और B दो परिमेय संख्याएँ हों और A+B= \( \frac{-15}{11} \) हो, तो B + A का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
हम जानते हैं कि योग की संक्रिया के क्रम विनिमेय प्रगुण से संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ सकते हैं।
तब
A+B \( = \frac{-15}{11} \)
B+A \( = \frac{-15}{11} \)
In simple words: परिमेय संख्याओं का योग क्रम विनिमेय होता है, जिसका अर्थ है कि संख्याओं के क्रम को बदलने पर भी योगफल वही रहता है।

🎯 Exam Tip: यह क्रम विनिमेय गुण (commutative property) का सीधा अनुप्रयोग है। इसे सिद्ध करने के लिए कोई जटिल गणना की आवश्यकता नहीं होती, बस नियम का उल्लेख करें।

Question 5. निम्नांकित रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके) –
Answer:
(i) \( (\frac{-5}{11}) + (\frac{-12}{7}) = (\frac{-12}{7}) + (\frac{-5}{11}) \)
(ii) \( [(-10) + (\frac{-5}{6})] + (\frac{-7}{12}) = (-10) + [(\frac{-5}{6}) + (\frac{-7}{12})] \)
In simple words: रिक्त स्थानों की पूर्ति परिमेय संख्याओं के क्रम विनिमेय और साहचर्य नियमों का उपयोग करके की जाती है।

🎯 Exam Tip: पहले रिक्त स्थान में क्रम विनिमेयता (a+b = b+a) और दूसरे में साहचर्यता ((a+b)+c = a+(b+c)) के नियमों को पहचानें। यह सुनिश्चित करें कि आप सही संख्या को सही स्थान पर रखें।

Question 6. सरल कीजिए
Answer:
(i) \( (\frac{3}{4}) + (\frac{-8}{9}) + (\frac{5}{8}) = \frac{3}{4} - \frac{8}{9} + \frac{5}{8} = \frac{54-64+45}{72} = \frac{35}{72} \)
(ii) \( (\frac{-9}{10}) + (\frac{22}{15}) + (\frac{13}{20}) = -\frac{9}{10} + \frac{22}{15} - \frac{13}{20} = \frac{-54+88-39}{60} = \frac{-5}{60} = -\frac{1}{12} \)
In simple words: कई परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, पहले उनके हरों का LCM ज्ञात करें, फिर प्रत्येक भिन्न को उस LCM के साथ समतुल्य भिन्न में बदलें और अंशों को जोड़ें या घटाएं।

🎯 Exam Tip: तीन या अधिक परिमेय संख्याओं को जोड़ते समय, पहले सभी हरों का LCM लें। फिर प्रत्येक भिन्न को समान हर पर लाएं और अंशों को जोड़ें या घटाएं। अंत में, परिणाम को सबसे सरल रूप में व्यक्त करें।

Question 7. निम्नांकित को योग की संक्रिया के प्रगुणों का प्रयोग करके हल कीजिए :
Answer:
(i) \( \frac{3}{7} + (\frac{-5}{14}) + (\frac{-11}{14}) = \frac{3}{7} + [\frac{-5-11}{14}] = \frac{3}{7} + \frac{-16}{14} = \frac{3}{7} - \frac{8}{7} = \frac{6-16}{14} = \frac{-10}{14} = \frac{-5}{7} \)
(ii) \( (\frac{-2}{3}) + (\frac{-4}{5}) + (\frac{6}{5}) + (\frac{1}{3}) = (\frac{-2}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{-4}{5} + \frac{6}{5}) = (\frac{-1}{3}) + (\frac{2}{5}) \)
\( = \frac{-5+6}{15} = \frac{1}{15} \)
In simple words: योग की संक्रिया के गुणों का उपयोग करके, आप संख्याओं को इस प्रकार समूहबद्ध कर सकते हैं जिससे गणना आसान हो जाए, जैसे समान हर वाली संख्याओं को एक साथ जोड़ना।

🎯 Exam Tip: योग के साहचर्य गुण का उपयोग करके समान हर वाली परिमेय संख्याओं को एक साथ समूहित करें। इससे गणना सरल हो जाती है और त्रुटियों की संभावना कम होती है।

Exercise 1(C)

Question 1. हल कीजिए :
Answer:
(i) \( \frac{2}{3} - \frac{5}{3} = \frac{2-5}{3} = \frac{-3}{3} = -1 \)
(ii) \( \frac{2}{3} - (\frac{-5}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{2+5}{3} = \frac{7}{3} \)
(iii) \( (\frac{-2}{3}) - (\frac{-5}{3}) = \frac{-2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{-2+5}{3} = \frac{3}{3} = 1 \)
(iv) \( (\frac{2}{7}) - (\frac{-5}{7}) = \frac{2}{7} + \frac{5}{7} = \frac{2+5}{7} = \frac{7}{7} = 1 \)
In simple words: जब परिमेय संख्याओं को घटाते हैं और उनके हर समान होते हैं, तो अंशों को सीधे घटाएं। ऋणात्मक संख्या को घटाने का मतलब है उस संख्या को जोड़ना।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को घटाते समय, यदि उनके हर समान हैं, तो अंशों को सीधे घटाएं। विशेष रूप से ध्यान रखें कि दो ऋणात्मक चिन्ह एक धनात्मक चिन्ह बन जाते हैं (\( -(-) = + \))।

Question 2. निम्नांकितं को संख्या रेखा की सहायता से सरल करके परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए :
Answer:
(i) \( \frac{3}{7} - \frac{8}{7} = \frac{-5}{7} \)
यहाँ संख्या रेखा पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक का विस्थापन \( = \frac{1}{7} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह संख्या रेखा पर \( \frac{3}{7} - \frac{8}{7} \) को दर्शाती है। \( \frac{0}{7} \) से \( \frac{3}{7} \) तक तीन विस्थापन दाईं ओर किए गए हैं। फिर, \( \frac{3}{7} \) से \( \frac{-5}{7} \) तक 8 विस्थापन बाईं ओर (विपरीत दिशा में) किए गए हैं, जो \( -\frac{8}{7} \) को दर्शाता है। यह क्रिया अंततः \( -\frac{5}{7} \) पर पहुँचती है।
\( = \) 8 विस्थापन विपरीत दिशा में
3 विस्थापन
\( \frac{-5}{7} \) \( = \) संख्या रेखा पर 0 से 3 विस्थापन फिर वहाँ से विपरीत दिशा में 8 विस्थापन
\( = \) संख्या रेखा पर 0 से 5 विपरीत दिशा में विस्थापन \( = \frac{-5}{7} \)
(ii) \( (\frac{-4}{6}) - (\frac{3}{4}) = \frac{-8}{12} - \frac{9}{12} = \frac{-8-9}{12} = \frac{-17}{12} \)
यहाँ संख्या रेखा पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक का विस्थापन \( = \frac{1}{12} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह संख्या रेखा पर \( (\frac{-4}{6}) - (\frac{3}{4}) \) को दर्शाती है, जिसे समान हर \( 12 \) में बदलने पर \( \frac{-8}{12} - \frac{9}{12} \) हो जाता है। \( \frac{0}{12} \) से शुरू करके, \( \frac{-8}{12} \) तक 8 विस्थापन बाईं ओर किए गए, और फिर \( \frac{-8}{12} \) से 9 और विस्थापन बाईं ओर करके \( \frac{-17}{12} \) पर पहुँचा गया।
In simple words: संख्या रेखा पर घटाव करने के लिए, पहले भिन्नों को समान हर में बदलें। फिर, धनात्मक संख्या के लिए दाईं ओर और ऋणात्मक संख्या के लिए बाईं ओर विस्थापन करें।

🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर घटाव करते समय, हमेशा हरों का LCM लेकर भिन्नों को समान हर में बदलें। घटाए जाने वाली संख्या के चिन्ह को ध्यान में रखें - ऋणात्मक संख्या को घटाना वास्तव में धनात्मक संख्या को जोड़ना होता है, लेकिन यहाँ सीधे घटाव हो रहा है। विस्थापन की दिशा और मात्रा में सटीकता महत्वपूर्ण है।

Question 3. इन्हें अभ्यास पुस्तिका में लिखकर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)
Answer:
(i) \( (\frac{-15}{13}) - (\frac{-26}{3}) = -1 \)
(ii) \( (\frac{-7}{9}) - (\frac{-3}{9}) = -4 \)
(iii) \( 2 - (\frac{11}{4}) = (\frac{-3}{4}) \)
(iv) \( (\frac{-5}{12}) - (\frac{-7}{12}) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
In simple words: रिक्त स्थानों की पूर्ति करने के लिए, दी गई परिमेय संख्याओं पर घटाव की संक्रिया करें, याद रखें कि दो ऋणात्मक चिन्ह एक धनात्मक चिन्ह बनाते हैं।

🎯 Exam Tip: रिक्त स्थान भरने के लिए, दी गई संक्रिया को पूरा करें। ध्यान दें कि \( -(-) = + \) होता है। हरों को समान बनाएं यदि आवश्यक हो।

Question 4.
(i) \( \frac{6}{7} \) में कौन-सी संख्या जोड़े कि योग \( (\frac{-2}{9}) \) हो जाए?
Answer:
माना जोड़ी गई संख्या x है।
प्रश्नानुसार,
\( \frac{6}{7} + x = \frac{-2}{9} \)
\( \implies x = \frac{-2}{9} - \frac{6}{7} = \frac{-14-54}{63} = \frac{-68}{63} \)
In simple words: अज्ञात संख्या ज्ञात करने के लिए, समीकरण बनाएं और अज्ञात संख्या को एक तरफ रखकर हल करें।

🎯 Exam Tip: अज्ञात संख्या को \( x \) मानकर एक समीकरण बनाएं। फिर \( x \) को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों ओर समान संक्रियाएं करें। हरों का LCM सही ढंग से लें।

(ii) \( (\frac{-7}{12}) \) में कितना जोड़े कि योगफल \( \frac{25}{36} \) हो जाए?
Answer:
माना जोड़ी गई संख्या x है।
प्रश्नानुसार,
\( \frac{-7}{12} + x = \frac{25}{36} \)
\( \implies x = \frac{25}{36} - (\frac{-7}{12}) = \frac{25}{36} + \frac{7}{12} = \frac{25+21}{36} = \frac{46}{36} = \frac{23}{18} \)
In simple words: अज्ञात संख्या को एक चर के रूप में दर्शाएं, समीकरण स्थापित करें, और चर को हल करने के लिए बीजगणितीय संक्रियाएं करें।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय, ऋणात्मक संख्याओं के साथ घटाव के चिन्हों का विशेष ध्यान रखें, क्योंकि \( -(-) = + \) होता है। हरों को सही ढंग से एक समान करें।

Question 5. दो परिमेय संख्याओं का योगफल -5 है। इनमें से एक संख्या \( (\frac{-16}{7}) \) है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना दूसरी संख्या x है।
प्रश्नानुसार,
\( (\frac{-16}{7}) + x = -5 \)
\( \implies x = -5 - (\frac{-16}{7}) = -5 + \frac{16}{7} = \frac{-35+16}{7} = \frac{-19}{7} \)
In simple words: यदि दो संख्याओं का योग और उनमें से एक संख्या ज्ञात हो, तो दूसरी संख्या ज्ञात करने के लिए योग में से दी गई संख्या को घटा दें।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, पूर्णांक को हमेशा हर 1 वाली परिमेय संख्या के रूप में लिखें। ऋणात्मक चिन्हों को संभालते समय विशेष सावधानी बरतें।

Question 6. सरल कीजिए :
Answer:
(i) \( \frac{1}{6} + (\frac{-2}{5}) - (\frac{-2}{15}) = \frac{1}{6} - \frac{2}{5} + \frac{2}{15} = \frac{5-12+4}{30} = \frac{-3}{30} = \frac{-1}{10} \)
(ii) \( \frac{3}{8} + (\frac{-2}{3}) + (\frac{-5}{36}) = \frac{3}{8} - \frac{2}{3} - \frac{5}{36} = \frac{27-48-5}{72} = \frac{-26}{72} = \frac{-13}{36} \)
In simple words: एक से अधिक परिमेय संख्याओं को सरल करने के लिए, सभी हरों का LCM लें, फिर प्रत्येक भिन्न के अंशों को तदनुसार समायोजित करके जोड़ें या घटाएं।

🎯 Exam Tip: कई भिन्नों को सरल करते समय, सभी हरों का LCM लें। फिर प्रत्येक भिन्न के अंश को तदनुसार समायोजित करें। चिन्हों का विशेष ध्यान रखें। अंत में, भिन्न को सबसे सरल रूप में काटें।

Question 7. निम्नांकित में से कौन से कथन सत्य हैं? (सत्य बताकर) –
Answer:
(i) \( \frac{2}{3} \) में से \( (\frac{-2}{3}) \) घटाने शेषफल शून्य होता है। (असत्य)
(ii) \( (\frac{-2}{7}) - \frac{3}{7} = \frac{3}{7} - (\frac{-2}{7}) \) (असत्य)
(iii) \( (\frac{-3}{4}) - (\frac{-7}{4}) > \frac{1}{4} \) (सत्य)
(iv) \( -5 < [\frac{-12}{7} - \frac{8}{7}] \) (सत्य)
In simple words: कथनों की सत्यता की जांच करने के लिए, प्रत्येक कथन में दी गई संक्रियाओं को हल करें और दिए गए नियमों या संबंधों से तुलना करें।

🎯 Exam Tip: प्रत्येक कथन को व्यक्तिगत रूप से हल करें। घटाव के लिए क्रम विनिमेयता (commutative property) लागू नहीं होती, इसलिए \( a-b \neq b-a \)। असमानताओं की जांच करते समय, दोनों पक्षों की गणना करें और उनकी तुलना करें।

Exercise 1(D)

Question 1. हल कीजिए :
Answer:
(i) \( \frac{-9}{8} \times (\frac{-32}{3}) = \frac{-9 \times -32}{8 \times 3} = \frac{3 \times 3 \times 8 \times 4}{8 \times 3 \times 1} = 12 \)
(ii) \( \frac{-32}{1} \times (\frac{-7}{36}) = \frac{-32 \times -7}{36} = \frac{32 \times 7}{36} = \frac{8 \times 4 \times 7}{9 \times 4} = \frac{56}{9} \)
(iii) \( (\frac{-36}{5}) \times (\frac{20}{-3}) = \frac{-36 \times 20}{5 \times -3} = \frac{12 \times 3 \times 4 \times 5}{5 \times 3} = 48 \)
(iv) \( (\frac{13}{15}) \times (\frac{-25}{26}) = \frac{13 \times -25}{15 \times 26} = \frac{13 \times -5 \times 5}{3 \times 5 \times 2 \times 13} = \frac{-5}{6} \)
In simple words: परिमेय संख्याओं को गुणा करने के लिए, अंशों को एक साथ और हरों को एक साथ गुणा करें। फिर परिणाम को सरल करें।

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्याओं का गुणा करते समय, अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करें। गणना को आसान बनाने के लिए गुणा करने से पहले संख्याओं को काट (cancel out) दें। ऋणात्मक चिन्हों को ध्यान में रखें (दो ऋणात्मक चिन्हों का गुणा धनात्मक होता है)।

Question 2. गुणा कीजिए :
Answer:
(i) \( \frac{7}{6} \) को (-24) से
\( \frac{7}{6} \times (-24) = \frac{7 \times -24}{6} = 7 \times -4 = -28 \)
(ii) \( (\frac{-9}{8}) \) को \( (\frac{-16}{3}) \) से
\( (\frac{-9}{8}) \times (\frac{-16}{3}) = \frac{-9 \times -16}{8 \times 3} = \frac{3 \times 3 \times 8 \times 2}{8 \times 3} = 6 \)
(iii) \( (\frac{16}{-21}) \) को \( (\frac{-14}{5}) \) से
\( (\frac{16}{-21}) \times (\frac{-14}{5}) = \frac{16 \times -14}{-21 \times 5} = \frac{16 \times 14}{21 \times 5} = \frac{16 \times 2 \times 7}{3 \times 7 \times 5} = \frac{32}{15} \)
(iv) \( (\frac{-13}{5}) \) को \( (\frac{-11}{39}) \) से
\( (\frac{-13}{5}) \times (\frac{-11}{39}) = \frac{-13 \times -11}{5 \times 39} = \frac{13 \times 11}{5 \times 3 \times 13} = \frac{11}{15} \)
In simple words: "को" का अर्थ गुणा करना है। परिमेय संख्याओं को गुणा करने के लिए, अंशों को एक साथ और हरों को एक साथ गुणा करें, फिर परिणाम को सरल करें और चिन्हों का ध्यान रखें।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप ऋणात्मक चिन्हों को सही ढंग से संभालें (उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक संख्या को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक परिणाम मिलता है)। गुणनफल को सरलतम रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है।

Exercise 1(E)

Question 1. निम्नांकित कथनों में से सत्य कथन चुनिए (सत्य कथन चुनकर) –
Answer:
(i) \( (\frac{2}{5}) \times (\frac{-3}{4}) = (\frac{-3}{4}) \times (\frac{2}{5}) \) (सत्य)
(ii) \( [(\frac{-2}{3}) \times \frac{1}{3}] \times (\frac{-7}{5}) = (\frac{-2}{3}) \times [\frac{1}{3} \times (\frac{-7}{5})] \) (सत्य)
(iii) \( \frac{3}{4} \) और \( (\frac{-5}{7}) \) का गुणनफल परिमेय संख्या नहीं है। (असत्य)
(iv) \( (\frac{3}{4}) \times (\frac{-5}{7}) = (\frac{-5}{7}) \times (\frac{3}{4}) \) (सत्य)
In simple words: परिमेय संख्याओं में गुणा का क्रम विनिमेय (commutative) और साहचर्य (associative) नियम दोनों लागू होते हैं। दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा एक परिमेय संख्या होता है।

🎯 Exam Tip: गुणा के क्रम विनिमेय और साहचर्य गुणों को याद रखें। दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा एक परिमेय संख्या ही होता है, इसलिए यह कथन "परिमेय संख्या नहीं है" आमतौर पर असत्य होता है।

Question 2. निम्नांकित कथनों को गुणा की क्रिया करके सत्यापित कीजिए
Answer:
(i) \( \frac{2}{7} \times (\frac{-11}{8}) = (\frac{-11}{8}) \times \frac{2}{7} \)
बायाँ पक्ष \( = \frac{2}{7} \times (\frac{-11}{8}) = \frac{2 \times -11}{7 \times 8} = \frac{-22}{56} = \frac{-11}{28} \)
दायाँ पक्ष \( = (\frac{-11}{8}) \times \frac{2}{7} = \frac{-11 \times 2}{8 \times 7} = \frac{-22}{56} = \frac{-11}{28} \)
अतः बायाँ पक्ष \( = \) दायाँ पक्ष
(ii) \( \frac{-8}{3} \times \frac{15}{17} = \frac{15}{17} \times \frac{-8}{3} \)
बायाँ पक्ष \( = \frac{-8}{3} \times \frac{15}{17} = \frac{-8 \times 15}{3 \times 17} = \frac{-120}{51} = \frac{-40}{17} \)
दायाँ पक्ष \( = \frac{15}{17} \times \frac{-8}{3} = \frac{15 \times -8}{17 \times 3} = \frac{-120}{51} = \frac{-40}{17} \)
अतः बायाँ पक्ष \( = \) दायाँ पक्ष
(iii) \( (\frac{-8}{7}) \times [\frac{1}{2} \times (\frac{-4}{3})] = [(\frac{-8}{7}) \times \frac{1}{2}] \times (\frac{-4}{3}) \)
बायाँ पक्ष \( = (\frac{-8}{7}) \times [\frac{1}{2} \times (\frac{-4}{3})] = (\frac{-8}{7}) \times (\frac{-4}{6}) = (\frac{-8}{7}) \times (\frac{-2}{3}) = \frac{16}{21} \)
दायाँ पक्ष \( = [(\frac{-8}{7}) \times \frac{1}{2}] \times (\frac{-4}{3}) = (\frac{-8}{14}) \times (\frac{-4}{3}) = (\frac{-4}{7}) \times (\frac{-4}{3}) = \frac{16}{21} \)
अतः बायाँ पक्ष \( = \) दायाँ पक्ष
In simple words: परिमेय संख्याओं का गुणा क्रम विनिमेय और साहचर्य दोनों नियमों का पालन करता है। क्रम विनिमेयता (a × b = b × a) और साहचर्यता ((a × b) × c = a × (b × c)) को सत्यापित करने के लिए, दोनों पक्षों को अलग-अलग हल करें और दिखाएं कि वे बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: सत्यापन वाले प्रश्नों में, बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष दोनों को अलग-अलग हल करें। गुणा करने से पहले भिन्नों को सरल करने के लिए संख्याओं को काटें। ऋणात्मक चिन्हों को संभालते समय विशेष रूप से सावधान रहें।

Question 3. निम्नांकित में रिक्त स्थानों की पूर्ति अपनी अभ्यास पुस्तिका में कीजिए और प्रत्येक कथन के आगे संबंधित प्रगुण का नाम भी लिखिए (रिक्त स्थानों की पूर्ति एवं प्रगुण का नाम लिखकर) –
Answer:
(i) \( \frac{2}{3} \times (\frac{-11}{7}) = (\frac{-11}{7}) \times \frac{2}{3} \) - क्रमविनिमेय प्रगुण
(ii) \( (\frac{-3}{4} \times \frac{1}{2}) \times (\frac{-7}{5}) = (\frac{-3}{4}) \times [\frac{1}{2} \times (\frac{-7}{5})] \) - साहचर्य प्रगुण
(iii) \( (\frac{-2}{7}) \times (\frac{3}{4} + \frac{-5}{6}) = (\frac{-2}{7}) \times \frac{3}{4} + (\frac{-2}{7}) \times \frac{-5}{6} \) - वितरण प्रगुण
In simple words: रिक्त स्थानों की पूर्ति परिमेय संख्याओं के गुणा के गुणों – क्रम विनिमेय, साहचर्य और वितरण प्रगुण – के आधार पर करें।

🎯 Exam Tip: गुणा के क्रम विनिमेय (a×b = b×a), साहचर्य ((a×b)×c = a×(b×c)) और वितरण (a×(b+c) = a×b + a×c) गुणों को पहचानें। यह सुनिश्चित करें कि आप सही प्रगुण के नाम के साथ रिक्त स्थान को सही संख्या से भरें।

Question 4. सरल कीजिए :
Answer:
(i) \( (\frac{-3}{10}) \times (\frac{18}{-5}) \times (\frac{-35}{18}) \times (\frac{-1}{3}) \)
\( = \frac{-3 \times 18 \times -35 \times -1}{10 \times -5 \times 18 \times 3} = \frac{-3 \times -35 \times -1}{10 \times -5 \times 3} = \frac{-3 \times -7 \times 5 \times -1}{2 \times 5 \times -5 \times 3} \)
\( = \frac{-3 \times -7 \times -1}{2 \times -5 \times 3} = \frac{-7 \times -1}{2 \times -5} = \frac{7}{-10} = \frac{-7}{10} \)
(ii) \( (\frac{-1}{9}) \times (\frac{-3}{20}) \times (\frac{-4}{5}) \times (\frac{6}{3}) \)
\( = \frac{-1 \times -3 \times -4 \times 6}{9 \times 20 \times 5 \times 3} = \frac{-1 \times -1 \times -4 \times 6}{3 \times 20 \times 5} = \frac{-1 \times -1 \times -1 \times 6}{3 \times 5 \times 5} = \frac{-1 \times 2}{5 \times 5} = \frac{-2}{25} \)
In simple words: कई परिमेय संख्याओं के गुणनफल को सरल करने के लिए, अंशों और हरों को गुणा करें, फिर परिणाम को न्यूनतम रूप में काटें, ऋणात्मक चिन्हों की संख्या का ध्यान रखते हुए।

🎯 Exam Tip: कई परिमेय संख्याओं को गुणा करते समय, सबसे पहले सभी ऋणात्मक चिन्हों की संख्या गिनें। यदि ऋणात्मक चिन्हों की संख्या विषम है, तो अंतिम गुणनफल ऋणात्मक होगा; यदि सम है, तो धनात्मक होगा। गणना को आसान बनाने के लिए गुणा करने से पहले अंशों और हरों में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को काट दें।

Exercise 1(F)

Question 1. निम्नांकित कथनों के सम्मुख सत्य या असत्य जो सही हो लिखिएः (सत्य-असत्य अंकित करके) –
Answer:
(i) \( [\frac{2}{3} + \frac{3}{5}] \) परिमेय संख्या नहीं है। (असत्य)
(ii) परिमेय संख्याओं में योग का तत्समक अवयव शून्य है। (सत्य)
(iii) परिमेय संख्या शून्य '0' का योगात्मक प्रतिलोम नहीं होता है। (असत्य)
(iv) किसी ऋणात्मक परिमेय संख्या का योगात्मक प्रतिलोम एक धनात्मक परिमेय संख्या होती है। (सत्य)
(v) परिमेय संख्याओं में घटाने का तत्समक अवयव शून्य है। (असत्य)
(vi) परिमेय संख्याओं में गुणा का तत्समक अवयव 1 है। (सत्य)
(vii) एक ऋणात्मक परिमेय संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम एक ऋणात्मक परिमेय संख्या होती है। (सत्य)
(viii) यदि परिमेय संख्या x का योगात्मक प्रतिलोम x है तो x = 0 (सत्य)
In simple words: परिमेय संख्याओं के गुणों और संक्रियाओं के नियमों को समझें। योग का तत्समक अवयव 0 है और गुणा का तत्समक अवयव 1 है। योगात्मक प्रतिलोम किसी संख्या का ऋणात्मक मान होता है, जबकि गुणात्मक प्रतिलोम उसका व्युत्क्रम होता है।

🎯 Exam Tip: तत्समक अवयव (identity element) और प्रतिलोम (inverse) की परिभाषाओं को याद रखें। योग के लिए तत्समक 0 होता है (\( a+0=a \)), और गुणा के लिए 1 (\( a \times 1 = a \))। योगात्मक प्रतिलोम \( -a \) होता है (\( a+(-a)=0 \)), और गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{1}{a} \) होता है (\( a \times \frac{1}{a}=1 \))। शून्य का योगात्मक प्रतिलोम शून्य ही होता है।

Question 2. निम्नांकित को अपनी अभ्यास पुस्तिका पर उतार कर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (पूर्ति करके)-
Answer:
(i) \( (\frac{-5}{12}) + 0 = (\frac{-5}{12}) \)
(ii) \( (\frac{-4}{5}) - (\frac{-4}{5}) = 0 \)
(iii) \( \frac{1}{(-2)} \times (-2) = 1 \)
(iv) \( [\frac{-1}{3} \times (\frac{3}{1})] = -1 \)
In simple words: रिक्त स्थानों की पूर्ति करने के लिए, योग और गुणा के तत्समक अवयवों के नियमों, साथ ही योगात्मक और गुणात्मक प्रतिलोम के नियमों का उपयोग करें।

🎯 Exam Tip: योग का तत्समक 0 है और गुणा का तत्समक 1 है। किसी संख्या और उसके योगात्मक प्रतिलोम का योग 0 होता है, और किसी संख्या और उसके गुणात्मक प्रतिलोम का गुणनफल 1 होता है।

Question 3. प्रत्येक स्थिति में x का मान बताइएः
Answer:
(i) \( \frac{2}{3} \times x = 1 \)
\( \implies x = \frac{3}{2} \)
(ii) \( \frac{3}{4} + x = 0 \)
\( \implies x = 0 - (\frac{3}{4}) \implies x = \frac{-3}{4} \)
(iii) \( x \times (\frac{-5}{4}) = 1 \)
\( \implies x = 1 \div (\frac{-5}{4}) = 1 \times (\frac{-4}{5}) \)
\( \implies x = \frac{-4}{5} \)
(iv) \( x \times (\frac{9}{8}) = 1 \)
\( \implies x = 1 \div (\frac{9}{8}) = 1 \times (\frac{8}{9}) \)
\( \implies x = \frac{8}{9} \)
(v) \( (\frac{-5}{4}) \times (\frac{-4}{5}) = x \)
\( \implies x = \frac{20}{20} = 1 \)
(vi) \( (\frac{-7}{6}) + \frac{7}{6} = x \)
\( \implies x = 0 \)
In simple words: x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरणों में अज्ञात मान को अलग करने के लिए बीजगणितीय संक्रियाएं करें, गुणात्मक प्रतिलोम (व्युत्क्रम) और योगात्मक प्रतिलोम (ऋणात्मक मान) के नियमों का उपयोग करें।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय, \( x \) को अलग करने के लिए विपरीत संक्रियाओं का उपयोग करें। गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{1}{a} \) के लिए \( a \times \frac{1}{a} = 1 \) और योगात्मक प्रतिलोम \( -a \) के लिए \( a + (-a) = 0 \) का ध्यान रखें।

Question 4. निम्नांकित परिमेय संख्याओं के योगात्मक प्रतिलोम बताइए :
Answer:
(i) \( \frac{1}{2} \) का योगात्मक प्रतिलोम \( -\frac{1}{2} \) है।
(ii) \( (\frac{-3}{8}) \) का योगात्मक प्रतिलोम \( \frac{3}{8} \) है।
(iii) 0 का योगात्मक प्रतिलोम 0 है।
(iv) \( (\frac{-4}{-7}) \) का योगात्मक प्रतिलोम \( -\frac{4}{7} \) है।
In simple words: किसी संख्या का योगात्मक प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या में जोड़ने पर योगफल शून्य हो जाता है। यह मूल संख्या का विपरीत चिन्ह वाला मान होता है।

🎯 Exam Tip: योगात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, बस संख्या का चिन्ह बदल दें। यदि संख्या धनात्मक है, तो वह ऋणात्मक हो जाती है; यदि ऋणात्मक है, तो वह धनात्मक हो जाती है। \( \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b} \) होता है।

Question 5. निम्नांकित परिमेय संख्याओं के गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए ।
Answer:
(i) \( \frac{8}{13} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{13}{8} \) है।
(ii) \( \frac{-19}{6} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( -\frac{6}{19} \) है।
(iii) \( (\frac{16}{-17}) \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{-17}{16} \) है।
(iv) -9 का गुणात्मक प्रतिलोम \( -\frac{1}{9} \) है।
(v) 17 का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{1}{17} \) है।
(vi) \( \frac{2}{5} \times \frac{9}{4} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{5}{2} \times \frac{4}{9} = \frac{10}{9} \) है।
In simple words: किसी संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर गुणनफल 1 हो जाता है। यह मूल संख्या का व्युत्क्रम (reciprocal) होता है।

🎯 Exam Tip: गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, संख्या का व्युत्क्रम (reciprocal) लें, यानी अंश को हर और हर को अंश बना दें। चिन्ह वही रहता है। यदि संख्या एक पूर्णांक है, तो उसे हर 1 वाली भिन्न के रूप में लिखें।

Question 6. सरल कीजिए : \( (-32) \times (\frac{5}{-14}) \times (\frac{3}{-20}) \times 0 \times (\frac{-13}{5}) \)
Answer:
\( (-32) \times (\frac{5}{-14}) \times (\frac{3}{-20}) \times 0 \times (\frac{-13}{5}) = 0 \)
* किसी संख्या में 0 की गुणा करने पर गुणनफल 0 प्राप्त होता है।
In simple words: किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर गुणनफल हमेशा शून्य आता है।

🎯 Exam Tip: यह गुणा का एक महत्वपूर्ण गुण है: किसी भी संख्या, चाहे वह परिमेय हो या अपरिमेय, को शून्य से गुणा करने पर परिणाम हमेशा शून्य होता है। लंबी गणना से बचने के लिए इस नियम को तुरंत लागू करें।

Exercise 1(G)

Question 1. निम्नांकित युग्मों में से प्रथम संख्या में दूसरी संख्या से भाग दीजिए।
Answer:
(i) \( (\frac{-8}{5}), (\frac{-10}{1}) \)
\( (\frac{-8}{5}) \div (\frac{-10}{1}) = (\frac{-8}{5}) \times (\frac{1}{-10}) = \frac{-8 \times 1}{5 \times -10} = \frac{-8}{-50} = \frac{4}{25} \)
(ii) \( 18, (\frac{-12}{7}) \)
\( 18 \div (\frac{-12}{7}) = 18 \times (\frac{7}{-12}) = \frac{18 \times 7}{-12} = \frac{3 \times 6 \times 7}{-2 \times 6} = \frac{21}{-2} = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} \)
(iii) \( (-8), (\frac{5}{16}) \)
\( (-8) \div (\frac{5}{16}) = -8 \times \frac{16}{5} = \frac{-128}{5} = -25\frac{3}{5} \)
(iv) \( (\frac{65}{-14}), (\frac{-13}{7}) \)
\( (\frac{65}{-14}) \div (\frac{-13}{7}) = \frac{65}{-14} \times \frac{7}{-13} = \frac{65 \times 7}{-14 \times -13} = \frac{5 \times 13 \times 7}{2 \times 7 \times 13} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \)
(v) \( \frac{5}{12}, (\frac{-4}{9}) \)
\( \frac{5}{12} \div (\frac{-4}{9}) = \frac{5}{12} \times (\frac{9}{-4}) = \frac{5 \times 9}{12 \times -4} = \frac{5 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times -4} = \frac{15}{-16} = -\frac{15}{16} \)
(vi) \( \frac{3}{4}, (-9) \)
\( \frac{3}{4} \div (-9) = \frac{3}{4} \times (\frac{1}{-9}) = \frac{3 \times 1}{4 \times -9} = \frac{1}{4 \times -3} = \frac{1}{-12} = -\frac{1}{12} \)
In simple words: परिमेय संख्याओं में भाग देने के लिए, पहली संख्या को दूसरी संख्या के गुणात्मक प्रतिलोम (व्युत्क्रम) से गुणा करें।

🎯 Exam Tip: भाग संक्रिया को गुणा संक्रिया में बदलने के लिए, भाजक का व्युत्क्रम लें और फिर गुणा करें। गणना को सरल बनाने के लिए गुणा करने से पहले भिन्नों को काट दें। ऋणात्मक चिन्हों को संभालते समय सावधान रहें।

Question 2. भाग की क्रिया करके बताइए कि निम्नांकित कथन सत्य हैं या असत्य (बताकर) :
Answer:
(i) \( (\frac{-1}{8}) \div \frac{3}{4} \) एक परिमेय संख्या है।
\( (\frac{-1}{8}) \div \frac{3}{4} = \frac{-1}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{-1 \times 4}{8 \times 3} = \frac{-1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{-1}{6} \)
जो एक परिमेय संख्या है। अतः कथन सत्य है।
(ii) \( (\frac{8}{9}) \div (\frac{-4}{3}) = (\frac{-4}{3}) \div (\frac{8}{9}) \)
बायाँ पक्ष \( = (\frac{8}{9}) \div (\frac{-4}{3}) = \frac{8}{9} \times (\frac{3}{-4}) = \frac{2 \times 4 \times 3}{3 \times 3 \times -4} = \frac{2}{3 \times -1} = -\frac{2}{3} \)
दायाँ पक्ष \( = (\frac{-4}{3}) \div (\frac{8}{9}) = \frac{-4}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{-4 \times 9}{3 \times 8} = \frac{-1 \times 3}{1 \times 2} = -\frac{3}{2} \)
** बायाँ पक्ष \( \neq \) दायाँ पक्ष अतः कथन असत्य है।
(iii) \( (\frac{-15}{56}) \div 1 = 1 \div (\frac{-15}{56}) \)
बायाँ पक्ष \( = (\frac{-15}{56}) \div 1 = \frac{-15}{56} \times 1 = \frac{-15}{56} \)
दायाँ पक्ष \( = 1 \div (\frac{-15}{56}) = 1 \times (\frac{56}{-15}) = \frac{-56}{15} \)
** दायाँ पक्ष \( \neq \) दायाँ पक्ष अतः कथन असत्य है।
(iv) \( (\frac{-9}{10}) \div (\frac{-9}{10}) = 1 \)
अतः कथन सत्य है।
In simple words: परिमेय संख्याओं में भाग संक्रिया क्रम विनिमेय नहीं होती है, अर्थात \( a \div b \neq b \div a \)। किसी भी परिमेय संख्या को 1 से भाग देने पर वही संख्या प्राप्त होती है, लेकिन 1 को किसी परिमेय संख्या से भाग देने पर उसका व्युत्क्रम प्राप्त होता है। दो समान संख्याओं को आपस में भाग देने पर 1 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि भाग संक्रिया क्रम विनिमेय (commutative) नहीं होती है। प्रत्येक कथन को व्यक्तिगत रूप से हल करके बाएँ और दाएँ पक्ष की तुलना करें। किसी भी संख्या को 1 से भाग देने पर वही संख्या मिलती है, लेकिन 1 को किसी संख्या से भाग देने पर उस संख्या का व्युत्क्रम मिलता है।

Question 3. सरल कीजिए :
Answer:
(i) \( \frac{2}{3} \div (\frac{-4}{5}) = \frac{2}{3} \times (\frac{5}{-4}) = \frac{2 \times 5}{3 \times -4} = \frac{1 \times 5}{3 \times -2} = \frac{5}{-6} = -\frac{5}{6} \)
(ii) \( (-4) \div (\frac{-3}{5}) = -4 \times (\frac{5}{-3}) = \frac{-4 \times 5}{-3} = \frac{-20}{-3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \)
(iii) \( (\frac{-6}{7}) \div (-15) = \frac{-6}{7} \times (\frac{1}{-15}) = \frac{-6}{7 \times -15} = \frac{2 \times 3}{7 \times 5 \times 3} = \frac{2}{35} \)
(iv) \( (\frac{-1}{8}) \div (\frac{3}{4}) = \frac{-1}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{-1 \times 4}{8 \times 3} = \frac{-1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{-1}{6} \)
(v) \( \frac{15}{7} \div (\frac{-5}{7}) = \frac{15}{7} \times (\frac{7}{-5}) = \frac{15 \times 7}{7 \times -5} = \frac{3 \times 5 \times 7}{7 \times -5} = -3 \)
(vi) \( (\frac{-7}{12}) \div (\frac{-2}{3}) = \frac{-7}{12} \times (\frac{3}{-2}) = \frac{-7 \times 3}{12 \times -2} = \frac{-7 \times 1}{4 \times -2} = \frac{-7}{-8} = \frac{7}{8} \)
In simple words: परिमेय संख्याओं में भाग की संक्रिया को गुणा में बदलने के लिए, भाजक का व्युत्क्रम लें और फिर गुणा करें। गणना को आसान बनाने के लिए गुणनखंडों को काटें और चिन्हों का ध्यान रखें।

🎯 Exam Tip: भाग को गुणा में बदलने के लिए हमेशा भाजक का व्युत्क्रम (reciprocal) लें। अंशों और हरों में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को काटकर गणना सरल करें। ऋणात्मक चिन्हों को संभालते समय विशेष सावधानी बरतें (दो ऋणात्मक चिन्हों का भागफल धनात्मक होता है)।

Question 4. दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल \( (\frac{-6}{7}) \) है, यदि इनमें से एक संख्या \( (\frac{-8}{5}) \) है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना दूसरी संख्या x है।
\( \therefore x \times (\frac{-8}{5}) = \frac{-6}{7} \)
\( \implies x = \frac{-6}{7} \div (\frac{-8}{5}) = \frac{-6}{7} \times (\frac{5}{-8}) = \frac{-6 \times 5}{7 \times -8} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \)
अतः दूसरी संख्या \( = \frac{15}{28} \)
In simple words: यदि दो संख्याओं का गुणनफल और उनमें से एक संख्या ज्ञात हो, तो दूसरी संख्या ज्ञात करने के लिए गुणनफल को दी गई संख्या से भाग दें।

🎯 Exam Tip: अज्ञात संख्या को \( x \) मानकर समीकरण बनाएं। भाग की संक्रिया को गुणा में बदलने के लिए भाजक का व्युत्क्रम लें। ऋणात्मक चिन्हों को सही ढंग से संभालें और भिन्न को सरलतम रूप में व्यक्त करें।

Question 5. दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल \( (\frac{-5}{6}) \) है, यदि इनमें से एक संख्या \( (\frac{-7}{12}) \) है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए ।
Answer:
माना दूसरी संख्या x है।
\( \therefore x \times (\frac{-7}{12}) = \frac{-5}{6} \)
\( \implies x = \frac{-5}{6} \div (\frac{-7}{12}) = \frac{-5}{6} \times (\frac{12}{-7}) = \frac{-5 \times 12}{6 \times -7} = \frac{-60}{-42} = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \)
अतः दूसरी संख्या \( = \frac{10}{7} \) अथवा \( 1\frac{3}{7} \)
In simple words: अज्ञात संख्या ज्ञात करने के लिए, दिए गए गुणनफल को ज्ञात संख्या से भाग दें, और भाग को गुणा में बदलने के लिए भाजक का व्युत्क्रम का उपयोग करें।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय, ऋणात्मक चिन्हों को ध्यान में रखें। यदि दोनों संख्याओं के चिन्ह समान हैं, तो भागफल धनात्मक होगा। भिन्न को हमेशा सरलतम रूप में व्यक्त करें।

Question 6. \( (\frac{-4}{9}) \) को किस संख्या से गुणा करें कि गुणनफल (-1) प्राप्त हो
Answer:
माना वह संख्या \( = x \)
\( \therefore (\frac{-4}{9}) \times x = (-1) \implies x = (-1) \times (\frac{9}{-4}) = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4} \)
In simple words: किसी संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम (व्युत्क्रम) वह संख्या होती है जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर गुणनफल 1 प्राप्त होता है। यहाँ गुणनफल -1 है, इसलिए संख्या उसके व्युत्क्रम के ऋणात्मक मान के बराबर होगी।

🎯 Exam Tip: यह गुणात्मक प्रतिलोम की अवधारणा से संबंधित है। यदि गुणनफल 1 होता तो उत्तर सीधा व्युत्क्रम होता। चूंकि गुणनफल -1 है, इसलिए व्युत्क्रम का ऋणात्मक मान उत्तर होगा। समीकरण बनाएं और हल करें।

Question 7. [latex]\frac { 8 }{ 9 } [/latex] को किस संख्या से गुणा करें कि गुणनफल [latex]\left(\frac { -16 }{ 28 } \right) [/latex] प्राप्त हो

Answer: माना वह संख्या \(x\) है।
प्रश्नानुसार,
\( \frac{8}{9} \times x = \frac{-16}{28} \)
\( \implies x = \frac{-16}{28} \times \frac{9}{8} \)
\( \implies x = \frac{-2 \times 9}{28} \)
\( \implies x = \frac{-9}{14} \)
In simple words: To find the unknown number, we divide the given product by the first number, which gives us \(-9/14\).

🎯 Exam Tip: Remember to simplify fractions before or after multiplication to reduce calculation errors. Always isolate the variable to find its value.

दक्षता अभ्यास -1 (A)

Question 1. निम्नांकित को सरल करके परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए :

Answer:
उत्तर (i) \( \left(\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{-5}{6}\right)-\frac{7}{9} \)
\( = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} - \frac{7}{9} \)
\( = \frac{12-15-14}{18} \) (ल०स० 18)
\( = \frac{12-29}{18} \)
\( = \frac{-17}{18} \)
हल : (ii) \( \left[\left(\frac{-3}{4}\right)+\frac{1}{2}\right] \div 2 \)
\( = \left[\frac{-3+2}{4}\right] \div 2 \)
\( = \left[\frac{-1}{4}\right] \div 2 \)
\( = \frac{-1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{-1}{8} \)
(iii) \( \left[\left(\frac{-3}{5}\right) \times \left(\frac{-35}{12}\right)\right] + \frac{1}{14} \)
\( = \left[\frac{3 \times 7}{1 \times 12}\right] + \frac{1}{14} \) (सरल करने पर \( \frac{-3}{5} \times \frac{-35}{12} = \frac{7}{4} \))
\( = \frac{7}{4} + \frac{1}{14} \)
\( = \frac{49+2}{28} \) (ल०स० 28)
\( = \frac{51}{28} \)
हल : (iv) \( \left(\frac{-5}{9}\right) \times \left[\frac{1}{3} \div \frac{2}{5}\right] \)
\( = \left(\frac{-5}{9}\right) \times \left[\frac{1}{3} \times \frac{5}{2}\right] \)
\( = \left(\frac{-5}{9}\right) \times \frac{5}{6} \)
\( = \frac{-25}{54} \)
In simple words: Each part involves combining fractions using addition, subtraction, multiplication, and division, following the order of operations and finding common denominators where necessary.

🎯 Exam Tip: Always follow the order of operations (PEMDAS/BODMAS). Simplify fractions early to make calculations easier. Pay close attention to negative signs.

Question 2. [latex]\left(\frac { -12 }{ 7 } \right) [/latex] और [latex]\frac { 13 }{ 5 } [/latex] के योगफल को उनके अंतर से गुणो कीजिए।

Answer:
योगफल \( = \frac{-12}{7} + \frac{13}{5} = \frac{-60+91}{35} = \frac{31}{35} \)
अंतर \( = \frac{-12}{7} - \frac{13}{5} = \frac{-60-91}{35} = \frac{-151}{35} \)
गुणनफल \( = \left(\frac{31}{35}\right) \times \left(\frac{-151}{35}\right) \)
\( = \frac{31 \times (-151)}{35 \times 35} \)
\( = \frac{-4681}{1225} \)
In simple words: First, calculate the sum and the difference of the two given rational numbers. Then, multiply these two results together to get the final product.

🎯 Exam Tip: Remember to find a common denominator for addition and subtraction of fractions. Be careful with signs, especially when subtracting negative numbers or multiplying signed numbers.

Question 3. [latex]\left(\frac { 1 }{ -2 } \right) [/latex] और [latex]\left( \frac { -3 }{ 7 } \right) [/latex] के योगफल को उनके गुणनफल से भाग दीजिए।

Answer:
योगफल \( = \frac{1}{-2} + \frac{-3}{7} = \frac{-1}{2} - \frac{3}{7} \)
\( = \frac{-7-6}{14} = \frac{-13}{14} \)
गुणनफल \( = \frac{1}{-2} \times \frac{-3}{7} = \frac{3}{14} \)
भागफल \( = \left(\frac{-13}{14}\right) \div \left(\frac{3}{14}\right) \)
\( = \frac{-13}{14} \times \frac{14}{3} \)
\( = \frac{-13}{3} \)
In simple words: Calculate the sum of the two rational numbers and their product separately. Then, divide the sum by the product to get the required answer.

🎯 Exam Tip: When dividing fractions, multiply the first fraction by the reciprocal of the second fraction. Ensure all calculations for sum and product are accurate before dividing.

Question 4. अपनी अभ्यास पुस्तिका में निम्नांकित कथनों के आगे सत्य/असत्य अंकित कीजिए-

Answer:
(i) \( \frac{1}{a} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \(a\) है, यदि \(a \neq 0\) (सत्य)
(ii) ऋणात्मक परिमेय संख्या का योगात्मक प्रतिलोम, धनात्मक परिमेय संख्या नहीं होता है। (असत्य)
(iii) 1 को शून्य से भाग देना सम्भव नहीं है। (सत्य)
(iv) शून्य किसी परिमेय संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं हैं। (सत्य)
In simple words: A number's multiplicative inverse is its reciprocal if it's not zero. The additive inverse of a negative number is always positive. Division by zero is undefined. Zero does not have a multiplicative inverse.

🎯 Exam Tip: Understand the definitions of multiplicative inverse (reciprocal) and additive inverse (negative). Remember that division by zero is always undefined.

अभ्यास 1 (h)

Question 1. निम्नांकित परिमेय संख्याओं के निरपेक्ष मान ज्ञात कीजिए :

Answer:
(i) \( \frac{15}{19} \) का निरपेक्ष मान \( = \left|\frac{15}{19}\right| = \frac{15}{19} \)
(ii) \( \frac{-11}{8} \) का निरपेक्ष मान \( = \left|\frac{-11}{8}\right| = \frac{11}{8} \)
(iii) \( \frac{-19}{-23} \) का निरपेक्ष मान \( = \left|\frac{-19}{-23}\right| = \left|\frac{19}{23}\right| = \frac{19}{23} \)
(iv) \( \frac{-8}{19} \) का निरपेक्ष मान \( = \left|\frac{-8}{19}\right| = \frac{8}{19} \)
In simple words: The absolute (or निरपेक्ष) value of a number is its distance from zero, always resulting in a non-negative value. For fractions, take the absolute value of both the numerator and the denominator.

🎯 Exam Tip: The absolute value of any number, positive or negative, is always positive. For a negative fraction, the absolute value makes it positive.

Question 2. सरल कीजिए :

Answer:
(i) \( \left|\frac{5}{9} - \frac{2}{3}\right| \)
\( = \left|\frac{5-6}{9}\right| = \left|\frac{-1}{9}\right| = \frac{1}{9} \)
(ii) \( \left|\frac{-9}{11} + \frac{1}{3}\right| \)
\( = \left|\frac{-27+11}{33}\right| = \left|\frac{-16}{33}\right| = \frac{16}{33} \)
(iii) \( \left|\frac{-3}{5} \times \frac{-7}{11}\right| \)
\( = \left|\frac{21}{55}\right| = \frac{21}{55} \)
• उत्तर को सही विकल्प अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए :
In simple words: For each expression, perform the operation inside the absolute value first, finding a common denominator for addition/subtraction, then take the absolute value of the result.

🎯 Exam Tip: Always solve the expression inside the absolute value bars completely before taking the absolute value. Ensure common denominators are correctly found for addition/subtraction.

Question 3. प्रत्येक स्थिति में \(x\) का मान बताइएः

Answer:
(i) \( x \times \frac{2}{3} = 1 \)
\( \implies x = \frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \)
(ii) \( \frac{3}{4} + x = 0 \)
\( \implies x = 0 - \frac{3}{4} = \frac{-3}{4} \)
(iii) \( x \times \left(\frac{-5}{4}\right) = 1 \)
\( \implies x = 1 \div \left(\frac{-5}{4}\right) = 1 \times \left(\frac{-4}{5}\right) \)
\( \implies x = \frac{-4}{5} \)
(iv) \( x \times \frac{7}{6} = 1 \)
\( \implies x = 1 \div \frac{7}{6} = 1 \times \frac{6}{7} \)
\( \implies x = \frac{6}{7} \)
(v) \( \left(\frac{-5}{4}\right) \times \left(\frac{-4}{5}\right) = x \)
\( \implies x = \frac{20}{20} = 1 \)
(vi) \( \frac{7}{6} + x = 0 \)
\( \implies x = 0 - \frac{7}{6} = \frac{-7}{6} \)
In simple words: For each equation, isolate \(x\) by performing the inverse operation on both sides. If \(x\) is multiplied, divide; if added, subtract.

🎯 Exam Tip: Remember that \(a \times b = 1\) means \(b\) is the multiplicative inverse of \(a\), and \(a + b = 0\) means \(b\) is the additive inverse of \(a\). Pay attention to signs during inverse operations.

Question 4. निम्नांकित परिमेय संख्याओं के योगात्मक प्रतिलोम बताइए :

Answer:
(i) \( \frac{1}{2} \) का योगात्मक प्रतिलोम \( \frac{-1}{2} \) है।
(ii) \( \frac{-3}{8} \) का योगात्मक प्रतिलोम \( \frac{3}{8} \) है।
(iii) 0 का योगात्मक प्रतिलोम 0 है।
(iv) \( \frac{-4}{7} \) का योगात्मक प्रतिलोम \( \frac{4}{7} \) है।
In simple words: The additive inverse of a number is the number that, when added to the original number, results in zero. It's simply the number with the opposite sign.

🎯 Exam Tip: The additive inverse of a positive number is negative, and of a negative number is positive. The additive inverse of zero is zero itself.

Question 5. निम्नांकित परिमेय संख्याओं के गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए ।

Answer:
(i) \( \frac{8}{13} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{13}{8} \) है।
(ii) \( \frac{-19}{17} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{17}{-19} = \frac{-17}{19} \) है।
(iii) \( \frac{1}{-16} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{-16}{1} = -16 \) है।
(iv) -9 का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{-1}{9} \) है।
(v) 17 का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{1}{17} \) है।
(vi) \( \frac{2}{5} \times \frac{9}{4} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \( \frac{10}{9} \) है।
In simple words: The multiplicative inverse (or reciprocal) of a number is the number that, when multiplied by the original number, results in 1. To find it, flip the numerator and denominator.

🎯 Exam Tip: Ensure the sign remains the same for the multiplicative inverse. For a product, first calculate the product, then find its reciprocal.

Question 6. सरल कीजिए : [latex](-32)\times (\frac { 5 }{ -14 } )\times (\frac { 3 }{ -20 } )\times 0\times (\frac {-13 }{ 5 } )[/latex]

Answer:
\( (-32) \times \left(\frac{5}{-14}\right) \times \left(\frac{3}{-20}\right) \times 0 \times \left(\frac{-13}{5}\right) = 0 \)
क्योंकि किसी संख्या में 0 की गुणा करने पर गुणनफल 0 प्राप्त होता है।
In simple words: Any number multiplied by zero, regardless of other factors, will always result in zero.

🎯 Exam Tip: Always look for a zero in a multiplication expression. If present, the entire product is zero, saving significant calculation time.

अभ्यास 1 (g)

Question 1. निम्नांकित युग्मों में से प्रथम संख्या में दूसरी संख्या से भाग दीजिए।

Answer:
(i) \( \left(\frac{-8}{5}\right), \left(\frac{-10}{1}\right) \)
\( \left(\frac{-8}{5}\right) \div \left(\frac{-10}{1}\right) = \left(\frac{-8}{5}\right) \times \left(\frac{1}{-10}\right) = \frac{(-8) \times 1}{5 \times (-10)} = \frac{-8}{-50} = \frac{4}{25} \)
(ii) \( 18, \left(\frac{-12}{7}\right) \)
\( 18 \div \left(\frac{-12}{7}\right) = 18 \times \left(\frac{7}{-12}\right) = \frac{18 \times 7}{-12} = \frac{3 \times 7}{-2} = \frac{21}{-2} = -10\frac{1}{2} \)
(iii) \( (-8), \left(\frac{-16}{5}\right) \)
\( (-8) \div \left(\frac{-16}{5}\right) = (-8) \times \left(\frac{5}{-16}\right) = \frac{-8 \times 5}{-16} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \)
(iv) \( \left(\frac{65}{-14}\right), \left(\frac{-13}{7}\right) \)
\( \left(\frac{65}{-14}\right) \div \left(\frac{-13}{7}\right) = \left(\frac{65}{-14}\right) \times \left(\frac{7}{-13}\right) = \frac{65 \times 7}{(-14) \times (-13)} = \frac{5 \times 1}{2 \times 1} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \)
(v) \( \left(\frac{5}{12}\right), \left(\frac{4}{9}\right) \)
\( \left(\frac{5}{12}\right) \div \left(\frac{4}{9}\right) = \left(\frac{5}{12}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) = \frac{5 \times 9}{12 \times 4} = \frac{5 \times 3}{4 \times 4} = \frac{15}{16} \)
(vi) \( \frac{3}{4}, (-9) \)
\( \frac{3}{4} \div (-9) = \frac{3}{4} \times \left(\frac{1}{-9}\right) = \frac{3 \times 1}{4 \times (-9)} = \frac{1}{4 \times (-3)} = \frac{1}{-12} = \frac{-1}{12} \)
In simple words: To divide one rational number by another, multiply the first number by the reciprocal of the second number. Simplify the resulting fraction to its lowest terms.

🎯 Exam Tip: Always remember to invert the divisor (the second fraction) and then multiply. Be meticulous with negative signs during multiplication and simplification.

Question 2. भाग की क्रिया करके बताइए कि निम्नांकित कथन सत्य हैं या असत्य (बताकर) :

Answer:
(i) \( \left(\frac{-1}{8}\right) \div \frac{3}{4} \) एक परिमेय संख्या है।
\( \left(\frac{-1}{8}\right) \div \frac{3}{4} = \frac{-1}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{-1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{-1}{6} \)
जो एक परिमेय संख्या है। अतः कथन सत्य है।
(ii) \( \left(\frac{8}{9}\right) \div \left(\frac{-4}{3}\right) = \left(\frac{-4}{3}\right) \div \left(\frac{8}{9}\right) \)
बायाँ पक्ष \( = \left(\frac{8}{9}\right) \div \left(\frac{-4}{3}\right) = \frac{8}{9} \times \frac{3}{-4} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{-1} = \frac{-2}{3} \)
दायाँ पक्ष \( = \left(\frac{-4}{3}\right) \div \left(\frac{8}{9}\right) = \frac{-4}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{-1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{-3}{2} \)
अतः बायाँ पक्ष \( \neq \) दायाँ पक्ष अतः कथन असत्य है।
(iii) \( \left(\frac{-15}{56}\right) \div 1 = 1 \div \left(\frac{-15}{56}\right) \)
बायाँ पक्ष \( = \left(\frac{-15}{56}\right) \div 1 = \frac{-15}{56} \times 1 = \frac{-15}{56} \)
दायाँ पक्ष \( = 1 \div \left(\frac{-15}{56}\right) = 1 \times \left(\frac{56}{-15}\right) = \frac{56}{-15} = \frac{-56}{15} \)
अतः दायाँ पक्ष \( \neq \) बायाँ पक्ष अतः कथन असत्य है।
(iv) \( \left(\frac{-9}{10}\right) \div \left(\frac{-9}{10}\right) = 1 \)
\( \left(\frac{-9}{10}\right) \div \left(\frac{-9}{10}\right) = \frac{-9}{10} \times \frac{10}{-9} = 1 \)
अतः कथन सत्य है।
In simple words: Division of rational numbers always results in a rational number. Division is not commutative, meaning the order of numbers affects the result. Any number divided by itself is 1.

🎯 Exam Tip: Remember that rational numbers are closed under division (excluding division by zero). Also, division is not commutative or associative, unlike multiplication for rational numbers.

Question 3. सरल कीजिए :

Answer:
(i) \( \frac{2}{5} \div \left(\frac{-4}{5}\right) = \frac{2}{5} \times \left(\frac{5}{-4}\right) = \frac{1}{-2} = \frac{-1}{2} \)
(ii) \( (-4) \div \left(\frac{-3}{5}\right) = -4 \times \left(\frac{5}{-3}\right) = \frac{-20}{-3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \)
(iii) \( \left(\frac{-6}{7}\right) \div (-15) = \left(\frac{-6}{7}\right) \times \left(\frac{1}{-15}\right) = \frac{-6}{-105} = \frac{2}{35} \)
(iv) \( \frac{8}{35} \div \left(\frac{-4}{7}\right) = \frac{8}{35} \times \left(\frac{7}{-4}\right) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{-1} = \frac{-2}{5} \)
(v) \( \frac{15}{7} \div \left(\frac{-5}{7}\right) = \frac{15}{7} \times \left(\frac{7}{-5}\right) = \frac{3}{1} \times \frac{1}{-1} = -3 \)
(vi) \( \left(\frac{-7}{12}\right) \div \left(\frac{-2}{3}\right) = \left(\frac{-7}{12}\right) \times \left(\frac{3}{-2}\right) = \frac{-7}{4} \times \frac{1}{-2} = \frac{7}{8} \)
In simple words: To simplify each division problem, convert division into multiplication by taking the reciprocal of the divisor. Then multiply and reduce the fraction to its simplest form.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to negative signs during multiplication, as two negatives make a positive. Always simplify fractions as much as possible at each step.

Question 4. दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल [latex]\left( \frac { -6 }{ 7 } \right) [/latex] है, यदि इनमें से एक संख्या [latex]\left( \frac { -8 }{ 5 } \right) [/latex] है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer: माना दूसरी संख्या \(x\) है।
प्रश्नानुसार,
\( x \times \left(\frac{-8}{5}\right) = \frac{-6}{7} \)
\( \implies x = \left(\frac{-6}{7}\right) \div \left(\frac{-8}{5}\right) \)
\( \implies x = \left(\frac{-6}{7}\right) \times \left(\frac{5}{-8}\right) \)
\( \implies x = \frac{(-6) \times 5}{7 \times (-8)} = \frac{-30}{-56} = \frac{15}{28} \)
अतः दूसरी संख्या \( \frac{15}{28} \) है।
In simple words: To find the unknown second number, divide the given product of the two numbers by the known first number.

🎯 Exam Tip: When dividing fractions, remember to multiply by the reciprocal of the divisor. Double-check calculations involving negative numbers to avoid sign errors.

Question 5. दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल [latex]\left( \frac { -5 }{ 6 } \right) [/latex] है, यदि इनमें से एक संख्या [latex]\left(\frac { -7 }{ 12 } \right) [/latex] है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए ।

Answer: माना दूसरी संख्या \(x\) है।
प्रश्नानुसार,
\( x \times \left(\frac{-7}{12}\right) = \frac{-5}{6} \)
\( \implies x = \left(\frac{-5}{6}\right) \div \left(\frac{-7}{12}\right) \)
\( \implies x = \left(\frac{-5}{6}\right) \times \left(\frac{12}{-7}\right) \)
\( \implies x = \frac{(-5) \times 12}{6 \times (-7)} = \frac{-60}{-42} = \frac{10}{7} \)
अतः दूसरी संख्या \( \frac{10}{7} \) अथवा \( 1\frac{3}{7} \) है।
In simple words: Divide the product of the two rational numbers by the known rational number to find the unknown one.

🎯 Exam Tip: Convert mixed numbers or improper fractions as required by the question or for simplicity, but always maintain accuracy during division by reciprocal multiplication.

Question 6. [latex]\left(\frac { -4 }{ 9 } \right) [/latex] को किस संख्या से गुणा करें कि गुणनफल (-1) प्राप्त हो

Answer: माना वह संख्या \(x\) है।
प्रश्नानुसार,
\( \left(\frac{-4}{9}\right) \times x = -1 \)
\( \implies x = (-1) \div \left(\frac{-4}{9}\right) \)
\( \implies x = (-1) \times \left(\frac{9}{-4}\right) \)
\( \implies x = \frac{9}{4} \)
In simple words: To find the number that, when multiplied by a given fraction, results in -1, find the negative reciprocal of the given fraction.

🎯 Exam Tip: The number sought is the multiplicative inverse (reciprocal) of the given fraction, but with an adjustment for the negative product. Ensure the sign of the reciprocal is chosen correctly.

Question 7. [latex]\frac { 8 }{ 9 } [/latex] को किस संख्या से गुणा करें कि गुणनफल [latex]\left(\frac { -16 }{ 28 } \right) [/latex] प्राप्त हो

Answer: माना वह संख्या \(x\) है।
प्रश्नानुसार,
\( \frac{8}{9} \times x = \frac{-16}{28} \)
\( \implies x = \frac{-16}{28} \div \frac{8}{9} \)
\( \implies x = \frac{-16}{28} \times \frac{9}{8} \)
\( \implies x = \frac{-2 \times 9}{28} = \frac{-18}{28} = \frac{-9}{14} \)
In simple words: Divide the desired product by the known number to find the unknown multiplier.

🎯 Exam Tip: Simplify fractions before or after multiplication to make calculations easier. Always use the reciprocal when performing division with fractions.

दक्षता अभ्यास -1 (A)

Question 1. निम्नांकित को सरल करके परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए :

Answer:
(i) \( \left(\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{-5}{6}\right)-\frac{7}{9} \)
\( = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} - \frac{7}{9} \)
\( = \frac{12-15-14}{18} \) (ल०स० 18)
\( = \frac{12-29}{18} = \frac{-17}{18} \)
हल : (ii) \( \left[\left(\frac{-3}{4}\right)+\frac{1}{2}\right] \div 2 \)
\( = \left[\frac{-3+2}{4}\right] \div 2 \)
\( = \left[\frac{-1}{4}\right] \div 2 = \frac{-1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{-1}{8} \)
(iii) \( \left[\left(\frac{-3}{5}\right) \times \left(\frac{-35}{12}\right)\right] + \frac{1}{14} \)
\( = \left[\frac{3 \times 7}{1 \times 12}\right] + \frac{1}{14} \) (सरल करने पर \( \frac{-3}{5} \times \frac{-35}{12} = \frac{7}{4} \))
\( = \frac{7}{4} + \frac{1}{14} \)
\( = \frac{49+2}{28} \) (ल०स० 28)
\( = \frac{51}{28} \)
हल : (iv) \( \left(\frac{-5}{9}\right) \times \left[\frac{1}{3} \div \frac{2}{5}\right] \)
\( = \left(\frac{-5}{9}\right) \times \left[\frac{1}{3} \times \frac{5}{2}\right] \)
\( = \left(\frac{-5}{9}\right) \times \frac{5}{6} = \frac{-25}{54} \)
In simple words: Each part involves combining fractions using addition, subtraction, multiplication, and division, following the order of operations and finding common denominators where necessary.

🎯 Exam Tip: Always follow the order of operations (PEMDAS/BODMAS). Simplify fractions early to make calculations easier. Pay close attention to negative signs.

Question 2. [latex]\left(\frac { -12 }{ 7 } \right) [/latex] और [latex]\frac { 13 }{ 5 } [/latex] के योगफल को उनके अंतर से गुणो कीजिए।

Answer:
योगफल \( = \frac{-12}{7} + \frac{13}{5} = \frac{-60+91}{35} = \frac{31}{35} \)
अंतर \( = \frac{-12}{7} - \frac{13}{5} = \frac{-60-91}{35} = \frac{-151}{35} \)
गुणनफल \( = \left(\frac{31}{35}\right) \times \left(\frac{-151}{35}\right) \)
\( = \frac{31 \times (-151)}{35 \times 35} \)
\( = \frac{-4681}{1225} \)
In simple words: First, calculate the sum and the difference of the two given rational numbers. Then, multiply these two results together to get the final product.

🎯 Exam Tip: Remember to find a common denominator for addition and subtraction of fractions. Be careful with signs, especially when subtracting negative numbers or multiplying signed numbers.

Question 3. [latex]\left(\frac { 1 }{ -2 } \right) [/latex] और [latex]\left( \frac { -3 }{ 7 } \right) [/latex] के योगफल को उनके गुणनफल से भाग दीजिए।

Answer:
योगफल \( = \frac{1}{-2} + \frac{-3}{7} = \frac{-1}{2} - \frac{3}{7} \)
\( = \frac{-7-6}{14} = \frac{-13}{14} \)
गुणनफल \( = \frac{1}{-2} \times \frac{-3}{7} = \frac{3}{14} \)
भागफल \( = \left(\frac{-13}{14}\right) \div \left(\frac{3}{14}\right) \)
\( = \frac{-13}{14} \times \frac{14}{3} \)
\( = \frac{-13}{3} \)
In simple words: Calculate the sum of the two rational numbers and their product separately. Then, divide the sum by the product to get the required answer.

🎯 Exam Tip: When dividing fractions, multiply the first fraction by the reciprocal of the second fraction. Ensure all calculations for sum and product are accurate before dividing.

Question 4. अपनी अभ्यास पुस्तिका में निम्नांकित कथनों के आगे सत्य/असत्य अंकित कीजिए-

Answer:
(i) \( \frac{1}{a} \) का गुणात्मक प्रतिलोम \(a\) है, यदि \(a \neq 0\) (सत्य)
(ii) ऋणात्मक परिमेय संख्या का योगात्मक प्रतिलोम, धनात्मक परिमेय संख्या नहीं होता है। (असत्य)
(iii) 1 को शून्य से भाग देना सम्भव नहीं है। (सत्य)
(iv) शून्य किसी परिमेय संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम नहीं हैं। (सत्य)
In simple words: A number's multiplicative inverse is its reciprocal if it's not zero. The additive inverse of a negative number is always positive. Division by zero is undefined. Zero does not have a multiplicative inverse.

🎯 Exam Tip: Understand the definitions of multiplicative inverse (reciprocal) and additive inverse (negative). Remember that division by zero is always undefined.

अभ्यास 1 (h)

Question 1. निम्नांकित परिमेय संख्याओं के निरपेक्ष मान ज्ञात कीजिए :

Answer:
(i) \( \frac{15}{19} \) का निरपेक्ष मान \( = \left|\frac{15}{19}\right| = \frac{15}{19} \)
(ii) \( \frac{-11}{8} \) का निरपेक्ष मान \( = \left|\frac{-11}{8}\right| = \frac{11}{8} \)
(iii) \( \frac{-19}{-23} \) का निरपेक्ष मान \( = \left|\frac{-19}{-23}\right| = \left|\frac{19}{23}\right| = \frac{19}{23} \)
(iv) \( \frac{-8}{19} \) का निरपेक्ष मान \( = \left|\frac{-8}{19}\right| = \frac{8}{19} \)
In simple words: The absolute (or निरपेक्ष) value of a number is its distance from zero, always resulting in a non-negative value. For fractions, take the absolute value of both the numerator and the denominator.

🎯 Exam Tip: The absolute value of any number, positive or negative, is always positive. For a negative fraction, the absolute value makes it positive.

Question 2. सरल कीजिए :

Answer:
(i) \( \left|\frac{5}{9} - \frac{2}{3}\right| \)
\( = \left|\frac{5-6}{9}\right| = \left|\frac{-1}{9}\right| = \frac{1}{9} \)
(ii) \( \left|\frac{-9}{11} + \frac{1}{3}\right| \)
\( = \left|\frac{-27+11}{33}\right| = \left|\frac{-16}{33}\right| = \frac{16}{33} \)
(iii) \( \left|\frac{-3}{5} \times \frac{-7}{11}\right| \)
\( = \left|\frac{21}{55}\right| = \frac{21}{55} \)
• उत्तर को सही विकल्प अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए :
In simple words: For each expression, perform the operation inside the absolute value first, finding a common denominator for addition/subtraction, then take the absolute value of the result.

🎯 Exam Tip: Always solve the expression inside the absolute value bars completely before taking the absolute value. Ensure common denominators are correctly found for addition/subtraction.

Question 3. यदि \(x = \text{[latex]}-\frac { 1 }{ 2 } [/latex]\) और \(y = \text{[latex]}\frac { 3 }{ 4 } [/latex]\), तो \(\text{[latex]}\left| x \right| +\left| y \right| [/latex]\) का मान है :

Answer:
\( |x| + |y| = \left|-\frac{1}{2}\right| + \left|\frac{3}{4}\right| \)
\( = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \)
\( = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4} \)
In simple words: Find the absolute value of \(x\) and the absolute value of \(y\) separately, then add these positive values together.

🎯 Exam Tip: Remember that absolute value always yields a non-negative result. Find the common denominator to correctly add fractions.

Question 4. [latex]\left| -\left( \frac { 3 }{ -7 } \right) \right| [/latex] का मान है :

Answer:
\( \left|-\left(\frac{3}{-7}\right)\right| = \left|\frac{3}{7}\right| = \frac{3}{7} \)
In simple words: Simplify the fraction inside the absolute value first, noting that two negative signs cancel out, then take the absolute value of the resulting positive fraction.

🎯 Exam Tip: Simplify the expression within the absolute value before evaluating. Remember that \(-(-a/b) = a/b\).

Question 5. यदि \(x = \text{[latex]}\frac { -5 }{ 7 } [/latex]\) और \(y = \text{[latex]}\frac { 3 }{ 4 } [/latex]\) तो \(\text{[latex]}\left| x \right| +\left| y \right| [/latex]\) का मान है :

Answer:
\( |x| + |y| = \left|\frac{-5}{7}\right| + \left|\frac{3}{4}\right| \)
\( = \frac{5}{7} + \frac{3}{4} \)
\( = \frac{20+21}{28} = \frac{41}{28} \)
In simple words: Take the absolute value of \(x\) and \(y\) to make them positive, then add these two positive fractions by finding a common denominator.

🎯 Exam Tip: Always make values positive when taking their absolute value. The least common multiple (LCM) of denominators is essential for adding fractions efficiently.

Question 6. परिमेय संख्याओं [latex]\frac { -5 }{ 7 } [/latex] और [latex]\frac { -5 }{ -7 } [/latex] का निरपेक्ष मान है :

Answer:
\( \left|\frac{-5}{7}\right| = \frac{5}{7} \)
\( \left|\frac{-5}{-7}\right| = \left|\frac{5}{7}\right| = \frac{5}{7} \)
In simple words: The absolute value of both fractions is \(5/7\), as the absolute value removes any negative signs, and \(-5/-7\) simplifies to \(5/7\).

🎯 Exam Tip: The absolute value always yields a non-negative result. Remember that a fraction with both numerator and denominator negative is equivalent to a positive fraction.

Question 7. अपनी अभ्यास पुस्तिका में उतारकर प्रत्येक वर्ग में उपयुक्त चिह्न \(>, =, <\) लगाइए :

Answer:
(i) \( \left|-\frac{3}{4}\right| \square \left|-\frac{3}{4} + \frac{1}{8}\right| \)
\( \left|-\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4} \)
\( \left|-\frac{3}{4} + \frac{1}{8}\right| = \left|\frac{-6+1}{8}\right| = \left|\frac{-5}{8}\right| = \frac{5}{8} \)
अतः \( \frac{3}{4} > \frac{5}{8} \) (\( \frac{6}{8} > \frac{5}{8} \))
(ii) \( \left|-\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\right| \square \left|\frac{-3}{24} + \frac{1}{4}\right| \)
\( \left|-\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\right| = \left|\frac{-3+4}{8}\right| = \left|\frac{1}{8}\right| = \frac{1}{8} \)
\( \left|\frac{-3}{24} + \frac{1}{4}\right| = \left|\frac{-3+6}{24}\right| = \left|\frac{3}{24}\right| = \frac{1}{8} \)
अतः \( \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \)
(iii) \( \left|-\frac{12}{25}\right| \square \left|-\frac{12}{25} \times \left(\frac{-1}{5}\right)\right| \)
\( \left|-\frac{12}{25}\right| = \frac{12}{25} \)
\( \left|-\frac{12}{25} \times \left(\frac{-1}{5}\right)\right| = \left|\frac{12}{125}\right| = \frac{12}{125} \)
अतः \( \frac{12}{25} > \frac{12}{125} \)
(iv) \( \left|\frac{3}{8} + \frac{1}{12}\right| \square \left|\frac{3}{8} + \frac{1}{12}\right| \)
\( \left|\frac{3}{8} + \frac{1}{12}\right| = \left|\frac{9+2}{24}\right| = \left|\frac{11}{24}\right| = \frac{11}{24} \)
\( \left|\frac{3}{8} + \frac{1}{12}\right| = \left|\frac{9+2}{24}\right| = \left|\frac{11}{24}\right| = \frac{11}{24} \)
अतः \( \frac{11}{24} = \frac{11}{24} \)
In simple words: For each comparison, evaluate the expressions on both sides of the square, taking absolute values and simplifying fractions. Then, compare the resulting numerical values to determine if one is greater than, less than, or equal to the other.

🎯 Exam Tip: Always convert fractions to a common denominator to compare them accurately. Remember that absolute values make numbers positive, which can impact comparisons.

Question 8. यदि \(x= \text{[latex]}\frac { 5 }{ 9 } [/latex]\), \(y= \text{[latex]}\frac { 2 }{ 3 } [/latex]\) तो दिखाइए कि :

Answer:
(i) \( |x+y| = |x|+|y| \)
L.H.S. \( = |x+y| = \left|\frac{5}{9} + \frac{2}{3}\right| = \left|\frac{5+6}{9}\right| = \left|\frac{11}{9}\right| = \frac{11}{9} \)
R.H.S. \( = |x|+|y| = \left|\frac{5}{9}\right| + \left|\frac{2}{3}\right| = \frac{5}{9} + \frac{2}{3} = \frac{5+6}{9} = \frac{11}{9} \)
अतः \( |x+y| = |x|+|y| \)
(ii) \( |x \times y| = |x| \times |y| \)
L.H.S. \( = |x \times y| = \left|\frac{5}{9} \times \frac{2}{3}\right| = \left|\frac{10}{27}\right| = \frac{10}{27} \)
R.H.S. \( = |x| \times |y| = \left|\frac{5}{9}\right| \times \left|\frac{2}{3}\right| = \frac{5}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{27} \)
अतः \( |x \times y| = |x| \times |y| \)
In simple words: This problem demonstrates the triangle inequality for absolute values for addition, which states \(|x+y| \le |x|+|y|\), and the property for multiplication, \(|xy| = |x||y|\). In this specific case, for positive fractions, \(|x+y| = |x|+|y|\) holds true.

🎯 Exam Tip: For absolute values, \(|x+y| \le |x|+|y|\) is always true. For multiplication, \(|xy| = |x||y|\) is always true. Calculate both sides of the equation separately to verify the identity.

Question 9. यदि \(x= \text{[latex]}\frac { 15 }{ 13 } [/latex]\), \(y=\text{[latex]}\frac { -2 }{ 11 } [/latex]\) तो दिखाइए कि :

Answer:
(i) \( |x+y| \le |x|+|y| \)
L.H.S. \( = |x+y| = \left|\frac{15}{13} + \frac{-2}{11}\right| = \left|\frac{165-26}{143}\right| = \left|\frac{139}{143}\right| = \frac{139}{143} \)
R.H.S. \( = |x|+|y| = \left|\frac{15}{13}\right| + \left|\frac{-2}{11}\right| = \frac{15}{13} + \frac{2}{11} = \frac{165+26}{143} = \frac{191}{143} \)
अतः L.H.S. \( \le \) R.H.S. (\( \frac{139}{143} \le \frac{191}{143} \))
(ii) \( |x \times y| = |x| \times |y| \)
L.H.S. \( = |x \times y| = \left|\frac{15}{13} \times \frac{-2}{11}\right| = \left|\frac{-30}{143}\right| = \frac{30}{143} \)
R.H.S. \( = |x| \times |y| = \left|\frac{15}{13}\right| \times \left|\frac{-2}{11}\right| = \frac{15}{13} \times \frac{2}{11} = \frac{30}{143} \)
अतः L.H.S. \( = \) R.H.S.
In simple words: This problem verifies the triangle inequality for addition (\(|x+y| \le |x|+|y|\)) and the equality for multiplication (\(|xy| = |x||y|\)) using given rational numbers.

🎯 Exam Tip: Always find a common denominator for addition/subtraction. Remember that the absolute value of a sum is less than or equal to the sum of absolute values, while for multiplication, it's always equal.

Question 10. ऐसी दो परिमेय संख्याओं को ज्ञात कीजिए जिनका निरपेक्ष मान [latex]\frac {1}{2 } [/latex] है।

Answer:
माना परिमेय संख्या \(x\) है।
प्रश्नानुसार, \( |x| = \frac{1}{2} \)
तो, \( x = \frac{1}{2} \) या \( x = -\frac{1}{2} \)
अतः वे दो परिमेय संख्याएँ \( \frac{1}{2} \) और \( -\frac{1}{2} \) हैं।
In simple words: The numbers whose absolute value is \(1/2\) are \(1/2\) itself and its negative, \(-1/2\), because both are \(1/2\) unit away from zero on the number line.

🎯 Exam Tip: When \(|x| = a\), then \(x = a\) or \(x = -a\). Always provide both positive and negative solutions for such questions.

अभ्यास 1 (i)

Question 1. -1 और -3 के ठीक बीच की परिमेय संख्या है :

Answer:
-1 और -3 के ठीक बीच की परिमेय संख्या \( = \frac{-1 + (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
In simple words: To find the rational number exactly in the middle of two numbers, calculate their average by adding them and dividing by two.

🎯 Exam Tip: The midpoint of two numbers \(a\) and \(b\) is \((a+b)/2\). Be careful with signs when adding negative numbers.

Question 2. -3 और 4 के ठीक बीच स्थित परिमेय संख्या है :

Answer:
-3 और 4 के ठीक बीच की परिमेय संख्या \( = \frac{-3+4}{2} = \frac{1}{2} \)
In simple words: Add the two numbers, -3 and 4, then divide the sum by 2 to find the exact midpoint.

🎯 Exam Tip: When finding the average of a negative and a positive number, subtract their absolute values and keep the sign of the larger number, then divide by two.

Question 3. -1 और 1 के बीच की परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer:
-1 और 1 के ठीक बीच की परिमेय संख्या \( = \frac{-1+1}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)
In simple words: The number exactly halfway between -1 and 1 on the number line is 0.

🎯 Exam Tip: The midpoint of any two opposite numbers is always zero. Summing two opposite numbers results in zero.

Question 4. [latex]\frac { 1 }{ 3 } [/latex] और [latex]\frac { 1 }{ 2 } [/latex] के बीच की परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।

Answer:
\( \frac{1}{3} \) और \( \frac{1}{2} \) के ठीक मध्य की परिमेय संख्या \( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{2+3}{6}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12} \)
In simple words: Add the two fractions together, finding a common denominator, then multiply the sum by \(1/2\) to find the number exactly in the middle.

🎯 Exam Tip: To find a rational number between two given rational numbers \(a\) and \(b\), use the formula \((a+b)/2\). Always find the LCM for adding fractions.

Question 5. [latex]\frac { -7 }{ 8 } [/latex] और [latex]\frac { 7 }{ 8 } [/latex] के ठीक बीच की परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए ।

Answer:
\( \frac{-7}{8} \) और \( \frac{7}{8} \) के ठीक मध्य की परिमेय संख्या \( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{-7}{8} + \frac{7}{8}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times 0 = 0 \)
In simple words: Since the two numbers are opposites of each other, their sum is zero, and therefore the number exactly between them is zero.

🎯 Exam Tip: The midpoint of any two additive inverses (numbers that sum to zero) is always zero.

Question 6. [latex]-\frac { 3 }{ 5 } [/latex] और [latex]\frac {8}{ 3 } [/latex] के ठीक बीच की परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए ।

Answer:
\( -\frac{3}{5} \) और \( \frac{8}{3} \) के ठीक मध्य की परिमेय संख्या \( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{-3}{5} + \frac{8}{3}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{-9+40}{15}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{31}{15} = \frac{31}{30} \)
In simple words: Add the two fractions by finding a common denominator, then multiply their sum by \(1/2\) to locate the exact middle rational number.

🎯 Exam Tip: The least common multiple (LCM) of the denominators (5 and 3) is 15. Convert both fractions to have this common denominator before adding.

Question 7. [latex]-\frac {5}{ 4 } [/latex] और [latex]-\frac {1}{6} [/latex] के ठीक बीच की परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए ।

Answer:
\( -\frac{5}{4} \) और \( -\frac{1}{6} \) के ठीक मध्य की परिमेय संख्या \( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{-5}{4} + \frac{-1}{6}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{-15-2}{12}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{-17}{12}\right) = \frac{-17}{24} \)
In simple words: Add the two negative fractions by finding a common denominator, then multiply their sum by \(1/2\) to find the rational number exactly in the middle.

🎯 Exam Tip: The LCM of 4 and 6 is 12. Ensure proper handling of negative signs during addition and multiplication.

Question 8. [latex]1\frac { 3 }{ 4 } [/latex] और [latex]4\frac { 3 }{8} [/latex] के ठीक बीच की परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए ।

Answer:
\( 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} \)
\( 4\frac{3}{8} = \frac{35}{8} \)
\( 1\frac{3}{4} \) और \( 4\frac{3}{8} \) के ठीक मध्य की परिमेय संख्या \( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{7}{4} + \frac{35}{8}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{14+35}{8}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{49}{8} = \frac{49}{16} \)
In simple words: Convert the mixed numbers to improper fractions. Then, add these improper fractions and multiply their sum by \(1/2\) to find the rational number exactly in the middle.

🎯 Exam Tip: Always convert mixed numbers to improper fractions before performing operations. Ensure a common denominator is used for addition.

Question 9. [latex]-1\frac { 2 }{ 7 } [/latex] और [latex]\frac { 9 }{ 2 } [/latex] के ठीक बीच की परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए ।

Answer:
\( -1\frac{2}{7} = -\frac{9}{7} \)
\( -1\frac{2}{7} \) और \( \frac{9}{2} \) के ठीक मध्य की परिमेय संख्या \( = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{9}{7} + \frac{9}{2}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times \left(\frac{-18+63}{14}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{45}{14} = \frac{45}{28} \)
In simple words: Convert the mixed number to an improper fraction. Add the two fractions, finding a common denominator, then multiply their sum by \(1/2\) to find the midpoint.

🎯 Exam Tip: Converting mixed numbers to improper fractions is crucial for accurate calculations. The LCM of 7 and 2 is 14.

Question 10. [latex]\frac { 1 }{ 2 } \left(\frac { -2 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 4 } \right) [/latex] को परिमेय संख्या [latex]\frac { p }{ q } [/latex] के रूप में व्यक्त कीजिए और दिखाइए कि यह परिमेय संख्या [latex]\frac { -2 }{ 3 } [/latex] और [latex]\frac { 1 }{ 4 } [/latex] के बीच स्थित है।

Answer:
\( \frac{1}{2} \left(\frac{-2}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{-8+3}{12}\right) \)
\( = \frac{1}{2} \left(\frac{-5}{12}\right) = \frac{-5}{24} \) जो कि परिमेय संख्या है।
अब \( \frac{-2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{-5}{24} \) को आरोही क्रम में रखते हैं।
3, 4, 24 का ल०स० = 24
\( \frac{-2}{3} = \frac{-2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{-16}{24} \)
\( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 6}{4 \times 6} = \frac{6}{24} \)
\( \frac{-5}{24} = \frac{-5 \times 1}{24 \times 1} = \frac{-5}{24} \)
\( \implies \frac{-16}{24} < \frac{-5}{24} < \frac{6}{24} \)
अतः \( \frac{-2}{3} < \frac{-5}{24} < \frac{1}{4} \)
अतः \( \frac{-5}{24} \) परिमेय संख्याओं \( \frac{-2}{3} \) और \( \frac{1}{4} \) के बीच स्थित है।
In simple words: First, simplify the given expression to a single rational number. Then, convert all three fractions to a common denominator and arrange them in ascending order to show that the calculated number lies between the other two.

🎯 Exam Tip: Always find the least common multiple (LCM) to compare or arrange fractions. The expression \( \frac{1}{2}(a+b) \) always represents a number exactly between \(a\) and \(b\).

अभ्यास 1 (j)

Question 1. निम्नांकित परिमेय संख्याओं को दशमलव रूप में व्यक्त कीजिए :
[latex]\frac { 11 }{ 3 } [/latex], [latex]\frac { 17 }{ 5 } [/latex], [latex]\frac { 19 }{ 6 } [/latex], [latex]\frac { 3 }{ 8 } [/latex]

Answer:
\( \frac{11}{3} \)
\( 3) 11 (3.66... \)
\( \underline{9} \)
\( 20 \)
\( \underline{18} \)
\( 2 \text{ क्रमशः} \)
अतः \( \frac{11}{3} = 3.66...... \approx 3.6 \)

\( \frac{17}{5} \)
\( 5) 17 (3.4 \)
\( \underline{15} \)
\( 20 \)
\( \underline{20} \)
\( \text{x} \)
अतः \( \frac{17}{5} = 3.4 \)

\( \frac{19}{6} \)
\( 6) 19 (3.166... \)
\( \underline{18} \)
\( 10 \)
\( \underline{6} \)
\( 40 \)
\( \underline{36} \)
\( 4 \text{ क्रमशः} \)
अतः \( \frac{19}{6} = 3.166..... \approx 3.16 \)

\( \frac{3}{8} \)
\( 8) 3.0 (0.375 \)
\( \underline{24} \)
\( 60 \)
\( \underline{56} \)
\( 40 \)
\( \underline{40} \)
\( \text{x} \)
अतः \( \frac{3}{8} = 0.375 \)
In simple words: To convert a fraction to a decimal, divide the numerator by the denominator. If the division terminates, it's a terminating decimal; otherwise, it's a repeating decimal, which can be rounded.

🎯 Exam Tip: Use long division carefully. Identify repeating decimals by observing the remainders. For repeating decimals, indicate the repeating part or round to a specified number of decimal places.

Question 2. निम्नांकित संख्याओं को दशमलव रूप में बदलिएः

Answer:
\( \frac{-5}{4} = \frac{-5 \times 25}{4 \times 25} = \frac{-125}{100} = -1.25 \)
\( \frac{-15}{2} = \frac{-15 \times 5}{2 \times 5} = \frac{-75}{10} = -7.5 \)
\( \frac{-16}{5} = \frac{-16 \times 2}{5 \times 2} = \frac{-32}{10} = -3.2 \)
\( \frac{-9}{50} = \frac{-9 \times 2}{50 \times 2} = \frac{-18}{100} = -0.18 \)
अथवा
\( 50) 9.00 (0.18 \)
\( \underline{50} \)
\( 400 \)
\( \underline{400} \)
\( \text{x} \)
अतः \( \frac{-9}{50} = -0.18 \)
In simple words: Convert each fraction to a decimal by either performing division or by finding an equivalent fraction with a denominator that is a power of 10.

🎯 Exam Tip: Multiplying the numerator and denominator by a factor that makes the denominator a power of 10 (like 10, 100, 1000) is often quicker for conversion than long division, especially for denominators that are factors of powers of 10.

Question 3. निम्नांकित परिमेय संख्याओं में से कौन-कौन सी संख्याओं को सांत दशमलव में निरूपित किया जा सकता है?
[latex]\frac { 1 }{ 4 } [/latex],[latex]\frac { 11 }{ 8 } [/latex],[latex]\frac { -27 }{ 4 } [/latex],[latex]\frac { -33 }{ 10 } [/latex],[latex]\frac { 2 }{ 7 } [/latex] ,[latex]\frac { 6 }{ 15 } [/latex]

Answer: सांत दशमलव में व्यक्त होने वाली परिमेय संख्याओं के हरों के अभाज्य गुणनफल केवल 2 या 5 (या दोनों) होते हैं तथा अन्य सभी अभाज्य गुणनखंड वाले असांत आवर्ती दशमलव होते हैं।
\( \frac{1}{4} = \frac{1}{2 \times 2} \) (सांत दशमलव)
\( \frac{11}{8} = \frac{11}{2 \times 2 \times 2} \) (सांत दशमलव)
\( \frac{-27}{4} = \frac{-27}{2 \times 2} \) (सांत दशमलव)
\( \frac{-33}{10} = \frac{-33}{2 \times 5} \) (सांत दशमलव)
\( \frac{2}{7} \) (असांत आवर्ती दशमलव)
\( \frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5} \) (सांत दशमलव)
In simple words: A rational number can be expressed as a terminating (सांत) decimal if and only if the prime factorization of its denominator (in its simplest form) contains only powers of 2 and/or 5. Otherwise, it's a non-terminating repeating (असांत आवर्ती) decimal.

🎯 Exam Tip: To determine if a fraction is a terminating decimal, first simplify the fraction to its lowest terms. Then, examine the prime factors of the denominator. If only 2s and/or 5s are present, it's terminating.

Question 4. [latex]\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 5 } [/latex] के योगफल को यदि दशमलव में बदलें तो यह सांत होगा अथवा असांत?

Answer:
\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15+10+6}{30} = \frac{31}{30} \)
हर \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)
अतः असांत आवर्ती दशमलव है। क्योंकि इसके हर के गुणनखंड 2 तथा 5 के अलावा अन्य भी है।
In simple words: First, add the fractions to get a single fraction. Then, analyze the prime factors of the denominator of the resulting sum. Since the denominator contains a prime factor other than 2 or 5, the decimal representation will be non-terminating and repeating.

🎯 Exam Tip: The presence of any prime factor other than 2 or 5 in the denominator of a simplified fraction guarantees a non-terminating, repeating decimal. Always find the sum of fractions first before determining decimal type.

Question 5. निम्नांकित परिमेय संख्याओं में से किस-किस का सांत दशमलव संख्या में निरूपण नहीं हो सकता?
[latex]\frac { 24 }{ 7 } [/latex],[latex]\frac { 5 }{ 6 } [/latex],[latex]\frac {7}{ 15 } [/latex],[latex]\frac { 3 }{ 7 } [/latex],[latex]5\frac { 3 }{ 4 } [/latex]

Answer:
परिमेय संख्या \( \frac{24}{7} \) का हर 7 में अभाज्य गुणनखंड 7 है। इसलिए यह असांत दशमलव होगी। अतः \( \frac{24}{7} \) को सांत दशमलव में निरूपण नहीं किया जा सकता है।
परिमेय संख्या \( \frac{5}{6} \) के हर में 6 में अभाज्य गुणनखंड 2 व 3 हैं। इसलिए यह असांत दशमलव होगी। अतः \( \frac{5}{6} \) को सांत दशमलव में निरूपण नहीं किया जा सकता है।
परिमेय संख्या \( \frac{7}{15} \) के हर में 15 में अभाज्य गुणनखंड 5 व 3 हैं। इसलिए यह असांत आवर्ती दशमलव होगी। अतः \( \frac{7}{15} \) को सांत दशमलव में निरूपण नहीं किया जा सकता है।
परिमेय संख्या \( \frac{3}{7} \) के हर में अभाज्य गुणनखंड 7 हैं। इसलिए यह असांत दशमलव होगी। अतः \( \frac{3}{7} \) को सांत दशमलव में निरूपण नहीं किया जा सकता है।
परिमेय संख्या \( 5\frac{3}{4} = \frac{23}{4} \) के हर में 4 में अभाज्य गुणनखंड 2 व 2 हैं। इसलिए यह सांत दशमलव होगी। अतः \( 5\frac{3}{4} \) को सांत दशमलव में निरूपण किया जा सकता है।
In simple words: A fraction results in a non-terminating (असांत) decimal if its denominator, in simplest form, contains any prime factors other than 2 or 5. We identify such fractions by examining the prime factors of their denominators.

🎯 Exam Tip: Always simplify the fraction first (e.g., \(6/15 = 2/5\)). Then, check the prime factors of the denominator. Any prime factor other than 2 or 5 makes the decimal non-terminating and repeating.

Question 6. अपनी अभ्यास पुस्तिका में निम्नांकित कथना के सम्मुख सत्य के लिए (✓) और असत्य के लिए (X) के चिह्न लगाइए (लगाकर)

Answer:
(a) \( \frac{1}{25} \) का निरूपण एक सांत दशमलव संख्या में किया जा सकता है। (✓)
(b) \( \frac{1}{9} \) का निरूपण एक सांत दशमलव संख्या में किया जा सकता है। (X)
(c) .6 और .60000000 में कोई अंतर नहीं है। (✓)
(d) \( \frac{1}{3} \) अपने दशमलव संख्या के रूप में असांत आवर्ती नहीं है। (X)
In simple words: Terminating decimals have denominators with only 2 and/or 5 as prime factors. Repeating decimals have other prime factors in their denominator. Adding trailing zeros to a decimal does not change its value. Fractions like \(1/3\) are non-terminating repeating decimals.

🎯 Exam Tip: For terminating/non-terminating decimals, check the prime factors of the denominator (after simplifying the fraction). Infinite trailing zeros do not alter the value of a decimal number.

अभ्यास 1 (k)

Question 1. निम्नांकित दशमलव संख्याओं को परिमेय संख्या है के रूप में व्यक्त कीजिए।
0.35, 0.750, 2.15, 7.010, 10.10, 0.015, 1.05, 2.25

Answer:
\( 0.35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} \)
\( 0.750 = \frac{750}{1000} = \frac{3}{4} \)
\( 2.15 = \frac{215}{100} = \frac{43}{20} \)
\( 7.010 = \frac{7010}{1000} = \frac{701}{100} \)
\( 10.10 = \frac{1010}{100} = \frac{101}{10} \)
\( 0.015 = \frac{15}{1000} = \frac{3}{200} \)
\( 1.05 = \frac{105}{100} = \frac{21}{20} \)
\( 2.25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4} \)
In simple words: To convert a decimal to a rational number, write the decimal as a fraction with a denominator that is a power of 10 (based on the number of decimal places), then simplify the fraction to its lowest terms.

🎯 Exam Tip: The number of decimal places determines the power of 10 in the denominator. For example, two decimal places mean the denominator is 100, three mean 1000, and so on. Always simplify the resulting fraction.

Question 2. निम्नांकित दशमलव संख्याओं भिन्नों को परिमेय संख्या है के रूप में व्यक्त कीजिएः
2.25, 10.5, 8.625, 16.375

Answer: निम्नांकित दशमलव संख्याओं को परिमेय संख्या \( \frac{p}{q} \) के रूप में निरूपित कीजिए
\( 2.25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4} \)
\( 10.5 = \frac{105}{10} = \frac{21}{2} \)
\( 8.625 = \frac{8625}{1000} = \frac{69}{8} \)
\( 16.375 = \frac{16375}{1000} = \frac{131}{8} \)
In simple words: Convert each decimal number into a fraction by placing the digits after the decimal point over a power of 10, then simplify the resulting fraction to its simplest form.

🎯 Exam Tip: The denominator will be \(10^n\), where \(n\) is the number of digits after the decimal point. Always reduce the fraction to its simplest form by dividing the numerator and denominator by their greatest common divisor.

दक्षता अभ्यास -1 (B)

Question 1. यदि \(x=\text{[latex]}-\frac { 3 }{ 5 } [/latex]\), \(y=\text{[latex]}-\frac { 4 }{ 7 } [/latex]\) तो दिखाइए कि –

Answer:
(i) यदि \( x = -\frac{3}{5}, y = -\frac{4}{7} \)
\( |x \times y| = |x| \times |y| \)
बायाँ पक्ष \( = |x \times y| = \left|\left(-\frac{3}{5}\right) \times \left(-\frac{4}{7}\right)\right| = \left|\frac{12}{35}\right| = \frac{12}{35} \)
दायाँ पक्ष \( = |x| \times |y| = \left|-\frac{3}{5}\right| \times \left|-\frac{4}{7}\right| = \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{12}{35} \)
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष इति सिद्धम्
(ii) यदि \( x = -\frac{3}{5}, y = -\frac{4}{7} \)
\( |x+y| = |x|+|y| \)
बायाँ पक्ष \( = |x+y| = \left|\left(-\frac{3}{5}\right) + \left(-\frac{4}{7}\right)\right| = \left|\frac{-21-20}{35}\right| = \left|\frac{-41}{35}\right| = \frac{41}{35} \)
दायाँ पक्ष \( = |x|+|y| = \left|-\frac{3}{5}\right| + \left|-\frac{4}{7}\right| = \frac{3}{5} + \frac{4}{7} = \frac{21+20}{35} = \frac{41}{35} \)
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष इति सिद्धम्
In simple words: This demonstrates properties of absolute values for multiplication and addition. For multiplication, the absolute value of the product is equal to the product of the absolute values. For addition, in this specific case with two negative numbers, the absolute value of their sum is equal to the sum of their absolute values.

🎯 Exam Tip: Always evaluate both sides of the equation separately. Remember that for multiplication, \(|ab|=|a||b|\) always holds. For addition, \(|a+b|=|a|+|b|\) only holds if \(a\) and \(b\) have the same sign or one is zero.

Question 2. उन सभी परिमेय संख्याओं को ज्ञात कीजिए जिनका निरपेक्ष मान ई है।

Answer:
परिमेय संख्या \( \frac{5}{6} \) और \( -\frac{5}{6} \) का निरपेक्ष मान \( \frac{5}{6} \) है।
In simple words: The rational numbers whose absolute value is \(5/6\) are \(5/6\) and \(-5/6\), as they both are \(5/6\) units away from zero.

🎯 Exam Tip: If \(|x|=a\), then \(x=\pm a\). Always consider both positive and negative values when finding numbers with a specific absolute value.

Question 3. उस परिमेय संख्या को ज्ञात कीजिए जिनका निरपेक्ष मान शून्य है।

Answer:
0 का निरपेक्ष मान शून्य है।
In simple words: The only number whose absolute value is zero is zero itself.

🎯 Exam Tip: Zero is unique in having an absolute value of zero. No other positive or negative number has this property.

Question 4. निम्नांकित में से कौन-कौन सी. ऐसी परिमेय संख्याएँ हैं, जिन्हें सांत दशमलव में व्यक्त किया जा सकता है?

Answer:
\( \frac{11}{8} = \frac{11}{2 \times 2 \times 2} \) - सांत
\( \frac{43}{45} = \frac{43}{3 \times 3 \times 5} \) - असांत
\( \frac{-33}{80} = \frac{-33}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5} \) - सांत
\( \frac{183}{24} = \frac{61}{8} = \frac{61}{2 \times 2 \times 2} \) - सांत
\( \frac{24}{7} \) - असांत
\( \frac{5}{6} = \frac{5}{2 \times 3} \) - असांत
In simple words: A rational number can be represented as a terminating decimal if and only if the prime factorization of its denominator (in simplest form) contains only the primes 2 and/or 5. Otherwise, it's a non-terminating repeating decimal.

🎯 Exam Tip: First simplify any fraction before checking its denominator's prime factors. If a prime factor other than 2 or 5 appears in the simplified denominator, the decimal representation will be non-terminating.

Question 5. निम्नांकित किन-किन परिमेय संख्याओं को असांत आवर्ती दशमलव मैं निरूपित किया जा सकता है

Answer:
(i) \( \frac{5}{7} \) - असांत (हर 7 में 7 का गुणनखंड है)
(ii) \( \frac{4}{15} = \frac{4}{3 \times 5} \) - असांत (हर 15 में 3 का गुणनखंड है)
(iii) \( \frac{2}{9} = \frac{2}{3 \times 3} \) - असांत (हर 9 में 3 का गुणनखंड है)
(iv) \( \frac{17}{30} = \frac{17}{2 \times 3 \times 5} \) - असांत (हर 30 में 3 का गुणनखंड है)
(v) \( \frac{-5}{28} = \frac{-5}{2 \times 2 \times 7} \) - असांत (हर 28 में 7 का गुणनखंड है)
(vi) \( \frac{-413}{605} = \frac{-413}{5 \times 11 \times 11} \) - असांत (हर 605 में 11 का गुणनखंड है)
In simple words: Rational numbers that result in non-terminating, repeating decimals have denominators (in their simplest form) containing prime factors other than 2 or 5. We identify these by checking the prime factorization of each denominator.

🎯 Exam Tip: Always simplify the fraction to its lowest terms before examining the prime factors of the denominator. The presence of any prime factor (other than 2 or 5) guarantees a non-terminating, repeating decimal.

Question 6. निम्नांकित परिमेय संख्याओं को सांत या असांत दशमलव संख्या में व्यक्त कीजिए –

Answer:
\( \frac{9}{-40} = \frac{-9}{40} = \frac{-9}{2 \times 2 \times 2 \times 5} = -0.225 \) - सांत
\( \frac{5}{-9} = \frac{-5}{9} = \frac{-5}{3 \times 3} \approx -0.555... \) - असांत
\( \frac{35}{16} = \frac{35}{2 \times 2 \times 2 \times 2} = 2.1875 \) - सांत
\( \frac{-26}{11} \approx -2.3636... \) - असांत
\( \frac{-88}{7} \approx -12.571428... \) - असांत
In simple words: To classify a decimal as terminating (सांत) or non-terminating (असांत), first express the rational number in its simplest form. Then, examine the prime factors of its denominator. If only 2 and/or 5 are present, it's terminating; otherwise, it's non-terminating (repeating).

🎯 Exam Tip: Always reduce the fraction to its simplest form before analyzing the denominator. If the denominator has prime factors other than 2 or 5, the decimal will be non-terminating and repeating.

Question 7. निम्नांकित परिमेय संख्याओं को भिन्न में बदलिए –
(i) 0.015 (ii) 0.84 (ii) 12.625

Answer:
(i) \( 0.015 = \frac{15}{1000} = \frac{3}{200} \)
(ii) \( 0.84 = \frac{84}{100} = \frac{21}{25} \)
(iii) \( 12.625 = \frac{12625}{1000} = \frac{101}{8} \)
In simple words: To convert a decimal to a fraction, write the decimal number without the point as the numerator and a power of 10 (10, 100, 1000, etc., corresponding to the number of decimal places) as the denominator. Then, simplify the fraction.

🎯 Exam Tip: Count the number of digits after the decimal point to determine the correct power of 10 for the denominator. Always simplify the resulting fraction to its lowest terms.