UP Board Solutions Class 8 Maths Chapter 11 Vanijya Ganit

UP Board Class 8 Math Chapter 11 वाणिज्य गणित

Exercise 11(A)

Question 1. किसी थन् का 2 वर्ष में चक्रवृद्धि ब्याज से मिश्रधन 2400.00 Rs. तथा वर्ष 3 में मिश्रधन 2520.00 Rs. हो जाता है तो वार्षिक ब्याज दर होगी।
(a) 6%
(b) 5%
(c) 7.5%
(d) 10%
Answer: उत्तर
\( A = 2520 \), \( p = 2400 \)
\( n = 3-2 = 1 \) वर्ष, \( r = ? \)
\[ A = p \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \] \[ 2520 = 2400 \left(1 + \frac{r}{100}\right)^1 \] \[ 2520 = 2400 + 2400 \times \frac{r}{100} \] \[ 2520 - 2400 = 24r \] \[ 120 = 24r \] \[ r = \frac{120}{24} = 5 \] अतः वार्षिक ब्याज दर = 5% (b)
In simple words: ब्याज दर निकालने के लिए, तीसरे और दूसरे वर्ष के मिश्रधन के अंतर को दूसरे वर्ष के मिश्रधन से विभाजित करके, प्रतिवर्ष की दर ज्ञात की गई है, जो 5% है।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज की दर निकालने के लिए क्रमिक वर्षों के मिश्रधन का अंतर महत्वपूर्ण है।

Question 2. यदि ब्याज तिमाही संयोजित किया जाए तो 8% वार्षिक ब्याज दर के रूपांतरण का सही विकल्प होगा ।
(i) 5%
(ii) 4%
(iii) 2%
(iv) 1%
Answer: उत्तर
तिमाही संयोजित करने पर वार्षिक दर को 4 से भाग दिया जाता है।
रूपांतरण दर \( = \frac{8\%}{4} = 2\% \)
Answer: (iii) 2%
In simple words: जब ब्याज तिमाही संयोजित होता है, तो वार्षिक ब्याज दर को 4 से भाग देकर तिमाही दर निकाली जाती है, जिससे 8% वार्षिक दर 2% तिमाही हो जाती है।

🎯 Exam Tip: ब्याज संयोजित होने की आवृत्ति के अनुसार वार्षिक दर को समायोजित करना सुनिश्चित करें।

Question 3. नीचे 2 समूह A और B दिए गए है। A समूह में प्रश्न और B समूह में प्रश्नों के उत्तर क्रम बदलकर दिए गए हैं। सही क्रम को चुनाव करके लिखिए : (सही क्रम में लिखकर) –
Answer: उत्तर
"प्रथम समूह A"
(a) एक वर्ष में तिमाही की संख्या
(b) 10% छमाही ब्याज दर का तिमाही ब्याज दर में रूपांतरण
(c) 3 वर्ष में होने वाले छमाही रूपान्तरण की संख्या
(d) \( \frac{1}{2} \) वर्ष के लिए ब्याज दर यदि 5% वार्षिक हो

"द्वितीय समूह B"
(P) \( 2\frac{1}{2}\% \)
(M) 5%
(N) 6
(O) 4

सही क्रम:
(a) एक वर्ष में तिमाही की संख्या - (O) 4
(b) 10% छमाही ब्याज दर का तिमाही ब्याज दर में रूपांतरण - (P) \( 2\frac{1}{2}\% \)
(c) 3 वर्ष में होने वाले छमाही रूपान्तरण की संख्या - (N) 6
(d) \( \frac{1}{2} \) वर्ष के लिए ब्याज दर यदि 5% वार्षिक हो - (M) 5%
In simple words: इस प्रश्न में, दो समूहों 'A' और 'B' में दिए गए प्रश्नों और उनके उत्तरों को सही ढंग से मिलाना था, जिसमें तिमाही संख्या, ब्याज दर रूपांतरण और छमाही संयोजन की संख्या शामिल थी।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करते समय ब्याज अवधि के अनुसार दर और समय का सही रूपांतरण महत्वपूर्ण है।

Question 4. 100 Rs. का 10% वार्षिक की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer: उत्तर
मूलधन (P) = 100 Rs.
दर (r) = 10%
समय (n) = 2 वर्ष
चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) \( = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \)
\( = 100\left(1+\frac{10}{100}\right)^2 \)
\( = 100 \times \frac{110}{100} \times \frac{110}{100} = 121 \) Rs.
चक्रवृद्धि ब्याज = चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) – मूलधन (P)
\( = 121 - 100 = 21 \) Rs.
In simple words: 100 Rs. पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज 21 Rs. होगा, क्योंकि मिश्रधन 121 Rs. हो जाता है।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में मूलधन, दर और समय की सही पहचान करके सूत्र का उपयोग करें।

Question 5. 500 Rs. का 15% वार्षिक ब्याज की दर से एक वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज में क्या अन्तर होगा?
Answer: उत्तर
मूलधन (P) = 500 Rs.
दर (r) = 15% वार्षिक
समय (n) = 1 वर्ष

**साधारण ब्याज की गणना:**
साधारण ब्याज \( = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{500 \times 15 \times 1}{100} \)
\( = 75 \) Rs.

**चक्रवृद्धि ब्याज की गणना:**
मिश्रधन (A) \( = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \)
\( = 500\left(1+\frac{15}{100}\right)^1 \)
\( = 500\left(\frac{115}{100}\right) \)
\( = 5 \times 115 = 575 \) Rs.
चक्रवृद्धि ब्याज \( = A - P \)
\( = 575 - 500 = 75 \) Rs.

अन्तर = चक्रवृद्धि ब्याज - साधारण ब्याज
\( = 75 - 75 = 0 \) Rs.
अतः पहले वर्ष के लिए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज में कोई अंतर नहीं होगा।
*(Note: The provided solution in the OCR is incorrect for Question 5. It uses P=2000, r=10% half-yearly, and n=1.5 years = 3 half-years, which is not matching the question. I am providing the correct solution based on the question text.)*
In simple words: 500 Rs. पर 15% वार्षिक दर से 1 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच कोई अंतर नहीं होगा, क्योंकि पहले वर्ष में दोनों प्रकार के ब्याज बराबर होते हैं।

🎯 Exam Tip: पहले वर्ष के लिए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज हमेशा बराबर होते हैं, इसलिए उनका अंतर शून्य होता है।

Question 6. कोई धन 12% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 1 वर्ष के लिए दिया जाता है यदि व्याज प्रति तिमाही देय हो तो प्रति तिमाही ब्याज की दर बताइए।
Answer: उत्तर
वार्षिक ब्याज दर = 12%
यदि ब्याज प्रति तिमाही देय हो, तो एक वर्ष में 4 तिमाही होती हैं।
प्रति तिमाही ब्याज की दर \( = \frac{\text{वार्षिक ब्याज दर}}{\text{तिमाही की संख्या}} \)
\( = \frac{12\%}{4} \)
\( = 3\% \)
In simple words: जब ब्याज तिमाही देय होता है, तो वार्षिक ब्याज दर (12%) को 4 से विभाजित करके प्रति तिमाही ब्याज दर 3% प्राप्त होती है।

🎯 Exam Tip: ब्याज संयोजित होने की आवृत्ति के अनुसार वार्षिक दर को समायोजित करना सुनिश्चित करें; तिमाही के लिए 4 से भाग दें।

Question 7. 2000 Rs. का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 1\( \frac{1}{2} \) वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, यदि ब्याज प्रति छमाही संयोजित किया जाए ।
Answer: उत्तर
मूलधन (P) = 2000 Rs.
दर (r) = 10% वार्षिक
चूंकि ब्याज प्रति छमाही संयोजित किया जाता है, इसलिए वार्षिक दर को आधा किया जाएगा और समय को दोगुना किया जाएगा।
छमाही ब्याज दर \( = \frac{10\%}{2} = 5\% \)
समय (n) \( = 1\frac{1}{2} \) वर्ष \( = 1.5 \times 2 = 3 \) छमाही
चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) \( = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \)
\( = 2000\left(1+\frac{5}{100}\right)^3 \)
\( = 2000\left(\frac{105}{100}\right)^3 \)
\( = 2000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \)
\( = 2 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times 1000 \)
\( = 2 \times \frac{9261}{8000} \times 1000 \)
\( = \frac{9261}{4} \)
\( = 2315.25 \) Rs.
चक्रवृद्धि ब्याज = चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) - मूलधन (P)
\( = 2315.25 - 2000 = 315.25 \) Rs.
अतः ब्याज 315.25 Rs. होगा।
In simple words: 2000 Rs. पर 10% वार्षिक दर से डेढ़ वर्ष के लिए, जब ब्याज छमाही संयोजित होता है, तो चक्रवृद्धि ब्याज 315.25 Rs. होगा।

🎯 Exam Tip: छमाही संयोजन में दर को आधा और समय को दोगुना करना न भूलें; यह एक सामान्य त्रुटि है।

Question 8. 12\( \frac{1}{2} \) % वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से कितने वर्ष में 640 Rs. का मिश्रधन 810 Rs. हो जाएगा।
Answer: उत्तर
मूलधन (P) = 640 Rs.
मिश्रधन (A) = 810 Rs.
दर (r) = 12\( \frac{1}{2} \)% \( = \frac{25}{2} \)% वार्षिक
\[ A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \] \[ 810 = 640\left(1+\frac{25/2}{100}\right)^n \] \[ 810 = 640\left(1+\frac{25}{200}\right)^n \] \[ 810 = 640\left(1+\frac{1}{8}\right)^n \] \[ 810 = 640\left(\frac{9}{8}\right)^n \]
\( \implies \frac{810}{640} = \left(\frac{9}{8}\right)^n \)
\( \implies \frac{81}{64} = \left(\frac{9}{8}\right)^n \)
\( \implies \left(\frac{9}{8}\right)^2 = \left(\frac{9}{8}\right)^n \)

\( \implies n = 2 \) वर्ष
अतः 2 वर्ष में 640 Rs. का मिश्रधन 810 Rs. हो जाएगा।
In simple words: 640 Rs. 12.5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 साल में 810 Rs. हो जाएंगे।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दोनों पक्षों को एक ही आधार पर घात के रूप में व्यक्त करना समय (n) ज्ञात करने का एक प्रभावी तरीका है।

Question 9. 5120 Rs. का 12.5% वार्षिक ब्याज की दर से \( \frac{1}{2} \) वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जबकि ब्याज प्रति तिमाही देय है।
Answer: उत्तर
मूलधन = 5120 Rs.
दर = 12.5% वार्षिक
चूंकि ब्याज प्रति तिमाही देय है, इसलिए दर को 4 से भाग देंगे और समय को 4 से गुणा करेंगे।
तिमाही दर \( = \frac{12.5\%}{4} = 3.125\% \)
समय \( = \frac{1}{2} \) वर्ष \( = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \) तिमाही
\[ A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \] \[ A = 5120\left(1+\frac{3.125}{100}\right)^2 \] \[ A = 5120\left(\frac{103.125}{100}\right)^2 \] \[ A = 5120 \times \frac{103.125}{100} \times \frac{103.125}{100} \] \[ A = 5120 \times 1.03125 \times 1.03125 \] \[ A = 5445 \] Rs.
चक्रवृद्धि ब्याज \( = A - P \)
\( = 5445 - 5120 = 325 \) Rs.
अतः 5120 Rs. का चक्रवृद्धि ब्याज 325 Rs. होगा।
In simple words: 5120 Rs. पर 12.5% वार्षिक दर से आधे वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज 325 Rs. होगा, जब ब्याज तिमाही संयोजित किया जाता है।

🎯 Exam Tip: तिमाही संयोजन में दर को 4 से भाग देना और समय को 4 से गुणा करना याद रखें।

Question 10. किस ब्याज की दर से 4000 Rs. पर 9 माह में 630.50 Rs. चक्रवृद्धि ब्याज प्राप्त होगा यदि ब्याज प्रति तिमाही संयोजित होता है?
Answer: उत्तर
मूलधन (P) = 4000 Rs.
चक्रवृद्धि ब्याज = 630.50 Rs.
मिश्रधन (A) = मूलधन + चक्रवृद्धि ब्याज \( = 4000 + 630.50 = 4630.50 \) Rs.
समय (n) = 9 माह = 3 तिमाही (क्योंकि ब्याज प्रति तिमाही संयोजित होता है, तो 9/3 = 3 तिमाही)
दर (r) = ?
\[ A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \] \[ 4630.50 = 4000\left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \]
\( \implies \frac{4630.50}{4000} = \left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \)
\( \implies \frac{463050}{400000} = \left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \)
\( \implies \frac{9261}{8000} = \left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \)
\( \implies \left(\frac{21}{20}\right)^3 = \left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \)

\( \implies \frac{21}{20} = 1+\frac{r}{100} \)
\( \implies \frac{r}{100} = \frac{21}{20} - 1 \)
\( \implies \frac{r}{100} = \frac{21-20}{20} \)
\( \implies \frac{r}{100} = \frac{1}{20} \)
\( \implies r = \frac{100}{20} = 5\% \) (तिमाही दर)
वार्षिक ब्याज दर \( = \) तिमाही दर \( \times 4 \)
\( = 5\% \times 4 = 20\% \) वार्षिक
In simple words: 4000 Rs. पर 9 माह में 630.50 Rs. चक्रवृद्धि ब्याज प्राप्त करने के लिए, जब ब्याज तिमाही संयोजित होता है, तो वार्षिक ब्याज दर 20% होनी चाहिए।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि ब्याज की दर ज्ञात करते समय, मिश्रधन सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करके r के लिए हल करें, और तिमाही दर को वार्षिक दर में बदलने के लिए 4 से गुणा करना न भूलें।

Question 11. कितने समय में 10% वार्षिक ब्याज दर से 12000 Rs. पर 1230 Rs. चक्रवृद्धि ब्याज मिलेगा यदि ब्याज प्रति छमाही संयोजित होता है?
Answer: उत्तर
मूलधन (P) = 12000 Rs.
चक्रवृद्धि ब्याज = 1230 Rs.
मिश्रधन (A) = मूलधन + चक्रवृद्धि ब्याज \( = 12000 + 1230 = 13230 \) Rs.
वार्षिक ब्याज दर = 10%
चूंकि ब्याज प्रति छमाही संयोजित होता है, इसलिए छमाही दर और समय को ज्ञात करेंगे।
छमाही ब्याज दर \( = \frac{10\%}{2} = 5\% \)
\[ A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \] \[ 13230 = 12000\left(1+\frac{5}{100}\right)^n \]
\( \implies \frac{13230}{12000} = \left(\frac{105}{100}\right)^n \)
\( \implies \frac{1323}{1200} = \left(\frac{21}{20}\right)^n \)
\( \implies \frac{441}{400} = \left(\frac{21}{20}\right)^n \)
\( \implies \left(\frac{21}{20}\right)^2 = \left(\frac{21}{20}\right)^n \)

\( \implies n = 2 \) छमाही
क्योंकि \( n \) छमाही में है, तो इसे वर्ष में बदलने के लिए 2 से भाग देंगे।
समय \( = \frac{2}{2} = 1 \) वर्ष
अतः 1 वर्ष में 12000 Rs. का चक्रवृद्धि ब्याज 1230 Rs. होगा।
In simple words: 12000 Rs. पर 10% वार्षिक ब्याज दर से 1230 Rs. चक्रवृद्धि ब्याज प्राप्त करने में 1 वर्ष का समय लगेगा, जब ब्याज छमाही संयोजित होता है।

🎯 Exam Tip: समय (n) की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि यह संयोजन अवधि (जैसे छमाही) के अनुरूप है, और फिर इसे वार्षिक अवधि में बदलें।

Question 12. कोई धन 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष में 8820 Rs. हो जाता है। तो मूलधन ज्ञात कीजिए।
Answer: उत्तर
मूलधन = P Rs.
दर (r) = 5% वार्षिक
समय (n) = 2 वर्ष
मिश्रधन (A) = 8820 Rs.
\[ A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \] \[ 8820 = P\left(1+\frac{5}{100}\right)^2 \] \[ 8820 = P\left(\frac{105}{100}\right)^2 \] \[ 8820 = P\left(\frac{21}{20}\right)^2 \] \[ 8820 = P \times \frac{21 \times 21}{20 \times 20} \] \[ P = \frac{8820 \times 20 \times 20}{21 \times 21} \] \[ P = \frac{8820 \times 400}{441} \] \[ P = 20 \times 400 \] \[ P = 8000 \] Rs.
अतः मूलधन = 8000 Rs.
In simple words: यदि कोई राशि 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर से 2 साल में 8820 Rs. हो जाती है, तो मूलधन 8000 Rs. था।

🎯 Exam Tip: मिश्रधन सूत्र का उपयोग करके अज्ञात मूलधन (P) को ज्ञात करने के लिए गणनाओं में सावधानी बरतें।

Question 13. किसी धन का 20% वार्षिक दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज 200 Rs. हो तो चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।
Answer: उत्तर
माना मूलधन = P Rs.
दर (r) = 20% वार्षिक
समय (n) = 2 वर्ष
साधारण ब्याज = 200 Rs.

साधारण ब्याज \( = \frac{\text{मूलधन} \times \text{दर} \times \text{समय}}{100} \)
\[ 200 = \frac{P \times 20 \times 2}{100} \] \[ 200 = \frac{40P}{100} \] \[ 200 = \frac{2P}{5} \] \[ P = \frac{200 \times 5}{2} \] \[ P = 500 \] Rs.

अब, चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करें:
चक्रवृद्धि ब्याज \( = P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n - 1\right] \)
\( = 500\left[\left(1+\frac{20}{100}\right)^2 - 1\right] \)
\( = 500\left[\left(1+\frac{1}{5}\right)^2 - 1\right] \)
\( = 500\left[\left(\frac{6}{5}\right)^2 - 1\right] \)
\( = 500\left[\frac{36}{25} - 1\right] \)
\( = 500\left[\frac{36-25}{25}\right] \)
\( = 500\left[\frac{11}{25}\right] \)
\( = 20 \times 11 = 220 \) Rs.
अतः चक्रवृद्धि ब्याज = 220 Rs.
In simple words: यदि 20% वार्षिक दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज 200 Rs. है, तो मूलधन 500 Rs. होगा, और इसी मूलधन व दर पर 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज 220 Rs. होगा।

🎯 Exam Tip: साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करके पहले मूलधन ज्ञात करें, फिर चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र में उस मूलधन का उपयोग करें।

Question 14. यदि 2 वर्ष में 8000 को चक्रवृद्धि ब्याज एवं साधारण ब्याज का अन्तर 20 Rs. हो तो ब्याज की दर ज्ञात कीजिए। (चक्रवृद्धि ब्याज वार्षिक देय है ।)
Answer: उत्तर
मूलधन (P) = 8000 Rs.
समय (n) = 2 वर्ष
चक्रवृद्धि ब्याज व साधारण ब्याज का अन्तर = 20 Rs.
दर (r) = ?

साधारण ब्याज \( = \frac{P \times R \times T}{100} \)
\( = \frac{8000 \times r \times 2}{100} \)
\( = 160r \) Rs.

चक्रवृद्धि ब्याज \( = P\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^n - 1\right] \)
\( = 8000\left[\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 - 1\right] \)
\( = 8000\left[1 + \frac{2r}{100} + \frac{r^2}{10000} - 1\right] \)
\( = 8000\left[\frac{2r}{100} + \frac{r^2}{10000}\right] \)
\( = 80 \times 2r + \frac{8000 \times r^2}{10000} \)
\( = 160r + \frac{4}{5}r^2 \) Rs.

प्रश्नानुसार, दोनों ब्याजों में अन्तर = 20 Rs.
चक्रवृद्धि ब्याज - साधारण ब्याज = 20
\[ \left(160r + \frac{4}{5}r^2\right) - 160r = 20 \] \[ \frac{4}{5}r^2 = 20 \] \[ r^2 = \frac{20 \times 5}{4} \] \[ r^2 = 25 \] \[ r = \sqrt{25} \] \[ r = 5\% \] अतः दर = 5% वार्षिक
In simple words: 8000 Rs. पर 2 वर्ष में चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर 20 Rs. है, तो ब्याज की वार्षिक दर 5% होगी।

🎯 Exam Tip: चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज के अंतर वाले प्रश्नों में, सूत्र \( P\left(\frac{r}{100}\right)^2 \) का उपयोग 2 वर्ष के अंतर के लिए सीधे किया जा सकता है।

Question 15. किसी राशि का 5% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज में 160 Rs. का अन्तर है तो राशि ज्ञात कीजिए ।
Answer: उत्तर
माना मूलधन = P Rs.
दर (r) = 5% वार्षिक
समय (n) = 2 वर्ष
साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज का अन्तर = 160 Rs.

2 वर्ष के लिए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर का सूत्र है:
अन्तर \( = P\left(\frac{r}{100}\right)^2 \)
\[ 160 = P\left(\frac{5}{100}\right)^2 \] \[ 160 = P\left(\frac{1}{20}\right)^2 \] \[ 160 = P \times \frac{1}{400} \] \[ P = 160 \times 400 \] \[ P = 64000 \] Rs.
अतः मूलधन = 64,000 Rs.
In simple words: 2 वर्ष के साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज का अंतर 160 Rs. होने पर 5% वार्षिक दर से मूलधन 64,000 Rs. होगा।

🎯 Exam Tip: 2 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर ज्ञात करने का सूत्र \( P\left(\frac{R}{100}\right)^2 \) याद रखें, यह समय बचाता है।

Exercise 11(B)

Question 1. एक नगर की जनसंख्या 31 दिसम्बर 1978 को 100000 थी। यदि जनसंख्या में वृद्धि दर 10% वार्षिक हो, तो 31 दिसम्बर 1981 को उस नगर की जनसंख्या कितनी होगी?
Answer: उत्तर
वर्तमान जनसंख्या (P) = 100000
दर (r) = 10% वार्षिक वृद्धि
समय (n) = 31 दिसम्बर 1978 से 31 दिसम्बर 1981 तक = 3 वर्ष
\[ A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \] \[ A = 100000\left(1+\frac{10}{100}\right)^3 \] \[ A = 100000\left(\frac{110}{100}\right)^3 \] \[ A = 100000 \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \times \frac{11}{10} \] \[ A = 100 \times 1331 \] \[ A = 133100 \] अतः 31 दिसंबर 1981 में नगर की जनसंख्या 133100 हो जाएगी।
In simple words: 1978 में 100000 की जनसंख्या वाला नगर, 10% वार्षिक वृद्धि दर से 3 साल बाद (1981 में) 133100 की जनसंख्या तक पहुंच जाएगा।

🎯 Exam Tip: जनसंख्या वृद्धि के प्रश्नों में, वर्तमान जनसंख्या को मूलधन (P) के रूप में और वृद्धि दर को ब्याज दर (r) के रूप में मानें।

Question 2. एक गाँव की जनसंख्या प्रतिवर्ष 5% बढ़ जाती है। यदि इस समय उस गाँव की जनसंख्या 4410 हो, तो 2 वर्ष पूर्व उस गाँव की जनसंख्या कितनी थी?
Answer: उत्तर
वर्तमान जनसंख्या (A) = 4410
प्रतिवर्ष बढ़ी दर (r) = 5%
समय (n) = 2 वर्ष
माना 2 वर्ष पूर्व गाँव की जनसंख्या = P
\[ A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \] \[ 4410 = P\left(1+\frac{5}{100}\right)^2 \] \[ 4410 = P\left(\frac{105}{100}\right)^2 \] \[ 4410 = P\left(\frac{21}{20}\right)^2 \] \[ 4410 = P \times \frac{21 \times 21}{20 \times 20} \] \[ P = \frac{4410 \times 20 \times 20}{21 \times 21} \] \[ P = \frac{4410 \times 400}{441} \] \[ P = 10 \times 400 \] \[ P = 4000 \] अतः 2 वर्ष पूर्व गाँव की जनसंख्या 4000 थी।
In simple words: 5% वार्षिक वृद्धि दर के साथ, यदि वर्तमान में एक गाँव की जनसंख्या 4410 है, तो 2 वर्ष पहले गाँव की जनसंख्या 4000 थी।

🎯 Exam Tip: पूर्व की जनसंख्या ज्ञात करने के लिए, वर्तमान जनसंख्या को अंतिम मिश्रधन (A) के रूप में मानें और मूलधन (P) के लिए हल करें।

Question 3. किसी क्षेत्र की जनसंख्या में 6\( \frac{2}{3} \)% वृद्धि प्रति वर्ष हो रही है। 3 वर्ष बाद वहाँ की जनसंख्या कितनी होगी यदि वहाँ की वर्तमान जनसंख्या 33750 हैं?
Answer: उत्तर
वर्तमान जनसंख्या (P) = 33750
दर (r) = 6\( \frac{2}{3} \)% \( = \frac{20}{3} \)% वार्षिक
समय (n) = 3 वर्ष
\[ A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \] \[ A = 33750\left(1+\frac{20/3}{100}\right)^3 \] \[ A = 33750\left(1+\frac{20}{300}\right)^3 \] \[ A = 33750\left(1+\frac{1}{15}\right)^3 \] \[ A = 33750\left(\frac{16}{15}\right)^3 \] \[ A = 33750 \times \frac{16 \times 16 \times 16}{15 \times 15 \times 15} \] \[ A = 33750 \times \frac{4096}{3375} \] \[ A = 10 \times 4096 \] \[ A = 40960 \] अतः गाँव की 3 वर्ष बाद जनसंख्या 40960 होंगी।
In simple words: 33750 की वर्तमान जनसंख्या वाला एक क्षेत्र, 6\( \frac{2}{3} \)% वार्षिक वृद्धि दर से 3 साल बाद 40960 की जनसंख्या तक पहुंच जाएगा।

🎯 Exam Tip: मिश्रित भिन्न प्रतिशत दरों को सरल भिन्न में परिवर्तित करना गणना को आसान बनाता है।

Question 4. किसी मशीन के मूल्य में 12% वार्षिक दर से अवमूल्यन होता है। यदि मशीन का वर्तमान मूल्य 29040 Rs. हो, तो 2 वर्ष पूर्व इसका कितना मूल्य था?
Answer: उत्तर
अवमूल्यन दर (r) = 12% वार्षिक
समय (n) = 2 वर्ष
मशीन का वर्तमान मूल्य (A) = 29040 Rs.
माना 2 वर्ष पूर्व मशीन का मूल्य = P
\[ A = P\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \] \[ 29040 = P\left(1-\frac{12}{100}\right)^2 \] \[ 29040 = P\left(\frac{88}{100}\right)^2 \] \[ 29040 = P\left(\frac{22}{25}\right)^2 \] \[ 29040 = P \times \frac{22 \times 22}{25 \times 25} \] \[ P = \frac{29040 \times 25 \times 25}{22 \times 22} \] \[ P = \frac{29040 \times 625}{484} \] \[ P = 60 \times 625 \] \[ P = 37500 \] Rs.
अतः मशीन का 2 वर्ष पूर्व मूल्य 37500 Rs. था।
In simple words: 12% वार्षिक अवमूल्यन दर के साथ, यदि मशीन का वर्तमान मूल्य 29040 Rs. है, तो 2 वर्ष पहले उसका मूल्य 37500 Rs. था।

🎯 Exam Tip: अवमूल्यन के प्रश्नों में, वृद्धि के बजाय दर को 1 में से घटाया जाता है, और गणना में सावधानी बरतें।

Question 5. कितने समय में एक पुराने ट्रैक्टर की कीमत 100,000 Rs. से घटकर 81,000 Rs. रह जाएगी यदि उसकी अवमूल्यन दर 10% वार्षिक है?
Answer: उत्तर
मूलधन (P) = 100000 Rs.
मिश्रधन (A) = 81000 Rs.
अवमूल्यन दर (r) = 10% वार्षिक
समय (n) = ?
\[ A = P\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \] \[ 81000 = 100000\left(1-\frac{10}{100}\right)^n \]
\( \implies \frac{81000}{100000} = \left(\frac{90}{100}\right)^n \)
\( \implies \frac{81}{100} = \left(\frac{9}{10}\right)^n \)
\( \implies \left(\frac{9}{10}\right)^2 = \left(\frac{9}{10}\right)^n \)

\( \implies n = 2 \) वर्ष
अतः 2 वर्ष बाद ट्रैक्टर की कीमत 81000 Rs. रह जाएगी।
In simple words: 10% वार्षिक अवमूल्यन दर से 100,000 Rs. का ट्रैक्टर 2 वर्ष में 81,000 Rs. का हो जाएगा।

🎯 Exam Tip: अवमूल्यन दर के प्रश्नों में, समय (n) ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को एक ही आधार पर घात के रूप में व्यक्त करें।

Question 6. एक प्रकार के जीवाणु 5% प्रति घंटे की दर से बढ़ रहे हैं। यदि प्रातः 9 बजे जीवाणुओं की संख्या 25000000 रही हो तो 12 बजे मध्याहून कितने जीवाणु होंगे?
Answer: उत्तर
जीवाणुओं की संख्या (P) = 25000000
वृद्धि दर (r) = 5% प्रति घंटे
समय (n) = प्रातः 9 बजे से 12 बजे मध्याह्न तक = 3 घंटे
\[ A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \] \[ A = 25000000\left(1+\frac{5}{100}\right)^3 \] \[ A = 25000000\left(\frac{105}{100}\right)^3 \] \[ A = 25000000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \] \[ A = 25000000 \times \frac{9261}{8000} \] \[ A = 25000 \times \frac{9261}{8} \] \[ A = 3125 \times 9261 \] \[ A = 28940625 \] अतः 12 बजे जीवाणुओं की संख्या 28940625 होगी।
In simple words: यदि जीवाणुओं की संख्या 5% प्रति घंटे की दर से बढ़ रही है और प्रातः 9 बजे 25 मिलियन थी, तो 3 घंटे बाद (12 बजे) उनकी संख्या 28,940,625 हो जाएगी।

🎯 Exam Tip: जीवाणु वृद्धि जैसे प्रश्नों में, समय को घंटे के अंतराल में और दर को प्रति घंटे की वृद्धि दर में व्यक्त करें।

Question 7. एक रंगीन टेलीविजन सेट का मूल्य 15625 Rs. है। यदि उसको मूल्य प्रतिवर्ष 8% घटता है। तो 3 वर्ष के बाद उसके मूल्य में कुल कितनी गिरावट आएगी? ।
Answer: उत्तर
टेलीविजन सेट का मूल्य (P) = 15625 Rs.
अवमूल्यन दर (r) = 8% प्रतिवर्ष
समय (n) = 3 वर्ष
3 वर्ष बाद का मूल्य (A) \( = P\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \)
\[ A = 15625\left(1-\frac{8}{100}\right)^3 \] \[ A = 15625\left(\frac{92}{100}\right)^3 \] \[ A = 15625\left(\frac{23}{25}\right)^3 \] \[ A = 15625 \times \frac{23 \times 23 \times 23}{25 \times 25 \times 25} \] \[ A = 15625 \times \frac{12167}{15625} \] \[ A = 12167 \] Rs.
मूल्य में गिरावट = वर्तमान मूल्य - 3 वर्ष बाद का मूल्य
\( = 15625 - 12167 = 3458 \) Rs.
अतः 3 वर्ष बाद टेलीविजन के मूल्य में 3458 Rs. की गिरावट होगी।
In simple words: 15625 Rs. के टेलीविजन सेट का मूल्य 8% वार्षिक दर से घटने पर, 3 साल बाद उसके मूल्य में कुल 3458 Rs. की गिरावट आएगी।

🎯 Exam Tip: किसी वस्तु के मूल्य में गिरावट की गणना करते समय, पहले अवमूल्यन के बाद के मूल्य की गणना करें, फिर उसे प्रारंभिक मूल्य से घटा दें।

Question 8. किसी देश की जनसंख्या इस समय 53 करोड़ है। यदि यह 5% वार्षिक की दर से बढ़े तो ज्ञात कीजिए कि दो वर्ष बाद इसमें कुल कितनी वृद्धि होगी?
Answer: उत्तर
देश की जनसंख्या (P) = 53 करोड़ \( = 530000000 \)
दर (r) = 5% वार्षिक
समय (n) = 2 वर्ष
2 वर्ष बाद जनसंख्या (A) \( = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \)
\[ A = 530000000\left(1+\frac{5}{100}\right)^2 \] \[ A = 530000000\left(\frac{105}{100}\right)^2 \] \[ A = 530000000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \] \[ A = 530000000 \times \frac{441}{400} \] \[ A = 1325000 \times 441 \] \[ A = 584325000 \] 2 वर्ष बाद जनसंख्या में वृद्धि = नई जनसंख्या - वर्तमान जनसंख्या
\( = 584325000 - 530000000 = 54325000 \)
अतः दो वर्ष बाद देश की जनसंख्या में 54325000 वृद्धि होगी।
In simple words: यदि किसी देश की जनसंख्या 53 करोड़ है और 5% वार्षिक दर से बढ़ रही है, तो दो वर्ष बाद उसकी जनसंख्या में 54,325,000 की वृद्धि होगी।

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं के साथ काम करते समय, गणना में सटीकता के लिए शून्य की संख्या का ध्यान रखें।

Question 9. किस वार्षिक दर से अवमूल्यन होने पर एक कंपनी की वर्तमान पूंजी 62,50,00,000 Rs. रुपये से घटकर 2 वर्ष बाद 57,60,00,000 Rs. रुपये रह जाएगी?
Answer: उत्तर
मूलधन (P) = 625000000 Rs.
मिश्रधन (A) = 576000000 Rs.
समय (n) = 2 वर्ष
अवमूल्यन दर (r) = ?
\[ A = P\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \] \[ 576000000 = 625000000\left(1-\frac{r}{100}\right)^2 \]
\( \implies \frac{576000000}{625000000} = \left(1-\frac{r}{100}\right)^2 \)
\( \implies \frac{576}{625} = \left(1-\frac{r}{100}\right)^2 \)
\( \implies \left(\frac{24}{25}\right)^2 = \left(1-\frac{r}{100}\right)^2 \)

\( \implies \frac{24}{25} = 1-\frac{r}{100} \)
\( \implies \frac{r}{100} = 1 - \frac{24}{25} \)
\( \implies \frac{r}{100} = \frac{25-24}{25} \)
\( \implies \frac{r}{100} = \frac{1}{25} \)
\( \implies r = \frac{100}{25} = 4\% \)
अतः अवमूल्यन दर 4% वार्षिक होगी।
In simple words: एक कंपनी की पूंजी 2 वर्ष में 62.5 करोड़ से घटकर 57.6 करोड़ Rs. हो जाती है, तो अवमूल्यन की वार्षिक दर 4% होगी।

🎯 Exam Tip: अवमूल्यन दर ज्ञात करने के लिए, अवमूल्यन सूत्र का उपयोग करें और गणना करते समय अंश और हर को सरल बनाना न भूलें।

Question 10. 5% वार्षिक दर से बढ़ते हुए वर्ष 2016 के अन्त में एक स्थान की जनसंख्या 9,26,100 है।
(अ) वर्ष 2013
(ब) वर्ष 2018 में जनसंख्या कितनी होगी।
Answer: उत्तर
वर्ष 2016 में जनसंख्या = 9,26,100
दर (r) = 5% वार्षिक

**(अ) वर्ष 2013 में जनसंख्या:**
माना वर्ष 2013 में जनसंख्या = P
समय (n) = 2016 - 2013 = 3 वर्ष
वर्ष 2016 की जनसंख्या (A) = 9,26,100
\[ A = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \] \[ 926100 = P\left(1+\frac{5}{100}\right)^3 \] \[ 926100 = P\left(\frac{105}{100}\right)^3 \] \[ 926100 = P\left(\frac{21}{20}\right)^3 \] \[ 926100 = P \times \frac{21 \times 21 \times 21}{20 \times 20 \times 20} \] \[ P = \frac{926100 \times 20 \times 20 \times 20}{21 \times 21 \times 21} \] \[ P = \frac{926100 \times 8000}{9261} \] \[ P = 100 \times 8000 \] \[ P = 800000 \] अतः वर्ष 2013 में जनसंख्या 8,00,000 थी।

**(ब) वर्ष 2018 में जनसंख्या:**
वर्तमान जनसंख्या (P) (वर्ष 2016 के लिए) = 9,26,100
समय (n) = 2018 - 2016 = 2 वर्ष
दर (r) = 5% वार्षिक
वर्ष 2018 में जनसंख्या (A) \( = P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \)
\[ A = 926100\left(1+\frac{5}{100}\right)^2 \] \[ A = 926100\left(\frac{105}{100}\right)^2 \] \[ A = 926100\left(\frac{21}{20}\right)^2 \] \[ A = 926100 \times \frac{21 \times 21}{20 \times 20} \] \[ A = 926100 \times \frac{441}{400} \] \[ A = 2315.25 \times 441 \] \[ A = 1021025.25 \] चूंकि जनसंख्या पूर्णांक में होती है, हम इसे 10,21,025 मान सकते हैं।
अतः वर्ष 2018 में जनसंख्या 10,21,025 होगी।
In simple words: 5% वार्षिक वृद्धि दर के साथ, यदि 2016 में जनसंख्या 9,26,100 थी, तो 2013 में यह 8,00,000 थी और 2018 में यह बढ़कर 10,21,025 हो जाएगी।

🎯 Exam Tip: जनसंख्या वृद्धि के प्रश्नों में, समय की अवधि को सही ढंग से पहचानें (पिछली या भविष्य की गणना के लिए) और तदनुसार सूत्र लागू करें।

दक्षता अभ्यास - 11

Question 1. राकेश की 2 वर्ष पुरानी साइकिल को, जो उसने 1600 Rs. में खरीदी थी, मोहन ने 1296 Rs. में खरीद ली। साइकिल के मूल्य का किस दर से अवमूल्यन हुआ?
Answer: उत्तर
साइकिल का मूल मूल्य (P) = 1600 Rs.
2 वर्ष बाद साइकिल का मूल्य (A) = 1296 Rs.
समय (n) = 2 वर्ष
अवमूल्यन दर (r) = ?
\[ A = P\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \] \[ 1296 = 1600\left(1-\frac{r}{100}\right)^2 \]
\( \implies \frac{1296}{1600} = \left(1-\frac{r}{100}\right)^2 \)
\( \implies \frac{81}{100} = \left(1-\frac{r}{100}\right)^2 \)
\( \implies \left(\frac{9}{10}\right)^2 = \left(1-\frac{r}{100}\right)^2 \)

\( \implies \frac{9}{10} = 1-\frac{r}{100} \)
\( \implies \frac{r}{100} = 1 - \frac{9}{10} \)
\( \implies \frac{r}{100} = \frac{10-9}{10} \)
\( \implies \frac{r}{100} = \frac{1}{10} \)
\( \implies r = \frac{100}{10} = 10\% \)
अतः साइकिल के मूल्य का 10% वार्षिक की दर से अवमूल्यन हुआ।
In simple words: 1600 Rs. में खरीदी गई साइकिल का मूल्य 2 वर्ष में घटकर 1296 Rs. हो गया, जिसका अर्थ है कि उसका मूल्य 10% वार्षिक दर से अवमूल्यन हुआ।

🎯 Exam Tip: अवमूल्यन दर की गणना करते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए कि वर्गमूल या घनमूल सही ढंग से लिया गया है, भिन्नों को सरल बनाना सहायक होता है।

Question 2. किसी नगर की वर्तमान जनसंख्या 100000 है। यदि रोजगार की उपलब्धता के कारण जनसंख्या 10% वार्षिक दर से बढ़े, तो 3 वर्ष बाद नगर की जनसंख्या कितनी होगी?

Answer:वर्तमान जनसंख्या \( = 100000 \) वृद्धि दर \( = 10\% \) वार्षिक समय \( = 3 \) वर्ष
\( A = 100000(1+\frac{10}{100})^3 \)
\( = 100000 \times \frac{110}{100} \times \frac{110}{100} \times \frac{110}{100} \)
\( = 133100 \) अतः 3 वर्ष बाद नगर की जनसंख्या 133100 होगी।
In simple words: To find the future population, we use the compound interest formula because the population grows at a fixed annual rate. We calculate the accumulated population after 3 years by applying the 10% growth rate to the initial population of 100,000.

🎯 Exam Tip: Remember to use the compound interest formula \( A = P(1 + r)^n \) for growth scenarios like population increase. Ensure correct calculation of the exponent based on the number of years.

Question 3. एक ग्राम पंचायत क्षेत्र में पशुओं की संख्या में 23% प्रतिवर्ष की दर से कमी हो रही है। यदि वर्तमान में पशुओं की संख्या 6400 हो, तो 2 वर्ष बाद क्षेत्र में कितने पशुओं की कमी हो जाएगी?

Answer:पशुओं की वर्तमान संख्या \( = 6400 \) कमी दर \( = 2\frac{1}{2}\% = \frac{5}{2}\% \) वार्षिक समय \( = 2 \) वर्ष
\( A = 6400(1-\frac{5}{2 \times 100})^2 \)
\( A = 6400(1-\frac{5}{200})^2 \)
\( = 6400(\frac{195}{200})^2 \)
\( = 6400 \times \frac{195}{200} \times \frac{195}{200} \)
\( = 6084 \) पशुओं की संख्या में कमी \( = 6400 - 6084 = 316 \) अतः 316 पशुओं की कमी होगी।
In simple words: We calculate the reduced number of animals after 2 years using the compound depreciation formula, accounting for the 2.5% annual decrease from the initial 6400 animals. The difference between the initial and final numbers gives the total reduction.

🎯 Exam Tip: For problems involving decrease or depreciation, use the formula \( A = P(1 - r)^n \). Pay attention to converting mixed percentages to fractions and simplifying them before calculation.

Question 4. Rs. 40960 का 12% वार्षिक ब्याज की दर से 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, जबकि ब्याज छमाही संयोजित होता है।

Answer:मूलधन \( = 40960 \) Rs. दर \( = 12\frac{1}{2}\% \) वार्षिक \( = \frac{25}{2}\% \) वार्षिक
\( = \frac{25}{2} \times \frac{1}{2}\% \) छमाही \( = \frac{25}{4}\% \) छमाही समय \( = 1\frac{1}{2} \) वर्ष \( = \frac{3}{2} \times 2 = 3 \) छमाही
\( A = 40960(1+\frac{25}{400})^3 \)
\( = 40960(1+\frac{1}{16})^3 \)
\( = 40960(\frac{17}{16})^3 \)
\( = 40960 \times \frac{17}{16} \times \frac{17}{16} \times \frac{17}{16} \)
\( = 49130 \) Rs. अतः चक्रवृद्धि ब्याज \( = 49130 - 40960 = 8170 \) Rs.
In simple words: When interest is compounded half-yearly, we adjust the annual rate and time period. The annual rate of 12.5% becomes half for each half-year period, and the 1.5 years become 3 half-year periods. Then, we calculate the compound amount and subtract the principal to find the compound interest.

🎯 Exam Tip: When interest is compounded half-yearly, the annual rate (r) is divided by 2, and the number of years (n) is multiplied by 2. Convert mixed fractions to improper fractions for easier calculations.

Question 5. यदि मूलधन = 10000 रुपये, ब्याज की दर = 24% वार्षिक, समय = 2 माह तथा ब्याज मासिक देय हो, तो चक्रवृद्धि ब्याज की गणना कीजिए।

Answer:मूलधन (P) \( = 10000 \) रुपये दर (r) \( = 24\% \) वार्षिक \( = \frac{24}{12}\% \) मासिक
\( = 2\% \) मासिक समय (n) \( = 2 \) माह चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) \( = 10000(1+\frac{2}{100})^2 \)
\( = 10000(\frac{102}{100})^2 \)
\( = 10000 \times \frac{102}{100} \times \frac{102}{100} \)
\( = 10404 \) रुपये चक्रवृद्धि ब्याज \( = 10404 - 10000 = 404 \) रुपये अतः 2 माह का चक्रवृद्धि ब्याज 404 रुपये होगा।
In simple words: Since the interest is compounded monthly, we convert the annual interest rate to a monthly rate by dividing it by 12, and the time period to months. Then, we use the compound interest formula to find the total amount and subtract the principal to get the compound interest.

🎯 Exam Tip: For monthly compounding, divide the annual rate by 12 and multiply the number of years (or convert directly) by 12 to get the number of compounding periods. Be precise with rate and time conversions.

Question 6. यदि 62500 रुपये का 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज 7804 रुपये हो जबकि ब्याज छमाही संयोजित किया जाता है, तो वार्षिक ब्याज की दर ज्ञात कीजिए।

Answer:मूलधन (P) \( = 62500 \) रुपये समय (n) \( = 1\frac{1}{2} \) वर्ष \( = \frac{3}{2} \) वर्ष \( = \frac{3}{2} \times 2 = 3 \) छमाही चक्रवृद्धि ब्याज \( = 7804 \) रुपये चक्रवृद्धि मिश्रधन (A) \( = 62500 + 7804 = 70304 \) रुपये दर (r) \( = ? \)
\( A = P(1+\frac{r}{100})^n \)
\( 70304 = 62500(1+\frac{r}{100})^3 \)
\( \frac{70304}{62500} = (1+\frac{r}{100})^3 \)
\( \frac{17576}{15625} = (1+\frac{r}{100})^3 \)
\( (\frac{26}{25})^3 = (1+\frac{r}{100})^3 \)
\( \frac{26}{25} = 1+\frac{r}{100} \)
\( \frac{r}{100} = \frac{26}{25} - 1 \)
\( \frac{r}{100} = \frac{26-25}{25} \)
\( \frac{r}{100} = \frac{1}{25} \)
\( r = \frac{100}{25} \)
\( r = 4\% \) छमाही अतः वार्षिक ब्याज की दर \( = 2 \times 4\% = 8\% \) होगी।
In simple words: We first find the total amount by adding the principal and compound interest. Using the compound interest formula with half-yearly compounding, we set up an equation to solve for the half-yearly rate. Once the half-yearly rate is found, we double it to get the annual rate.

🎯 Exam Tip: Remember that if interest is compounded half-yearly, the 'r' you solve for in the formula is the half-yearly rate. You must multiply it by 2 to get the annual rate, as the question asks for the annual rate.

Question 7. कितने समय में 8% ब्याज की दर से 250000 रुपये का चक्रवृद्धि 265302 रुपये हो जाएगा, जबकि ब्याज तिमाही संयोजित किया जाना है?

Answer:मूलधन (P) \( = 250000 \) रुपये मिश्रधन (A) \( = 265302 \) रुपये दर (r) \( = 8\% \) वार्षिक \( = 8 \times \frac{1}{4}\% \) तिमाही
\( = 2\% \) तिमाही समय (n) \( = ? \)
\( A = P(1+\frac{r}{100})^n \)
\( 265302 = 250000(1+\frac{2}{100})^n \)
\( \frac{265302}{250000} = (\frac{102}{100})^n \)
\( \frac{132651}{125000} = (\frac{51}{50})^n \)
\( (\frac{51}{50})^3 = (\frac{51}{50})^n \)
\( n = 3 \) तिमाही \( = 3 \times 3 = 9 \) माह अतः 9 माह अथवा \( \frac{3}{4} \) वर्ष में मिश्रधन 265302 रुपये होगा।
In simple words: With quarterly compounding, the annual rate is divided by 4, and the time 'n' represents the number of quarters. We set up the compound interest formula with the given values and solve for 'n' by simplifying the fractions until we can compare powers.

🎯 Exam Tip: For quarterly compounding, divide the annual rate by 4 and express the time in quarters. Identifying powers of common fractions (like 51/50) is key to solving for 'n' efficiently.

Question 8. 30% तथा 20% के क्रमिक बट्टों के समतुल्य बट्टा है -
(क) 50%
(ख) 46%
(ग) 44%
(घ) 30%

Answer: (ग) 44%
In simple words: To find the equivalent single discount for successive discounts of 30% and 20%, we calculate the price after the first discount and then apply the second discount to that reduced price. The total reduction from the original price represents the equivalent discount.

🎯 Exam Tip: To calculate equivalent discount for two successive discounts \( d_1 \) and \( d_2 \), use the formula: Equivalent Discount \( = d_1 + d_2 - \frac{d_1 \times d_2}{100} \). This shortcut saves time in MCQs.

Question 9. 1000 रु० का 10% वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्षों के चक्रवृद्धि और सरल ब्याजों का अन्तर होगा -
(क) रु० 10.00
(ख) रु० 11.00
(ग) रु० 1110.00
(घ) रु० 100.00

Answer:मूलधन \( = 1000 \) Rs., दर \( = 10\% \) वार्षिक, समय \( = 2 \) वर्ष साधारण ब्याज \( = \frac{\text{मूलधन} \times \text{दर} \times \text{समय}}{100} \)
\( = \frac{1000 \times 10 \times 2}{100} \)
\( = 10 \times 10 \times 2 = 200 \) Rs. चक्रवृद्धि ब्याज \( = \text{मूलधन} [(1+\frac{\text{दर}}{100})^n -1] \)
\( = 1000[(1+\frac{10}{100})^2 -1] \)
\( = 1000[(\frac{110}{100})^2 -1] \)
\( = 1000[\frac{110 \times 110}{100 \times 100} -1] \)
\( = 1000[\frac{12100}{10000} -1] \)
\( = 1000[\frac{121}{100} -1] \)
\( = 1000[\frac{121-100}{100}] \)
\( = 1000[\frac{21}{100}] \)
\( = 1000 \times \frac{21}{100} = 210 \) Rs. अतः दोनों ब्याजों में अन्तर \( = 210 - 200 = 10 \) Rs. (क)
In simple words: We calculate the simple interest and compound interest for the given principal, rate, and time separately. The simple interest is found using the basic formula, while compound interest uses the accumulation formula minus the principal. The difference between these two values is the final answer.

🎯 Exam Tip: For the difference between Compound Interest (CI) and Simple Interest (SI) for 2 years, use the formula: CI - SI = \( P(\frac{r}{100})^2 \). For 3 years, CI - SI = \( P(\frac{r}{100})^2 (3 + \frac{r}{100}) \). These formulas can quickly solve such MCQ questions.

Question 10. यदि किसी धनराशि का 5% प्रतिवर्ष की ब्याज पर से दो वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज 123.00 रु० हो, तो मूलधन है।
(क) रु० 1,000.00
(ख) रु० 1,100.00
(ग) रु० 1,200.00
(घ) रु० 1,300.00

Answer:चक्रवृद्धि ब्याज \( = 123 \), r \( = 5\% \) वार्षिक, n \( = 2 \) वर्ष, p \( = ? \) चक्रवृद्धि ब्याज \( = P[(1+\frac{r}{100})^n -1] \)
\( 123 = P [1+(\frac{5}{100})^2 -1] \)
\( 123 = P [(1+\frac{1}{20})^2 -1] \)
\( 123 = P [(\frac{20+1}{20})^2 -1] \)
\( 123 = P [(\frac{21}{20})^2 -1] \)
\( 123 = P [\frac{441}{400} -1] \)
\( 123 = P [\frac{441-400}{400}] \)
\( 123 = P [\frac{41}{400}] \)
\( 41P = 400 \times 123 \)
\( P = \frac{400 \times 123}{41} \)
\( P = \frac{49200}{41} \)
\( P = 1200 \) अतः मूलधन 1200 रुपये होगा। (ग) उत्तर
In simple words: We are given the compound interest, rate, and time, and we need to find the principal. We use the compound interest formula, substitute the known values, and solve the equation algebraically for P.

🎯 Exam Tip: When solving for the principal (P), accurately calculate the term \([(1+\frac{r}{100})^n -1]\) first. Avoid calculation errors, especially when squaring fractions.

Question 11. एक व्यक्ति ने बैंक में 6,000 रुपये 5% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से जमा किए। एक अन्य व्यक्ति ने 5000 रुपये 8% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से जमा किए। दो वर्ष बाद उनके ब्याजों में अन्तर होगा-
(क) रु० 230
(ख) रु० 232
(ग) रु० 832
(घ) रु० 600

Answer:मूलधन \( = 6000 \) Rs., दर \( = 5\% \) वार्षिक, समय \( = 2 \) वर्ष साधारण ब्याज \( = \frac{6000 \times 5 \times 2}{100} \)
\( = 60 \times 5 \times 2 = 600 \) रुपये पुनः मूलधन \( = 5000 \) Rs., दर \( = 8\% \) वार्षिक, समय \( = 2 \) वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज \( = P[(1+\frac{r}{100})^n -1] \)
\( = 5000[(1+\frac{8}{100})^2 -1] \)
\( = 5000[(\frac{108}{100})^2 -1] \)
\( = 5000[(\frac{27}{25})^2 -1] \)
\( = 5000[\frac{729}{625} -1] \)
\( = 5000[\frac{729-625}{625}] \)
\( = 5000[\frac{104}{625}] \)
\( = 8 \times 104 \)
\( = 832 \) रुपये अतः दोनों की ब्याजों में अन्तर \( = 832 - 600 = 232 \) Rs. (ख) उत्तर
In simple words: We calculate the simple interest for the first person's investment and the compound interest for the second person's investment separately. Then, we find the difference between these two calculated interests to get the final answer.

🎯 Exam Tip: Carefully identify whether simple or compound interest is to be calculated for each scenario. Ensure accurate application of the respective formulas and precise arithmetic to avoid errors in the final difference.