UP Board Solutions Class 6 Maths Chapter 16 Kshetramiti (Mensuration)

Exercise 16(a)

Question 1. निम्नलिखित वस्तुओं में घनाभ के आकार की वस्तुओं को पहचानिए (पहचानकर)-
(i) गेंद
(ii) सन्दूक
(iii) सड़क पर गिट्टी कूटने वाला रोलर
(iv) कीप
(v) आलमारी
(vi) पुस्तक
(vii) ईंट
Answer: घनाभ के आकार की वस्तुएँ हैं: सन्दूक, आलमारी, पुस्तक और ईंट. ये वस्तुएँ ऐसी होती हैं जिनकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई अलग-अलग होती हैं या एक समान भी हो सकती हैं, लेकिन सभी किनारे सीधे होते हैं.
In simple words: सन्दूक, आलमारी, पुस्तक और ईंट घनाभ जैसी दिखती हैं.

🎯 Exam Tip: घनाभ एक त्रिविमीय आकृति है जिसके छह आयताकार फलक होते हैं, जैसे एक ईंट या माचिस की डिब्बी.

Question 2.
(i) पाश्र्व चित्र में शीर्ष E पर मिलने वाली कौरों के नाम लिखिए।
Answer: शीर्ष E पर मिलने वाली कोरें हैं: EH, EA और EF. ये सभी कोरें एक ही बिंदु E पर आकर मिलती हैं.
In simple words: E बिंदु पर मिलने वाली कोरें EH, EA और EF हैं.

🎯 Exam Tip: किसी भी शीर्ष (कोने) पर तीन कोरें मिलती हैं जो एक-दूसरे से समकोण बनाती हैं.

Question 2.
(ii) पाश्र्व चित्र में फलक ABCD के समान्तर फलक का नाम बताइए।
Answer: फलक ABCD के समान्तर फलक EFGH है. समान्तर फलक एक-दूसरे के ठीक सामने होते हैं और कभी मिलते नहीं हैं.
In simple words: ABCD के समान्तर फलक का नाम EFGH है.

🎯 Exam Tip: घनाभ में समान्तर फलकों के तीन जोड़े होते हैं.

Question 3. घनाकार लूडो के पासे में, फलकों, कोरों और शीर्षों की संख्या बताइए।
Answer: घनाकार लूडो के पासे में 6 फलक (सतह), 12 कोरें (किनारे) और 8 शीर्ष (कोने) होते हैं. इसमें यूलर का सूत्र \( V + F = E + 2 \) भी लागू होता है, जहाँ \( V \) शीर्षों की संख्या है, \( F \) फलकों की संख्या है और \( E \) कोरों की संख्या है.
In simple words: एक पासे में 6 फलक, 12 कोरें और 8 शीर्ष होते हैं.

🎯 Exam Tip: यह जानकारी सभी घनों और घनाभों के लिए समान होती है.

Question 4. लूडो के पासे के आमने-सामने के फलक पर अंकित बिन्दुओं की संख्या का योग लिखें।
Answer: लूडो के पासे में आमने-सामने के फलकों पर अंकित बिन्दुओं की संख्या का योग हमेशा 7 होता है. जैसे:
\( 6 + 1 = 7 \)
\( 3 + 4 = 7 \)
\( 2 + 5 = 7 \)
यह पासे का एक खास नियम है जो उसे निष्पक्ष बनाता है.
In simple words: पासे के आमने-सामने वाले नंबरों का जोड़ हमेशा 7 होता है.

🎯 Exam Tip: यह पासे का एक मानक गुण है; यह सुनिश्चित करता है कि पासा निष्पक्ष रूप से गिरे.

Exercise 16(b)

Question 1. नीचे दी गई लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई वाले घनाभों के आयतन ज्ञात कीजिए।
(i) लम्बाई = 8 सेमी, चौड़ाई = 5 सेमी तथा ऊँचाई = 4 सेमी ।
(ii) लम्बाई = 80 सेमी, चौड़ाई = 40 सेमी तथा ऊँचाई = 1 मी 20 सेमी ।
(iii) लम्बाई = 14 सेमी, चौड़ाई = 8.5 सेमी तथा ऊँचाई = 5 सेमी ।
(iv) लम्बाई = 1.4 सेमी, चौड़ाई = 0.5 सेमी तथा ऊँचाई = 0.4 मी ।
Answer:
(i) लम्बाई \( = 8 \) सेमी, चौड़ाई \( = 5 \) सेमी तथा ऊँचाई \( = 4 \) सेमी
घनाभ का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 8 \times 5 \times 4 \)
\( = 160 \) घन सेमी

(ii) लम्बाई \( = 80 \) सेमी, चौड़ाई \( = 40 \) सेमी तथा ऊँचाई \( = 1 \) मी \( 20 \) सेमी \( = 120 \) सेमी
घनाभ का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 80 \times 40 \times 120 \)
\( = 384000 \) घन सेमी

(iii) लम्बाई \( = 14 \) सेमी, चौड़ाई \( = 8.5 \) सेमी तथा ऊँचाई \( = 5 \) सेमी
घनाभ का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 14 \times 8.5 \times 5 \)
\( = 595 \) घन सेमी

(iv) लम्बाई \( = 1.4 \) सेमी, चौड़ाई \( = 0.5 \) सेमी तथा ऊँचाई \( = 0.4 \) मी
घनाभ का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 1.4 \times 0.5 \times 0.4 \)
\( = 0.28 \) घन मी
In simple words: घनाभ का आयतन निकालने के लिए उसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई को गुणा करते हैं. ध्यान दें कि सभी मापें एक ही इकाई में हों.

🎯 Exam Tip: आयतन हमेशा घन इकाइयों (जैसे घन सेमी या घन मी) में व्यक्त किया जाता है.

Question 2. नीचे दी गई भुजा की माप वाले घनों का आयतन ज्ञात कीजिए ।
(i) भुजा = 12 सेमी
(ii) भुजा = 6.4 सेमी
(iii) भुजा = 7.2 सेमी
(iv) भुजा = 1.3 सेमी
Answer:
घन का आयतन का सूत्र है \( = \text{भुजा} \times \text{भुजा} \times \text{भुजा} \)

(i) भुजा \( = 12 \) सेमी
घन का आयतन \( = 12 \times 12 \times 12 \)
\( = 1728 \) घन सेमी

(ii) भुजा \( = 6.4 \) सेमी
घन का आयतन \( = 6.4 \times 6.4 \times 6.4 \)
\( = 262.144 \) घन सेमी

(iii) भुजा \( = 7.2 \) सेमी
घन का आयतन \( = 7.2 \times 7.2 \times 7.2 \)
\( = 373.248 \) घन सेमी

(iv) भुजा \( = 1.3 \) सेमी
घन का आयतन \( = 1.3 \times 1.3 \times 1.3 \)
\( = 2.197 \) घन सेमी
In simple words: घन का आयतन निकालने के लिए, उसकी एक भुजा को तीन बार गुणा किया जाता है.

🎯 Exam Tip: घन का आयतन \( \text{side}^3 \) के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ 'side' घन की भुजा की लम्बाई है.

Question 3. एक कमरे की लम्बाई 5 मी, चौड़ाई 4 मी और ऊँचाई 3.5 मी है। कैमरे का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: कमरे की लम्बाई \( = 5 \) मी
कमरे की चौड़ाई \( = 4 \) मी
कमरे की ऊँचाई \( = 3.5 \) मी
कमरे का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 5 \times 4 \times 3.5 \)
\( = 70 \) घन मी
कमरे का आयतन हमें बताता है कि कमरे में कितनी जगह है.
In simple words: कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई को गुणा करके उसका आयतन 70 घन मीटर है.

🎯 Exam Tip: किसी भी घनाभाकार वस्तु का आयतन निकालने के लिए यही सूत्र उपयोग होता है.

Question 4. दो घनाकार वस्तुएँ हैं जिनकी कोरें क्रमशः 2 सेमी और 4 सेमी हैं। इनके आयतन क्रमशः V1 और V2 में सम्बन्ध (अनुपात) ज्ञात कीजिए ।
Answer: पहले घन की कोर \( = 2 \) सेमी
पहले घन का आयतन \( V_1 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \) घन सेमी
दूसरे घन की कोर \( = 4 \) सेमी
दूसरे घन का आयतन \( V_2 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \) घन सेमी
दोनों घनों के आयतनों का अनुपात निकालने के लिए हम \( V_1 \) को \( V_2 \) से भाग देंगे:
\( \frac { V_1 }{ V_2 } = \frac { 8 }{ 64 } \)
\( \implies \frac { V_1 }{ V_2 } = \frac { 1 }{ 8 } \)
इसलिए, उनके आयतनों का सम्बन्ध \( V_1 : V_2 = 1:8 \) है. इससे पता चलता है कि भुजा दोगुनी होने पर आयतन आठ गुना बढ़ जाता है.
In simple words: पहले घन का आयतन 8 घन सेमी है और दूसरे घन का आयतन 64 घन सेमी है, इसलिए उनका अनुपात 1:8 है.

🎯 Exam Tip: यदि किसी घन की भुजा को \( k \) गुना बढ़ाया जाए, तो उसका आयतन \( k^3 \) गुना बढ़ जाता है.

Question 5. एक मैदान की लम्बाई 40 मी तथा चौड़ाई 15 मी है। यदि इस मैदान पर 50 मिमी वर्षा हुई हो, तो ज्ञात कीजिए कि मैदान पर कुल कितने लीटर पानी गिरा, यदि 1 घन मी = 1000 लीटर ।
Answer: मैदान की लम्बाई \( = 40 \) मी
मैदान की चौड़ाई \( = 15 \) मी
वर्षा के पानी की ऊँचाई \( = 50 \) मिमी
सबसे पहले, मिलीमीटर को मीटर में बदलेंगे: \( 50 \) मिमी \( = 0.05 \) मी
मैदान पर कुल गिरा पानी का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 40 \times 15 \times 0.05 \)
\( = 30 \) घन मी
अब इस आयतन को लीटर में बदलेंगे, क्योंकि \( 1 \) घन मी \( = 1000 \) लीटर:
\( = 30 \times 1000 \)
\( = 30000 \) लीटर
इतना पानी मैदान पर जमा हुआ है, जिसका उपयोग कई कामों में किया जा सकता है.
In simple words: मैदान पर 30 घन मीटर या 30000 लीटर पानी गिरा.

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में हमेशा सभी मापों को एक ही इकाई (जैसे मीटर) में बदलना याद रखें.

Question 6. एक ईंट की लम्बाई, चौड़ाई व मोटाई क्रमशः 25 सेमी, 10 सेमी व 7.5 सेमी है। एक 5 मी लम्बी, 3.5 मी ऊँची व 33 सेमी मोटी दीवार को बनाने में कितनी ईंटें लगेंगी?
Answer: ईंट की लम्बाई \( = 25 \) सेमी, चौड़ाई \( = 10 \) सेमी, मोटाई \( = 7.5 \) सेमी
ईंट का आयतन \( = 25 \times 10 \times 7.5 = 1875 \) घन सेमी

दीवार की लम्बाई \( = 5 \) मी \( = 500 \) सेमी
दीवार की ऊँचाई \( = 3.5 \) मी \( = 350 \) सेमी
दीवार की मोटाई (चौड़ाई) \( = 33 \) सेमी
दीवार का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{ऊँचाई} \times \text{मोटाई} \)
\( = 500 \times 350 \times 33 = 5775000 \) घन सेमी

ईंटों की संख्या निकालने के लिए, दीवार के आयतन को एक ईंट के आयतन से भाग देंगे:
ईंटें लगेंगी \( = \frac { \text{दीवार का आयतन} }{ \text{ईंट का आयतन} } \)
\( = \frac { 5775000 }{ 1875 } \)
\( = 3080 \) ईंटें
इतनी ईंटें एक बड़ी दीवार बनाने के लिए चाहिए होंगी.
In simple words: दीवार का आयतन निकालें, फिर उसे एक ईंट के आयतन से भाग दें. कुल 3080 ईंटें लगेंगी.

🎯 Exam Tip: हमेशा सुनिश्चित करें कि दीवार और ईंट दोनों के लिए सभी मापें एक ही इकाई में हों (जैसे सेमी).

Question 7. एक घनाभाकार लकड़ी के टुकड़े का आयतन 264 घन सेमी है। यदि टुकड़ा 8 सेमी लम्बा और 6 सेमी चौड़ा हो, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
Answer: घनाभाकार लकड़ी के टुकड़े का आयतन \( = 264 \) घन सेमी
घनाभाकार लकड़ी के टुकड़े की लम्बाई \( = 8 \) सेमी
घनाभाकार लकड़ी के टुकड़े की चौड़ाई \( = 6 \) सेमी
घनाभ का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
इसलिए, ऊँचाई \( = \frac { \text{आयतन} }{ \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} } \)
\( = \frac { 264 }{ 8 \times 6 } \)
\( = \frac { 264 }{ 48 } \)
\( = 5.5 \) सेमी
यह ऊँचाई उस लकड़ी के टुकड़े की तीसरी विमा है जो उसके आयतन को पूरा करती है.
In simple words: आयतन को लम्बाई और चौड़ाई के गुणनफल से भाग देने पर ऊँचाई (5.5 सेमी) मिलेगी.

🎯 Exam Tip: आयतन के सूत्र का उपयोग करके किसी भी एक अज्ञात विमा को ज्ञात किया जा सकता है, यदि अन्य विमाएँ और आयतन दिए गए हों.

Question 8. लकड़ी के घनाभ के आकार के एक टुकड़े की लम्बाई 75 सेमी, चौड़ाई 15 सेमी तथा ऊँचाई 5 सेमी है, तो इसमें से 15 सेमी लम्बे, 3 सेमी चौड़ा तथा 1 सेमी ऊँचे कितने गुटके बनाए जा सकते हैं?
Answer: बड़े लकड़ी के घनाभ की लम्बाई \( = 75 \) सेमी, चौड़ाई \( = 15 \) सेमी, ऊँचाई \( = 5 \) सेमी
बड़े टुकड़े का आयतन \( = 75 \times 15 \times 5 \) घन सेमी

छोटे गुटके की लम्बाई \( = 15 \) सेमी, चौड़ाई \( = 3 \) सेमी, ऊँचाई \( = 1 \) सेमी
छोटे गुटके का आयतन \( = 15 \times 3 \times 1 \) घन सेमी

बनाए जा सकने वाले गुटकों की संख्या \( = \frac { \text{लकड़ी के टुकड़े का आयतन} }{ \text{गुटके का आयतन} } \)
\( = \frac { 75 \times 15 \times 5 }{ 15 \times 3 \times 1 } \)
पहले गुणनफल करके, फिर भाग करके:
\( = 5625 / 45 \)
\( = 125 \)
या सरल करके:
\( = (\frac{75}{15}) \times (\frac{15}{3}) \times (\frac{5}{1}) \)
\( = 5 \times 5 \times 5 \)
\( = 125 \)
कुल 125 छोटे गुटके बनाए जा सकते हैं. यह दिखाता है कि आयतन का उपयोग करके बड़े वस्तु से बनने वाली छोटी वस्तुओं की संख्या कैसे निकाली जाती है.
In simple words: बड़े टुकड़े के आयतन को छोटे गुटके के आयतन से भाग देने पर 125 गुटके बनेंगे.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप सभी विमाओं को एक ही इकाई में रखकर गणना करें, जिससे सही उत्तर मिले.

Question 9. भूमिगत जल संरक्षण हेतु वर्षा ऋतु में जल संग्रहण के लिए एक आवासीय परिसर में कच्ची जमीन पर 5 मीटर लम्बा, 3 मीटर चौड़ा तथा 1.5 मीटर गहरा गड्डा खोदा गया है। बताइए उस गड्ढे में अधिकतम कितने लीटर पानी एकत्र किया जा सकता है?
Answer: गड्ढे की लम्बाई \( = 5 \) मीटर
गड्ढे की चौड़ाई \( = 3 \) मीटर
गड्ढे की गहराई \( = 1.5 \) मीटर
गड्ढे का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} \)
\( = 5 \times 3 \times 1.5 \)
\( = 22.5 \) घन मीटर
हम जानते हैं कि \( 1 \) घन मीटर \( = 1000 \) लीटर होता है.
इसलिए, गड्ढे में एकत्र किया जा सकने वाला पानी \( = 22.5 \times 1000 \)
\( = 22500 \) लीटर
इस तरह, गड्ढे में 22500 लीटर पानी जमा हो सकता है, जो जल संरक्षण के लिए एक अच्छा कदम है.
In simple words: गड्ढे का आयतन 22.5 घन मीटर है, जिसका मतलब है कि उसमें 22500 लीटर पानी आ सकता है.

🎯 Exam Tip: आयतन के सवाल में इकाई परिवर्तन (जैसे घन मीटर से लीटर) को ध्यान से करें.

Question 10. एक घनाकार पानी की टंकी की भीतरी मापें 5 मी०, 4 मी० तथा 3 मी० है। टंकी जल से \( \frac{9}{10} \) भाग भरी हुई है। इसके अन्दर के जल को प्रदूषणमुक्त एवं शुद्ध करने पर प्रति एक हजार लीटर Rs 10 का खर्च आता है। बताइए कि टंकी के सम्पूर्ण जल को शुद्ध करने पर कुल कितना व्यय होगा?
Answer: घनाकार पानी की टंकी की भीतरी लम्बाई \( = 5 \) मीटर
घनाकार पानी की टंकी की भीतरी चौड़ाई \( = 4 \) मीटर
घनाकार पानी की टंकी की भीतरी गहराई \( = 3 \) मीटर
टंकी का कुल आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} \)
\( = 5 \times 4 \times 3 = 60 \) घन मीटर
चूंकि \( 1 \) घन मीटर \( = 1000 \) लीटर, इसलिए टंकी की कुल क्षमता \( = 60 \times 1000 = 60000 \) लीटर है.
टंकी का \( \frac{9}{10} \) भाग पानी से भरा है, तो उसमें पानी की मात्रा \( = 60000 \times \frac{9}{10} \) लीटर \( = 54000 \) लीटर है.

1000 लीटर पानी को शुद्ध करने पर व्यय \( = \) Rs 10
इसलिए, 1 लीटर पानी को शुद्ध करने पर व्यय \( = \frac { 10 }{ 1000 } \) Rs
54000 लीटर पानी को शुद्ध करने पर कुल व्यय \( = \frac { 10 }{ 1000 } \times 54000 \)
\( = 10 \times 54 \)
\( = \) Rs 540
पानी को शुद्ध करने में 540 रुपये का कुल खर्च आएगा, जिससे साफ पानी उपलब्ध होगा.
In simple words: टंकी का कुल आयतन 60000 लीटर है, जिसमें से 54000 लीटर पानी भरा है. 1000 लीटर शुद्ध करने का खर्च Rs 10 है, तो 54000 लीटर शुद्ध करने का कुल खर्च Rs 540 होगा.

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में पहले कुल आयतन निकालें, फिर भरे हुए भाग का आयतन ज्ञात करें और अंत में प्रति लीटर या प्रति हजार लीटर की दर से कुल खर्च की गणना करें.