UP Board Solutions Class 12 Physics Chapter 4 Moving Charges and Magnetism

Up Board Solutions For Class 12 Physics Chapter 4 Moving Charges And Magnetism (गतिमान आवेश और चुम्बकत्व)

अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर

Question 1. तार की एक वृत्ताकार कुंडली में 100 फेरे हैं, प्रत्येक की त्रिज्या 8.0 cm है और इनमें 0.40A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है ?
Answer:हल-
दिया है,
कुण्डली में तार के फेरों की संख्या \( n = 100 \)
प्रत्येक फेरे की त्रिज्या \( r = 8.0 \) सेमी \( = 8.0 \times 10^{-2} \) मीटर
कुण्डली में प्रवाहित धारा \( I = 0.40 \) ऐम्पियर
कुण्डली के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण \( B = ? \)
सूत्र \( B = \frac{\mu_0 2 \pi n I}{4 \pi r} \)
से \( B = \frac{10^{-7} \times 2 \times 3.14 \times 100 \times 0.40}{8 \times 10^{-2}} \)
\( B = 3.14 \times 10^{-4} \) टेस्ला
In simple words: The magnetic field at the center of a circular coil is calculated using a specific formula that depends on the number of turns, current, and radius of the coil. After plugging in the given values, the magnetic field strength is found to be \( 3.14 \times 10^{-4} \) Tesla.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for the magnetic field at the center of a circular coil and pay attention to unit conversions for radius (cm to m).

Question 2. एक लम्बे, सीधे तार में 35 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। तार से 20 cm दूरी पर स्थित किसी बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है?
Answer:हल-
एक लम्बी धारावाही सीधी तार के कारण \( r \) दूरी पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र,
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 4.1 एक लंबी सीधी धारावाही तार (S-N) और उससे कुछ दूरी (r) पर स्थित एक बिंदु P को दर्शाता है। बिंदु P पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा को इंगित करने के लिए एक गोलाकार चाप दिखाया गया है, जो तार के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की उपस्थिति को दर्शाता है। \[ B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r} \] यहाँ \( I = 35 A, r = 20 cm = 0.20 m, B = ? \)
\[ B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 35}{2 \pi \times 0.20} \] \[ B = 3.5 \times 10^{-5} T \]
In simple words: The magnetic field around a long straight current-carrying wire is directly proportional to the current and inversely proportional to the distance from the wire. For a 35A current at 20 cm, the magnetic field is calculated to be \( 3.5 \times 10^{-5} \) Tesla.

🎯 Exam Tip: Ensure proper use of the formula for the magnetic field due to an infinite straight wire and correct conversion of units (cm to m).

Question 3. क्षैतिज तल में रखे एक लम्बे सीधे तार में 50A विद्युत धारा उत्तर से दक्षिण की ओर प्रवाहित हो रही है। तार के पूर्व में 2.5 m दूरी पर स्थित किसी बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र B का परिमाण और उसकी दिशा ज्ञात कीजिए।
Answer:हल-
दिया है,
धारा की प्रबलता \( I = 50 \) ऐम्पियर
दिए गए बिन्दु की तार से लम्बवत् दूरी \( r = 2.5 \) मीटर
बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र B का परिमाण व दिशा \( = ? \)
सूत्र \( B = \frac{\mu_0 2I}{4 \pi r} \)
से \( B = \frac{10^{-7} \times 2 \times 50}{2.5} \)
\[ B = 4 \times 10^{-4} \] टेस्ला
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 4.2 एक क्षैतिज तल में रखे एक लंबे सीधे तार को दर्शाता है जिसमें धारा उत्तर (N) से दक्षिण (S) की ओर प्रवाहित हो रही है। तार के पूर्व में 2.5 मीटर दूरी पर एक बिंदु P दिखाया गया है, जहाँ चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण और दिशा ज्ञात करनी है। दाएँ हाथ के अँगूठे के नियम से बिन्दु P पर चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा कागज के तल के लम्बवत् ऊपर की ओर होगी।
In simple words: The magnetic field magnitude around a straight wire is determined by the current and distance, and its direction is found using the right-hand thumb rule. For a 50A current 2.5m away, the field is \( 4 \times 10^{-4} \) Tesla, pointing perpendicularly upwards from the paper.

🎯 Exam Tip: For magnetic field problems, always apply the right-hand thumb rule to correctly determine the direction of the field along with its magnitude calculation.

Question 4. व्योमस्थ खिंचे क्षैतिज बिजली के तार में 90 A विद्युत धारा पूर्व से पश्चिम की ओर प्रवाहित हो रही है। तार के 1.5 m नीचे विद्युत धारा के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण और दिशा क्या है?
Answer:हल-
तार में धारा \( i = 90 A \) (पूर्व से पश्चिम), तार से दूरी \( = 1.5 m \)
तार के कारण चुम्बकीय क्षेत्र
चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा क्षैतिजतः उत्तर से दक्षिण की ओर होगी ।
In simple words: For a wire with 90A current flowing east to west, the magnetic field at 1.5m below the wire would have a direction from north to south, as per the right-hand rule. The magnitude would be calculated using the formula for a long straight wire.

🎯 Exam Tip: Understanding the right-hand rule is crucial for determining the direction of the magnetic field around current-carrying conductors, especially in orientation-specific problems like this.

Question 5. एक तार जिसमें 8 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, 0.15 T के एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में, क्षेत्र से 30° का कोण बनाते हुए रखा है। इसकी एकांक लम्बाई पर लगने वाले बल का परिमाण और इसकी दिशा क्या है?
Answer:हल- चुम्बकीय क्षेत्र \( B \) में क्षेत्र से \( \theta \) कोण पर रखे \( L \) लम्बाई के धारावाही चालक तार पर लगने वाले बल का परिमाण \( F = ILB \sin \theta \) (जहाँ \( I = \) तार में प्रवाहित धारा) तार की एकांक लम्बाई पर लगने वाला बल \( \frac{F}{L} = IB \sin \theta \)
यहाँ \( I = 8A; B = 0.15 T \) तथा \( \theta = 30° \)
\( \frac{F}{L} = 8 \times 0.15 \times \sin 30° \) न्यूटन/मीटर
\( = 8 \times 0.15 \times \frac{1}{2} \) न्यूटन/मीटर
\( = 0.60 \) न्यूटन/मीटर
In simple words: The force per unit length on a current-carrying wire in a magnetic field is calculated using the formula \( F/L = IB \sin \theta \). Given the current, magnetic field, and angle, the force per unit length is found to be 0.60 Newtons per meter.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for the force on a current-carrying wire in a magnetic field and the significance of the sine of the angle between the current and the magnetic field.

Question 6. एक 3.0 cm लम्बा तार जिसमें 10 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, एक परिनालिका के भीतर उसके अक्ष के लम्बवत् रखा है। परिनालिका के भीतर चुम्बकीय क्षेत्र का मान 0.27 T है। तार पर लगने वाला चुम्बकीय बल क्या है?
Answer:हल-
परिनालिका के अन्दर उसकी अक्ष पर चुम्बकीय क्षेत्र \( B = 0.27 T \) (जिसकी दिशा अक्ष के अनुदिश ही होती है)। धारावाही तार अक्ष के लम्बवत् है,
अतः \( \theta = 90° \); तार की लम्बाई \( L = 3.0 \) सेमी \( = 3.0 \times 10^{-2} \) मी; तार में धारा \( I = 10A \); अतः तार पर लगने वाला चुम्बकीय बल
\( F = ILB \sin \theta \) न्यूटन
\( = 10 \times (3.0 \times 10^{-2}) (0.27) \times \sin 90° \) न्यूटन
\( = 10 \times 3.0 \times 10^{-2} \times 0.27 \times 1 \) न्यूटन
\( = 8.1 \times 10^{-2} \) न्यूटन
In simple words: The force on a wire inside a solenoid, perpendicular to its axis, is calculated using \( F = ILB \sin \theta \). Since the wire is perpendicular, \( \sin \theta = \sin 90^\circ = 1 \). Plugging in the given values for current, length, and magnetic field yields a force of \( 8.1 \times 10^{-2} \) Newtons.

🎯 Exam Tip: For force calculations in a magnetic field, ensure consistent units and correctly identify the angle between the current direction and the magnetic field direction. Remember \( \sin 90^\circ = 1 \).

Question 7. एक-दूसरे से 4.0 cm की दूरी पर रखे दो लम्बे, सीधे, समान्तर तारों A एवं B से क्रमशः 8.0 A एवं 5.0 A की विद्युत धाराएँ एक ही दिशा में प्रवाहित हो रही हैं। तार A के 10 cm खण्ड पर बल का आकलन कीजिए।
Answer:हल-
परस्पर समान्तर दो लम्बे सीधे धारावाही तारों के बीच प्रत्येक तार की एकांक लम्बाई पर कार्य करने वाला पारस्परिक बल \[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2I_1 I_2}{r} \] यहाँ \( \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \) न्यूटन/ऐम्पियर \( ^2 \),
\( I_1 = 8.0 A, I_2 = 5.0 A; r = 4 \times 10^{-2} \) मीटर
\[ \frac{F}{L} = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{4 \pi} \frac{2 \times 8.0 \times 5.0}{4 \times 10^{-2}} \] \[ \frac{F}{L} = 10^{-7} \times \frac{80}{4 \times 10^{-2}} \] \[ \frac{F}{L} = 10^{-7} \times 20 \times 10^2 \] \[ \frac{F}{L} = 2.0 \times 10^{-4} \] न्यूटन/मीटर
अतः A तार की लम्बाई \( l = 10 \) सेमी \( = 0.10 \) मीटर खण्ड पर लगने वाला बल
\( F = (\frac{F}{L}) \times l = 2.0 \times 10^{-4} \) न्यूटन/मीटर \( \times 0.10 \) मीटर
\( = 0.20 \times 10^{-4} \) न्यूटन
In simple words: The force between two parallel current-carrying wires is calculated per unit length using a specific formula involving the currents and distance between them. This force is then multiplied by the length of the wire segment to find the total force. Here, it results in a force of \( 0.20 \times 10^{-4} \) Newtons on a 10 cm segment.

🎯 Exam Tip: Remember to calculate the force per unit length first for parallel wires, then multiply by the given length of the segment. Pay attention to unit conversions for distance (cm to m).

Question 8. पास-पास फेरों वाली एक परिनालिका 80 cm लम्बी है और इसमें 5 परतें हैं जिनमें से प्रत्येक में 400 फेरे हैं। परिनालिका का व्यास 1.8 cm है। यदि इसमें 8.0 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है तो परिनालिका के भीतर केन्द्र के पास चुम्बकीय क्षेत्र B का परिमाण परिकलित कीजिए।
Answer:हल-परिनालिका की एक पर्त के कारण इसके भीतर केन्द्र के पास उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र \( = \mu_0 \frac{NI}{L} \); अतः परिनालिका की पाँचों पर्तों के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र \( B = 5 \times (\frac{\mu_0 NI}{L}) \)
यहाँ
\( \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \) न्यूटन/ऐम्पियर \( ^2 \)
\( N = 400; I = 8.0 A \) तथा \( L = 80 \) सेमी \( = 0.80 \) मीटर
\[ B = \frac{5 \times (4 \pi \times 10^{-7}) (400) \times 8.0}{0.80} \] \[ B = 5 \times (4 \pi \times 10^{-7}) (400) \times 10 \] \[ B = 5 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 4000 \] \[ B = 20 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 4000 \] \[ B = 251200 \times 10^{-7} \] \[ B = 2.512 \times 10^{-2} \] टेस्ला
In simple words: The magnetic field inside a solenoid is directly proportional to the number of turns per unit length and the current. For a solenoid with multiple layers, the total magnetic field is the sum of the fields from each layer. Here, for five layers, the total field is calculated to be \( 2.512 \times 10^{-2} \) Tesla.

🎯 Exam Tip: Remember that for a multi-layered solenoid, the total magnetic field is the product of the number of layers and the field due to a single layer. Convert units correctly (cm to m).

Question 9. एक वर्गाकार कुंडली जिसकी प्रत्येक भुजा 10 cm है, में 20 फेरे हैं और उसमें 12 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली ऊर्ध्वाधरतः लटकी हुई है और इसके तल पर खींचा गया अभिलम्ब 0.80 T के एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा से 30° का एक कोण बनाता है। कुंडली पर लगने वाले बल-युग्म आघूर्ण का परिमाण क्या है?
Answer:हल-
बल-युग्म के आघूर्ण का परिमाण \( \tau = NIAB \sin \theta \)
यहाँ फेरों की संख्या \( N = 20 \); वर्गाकार कुण्डली के तल को क्षेत्रफल
\( A = \) भुजा \(^2 = (0.10 \) मी)\( ^2 = 0.01 \) मी
कुण्डली में धारा \( I = 12 A \); चुम्बकीय क्षेत्र \( B = 0.80 T \) तथा \( \theta = 30° \)
\( \tau = 20 \times 12 \times 0.01 \times 0.80 \times \sin 30° \) न्यूटन मीटर
\( = 240 \times 0.008 \times \frac{1}{2} \) न्यूटन मीटर
\( = 0.960 \) न्यूटन मीटर ।
In simple words: The torque on a current-carrying coil in a magnetic field is given by \( \tau = NIAB \sin \theta \). By calculating the coil's area and plugging in the given values for turns, current, magnetic field, and the 30-degree angle, the torque is found to be 0.960 Newton-meters.

🎯 Exam Tip: Ensure proper calculation of the coil's area and correctly identify the angle between the area vector (normal to the coil) and the magnetic field for torque calculations.

Question 10. दो चल कुंडली गैल्वेनोमीटर मीटरों M1 एवं M2 के विवरण नीचे दिए गए हैं।
R1 = 10 Ω, N1 = 30, A1 = 3.6 x 10-3 m², B1 = 0.25 T
R2 = 14 Ω, N2 = 42, A2 = 1.8 x 10-3 m², B2 = 0.50 T
(दोनों मीटरों के लिए स्प्रिंग नियतांक समान है)।
(a) M2 एवं M1 की धारा-सुग्राहिताओं,
(b) M2 एवं M1 की वोल्टता-सुग्राहिताओं का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
Answer:हल-(a) मीटर की धारा सुग्राहिता \( = \frac{NBA}{K} \) से,
\[ \frac{\text{M2 की धारा सुग्राहिता}}{\text{M1 की धारा सुग्राहिता}} = \frac{N_2 B_2 A_2 / K}{N_1 B_1 A_1 / K} = \frac{N_2 B_2 A_2}{N_1 B_1 A_1} \] \[ = \frac{42}{30} \times \frac{0.50}{0.25} \times \frac{1.8 \times 10^{-3}}{3.6 \times 10^{-3}} \] \[ = \frac{42}{30} \times 2 \times \frac{1}{2} = \frac{42}{30} \] \[ = 1.4 \] (b) मीटर की वोल्टेज सुग्राहिता \( = \frac{NBA}{KR} \) से,
\[ \frac{\text{M2 की वोल्टेज सुग्राहिता}}{\text{M1 की वोल्टेज सुग्राहिता}} = \frac{N_2 B_2 A_2 / (K R_2)}{N_1 B_1 A_1 / (K R_1)} = \frac{N_2 B_2 A_2}{N_1 B_1 A_1} \times \frac{R_1}{R_2} \] (प्रथम भाग के परिणाम से)
\[ = 1.4 \times \frac{10}{14} = 1 \]
In simple words: Current sensitivity of a galvanometer depends on NBA/K and voltage sensitivity on NBA/KR. By using the given parameters and dividing the sensitivities for M2 by M1, the ratio of current sensitivities is 1.4, and the ratio of voltage sensitivities is 1.

🎯 Exam Tip: Remember the definitions and formulas for current and voltage sensitivities of galvanometers. The spring constant K cancels out when calculating ratios, simplifying the problem.

Question 11. एक प्रकोष्ठ में 6.5 G (1G = 10-4 T) का एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र बनाए रखा गया है। इस चुम्बकीय क्षेत्र में एक इलेक्ट्रॉन 4.8 x 106 ms-1 के वेग से क्षेत्र के लम्बवत् भेजा गया है। व्याख्या कीजिए कि इस इलेक्ट्रॉन का पथ वृत्ताकार क्यों होगा? वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या ज्ञात कीजिए । (e = 1.6 x 10-19 C, me = 9.1 x 10-31 kg)
Answer:हल-
\[ r = \frac{mv}{eB} = \frac{(9.1 \times 10^{-31}) (4.8 \times 10^6)}{(1.6 \times 10^{-19}) (6.5 \times 10^{-4})} \] मीटर \[ r = \frac{43.68 \times 10^{-25}}{10.4 \times 10^{-23}} = 4.2 \times 10^{-2} \] मीटर
क्योंकि चुम्बकीय क्षेत्र में लम्बवत् प्रवेश करने वाले इलेक्ट्रॉन पर चुम्बकीय बल सदैव इसके वेग के लम्बवत् रहने के कारण इलेक्ट्रॉन का पथ वृत्ताकार हो जाता है।
In simple words: When an electron enters a magnetic field perpendicularly, the magnetic force acts as a centripetal force, making its path circular. The radius of this circular path is calculated using the formula \( r = mv/eB \), which, with the given values, comes out to be \( 4.2 \times 10^{-2} \) meters.

🎯 Exam Tip: Understand that a force perpendicular to velocity results in circular motion. Correctly apply the formula for the radius of a circular path of a charged particle in a magnetic field, ensuring all units are in SI form.

Question 12. प्रश्न 11 में, वृत्ताकार कक्षा में इलेक्ट्रॉन की परिक्रमण आवृत्ति प्राप्त कीजिए। क्या यह उत्तर इलेक्ट्रॉन के वेग पर निर्भर करता है? व्याख्या कीजिए ।
Answer:हल-
\[ T = \frac{2 \pi m_e}{eB} \] ; अतः परिक्रमण आवृत्ति \[ n = \frac{1}{T} = \frac{eB}{2 \pi m_e} \] \[ n = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) (6.5 \times 10^{-4})}{2 \times (3.14) \times (9.1 \times 10^{-31})} \] सेकण्ड\(^{-1}\)
\[ n = \frac{10.4 \times 10^{-23}}{57.172 \times 10^{-31}} \] \[ n = 0.1819 \times 10^8 \] \[ n = 1.82 \times 10^7 \] सेकण्ड\(^{-1}\)
चूँकि \( n \) सूत्र में इलेक्ट्रॉन का वेग नहीं आता है: अत; उत्तर वेग पर निर्भर नहीं करेगा।
In simple words: The frequency of an electron's revolution in a circular orbit within a magnetic field is calculated using \( n = eB / (2 \pi m_e) \). This formula shows that the frequency is independent of the electron's velocity.

🎯 Exam Tip: Note that the cyclotron frequency (pericardial frequency) of a charged particle in a uniform magnetic field is independent of its speed, which is a key concept in cyclotrons.

Question 13. (a) 30 फेरों वाली एक वृत्ताकार कुंडली जिसकी त्रिज्या 8.0 cm है और जिसमें 6.0 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, 1.0 T के एकसमान क्षैतिज चुम्बकीय क्षेत्र में ऊर्ध्वाधरतः लटकी है। क्षेत्र रेखाएँ कुंडली के अभिलम्ब से 60° का कोण बनाती हैं। कुंडली को घूमने से रोकने के लिए जो प्रति आघूर्ण लगाया जाना चाहिए उसके परिमाण परिकलित कीजिए।
(b) यदि
(a) में बतायी गई वृत्ताकार कुंडली को उसी क्षेत्रफल की अनियमित आकृति की समतलीय कुंडली से प्रतिस्थापित कर दिया जाए (शेष सभी विवरण अपरिवर्तित रहें) तो क्या आपका उत्तर परिवर्तित हो जाएगा?
Answer:हल-
(a) कुंडली में फेरे \( N = 30 \), त्रिज्या \( r = 8.0 \times 10^{-2} m \), \( i = 6.0 A \)
चुम्बकीय क्षेत्र \( B = 1.0 T, \theta = 60° \)
कुंडली पर चुम्बकीय क्षेत्र के कारण बल-युग्म का आघूर्ण
\( \tau = NiAB \sin 60° = Ni (\pi r^2) B \sin 60° \)
\( = 30 \times 6.0 \times (3.14 \times (8.0 \times 10^{-2})^2) \times 1.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = 180 \times 3.14 \times 64 \times 10^{-4} \times 0.866 \)
\( = 3.13 \) N-m
स्पष्ट है कि कुंडली को घूमने से रोकने के लिए \( 3.13 \) N-m का बल-आघूर्ण विपरीत दिशा में लगाना होगा।
(b) नहीं, उत्तर में कोई परिवर्तन नहीं होगा। इसका कारण यह है कि बल-आघूर्ण ( \( \tau = NiAB \sin \theta \)) कुंडली के क्षेत्रफल \( A \) पर निर्भर करता है न कि उसके आकार पर।
In simple words:
(a) The torque on a current-carrying coil in a magnetic field is calculated using \( \tau = NIAB \sin \theta \), considering the coil's turns, current, area, magnetic field, and the angle of 60 degrees.
(b) The torque remains unchanged if the coil's shape is irregular but its area and other parameters are the same, as torque depends on the area, not the shape.

🎯 Exam Tip: For torque on a current loop, remember that the torque depends on the magnetic moment, which is a product of NIA. Thus, the specific shape of the loop (e.g., square vs. circular) does not matter as long as its area is the same.

अतिरिक्त अभ्यास

Question 14. दो समकेन्द्रिक वृत्ताकार कुंडलियाँ X और Y जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 16 cm एवं 10 cm हैं, उत्तर-दक्षिण दिशा में समान ऊध्वाधर तल में अवस्थित हैं। कुंडली X में 20 फेरे हैं और इसमें 16 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, कुंडली Y में 25 फेरे हैं और इसमें 18 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। पश्चिम की ओर मुख करके खड़ा एक प्रेक्षक देखता है कि X में धारा प्रवाह वामावर्त है जबकि Y में दक्षिणावर्त है। कुंडलियों के केन्द्र पर, उनमें प्रवाहित विद्युत धाराओं के कारण उत्पन्न कुल चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण एवं दिशा ज्ञात कीजिए।
Answer:हल-दिया है, कुंडली X के लिए,
\( r_x = 0.16 m, N_x = 20, i_x = 16 A \)
कुंडली Y के लिए,
\( r_y = 0.10 m, N_y = 25, i_y = 18A \)
कुंडली X के कारण केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र \[ B_x = \frac{\mu_0 n_x i_x}{2 r_x} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 20 \times 16}{2 \times 0.16} \] \[ B_x = 4 \pi \times 10^{-4} T \] पूर्व दिशा में
कुंडली Y के कारण केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र \[ B_y = \frac{\mu_0 n_y i_y}{2 r_y} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 25 \times 18}{2 \times 0.10} \] \[ B_y = 9 \pi \times 10^{-4} T \] पश्चिम दिशा में
\( \therefore B_x \) तथा \( B_y \) परस्पर विपरीत हैं; अतः
केन्द्र पर नैट चुम्बकीय क्षेत्र \( B = B_y - B_x = 9 \pi \times 10^{-4} T - 4 \pi \times 10^{-4} T \) \[ B = 5 \pi \times 10^{-4} T \] \[ B = 5 \times 3.14 \times 10^{-4} \] \[ B = 15.7 \times 10^{-4} \] \[ B = 1.57 \times 10^{-3} T \] पश्चिम दिशा में
In simple words: The total magnetic field at the center of two concentric coils is the vector sum of their individual fields. Since the currents are in opposite directions (one clockwise, one counter-clockwise), their magnetic fields will be in opposite directions, requiring a subtraction of magnitudes. The net field direction is determined by the stronger field.

🎯 Exam Tip: When dealing with multiple coils, calculate the magnetic field for each coil separately, paying attention to direction (using right-hand rule for circular loops). Then, vectorially add or subtract based on their relative directions.

 

Question 25. एक वृत्ताकार कुंडली जिसमें 20 फेरे हैं और जिसकी त्रिज्या 10 cm है, एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में रखी है जिसका परिमाण 0.10 है और जो कुंडली के तल के लम्बवत है। यदि कुंडली में 5.0 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही हो तो,
(a) कुंडली पर लगने वाला कुल बल-युग्म आघूर्ण क्या है?
(b) कुंडली पर लगने वाला कुल परिणामी बल क्या है?
(c) चुम्बकीय क्षेत्र के कारण कुंडली के प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला कुलै' औसत बल क्या है?
(कुंडली 10-5 m² अनुप्रस्थ क्षेत्र वाले ताँबे के तार से बनी है, और ताँबे में मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व 1029 m-3 दिया गया है।)
Answer: हल-
फेरे N = 20, i = 5.0 A, r = 0.10 m, B = 0.10 T
इलेक्ट्रॉन घनत्व n = 1029 m-3,
तार का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल A = 10-5 m²
(a) कुंडली का तल चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत् है; अतः कुंडली के तल पर अभिलम्ब व चुम्बकीय क्षेत्र के बीच का कोण शून्य है (\( \theta = 0^\circ \))
बल-आघूर्ण \( \tau \) = NiLAB sin \( 0^\circ \) = 0
(b) कुंडली पर नेट बल भी शून्य है।
(c) यदि इलेक्ट्रॉनों का अपवाह वेग \( v_d \) है तो
\( i = ne A v_d \)
\( \implies v_d = \frac{i}{neA} \)
... प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर बल \( F = e v_d B \sin 90^\circ \)
\( F = e \frac{i}{neA} B = \frac{iB}{nA} \)
\( F = \frac{5.0 \times 0.10}{10^{29} \times 10^{-5}} = 5.0 \times 10^{-25} \text{ N} \)
In simple words: For a current-carrying coil in a magnetic field, the torque is zero when the normal to the coil is parallel to the field, and the net force is also zero. The average force on each electron is calculated using the drift velocity and the magnetic force formula.

🎯 Exam Tip: Remember that for a coil placed perpendicular to a magnetic field, the torque is zero, but the force on individual electrons can still be calculated based on drift velocity and magnetic field strength.

 

Question 26. एक परिनालिका जो 60 cm लम्बी है, जिसकी त्रिज्या 4.0 cm है और जिसमें 300 फेरों वाली 3 परतें लपेटी गई हैं। इसके भीतर एक 2.0 cm लम्बा, 2.5 g द्रव्यमान का तार इसके (केन्द्र के निकट) अक्ष के लम्बवत रखा है। तार एवं परिनालिका का अक्ष दोनों क्षैतिज तल में हैं। तार को परिनालिका के समान्तर दो वाही संयोजकों द्वारा एक बाह्य बैटरी से जोड़ा गया है जो इसमें 6.0 A विद्युत धारा प्रदान करती है। किस मान की विद्युत धारा (परिवहन की उचित दिशा के साथ) इस परिनालिका के फेरों में प्रवाहित होने पर तारे का भार संभाल सकेगी? (\( g = 9.8 \text{ ms}^{-2} \))
Answer: हल-
परिनालिका की लम्बाई \( l = 0.6 \text{ m} \), त्रिज्या = 4.0 cm, फेरे \( N = 300 \times 3 \)
तार की लम्बाई \( L = 20 \times 10^{-2} \text{ m} \), द्रव्यमान \( m = 2.5 \times 10^{-3} \text{ kg} \), धारा \( I = 6.0 \text{ A} \)
माना परिनालिका में प्रवाहित धारा = i
तब परिनालिका के अक्ष पर केन्द्रीय भाग में चुम्बकीय क्षेत्र
\( B = \frac{\mu_0 Ni}{l} \) (अक्षर के अनुदिश)
... चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा तार की लम्बाई के लम्बवत् है; अतः
तार पर बल \( F = ILB \sin 90^\circ = IL \times \frac{\mu_0 Ni}{l} \)
यह बल तार के भार को संभालता है; अतः
\( F = mg \)
\( \implies IL \times \frac{\mu_0 Ni}{l} = mg \)
\( i = \frac{mgl}{\mu_0 NIL} = \frac{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8 \times 0.6}{4 \pi \times 10^{-7} \times (300 \times 3) \times 6.0 \times 2.0 \times 10^{-2}} = 108 \text{ A} \)
- तार में धारा की दिशा ज्ञात नहीं है; अतः परिनालिका में धारा की दिशा बता पाना सम्भव नहीं है।
In simple words: To support the wire's weight, the magnetic force on the wire must balance gravity. We calculate the magnetic field inside the solenoid, then the force on the wire due to this field, and equate it to the wire's weight to find the required current.

🎯 Exam Tip: When dealing with forces on current-carrying wires in magnetic fields, always consider the orientation of the current and magnetic field to determine force direction and use the correct formula \( F = BIL \sin \theta \).

 

Question 27. किसी गैल्वेनोमीटर की कुंडली का प्रतिरोध 12 \( \Omega \) है। 4 mA की विद्युत धारा प्रवाहित होने पर यह पूर्णस्केल विक्षेप दर्शाता है। आप इस गैल्वेनोमीटर को 0 से 18 V परास वाले वोल्टमीटर में कैसे रूपान्तरित करेंगे ?
Answer: हल-
दिया है, \( G = 12 \Omega \), \( i_g = 4 \text{ mA} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} \)
0 से V (V = 18 V) वोल्ट परास के वोल्टमीटर में बदलने के लिए गैल्वेनोमीटर के श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध R जोड़ना होगा, जहाँ
\( R = \frac{V}{i_g} - G = \frac{18}{4 \times 10^{-3}} - 12 = 4500 - 12 = 4488 \, \Omega \)
अतः गैल्वेनोमीटर के श्रेणीक्रम में 4488 \( \Omega \) का प्रतिरोध जोड़ना होगा।
In simple words: To convert a galvanometer into a voltmeter, a high resistance (R) must be connected in series with it. This resistance limits the current and allows the voltmeter to measure higher voltages across its terminals.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for converting a galvanometer to a voltmeter: \( R = \frac{V}{I_g} - G \), where R is the series resistance, V is the desired full-scale voltage, \( I_g \) is the full-scale deflection current, and G is the galvanometer resistance.

 

Question 28. किसी गैल्वेनोमीटर की कुंडली का प्रतिरोध 15 \( \Omega \) है। 4 mA की विद्युत धारा प्रवाहित होने पर यह पूर्णस्केल विक्षेप दर्शाता है। आप इस गैल्वेनोमीटर को 0 से 6 A परास वाले अमीटर में कैसे रूपान्तरित करेंगे?
Answer: हल-
दिया है, \( G = 15 \Omega \), \( i_g = 4 \text{ mA} = 4.0 \times 10^{-3} \text{ A} \), \( i = 6 \text{ A} \)
गैल्वेनोमीटर को 0-1 ऐम्पियर धारा परास वाले अमीटर में बदलने के लिए इसके पाश्र्वक्रम में एक सूक्ष्म प्रतिरोध S (शण्ट) जोड़ना होगा, जहाँ
\( (i-i_g) \times S = i_g \times G \)
\( S = \frac{i_g \times G}{i-i_g} \)
\( S = \frac{4.0 \times 10^{-3} \times 15}{6 - 4.0 \times 10^{-3}} = \frac{60 \times 10^{-3}}{6 - 0.004} = \frac{0.060}{5.996} \)
\( S \approx 0.010006 \Omega \approx 0.01 \, \Omega \)
अतः इसके समान्तर क्रम में 10 m\( \Omega \) का प्रतिरोध जोड़ना होगा।
In simple words: To convert a galvanometer into an ammeter, a small resistance called a shunt is connected in parallel with it. This allows most of the current to bypass the galvanometer, enabling it to measure larger currents.

🎯 Exam Tip: The key to ammeter conversion is the shunt resistance (S), calculated using \( S = \frac{I_g G}{I - I_g} \). Ensure units are consistent, especially for current (Amperes) and resistance (Ohms).

परीक्षोपयोगी प्रश्नोत्तर

बहुविकल्पीय प्रश्न

 

Question 1. गतिशील आवेश उत्पन्न करता है-
(i) केवल वैद्युत क्षेत्र
(ii) केवल चुम्बकीय क्षेत्र
(iii) वैद्युत एवं चुम्बकीय क्षेत्र दोनों
(iv) वैद्युत एवं चुम्बकीय क्षेत्र में से कोई नहीं
Answer: (iii) वैद्युत एवं चुम्बकीय क्षेत्र दोनों
In simple words: A moving electric charge creates both an electric field (due to its charge) and a magnetic field (due to its motion or current).

🎯 Exam Tip: Remember that stationary charges produce only electric fields, while moving charges produce both electric and magnetic fields.

 

Question 2. एक चुम्बकीय क्षेत्र उत्पन्न किया जा सकता है-
(i) केवल गतिमान आवेश द्वारा
(ii) केवल बदलते वैद्युत क्षेत्र द्वारा
(iii) (i) तथा (ii) दोनों के द्वारा
(iv) इनमें से किसी के द्वारा नहीं
Answer: (iii) (i) तथा (ii) दोनों के द्वारा
In simple words: Magnetic fields are created by moving electric charges (currents) and also by changing electric fields, as described by Maxwell's equations.

🎯 Exam Tip: This question relates to Maxwell's equations, specifically Faraday's law (changing magnetic field produces electric field) and Ampere-Maxwell's law (currents and changing electric fields produce magnetic fields).

 

Question 3. चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता का मात्रक होता है-
या
चुम्बकीय क्षेत्र का मात्रक होता है-
(i) वेबर x मीटर\(^2\)
(ii) वेबर/मीटर\(^2\)
(iii) वेबर
(iv) वेबर/मीटर
Answer: (ii) वेबर/मीटर\(^2\)
In simple words: The unit for magnetic field intensity is Tesla (T), which is equivalent to Weber per square meter (\( \text{Wb/m}^2 \)).

🎯 Exam Tip: Know the SI units for magnetic field (Tesla, Weber/m\(^2\)) and magnetic flux (Weber). These are fundamental for calculations and conceptual understanding.

 

Question 4. \( \left( { \mu }_{ 0 }{ \varepsilon }_{ 0 } \right) ^{ \frac { -1}{2} } \) का मान है-
(i) 3 x 10\(^8\) सेमी/सेकण्ड
(ii) 3 x 10\(^{10}\) सेमी/सेकण्ड
(iii) 3 x 10\(^9\) सेमी/सेकण्ड
(iv) 3 x 10\(^8\) किमी/सेकण्ड
Answer: (ii) 3 x 10\(^{10}\) सेमी/सेकण्ड
In simple words: The expression \( \left( { \mu }_{ 0 }{ \varepsilon }_{ 0 } \right) ^{ \frac { -1}{2} } \) represents the speed of light (c) in vacuum, which is \( 3 \times 10^8 \) meters per second or \( 3 \times 10^{10} \) centimeters per second.

🎯 Exam Tip: This constant \( c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \) is crucial in electromagnetism, linking electric and magnetic constants to the speed of light. Be careful with unit conversions (meters vs. centimeters).

 

Question 5. एक इलेक्ट्रॉन तथा एक प्रोटॉन जिनकी गतिज ऊर्जाएँ समान हैं, एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत् प्रक्षेपित किए जाते हैं। पथ की त्रिज्या होगी-
(i) प्रोटॉन के लिए अधिक
(ii) इलेक्ट्रॉन के लिए अधिक
(iii) दोनों के पथ समान वक्रीय होंगे।
(iv) दोनों पथ सरल रेखीय होंगे
Answer: (i) प्रोटॉन के लिए अधिक ( \( \because \) त्रिज्या \( \propto \) द्रव्यमान)
In simple words: When particles with the same kinetic energy enter a perpendicular magnetic field, they follow circular paths. Since the proton has a much larger mass than the electron, its path radius will be greater.

🎯 Exam Tip: The radius of a charged particle's path in a magnetic field is \( r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB} \). If kinetic energy (K) and B are the same, r is proportional to \( \sqrt{m} \). Thus, a heavier particle (proton) will have a larger radius.

 

Question 6. एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र B में बल रेखाओं के समान्तर एक इलेक्ट्रॉन जिसका आवेश e है, वेग v से चलता है। इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल है-
(i) evB
(ii) शून्य
(iii) \( \frac{ev}{B} \)
(iv) \( \frac{Bv}{e} \)
Answer: (ii) शून्य
In simple words: The magnetic force on a charged particle is given by \( \vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}) \). If the velocity vector \( \vec{v} \) is parallel to the magnetic field vector \( \vec{B} \), the cross product \( \vec{v} \times \vec{B} \) is zero, resulting in no magnetic force.

🎯 Exam Tip: The magnetic force is maximum when velocity is perpendicular to the magnetic field (\( \sin 90^\circ = 1 \)) and zero when velocity is parallel or anti-parallel to the field (\( \sin 0^\circ = 0 \) or \( \sin 180^\circ = 0 \)).

 

Question 7. m द्रव्यमान का कण जिस पर आवेश q है एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र B के लम्बवत् वेग v से प्रविष्ट होता है। इसके पथ की त्रिज्या होगी-
(i) \( \frac{m}{qB} \)
(ii) \( \frac{m}{qvB} \)
(iii) \( \frac{2m}{qB} \)
(iv) \( \frac{mv}{qB} \)
Answer: (iv) \( \frac{mv}{qB} \)
In simple words: When a charged particle enters a magnetic field perpendicularly, the magnetic force provides the centripetal force, causing it to move in a circular path. Equating these two forces yields the formula for the radius of the circular path.

🎯 Exam Tip: Derive the radius formula by equating magnetic force (\( F_m = qvB \)) to centripetal force (\( F_c = \frac{mv^2}{r} \)). This is a frequently tested concept.

 

Question 8. एक प्रोटॉन व एक \(\alpha\)-कण समान वेग से एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में लम्बवत् प्रवेश करते हैं। यदि उनके परिक्रमण काल क्रमशः T\(_{1}\) व T\(_{2}\) हों तब
(i) \( \frac{T_1}{T_2} = 1 \)
(ii) \( \frac{T_1}{T_2} = 2 \)
(iii) \( \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{2} \)
(iv) \( \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{4} \)
Answer: (iii) \( \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{2} \)
In simple words: The time period of a charged particle in a magnetic field is \( T = \frac{2 \pi m}{qB} \). Comparing the mass (m) and charge (q) of a proton (\( m_p, e \)) and an alpha-particle (\( 4m_p, 2e \)) gives the ratio of their time periods.

🎯 Exam Tip: Remember the time period formula \( T = \frac{2 \pi m}{qB} \). For a proton, \( T_p \propto \frac{m_p}{e} \). For an alpha-particle, \( T_\alpha \propto \frac{4m_p}{2e} = \frac{2m_p}{e} \). So, \( \frac{T_p}{T_\alpha} = \frac{1}{2} \).

 

Question 9. किसी समान चुम्बकीय क्षेत्र में एक इलेक्ट्रॉन क्षेत्र के लम्बवत दिशा में प्रवेश करता है। इलेक्ट्रॉन का पथ होगा
(i) परवलयाकार
(ii) दीर्घवृत्ताकार
(iii) वृत्ताकार
(iv) सरल रैखिक
Answer: (iii) वृत्ताकार
In simple words: When a charged particle enters a uniform magnetic field perpendicular to its velocity, the magnetic force acts as a centripetal force, continuously redirecting the particle's velocity while maintaining its speed, resulting in a circular path.

🎯 Exam Tip: This is a fundamental concept. A charged particle's trajectory is circular if its initial velocity is perpendicular to a uniform magnetic field. If the velocity has a component parallel to the field, the path will be helical.

 

Question 10. यदि आवेशित कण का वेग दोगुना तथा चुम्बकीय क्षेत्र का मान आधा कर दिया जाए, तो आवेश के मार्ग (पथ की त्रिज्या हो जाएगी)
(i) 8 गुनी
(ii) 4 गुनी
(iii) 3 गुनी
(iv) 2 गुनी
Answer: (ii) 4 गुनी
In simple words: The radius of a charged particle's path in a magnetic field is directly proportional to its velocity and inversely proportional to the magnetic field strength. Doubling the velocity and halving the magnetic field will increase the radius by a factor of four.

🎯 Exam Tip: Use the formula \( r = \frac{mv}{qB} \). If \( v' = 2v \) and \( B' = B/2 \), then \( r' = \frac{m(2v)}{q(B/2)} = \frac{4mv}{qB} = 4r \).

 

Question 11. एक हीलियम नाभिक 0.8 मीटर त्रिज्या के वृत्त में प्रति सेकण्ड एक चक्कर लगाता है। वृत्त के केन्द्र पर उत्पन्न चुकीय क्षेत्र होगा
(ⅰ) \( \mu_0 \times 10^{-19} \)
(ii) \( \mu_0 \times 10^{19} \)
(iii) \( 2 \times 10^{-19} \mu_0 \)
(iv) \( \frac{2 \times 10^{-19}}{\mu_0} \)
Answer: (iii) \( 2 \times 10^{-19} \mu_0 \)
In simple words: The magnetic field at the center of a circular loop is given by \( B = \frac{\mu_0 i}{2r} \). The current \( i \) can be found from the charge of the helium nucleus (2e) and its frequency (1 revolution per second).

🎯 Exam Tip: Current \( i = qf \). For a helium nucleus, \( q = 2e \). So \( i = 2e \times 1 = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ A} \). Then \( B = \frac{\mu_0 (3.2 \times 10^{-19})}{2 \times 0.8} = \frac{\mu_0 \times 3.2 \times 10^{-19}}{1.6} = 2 \times 10^{-19} \mu_0 \).

 

Question 12. एक वृत्ताकार छल्ले का क्षेत्रफल 1.0 सेमी\(^2\) है तथा इसमें 10.0 ऐम्पियर धारा प्रवाहित हो रही है। 0.1 टेस्ला तीव्रता का चुम्बकीय क्षेत्र छल्ले के तल के लम्बवत लगाया जाता है। चुम्बकीय क्षेत्र के कारण छल्ले पर लगने वाला बल-आघूर्ण होगा
(i) शून्य
(ii) 10\(^{-4}\) न्यूटन-मी
(iii) 10\(^{-2}\) न्यूटन-मी
(iv) 1.0 न्यूटन-मी
Answer: (i) शून्य
In simple words: When the magnetic field is applied perpendicular to the plane of the current-carrying loop, the normal to the loop is parallel to the magnetic field. In this case, the angle \( \theta \) between the magnetic dipole moment and the magnetic field is 0 degrees, resulting in zero torque.

🎯 Exam Tip: The torque on a current loop is given by \( \tau = NIAB \sin \theta \), where \( \theta \) is the angle between the area vector (normal to the loop) and the magnetic field. If the field is perpendicular to the loop's plane, \( \theta = 0^\circ \) (or \( 180^\circ \)), so \( \sin \theta = 0 \) and \( \tau = 0 \).

 

Question 13. चुम्बकीय क्षेत्र (\( \vec{B} \)) में वेग (\( \vec{v} \)) से गतिमान आवेश q के एक कण पर लगने वाला बल (\( \vec{F} \)) है-
(i) \( q \frac{\vec{v} \times \vec{B}}{q} \)
(ii) \( \frac{\vec{v} \times \vec{B}}{q} \)
(iii) \( q(\vec{v} \times \vec{B}) \)
(iv) \( \vec{v} \times q \times \vec{B} \)
Answer: (iii) \( q(\vec{v} \times \vec{B}) \)
In simple words: The magnetic Lorentz force on a charged particle moving in a magnetic field is given by the vector cross product of its velocity and the magnetic field, scaled by the charge.

🎯 Exam Tip: This is the definition of the magnetic Lorentz force. Pay close attention to the vector cross product and the order of vectors, as \( \vec{A} \times \vec{B} = - (\vec{B} \times \vec{A}) \).

 

Question 14. एक वृत्ताकार लूप का पृष्ठ क्षेत्रफल A तथा इसमें प्रवाहित धारा I है। चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता B लूप के तल के लम्बवत है। चुम्बकीय क्षेत्र के कारण लूप में लगने वाला बल आघूर्ण
(i) BIA
(ii) 2BIA
(iii) \( \sigma \) BIA
(iv) शून्य
Answer: (iv) शून्य
In simple words: If the magnetic field is perpendicular to the plane of the loop, it means the area vector (normal to the loop) is parallel to the magnetic field. In this configuration, the torque on the loop is zero.

🎯 Exam Tip: As explained in Question 12, torque \( \tau = NIAB \sin \theta \). If the field is perpendicular to the loop's plane, \( \theta = 0^\circ \) (angle between normal and B-field), so \( \sin \theta = 0 \) and the torque is zero.

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. लॉरेन्ज बल क्या है?
या
एक इलेक्ट्रॉन (आवेश e) + X अक्ष की दिशा में v चाल से, समरूप चुम्बकीय क्षेत्र B जो Y अक्ष की दिशा में है, प्रवेश करता है। इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाले बल का सूत्र एवं दिशा ज्ञात कीजिए।
Answer: चुम्बकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश (इलेक्ट्रॉन) पर लगने वाले चुम्बकीय बल को लॉरेन्ज बल कहते हैं। यदि q आवेश v वेग से चुम्बकीय क्षेत्र \( \vec{B} \) की दिशा से \( \theta \) कोण पर गति करे, तो उस पर कार्य करने वाला लॉरेन्ज बल \( F = qvB \sin \theta \)। बल की दिशा \( \vec{v} \) तथा \( \vec{B} \) दोनों के लम्बवत् होती है।
In simple words: Lorentz force is the magnetic force experienced by a moving charge in a magnetic field. Its magnitude depends on the charge, velocity, magnetic field strength, and the angle between velocity and magnetic field, and its direction is perpendicular to both velocity and magnetic field.

🎯 Exam Tip: Clearly state the formula \( \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \) and explain its vector nature. For the specific case of the electron, \( \vec{v} \) is along X-axis, \( \vec{B} \) is along Y-axis, so \( \vec{v} \times \vec{B} \) is along Z-axis. Since electron charge is negative, \( \vec{F} \) would be in the -Z direction.

 

Question 2. q आवेश वाला कोई कण वेग v से एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र B के समान्तर दिशा में गति कर रहा है। इस कण पर लगने वाले बल का मान कितना होगा?
Answer: \( F = qvB \sin \theta = qvB \sin 0^\circ = 0 \) अर्थात् शून्य ।
In simple words: When a charged particle moves parallel to a magnetic field, the angle between its velocity and the magnetic field is 0 degrees, resulting in no magnetic force acting on it.

🎯 Exam Tip: This is a direct application of the Lorentz force formula. Understand that the magnetic force only acts when there is a component of velocity perpendicular to the magnetic field.

 

Question 3. q आवेश का एक आवेशित कण, \( \vec{v} \) वेग से चलता हुआ एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र B में, क्षेत्र की दिशा से 30° का कोण बनाता हुआ प्रवेश करता है। आवेश पर लगने वाले बल का परिमाण क्या होगा?
Answer: \( F = qvB \sin \theta = qvB \sin 30^\circ \)
\( F = \frac{qvB}{2} \) [\( \because \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)]
In simple words: The magnetic force on a charged particle depends on the sine of the angle between its velocity and the magnetic field. At a 30-degree angle, the force is half of its maximum possible value.

🎯 Exam Tip: Always use the angle \( \theta \) between \( \vec{v} \) and \( \vec{B} \) in the formula \( F = qvB \sin \theta \). Knowing common sine values like \( \sin 30^\circ = 1/2 \) is essential.

 

Question 4. एक इलेक्ट्रॉन 0.1 न्यूटन/ऐम्पियर-मीटर के एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में लम्बवत् 10\(^5\) मीटर/सेकण्ड की चाल से प्रवेश करता है। इलेक्ट्रॉन पर लॉरेन्ज बल का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हल-
दिया है, \( B = 0.1 \) न्यूटन/ऐम्पियर-मीटर, \( v = 10^5 \) मी/सेकण्ड
लॉरेन्ज बल \( (F) = qvB \)
\( F = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^5 \times 0.1 = 1.6 \times 10^{-15} \) न्यूटन
In simple words: The magnetic force on an electron moving perpendicular to a magnetic field is calculated by multiplying its charge, velocity, and the magnetic field strength.

🎯 Exam Tip: Remember the elementary charge of an electron, \( e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} \). Since the electron enters perpendicularly, \( \sin 90^\circ = 1 \), simplifying the force calculation to \( F = qvB \).

 

Question 5. एक सीधे लम्बे तार से 2.0 सेमी दूरी पर चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता 10\(^{-6}\) टेस्ला है। तार में वैद्युत धारा ज्ञात कीजिए।
Answer: हल-दिया है,
\( r = 2.0 \text{ सेमी} = 2 \times 10^{-2} \text{ मीटर} \), \( B = 10^{-6} \text{ टेस्ला} \)
- वैद्युत धारा \( i = \frac{2\pi Br}{\mu_0} \)
\( = \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-2}}{4\pi \times 10^{-7}} \)
\( = \frac{4\pi \times 10^{-8}}{4\pi \times 10^{-7}} = 10^{-1} = 0.1 \text{ ऐम्पियर} \)
In simple words: The magnetic field around a long straight current-carrying wire is inversely proportional to the distance from the wire. Using the given magnetic field and distance, the current can be calculated.

🎯 Exam Tip: The magnetic field \( B \) at a distance \( r \) from a long straight wire carrying current \( i \) is \( B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \). Remember the value of \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ N/A}^2 \).

 

Question 6. साइक्लोट्रॉन किस सिद्धान्त पर कार्य करता है?
Answer: साइक्लोट्रॉन के कार्य करने का सिद्धान्त यह है कि डीज के बीच लगने वाले प्रत्यावर्ती विभवान्तर की रेडियो आवृत्ति, डीज के भीतर आवेशित कण के परिक्रमण की आवृत्ति के बराबर होनी चाहिए ।
In simple words: A cyclotron works on the principle of resonance, where the frequency of the alternating voltage applied across the 'dees' matches the cyclotron frequency of the charged particle. This ensures the particle is accelerated each time it crosses the gap.

🎯 Exam Tip: The resonance condition (\( f_{radio} = f_{cyclotron} \)) is critical for continuous acceleration of charged particles in a cyclotron. Remember the cyclotron frequency formula \( f = \frac{qB}{2\pi m} \).

 

Question 7. \( { \mu }_{ 0 }{ \varepsilon }_{ 0 } \) का मान ज्ञात कीजिए। संकेतों के सामान्य अर्थ हैं।
Answer: हल-
हम जानते हैं कि \( c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \), जहाँ c प्रकाश की चाल है।
इसलिए, \( \mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2} \)
चूंकि \( c = 3 \times 10^8 \text{ m/s} \)
\( \mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{1}{9 \times 10^{16}} \) (कूलॉम\(^2\)/ऐम्पियर\(^2\)-मीटर\(^2\))
\( \mu_0 \varepsilon_0 = 1.11 \times 10^{-17} \text{ F/m} \)
In simple words: The product of permeability of free space (\( \mu_0 \)) and permittivity of free space (\( \varepsilon_0 \)) is the reciprocal of the square of the speed of light in vacuum.

🎯 Exam Tip: This relationship is fundamental to electromagnetic wave theory. Remember its numerical value and units: \( \text{Coulomb}^2 / (\text{Newton} \cdot \text{meter}^2) \cdot (\text{meter}^2 / \text{Joule} \cdot \text{second}) \) which simplifies to \( \text{s}^2 / \text{m}^2 \).

 

Question 8. \( { \mu }_{ 0 }{ \varepsilon }_{ 0 } \) का विमीय सूत्र लिखिए।
Answer: \( [L^{-2}T^2] \)
In simple words: Since \( \mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2} \), and the dimension of speed (c) is \( [LT^{-1}] \), the dimensional formula for \( \mu_0 \varepsilon_0 \) is \( \frac{1}{[LT^{-1}]^2} = [L^{-2}T^2] \).

🎯 Exam Tip: Understanding the dimensional analysis for constants like \( \mu_0 \varepsilon_0 \) helps in verifying formulas and understanding the physical nature of these quantities. It represents the inverse of (speed)\(^2\).

 

Question 9. दिखाइए कि निर्वात में प्रकाश की चात \( c=\frac{1}{\sqrt{{\mu}_{0}{\varepsilon}_{0}}} \) होती है।
Answer: हल - हम जानते हैं कि,
\( \frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \) न्यूटन/ऐम्पियर\(^2\) ...(1)
\( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9.0 \times 10^9 \) न्यूटन-मीटर\(^2\)/कूलॉम\(^2\) ...(2)
समी० (1) को समी० (2) से भाग करने पर,
\( \frac{\mu_0/4\pi}{1/4\pi\varepsilon_0} = \frac{10^{-7}}{9 \times 10^9} \)
\( \implies \mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^{16}} \text{ कूलॉम}^2 / (\text{ऐम्पियर} \cdot \text{मीटर})^2 \)
\( \mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{1}{c^2} \)
\( \implies c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \)
In simple words: By dividing the values of the permeability and permittivity constants and performing algebraic manipulation, we can show that their product's inverse square root is equal to the speed of light in a vacuum.

🎯 Exam Tip: This derivation highlights a profound connection between electricity, magnetism, and light, first established by Maxwell. It's a key concept for understanding electromagnetic waves.

 

Question 10. किसी 20 सेमी त्रिज्या के वृत्ताकार लूप में 4 ऐम्पियर की धारा प्रवाहित हो रही है। लूप के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र की गणना कीजिए।
Answer: हल-
वृत्ताकार धारावाही लूप के केन्द्र पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र
\( B = \frac{\mu_0 i}{2r} \)
\( B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{2 \times 0.20} \)
\( = 10^{-7} \times \frac{2 \times 3.14 \times 4}{0.2} = 1.256 \times 10^{-5} \text{ न्यूटन/ऐम्पियर-मीटर} \)
\( = 1.26 \times 10^{-5} \text{ न्यूटन/ऐम्पियर-मीटर} \)
In simple words: The magnetic field at the center of a circular current loop is directly proportional to the current and inversely proportional to the radius of the loop. We use the formula for a single turn loop.

🎯 Exam Tip: For a single circular loop, the formula is \( B = \frac{\mu_0 I}{2R} \). Ensure the radius is converted to meters before calculation. The unit for magnetic field is Tesla (T) or Newton/Ampere-meter.

 

Question 11. 2.0 मिमी व्यास के ताँबे के तार में 10 ऐम्पियर की धारा है। इस धारा के कारण अधिकतम चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता का परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer: हल - दिया है, \( r = 1 \times 10^{-3} \text{ मी} \), \( i = 10 \text{ ऐम्पियर} \)
सूत्र,
\( B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \)
\( = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 1 \times 10^{-3}} \)
\( = 2 \times 10^{-7} \times \frac{10}{10^{-3}} = 2 \times 10^{-7} \times 10^4 = 2 \times 10^{-3} \text{ न्यूटन/ऐम्पियर-मीटर} \)
\( = 2 \times 10^{-3} \text{ टेस्ला} \)
In simple words: For a long straight wire, the maximum magnetic field intensity occurs at the surface of the wire. We calculate this using the formula for the magnetic field around a straight current-carrying wire, with the radius as the distance.

🎯 Exam Tip: The question asks for the "maximum" magnetic field, which for a current-carrying wire typically implies at its surface. Ensure to use the radius (half of the diameter) as 'r' in the formula \( B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \).

 

Question 12. ऐम्पियर का परिपथीय नियम लिखिए ।
Answer: “किसी बन्द वक्र के परितः चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता का रेखा-समाकलन (line-integral) उस बन्द वक्र द्वारा घिरे क्षेत्रफल में से गुजरने वाली कुल वैद्युत धारा का \( \mu_0 \) गुना होता है, जहाँ \( \mu_0 \) निर्वात् की निरपेक्ष चुम्बकशीलता है।” अर्थात् जिसमें I पथ द्वारा घिरी नेट धारा है तथा C बन्द पथ की सीमा है।
In simple words: Ampere's circuital law states that the line integral of the magnetic field around any closed loop is proportional to the total current passing through that loop.

🎯 Exam Tip: The mathematical form of Ampere's circuital law is \( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enc} \). It is particularly useful for finding magnetic fields in situations with high symmetry.

 

Question 13. एक ऐम्पियर की परिभाषा दीजिए ।
Answer: “1 ऐम्पियर वह वैद्युत धारा है जो कि निर्वात् अथवा वायु में 1 मीटर दूर रखे दो समान्तर तारों में प्रवाहित होने पर उसकी प्रति मीटर लम्बाई पर \( 2 \times 10^{-7} \) न्यूटन का बल आरोपित करती है।”
In simple words: One Ampere is defined based on the magnetic force between two parallel current-carrying wires. It's the current that, when flowing in two infinitely long parallel conductors 1 meter apart in a vacuum, produces a force of \( 2 \times 10^{-7} \) Newtons per meter of length between them.

🎯 Exam Tip: This definition is a practical and historical definition of the Ampere, linking current directly to a measurable force. It's derived from the formula for force between parallel conductors.

 

Question 14. लम्बी धारावाही परिनालिका के भीतरी अक्ष पर स्थित बिन्दु पर चुम्बकीय बल क्षेत्र का सूत्र लिखिए।
Answer: \( B = \frac{\mu_0 Ni}{l} = \mu_0 ni \) न्यूटन/ऐम्पियर-मीटर
जहाँ \( n = N/l \) परिनालिका की प्रति मीटर लम्बाई में फेरे हैं।
In simple words: The magnetic field inside a long current-carrying solenoid is uniform and directly proportional to the product of the permeability of free space, the number of turns per unit length, and the current flowing through it.

🎯 Exam Tip: The formula \( B = \mu_0 ni \) is valid for a long solenoid, meaning its length is much greater than its diameter. 'n' is the linear turn density, which is often crucial for calculations.

 

Question 15. किसी धारा लूप का क्षेत्रफल 0.25 मी\(^2\) है तथा उसमें प्रवाहित धारा 0.5 ऐम्पियर है। इस लूप का चुम्बकीय आघूर्ण क्या होगा?
Answer: हल-
दिया है, \( A = 0.25 \) मीटर\(^2\), \( I = 0.5 \) ऐम्पियर
चुम्बकीय आघूर्ण \( (M) = IA \)
\( M = 0.5 \times 0.25 = 0.125 \) ऐम्पियर-मी\(^2\)
In simple words: The magnetic dipole moment of a current loop is the product of the current flowing through it and the area enclosed by the loop.

🎯 Exam Tip: The magnetic moment (M) is a vector quantity, with its direction perpendicular to the loop's plane (given by the right-hand rule). For a single loop, \( M = IA \), and for N turns, \( M = NIA \).

 

Question 16. एक ऋजु रेखीय चालक में धारा से उत्पन्न चुम्बकीय बल रेखाओं की प्रकृति क्या होगी?
Answer: वृत्ताकार ।
In simple words: Magnetic field lines produced by a straight current-carrying conductor are concentric circles centered on the wire and lie in planes perpendicular to the wire.

🎯 Exam Tip: Use the right-hand thumb rule to determine the direction of these circular magnetic field lines: if the thumb points in the direction of current, the curled fingers indicate the direction of the magnetic field.

 

Question 17. दो समान्तर धारावाही ऋजुरेखीय तारों के बीच लगने वाले बल का सूत्र लिखिए।
(ii) टोरॉइड की औसत त्रिज्या \( r = \frac{r_1+r_2}{2} = 0.255 \text{ m} \)
- टोरॉइड की कोर के भीतर चुम्बकीय क्षेत्र
\( B = \frac{\mu_0 Ni}{2\pi r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3500 \times 11}{2\pi \times 0.255} = 3.02 \times 10^{-2} \text{ T} \)
हल - माना इलेक्ट्रॉन का वेग v है, तब
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा \( eV = \frac{1}{2}mv^2 \)
- \( v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \)
\( = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^3}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{8 \times 10^7}{3.02}} \)
\( = 2.65 \times 10^7 \text{ m/s} \)
(a) इलेक्ट्रॉन का वेग चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत् है; अतः इस दशा में इलेक्ट्रॉन का पथ वृत्ताकार होगा।
इलेक्ट्रॉन के पथ की त्रिज्या
\( r = \frac{mv}{qB} = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 2.65 \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.15} \)
\( = 1.00 \times 10^{-3} \text{ m} = 1.0 \text{ mm} \)
(b) इलेक्ट्रॉन का वेग चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत् नहीं है। अतः इस दशा में इलेक्ट्रॉन का पथ कुंडलिनीय (सर्पिलाकार) होगा।
चुम्बकीय क्षेत्र के लम्ब दिशा में इलेक्ट्रॉन के वेग का वियोजित घटक
\( v' = v \sin 30^\circ \)
- इलेक्ट्रॉन के पथ की त्रिज्या
\( r = \frac{mv'}{qB} = \frac{mv \sin 30^\circ}{qB} = \frac{mv}{qB} \times \frac{1}{2} \)
\( = 1.00 \times \frac{1}{2} \text{ mm} = 0.5 \text{ mm} \)
In simple words: This question combines two scenarios: first, calculating the magnetic field inside a toroid using its dimensions and current, and second, determining the radius of an electron's path in a magnetic field when it enters perpendicularly or at an angle. The path is circular when perpendicular and helical when at an angle.

🎯 Exam Tip: For toroids, the magnetic field is primarily confined within the core, given by \( B = \frac{\mu_0 Ni}{2\pi r} \). For charged particle motion, distinguish between perpendicular entry (circular path) and angled entry (helical path), applying the appropriate radius formula \( r = \frac{mv}{qB} \) or \( r = \frac{mv\sin\theta}{qB} \).

 

Question 18. किसी धारावाही अल्पांश dl से r दूरी पर चुम्बकीय क्षेत्र के लिए बायो-सेवर्ट नियम को सदिश रूप में लिखिए।
Answer: \( d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3} \)
In simple words: Biot-Savart Law in vector form describes the magnetic field created by a small current element. It states that the infinitesimal magnetic field \( d\vec{B} \) is proportional to the current \( I \), the cross product of the current element \( d\vec{l} \) and the position vector \( \vec{r} \) from the element to the point of observation, and inversely proportional to the cube of the distance \( r \).

🎯 Exam Tip: The vector form clearly shows the direction of \( d\vec{B} \) is perpendicular to both \( d\vec{l} \) and \( \vec{r} \). This is a fundamental law for calculating magnetic fields from current distributions.

 

Question 19. चल-कुण्डल धारामापी की सुग्राहिता से क्या तात्पर्य है?
Answer: यदि किसी धारामापी में थोड़ी-सी धारा प्रवाहित करने से ही पर्याप्त विक्षेप आ जाए तो धारामापी को सुग्राही कहते हैं। कुण्डली में एकांक धारा प्रवाहित करने पर उसमें उत्पन्न विक्षेप को धारामापी की सुग्राहिता कहते हैं।
In simple words: The sensitivity of a moving coil galvanometer refers to its ability to produce a large deflection for a small current. Quantitatively, it is the deflection produced per unit current flowing through the coil.

🎯 Exam Tip: High current sensitivity means the galvanometer can detect very small currents. Factors like a strong magnetic field, large coil area, and low torsional constant contribute to higher sensitivity.

 

Question 20. एक धारामापी को वोल्टमीटर में कैसे बदलते हैं?
Answer: श्रेणीक्रम में उच्च प्रतिरोध जोड़ने पर धारामापी वोल्टमीटर में परिवर्तित हो जाता है।
In simple words: To convert a galvanometer into a voltmeter, a very high resistance is connected in series with the galvanometer coil. This increases the total resistance of the device and allows it to measure potential differences across a circuit element.

🎯 Exam Tip: The series resistance (R) ensures that only a small current passes through the galvanometer for a large potential difference, protecting the galvanometer from damage and extending its measurement range.

 

Question 21. किसी चल कुण्डली धारामापी का ऐमीटर और वोल्टमीटर में कैसे रूपान्तरण किया जाता
Answer: 1. धारामापी की कुण्डली के समान्तर में लघु प्रतिरोध (शन्ट) लगा देते हैं, जिसका मान ऐमीटर की परास पर निर्भर करता है। इस प्रकार चल कुण्डली धारामापी का ऐमीटर में रूपान्तरण हो जाता है।
2. श्रेणीक्रम में उच्च प्रतिरोध जोड़ने पर धारामापी वोल्टमीटर में परिवर्तित हो जाता है।
In simple words: A galvanometer is converted into an ammeter by adding a low-resistance shunt in parallel, allowing it to measure large currents. It's converted into a voltmeter by adding a high resistance in series, enabling it to measure high voltages.

🎯 Exam Tip: Remember the purpose of the shunt (to bypass current) and the series resistance (to limit current). Shunt resistance is low, series resistance is high. Ammeter is connected in series, voltmeter in parallel.

 

Question 22. 99 ओम प्रतिरोध के चल कुण्डली धारामापी में मुख्य धारा का 10% भेजने के लिए आवश्यक शन्ट के प्रतिरोध का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हल - दिया है, धारामापी का प्रतिरोध \( G = 99 \, \Omega \)
माना मुख्य धारा \( I = 100 \) ऐम्पियर
विक्षेप के लिए आवश्यक धारा \( I_g = 10 \) ऐम्पियर
- आवश्यक शन्ट का प्रतिरोध \( S = \frac{GI_g}{I-I_g} \)
\( S = \frac{99 \times 10}{100 - 10} = \frac{990}{90} = 11 \, \Omega \)
In simple words: To allow only a specific percentage of the total current to pass through a galvanometer, a shunt resistance is connected in parallel. This shunt resistance diverts the remaining current, protecting the galvanometer and extending its measurement range.

🎯 Exam Tip: The principle for shunt calculation is that the voltage drop across the galvanometer must equal the voltage drop across the shunt: \( I_g G = (I - I_g) S \). Ensure to correctly identify \( I \) (total current) and \( I_g \) (galvanometer current).

 

Question 23. चुम्बकीय आघूर्ण की परिभाषा दीजिए।
Answer: हल- किसी चुम्बकीय द्विध्रुव का चुम्बकीय आघूर्ण वह बल आघूर्ण है जो इस द्विध्रुव को एकांक व एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में क्षेत्र की दिशा के लम्बवत् रखने पर द्विध्रुव पर लगता है।
In simple words: Magnetic moment is a measure of the strength of a magnetic source and its orientation. It is defined as the torque experienced by a magnetic dipole when placed perpendicular to a uniform magnetic field of unit strength.

🎯 Exam Tip: The magnetic moment (M) is a vector quantity. For a current loop, \( M = NIA \), where N is the number of turns, I is the current, and A is the area of the loop. Its unit is Ampere-meter\(^2\).

 

Question 24. चुम्बकीय बल रेखाओं एवं वैद्युत बल रेखाओं में अन्तर लिखिए।
Answer: 1. चुम्बकीय बल रेखाएँ बन्द वक्र में होती हैं जबकि वैद्युत बल रेखाएँ बन्द वक्र में नहीं होती हैं। इसका मुख्य कारण चुम्बकीय ध्रुव का विलगित नहीं होना है जबकि धनावेश एवं ऋणावेश विलगित अवस्था में प्राप्त किए जा सकते हैं।
2. चुम्बकीय बल रेखाओं का किसी चुम्बकीय पदार्थ से किसी भी कोण पर निर्गमन अथवा आगमन सम्भव होता है। जबकि वैद्युत बल रेखाओं को किसी चालक पदार्थ से लम्बवत् निर्गमन अथवा आगमन होता है।
In simple words: Magnetic field lines form continuous closed loops because isolated magnetic poles do not exist, while electric field lines originate from positive charges and terminate on negative charges, not forming closed loops. Magnetic lines can enter/leave a material at any angle, but electric lines are perpendicular to conductor surfaces.

🎯 Exam Tip: Key differences include: closed vs. open loops, existence of isolated poles/charges, and how they interact with material surfaces. These distinctions are fundamental to understanding electromagnetism.

लघु उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. m द्रव्यमान का इलेक्ट्रॉन (आवेश q), एकसमान वैद्युत क्षेत्र E में विरामावस्था से त्वरित होता है। सिद्ध कीजिए कि x-दूरी तय करने में इलेक्ट्रॉन द्वारा अर्जित वेग \( \sqrt{\frac{2qEx}{m}} \) होगा।
Answer: हल-
माना द्रव्यमान m तथा धन आवेश q का एक कण एकसमान वैद्युत क्षेत्र \( \vec{E} \) में बिन्दु A पर विराम अवस्था में स्थित है (चित्र 4.8) । वैद्युत क्षेत्र द्वारा आवेशित कण पर आरोपित बल,

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक बिंदु A पर एक आवेशित कण (q) को विराम अवस्था (u=0) में दिखाता है, जो एकसमान विद्युत क्षेत्र E की दिशा में है। कण पर लगने वाला बल F भी E की दिशा में है, जिससे कण वेग v के साथ आगे बढ़ता है।

\( F = qE \) ...(1)
अतः कण का त्वरण
\( \alpha = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} \) ...(2)
यदि कण गति करने के लिए स्वतन्त्र है तो यह कण वैद्युत बल (अर्थात् वैद्युत क्षेत्र) की दिशा में सरल रेखीय पथ पर गमन करेगा।
यदि वैद्युत क्षेत्र की दिशा में x दूरी चलकर बिन्दु B पर, कण का वेग v हो, तो
\( v^2 = u^2 + 2ax \)
(जहाँ \( u = 0 \))
\( v^2 = 0 + 2\left(\frac{qE}{m}\right)x \)
\( \implies v = \sqrt{\frac{2qEx}{m}} \)
In simple words: An electron initially at rest accelerates under a uniform electric field. Using Newton's second law and equations of motion, we can derive that its velocity after traveling a distance x will be \( \sqrt{\frac{2qEx}{m}} \).

🎯 Exam Tip: This derivation combines concepts from electrostatics (force \( F = qE \)) and kinematics (equations of motion under constant acceleration). Ensure to correctly apply \( F=ma \) and \( v^2 = u^2 + 2ax \).

 

Question 2. समान गतिज ऊर्जा वाले दो आवेशित कण समरूप चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत प्रवेश करते हैं। यदि उनके द्रव्यमानों का अनुपात 4 : 1 तथा आवेशों का अनुपात 2 : 1 हो तो उनके वृत्तीय पथों की त्रिज्याएँ किस अनुपात में होंगी?
Answer: हल-
यहाँ दोनों कणों की गतिज ऊर्जाएँ समान हैं अर्थात् \( K_1 = K_2 = K \) तथा चुम्बकीय क्षेत्र भी समान हैं।
माना पहले कण का द्रव्यमान व आवेश क्रमशः \( m_1 \) तथा \( q_1 \) एवं द्वितीय कण का द्रव्यमान व आवेश क्रमशः \( m_2 \) तथा \( q_2 \) हैं।
तब पहले कण की त्रिज्या \( r_1 = \frac{\sqrt{2m_1K}}{q_1B} \) ...(1)
दूसरे कण की त्रिज्या \( r_2 = \frac{\sqrt{2m_2K}}{q_2B} \) ...(2)
समी० (1) को समी० (2) से भाग करने पर,
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{q_2}{q_1} \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \)
दिया है, \( \frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{1} \) तथा \( \frac{q_1}{q_2} = \frac{2}{1} \)
अतः \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \)
\( r_1 : r_2 = 1:1 \)
In simple words: The radius of a charged particle's circular path in a magnetic field is proportional to \( \sqrt{m}/q \). Given the ratios of masses and charges for two particles with equal kinetic energies, their path radii are compared to find their ratio.

🎯 Exam Tip: The formula for radius \( r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB} \) is key. Be careful with substituting the mass and charge ratios. The "equal kinetic energy" condition simplifies the numerator to \( \sqrt{2K} \), which cancels out in the ratio.

 

Question 3. एक इलेक्ट्रॉन-धारा में इलेक्ट्रॉन का वेग \( 2.0 \times 10^7 \) मीटर/सेकण्ड है। इलेक्ट्रॉन \( 1.6 \times 10^3 \) वोल्ट/मीटर के स्थिर वैद्युत क्षेत्र के लम्बवत दिशा में 10 सेमी चलने में 3.4 मिमी विक्षेपित हो जाता है। इलेक्ट्रॉन के विशिष्ट आवेश की गणना कीजिए।
Answer: हल-
यदि कोई इलेक्ट्रॉन E तीव्रता के वैद्युत क्षेत्र में v वेग से लम्बवत् प्रवेश करके इस क्षेत्र में x दूरी तय करने पर y दूरी ऊर्ध्वाधरतः विक्षेपित हो जाए, तो
\( y = \frac{1}{2} \left(\frac{eE}{m}\right) \left(\frac{x}{v}\right)^2 \)
अतः विशिष्ट आवेश \( \left(\frac{e}{m}\right) = \frac{2yv^2}{Ex^2} \)
यहाँ \( v = 2.0 \times 10^7 \) मी/से,
\( E = 1.6 \times 10^3 \) वोल्ट/मीटर
\( y = 3.4 \times 10^{-3} \) मीटर, \( x = 10 \text{ सेमी} = 10 \times 10^{-2} \text{ मी} = 10^{-1} \text{ मी} \)
- विशिष्ट आवेश \( \left(\frac{e}{m}\right) = \frac{2 \times (3.4 \times 10^{-3}) \times (2.0 \times 10^7)^2}{1.6 \times 10^3 \times (10^{-1})^2} \)
\( = \frac{2 \times 3.4 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^3 \times 10^{-2}} \)
\( = \frac{27.2 \times 10^{11}}{1.6 \times 10^1} = 1.7 \times 10^{11} \) कूलॉम/किग्रा
In simple words: When an electron moves perpendicular to a uniform electric field, it undergoes parabolic motion. By measuring its deflection over a certain distance, its specific charge (charge-to-mass ratio) can be calculated using the kinematic equations for projectile motion in an electric field.

🎯 Exam Tip: This problem involves projectile motion in an electric field. The key is to treat horizontal motion with constant velocity and vertical motion with constant acceleration (\( a = eE/m \)). The specific charge \( e/m \) is a fundamental constant for electrons.

 

Question 4. एक प्रोटॉन, एक डयूट्रॉन तथा एक \(\alpha\)-कण समान विभवान्तर से त्वरित होकर एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत् प्रवेश करते हैं।
(i) इनकी गतिज ऊर्जाओं की तुलना कीजिए।
(ii) यदि प्रोटॉन के वृत्ताकार मार्ग की त्रिज्या 10 सेमी हो, तो डयूट्रॉन तथा \(\alpha\) कण के मार्गों की त्रिज्याएँ क्या होंगी?
Answer: हल-
(i) V वोल्ट विभवान्तर से त्वरित q कूलॉम आवेश की गतिज ऊर्जा
\( K = qV \) जूल ।
प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा \( K_p = eV \) (\( \because \) आवेश \( q = e \))
ड्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा \( K_d = eV \) (\( \because \) आवेश \( q = e \))
\(\alpha\)-कण की गतिज ऊर्जा \( K_\alpha = 2eV \) (\( \because \) आवेश \( q = 2e \))
\( K_p : K_d : K_\alpha = 1:1:2 \)
(ii) चुम्बकीय क्षेत्र B में v चाल से गतिमान आवेशित कण (द्रव्यमान m, आवेश q) के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या r के लिए।
\( \frac{mv^2}{r} = qvB \)
\( \implies r = \frac{mv}{qB} \)
\( r^2 = \frac{m^2v^2}{q^2B^2} = \frac{2mK}{q^2B^2} \) [\( \because K = \frac{1}{2}mv^2 \)]
प्रोटॉन के लिए द्रव्यमान \( m_p \), आवेश e तथा गतिज ऊर्जा \( K_p \) है। अतः
\( r_p^2 = \frac{2m_p K_p}{e^2 B^2} \) ...(1)
ड्यूट्रॉन के लिए द्रव्यमान \( m_d = 2m_p \), आवेश e तथा गतिज ऊर्जा \( K_d \) है। अतः
\( r_d^2 = \frac{2(2m_p)K_d}{e^2 B^2} = \frac{4m_p K_d}{e^2 B^2} \) ...(2)
\(\alpha\)-कण के लिए द्रव्यमान \( m_\alpha = 4m_p \), आवेश \( q_\alpha = 2e \) तथा गतिज ऊर्जा \( K_\alpha \) है। अतः
\( r_\alpha^2 = \frac{2(4m_p)K_\alpha}{(2e)^2 B^2} = \frac{8m_p K_\alpha}{4e^2 B^2} = \frac{2m_p K_\alpha}{e^2 B^2} \) ...(3)
समीकरण (1) व (2) से,
\( \frac{r_d^2}{r_p^2} = \frac{2K_d}{K_p} \)
[ \( \because K_p : K_d = 1:1 \)]
\( \frac{r_d^2}{r_p^2} = 2 \implies r_d = \sqrt{2} r_p \)
दिया है, \( r_p = 10 \text{ सेमी} \)
\( r_d = \sqrt{2} \times 10 = 1.414 \times 10 = 14.14 \) सेमी
समीकरण (1) व (3) से,
\( \frac{r_\alpha^2}{r_p^2} = \frac{2K_\alpha}{K_p} \)
\( \frac{r_\alpha^2}{r_p^2} = 2 \times 2 = 4 \implies r_\alpha = 2r_p \)
\( r_\alpha = 2 \times 10 = 20 \) सेमी
In simple words: When a proton, deuteron, and alpha-particle are accelerated by the same potential difference and enter a uniform magnetic field perpendicularly, their kinetic energies are proportional to their charges. The radii of their circular paths are then calculated using the relationship \( r \propto \sqrt{mK}/q \).

🎯 Exam Tip: Remember the relations: \( K = qV \) (kinetic energy after acceleration by potential V) and \( r^2 = \frac{2mK}{q^2B^2} \) (radius in magnetic field). The key is to correctly identify the mass (m) and charge (q) for each particle: proton (\( m_p, e \)), deuteron (\( 2m_p, e \)), and alpha-particle (\( 4m_p, 2e \)).

 

Question 5. एक वृत्ताकार धारावाही कुण्डली के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र का व्यंजक निगमित कीजिए।
या
बायो-सेवर्ट का नियम समझाइए। इस नियम का उपयोग करके एक वृत्ताकार धारावाही कुण्डली के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र के व्यंजक का निगमन कीजिए ।
Answer: उत्तर-
बायो-सेवर्ट का नियम- [संकेत-दीर्घ उत्तरीय प्रश्न 2 का उत्तर पढ़िए ।]
वृत्ताकार धारावाही कुण्डली के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र- माना एक तार को मोड़कर r मीटर त्रिज्या की वृत्ताकार कुण्डली बनाई गयी है। माना कुण्डली में I ऐम्पियर की धारा प्रवाहित हो रही है। कुण्डली के केन्द्र O पर चुम्बकीय क्षेत्र ज्ञात करने के लिए मान लेते हैं कि कुण्डली की परिधि अनेक अल्पांशों से मिलकर बनी है। इनमें से एक अल्पांश की लम्बाई \( \Delta l \) है। बायो-सेवर्ट नियम के अनुसार अल्पांश \( \Delta l \) के कारण O पर चुम्बकीय क्षेत्र का मान

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्ताकार धारावाही कुंडली (त्रिज्या r) को दर्शाता है जिसमें I धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली के केंद्र O पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना के लिए एक छोटा धारा अल्पांश \( \Delta l \) लिया गया है। अल्पांश और केंद्र O को मिलाने वाली रेखा (त्रिज्या) के बीच का कोण \( \theta \) है।

\( \Delta B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\Delta l \sin \theta}{r^2} \)
जहाँ \( \theta \), अल्पांश \( \Delta l \) तथा इस अल्पांश को केन्द्र O से मिलाने वाली रेखा के बीच बना कोण है; जिसका मान \( 90^\circ \) होगा, क्योंकि त्रिज्या एवं परिधि के प्रत्येक बिन्दु के बीच बना कोण \( 90^\circ \) होता है। अतः O पर चुम्बकीय क्षेत्र का मान
\( \Delta B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\Delta l \sin 90^\circ}{r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\Delta l}{r^2} \)
\( \Delta B \) की दिशा कुण्डली के तल के लम्बवत् है। कुण्डली में वामावर्त धारा के लिए \( \Delta B \) की दिशा कुण्डली के तल के लम्बवत् ऊपर की ओर है। यदि धारा दक्षिणावर्त होती तब \( \Delta B \) की दिशा नीचे की ओर होती। चित्र 4.9 में प्रदर्शित स्थिति में कुण्डली के प्रत्येक खण्ड के लिए O पर चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा ऊपर की ओर होगी। अतः समस्त खण्डों द्वारा O पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र B सभी अल्पांशों के क्षेत्रों के योग से प्राप्त होगा। इस प्रकार,
\( B = \sum \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\Delta l}{r^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \sum \Delta l \)
परन्तु \( \sum \Delta l \) = वृत्त की परिधि = \( 2\pi r \)
- \( B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} (2\pi r) = \frac{\mu_0 I}{2r} \) ...(1)
यदि कुण्डली में तार के N फेरे हों,
तब \( B = \frac{\mu_0 NI}{2r} \) न्यूटन/ऐम्पियर-मीटर
चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा कुण्डली के तल के लम्बवत् है।
In simple words: The magnetic field at the center of a circular current loop is derived using Biot-Savart law. Each small current element of the loop contributes to the field, and by integrating these contributions over the entire loop, the total field is found to be proportional to current and number of turns, and inversely proportional to the radius.

🎯 Exam Tip: This derivation is a classic application of the Biot-Savart Law. Remember that for a point at the center of a circular loop, \( d\vec{l} \) is always perpendicular to \( \vec{r} \), simplifying \( \sin \theta \) to 1. The summation of \( d\vec{l} \) becomes the circumference of the loop.

 

Question 6. 0.5 एंगस्ट्रॉम त्रिज्या के वृत्त में एक इलेक्ट्रॉन \( 3 \times 10^5 \) चक्कर/सेकण्ड की दर से घूमता है। वृत्त के केन्द्र पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात कीजिए।

Answer:दिया है, वृत्ताकार मार्ग की त्रिज्या \( (r) = 0.5 \) Å \( = 0.5 \times 10^{-10} \) मी
इलेक्ट्रॉन की चाल \( (v) = 3 \times 10^5 \) चक्कर/से
आवेश \( (q) = e = 1.6 \times 10^{-19} \) कूलॉम
इलेक्ट्रॉन की वृत्तीय पथ पर गति के कारण केन्द्र पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र \[ B = \frac{\mu_0 \ qv \sin 90^\circ}{4\pi \ r^2} = \frac{\mu_0 \ qv}{4\pi \ r^2} \] \[ = 10^{-7} \times \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (3 \times 10^5)}{(0.5 \times 10^{-10})^2} \] \[ = 1.9 \text{ टेस्ला} \]In simple words: एक वृत्ताकार कक्षा में गतिमान इलेक्ट्रॉन के कारण केंद्र पर चुम्बकीय क्षेत्र की गणना बायो-सेवर्ट नियम का उपयोग करके की जाती है, जहाँ इलेक्ट्रॉन का आवेश, चाल और कक्षा की त्रिज्या महत्वपूर्ण कारक हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, इलेक्ट्रॉन की चाल को वृत्ताकार पथ परिक्रमण आवृत्ति से निर्धारित किया जाता है, जो गणना का आधार बनती है।

 

Question 7. \( 2 \times 10^{-10} \) मी त्रिज्या के वृत्ताकार मार्ग पर एक इलेक्ट्रॉन \( 3 \times 10^{-6} \) मी/से की एक समान चाल से चक्कर लगा रहा है। वृत्ताकार मार्ग के केन्द्र पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र की गणना कीजिए ।

Answer:हल-वृत्ताकार मार्ग की त्रिज्या \( (r) = 2 \times 10^{-10} \) मी
इलेक्ट्रॉन की चाल \( (v) = 3 \times 10^6 \) मी/से
आवेश \( (q) = e = 1.6 \times 10^{-19} \) कूलॉम
वृत्ताकार मार्ग के केन्द्र पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र \[ B = \frac{\mu_0 \ qv \sin\theta}{4\pi \ r^2} = \frac{\mu_0 \ qv}{4\pi \ r^2} \] \[ = \frac{10^{-7} \times (1.6 \times 10^{-19})(3 \times 10^6)}{(2 \times 10^{-10})^2} \] \[ = 1.2 \text{ टेस्ला} \]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक इलेक्ट्रॉन को \( 90^\circ \) के कोण पर एक वृत्ताकार मार्ग में गति करते हुए दर्शाता है, जहाँ \( v \) इसकी चाल और \( C \) वृत्त का केंद्र है।In simple words: जब एक इलेक्ट्रॉन वृत्ताकार पथ में गति करता है, तो उसके कारण केंद्र पर उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण बायो-सेवर्ट नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जो इलेक्ट्रॉन के वेग, आवेश और कक्षा की त्रिज्या पर निर्भर करता है।

🎯 Exam Tip: वृत्ताकार गति में आवेशित कणों के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र की गणना करते समय, \( \sin\theta \) का मान \( 90^\circ \) लिया जाता है, क्योंकि वेग त्रिज्या के लंबवत होता है।

 

Question 8. किसी \( 10^{-5} \) टेस्ला के एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में 10 eV ऊर्जा का एक इलेक्ट्रॉन वृत्ताकार मार्ग पर परिक्रमा कर रहा है। वृत्ताकार मार्ग की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

Answer:हल- दिया है, \( B = 10^{-5} \) टेस्ला,
इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा \( E_K = 10 \text{ eV} = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \) जूल
\( = 1.6 \times 10^{-18} \) जूल
इलेक्ट्रॉन की चाल, \( v = \sqrt{\frac{2E_K}{m}} \) \[ = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-18}}{9.0 \times 10^{-31}}} \] \[ = 1.89 \times 10^6 \text{ मी/से} \] वृत्ताकार मार्ग की त्रिज्या, \( r = \frac{mv}{eB} \) \[ = \frac{9.0 \times 10^{-31} \times 1.89 \times 10^6}{(1.6 \times 10^{-19})(10^{-5})} \] \[ = 10.6 \times 10^{-1} = 1.06 \text{ मी} \]In simple words: एक इलेक्ट्रॉन एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में वृत्ताकार गति करता है; इसकी गतिज ऊर्जा से वेग निकालकर, चुम्बकीय बल और अभिकेन्द्रीय बल के संतुलन से वृत्ताकार पथ की त्रिज्या ज्ञात की जा सकती है।

🎯 Exam Tip: इलेक्ट्रॉन वोल्ट (eV) को जूल में बदलने के लिए \( 1.6 \times 10^{-19} \) से गुणा करना आवश्यक है। यह रूपांतरण सही गणना के लिए महत्वपूर्ण है।

 

Question 9. दो लम्बे समान्तर तारों में हैं। तथा \( 2i \) धाराएँ समान दिशा में प्रवाहित हो रही हैं। यदि तारों के बीच की लम्बवत दूरी \( 2a \) हो तब तारों के बीच मध्य बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र का मान व दिशा ज्ञात कीजिए।

Answer:हल-
ऐम्पियर की धारा के कारण बिन्दु \( P \) पर चुम्बकीय क्षेत्र \[ B_1 = \frac{\mu_0 \ i}{2\pi a} \]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समांतर तारों को दर्शाता है जिनमें \( i \) और \( 2i \) धाराएँ प्रवाहित हो रही हैं, और उनके बीच की दूरी \( 2a \) है। मध्यबिंदु \( P \) पर चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा को तीर द्वारा दिखाया गया है। क्षेत्र की दिशा कागज के तल के लम्बवत् नीचे की ओर होगी।
\( 2i \) ऐम्पियर की धारा के कारण बिन्दु \( P \) पर चुम्बकीय क्षेत्र \[ B_2 = \frac{\mu_0 \ 2i}{2\pi a} = \frac{\mu_0 \ i}{\pi a} \] क्षेत्र की दिशा कागज के तल के लम्बवत् ऊपर की ओर होगी।
अतः बिन्दु \( P \) पर परिणामी चुम्बकीय क्षेत्र \[ B = B_2 - B_1 = \frac{\mu_0 \ i}{\pi a} - \frac{\mu_0 \ i}{2\pi a} = \frac{2\mu_0 \ i - \mu_0 \ i}{2\pi a} \]
\[ B = \frac{\mu_0 \ i}{2\pi a} \] परिणामी क्षेत्र कागज के तल के लम्बवत् ऊपर की ओर होगा।In simple words: दो समानांतर तारों में समान दिशा में धारा प्रवाहित होने पर, उनके बीच के मध्य बिंदु पर शुद्ध चुम्बकीय क्षेत्र दोनों तारों के व्यक्तिगत क्षेत्रों का सदिश योग होता है, जिसकी दिशा बड़ी धारा के क्षेत्र की दिशा में होती है।

🎯 Exam Tip: दो समांतर तारों के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा को दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है, और शुद्ध क्षेत्र की गणना करते समय दिशाओं को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है।

 

Question 10. 2.0 मीटर लम्बी परिनालिका में 1000 फेरे हैं। इसमें 10 ऐम्पियर की धारा प्रवाहित हो रही है। इसके केन्द्र में उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:हल-
\( B = \mu_0 ni \), जहाँ \( n = N/l \) (प्रति मीटर लम्बाई में फेरों की संख्या)
\( i = 10 \) ऐम्पियर, \( n = \frac{1000}{2} = 500 \)
\( B = 4\pi \times 10^{-7} \times 500 \times 10 \)
\( = 6.28 \times 10^{-3} \) न्यूटन/(ऐम्पियर-मीटर)
In simple words: एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुम्बकीय क्षेत्र उसकी प्रति यूनिट लंबाई में फेरों की संख्या और प्रवाहित धारा पर निर्भर करता है, और इसे \(\mu_0 ni\) सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है।

🎯 Exam Tip: परिनालिका के केंद्र में चुम्बकीय क्षेत्र को प्रभावित करने वाले मुख्य कारक प्रति मीटर फेरों की संख्या \(n\) और प्रवाहित धारा \(i\) हैं।

 

Question 11. दो लम्बे सीधे तार, जिनमें प्रत्येक में 5.0 ऐम्पियर धारा प्रवाहित हो रही है, एक-दूसरे के समान्तर 2.5 सेमी की दूरी पर रखे हैं। तारों की 10.0 सेमी लम्बाई पर लगने वाला बल ज्ञात कीजिए।

Answer:हल- हम जानते हैं कि, \[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 \ i_1 i_2}{2\pi r} \] जहाँ, \( L = 10 \) सेमी \( = 10^{-1} \) मीटर, \( \frac{\mu_0}{2\pi} = 2 \times 10^{-7} \) न्यूटन ऐम्पियर\(^{-2}\)
\( i_1 = i_2 = 5 \) ऐम्पियर, \( r = 2.5 \) सेमी \( = \frac{1}{40} \) मीटर
तारों की 10 सेमी लम्बाई पर लगने वाला बल \[ F = 2 \times 10^{-7} \times \frac{(5)^2}{1/40} \times 10^{-1} \] \[ = 2 \times 10^{-5} \text{ न्यूटन} \]In simple words: दो समानांतर तारों के बीच लगने वाला बल उनकी धाराओं और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है, जिसे प्रति इकाई लंबाई बल के सूत्र का उपयोग करके गणना किया जाता है।

🎯 Exam Tip: बल की गणना करते समय सभी इकाइयों को SI प्रणाली में परिवर्तित करना सुनिश्चित करें, विशेष रूप से दूरी को मीटर में और लंबाई को मीटर में।

 

Question 12. एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में एक धारावाही आयताकार कुण्डली लटकायी गई है। इस पर लगने वाले बल युग्म के आघूर्ण का व्यंजक प्राप्त कीजिए।

Answer:हल-
एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में स्थित धारा-लूप (अथवा कुण्डली अथवा परिनालिका) को व्यवहार ठीक वैसा ही होता है जैसा दण्ड-चुम्बक का। हमने यह पढ़ा है कि चुम्बकीय क्षेत्र में स्थित धारा-लूप पर एक बल-युग्म लगता है जो कि लूप को ऐसी स्थिति में घुमाने की प्रवृत्ति रखता है जिसमें कि लूप की अक्ष चुम्बकीय क्षेत्र के समान्तर हो जाये। ठीक इसी प्रकार, चुम्बकीय क्षेत्र में लटकाया गया दण्ड-चुम्बक भी घूम कर ऐसी स्थिति में ठहरता है जिसमें कि चुम्बक की अक्ष चुम्बकीय क्षेत्र के समान्तर हो जाती है। स्पष्ट है कि चुम्बकीय क्षेत्र में स्थित दण्ड-चुम्बक पर भी एक बल-युग्म लगता है जो कि चुम्बक की अक्ष को क्षेत्र के समान्तर करने की प्रवृत्ति रखता है। चुम्बक के परमाणवीय मॉडल के अनुसार, चुम्बक का प्रत्येक परमाणु एक नन्हा धारा-लूप होता है तथा ये सभी धारा-लूप एक ही दिशा में संरेखित होते हैं चुम्बकीय क्षेत्र में इन नन्हें धारा-लूपों पर लगने वाले बल-युग्मों का योग ही चुम्बक पर लगने वाला बल-युग्म होता है (चित्र 4.12)।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चुंबकीय क्षेत्र में निलंबित एक धारावाही कुंडली को दर्शाता है, जिसमें चुंबकीय अक्ष को क्षेत्र के साथ \( \theta \) कोण बनाते हुए दिखाया गया है, जिससे कुंडली पर एक बल आघूर्ण लगता है। हम जानते हैं कि चुम्बकीय क्षेत्र \( \vec{B} \) में, क्षेत्र की दिशा से \( \theta \) कोण पर स्थित धारा-लूप पर लगने वाले बल-युग्म का आघूर्ण \( = (iA) B \sin \theta \) जहाँ \( A \) धारा-लूप को क्षेत्रफल है। यदि दण्ड-चुम्बक में \( N \) धारा-लूप हों, तब पूरे चुम्बक पर लगने वाले बल-युग्म का आघूर्ण \( \tau = (NiA) B \sin \theta \)..... (1) चुम्बकीय क्षेत्र में स्थित दण्ड-चुम्बक, धारा-लूप अथवा धारावाही कुण्डली का व्यवहार वैद्युत क्षेत्र में स्थित वैद्युत द्विध्रुव के व्यवहार के सदृश है। यही कारण है कि दण्ड-चुम्बक, धारा-लूप, धारावाही कुण्डली, इत्यादि 'चुम्बकीय द्विध्रुव' (magnetic dipole) कहलाते हैं। हम जानते हैं कि वैद्युत क्षेत्र \( \vec{E} \) में क्षेत्र की दिशा से \( \theta \) कोण पर स्थित वैद्युत द्विध्रुव पर एक बल-युग्म लगता है, जिसका आघूर्ण निम्नलिखित समीकरण के अनुसार होता है- \( \tau = pE \sin \theta \).....(2) जहाँ, \( p \) वैद्युत द्विध्रुव का आघूर्ण है। समीकरण (1) व (2) की तुलना से यह स्पष्ट है कि राशि \( NiA \), वैद्युत द्विध्रुव के आघूर्ण \( p \) के समतुल्य है। इसे 'चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण' अथवा 'दण्ड-चुम्बक का चुम्बकीय आघूर्ण' (magnetic moment) \( M \) कहते हैं, अर्थात् \( M=NiA \) चुम्बकीय आघूर्ण एक सदिश राशि है। यह चुम्बकीय अक्ष के अनुदिश दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव की ओर दिष्ट होता है। अब, समीकरण (1) से, दण्ड-चुम्बक पर लगने वाले बल-युग्म का आघूर्ण \( \tau = MB \sin \theta \)
In simple words: एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखी धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल-युग्म उसे क्षेत्र के समानांतर संरेखित करने का प्रयास करता है, और इसका परिमाण कुंडली के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण और चुंबकीय क्षेत्र के बीच के कोण पर निर्भर करता है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण \(M\) की सही परिभाषा जानते हैं, जो \(NIA\) के बराबर होता है, जहाँ \(N\) फेरों की संख्या, \(I\) धारा, और \(A\) कुंडली का क्षेत्रफल है।

 

Question 13. चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण की परिभाषा दीजिए। बाह्य चुम्बकीय क्षेत्र में स्थित चुम्बकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा का व्यंजक प्राप्त कीजिए।
या
चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण की परिभाषा लिखिए।

Answer:उत्तर-
चुम्बकीय द्विध्रुव की ध्रुव सामर्थ्य तथा चुम्बक की प्रभावी लम्बाई के गुणनफल की चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण कहते हैं। इसे ‘M’ से प्रकट करते हैं।
जब किसी चुम्बकीय द्विध्रुव को एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में रखते हैं तो इस पर एक बल-युग्म का आघूर्ण कार्य करता है जो कि चुम्बकीय द्विध्रुव को बाह्य चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित करने का प्रयत्न करता है। अतः चुम्बकीय द्विध्रुव को चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा से घुमाने - में कार्य करना पड़ता है। यह कार्य ही चुम्बकीय द्विध्रुव में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चुंबकीय द्विध्रुव को दर्शाता है, जिसे चुंबकीय क्षेत्र \(B\) में \(d\theta\) कोण से घुमाया जा रहा है, और यह घुमाव चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण \(M\) और बल आघूर्ण \(T\) के बीच संबंध को दर्शाता है। माना एक चुम्बकीय द्विध्रुव जिसका चुम्बकीय द्विध्रुव-आघूर्ण \( M \) है। एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र \( B \) में क्षेत्र की दिशा से \( \theta \) कोण बनाते हुए स्थित है अतः चुम्बकीय द्विध्रुव पर कार्यरत बल-युग्म का आघूर्ण
\( \tau = MB \sin \theta \)
चुम्बकीय द्विध्रुव को इस स्थिति से अत्यन्त सूक्ष्म कोण \( d\theta \) घुमाने में किया गया कार्य
\( dW = \tau d\theta = MB \sin \theta d\theta \)
इसी प्रकार चुम्बकीय द्विध्रुवे को चुम्बकीय क्षेत्र में अभिविन्यास \( \theta_1 \) से अभिविन्यास \( \theta_2 \) तक घुमाने में किया गया कार्य
\[ W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} MB \sin \theta d\theta = MB[- \cos \theta]_{\theta_1}^{\theta_2} \] \[ = -MB (\cos \theta_2 - \cos \theta_1) \] अथवा
\( W = MB (\cos \theta_1 - \cos \theta_2) \) जूल
यह कार्य ही चुम्बकीय द्विध्रुव में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। अतः वैद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा
\( U = MB (\cos \theta_1 - \cos \theta_2) \)
सुविधा के लिए हम किसी भी स्वेच्छ अभिविन्यास के लिए स्थितिज ऊर्जा का मान शून्य मान सकते हैं।
यहाँ हम \( \theta_1 = 90^\circ \) के लिए शून्य स्थितिज ऊर्जा \( (U = 0) \) मानते हैं, तब द्विध्रुव की चुम्बकीय अक्ष के बाह्य चुम्बकीय क्षेत्र \( \theta_2 = \theta \) अभिविन्यास पर द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा
\( U_\theta = MB (\cos 90^\circ - \cos \theta) \)
\( U_\theta = - MB \cos \theta \) जूल
अथवा
\( U_\theta = - \vec{M} \cdot \vec{B} \) जूल
In simple words: चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण किसी चुंबकीय द्विध्रुव की ध्रुव शक्ति और प्रभावी लंबाई का गुणनफल होता है; बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में इसकी स्थितिज ऊर्जा को द्विध्रुव को क्षेत्र से घुमाने में किए गए कार्य के रूप में व्यक्त किया जाता है।

🎯 Exam Tip: चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण की परिभाषा और इसके स्थितिज ऊर्जा के सूत्र को ठीक से याद रखें, क्योंकि ये अक्सर सीधे पूछे जाते हैं।

 

Question 14. हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन \( 5.0 \times 10^{-11} \) मी त्रिज्या की कक्षा में \( 2 \times 10^6 \) मी/से की चाल से गति कर रहा है। परमाणु का चुम्बकीय आघूर्ण ज्ञात कीजिए।
या
एक परमाणु में इलेक्ट्रॉन \( 0.50 \) Å त्रिज्या की कक्षा में \( 4 \times 10^{15} \) चक्कर/से से घूम रहा है। परमाणु के चुम्बकीय आघूर्ण का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:हल- दिया है, \( r = 5 \times 10^{-11} \) मी, \( v = 2 \times 10^6 \) मी/से
\[ i = \frac{e \times v}{2\pi r} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^6}{2\pi \times 5 \times 10^{-11}} \] \[ = \frac{1.6}{5\pi} \times 10^{-2} \] \( A = \pi r^2 = \pi \times (5 \times 10^{-11})^2 = 25\pi \times 10^{-22} \)
चुम्बकीय आघूर्ण, \( M = iA \)
\[ = \frac{1.6}{5\pi} \times 10^{-2} \times 25\pi \times 10^{-22} \] \[ = 8.0 \times 10^{-24} \text{ ऐम्पियर-मीटर}^2 \] [संकेत - या वाला प्रश्न उपर्युक्त की भाँति स्वयं करें]
In simple words: एक परमाणु में इलेक्ट्रॉन की वृत्ताकार गति एक धारा लूप बनाती है, जिसके कारण उत्पन्न चुंबकीय आघूर्ण की गणना इलेक्ट्रॉन के आवेश, वेग और कक्षा की त्रिज्या से की जाती है।

🎯 Exam Tip: चुंबकीय आघूर्ण की गणना करते समय, \(i\) (प्रवाहित धारा) और \(A\) (कक्षा का क्षेत्रफल) के मानों को सही ढंग से निकालना महत्वपूर्ण है।

 

Question 15. एक धारामापी की कुण्डली का प्रतिरोध 100 ओम है। 5.0 मिली ऐम्पियर धारा से इसमें पूर्ण स्केल विक्षेपण प्राप्त होता है। इसे 0 से 10 ऐम्पियर परास के अमीटर में कैसे परिवर्तित करेंगे?

Answer:हल- शंट प्रतिरोध \( S = \frac{I_g \times G}{I - I_g} \)
यहाँ
\( I_g = 5.0 \text{ mA} = 5.0 \times 10^{-3} \) ऐम्पियर
\( G = 100 \Omega \) तथा \( I = 10 \) ऐम्पियर
अतः \[ S = \frac{5.0 \times 10^{-3} \times 100}{10 - 5 \times 10^{-3}} \] \[ = \frac{0.5}{9.995} = 0.05 \text{ ओम} \] \( 0.05 \Omega \) के प्रतिरोध को धारामापी के समान्तर क्रम में जोड़ने पर यह अभीष्ट अमीटर में बदल जाएगा।
In simple words: एक धारामापी को अमीटर में बदलने के लिए, इसकी कुण्डली के समानांतर एक कम प्रतिरोध (शंट) जोड़ा जाता है, जिससे अधिकांश धारा शंट से होकर गुजरती है और धारामापी की सीमा बढ़ जाती है।

🎯 Exam Tip: शंट प्रतिरोध की गणना का सूत्र \(\left( S = \frac{I_g \times G}{I - I_g} \right)\) याद रखना महत्वपूर्ण है, और ध्यान रखें कि सभी धाराओं को एम्पीयर में होना चाहिए।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. साइक्लोट्रॉन के सिद्धान्त एवं कार्य विधि का संक्षिप्त विवरण दीजिए । साइक्लोट्रॉन की सीमाओं का उल्लेख कीजिए।

Answer:हल-
सिद्धान्त- चुम्बकीय क्षेत्र में परिक्रमण करने वाले आवेशित कणों की परिक्रमण आवृत्ति कण की ऊर्जा पर निर्भर नहीं करती है। अतः क्रॉसित (परस्पर लम्बवत्) वैद्युत तथा चुम्बकीय क्षेत्रों का उपयोग कर आवेशित कण को चुम्बकीय क्षेत्र की सहायता से बार-बार एक ही वैद्युत क्षेत्र से गुजारकर उसको उच्च ऊर्जा तक त्वरित किया जा सकता है।
कार्य-विधि- माना \( m \) द्रव्यमान तथा \( +q \) आवेश का एक आयन, आयन-स्रोत से उस क्षण निर्गत होता है जबकि \( D_2 \) ऋण विभव पर है। यह आयनन डीज के बीच के अन्तराल में विद्यमान वैद्युत क्षेत्र के द्वारा \( D_2 \) की ओर को त्वरित होकर \( D_2 \) में वेग \( v \) (माना) से प्रवेश कर जाता है। डीज के भीतर प्रवेश करते ही यह आयन डीज की धात्विक दीवारों द्वारा वैद्युत क्षेत्र से परिरक्षित कर दिया जाता है। अब डीज के तल के लम्बवत् चुम्बकीय क्षेत्र के कारण आयन नियत चाल \( v \) से त्रिज्या \( r \) के वृत्ताकार पथ पर चलने लगता है। आयन की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेन्द्र बल, उस पर कार्यरत चुम्बकीय बल से प्राप्त होता है। अतः अभिकेन्द्र बल = चुम्बकीय बल ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक साइक्लोट्रॉन की आंतरिक संरचना को दर्शाता है, जिसमें \( D_1 \) और \( D_2 \) नामक दो 'डीज' हैं, जो एक उच्च आवृत्ति वाले प्रत्यावर्ती वोल्टेज स्रोत से जुड़े हैं। आवेशित कण केंद्रीय स्रोत से उत्सर्जित होकर चुंबकीय क्षेत्र और विद्युत क्षेत्र के संयोजन द्वारा त्वरित होते हैं, जिससे वे बाहर निकल जाते हैं। अथवा
\[ \frac{mv^2}{r} = qvB \] \[ r = \frac{mv}{qB} \] [जहाँ \( B \) चुम्बकीय क्षेत्र है]
आयन द्वारा एक अर्द्ध-वृत्त पूरा करने में लिया जाने वाला समय
\[ t = \frac{\pi r}{v} = \frac{\pi m}{qB} \] समीकरण (1) से स्पष्ट है कि आयन द्वारा किसी एक \( D \) से होकर जाने में लिया गया समय, आयन की चाल तथा वृत्त की त्रिज्या पर निर्भर नहीं है, यह केवल चुम्बकीय क्षेत्र \( B \) तथा आयन के आवेश-द्रव्यमान अनुपात \( \left(\frac{q}{m}\right) \) पर निर्भर करता है
आयन का आवर्तकाल, \( T = 2t = \frac{2\pi m}{qB} \)
अनुनाद उत्पन्न करने के लिए प्रत्यावर्ती विभव की आवृत्ति
\( \nu_0 = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m} \)
साइक्लोट्रॉन की सीमाएँ-
(i) साइक्लोट्रॉन द्वारा अनावेशित कण जैसे- न्यूट्रॉन (जो कि नाभिकीय क्रियाओं के लिए सर्वश्रेष्ठ प्रक्षेप्य कण है) को त्वरित नहीं किया जा सकता है।
(ii) साइक्लोट्रॉन द्वारा इलेक्ट्रॉनों को त्वरित नहीं किया जा सकता है क्योंकि इनका द्रव्यमान बहुत कम होता है, अतः सूक्ष्म गतिज ऊर्जा ग्रहण कर ही ये बहुत उच्च वेग से गति करने लगते हैं।
(iii) साइक्लोट्रॉन द्वारा आवेशित कणों को इतने उच्च वेग तक त्वरित नहीं किया जा सकता है कि उनका वेग प्रकाश के वेग के तुल्य हो जाए क्योंकि इतने उच्च वेग पर आवेशित कणों का द्रव्यमान नियत न रहकर वेग के साथ परिवर्तित होता हैं। यदि आवेशित कण का विराम द्रव्यमान \( m_0 \) हो तथा \( v \) वेग से गति करते समय कण का वेग \( m \) हो, तब \( m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \) जहाँ, \( c \) निर्वात् में प्रकाश की चाल है।
In simple words: साइक्लोट्रॉन एक ऐसा उपकरण है जो आवेशित कणों को उच्च ऊर्जा तक त्वरित करने के लिए चुंबकीय और विद्युत क्षेत्रों का उपयोग करता है, लेकिन इसकी कुछ सीमाएँ हैं जैसे कि यह अनावेशित कणों या बहुत हल्के कणों को त्वरित नहीं कर सकता है।

🎯 Exam Tip: साइक्लोट्रॉन के सिद्धांत, कार्यप्रणाली और सीमाओं को स्पष्ट रूप से समझें, विशेष रूप से अनुनाद स्थिति और द्रव्यमान-वेग निर्भरता।

 

Question 2. धारावाही चालक के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता से सम्बन्धित बायो-सेवर्ट नियम की व्याख्या कीजिए। बायो-सेवर्ट नियम की समीकरण से निर्वात की चुम्बकशीलता का मात्रक एवं विमीय समीकरण निकालिए।
या
बायो-सेवर्ट नियम को शब्दों तथा सूत्र में लिखिए।
या
बायो-सेवर्ट नियम का उल्लेख कीजिए।
या
किसी धारावाही चालक के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र के सम्बन्ध में बायो-सेवर्ट के नियम का उल्लेख कीजिए।

Answer:उत्तर-
बायो-सेवर्ट का नियम (Biot-Savart Law)- सन् 1820 में बायो तथा सेवर्ट ने धारावाही चालकों द्वारा उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र का अध्ययन करने के लिए अनेक प्रयोग किये। इन प्रयोगों के आधार पर उन्होंने बताया कि किसी धारावाही चालक के एक अल्पांश \( \Delta l \) के द्वारा उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र में किसी बिन्दु \( P \) पर क्षेत्र का मान \( \Delta B \) निम्नलिखित बातों पर निर्भर करता है-
(i) चुम्बकीय क्षेत्र \( \Delta B \), चालक में प्रवाहित धारा \( i \) के अनुक्रमानुपाती होता है।
अर्थात्
\( \Delta B \propto i \)
(ii) चुम्बकीय क्षेत्र, चालक के अल्पांश की लम्बाई \( \Delta l \) के अनुक्रमानुपाती होता है।
अर्थात्
\( \Delta B \propto \Delta l \)
(iii) चुम्बकीय क्षेत्र, अल्पांश की लम्बाई तथा अल्पांश को उस बिन्दु \( P \) से मिलाने वाली रेखा के बीच बनने वाले कोण की ज्या (sine) के अनुक्रमानुपाती होता है।
अर्थात्
\( \Delta B \propto \sin \theta \)
(iv) चुम्बकीय क्षेत्र बिन्दु \( P \) की अल्पांश से दूरी \( r \) के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अर्थात्
\( \Delta B \propto \frac{1}{r^2} \)
उपर्युक्त चारों तथ्यों को एक साथ लिखने पर
\( \Delta B \propto \frac{i \Delta l \sin \theta}{r^2} \)
इस सम्बन्ध को ही बायो-सेवर्ट का नियम कहते हैं।
यदि चालक निर्वात् (अथवा वायु) में स्थित हो, तब यह सम्बन्ध निम्नलिखित सूत्र के रूप में लिखा जाता है-
\[ \Delta B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i \Delta l \sin \theta}{r^2} \]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक धारावाही चालक के एक छोटे अल्पांश \( \Delta l \) के कारण बिंदु \( P \) पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र \( \Delta B \) को दर्शाता है, जहाँ \( r \) दूरी और \( \theta \) कोण महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
जहाँ \( \mu_0/4\pi \) अनुक्रमानुपाती नियतांक है। \( \mu_0 \) निर्वात् की चुम्बकशीलता (permeability) कहलाती है। यदि \( i \) ऐम्पियर में तथा \( \Delta l \) व \( r \) मीटर में हों तो इसका मान \( 4\pi \times 10^{-7} \) न्यूटन/ऐम्पियर\(^2\) होता है। \( \mu_0 \) की विमा \([MLT^{-2}A^{-2}]\) होती है।
धारावाही चालक के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा दायें हाथ की हथेली के नियम नं० 1 अथवा मैक्सवेल के दक्षिणावर्त पेंच के नियम द्वारा ज्ञात की जाती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक धारावाही चालक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को दर्शाता है। बिंदु P पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा को दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके दर्शाया गया है, जहाँ 'X' कागज के तल के लम्बवत् अंदर की ओर और '●' कागज के तल के लम्बवत् ऊपर की ओर दिशा को इंगित करता है। यदि चालक में प्रवाहित धारा \( i \) ऐम्पियर में, अल्पांश की लम्बाई \( dl \) तथा अल्पांश से प्रेक्षण बिन्दु की दूरी \( r \) मीटर में हो, तब \( \mu_0 \) का मान
\( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \) न्यूटन/ऐम्पियर\(^2\)
अथवा
\[ \frac{\text{वेबर}}{\text{ऐम्पियर - मीटर}} \] अतः \( \frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \) न्यूटन/मीटर होता है।
\( \mu_0 \) का मात्रक = न्यूटन/ऐम्पियर\(^2\)
\( \mu_0 \) की विमा \( [\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}]}{[A^2]} = [MLT^{-2}A^{-2}] \)
In simple words: बायो-सेवर्ट नियम बताता है कि एक छोटे धारा अल्पांश द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र, धारा, अल्पांश की लंबाई, कोण और दूरी पर निर्भर करता है; इसका उपयोग चुंबकीय पारगम्यता (\(\mu_0\)) के मात्रक और विमा को समझने के लिए किया जाता है।

🎯 Exam Tip: बायो-सेवर्ट नियम का सूत्र \(\left( \Delta B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i \Delta l \sin \theta}{r^2} \right)\) और \(\mu_0\) की विमा को याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि ये अक्सर सीधे पूछे जाते हैं।

 

Question 3. ऐम्पियर के परिपथीय नियम का उपयोग करके एक अनन्त लम्बाई के सीधे धारावाही चालक के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र का सूत्र स्थापित कीजिए।
या
ऐम्पियर के परिपथीय नियम का उपयोग करके अनन्त लम्बाई के सीधे धारावाही तार के निकट किसी बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता ज्ञात कीजिए।

Answer:उत्तर- माना एक लम्बे तार में \( i \) धारा प्रवाहित हो रही है। तार से \( r \) दूरी पर एक प्रेक्षण बिन्दु \( P \) है जिस पर चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता \( B \) ज्ञात करनी है (चित्र 4.16)। तार के परितः \( P \) से होकर जाने वाला \( r \) त्रिज्या का एक वृत्त खींचते हैं। सममिति से पथ के प्रत्येक बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण समान है तथा \( B \) व \( d l \) एक ही दिशा में हैं \( (\theta = 0) \).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक अनंत लंबाई के सीधे धारावाही तार को दर्शाता है, जिसमें \( i \) धारा प्रवाहित हो रही है। तार से \( r \) दूरी पर स्थित बिंदु \( P \) पर चुंबकीय क्षेत्र \( B \) को तार के चारों ओर एक वृत्ताकार लूप के रूप में दिखाया गया है, जहाँ \( d l \) एक छोटा अल्पांश है। ऐम्पियर के नियम से, \( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i \)
जहाँ \( i \) वृत्त द्वारा घिरी धारा है। चूँकि \( \vec{B}, d\vec{l} \) एक ही दिशा में हैं।
\( \oint B \cdot dl \cos 0 = B \oint dl = B (2\pi r) \)
\[ B(2\pi r) = \mu_0 i \quad \implies \quad B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} \] यही अनन्त लम्बे धारावाही तार के कारण चुम्बकीय क्षेत्र का व्यंजक है।
चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता - यदि तार की लम्बाई निश्चित है तो चित्र 4.17 के अनुसार बिन्दु \( P \) से तार पर खींची गई रेखा \( PQ \) से तार के सिरे \( A \) तथा \( B \) क्रमशः \( \alpha \) तथा \( \beta \) कोण बनाते हैं। तब बिन्दु \( P \) पर चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परिमित लंबाई के धारावाही तार को दर्शाता है, जिसमें \( i \) धारा प्रवाहित हो रही है। तार के एक सिरे से \( \alpha \) कोण और दूसरे सिरे से \( \beta \) कोण बनाते हुए बिंदु \( P \) पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना की जा रही है। \[ B = \frac{\mu_0 i}{4\pi r} (\sin \alpha + \sin \beta) \text{ होगी।} \]In simple words: एम्पीयर का परिपथीय नियम बताता है कि किसी बंद पथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र का रेखा-समाकलन उस पथ द्वारा घेरी गई कुल धारा का \(\mu_0\) गुना होता है, जिससे अनंत लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते समय, सममिति का लाभ उठाना महत्वपूर्ण है ताकि \( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} \) को \( B \oint dl \) के रूप में सरल किया जा सके।

 

Question 4. ऐम्पियर के परिपथीय नियम की सहायता से धारावाही परिनालिका के अन्दर उसकी अक्ष पर चुम्बकीय क्षेत्र के सूत्र की स्थापना कीजिए।

Answer:उत्तर-
माना एक लम्बी परिनालिका की प्रति मीटर लम्बाई में तार के \( n \) फेरे हैं तथा इसमें \( i \) ऐम्पियर की धारा बह रही है। माना एक आयताकार बन्द पथ \( abcd \) है जिसकी भुजा \( ab \) परिनालिका की अक्ष के समान्तर है तथा भुजाएँ \( bc \) तथा \( ad \) बहुत लम्बी हैं जिससे कि यह माना जा सके कि भुजा \( cd \) परिनालिका से बहुत दूर है तथा इस भुजा पर परिनालिका के कारण चुम्बकीय क्षेत्र नगण्य है। जब परिनालिका लम्बी है। तथा आयताकार बन्द पथ परिनालिका के किसी भी किनारे के बहुत समीप नहीं है, तो क्षेत्र \( bc \) तथा \( ad \) भुजाओं के लम्बवत् हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र का विश्लेषण करने के लिए एम्पीयर के बंद पथ \(abcd\) को दर्शाता है। परिनालिका में प्रवाहित धारा \(i_0\) है, और चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ इसके अक्ष के समानांतर चलती हैं। आयताकार पथ \(abcd\) के लिये ऐम्पियर का नियम लगाने पर,
\( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i \)
\( i \) आयताकार पथ द्वारा घिरी नेट धारा है। आयत \(abcd\) के लिये,
\( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_a^b \vec{B} \cdot d\vec{l} + \int_b^c \vec{B} \cdot d\vec{l} + \int_c^d \vec{B} \cdot d\vec{l} + \int_d^a \vec{B} \cdot d\vec{l} \)
अब, \( \int_b^c \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_d^a \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0 \), चूँकि पथों \(bc\) तथा \(da\) के लिये \( \vec{B} \) व \( d\vec{l} \) लम्बवत् हैं जिससें कि
\( \vec{B} \cdot d\vec{l} = B \cos dl \cos 90^\circ = 0 \) तथा \( \int_c^d \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0 \) (चूँकि परिनालिका के बाहर इससे दूर बिन्दुओं पर \( B \) शून्य है)
अतः \( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_a^b \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_a^b B \ dl \)
चूँकि \( \vec{B} \) व \( d\vec{l} \), \(ab\) के समान्तर हैं, परिनालिका के भीतर \( B \) नियत है तथा \( \int_a^b dl = ab \) की लम्बाई \( x \)
है। तब
\( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B \int dl = Bx \).....(2)
अब, माना परिनालिका की प्रति एकांक लम्बाई में फेरों की संख्या \( n \) है। तब लम्बाई \( x \) में फेरों की संख्या अथवा आयत \(abcd\) से गुजरने वाले फेरों की संख्या \( nx \) है। प्रत्येक फेरे में धारा \( i_0 \) है, अतः पथ द्वारा घिरी नेट धारा \( nxi_0 \) है अर्थात्
\( i = nxi_0 \).....(3)
समी० (2) से, \( \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} \) तथा समी० (3) से \( i \) का मान समी॰ (1) में रखने पर,
\( Bx = \mu_0 nxi_0 \)
अथवा
\( B = \mu_0 ni_0 \)
अतः अत्यधिक लम्बी परिनालिका के भीतर चुम्बकीय क्षेत्र के व्यास तथा लम्बाई पर निर्भर नहीं करता।
माना कि किसी परिनालिका में, जिसकी लम्बाई \( l \) मीटर है तथा जिसमें तार के \( N \) फेरे हैं, \( i \) ऐम्पियर की वैद्युत धारा है। हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि परिनालिका के भीतर किसी बिन्दु \( P \) पर (चित्र 4.19) चुम्बकीय क्षेत्र \( B \) का मान निम्नलिखित सूत्र से दिया जाता है-
\[ B = \frac{\mu_0 ni}{2} (\cos \theta_1 - \cos \theta_2) \]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक परिनालिका को दर्शाता है जिसके भीतर बिंदु \( P \) पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना की जा रही है। \( \theta_1 \) और \( \theta_2 \) परिनालिका के सिरों से बिंदु \( P \) पर बनने वाले अर्ध-शीर्ष कोण हैं, जो क्षेत्र की तीव्रता को निर्धारित करते हैं।
जहाँ \( n = N/l \) परिनालिका की 'प्रति मीटर' लम्बाई में फेरों की संख्या है तथा \( \theta_1 \) व \( \theta_2 \) परिनालिका के सिरों द्वारा बिन्दु \( P \) पर अन्तरित अर्द्ध-शीर्ष कोण है।
यदि परिनालिका अनन्त लम्बाई की है (अर्थात् व्यास के सापेक्ष लम्बाई कहीं अधिक है), तब \( \theta_1 \approx 0 \) तथा \( \theta_2 \approx \pi \), जिससे \( \cos \theta_1 = 1 \) तथा \( \cos \theta_2 = -1 \),
अतः
\( B = \mu_0 ni \) न्यूटन/(ऐम्पियर-मीटर)
यदि बिन्दु 'लम्बी' परिनालिका के सिरे पर है, जैसे \( P' \) तब \( \theta_1 = 0 \) तथा \( \theta_2 \approx \pi/2 \), जिससे \( \cos \theta_1 = 1 \) तथा \( \cos \theta_2 = 0 \). अतः अब
\[ B = \frac{\mu_0 ni}{2} \text{ न्यूटन/(ऐम्पियर-मीटर)} \] इस प्रकार 'लम्बी' परिनालिका के सिरों पर चुम्बकीय क्षेत्र केन्द्र के सापेक्ष आधा होता है।
In simple words: एम्पीयर के नियम का उपयोग करके, एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र को \( B = \mu_0 ni \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ \( n \) प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या और \( i \) प्रवाहित धारा है, जो इसके व्यास या लंबाई पर निर्भर नहीं करता।

🎯 Exam Tip: परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र की गणना में, एम्पीयर के लूप को इस तरह चुनें कि वह सममिति का लाभ उठा सके और क्षेत्र के लंबवत घटकों को शून्य कर सके।

 

Question 5. दो समान्तर धारावाही चालकों के बीच लगने वाले बल \( \frac{F}{l} = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{i_1 i_2}{r} \) न्यूटन मीटर के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए। उपर्युक्त सूत्र के आधार पर धारा के एक ऐम्पियर की परिभाषा दीजिए।
या
दो समान्तर धारावाही चालकों के बीच कार्य करने वाले बल का सूत्र ज्ञात कीजिए।
या
दो समान्तर धारावाही चालकों के बीच लगने वाले बल के लिए सूत्र स्थापित कीजिए। इसके आधार पर वैद्युत धारा के मात्रक ऐम्पियर की परिभाषा दीजिए।
या
\( L \) मीटर लम्बाई के दो समान्तर तारों, जिनके मध्य की दूरी \( r \) मीटर है तथा जिनमें \( i_1 \) और \( i_2 \) ऐम्पियर की विद्युत धाराएँ प्रवाहित हैं, के मध्य प्रति एकांक लम्बाई पर बल का सूत्र \( \frac{F}{L} = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{i_1 i_2}{r} \) व्युत्पादित कीजिए। इस सूत्र से ऐम्पियर की परिभाषा दीजिए ।

Answer:उत्तर- धारावाही चालक के चारों ओर एक चुम्बकीय क्षेत्र उत्पन्न हो जाता है तथा चुम्बकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही चालक पर एक बल कार्य करता है। अतः यदि एक धारावाही चालक के निकट कोई दूसरा धारावाही चालक रखा जाये तो यह चालक पहले चालक द्वारा उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र के कारण एक बल का अनुभव करेगा।
इसी प्रकार पहला धारावाही चालक दूसरे धारावाही चालक द्वारा उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र के कारण एक बल अनुभव करेगा। स्पष्ट है कि पास-पास रखे दो धारावाही चालक चुम्बकीय क्षेत्र की पारस्परिक क्रिया के कारण एक-दूसरे पर बल लगाते हैं।
पारस्परिक बल का परिमाण एवं प्रकृति- माना दो लम्बे ऋजुरेखीय तार \( PQ \) तथा \( RS \) वायु या निर्वात् में एक-दूसरे के समीप परस्पर समान्तर रखे हैं। इनके बीच की दूरी \( r \) है (चित्र 4.20)। माना \( PQ \) एवं \( RS \) में प्रवाहित धाराएँ क्रमशः \( i_1 \) एवं \( i_2 \) हैं। \( PQ \) में प्रवाहित धारा \( i_1 \) के कारण चालक \( RS \) के किसी भी बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र
\[ B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r} \text{ न्यूटन ऐम्पियर-मीटर} \] मैक्सवेल के दक्षिणावर्ती पेंच के नियम (अथवा दायें हाथ की हथेली के नियम नं० 1) के अनुसार \( B_1 \) की दिशा कागज के तल के लम्बवत् अन्दर की ओर होगी। अब चालक \( RS \) जिसमें धारा \( i_2 \) प्रवाहित हो रही है, चुम्बकीय क्षेत्र \( B_1 \) के लम्बवत् रखा है। अतः इसकी \( L \) मीटर लम्बाई पर लगने वाले बल का परिमाण
\( F = i_2 L B_1 \sin 90^\circ \)
\[ F = i_2 L \left(\frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}\right) \text{ न्यूटन} \] अतः चालक \( RS \) की प्रति मीटर लम्बाई पर कार्य करने वाला बल
\[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi r} \] अथवा
\[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i_1 i_2}{r} \]
इस बल की दिशा फ्लेमिंग के बायें हाथ के नियम (अथवा दायें हाथ की हथेली के नियम नं० 2) से प्राप्त होगी। यदि धाराएँ \( i_1 \) एवं \( i_2 \) समान दिशाओं में प्रवाहित हो रही हैं तो \( RS \) पर कार्यकारी बल की दिशा \( PQ \) की ओर होगी [चित्र 4.20 (a)] और यदि \( i_1 \) एवं \( i_2 \) विपरीत दिशाओं में प्रवाहित हों तो बल \( PQ \) से दूर की ओर दिष्ट होगा [चित्र 4.20 (b)]।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समांतर धारावाही तारों \( PQ \) और \( RS \) को दर्शाता है। (a) में, धाराएँ \( i_1 \) और \( i_2 \) समान दिशा में हैं, जिससे तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं। (b) में, धाराएँ \( i_1 \) और \( i_2 \) विपरीत दिशा में हैं, जिससे तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि \( PQ \) की प्रति मीटर लम्बाई पर \( RS \) में प्रवाहित धारा \( i_2 \) के कारण बल
\[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi r} \] अथवा
\[ \frac{F}{L} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2i_1 i_2}{r} \] इसकी दिशा भी फ्लेमिंग के बायें हाथ के नियम अथवा दायें हाथ की हथेली के नियम नं० 2 से निर्धारित की जाएगी। यदि धारा \( i_2 \) उसी दिशा में है जिसमें \( i_1 \) है तो \( PQ \) पर लगने वाला बल चालक \( RS \) की ओर दिष्ट होगा [चित्र 4.20 (a)] और यदि यह विपरीत दिशा में है तो यह \( RS \) से दूर दिष्ट होगा [चित्र 4.20 (b)]। अतः उपर्युक्त विवेचना से यह स्पष्ट होता है कि यदि दो समान्तर तारों में धाराएँ एक ही दिशा में हैं तो वे एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं और यदि धाराएँ विपरीत दिशा में हैं तो तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
In simple words: दो समानांतर धारावाही तारों के बीच लगने वाला बल उनकी धाराओं के गुणनफल और उनके बीच की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है; यदि धाराएँ समान दिशा में हों तो आकर्षण और विपरीत दिशा में हों तो प्रतिकर्षण होता है, और इसी सूत्र से 1 एम्पीयर को परिभाषित किया जाता है।

🎯 Exam Tip: ऐम्पियर की परिभाषा में, बल का परिमाण \( (2 \times 10^{-7} \text{ न्यूटन/मीटर}) \) और तारों के बीच की दूरी \( (1 \text{ मीटर}) \) को सही ढंग से याद रखना महत्वपूर्ण है।

 

Question 6. आवश्यक सिद्धान्त देते हुए चल कुण्डली गैल्वेनोमीटर की संरचना तथा कार्यविधि का वर्णन कीजिए। या चल कुण्डली धारामापी का सिद्धान्त एवं कार्यविधि का वर्णन कीजिए। इसकी सुग्राहिता किस प्रकार बढ़ायी जा सकती है? या निम्नलिखित चल कुण्डली धारामापी का सिद्धान्त लिखिए एवं उसकी धारा सुग्राहिता का व्यंजक ज्ञात कीजिए।
Answer: चल कुण्डली गैल्वेनोमीटर- ये निम्न दो प्रकार के होते हैं
(1) निलम्बित कुण्डली धारामापी- यह वैद्युत-धारा के संसूचन (detection) तथा मापन (measurement) के लिए प्रयुक्त किया जाने वाला उपकरण है। इसकी क्रिया चुम्बकीय क्षेत्र में धारावाही कुण्डली पर कार्यरत् बलाघूर्ण पर आधारित है। संरचना- इसमें एक आयताकोर कुण्डली होती है जोकि ताँबे के पतले पृथक्कृत (insulated) तार के ऐलुमीनियम के फ्रेम के ऊपर लपेटकर बनायी जाती है (चित्र 4.21)।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चल कुण्डली गैल्वेनोमीटर की आंतरिक संरचना को दर्शाता है। इसमें एक आयताकार कुण्डली होती है जो एक फॉस्फर-ब्रॉन्ज पत्ती द्वारा निलंबित होती है और एक स्थायी नाल-चुम्बक (N, S) के ध्रुवों के बीच रखी जाती है। एक मुलायम लोहे की क्रोड कुण्डली के भीतर होती है, और स्प्रिंग तथा मरोड़ टोपी (T1, T2) कनेक्शन दर्शाते हैं। इस कुण्डली को एक पतली फॉस्फर-ब्रॉन्ज मरोड़ टोपी (phosphor-bronze) की पत्ती (strip) से एक स्थायी घोड़ा-नाल चुम्बक (horse-shoe magnet) NS के बेलनाकार ध्रुव-खण्डों फॉस्फर-ब्रॉन्ज (pole-pieces) के बीच लटकाया जाता है। पत्ती को ऊपरी सिरा एक मरोड़ टोपी (torsion head) से जुड़ा होता है। कुण्डली का निचला सिरा एक अत्यन्त पतले की कुण्डली का फ्रेम फॉस्फर-ब्रॉन्ज के तार के ढीले-वेष्ठित स्प्रिंग (loosely-wound spring) से जुड़ा होता है। कुण्डली के भीतर एक नर्म लोहे की क्रोड C सममित तथा बिना कुण्डली को स्पर्श किए रखी जाती है। क्रोड बल-रेखाओं को संकेन्द्रित कर देती है तथा इस प्रकार ध्रुव-खण्डों के स्प्रिंग छ । बीच चुम्बकीय क्षेत्र 'प्रबल हो जाता है। निलम्बन पत्ती (suspension strip) के । निचले भाग पर एक छोटा दर्पण (mirror) M लगा होता है, जो पत्ती के साथ-साथ घूमती है तथा जिसका विक्षेप एक लैम्प तथा पैमाने (lamp and scale arrangement) की सहायता से पढ़ा जा सकता है। सम्पूर्ण प्रबन्ध को एक धात्विक बक्से में बन्द रखा जाता है (चित्र 4.21 में प्रदर्शित नहीं) जिसके सामने की ओर काँच की एक खिड़की तथा आधार पर समतलकारी पेंच (levelling screws) लगे होते हैं। धारा जिसको मापने करना हो, एक टर्मिनल (terminal) \( T_1 \) से प्रवेश करती है तथा निलम्बन, कुण्डली व स्प्रिंग से होकर दूसरे टर्मिनल \( T_2 \) से निर्गत होती है। स्थायी चुम्बक के ध्रुव खण्ड बेलनाकार रखे जाते हैं ताकि कुण्डली की प्रत्येक स्थिति में चुम्बकीय क्षेत्र त्रिज्य (radial) रहे अर्थात् कुण्डली का तल प्रत्येक स्थिति में बल-रेखाओं के समान्तर रहे। सिद्धान्त- जब कुण्डली में धारा \( I \) प्रवाहित की जाती है तो कुण्डली पर लगने वाला बल-आघूर्ण \( T = NIAB \sin 90^\circ = NIBA \) यहाँ \( \theta \) कुण्डली के तल पर लम्ब की दिशा तथा चुम्बकीय क्षेत्र \( \vec { B } \) की दिशा के बीच कोण है। \( A \) कुण्डली का क्षेत्रफल तथा \( N \) कुण्डली में फेरों की संख्या है। धारामापी में चुम्बकीय क्षेत्र \( \vec { B } \) को, ध्रुवखण्डों \( N \) व \( S \) को बेलनाकार बनाकर तृथा कुण्डली के भीतर नर्म लोहे की बेलनाकार क्रोड रखकर “त्रिज्य' (radial) बनाया जाता है। इस दिशा में कुण्डली के तल पर अभिलम्ब चुम्बकीय क्षेत्र \( B \) से सदैव समकोण पर होगा (चित्र 4.21) अर्थात् \( \theta = 90^\circ \) होगा। अतः कुण्डली पर कार्यरत् बलाघूर्ण \( t = Ni B A \sin \theta \) [\( \theta \)= 90°] \( = NiB A \)
यदि निलम्बन पत्ती की मरोड़ दृढ़ता (torsional rigidity) \( c \) हो तथा निलम्बन पत्ती में ऐंठन \( \Phi \) हो, तो प्रत्यानयन बल-युग्म \( = c\Phi \) होगा। साम्यावस्था के लिये, विक्षेपक बल-युग्म आघूर्ण \( = \) प्रत्यानयन बल-युग्म का आघूर्ण \( NiAB = c\Phi \) \( \implies i = \frac{c}{NAB} \Phi = k\Phi \) जहाँ, \( k = c/NAB \) उपकरण का नियतांक है। जिसे धारा परिवर्तन गुणांक (current reduction factor) भी कहते हैं। अतः धारामापी में प्रवाहित धारा, उत्पन्न विक्षेप के अनुक्रमानुपाती होती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र चल कुण्डली धारामापी के आंतरिक घटकों को दर्शाता है, जिसमें एक कुण्डली, मरोड़ टोपी से निलंबित तांबे के तार, एक नर्म लोहे की क्रोड और स्प्रिंग शामिल हैं। चुम्बकीय क्षेत्र (N, S) कुण्डली के चारों ओर होता है, जिससे यह विद्युत धारा मापने के लिए घूम सके।
(2) कीलकित-कुण्डली अथवा वेस्टन धारामापी- यह भी चल कुण्डली धारामापी है। यह निलम्बित-कुण्डली धारामापी की अपेक्षा कुछ कम सुग्राही होता है परन्तु अधिक सुविधाजनक है। इसमें ताँबे के महीन पृथक्कृत तार की, ऐलुमीनियम के फ्रेम पर लिपटी कुण्डली एक स्थायी तथा शक्तिशाली नाल-चुम्बक के ध्रुव-खण्डों के बीच दो चूलों (pivots) पर झूलती है (चित्र 4.22)। कुण्डलियों के दोनों सिरों पर चूलों के पास दो क्रोड स्प्रिंग लगे रहते हैं जो कुण्डली के घूमने पर ऐंठन बल-युग्म उत्पन्न करते हैं तथा कुण्डली को दो कुण्डली स्प्रिंग : सम्बन्धक-पेचों \( T_1 \) व \( T_2 \) से जोड़ते हैं। कुण्डली का विक्षेप पढ़ने के लिए कुण्डली के साथ एक ऐलुमीनियम का लम्बा संकेतक लगा रहता है जो एक वृत्ताकार पैमाने पर घूमता है। पैमाने पर बराबर दूरियों पर चिह्न लगे रहते हैं तथा शून्यांक चिह्न बीच में होता है। अतः धारामापी के सम्बन्धक-पेचों पर धन व ऋण के चिह्न नहीं बने होते । चुम्बकीय क्षेत्र को त्रिज्य बनाने के लिए इससे भी ध्रुव-खण्ड अवतलाकार कटे होते हैं तथा कुण्डली के अन्दर मुलायम लोहे की क्रोड लगी होती है। इसका सिद्धान्त के कार्यविधि चल-कुण्डली धारामापी के समान ही है। इसकी सहायता से \( 10^{-6} \) ऐम्पियर तक की वैद्युत धारा नापी जा सकती है। धारामापी की सुग्राहिता \( N \), \( A \) तथा \( B \) का मान बढ़ाकर तथा \( c \) का मान कम करके बढ़ाई जा सकती है।
In simple words: गैल्वेनोमीटर एक उपकरण है जो विद्युत धारा को मापता है। यह दो प्रकार का होता है: निलंबित कुण्डली गैल्वेनोमीटर और कीलकित-कुण्डली गैल्वेनोमीटर। दोनों ही चुम्बकीय क्षेत्र में धारावाही कुण्डली पर लगने वाले बल-आघूर्ण के सिद्धांत पर काम करते हैं, जिससे कुण्डली घूमती है और धारा का माप दर्शाती है।

🎯 Exam Tip: गैल्वेनोमीटर की संरचना, कार्यविधि और इसके प्रकारों को समझना महत्वपूर्ण है। बल-आघूर्ण के सिद्धांत और सुग्राहिता बढ़ाने के तरीकों पर विशेष ध्यान दें, क्योंकि ये अक्सर परीक्षा में पूछे जाते हैं।

 

Question 7. किसी धारामापी को अमीटर में कैसे परिवर्तित करेंगे? उपयुक्त परिपथ द्वारा स्पष्ट कीजिए।
Answer: धारामापी का अमीटर में रूपान्तरण- अमीटर वह यन्त्र है जो वैद्युत परिपथ में धारा की प्रबलता सीधे ऐम्पियर में नापने के काम आता है। मिलीऐम्पियर की कोटि की धारा नापने वाले यन्त्र को मिलीअमीटर कहते हैं। अमीटर मूलतः धारामापी ही होता है जिसे परिपथ के श्रेणीक्रम में डाल देते हैं ताकि नापी जाने वाली सम्पूर्ण धारा इसमें से होकर जाये । तब अमीटर में उत्पन्न विक्षेप अमीटर से होकर जाने वाली धारा की माप देगा (\( \Phi \propto i \)) । परन्तु चूँकि अमीटर की अपनी कुण्डली का भी कुछ प्रतिरोध होता है अतः इसे परिपथ के श्रेणीक्रम में जोड़ने पर परिपथ का प्रतिरोध बढ़ जायेगा जिससे परिपथ में धारा घट जायेगी । अतः अमीटर द्वारा पढ़ा गया धारा का मान, उस धारा के मान से कम होगा जिसे नापना था। अतः यह आवश्यक है कि अमीटर का अपना प्रतिरोध, जितना हो सके कम होना चाहिए ताकि इसे परिपथ में डालने पर नापी जाने वाली धारा का मान न बदले ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक साधारण विद्युत परिपथ को दर्शाता है जिसमें एक सेल (E) और दो प्रतिरोध (R1, R2) श्रेणी क्रम में जुड़े हैं। अमीटर (A) को भी परिपथ में श्रेणी क्रम में जोड़ा गया है, जो परिपथ में प्रवाहित कुल धारा को मापता है। माना कि चित्र 4.23 में दिखाये परिपथ में प्रयुक्त सेल का वि० वा० बल \( E \) है। अमीटर को जोड़ने से पहले, परिपथ में (नापी जाने वाली) धारा \[ i = \frac{E}{R_1 + R_2} \] अमीटर को परिपथ के श्रेणीक्रम में जोड़ देने पर परिपथ का प्रतिरोध बढ़ कर \( R_1 + R_2 + R_A \) हो जायेगा, जहाँ \( R_A \) अमीटर का प्रतिरोध है। अतः धारा घटकर \( i' \) रह जायेगी; जहाँ \[ i' = \frac{E}{R_1 + R_2 + R_A} \] अतः अमीटर का विक्षेप \( i' \) के मान को व्यक्त जबकि नापी जाने वाली धारा का मान \( i \) था। इस प्रकार नापे गये मान में (\( i-i' \)) की त्रुटि होगी। उपरोक्त समीकरणों से \[ i-i' = \frac{E}{R_1+R_2} - \frac{E}{R_1 + R_2 + R_A} = \frac{ER_A}{(R_1 + R_2)(R_1 + R_2 + R_A)} \] स्पष्ट है इस त्रुटि को पूर्णतः दूर करने के लिए \( R_A \) का मान शून्य होना चाहिए अर्थात् एक आदर्श अमीटर का अपना प्रतिरोध शून्य होना चाहिए परन्तु शून्य प्रतिरोध का अमीटर प्राप्त नहीं किया जा सकता। अतः व्यवहार में, एक अच्छे अमीटर का अपनी प्रतिरोध परिपथ में उपस्थित अन्य प्रतिरोधों की तुलना में बहुत कम होना चाहिए अर्थात् \( R_A \ll R_1 + R_2 \) तब \( i \) का मान लगभग \( i \) के ही बराबर होगा।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक धारामापी (G) को अमीटर में बदलने का तरीका दिखाता है, जहाँ धारामापी के समानांतर एक कम प्रतिरोध वाला शंट (S) जुड़ा हुआ है। कुल धारा (i) इसमें से गुजरती है, जिसमें से कुछ धारा (ig) गैल्वेनोमीटर से और शेष धारा (i-ig) शंट से होकर प्रवाहित होती है। साधारणतः कीलकित (pivoted type) चल-कुण्डली धारामापी को। ही अमीटर के रूप में प्रयुक्त किया जाता है। इसके लिए इसकी कुण्डली के समान्तर क्रम में एक छोटा प्रतिरोध डाल देते हैं जिसे 'शन्ट' (shunt) कहते हैं (चित्र 4.24)। इस प्रबन्ध का संयुक्त प्रतिरोध धारामापी की कुण्डली तथा शन्ट दोनों के अलग-अलग प्रतिरोधों से कम होता है। अतः जब इसे किसी परिपथ में डालते हैं तो अमीटर यह परिपथ की धारा में कोई विशेष परिवर्तन नहीं करता। इस प्रकार । चित्र 4.24 यह प्रबन्ध एक अच्छे अमीटर का कार्य करता है। धारामापी में शन्ट लगाने का एक अन्य लाभ भी है। यदि शन्ट न हो तब परिपथ की पूरी धारा कुण्डली में से होकर जायेगी। इस दशा में धारामापी द्वारा अधिक-से-अधिक उतनी धारा नापी जा सकती है जिससे कि कुण्डली में पूरे पैमाने का विक्षेप (full-scale deflection) हो जाये। शन्ट के होने पर, परिपथ की धारा का केवल एक छोटा भाग ही कुण्डली से होकर जाता है, अधिकांश भाग शन्ट से होकर निकल जाता है। चूंकि कुण्डली का विक्षेप कुण्डली में को जाने वाली धारा के अनुक्रमानुपाती होता है, अतः कुण्डली का विक्षेप काफी कम हो जाता है। अतः अब परिपथ में पहले से कहीं अधिक धारा होने पर कुण्डली में पूरे पैमाने का विक्षेप होता है। इस प्रकार, शन्टयुक्त धारामापी (अमीटर) कहीं अधिक मान की धारा को नाप सकता है। दूसरे शब्दों में, शन्ट लगाने से मापन की परास (range) बढ़ जाती है। (यद्यपि सुग्राहिता घट जाती है)। वास्तव में शन्ट के प्रतिरोध का मान इसी से निर्धारित किया जाता है कि अमीटर किस परास को बनाना है। माना कि परिपथ की धारा \( I \) है, धारामापी की कुण्डली का प्रतिरोध \( G \) तथा शन्ट का प्रतिरोध \( S \) है। माना। कि धारा का \( i_g \) भाग कुण्डली \( G \) में तथा शेष भाग (\( i – i_g \)) शन्ट \( S \) में होकर जाता है। चूंकि \( G \) व \( S \) समान्तर, में हैं, अतः उनके सिरों के बीच एक ही विभवान्तर होगा। \[ i_g \times G = (i - i_g) \times S \] इससे \[ \frac{i_g}{i} = \frac{S}{S+G} \quad ...(1) \] अर्थात् धारामापी की कुण्डली में कुल धारा का केवल \( \frac{S}{S+G} \) वाँ भाग प्रवाहित होगा। पुनः समी० (1) से, \[ S = \left(\frac{i_g}{i-i_g}\right) G \] यदि कुण्डली में धारा \( i_g \), के द्वारा पूरे पैमाने का विक्षेप हो तो परिपथ में धारा \( I \) होने पर पूरे पैमाने का विक्षेप होगा। अतः स्पष्ट है कि धारामापी के समान्तर में उपरोक्त मान का शन्ट लगाने पर धारामापी, ऐम्पियर की परास का अमीटर होगा । एक दिये गये धारामापी के लिए \( i_g \) का मान प्रयोग द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।
In simple words: एक धारामापी को अमीटर में बदलने के लिए, उसके समानांतर में एक कम प्रतिरोध वाला शंट जोड़ा जाता है। यह शंट अधिकांश धारा को बाईपास कर देता है, जिससे धारामापी एक बड़ी परास की धारा को माप सकता है और इसका कुल प्रतिरोध कम हो जाता है।

🎯 Exam Tip: अमीटर के रूपान्तरण के सिद्धांत को समझें, विशेषकर शंट प्रतिरोध के उपयोग और इसके सूत्र पर। आरेख को साफ-साफ बनाना और शंट जोड़ने के कारण होने वाले लाभों को समझाना महत्वपूर्ण है।