UP Board Solutions Class 12 Maths Chapter 13 Probability

UP Board Solutions For Class 12 Maths Chapter 13 Probability (प्रायिकता)

Exercise 13.1

 

Question 1. प्रायिकता कक्षा 12. यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P (E) = 0.6, P (F) = 0.3 और P(E∩ F) = 0.2, तो P(E|F) और P(F|E) ज्ञात कीजिए ।

Answer: हल- दिया है, \( P(E) = 0.6 \), \( P(F) = 0.3 \) और \( P(E \cap F) = 0.2 \) चूंकि, \( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} \) \( = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3} \) और \( P(F|E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} \) \( = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} \)
In simple words: Conditional probability \( P(A|B) \) is the probability of event A occurring given that event B has already occurred, calculated as \( P(A \cap B) / P(B) \). Here, we apply this formula for both \( P(E|F) \) and \( P(F|E) \) using the given probabilities.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for conditional probability \( P(A|B) = P(A \cap B) / P(B) \). Clearly identify the intersection and the conditioning event's probability from the given data to avoid errors.

 

Question 2. Prayikta Class 12: P(A | B) ज्ञात कीजिए यदि P(B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32

Answer: हलः दिया है, \( P(B) = 0.5 \) और \( P(A \cap B) = 0.32 \) तो, \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) \( = \frac{0.32}{0.5} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25} = 0.64 \)
In simple words: To find \( P(A|B) \), divide the probability of both A and B happening by the probability of B happening. Here, \( 0.32 \) (for \( A \cap B \)) is divided by \( 0.5 \) (for B), resulting in \( 0.64 \).

🎯 Exam Tip: Ensure you correctly identify which probability is in the numerator (intersection) and which is in the denominator (the conditioning event) in the conditional probability formula. Decimal to fraction conversion should be accurate.

 

Question 3. Probability Class 12 Notes In Hindi. यदि P (A) = 0.8, P(B) = 0.5 और तो ज्ञात कीजिए
(i) P(A ∩ B)
(ii) P(A|B)
(iii) P(AU B)

Answer: हल- दिया है, \( P(A) = 0.8 \), \( P(B) = 0.5 \) और
(i) चूंकि \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) तो, \( 0.4 = \frac{P(A \cap B)}{0.5} \) \( P(A \cap B) = 0.4 \times 0.5 = 0.20 \)
(ii) \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) \( = \frac{0.20}{0.8} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4} = 0.25 \)
(iii) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( = 0.8 + 0.5 - 0.20 \) \( = 1.3 - 0.20 = 1.10 \)
In simple words: First, use the given \( P(A|B) \) and \( P(B) \) to find \( P(A \cap B) \). Then, use \( P(A \cap B) \) and \( P(A) \) to calculate \( P(B|A) \). Finally, apply the addition rule of probability \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) to find \( P(A \cup B) \).

🎯 Exam Tip: This question tests multiple fundamental probability formulas. Ensure you apply the conditional probability formula correctly and remember the addition rule for unions of events. Pay attention to decimal calculations.

 

Question 4. Probability Class 12 In Hindi: P(A u B) ज्ञात कीजिए यदि 2P(A) = P(B) = \( \frac{5}{13} \) और P(A| B) = \( \frac{2}{5} \)

Answer: हल : प्रश्नानुसार, \( 2P(A) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{13} = \frac{5}{26} \) तथा \( P(B) = \frac{5}{13} \) पुनः \( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) या \( P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A | B) \) \( = \frac{5}{13} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{13} \) अब, \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13} \) \( = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26} \)
In simple words: First, calculate \( P(A) \) from the given \( 2P(A) \). Then, use the conditional probability formula \( P(A|B) \) to find the intersection probability \( P(A \cap B) \). Finally, apply the addition rule for union \( P(A \cup B) \) using all calculated probabilities.

🎯 Exam Tip: Break down the problem into smaller steps: finding individual probabilities, then the intersection, and finally the union. Common denominators are crucial for adding/subtracting fractions accurately.

 

Question 5. Prayikta Class 12 In Hindi: यदि P(A) = \( \frac{6}{11} \), P(B) = \( \frac{5}{11} \) और P(Au B) = \( \frac{7}{11} \) तो ज्ञात कीजिए
(i) P(A ∩B)
(ii) P(A | B)
(iii) P(B|A)

Answer: हलः
(i) चूंकि \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( \frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B) \) \( \frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B) \) \( \frac{7}{11} = 1 - P(A \cap B) \)
\( \implies P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{11 - 7}{11} = \frac{4}{11} \)
(ii) \( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) \( = \frac{4/11}{5/11} = \frac{4}{5} \)
(iii) \( P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) \( = \frac{4/11}{6/11} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
In simple words: First, use the addition rule for probabilities to find the intersection \( P(A \cap B) \). Then, use the definition of conditional probability to find \( P(A|B) \) and \( P(B|A) \) by dividing the intersection probability by the respective marginal probabilities.

🎯 Exam Tip: This question reinforces the interrelation between union, intersection, and conditional probabilities. Practice rearranging the addition rule formula to solve for different components, and simplify fractions to their lowest terms.

 

Question 6. Probability In Hindi Class 12. एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है
(i) E : तीसरी उछाल पर चित F : पहली दोनों उछालों पर चित
(ii) E : न्यूनतम दो चित F : अधिकतम एक चित ।
(iii) E : अधिकतम दो पट F : न्यूनतम एक पट

Answer: हल- (i) सिक्के को तीन बार उछालने पर कुल प्रतिदर्श समष्टि (प्रकार) \( = 2^3 = 8 \) समसंभाव्य प्रतिदर्श बिन्दुओं का समुच्चय है जो निम्न प्रकार है। \( S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\} \) \( E = \) तीसरी उछाल पर चित \( = \{HHH, HTH, THH, TTH\} \) \( P(E) = \frac{\text{घटना के घटित होने की संख्या}}{\text{कुल संख्या}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) \( F = \) पहली दोनों उछालों पर चित \( = \{HHH, HHT\} \) \( P(F) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \) \( E \cap F = \{HHH\} \) \( P(E \cap F) = \frac{1}{8} \) \( \therefore P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{8} \times \frac{4}{1} = \frac{1}{2} \)
(ii) \( E = \) न्यूनतम दो चित \( = \{HHH, HHT, HTH, THH\} \) \( F = \) अधिकतम दो चित \( = \{TTT, HTT, THT, HHT, HTH, THH\} \) \( E \cap F = \{HHT, HTH, THH\} \) \( P(E \cap F) = \frac{\text{घटना के घटित होने की संख्या}}{\text{कुल संख्या}} = \frac{3}{8} \) \( P(F) = \frac{7}{8} \) \( \therefore P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{3/8}{7/8} = \frac{3}{7} \)
(iii) \( E = \) अधिकतम दो पट \( = \{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \) \( F = \) न्यूनतम एक पट \( = \{THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT\} \) \( E \cap F = \{HTT, THT, TTH, THH, HTH, HHT\} \) \( P(E \cap F) = \frac{6}{8} \) \( P(F) = \frac{7}{8} \) \( \therefore P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{6/8}{7/8} = \frac{6}{7} \)
In simple words: For each part, list the sample space, define events E and F, and their intersection \( E \cap F \). Then, calculate the probabilities of \( E \cap F \) and F, and apply the conditional probability formula \( P(E|F) = P(E \cap F) / P(F) \).

🎯 Exam Tip: Systematically list all possible outcomes in the sample space. Accurately identify the elements belonging to each event (E, F, and \( E \cap F \)) based on the given conditions. Be careful with counting and fraction simplification.

 

Question 7. अनुमापन प्रयोग कक्षा 12. दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है-
(i) E : एक सिक्के पर पट प्रकट होता है F : एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
(ii) E : कोई पट प्रकट नहीं होता है F : कोई चित प्रकट नहीं होता है।

Answer: हल- दो सिक्कों को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि \( = 2^2 = 4 \) \( S = \{HH, HT, TH, TT\} \)
(i) \( E = \) एक सिक्के पर पट प्रकट होता है। \( = \{TH, HT\} \) \( F = \) एक सिक्के पर चित प्रकट होता है। \( = \{HT, TH\} \) \( E \cap F = \{TH, HT\} \) \( P(E \cap F) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) \( P(E) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) तथा \( P(F) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) \( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/2}{1/2} = 1 \)
(ii) \( E = \) कोई पट प्रकट नहीं होता है \( = \{HH\} \) \( F = \) कोई चित प्रकट नहीं होता है \( = \{TT\} \) \( E \cap F = \emptyset \) \( P(E \cap F) = 0 \) \( P(E) = \frac{1}{4} \) तथा \( P(F) = \frac{1}{4} \) \( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{0}{1/4} = 0 \)
In simple words: For each case, define the events E and F based on the given conditions when two coins are tossed. Calculate their intersection and individual probabilities, then apply the conditional probability formula. If the events are mutually exclusive, their intersection is 0, leading to a conditional probability of 0.

🎯 Exam Tip: It is crucial to correctly identify the sample space for two coin tosses. Remember that if two events are disjoint (mutually exclusive), their intersection is an empty set, and its probability is zero. Be precise in listing outcomes for each event.

 

Question 8. Probability Formulas Class 12 In Hindi. एक पासे को तीन बार उछाला गया है
E : तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
F : पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना।

Answer: हल- एक पासे को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि में कुल परिणाम \( = 6^3 = 216 \) \( E = \) तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना \( E = \{(x, y, 4) \mid x,y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \) \( n(E) = 6 \times 6 = 36 \) \( F = \) पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना \( F = \{(6, 5, z) \mid z \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \) \( n(F) = 6 \) \( E \cap F = \{(6, 5, 4)\} \) \( n(E \cap F) = 1 \) \( P(E \cap F) = \frac{1}{216} \) \( P(F) = \frac{6}{216} \) \( \therefore P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/216}{6/216} = \frac{1}{6} \)
In simple words: First, list the total possible outcomes for three dice rolls. Then, determine the outcomes for event E (4 on the third roll), event F (6 then 5 on the first two rolls), and their intersection \( E \cap F \). Finally, calculate their probabilities and apply the conditional probability formula.

🎯 Exam Tip: When dealing with multiple independent trials (like dice rolls), remember that the total number of outcomes is the product of outcomes for each trial. Carefully identify the specific conditions for each event to count outcomes correctly. Ensure the sample space is correctly defined as \( 6^3 \).

 

Question 9. अनुमान प्रयोग कक्षा 12. एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता व पुत्र यादृच्छया खड़े हैं
E : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है
F : पिता मध्य में खड़े हैं।

Answer: हल- यदि एक पारिवारिक चित्र में माता (m), पिता (f) व पुत्र (s) यादृच्छया खड़े हैं। कुल तरीके \( = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) Sample space \( S = \{(mfs), (msf), (fms), (fsm), (smf), (sfm)\} \) (assuming fixed positions, e.g., (1, 2, 3) for the three people) No, the OCR shows the permutations of (s, m, f). Let's use that. \( S = \{(smf), (sfm), (fms), (fsm), (msf), (mfs)\} \) (The OCR had a slight typo in listing, corrected here) \( E = \) पुत्र एक सिरे पर खड़ा है। \( E = \{(smf), (sfm), (fms), (mfs)\} \) (Son at start or end) \( n(E) = 4 \) \( F = \) पिता मध्य में खड़े हैं। \( F = \{(smf), (fsm)\} \) (Father in the middle) \( n(F) = 2 \) \( E \cap F = \{(smf), (sfm)\} \) (Corrected based on problem statement F is father in middle) Let's re-evaluate based on the OCR provided which says F is `{(mfs), (s fm)}` for father in middle. If `F = {(mfs), (sfm)}` then `E = {(smf), (sfm), (fms), (mfs)}` \( E \cap F = \{(mfs), (sfm)\} \) \( n(E \cap F) = 2 \) \( P(E \cap F) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) \( P(F) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) \( \therefore P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/3}{1/3} = 1 \)
In simple words: First, list all possible arrangements of the three family members. Then, identify the arrangements where the son is at an end (event E) and where the father is in the middle (event F). Find the common arrangements for \( E \cap F \), calculate their probabilities, and use the conditional probability formula.

🎯 Exam Tip: Clearly define the sample space using permutations for arrangement problems. Careful listing of outcomes for each event is crucial. Ensure consistency in defining 'end' and 'middle' positions.

 

Question 10. Probability Class 12. एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया है
(a) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 से अधिक होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
(b) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।

Answer: हल- कुल परिणाम \( = 6 \times 6 = 36 \)
(a) माना A पासों पर प्राप्त संख्याओं को योगफल 9 से अधिक होने की घटना तथा F काले पासे पर 5 प्रकट होने की घटना को निरूपित करता है। \( A = \{(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)\} \) (Sum > 9: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)) \( F = \{(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\} \) (Black die is 5) \( A \cap F = \{(5, 5), (5, 6)\} \) \( P(A \cap F) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) \( P(F) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \) \( \therefore P(A|F) = \frac{P(A \cap F)}{P(F)} = \frac{1/18}{1/6} = \frac{1}{18} \times \frac{6}{1} = \frac{1}{3} \)
(b) माना A घटना पासों पर प्राप्त संख्याओं का योगफल 8 होने तथा B घटना लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम घटित होने को निरूपित करते हैं। \( A = \{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\} \) (Sum = 8) \( B = \{(x, y) \mid x \in \{1,...,6\}, y \in \{1,2,3\}\} \) (Red die < 4) \( B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)\} \) \( n(B) = 6 \times 3 = 18 \) \( P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \) \( A \cap B = \{(2, 6)\} \) (This is incorrect from OCR. A is sum 8, B is red die < 4. So A intersection B would be (5,3) and (6,2). Wait, the problem says sum 8, red die < 4. For sum to be 8, possibilities are (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Red die < 4 means the second number is 1, 2, or 3. So, \( A \cap B = \{(5, 3), (6, 2)\} \). The OCR output is just \( \{(2,6), (3, 5)\} \) - this is a typo. Let's use the actual intersection. \( A \cap B = \{(5, 3), (6, 2)\} \) \( P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) \( \therefore P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/18}{1/2} = \frac{1}{18} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{9} \)
In simple words: For part (a), list pairs summing over 9 and pairs with 5 on the black die, find their intersection, and apply conditional probability. For part (b), list pairs summing to 8 and pairs with the red die less than 4, find their intersection, and apply conditional probability.

🎯 Exam Tip: Clearly define and list the outcomes for each event (A, F, B, and their intersections) to ensure accurate counting. Be careful with 'greater than' vs. 'greater than or equal to' conditions. Double-check your intersection sets.

 

Question 11. Math Class 12 Chapter 13. एक सम पाँसे को उछाला गया है। घटनाओं E = {1, 3, 5}, F = {2, 3} और G = {2, 3, 4,5} के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए ।
(i) P(E | F) और P(F | E)
(ii) P(E | G) और P(G | E)
(iii) P(E u F|G) और P(E ∩ F | G)

Answer: हलः प्रश्नानुसार, एक सम पाँसे को उछाला गया है, तो प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). \( n(S) = 6 \) दिया गया है: \( E = \{1, 3, 5\} \implies n(E) = 3 \) \( F = \{2, 3\} \implies n(F) = 2 \) \( G = \{2, 3, 4, 5\} \implies n(G) = 4 \)
(i) \( E \cap F = \{3\} \implies n(E \cap F) = 1 \) \( P(E \cap F) = \frac{1}{6} \) \( P(F) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) \( P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) \( P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{1} = \frac{1}{2} \) \( P(F|E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{3} \)
(ii) \( E \cap G = \{3, 5\} \implies n(E \cap G) = 2 \) \( P(E \cap G) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) \( P(G) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) \( P(E|G) = \frac{P(E \cap G)}{P(G)} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2} \) \( P(G|E) = \frac{P(E \cap G)}{P(E)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \)
(iii) \( E \cup F = \{1, 2, 3, 5\} \implies n(E \cup F) = 4 \) \( (E \cup F) \cap G = \{2, 3, 5\} \implies n((E \cup F) \cap G) = 3 \) \( P((E \cup F) \cap G) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) \( P(G) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) \( P(E \cup F|G) = \frac{P((E \cup F) \cap G)}{P(G)} = \frac{1/2}{2/3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \)
\( E \cap F = \{3\} \) \( (E \cap F) \cap G = \{3\} \implies n((E \cap F) \cap G) = 1 \) \( P((E \cap F) \cap G) = \frac{1}{6} \) \( P(E \cap F|G) = \frac{P((E \cap F) \cap G)}{P(G)} = \frac{1/6}{2/3} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{4} \)
In simple words: For each subpart, define the events (E, F, G, their unions, and intersections) and count their elements from the sample space of a die roll. Calculate the required conditional probabilities using the formula \( P(A|B) = P(A \cap B) / P(B) \), ensuring all probabilities are based on the sample space.

🎯 Exam Tip: Carefully list the elements for all sets (E, F, G, their intersections, and unions) to avoid miscounts. Remember that \( P(A|B) \) always involves the probability of the intersection in the numerator and the probability of the conditioning event in the denominator. Simplify fractions at each step for clarity.

 

Question 12. Class 12 Math UP Board Solution. मान लें कि जन्म लेने वाले बच्चे को लड़का या लड़की होना समसंभाव्य है। यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं तो दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता क्या है, यदि यह दिया गया है कि
(i) सबसे छोटा बच्चा लड़की है
(ii) न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।

Answer: हल- माना पहले तथा-दूसरे बच्चे, लड़कियाँ G1, G2 तथा लड़के B1, B2 हैं। प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{(G1, G2), (G1, B2), (B1, G2), (B1, B2)\} \) (Assuming G1, G2 are specific girls, B1, B2 specific boys as per OCR. But it seems to refer to first and second child, so GG, GB, BG, BB) Let's re-interpret: G for girl, B for boy. \( S = \{GG, GB, BG, BB\} \) माना A = दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं \( = \{GG\} \)
(i) B = सबसे छोटा बच्चा लड़की है \( = \{GG, BG\} \) (Younger child is G) \( A \cap B = \{GG\} \) \( P(A) = \frac{1}{4} \) \( P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) \( P(A \cap B) = \frac{1}{4} \) \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{2} \)
(ii) C = न्यूनतम एक बच्चा लड़की है \( = \{GG, GB, BG\} \) (At least one girl) \( A \cap C = \{GG\} \) \( P(A) = \frac{1}{4} \) \( P(C) = \frac{3}{4} \) \( P(A \cap C) = \frac{1}{4} \) \( P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3} \)
In simple words: First, list all possible gender combinations for two children (sample space). Then, define event A (both girls) and the conditioning events B (younger child is girl) and C (at least one girl). Find the intersections \( A \cap B \) and \( A \cap C \), calculate probabilities, and apply the conditional probability formula for each case.

🎯 Exam Tip: Clearly define the sample space for two children (GG, GB, BG, BB). Correctly identify the outcomes for each event (A, B, C) and their intersections. Precision in counting and applying the conditional probability formula is key.

 

Question 13. Class 12th Maths Chapter 13 Solutions: एक प्रशिक्षक के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न, 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न, 500 बहुविकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न और 400 बहुविकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्नों का संग्रह है। यदि प्रश्नों के संग्रह से एक प्रश्न यदृच्छया चुना जाता है, तो एक आसान प्रश्न की बहुविकल्पीय होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

Answer: हलः कुल प्रश्नों की संख्या \( = 300 + 200 + 500 + 400 = 1400 \) माना E = आसान प्रश्न पूछे जाने की घटना माना F = बहुविकल्पीय प्रश्न पूछे जाने की घटना तब \( n(E) = 300 + 500 = 800 \) (Total easy questions) \( n(F) = 500 + 400 = 900 \) (Total multiple choice questions) \( n(E \cap F) = 500 \) (Easy multiple choice questions) अभीष्ट प्रायिकता है \( P(F|E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} \) \( P(E) = \frac{800}{1400} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \) \( P(E \cap F) = \frac{500}{1400} = \frac{5}{14} \) \( P(F|E) = \frac{5/14}{4/7} = \frac{5}{14} \times \frac{7}{4} = \frac{5}{8} \)
In simple words: First, calculate the total number of questions. Then, identify the number of easy questions (event E) and the number of multiple-choice questions that are also easy (event F intersection E). Finally, divide the probability of the intersection by the probability of event E to find the conditional probability.

🎯 Exam Tip: Clearly define the events (Easy, Multiple Choice, their intersection) and count their frequencies from the given data. The conditional probability \( P(F|E) \) asks for the probability of being multiple-choice GIVEN that it is easy, so the denominator must be \( P(E) \).

 

Question 14. Class 12 Maths Chapter 13. यह दिया गया है कि दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

Answer: हल- दो पासों को फेंकने से प्रतिदर्श समष्टि के परिणाम \( = 6 \times 6 = 36 \) माना A = दो संख्याओं का योग 4 है \( = \{(1, 3), (2, 2), (3, 1)\} \) माना B = प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। समान संख्या वाले परिणाम \( = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\} \) कुल 6 हैं। \( \therefore B = \) जब संख्या भिन्न हो तो ऐसे परिणाम \( = 36 - 6 = 30 \) \( P(B) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6} \) \( A \cap B = \{(1, 3), (3, 1)\} \) (The outcome (2,2) is excluded as numbers must be different) \( P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \) अभीष्ट प्रायिकता \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) \( = \frac{1/18}{5/6} = \frac{1}{18} \times \frac{6}{5} = \frac{1}{15} \)
In simple words: First, find the total outcomes for two dice rolls and identify the outcomes where numbers are different (event B) and the sum is 4 (event A). Then, find the outcomes common to both (intersection \( A \cap B \)). Calculate the probabilities of \( A \cap B \) and B, and apply the conditional probability formula.

🎯 Exam Tip: When defining the event of "different numbers", remember to subtract the cases where numbers are the same from the total sample space. The intersection must strictly adhere to both conditions simultaneously. Careful counting is essential.

 

Question 15. Class 12 Chapter 13 Maths. एक पासे को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुणज है तो पासे को पुनः फेंकें और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो तो एक सिक्के को उछालें। घटना न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना' दिया गया है तो घटना 'सिक्के पर पट प्रकट होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer: हल- दिए गए परीक्षण के परिणामों को निम्न समुच्चय के द्वारा प्रदर्शित करते हैं। यदि पासे पर 3 का गुणज (3 या 6) आता है, तो पासा पुनः फेंका जाता है। यदि पासे पर कोई अन्य संख्या (1, 2, 4, 5) आती है, तो सिक्का उछाला जाता है। प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), \) \( (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), \) \( (1, H), (1, T), (2, H), (2, T), (4, H), (4, T), (5, H), (5, T)\} \) \( n(S) = 6 + 6 + 2 \times 4 = 12 + 8 = 20 \) माना घटना E सिक्के पर पट प्रकट होना तथा घटना F न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना को निरूपित करते हैं। \( E = \{(1, T), (2, T), (4, T), (5, T)\} \implies n(E) = 4 \) \( F = \{(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \) \( n(F) = 12 \) (The problem states "न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना" means outcomes containing at least one 3 in dice throws, or the 3 itself leading to a re-throw. The interpretation of "न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना" seems to be misunderstood by the OCR in the solution text. "न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना" means if any die *shows* 3, it should be part of F. Let's re-interpret the question. E: सिक्के पर पट प्रकट होना \( = \{(1, T), (2, T), (4, T), (5, T)\} \) F: न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना \( = \{(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)\} \) The given F in the OCR is \( n(F)=7 \). This implies it is `{(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,3)}`. Let's assume the OCR's F is correct. \( F = \{(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 3)\} \implies n(F) = 7 \) \( E \cap F = \emptyset \) क्योंकि कोई उभयनिष्ठ बिन्दु नहीं है। \( P(E \cap F) = 0 \) \( P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \) \( P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{7}{20} \) \( \therefore P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{0}{7/20} = 0 \)
In simple words: First, construct the complete sample space for the two-stage experiment (dice roll then either another roll or coin toss). Define events E (tail on coin) and F (at least one 3 shown on die). Since these events are mutually exclusive in this context (E comes from rolls 1,2,4,5; F comes from rolls 3,6), their intersection is empty, resulting in a conditional probability of 0.

🎯 Exam Tip: Carefully build the sample space for multi-stage experiments. Pay close attention to the conditions that lead to each stage (e.g., specific die outcomes). If events occur in disjoint parts of the sample space, their intersection is empty, and their conditional probability will be zero.

 

Question 16. If P(A) = \( \frac{1}{2} \), P (B) = 0 then P (A | B) is
(a) 0
(b) \( \frac{1}{2} \)
(c) not defined
(d) 1

Answer: हल- दिया है, \( P(A) = \frac{1}{2} \) और \( P(B) = 0 \) हम जानते हैं कि \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) चूंकि \( P(B) = 0 \), हर शून्य है। इसलिए \( P(A|B) \) परिभाषित नहीं है।
\( P(A \cap B) \) भी 0 होगा क्योंकि \( A \cap B \) घटना \( B \) के होने के उपसमुच्चय है. Thus option (c) is correct
In simple words: Conditional probability \( P(A|B) \) is defined as \( P(A \cap B) / P(B) \). If \( P(B) = 0 \), the denominator is zero, meaning the event B cannot occur. Therefore, the conditional probability is undefined.

🎯 Exam Tip: Always check the denominator in probability formulas. If the probability of the conditioning event \( P(B) \) is zero, the conditional probability \( P(A|B) \) is undefined, as division by zero is not allowed.

 

Question 17. If A and B are events such that P(A | B) = P(B | A) then
(a) A⊂B but A≠B
(b) A = B
(c) A∩B = φ
(d) P(A) = P(B)

Answer: हल- दिया है, \( P(A | B) = P(B | A) \) चूंकि \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) और \( P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \) तो, \( \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \) क्योंकि \( P(A \cap B) = P(B \cap A) \), हम प्राप्त करते हैं: \( \frac{1}{P(B)} = \frac{1}{P(A)} \) \( \implies P(A) = P(B) \) Thus option (d) is correct.
In simple words: By substituting the conditional probability formulas for both sides of the given equality \( P(A|B) = P(B|A) \), and knowing that \( P(A \cap B) = P(B \cap A) \), we can cancel the intersection term and deduce that \( P(A) \) must be equal to \( P(B) \).

🎯 Exam Tip: This question tests the understanding of conditional probability and its properties. Remember the definition of \( P(A|B) \) and that \( P(A \cap B) \) is commutative. Algebraic manipulation should be precise.

 

Exercise 13.2

 

Question 1. यदि P(A)= \( \frac{3}{5} \) और P(B) = \( \frac{1}{5} \) A व B स्वतन्त्र घटनायें हैं, तो P(A ∩ B) ज्ञात कीजिए ।

Answer: हलः दिया है: \( P(A) = \frac{3}{5} \) और \( P(B) = \frac{1}{5} \) A व B स्वतन्त्र घटनायें हैं। \( \therefore P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) (स्वतंत्र घटनाओं के लिए) \( = \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{25} \)
In simple words: For independent events, the probability of their intersection is simply the product of their individual probabilities. Multiply \( P(A) \) by \( P(B) \) to find \( P(A \cap B) \).

🎯 Exam Tip: The key concept here is the definition of independent events. Ensure you know that for independent events E and F, \( P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \). Do not use the conditional probability formula unless it's explicitly required or independence is not stated.

 

Question 2. 52 पत्तों की एक गड्डी में से यदृच्छया बिना प्रतिस्थापित किये दो पत्ते निकाले गए। दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer: हलः ताश की गड्डी में 26 काले पत्ते होते हैं। पहले पत्ते के काला होने की प्रायिकता \( P(C_1) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \) क्योंकि पत्ता बिना प्रतिस्थापित किए निकाला जाता है, तो अब 51 पत्ते बचे हैं, जिनमें से 25 काले हैं। दूसरे पत्ते के काला होने की प्रायिकता (यह देखते हुए कि पहला पत्ता काला था) \( P(C_2|C_1) = \frac{25}{51} \) दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता \( = P(C_1 \cap C_2) = P(C_1) \cdot P(C_2|C_1) \) \( = \frac{26}{52} \times \frac{25}{51} = \frac{1}{2} \times \frac{25}{51} = \frac{25}{102} \)
In simple words: Since the cards are drawn without replacement, the probability of drawing a second black card depends on the first draw. Multiply the probability of the first card being black by the conditional probability of the second card also being black.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to whether drawing is "with replacement" or "without replacement". Without replacement problems are dependent events, where the sample space and number of favorable outcomes change after each draw.

 

Question 3. सन्तरों के एक डिब्बे का निरीक्षण उसमें से तीस सन्तरों को यदृच्छया बिना प्रतिस्थापित किये हुए निकाल कर किया जाता है। यदि तीनों निकाले गये सन्तरें अच्छे हैं; तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है अन्यथा अस्वीकृत कर देते हैं। एक डिब्बा जिसमें 15 सन्तरें हैं जिनमें से 12 अच्छे व 3 खराब सन्तरें हैं, के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer: हलः कुल सन्तरे = 15 अच्छे सन्तरे = 12 खराब सन्तरे = 3 डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है यदि तीस सन्तरों (3) को बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है और तीनों अच्छे हैं। माना A = पहली निकाल में अच्छा सन्तरा निकलने की घटना माना B = दूसरी निकाल में अच्छा सन्तरा निकलने की घटना माना C = तीसरी निकाल में अच्छा सन्तरा निकलने की घटना \( P(A) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \) पहली निकाल में एक अच्छा सन्तरा निकलने के बाद शेष सन्तरों की संख्या 14 है जिसमें 11 सन्तरे अच्छे हैं। \( P(B|A) = \frac{11}{14} \) दूसरी निकाल में भी एक अच्छा सन्तरा निकलने के बाद शेष सन्तरे 13 हैं जिसमें 10 सन्तरे अच्छे हैं। \( P(C|A \cap B) = \frac{10}{13} \) अभीष्ट प्रायिकता \( = P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B) \) \( = \frac{4}{5} \times \frac{11}{14} \times \frac{10}{13} \) \( = \frac{4 \times 11 \times 10}{5 \times 14 \times 13} = \frac{440}{910} = \frac{44}{91} \)
In simple words: This is a "without replacement" problem. The probability of each good orange depends on the previous draws. Multiply the probabilities of drawing a good orange on the first, second, and third draws, adjusting the total and good oranges count for each subsequent draw.

🎯 Exam Tip: For "without replacement" scenarios, remember that events are dependent. The numerator and denominator of the probability fraction change with each successive draw. Clearly denote the conditional probabilities for each step.

 

Question 4. एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पाँसे को उछाला गया। माना A घटना 'सिक्के पर चित प्रकट होता है और B घटना पाँसे पर संख्या 3 प्रकट होती है' को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ स्वतन्त्र हैं या नहीं ?

Answer: हल: इस प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार होगी \( S = \{(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), \) \( (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)\} \) \( n(S) = 12 \) A = सिक्के पर चित प्रकट होना \( = \{(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6)\} \) \( n(A) = 6 \) B = पाँसे पर संख्या 3 प्रकट होती है \( = \{(H, 3), (T, 3)\} \) \( n(B) = 2 \) \( A \cap B = \{(H, 3)\} \) \( n(A \cap B) = 1 \) \( P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \) \( P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \) \( P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{12} \) अब, \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \) चूंकि \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \), अतः घटनायें A व B स्वतन्त्र हैं।
In simple words: To check for independence, first list the sample space of tossing a coin and a die. Define event A (head on coin) and event B (3 on die), then find their intersection. Calculate \( P(A) \), \( P(B) \), and \( P(A \cap B) \). If \( P(A \cap B) \) equals the product of \( P(A) \) and \( P(B) \), the events are independent.

🎯 Exam Tip: The condition for independence is \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). Always calculate both sides of this equation and compare them. Ensure the sample space for compound events is correctly enumerated.

 

Question 5. एक पाँसे पर 1, 2, 3 लाल रंग से और 4, 5, 6 हरे रंग से लिखे गए हैं। इस पाँसे को उछाला गया। माना A घटना 'संख्या सम है' और B घटना 'संख्या लाल रंग से लिखी गई है' को निरूपित करते हैं। क्या A और B स्वतन्त्र हैं?

Answer: हल: इस प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) \( n(S) = 6 \) घटना A = 'संख्या सम है' \( = \{2, 4, 6\} \) \( n(A) = 3 \) घटना B = 'संख्या लाल रंग से लिखी गई है' \( = \{1, 2, 3\} \) \( n(B) = 3 \) \( A \cap B = \{2\} \) (संख्या 2 सम है और लाल रंग से लिखी गई है) \( n(A \cap B) = 1 \) \( P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) \( P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) \( P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{6} \) अब, \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \) चूंकि \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \) (अर्थात् \( \frac{1}{6} \neq \frac{1}{4} \)), अतः घटनायें A और B स्वतन्त्र नहीं हैं।
In simple words: To check for independence, define event A (even number) and event B (red number). Find their intersection. Calculate \( P(A) \), \( P(B) \), and \( P(A \cap B) \). Compare \( P(A \cap B) \) with \( P(A) \cdot P(B) \). If they are not equal, the events are not independent.

🎯 Exam Tip: Clearly list the elements for each event from the sample space. Ensure accurate calculation of intersection and individual probabilities. The independence condition \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) is a strict test; even a slight inequality means dependence.

 

Question 6. माना E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(E) = \( \frac{3}{5} \), P(F) = \( \frac{3}{10} \) और P(E∩F) = \( \frac{1}{5} \) तब क्या E तथा F स्वतन्त्र हैं?

Answer: हलः दिया है, \( P(E) = \frac{3}{5} \), \( P(F) = \frac{3}{10} \) और \( P(E \cap F) = \frac{1}{5} \) स्वतन्त्र घटनाएँ होने के लिए \( P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \) होना चाहिए। यहाँ, \( P(E) \cdot P(F) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{50} \) चूंकि \( P(E \cap F) = \frac{1}{5} = \frac{10}{50} \) और \( P(E) \cdot P(F) = \frac{9}{50} \) \( P(E \cap F) \neq P(E) \cdot P(F) \) अतः, घटनाएँ स्वतन्त्र नहीं हैं।
In simple words: To check if events E and F are independent, multiply their individual probabilities \( P(E) \) and \( P(F) \). If this product equals the given probability of their intersection \( P(E \cap F) \), then they are independent; otherwise, they are not.

🎯 Exam Tip: This is a direct application of the independence test. Calculate \( P(E) \cdot P(F) \) and then compare it directly with the given \( P(E \cap F) \). No need for conditional probability unless explicitly asked.

 

Question 7. A और B ऐसी घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A) = \( \frac{1}{2} \), P(A∪B) = \( \frac{3}{5} \) तथा P(B) = p, तो p का मान ज्ञात कीजिए यदि
(i) घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं,
(ii) घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।

Answer: हल : दिया है, \( P(A) = \frac{1}{2} \), \( P(A \cup B) = \frac{3}{5} \) और \( P(B) = p \)
(i) चूँकि घटनायें परस्पर अपवर्जी हैं। \( \therefore P(A \cap B) = 0 \) पुनः \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( \frac{3}{5} = \frac{1}{2} + p - 0 \)
\( \implies p = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6 - 5}{10} = \frac{1}{10} \)
(ii) घटनाएँ स्वतन्त्र हैं। \( \therefore P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot p = \frac{p}{2} \) पुनः \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( \frac{3}{5} = \frac{1}{2} + p - \frac{p}{2} \) \( \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = p - \frac{p}{2} \) \( \frac{6 - 5}{10} = \frac{p}{2} \) \( \frac{1}{10} = \frac{p}{2} \)
\( \implies p = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
In simple words: For mutually exclusive events, their intersection probability is zero, allowing direct substitution into the addition rule to find p. For independent events, their intersection probability is the product of individual probabilities, which is then substituted into the addition rule to solve for p.

🎯 Exam Tip: Understand the distinct definitions of mutually exclusive (disjoint) and independent events. Mutually exclusive implies \( P(A \cap B) = 0 \), while independent implies \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). Use the correct definition for each scenario.

 

Question 8. माना A और B स्वतन्त्र घटनायें है तथा P(A) = 0.3 और P(B) = 0.4 तब
(i) P (A ∩ B)
(ii) P(A ∪ B)
(iii) P(A|B)
(iv) P(B|A) ज्ञात कीजिए ।

Answer: हल: दिया है, \( P(A) = 0.3 \) और \( P(B) = 0.4 \) चूंकि A व B स्वतन्त्र घटनायें हैं।
(i) \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) (स्वतंत्र घटनाओं के लिए) \( = 0.3 \times 0.4 = 0.12 \)
(ii) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( = 0.3 + 0.4 - 0.12 \) \( = 0.7 - 0.12 = 0.58 \)
(iii) \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) \( = \frac{0.12}{0.4} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10} = 0.3 \) वैकल्पिक रूप से, चूंकि A और B स्वतंत्र हैं, \( P(A|B) = P(A) = 0.3 \)
(iv) \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) \( = \frac{0.12}{0.3} = \frac{12}{30} = \frac{4}{10} = 0.4 \) वैकल्पिक रूप से, चूंकि A और B स्वतंत्र हैं, \( P(B|A) = P(B) = 0.4 \)
In simple words: For independent events, the intersection probability is the product of individual probabilities. The union probability uses the addition rule with the intersection subtracted. Conditional probabilities for independent events are simply the probability of the event itself.

🎯 Exam Tip: Remember the special property of independent events: \( P(A|B) = P(A) \) and \( P(B|A) = P(B) \). Use this shortcut when independence is explicitly stated. For the union, always apply the inclusion-exclusion principle.

 

Question 9. दी गई घटनाएँ A और B ऐसी हैं, जहाँ P(A) = \( \frac{1}{4} \), P(B) = \( \frac{1}{2} \) और P(A ∩ B) = \( \frac{1}{8} \) तब P(A- नहीं और B - नहीं) ज्ञात कीजिए ।

Answer: हलः हमें \( P(A' \cap B') \) ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि \( P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) \) (डी मॉर्गन का नियम) अब, \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} \) \( = \frac{2}{8} + \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{2+4-1}{8} = \frac{5}{8} \) इसलिए, \( P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \)
In simple words: To find the probability that neither A nor B occurs, use De Morgan's Law which states this is equivalent to 1 minus the probability that A or B occurs. First, calculate \( P(A \cup B) \) using the addition rule, then subtract it from 1.

🎯 Exam Tip: De Morgan's Laws are very useful in probability: \( P(A' \cap B') = P((A \cup B)') \) and \( P(A' \cup B') = P((A \cap B)') \). Apply these and the addition rule correctly. Ensure proper handling of fractions.

 

Question 10. माना A और B दो घटनाएँ हैं और P(A) = \( \frac{1}{4} \) तथा P(B) = \( \frac{1}{2} \) और P(A- नहीं और B-नहीं)= \( \frac{1}{4} \), क्या A और B स्वतन्त्र घटनायें हैं?

Answer: हलः दिया है, \( P(A) = \frac{1}{4} \), \( P(B) = \frac{1}{2} \) और \( P(A' \cap B') = \frac{1}{4} \) हम जानते हैं कि \( P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) \) \( \frac{1}{4} = 1 - P(A \cup B) \) \( \implies P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) अब, \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - P(A \cap B) \) \( \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} - P(A \cap B) \) \( \frac{3}{4} = \frac{3}{4} - P(A \cap B) \)
\( \implies P(A \cap B) = 0 \) स्वतंत्र घटनाओं के लिए \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) होना चाहिए। यहाँ, \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \) चूंकि \( P(A \cap B) = 0 \) और \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{8} \), \( P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \) अतः घटनाएँ A और B स्वतन्त्र नहीं हैं।
In simple words: From \( P(A' \cap B') \), first find \( P(A \cup B) \) using De Morgan's Law. Then, use the addition rule to find \( P(A \cap B) \). Finally, compare \( P(A \cap B) \) with the product of \( P(A) \) and \( P(B) \). If they are not equal, the events are not independent.

🎯 Exam Tip: This problem combines De Morgan's Laws with the definition of independent events. A key intermediate step is correctly deriving \( P(A \cup B) \) and then \( P(A \cap B) \). A non-zero product \( P(A) \cdot P(B) \) but zero \( P(A \cap B) \) clearly indicates dependence.

 

Question 11. A और B स्वतन्त्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 तो
(i) P(A और B)
(ii) P(A और B – नहीं)
(iii) P(A या B)
(iv) P(A और B में कोई भी नहीं) का मान ज्ञात कीजिए ।

Answer: हल: दिया है, \( P(A) = 0.3 \) और \( P(B) = 0.6 \) चूंकि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
(i) P(A और B) \( = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) \( = 0.3 \times 0.6 = 0.18 \)
(ii) P(A और B – नहीं) \( = P(A \cap B') \) चूंकि A और B स्वतंत्र हैं, A और B' भी स्वतंत्र होंगे। \( = P(A) \cdot P(B') = P(A) \cdot (1 - P(B)) \) \( = 0.3 \cdot (1 - 0.6) = 0.3 \cdot 0.4 = 0.12 \)
(iii) P(A या B) \( = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( = 0.3 + 0.6 - 0.18 \) \( = 0.9 - 0.18 = 0.72 \)
(iv) P(A और B में कोई भी नहीं) \( = P(A' \cap B') \) चूंकि A और B स्वतंत्र हैं, A' और B' भी स्वतंत्र होंगे। \( = P(A') \cdot P(B') = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B)) \) \( = (1 - 0.3) \cdot (1 - 0.6) = 0.7 \cdot 0.4 = 0.28 \) वैकल्पिक रूप से, \( P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.72 = 0.28 \)
In simple words: Use the independence property to find intersection (product of probabilities). For "A and not B", use \( P(A)P(B') \). For "A or B", use the addition rule. For "neither A nor B", use \( P(A')P(B') \) or \( 1 - P(A \cup B) \).

🎯 Exam Tip: Remember that if A and B are independent, then A and B', A' and B, and A' and B' are also independent. This property simplifies calculations for complements and their intersections. Be careful with decimal calculations.

 

Question 12. एक पाँसे को तीन बार उछाला जाता है कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्राकियता ज्ञात कीजिए।

Answer: हलः एक पाँसे को तीन बार उछाला जाता है। एक उछाल में विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता (1, 3, 5) \( P(\text{विषम}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) एक उछाल में विषम संख्या प्राप्त न होने की प्रायिकता (2, 4, 6) \( P(\text{सम}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) माना A, B, C क्रमशः पहली, दूसरी और तीसरी उछाल पर विषम संख्या प्राप्त न होने की घटनाएँ हैं। क्योंकि उछालें स्वतंत्र हैं, A, B, C भी स्वतंत्र घटनाएँ हैं। तीनों के एक साथ घटने की प्रायिकता अर्थात् प्रत्येक उछाल में विषम संख्या प्राप्त न होने की घटना \( P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \) \( = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \) कम से कम एक बार विषम अंक प्राप्त होने की प्रायिकता \( = 1 - P(\text{किसी भी उछाल में विषम न हो}) \) \( = 1 - P(A \cap B \cap C) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \)
In simple words: The probability of "at least one odd number" is found by taking 1 minus the probability of "no odd numbers" (i.e., all even numbers). Since each roll is independent, the probability of all three rolls being even is the product of individual even-roll probabilities.

🎯 Exam Tip: The phrase "at least one" often simplifies to \( 1 - P(\text{none}) \). For independent trials, \( P(\text{none}) \) is the product of the probabilities of the complement event in each trial. Ensure correct identification of favorable and unfavorable outcomes for each single trial.

 

Question 13. दो गेंदें एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किये निकाली जाती हैं। बॉक्स में 10 काली और 8 लाल गेंदें हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(i) दोनों गेंदें लाल हों।
(ii) प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो ।
(iii) एक काली तथा दूसरी लाल हो ।

Answer: हलः कुल गेंदें \( = 10 + 8 = 18 \) माना R = लाल गेंद निकलने की घटना माना B = काली गेंद निकलने की घटना
(i) दोनों गेंदें लाल हों। पहले निकाल में लाल गेंद निकलने की प्रायिकता \( P(R_1) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \) दूसरे निकाल में लाल गेंद निकलने की प्रायिकता (पहले लाल निकलने के बाद) \( P(R_2|R_1) = \frac{7}{17} \) दोनों गेंदें लाल निकलने की प्रायिकता \( = P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) \) \( = \frac{8}{18} \times \frac{7}{17} = \frac{4}{9} \times \frac{7}{17} = \frac{28}{153} \)
(ii) प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो । पहले निकाल में काली गेंद निकलने की प्रायिकता \( P(B_1) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \) दूसरे निकाल में लाल गेंद निकलने की प्रायिकता (पहले काली निकलने के बाद) \( P(R_2|B_1) = \frac{8}{17} \) \( P(\text{प्रथम काली और दूसरी लाल}) = P(B_1 \cap R_2) = P(B_1) \cdot P(R_2|B_1) \) \( = \frac{10}{18} \times \frac{8}{17} = \frac{5}{9} \times \frac{8}{17} = \frac{40}{153} \)
(iii) एक काली तथा दूसरी लाल हो । यह दो तरीकों से हो सकता है: (प्रथम काली और दूसरी लाल) या (प्रथम लाल और दूसरी काली) \( P(\text{एक काली और एक लाल}) = P(B_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap B_2) \) \( P(R_1 \cap B_2) = P(R_1) \cdot P(B_2|R_1) = \frac{8}{18} \times \frac{10}{17} = \frac{4}{9} \times \frac{10}{17} = \frac{40}{153} \) \( = \frac{40}{153} + \frac{40}{153} = \frac{80}{153} \)
In simple words: This is a "without replacement" problem. For each part, calculate the probability of the first event, then the conditional probability of the second event given the first, and multiply them. For "one black and one red", consider both possible orders (black then red, or red then black) and sum their probabilities.

🎯 Exam Tip: When drawing without replacement, remember to decrease both the total number of items and the number of specific items after each draw. For "any order" problems (like one black and one red), consider all possible sequences and sum their probabilities, as these sequences are mutually exclusive.

 

Question 14. एक विशेष प्रश्न को A और B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{1}{3} \) हैं। यदि दोनों स्वतन्त्र रूप से समस्या हल करने का प्रयास करते हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) प्रश्ल हल हो जाता है।
(ii) उनमें से तथ्यतः कोई एक प्रश्न हल कर लेता है।

Answer: हलः प्रश्नानुसार, \( P(A) = \frac{1}{2} \) और \( P(B) = \frac{1}{3} \) A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं। \( P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) \( P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
(i) प्रश्न हल हो जाता है। यह तब होता है जब A हल करता है, या B हल करता है, या दोनों हल करते हैं। अर्थात् \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) चूंकि A और B स्वतंत्र हैं, \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \) \( P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) वैकल्पिक रूप से, \( P(\text{प्रश्न हल हो जाता है}) = 1 - P(\text{प्रश्न हल नहीं होता है}) \) \( = 1 - P(A' \cap B') \) \( = 1 - P(A') \cdot P(B') \) (क्योंकि A' और B' भी स्वतंत्र हैं) \( = 1 - \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
(ii) उनमें से तथ्यतः कोई एक प्रश्न हल कर लेता है। यह तब होता है जब A हल करता है और B नहीं, या B हल करता है और A नहीं। \( P(\text{केवल एक हल करता है}) = P(A \cap B') + P(A' \cap B) \) \( = P(A) \cdot P(B') + P(A') \cdot P(B) \) (स्वतंत्रता के कारण) \( = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \) \( = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
In simple words: For part (i), "problem is solved" means A or B or both solve it. Use the complement rule (1 - P(neither solves)) or the addition rule. For part (ii), "exactly one solves" means A solves and B doesn't, OR B solves and A doesn't. Sum the probabilities of these two mutually exclusive events.

🎯 Exam Tip: For problems involving independent events, using complements (e.g., \( P(\text{at least one}) = 1 - P(\text{none}) \)) often simplifies calculations. When considering "exactly one" of multiple independent events, sum the probabilities of each specific single success scenario.

 

Question 15. ताश के 52 पत्तों की एक ठीक से फैटी गई गड्डी से एक पत्ता यदृच्छया निकाला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ E और F स्वतन्त्र हैं?
(i) E : 'निकाला गया पत्ता हुकुम का है F : 'निकाला गया पत्ता इक्का है ।
(ii) E : निकाला गया पत्ता काले रंग का है। F : निकाला गया पत्ता एक बादशाह है।
(iii) E: निकाला गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है। F : निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है।

Answer: हलः कुल पत्तों की संख्या = 52
(i) E : 'निकाला गया पत्ता हुकुम का है। हुकुम के पत्तों की संख्या = 13 \( P(E) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \) F : 'निकाला गया पत्ता इक्का है। इक्कों की संख्या = 4 \( P(F) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \) \( E \cap F \) : निकाला गया पत्ता हुकुम का इक्का है। हुकुम के इक्कों की संख्या = 1 \( P(E \cap F) = \frac{1}{52} \) \( P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52} \) चूंकि \( P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \), इसलिए घटनाएँ E व F स्वतन्त्र हैं।
(ii) E : निकाला गया पत्ता काले रंग का है। काले रंग के पत्तों की संख्या = 26 \( P(E) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \) F : निकाला गया पत्ता बादशाह है। बादशाहों की संख्या = 4 \( P(F) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \) \( E \cap F \) : निकाला गया पत्ता काले रंग का बादशाह है। काले रंग के बादशाहों की संख्या = 2 \( P(E \cap F) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} \) \( P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{26} \) चूंकि \( P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \), इसलिए घटनाएँ E और F स्वतन्त्र हैं।
(iii) E: निकाला गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है। बादशाहों की संख्या = 4, बेगमों की संख्या = 4 \( n(E) = 4 + 4 = 8 \) \( P(E) = \frac{8}{52} = \frac{2}{13} \) F: निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है। बेगमों की संख्या = 4, गुलामों की संख्या = 4 \( n(F) = 4 + 4 = 8 \) \( P(F) = \frac{8}{52} = \frac{2}{13} \) \( E \cap F \) : निकाला गया पत्ता एक बेगम है। (बादशाह/बेगम और बेगम/गुलाम में उभयनिष्ठ केवल बेगम है) \( n(E \cap F) = 4 \) \( P(E \cap F) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \) \( P(E) \cdot P(F) = \frac{2}{13} \times \frac{2}{13} = \frac{4}{169} \) चूंकि \( P(E \cap F) = \frac{1}{13} = \frac{13}{169} \) और \( P(E) \cdot P(F) = \frac{4}{169} \), \( P(E \cap F) \neq P(E) \cdot P(F) \) इसलिए घटनाएँ E और F स्वतन्त्र नहीं हैं।
In simple words: For each scenario, define events E and F and their intersection. Calculate \( P(E) \), \( P(F) \), and \( P(E \cap F) \). If \( P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \), the events are independent; otherwise, they are dependent.

🎯 Exam Tip: Clearly define the events based on the card properties (suit, rank, color). Be meticulous in counting the number of favorable outcomes for each event and its intersection. Remember that "or" implies union and "and" implies intersection. The independence test \( P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \) is definitive.

 

Question 16. एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिंदी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्रा को यदृच्छया चुना जाता है।
(a) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हिंदी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है।
(b) यदि वह हिंदी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
(c) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिंदी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer: हलः माना H = हिंदी का अखबार पढ़ने की घटना; E = अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की घटना तब \( P(H) = \frac{60}{100} = \frac{3}{5} \) \( P(E) = \frac{40}{100} = \frac{2}{5} \) और \( P(H \cap E) = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \) (दोनों अखबार पढ़ने की प्रायिकता)
(a) अभीष्ट प्रायिकता = \( P(H' \cap E') \) \( = P((H \cup E)') \) (डी मॉर्गन का नियम) \( = 1 - P(H \cup E) \) \( P(H \cup E) = P(H) + P(E) - P(H \cap E) \) \( = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3+2-1}{5} = \frac{4}{5} \) \( P(H' \cap E') = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \)
(b) अभीष्ट घटना की प्रायिकता \( P(E|H) = \frac{P(E \cap H)}{P(H)} \) \( = \frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3} \)
(c) अभीष्ट घटना की प्रायिकता \( P(H|E) = \frac{P(H \cap E)}{P(E)} \) \( = \frac{1/5}{2/5} = \frac{1}{2} \)
In simple words: First, convert percentages to probabilities for Hindi, English, and both newspapers. For part (a), use De Morgan's Law to find "neither H nor E" as 1 - P(H or E). For parts (b) and (c), apply the conditional probability formula, dividing the intersection probability by the probability of the conditioning event.

🎯 Exam Tip: When dealing with percentages, convert them into probabilities (fractions or decimals). De Morgan's Law and the addition rule are crucial for "union" and "complement of union" problems. Conditional probability requires careful identification of the numerator (intersection) and denominator (conditioning event).

 

Question 17. The probability of obtaining an even prime number on each die when a pair of dice is rolled is
(a) 0
(b) \( \frac{1}{36} \)
(c) \( \frac{1}{18} \)
(d) \( \frac{1}{12} \)

Answer: हलः कुल प्रतिदर्श समष्टि \( n(S) = 6 \times 6 = 36 \) सम अभाज्य संख्या केवल 2 है। (The only even prime number is 2) माना A एक ऐसी घटना को दर्शाता है जहाँ प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या आती है। \( A = \{(2, 2)\} \) \( n(A) = 1 \) \( P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{36} \) Thus option (b) is correct
In simple words: The only even prime number is 2. When rolling a pair of dice, the only outcome where both dice show an even prime number is (2, 2). Calculate the probability of this single outcome out of the total 36 possible outcomes.

🎯 Exam Tip: Remember that 2 is the only even prime number. This fact is key to identifying the favorable outcome. Ensure the total sample space for two dice rolls (36) is correctly used as the denominator.

 

Question 18. Two events A and B are said to be independent, if
(a) A and B are mutually exclusive
(b) P(A'B') = [1 - P(A)] [1 – P(B)]
(c) P(A) = P(B)
(d) P (A) + P (B) = 1

Answer: हलः यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो A' और B' भी स्वतंत्र घटनाएँ होंगी। तब \( P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B') \) \( = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B)) \) Thus option (b) is correct.
In simple words: By definition, if two events A and B are independent, then their complements A' and B' are also independent. For independent events, the probability of their intersection is the product of their individual probabilities. So, \( P(A' \cap B') \) becomes \( P(A') \cdot P(B') \), which is \( (1-P(A))(1-P(B)) \).

🎯 Exam Tip: Recall the key property of independent events: if A and B are independent, then so are \( A \) and \( B' \), \( A' \) and \( B \), and \( A' \) and \( B' \). This property directly leads to the correct option for the intersection of complements.

 

Exercise 13.3

 

Question 1. एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है। पुनः निकाले गएं रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती हैं तथा कलश में से एक गेंद निकाली जाती है दूसरी गेंद की लाल होने की प्रायिकता क्या है?

Answer: हल- प्रारंभ में: 5 लाल और 5 काली गेंदें। कुल = 10 गेंदें। माना E1 = पहली गेंद लाल है माना E2 = पहली गेंद काली है \( P(E1) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) \( P(E2) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) माना A = दूसरी गेंद लाल होने की घटना
यदि पहली गेंद लाल (E1) है और उसे वापस रखकर 2 अतिरिक्त लाल गेंदें कलश में रख दी जाती हैं: अब कलश में \( 5+2 = 7 \) लाल और 5 काली गेंदें हैं। कुल = 12 गेंदें। दूसरी गेंद लाल होने की प्रायिकता \( P(A|E1) = \frac{7}{12} \)
यदि पहली गेंद काली (E2) है और उसे वापस रखकर 2 अतिरिक्त काली गेंदें कलश में रख दी जाती हैं: अब कलश में 5 लाल और \( 5+2 = 7 \) काली गेंदें हैं। कुल = 12 गेंदें। दूसरी गेंद लाल होने की प्रायिकता \( P(A|E2) = \frac{5}{12} \) कुल प्रायिकता कि दूसरी गेंद लाल हो \( P(A) = P(E1)P(A|E1) + P(E2)P(A|E2) \) \( = \frac{1}{2} \times \frac{7}{12} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{12} \) \( = \frac{7}{24} + \frac{5}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \)
In simple words: This is a total probability problem involving two stages. First, determine the probability of the first ball being red or black. Based on the color of the first ball, adjust the number of balls in the urn. Then, calculate the conditional probability of the second ball being red for each case. Sum the products of these probabilities to get the total probability of the second ball being red.

🎯 Exam Tip: For problems with multiple stages and changing conditions, use the Law of Total Probability. Clearly define initial events (color of the first ball) and the conditional events (second ball being red after adjustments). Be meticulous with counting balls after replacement and adding extra balls.

 

Question 2. एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। दोनों थैलों में से एक को यदृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गेंद पहले थैले से निकाली गयी है।
Answer: हल : माना पहले वे दूसरे थैले को चुनने की घटनायें क्रमशः \(E_1\) व \(E_2\) हैं, तब
\(P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}\) माना लाल गेंद निकलने की घटना \(E\) है, तब \(P(E | E_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\), \(P(E|E_2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) अब पहले थैले में में से गेंद निकलने की प्रायिकता जबकि यह ज्ञात है कि वह लाल रंग की है \( = P(E_1 | E) \) बेज प्रमेय द्वारा \( P(E_1 | E) = \frac{P(E_1) P(E | E_1)}{P(E_1) P(E | E_1) + P(E_2) P(E | E_2)} \) \( = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}} \) \( = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \) \( = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{8}} \) \( = \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{2}{3} \)In simple words: We used Bayes' theorem to find the probability that the red ball came from the first bag, given the initial probabilities of selecting each bag and the probability of drawing a red ball from each bag. The calculation showed the probability to be 2/3.

🎯 Exam Tip: Always clearly define the events and probabilities involved before applying Bayes' theorem. Accuracy in calculations is crucial for full marks.

 

Question 3. छात्रों में से एक कॉलेज में, यह ज्ञात है कि 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% दिन विद्वान हैं (छात्रावास में नहीं रहते हैं)। पिछले साल के परिणाम रिपोर्ट करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले सभी छात्रों में से 30% एक ग्रेड प्राप्त करते हैं और दिन के 20% विद्वान अपनी वार्षिक परीक्षा में एक ग्रेड प्राप्त करते हैं। वर्ष के अंत में, एक छात्र को कॉलेज से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उसके पास ए-ग्रेड होता है क्या छात्र संभावना है कि छात्र एक होस्टल हो?
Answer: हल: \(E_1\), \(E_2\) और \(A\) निम्नलिखित का प्रतिनिधित्व करते हैं: \(E_1\) = हॉस्टल में रहने वाले छात्र, \(E_2\) दिन विद्वान (छात्रावास में नहीं रह रहे हैं) और \(A\) = छात्र जो ग्रेड \(A\) प्राप्त करते हैं Now \(P(E_1) = \frac{60}{100}\), \(P(E_2) = \frac{40}{100}\) \(P(A|E_1)= \frac{30}{100}\), \(P(A|E_2)= \frac{20}{100}\) Now by Bayes' theorem \(P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1)+P(E_2)P(A|E_2)}\) \( = \frac{\frac{60}{100} \times \frac{30}{100}}{\frac{60}{100} \times \frac{30}{100} + \frac{40}{100} \times \frac{20}{100}} \) \( = \frac{\frac{1800}{10000}}{\frac{1800}{10000} + \frac{800}{10000}} \) \( = \frac{1800}{1800 + 800} = \frac{1800}{2600} = \frac{9}{13} \)In simple words: We used Bayes' theorem to find the probability that a student with an A-grade lives in the hostel, given the proportion of students in the hostel/day scholar categories and their respective A-grade achievement rates. The calculated probability is 9/13.

🎯 Exam Tip: Pay attention to converting percentages to probabilities and correctly setting up the numerator and denominator in Bayes' theorem. Clearly labeling events is key.

 

Question 4. एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उतर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। माना कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता है और अनुमान लगाने की प्रायिकता है। मान लें कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता है तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?
Answer: हलः माना \(E_1\) : विद्यार्थी उत्तर जानता है; \(E_2\) : विद्यार्थी अनुमान लगाता हो । \(E\): विद्यार्थी सही उत्तर देता है। तब \(P(E_1) = \frac{3}{4}\), \(P(E_2) = \frac{1}{4}\) और \(P(E | E_1) = 1\), \(P(E | E_2) = \frac{1}{4}\) अतः बेज प्रमेय से \(P(E_1 | E) = \frac{P(E_1)P(E | E_1)}{P(E_1)P(E | E_1) + P(E_2)P(E | E_2)}\) \( = \frac{\frac{3}{4} \times 1}{\frac{3}{4} \times 1 + \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}} \) \( = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4} + \frac{1}{16}} \) \( = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{12}{16} + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{13}{16}} \) \( = \frac{3}{4} \times \frac{16}{13} = \frac{12}{13} \)In simple words: Using Bayes' theorem, we calculated the probability that a student knew the answer, given that they answered correctly, by considering their probability of knowing versus guessing and the accuracy of guessing. The probability is 12/13.

🎯 Exam Tip: Clearly distinguish between the probability of knowing the answer and the probability of guessing correctly. The value for \(P(E|E_1)\) is typically 1 when the answer is known.

 

Question 5. किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है। किंतु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है। यदि किसी जनसमुदाय में 0.1% लोग उस रोग से ग्रस्त हैं तो क्या प्रायिकता है कि कोई यदृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में ये बताया जाता है कि उसे यह रोग है?
Answer: हलः माना \(E_1\) : एक व्यक्ति को विशेष रोग होना; \(E_2\) : एक व्यक्ति को विशेष रोग न होना । तथा \(E\) : घटना जब जाँच की रिपोर्ट पॉजीटिव है । Now \(P(E_1)=0.1\% = \frac{1}{1000} = 0.001\) \(P(E_2)=1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}=0.999\) \(P(E|E_1) = \frac{99}{100} = 0.99\) \(P(E|E_2) = \frac{0.5}{100} = 0.005\) अतः बेज प्रमेय द्वारा \(P(E_1|E) = \frac{P(E_1)P(E|E_1)}{P(E_1)P(E|E_1) + P(E_2)P(E|E_2)}\) \( = \frac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.005} \) \( = \frac{0.00099}{0.00099 + 0.004995} \) \( = \frac{0.00099}{0.005985} \) \( = \frac{990}{5985} = \frac{22}{133} \)In simple words: Using Bayes' theorem, we calculated the probability that a randomly chosen person actually has a specific disease, given that their blood test result is positive, considering the test's accuracy and the prevalence of the disease in the population. The probability is 22/133.

🎯 Exam Tip: Be careful with percentage conversions to decimals, especially for very small percentages. Understand the difference between test accuracy for positive/negative results and the overall disease prevalence.

 

Question 6. तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित्त ही है। दूसरा सिक्का अभिनत (biased) है जिसमें चित्त 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिनत सिक्का है। तीनों में से एक सिक्के को यदृच्छयो चुना गया और उसे उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित्त प्रकट हो, तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित्त वाला सिक्का है?
Answer: हल: \(E_1\) : सिक्का जिसमें दोनों तरफ चित्त है, चुने जाने की घटना। \(E_2\) : अभिनत सिक्का जिसमें चित्त 75% प्रकट होता है, चुने जाने की घटना \(E_3\) : अनभिनत सिक्का चुने जाने की घटना \(E\) : सिक्के पर चित्त प्रकट होने की घटना प्रश्नानुसार, \(P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}\) और \(P(E | E_1) = 1\), \(P(E | E_2) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}\) \(P(E | E_3) = \frac{1}{2}\) तो बेज प्रमेय द्वारा अभीष्ट प्रायिकता \(P(E_1 | E) = \frac{P(E_1) P(E | E_1)}{P(E_1) P(E | E_1) + P(E_2) P(E | E_2) + P(E_3) P(E | E_3)}\) \( = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} \) \( = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}} \) \( = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12}} \) \( = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{9}{12}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}} \) \( = \frac{1}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{9} \)In simple words: Given a coin shows heads, we calculated the probability that it was the two-headed coin by using Bayes' theorem, accounting for the equal initial probability of selecting any of the three coins and their individual head-showing probabilities. The probability is 4/9.

🎯 Exam Tip: Remember that for a two-headed coin, the probability of getting a head is 1. Ensure all denominators are brought to a common value for summation.

 

Question 7. एक बीमा कम्पनी 2000 स्कुटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01, 0.03 और 0.15 है। बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटना ग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः माना \(E_1\) : बीमित व्यक्ति एक स्कूटर चालक है; \(E_2\) : बीमित व्यक्ति एक कार चालक है। \(E_3\) : बीमित व्यक्ति एक ट्रक चालक है; \(E\) : बीमित व्यक्ति दुर्घटना ग्रस्त है। तब \(P(E_1) = \frac{2000}{2000+4000+6000} = \frac{2000}{12000} = \frac{1}{6}\); \(P(E_2) = \frac{4000}{2000+4000+6000} = \frac{4000}{12000} = \frac{1}{3}\) \(P(E_3) = \frac{6000}{2000+4000+6000} = \frac{6000}{12000} = \frac{1}{2}\) \(P(E | E_1) = 0.01\), \(P(E | E_2) = 0.03\), \(P(E | E_3) = 0.15\) दुर्घटना ग्रस्त व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता \( = P(E_1 | E) \) बेज प्रमेय द्वारा \(P(E_1 | E) = \frac{P(E_1) P(E | E_1)}{P(E_1) P(E | E_1) + P(E_2) P(E | E_2) + P(E_3) P(E | E_3)}\) \( = \frac{\frac{1}{6} \times 0.01}{\frac{1}{6} \times 0.01 + \frac{1}{3} \times 0.03 + \frac{1}{2} \times 0.15} \) \( = \frac{\frac{0.01}{6}}{\frac{0.01}{6} + 0.01 + 0.075} \) \( = \frac{\frac{0.01}{6}}{\frac{0.01}{6} + \frac{0.06}{6} + \frac{0.45}{6}} \) \( = \frac{0.01}{0.01 + 0.06 + 0.45} = \frac{0.01}{0.52} = \frac{1}{52} \)In simple words: We applied Bayes' theorem to find the probability that an accident-involved person is a scooter driver, given the proportion of each driver type insured and their respective accident probabilities. The calculation resulted in a probability of 1/52.

🎯 Exam Tip: Correctly calculate the prior probabilities for each driver type. Ensure precise decimal multiplication and summation in the denominator to avoid errors.

 

Question 8. एक कारखाने में A और B दो मशीनें लगी हैं। रिकार्ड से ज्ञात होता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% और मशीन B का 1% उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उसे ढेर से यदृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो तो इस वस्तु के मशीन A द्वारा बने होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना कि घटनायें \(E_1\) व \(E_2\) इस प्रकार हैं। \(E_1\) = वस्तु मशीन \(A\) द्वारा बनायी गयी है; \(E_2\) = वस्तु मशीन \(B\) द्वारा बनायी गयी है। \(E\) = वस्तु खराब है। तब प्रश्नानुसार, \(P(E_1) = 0.6\), \(P(E_2) = 0.4\) \(P(E | E_1 )\) = वस्तु के खराब होने की प्रायिकता जबकि वह मशीन \(A\) द्वारा बनायी गयी है। \( = 0.02\) इसी प्रकार \(P(E | E_2) = 0.01\) अब वस्तु के मशीन \(A\) द्वारा बने होने की प्रायिकता जबकि वह खराब है \( = P(E_1 | E) \) बेज प्रमेय द्वारा \(P(E_1 | E) = \frac{P(E_1).P(E | E_1)}{P(E_1) P(E | E_1) + P(E_2) P(E | E_2)}\) \( = \frac{0.6 \times 0.02}{0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.01} \) \( = \frac{0.012}{0.012 + 0.004} \) \( = \frac{0.012}{0.016} = \frac{3}{4} \)In simple words: We used Bayes' theorem to determine the probability that a defective item was produced by machine A, given the production proportions of each machine and their respective defect rates. The calculated probability is 3/4.

🎯 Exam Tip: Clearly convert all percentages to decimal probabilities. The calculation of the total probability of a defective item in the denominator is a key step.

 

Question 9. दो समूह निगम के निदेशक मंडल की स्थिति के लिए प्रतिस्पर्धा कर रहे हैं। संभावनाएं जो पहले और दूसरे समूह जीतेंगे क्रमश: 0.6 और 0.4 हैं। इसके अलावा, यदि पहला समूह जीतता है, तो एक नया उत्पाद पेश करने की संभावना 0.7 है और दूसरा समूह जीतने पर संबंधित संभावना 0.3 है। संभावना है कि नए उत्पाद को पेश किया गया नया उत्पाद दूसरे समूह द्वारा किया गया था।
Answer: हलः दिया गया: \(P (G_1) = 0.6\), \(P (G_2) = 0.4\) \(P\) नए उत्पाद \(P (P | G_1) = 0.7\) और \(P (P | G_2) = 0.3\) के लॉन्चिंग का प्रतिनिधित्व करता है By Baye's theorem \(P (G_2|P) = \frac{P(G_2) \times P(P|G_2)}{P(G_1).P(P|G_1)+P(G_2) \times P(P|G_2)}\) \( = \frac{0.4 \times 0.3}{0.6 \times 0.7 + 0.4 \times 0.3} \) \( = \frac{0.12}{0.42 + 0.12} \) \( = \frac{0.12}{0.54} = \frac{12}{54} = \frac{2}{9} \)In simple words: We used Bayes' theorem to find the probability that a newly launched product was introduced by the second group, given the prior probabilities of each group winning and their respective probabilities of launching a new product. The result is 2/9.

🎯 Exam Tip: Ensure the conditional probabilities for product launch, given each group wins, are correctly identified. Decimal arithmetic must be precise for an accurate final fraction.

 

Question 10. कोई लड़की एक पाँसा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को तीन बार उछालती है और 'चित्तों की संख्या नोट करती है। यदि उसे 1, 2, 3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर चित्त या पट प्राप्त हुआ। यदि उसे ठीक एक चित्त प्राप्त होता है, तो उसके द्वारा उछाले गए पाँसे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
Answer: हलः माना \(E_1\) = एक पाँसे के उछाल पर संख्या 5 या 6 का आना \(E_2\) = एक पाँसे के उछाल पर संख्या 1, 2, 3 या 4 का आना \(E\) = सिक्के के उछाल में एक ही चित्त का आना तब \(P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \(P(E_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) क्योंकि \(S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}\) \(E = \{HTT, THT, TTH\}\) \(P(E | E_1) = \frac{3}{8}\) तथा \(P(E | E_2) = \frac{1}{2}\) (क्योंकि \(S = \{T, H\}\), \(E = \{H\}\)) अतः बेज प्रमेय से \(P(E_2 | E) = \frac{P(E_2) P(E | E_2)}{P(E_1) P(E | E_1) + P(E_2) P(E | E_2)}\) \( = \frac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{8} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}} \) \( = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8} + \frac{1}{3}} \) \( = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{24} + \frac{8}{24}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{24}} \) \( = \frac{1}{3} \times \frac{24}{11} = \frac{8}{11} \)In simple words: We calculated the probability that the girl rolled a 1, 2, 3, or 4 on the dice, given that she obtained exactly one head from the subsequent coin tosses. This was done using Bayes' theorem by considering the probabilities of rolling specific numbers and the conditional probabilities of getting one head from different coin-tossing scenarios. The result is 8/11.

🎯 Exam Tip: Identify the sample space and event outcomes for each scenario (3 coin tosses vs. 1 coin toss) accurately. Conditional probabilities must correspond to the correct event. Simplify fractions at each step to manage complexity.

 

Question 11. एक निर्मात्म के पास A, B तथा C मशीन ऑपरेटर है। प्रथम ऑपरेटर A,1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा ऑपरेटर B और C क्रमशः 5% और 7% खराब सामग्री उत्पादित करते हैं। कार्य पर A कुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% तथा कुले समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?
Answer: हलः माना \(E_1\) : ऑपरेटर \(A\) द्वारा उत्पादित होने की घटना \(E_2\) : ऑपरेटर \(B\) द्वारा उत्पादित होने की घटना \(E_3\) : ऑपरेटर \(C\) द्वारा उत्पादित होने की घटना \(E\) : एक खराब सामग्री उत्पादित होने की घटना तब \(P(E_1) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}\); \(P(E_2) = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}\); \(P(E_3) = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}\) और \(P(E | E_1) = \frac{1}{100}\), \(P(E | E_2) = \frac{5}{100}\), \(P(E | E_3) = \frac{7}{100}\) ... खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे \(A\) द्वारा उत्पादित किये जाने की प्रायिकता \( = P(E_1 | E) \) \( = \frac{P(E_1) P(E | E_1)}{P(E_1) P(E | E_1) + P(E_2) P(E | E_2) + P(E_3) P(E | E_3)}\) \( = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{100}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{100} + \frac{3}{10} \times \frac{5}{100} + \frac{1}{5} \times \frac{7}{100}} \) \( = \frac{\frac{1}{200}}{\frac{1}{200} + \frac{15}{1000} + \frac{7}{500}} \) \( = \frac{\frac{1}{200}}{\frac{5}{1000} + \frac{15}{1000} + \frac{14}{1000}} \) \( = \frac{\frac{1}{200}}{\frac{34}{1000}} = \frac{1}{200} \times \frac{1000}{34} \) \( = \frac{5}{34} \)In simple words: We used Bayes' theorem to find the probability that a defective item came from operator A, given the proportion of work done by each operator and their individual defect rates. The probability is 5/34.

🎯 Exam Tip: Accurately identify the prior probabilities of each operator's contribution and their respective conditional probabilities of producing defective items. Convert all percentages to fractions or decimals carefully.

 

Question 12. 52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के पत्ते हैं। खो गये पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है?
Answer: हल: माना \(E_1\) : खोने वाला पत्ता ईंट का है;
\(E_2\) : खोने वाला पत्ता पान का है।
\(E_3\) : खोने वाला पत्ता चिड़ी का है
\(E_4\) : खोने वाला पत्ता हुकम का है। \(E\) : शेष पत्तों से 2 ईंट के पत्ते निकालने की घटना तब \(P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = P(E_4) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) \(P(E | E_1)\) = दोनों पत्ते ईंट के हैं, की प्रायिकता यदि ईंट का पत्ता खो गया हो। \( = \frac{^{12}C_2}{^{51}C_2} = \frac{12 \times 11}{51 \times 50} = \frac{132}{2550} = \frac{44}{850} = \frac{22}{425} \) \(P(E | E_2 )\) = दोनों पत्ते ईंट के हैं, की प्रायिकता (1) अगर पान का पत्ता खो गया है \( = \frac{^{13}C_2}{^{51}C_2} = \frac{13 \times 12}{51 \times 50} = \frac{156}{2550} = \frac{26}{425} \) इसी प्रकार \(P(E | E_3) = \frac{26}{425}\), \(P(E | E_4) = \frac{26}{425}\) तब बेज प्रमेय से खो गये पत्ते के ईंट के होने की प्रायिकता जबकि शेष पत्तों से निकाले गए दो पत्ते ईंट के हैं। \(P(E_1|E) = \frac{P(E_1) P(E | E_1)}{P(E_1) P(E | E_1) + P(E_2).P(E|E_2) + P(E_3).P(E|E_3) + P(E_4) P(E|E_4)}\) \( = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{22}{425}}{\frac{1}{4} \times \frac{22}{425} + \frac{1}{4} \times \frac{26}{425} + \frac{1}{4} \times \frac{26}{425} + \frac{1}{4} \times \frac{26}{425}} \) \( = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{22}{425}}{\frac{1}{4} \times \frac{(22+26+26+26)}{425}} \) \( = \frac{22}{22+26+26+26} = \frac{22}{100} = \frac{11}{50} \)In simple words: We used Bayes' theorem to find the probability that the lost card was a diamond, given that two diamond cards were drawn from the remaining deck. This involves calculating the combinations and conditional probabilities for drawing diamonds if different suits were lost. The probability is 11/50.

🎯 Exam Tip: Be meticulous with combinations (\(^{n}C_r\)) calculations. The conditional probabilities depend on which suit is assumed to be lost, affecting the number of cards available.

 

Question 13. Probability that A speaks truth is 4/5. A coin is tossed. A reports that a head appears. The probability that actually there was head is
(a) 4/5
(b) 1/2
(c) 1/5
(d) 1/5
Answer: हल: Let A be the event that the man reports that head occurs in tossing a coin and let \(E_1\) be the event that head occurs and \(E_2\) be the event head does not occurs. \(P(E_1) = \frac{1}{2} = P(E_2)\) \(P (A|E_1)\) = Probability that A reports that head occurs when head has actually occurs red on the coin = Probability that the man speaks truth \( = \frac{4}{5} \) \(P (A|E_2)\) = Probability that A reports that head occurs when head has not occurred on the coin = Probability that the man does not speak the truth \( = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} \) By Baye's theorem \(P(E_1 | A)\) = Probability that the report of A that head occurs, is actually a head \( = \frac{P(E_1)P(A/E_1)}{P(E_1)P(A/E_1) + P(E_2)P(A/E_2)} \) \( = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}} \) \( = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{4}{10} + \frac{1}{10}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{5}{10}} = \frac{4}{5} \) Thus option (a) is correct.In simple words: Using Bayes' theorem, we find the probability that a head actually appeared, given that person A reported a head. This considers the prior probability of a head/tail and A's truth-telling probability. The result is 4/5.

🎯 Exam Tip: Clearly define the events for the actual outcome and the reported outcome. The probability of the person *not* speaking the truth is \(1 - P(\text{truth})\).

 

Question 14. If A and B are two events such that \(A \subset B\) and \(P (B) \neq 0\), then which of the following is correct:
(a) \(P(A | B) = \frac{P(A)}{P(B)}\)
(b) \(P (A | B) < P (A)\)
(c) \(P(A | B) \geq P(A)\)
(d) None of these
Answer: (c) P(A | B) ≥ P(A) हल: (c) \(A \subset B \implies A \cap B = A\) and \(P(B) \neq 0\) \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)}\) \(P(B) \neq 0\), ... \(P(A) < P(B)\)
\( \implies P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)} \geq P(A) \) (since \(P(B) \leq 1\), it implies \(1/P(B) \geq 1\) and \(P(A)/P(B) \geq P(A)\))
Also, because \(A \subset B\), if B occurs, then A must occur. So \(P(A|B)\) represents the probability of A occurring when B has already occurred. This will be higher than or equal to the probability of A occurring in general, \(P(A)\), as the condition of B occurring makes A more likely (or equally likely if A=B).In simple words: If event A is a subset of event B (A occurs whenever B occurs), then the probability of A happening given B has happened (\(P(A|B)\)) must be greater than or equal to the probability of A happening on its own (\(P(A)\)), because B's occurrence makes A's occurrence more certain.

🎯 Exam Tip: Understand the implications of \(A \subset B\). This relationship means that \(A \cap B = A\). The value \(P(B)\) is always \(\leq 1\), so dividing by \(P(B)\) (\(<1\)) will increase or keep the value of \(P(A)\).

Exercise 13.4

 

Question 1. बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन-से एक यादृच्छिक चर के लिए सम्भव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।
Answer: हलः
(i) यहाँ पर \(P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.4 + 0.4 + 0.2 = 1\) और सभी \(P(X) \geq 0\) ... यह प्रायिकता बंटन सम्भव है।
(ii) यहाँ पर \(P (X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)\) \( = 0.1 + 0.5 + 0.2-0.1 + 0.3 = 1.0 \) परन्तु \(P(X = 3) = -0.1 < 0\) ... यह प्रायिकता बंटन सम्भव नहीं है।
(iii) यहाँ पर, \(P(Y = - 1) + P(Y = 0) + P(Y = 1)\) \( = 0.6 + 0.1 + 0.2 = 0.9 \neq 1 \) ... यह प्रायिकता बंटन सम्भव नहीं है।
(iv) यहाँ पर, \(P(Z = 3) + P(Z = 2) + P(Z = 1) + P(Z = 0) + P(Z = -1) = 0.3 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.05 = 1.05 \neq 1\) ... यह प्रायिकता बंटन सम्भव नहीं है।

In simple words: A probability distribution is valid if all probabilities are non-negative and their sum is exactly 1. Distributions (ii), (iii), and (iv) are invalid because (ii) contains a negative probability, and (iii) and (iv) have probabilities that do not sum to 1.

🎯 Exam Tip: The two fundamental properties of a probability distribution are that \(0 \leq P(X=x) \leq 1\) for all \(x\), and \(\sum P(X=x) = 1\). Check both conditions meticulously.

 

Question 2: एक कलश में 5 लाल और 2 काली गेंद हैं। दो गेंद यदृच्छया निकाली गई। मान लीजिए \(x\) काली गेंदों की संख्या को व्यक्त करता है। \(X\) के सम्भावित मान क्या हैं? क्या \(X\) यदृच्छिक चर है ?
Answer: हल: हमारे पास 5 लाल और 2 काली गेंदें हैं। जब दो गेंद यदृच्छया निकाली गईं, तब निम्नलिखित सम्भावना बन सकती हैं।
(i) निकाली गई दोनों गेंदें लाल हैं
(ii) 1 गेंद लाल, एक काली
(iii) दोनों काली
(i) में \(X = 0\)
(ii) में \(X = 1\)
(iii) में \(X = 2\)
... परिणाम \(X = \{0, 1, 2\}\) .\(.\). \(X\) का परिसर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए \(x\) एक यादृच्छिक चर है।In simple words: Given 5 red and 2 black balls, if two are drawn, the number of black balls (X) can be 0 (both red), 1 (one red, one black), or 2 (both black). Since X takes on real numerical values based on random outcomes, it is a random variable.

🎯 Exam Tip: A random variable is a numerical quantity whose value is determined by the outcome of a random experiment. Identify all possible numerical outcomes for the variable.

 

Question 3: यदि \(X\) चित्तों की संख्या और पटों की संख्या में अन्तर को व्यक्त करता है, जबकि एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। सम्भावित मूल्य क्या हैं?
Answer: हलः यदि एक सिक्का 6 बार उछाला गया हो तो, चित्तों व पटों की कुल संख्याएँ \( = 2^6 = 64\) चित्त व पट इस प्रकार आ सकते हैं।
(i) 6 चित्त, 0 पट
(ii) 5 चित्त, 1 पेट
(iii) 4 चित्त, 2 पट
(iv) 3 चित्त, 3 पट
(v) 2 चित्त, 4 पट
(vi) 1 चित्त, 5 पट
(vii) 0 चित्त, 6 पट
चूँकि \(X\): चित्तों की संख्या और पटों की संख्या में अन्तर को व्यक्त करता है। इसलिए
(i) में \(X = 6 – 0= 6\)
(ii) में \(X = 5 – 1 = 4\)
(iii) में \(X = 4 – 2 = 2\)
(iv) में \(X = 3 – 3 = 0\)
(v) में \(X = 4 – 2 = 2\)
(vi) में \(X = 5 -1 = 4\)
(vii) में \(X = 6-0 = 6\)
इसलिए \(X\) के सम्भावित मूल्य \( = 0, 2, 4, 6\)In simple words: When a coin is tossed 6 times, the difference between the number of heads and tails can be 0, 2, 4, or 6, as the difference must always be an even number. The maximum difference is 6 (all heads or all tails), and the minimum is 0 (3 heads, 3 tails).

🎯 Exam Tip: For problems involving differences in counts, ensure you consider all possible combinations of outcomes (e.g., number of heads and tails) and calculate the absolute difference correctly.

 

Question 4: निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए
(i) एक सिक्के की दो उछालों में चित्तों की संख्या का
(ii) तीन सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का
(iii) एक सिक्के की चार उछालों में चित्तों की संख्या का
Answer: हल:
(i) सिक्के की दो उछालों की प्रतिदर्श समष्टि : \(S = \{HH, HT, TH, TT\}\)
\(P(H) = \frac{1}{2}\), \(P(T)= \frac{1}{2}\)
यदि \(X\), प्राप्त चित्तों की संख्या को व्यक्त करता है तो \(X\) एक यादृच्छिक चर है तथा
\(X = 0, 1, 2\)
\(P(X = 0) = P(TT) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
\(P(X = 1) = P(HT \text{ या } TH) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)
\(P(X = 2) = P(HH) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
इसलिए प्रायिकता बंटन है

(ii) जब तीन सिक्के एक साथ एक बार उछालते हैं तो प्रतिदर्श समष्टि
\(S = \{HHH, THH, HTH, HHT, HTT, THT, TTH, TTT\}\)
... \(P(H) = \frac{1}{2}\) और \(P(T) = \frac{1}{2}\)
माना \(X\) : पटों की संख्या आना तब \(X = 0, 1, 2, 3\)
\(P(X = 0) = P (\text{कोई पट नहीं}) = P(HHH) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)
\(P(X = 1) = P (\text{एक पट, दो चित्त}) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH)\)
\( = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\)
\(P(X = 2) = P(\text{दो पट, एक चित्त}) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH)\)
\( = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\)
\(P(X = 3) = P(TTT) = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)
इसलिए प्रायिकता बंटन है

(iii) जब एक सिक्के को चार बार उछाला गया हो तो कुल उछाल \( = 2^4 = 16\)
\(P(H) = \frac{1}{2}\), \(P(T) = \frac{1}{2}\)
माना \(X\) : चित्तों की संख्या तब \(X\) 0, 1, 2, 3, 4
\(P(X = 0) = P(\text{कोई चित्त नहीं}) = P(TTTT) = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{16}\)
\(P(X = 1) = P(\text{एक चित्त, तीन पट})\)
\( = P(HTTT) + P(THTT) + P(TTHT) + P(TTTH)\)
\( = (\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2})\)
\( = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\)
\(P(X = 2) = P(2 \text{ चित्त, } 2 \text{ पट})\)
\( = P(HHTT, HTHT, HTTH, THTH, THHT, TTHH)\)
\( = (\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16})\)
\( = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\)
\(P(X = 3) = P(3 \text{ चित्त, } 1 \text{ पट}) = P(HHHT) + P(HHTH) + P(HTHH) + P(THHH)\)
\( = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\)
\(P(X = 4) = P(4 \text{ चित्त}) = P(HHHH) = \frac{1}{16}\)
अतः \(X\) का प्रायिकता बंटन है
In simple words: For coin tosses, we constructed probability distributions for the number of heads (or tails) by listing all possible outcomes and their associated probabilities based on simple multiplication, then tabulated the results.

🎯 Exam Tip: Systematically list all possible outcomes in the sample space. Use the multiplication rule for independent events (like coin tosses) to find probabilities of specific sequences, then sum for events involving multiple sequences.

 

Question 5: एक पाँसा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए जहाँ (i) '4 से बड़ी संख्या' को एक सफलता माना गया है। (ii) न्यूनतम एक 'पाँसे पर संख्या 6 प्रकट होना' को एक सफलता माना गया है।
Answer: हल: (i) पॉसे की एक उछाल की प्रतिदर्श समष्टि \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) सफलता की प्रायिकता \( = P(\text{सफलता})\)
\( = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) (क्योकि 5, 6 दो संख्या 4 से बड़ी हैं)
इसलिए \(P(\text{असफलता}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies P(F) = \frac{2}{3}\)
माना \(X\) : 'सफलता की संख्या'
तब दो उछालों में \(X = 0, 1, 2\)
\(P(X = 0) = P(FF) = P(F) P(F) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\)
\(P(X = 1) = P(SF \text{ या } FS) = P(S) P(F) + P(F) P(S) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}\)
\(P(X = 2) = P(SS) = P(S) P(S) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\)
अतः प्रायिकता बंटन है

(ii) माना \(A\) : 'न्यूनतम एक पाँसे पर संख्या 6 आना'
\( \implies A = \{(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)\}\)
इसलिए सफलता की प्रायिकता \(P(S) = \frac{11}{36}\) (क्योंकि कुल सम्भव संख्याये \( = 6 \times 6 = 36\))
असफलता की प्रायिकता \(P(F) = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}\)
माना \(X\) : 'सफलता की संख्या'
इसलिए \(X = 0, 1\)
\(P(X = 0) = P(F) = \frac{25}{36}\); \(P(X = 1) = P(S) = \frac{11}{36}\)
इसलिए प्रायिकता बंटन है
In simple words: We constructed probability distributions for the number of successes in two dice rolls. For part (i), success is rolling a number greater than 4, while for part (ii), success is rolling at least one 6. We calculated individual probabilities and then combined them for two rolls.

🎯 Exam Tip: Carefully define what constitutes a "success" for each part of the question. For two independent trials, probabilities are multiplied, and for mutually exclusive outcomes, they are added.

 

Question 6. 30 बल्बों के समूह में, जिसमें 6 खराब हैं, 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) यदृच्छया बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है। खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः कुल बल्ब = 30 खराब बल्ब = 6, सही बल्ब = \(30 – 6 = 24\) खराब बल्ब निकलने की प्रायिकता \( = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \) ... \(P(\text{खराब}) = \frac{1}{5}\); \(P(\text{सही}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\) माना \(X\): 'एक खराब बल्ब का निकालना' तब \(X = 0, 1, 2, 3, 4\) \(P(X = 0) = P(\text{चारों बार कोई भी खराब नहीं}) = \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{256}{625}\) \(P(X = 1) = P(\text{एक खराब, तीन सही})\)
\( = (\frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}) + (\frac{4}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}) + (\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5}) + (\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5})\)
\( = 4 \times (\frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}) = 4 \times \frac{64}{625} = \frac{256}{625}\)
\(P(X = 2) = P(\text{दो खराब, दो सही})\)
\( = (\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}) + (\frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5}) + (\frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5}) + (\frac{4}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5}) + (\frac{4}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5}) + (\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5})\)
\( = 6 \times (\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}) = 6 \times \frac{16}{625} = \frac{96}{625}\)
\(P(X = 3) = P (\text{तीन खराब, एक सही})\)
\( = (\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5}) + (\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5}) + (\frac{4}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5})\)
\( = 4 \times (\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5}) = 4 \times \frac{4}{625} = \frac{16}{625}\)
\(P(X = 4) = P(\text{चार खराब}) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{625}\)
अतः प्रायिकता बंटन है

In simple words: We constructed a probability distribution for the number of defective bulbs when drawing 4 bulbs without replacement from a batch of 30 (6 defective, 24 good). Probabilities for X=0, 1, 2, 3, 4 defective bulbs were calculated using combinations.

🎯 Exam Tip: Remember to use combinations or careful sequential probabilities for "without replacement" problems. For each number of defective bulbs, consider the number of ways to choose defective and good bulbs.

 

Question 7. एक सिक्का समसर्वय सन्तुलित नहीं है जिसमें चित्त प्रकट होने की सम्भावना पट प्रकट होने की सम्भावना की तीन गुनी है। यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है तो पटों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः क्योंकि चित्त और पट की प्रायिकता का अनुपात 3 : 1 है। ... \(P(\text{चित्त}) = P(H) = \frac{3}{4}\) \(P(\text{पट}) = P(T) = 1 - P(H) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\) माना \(X\) : पट आने की संख्या \(P(X= 0) = P (\text{कोई पट नहीं}) = P(HH) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}\) \(P(X = 1) = P (\text{एक पट}) = P(TH \text{ या } HT) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16}\) \(P(X = 2) = P (\text{दो पट}) = P(TT) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}\)
अतः प्रायिकता बंटन है

In simple words: For a biased coin where heads are three times more likely than tails, we found the probability distribution for the number of tails in two tosses by calculating the probabilities for zero, one, and two tails.

🎯 Exam Tip: First determine the individual probabilities of heads and tails from the given ratio. Then, for multiple tosses, multiply probabilities for independent events and sum for mutually exclusive outcomes.

 

Question 8. एक यादृच्छिक चर \(x\) का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है।

ज्ञात कीजिए
(i) k
(ii) P(X < 3)
(iii) P(X > 6)
(iv) P(0
Answer: हलः
(i) चूंकि \(\sum P(X) = 1\)
... \(0+k+ 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + 7k^2 + k = 1\)
\( \implies 10k^2 + 9k-1 = 0\)
\( \implies (10k – 1) (k + 1) = 0 \implies k = \frac{1}{10}, -1\)
क्योंकि \(P(X) \geq 0\). \(k = -1\) नहीं हो सकता
अतः \(k = \frac{1}{10}\)
(ii) \(P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\)
\( = 0 + k+ 2k = 3k = 3 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\)
(iii) \(P(X > 6) = P(X = 7) = 7k^2 + k = 7 \times (\frac{1}{10})^2 + \frac{1}{10} = \frac{7}{100} + \frac{10}{100} = \frac{17}{100}\)
(iv) \(P(0 < X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = k + 2k = 3k = \frac{3}{10}\)In simple words: We found the value of \(k\) by summing all probabilities to 1, then used this \(k\) to calculate probabilities for specific ranges of X by summing the relevant individual probabilities according to the given distribution.

🎯 Exam Tip: Always start by using the condition \(\sum P(X=x) = 1\) to find unknown constants. Remember that probabilities must be non-negative, which helps in choosing the correct value for \(k\).

 

Question 9. एक यादृच्छिक चर \(X\) का प्रायिकता फलन \(P(x)\) निम्न प्रकार है, जहाँ # कोई संख्या है।
\[ P(x) = \begin{cases} k & \text{यदि } x = 0 \\ 2k & \text{यदि } x = 1 \\ 3k & \text{यदि } x = 2 \\ 0 & \text{अन्यथा} \end{cases} \]
(a) k का मान ज्ञात कीजिए ।
(b) P(x<2), (x≤2), P(x≥2) ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल-
(a) चूंकि किसी यादृच्छिक चर के प्रायिकता बंटन का कुल योग 1 के बराबर होता है। अर्थात \(\sum P(X) = 1\) अत: \(P(0) + P(1) + P(2) + P (\text{अन्यथा}) = 1\) ... \(k + 2k + 3k + 0 = 1\) या \(6k = 1\) ... \(k = \frac{1}{6}\)
... अभीष्ट प्रायिकता बंटन निम्नलिखित है

X	0	1	2
P(X)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{2}{6}\)	\(\frac{3}{6}\)

(b)
(i) \(P(X< 2) = P(0) + P(1) = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
(ii) \(P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{6}{6} = 1\)
(iii) \(P(X \geq 2) = P(2) + P \text{ अन्यथा } = \frac{3}{6} + 0 = \frac{1}{2}\)In simple words: For a given probability distribution, we first found the constant \(k\) by ensuring the sum of all probabilities equals 1. Then, we calculated the probabilities for \(X<2\), \(X \leq 2\), and \(X \geq 2\) by summing the probabilities of the outcomes within each specified range.

🎯 Exam Tip: Always use \(\sum P(X=x) = 1\) to find unknown constants. Be careful with strict inequalities (\(<\)) versus non-strict inequalities (\(\leq, \geq\)) when summing probabilities for ranges.

 

Question 10: एक न्याय्य सिक्के की तीन उछालों पर प्राप्त चित्तों की संख्या का माध्यज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना तीन सिक्कों की उछाल में \(X\) चित्त आने की संख्या दर्शाता है। तब \(X = 0, 1, 2\) या \(3\) अब \(P(H)\) = एक सिक्के के उछाल पर चित्त आने

 

Question 11: दो पाँसों को युग्मत् उछाला गया। यदि x, छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है, तो x की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः स्पष्ट है कि X = 0, 1, 2
P(X = 0) = किसी भी पासे पर 6 न आने की प्रायिकता = \(\frac{25}{36}\)
केवल एक पाँसे पर 6 आने की घटना
\(\{(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)\}\)
\(\therefore\) P(X = 1) = एक 6 आने की प्रायिकता = \(\frac{10}{36}\)
P(X = 2) = P((6, 6)) = \(\frac{1}{36}\)
अतः X का प्रायिकता बंटन है।

X	0	1	2
P(X)	\(\frac{25}{36}\)	\(\frac{10}{36}\)	\(\frac{1}{36}\)

X की प्रत्याशा E(X) = \(\sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i} = 0 \cdot \frac{25}{36} + 1 \cdot \frac{10}{36} + 2 \cdot \frac{1}{36}\)
\( = \frac{10+2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\)
In simple words: हमने दो पाँसों को उछालकर 'छक्कों की संख्या' (X) के लिए प्रायिकता बंटन बनाया। फिर, इस बंटन का उपयोग करके प्रत्याशा (E(X)) की गणना की, जो कि 1/3 है।

🎯 Exam Tip: प्रत्याशा की गणना करते समय, प्रत्येक घटना के मान को उसकी प्रायिकता से गुणा करें और फिर सभी उत्पादों को जोड़ दें। सुनिश्चित करें कि आप सभी संभावित परिणामों को शामिल करते हैं।

 

Question 12: प्रथम छः धन पूर्णाकों में से दो संख्याएँ यदृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई। मान लें x दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः स्पष्ट है X का मान 2, 3, 4, 5, 6 हो सकता है ।
P(X = 2) = प्रायिकता जब दोनों संख्याओं में बड़ी संख्या 2 है।
\( \implies P(X = 2) = P((1, 2) \text{ या } (2, 1)) \)
\( = P(1, 2) + P(2, 1) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{30} \)
P(X = 3) = प्रायिकता जब दोनों संख्याओं में बड़ी संख्या 3 है।
\( = P((1 \text{ या } 2, 3) \text{ अथवा } (3, 1 \text{ या } 2)) = \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{30} \)
P(X = 4) = प्रायिकता जब दोनों संख्याओं में बड़ी संख्या 4 है।
\( = P((1 \text{ या } 2 \text{ या } 3, 4) \text{ अथवा } (4, 1 \text{ या } 2 \text{ या } 3)) \)
\( = \frac{3}{6} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{30} \)
P(X = 5) = प्रायिकता जब दोनों संख्याओं में बड़ी संख्या 5 है।
\( = P((1 \text{ या } 2 \text{ या } 3 \text{ या } 4, 5) \text{ अथवा } (5, 1 \text{ या } 2 \text{ या } 3 \text{ या } 4) \)
\( = \frac{4}{6} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{30} \)
इसी प्रकार P(X = 6) = \(\frac{5}{6} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \times \frac{5}{5} = \frac{10}{30}\)
अतः X का प्रायिकता बंटन है

X	2	3	4	5	6
P(X)	\(\frac{2}{30}\)	\(\frac{4}{30}\)	\(\frac{6}{30}\)	\(\frac{8}{30}\)	\(\frac{10}{30}\)

प्रत्याशा E(X) = \(\sum_{i=1}^{n} x_{i} P_{i} = 2 \cdot \frac{2}{30} + 3 \cdot \frac{4}{30} + 4 \cdot \frac{6}{30} + 5 \cdot \frac{8}{30} + 6 \cdot \frac{10}{30}\)
\( = \frac{4+12+24+40+60}{30} = \frac{140}{30} = \frac{14}{3}\)
In simple words: हमने पहले छह धन पूर्णांकों में से दो संख्याओं को बिना प्रतिस्थापन के चुना और X को दो चुनी गई संख्याओं में से बड़ी संख्या के रूप में परिभाषित किया। फिर हमने X के संभावित मानों और उनकी प्रायिकताओं की गणना की और अंत में प्रत्याशा E(X) को 14/3 के रूप में ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: 'बिना प्रतिस्थापन' के प्रश्नों में, हर चयन के बाद नमूना स्थान कम होता जाता है, जिसका अर्थ है कि प्रायिकताएँ बदलती रहती हैं। इसे गणना में सही ढंग से शामिल करें।

 

Question 13: मान लीजिए दो पाँसों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को x से व्यक्त किया गया है। X का प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः दो पाँसों की फेंक में कुल घटनायें = 6 x 6 = 36 जिन्हें \((x_{i}; y_{i})\) के रूप में लिख सकते हैं,
जहाँ \(x_{1} = 1, 2, 3, 4, 5, 6, y_{1} = 1, 2, 3, 4, 5, 6\)
यादृच्छिक चर X के मान अर्थात् पाँसों पर प्राप्त संख्याओं का योग 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 या 12 हो सकता है।
अब
\(P(X = 2) = P(\{(1, 1)\}) = \frac{1}{36}\)
\(P(X = 3) = P(\{(1, 2), (2, 1)\}) = \frac{2}{36}\)
\(P(X = 4) = P(\{(1, 3), (2, 2), (3, 1)\}) = \frac{3}{36}\)
\(P(X = 5) = P(\{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)\}) = \frac{4}{36}\)
\(P(X = 6) = P(\{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}) = \frac{5}{36}\)
\(P(X = 7) = P(\{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}) = \frac{6}{36}\)
\(P(X = 8) = P(\{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\}) = \frac{5}{36}\)
\(P(X = 9) = P(\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}) = \frac{4}{36}\)
\(P(X = 10) = P(\{(4, 6), (5, 5), (6, 4)\}) = \frac{3}{36}\)
\(P(X = 11) = P(\{(5, 6), (6, 5)\}) = \frac{2}{36}\)
\(P(X = 12) = P(\{(6, 6)\}) = \frac{1}{36}\)
X का प्रायिकता बंटन है

X या x\(_{i}\)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P(X) या p\(_{i}\)	\(\frac{1}{36}\)	\(\frac{2}{36}\)	\(\frac{3}{36}\)	\(\frac{4}{36}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{6}{36}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{4}{36}\)	\(\frac{3}{36}\)	\(\frac{2}{36}\)	\(\frac{1}{36}\)

इसलिए माध्य \(\mu = E(X) = \sum p_{i} x_{i}\)
\( = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36} \)
\( = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36} = \frac{252}{36} = 7 \)
प्रसरण \(\sigma^{2} = \sum (x_{i})^{2} p_{i} - \mu^{2}\)
\( = \left[ 4 \cdot \frac{1}{36} + 9 \cdot \frac{2}{36} + 16 \cdot \frac{3}{36} + 25 \cdot \frac{4}{36} + 36 \cdot \frac{5}{36} + 49 \cdot \frac{6}{36} + 64 \cdot \frac{5}{36} + 81 \cdot \frac{4}{36} + 100 \cdot \frac{3}{36} + 121 \cdot \frac{2}{36} + 144 \cdot \frac{1}{36} \right] - (7)^{2} \)
\( = \frac{1}{36} [4+18+48 + 100 + 180 + 294 + 320 + 324 + 300 + 242 + 144] - 49 \)
\( = \frac{1}{36} \times 1974 - 49 = 54.833 - 49 \)
\( = 5.833 \)
\(\therefore\) मानक विचलन = \(\sqrt{\text{प्रसरण } (\sigma^{2})} = \sqrt{5.833} = 2.415\)
In simple words: हमने दो पाँसों के योग (X) के लिए प्रायिकता बंटन बनाया, जिसका माध्य 7 आया। फिर, हमने X का प्रसरण 5.833 और मानक विचलन 2.415 के रूप में गणना की।

🎯 Exam Tip: प्रसरण और मानक विचलन की गणना करते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए सावधानीपूर्वक गणना करें कि सभी प्रायिकताएं और मान सही ढंग से उपयोग किए गए हैं। माध्य को सही ढंग से गणना करना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह प्रसरण गणना में उपयोग किया जाता है।

 

Question 14: एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी आयु 14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19 और 20 वर्ष हैं। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की सम्भावना समान है और चुने गए छात्र की आयु (X) को लिखा गया। यादृच्छिक चर x को प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए । x का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल: X का प्रायिकता बंटन इस प्रकार होगा (स्वयं ज्ञात कीजिए ।)

X	14	15	16	17	18	19	20	21
P(X)	\(\frac{2}{15}\)	\(\frac{1}{15}\)	\(\frac{2}{15}\)	\(\frac{3}{15}\)	\(\frac{1}{15}\)	\(\frac{2}{15}\)	\(\frac{3}{15}\)	\(\frac{1}{15}\)

माध्य \(\mu\)
\(E(X) = \sum p_{i} x_{i}\)
\( = 14 \cdot \frac{2}{15} + 15 \cdot \frac{1}{15} + 16 \cdot \frac{2}{15} + 17 \cdot \frac{3}{15} + 18 \cdot \frac{1}{15} + 19 \cdot \frac{2}{15} + 20 \cdot \frac{3}{15} + 21 \cdot \frac{1}{15} \)
\( = \frac{28+15+32 +51 +18 +38+60+21}{15} = \frac{263}{15} = 17.53 \)
पुनः \(E(X^{2}) = \sum p_{i} x_{i}^{2}\)
\( = 14^{2} \cdot \frac{2}{15} + 15^{2} \cdot \frac{1}{15} + 16^{2} \cdot \frac{2}{15} + 17^{2} \cdot \frac{3}{15} + 18^{2} \cdot \frac{1}{15} + 19^{2} \cdot \frac{2}{15} + 20^{2} \cdot \frac{3}{15} + 21^{2} \cdot \frac{1}{15} \)
\( = \frac{392+225 + 512 + 867 + 324 + 722 + 1200 + 441}{15} = \frac{4683}{15} \)
प्रसरण (X) या var (X) = \(E(X^{2}) - (E(X))^{2}\)
\( = \frac{4683}{15} - \left(\frac{263}{15}\right)^{2} \)
\( = \frac{70245 - 69169}{225} = \frac{1076}{225} = 4.78 \)
इसलिए मानक विचलन (S.D.) = \(\sqrt{\text{var } (X)} = \sqrt{4.78} = 2.19\)
In simple words: हमने कक्षा के छात्रों की आयु के लिए प्रायिकता बंटन निर्धारित किया। फिर, हमने माध्य, प्रसरण और मानक विचलन की गणना की, जो क्रमशः 17.53, 4.78 और 2.19 हैं।

🎯 Exam Tip: आयु-संबंधी प्रायिकता बंटन के लिए, सुनिश्चित करें कि आप प्रत्येक आयु की आवृत्ति को सही ढंग से गणना करें ताकि प्रायिकताएँ सही हों। माध्य, प्रसरण और मानक विचलन के सूत्रों का सही उपयोग करें।

 

Question 15: एक बैठक में 70% सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का अनुमोदन किया और 30% सदस्यों ने विरोध किया। एक सदस्य को यदृच्छया चुना गया और, यदि उसे सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तो x = 0 लिया गया, जब कि यदि उसने प्रस्ताव का अनुमोदन किया हो तो x = 1 लिया गया। Ex) और प्रसरण (X) ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल: X का प्रायिकता बंटन इस प्रकार होगा ।

X	0	1
P(X)	\(\frac{30}{100}\)	\(\frac{70}{100}\)

इसलिए माध्य \(E(X) = \sum x_{i} p_{i} = 0 \cdot \frac{30}{100} + 1 \cdot \frac{70}{100} = \frac{70}{100} = \frac{7}{10} = 0.7\)
और \(E(X^{2}) = \sum x_{i}^{2} p_{i} = 0^{2} \cdot \frac{30}{100} + 1^{2} \cdot \frac{70}{100} = \frac{70}{100} = \frac{7}{10} = 0.7\)
प्रसरण (X) या var (X) = \(E (X)^{2} - (E (X))^{2}\)
\( = \frac{7}{10} - \left(\frac{7}{10}\right)^{2} = \frac{7}{10} - \frac{49}{100} \)
\( = \frac{70-49}{100} = \frac{21}{100} = 0.21 \)
In simple words: एक प्रस्ताव पर सदस्यों के अनुमोदन और विरोध के आधार पर, हमने प्रायिकता बंटन बनाया। हमने माध्य (0.7) और प्रसरण (0.21) की गणना की, जो इस बात का माप है कि परिणाम कितने केंद्रित या फैले हुए हैं।

🎯 Exam Tip: बंटन के माध्य और प्रसरण को प्रभावी ढंग से गणना करने के लिए, ध्यान दें कि क्या चर द्विआधारी है (जैसे यहां X=0 या X=1)। ऐसे मामलों में, माध्य p है और प्रसरण pq है, जहां p सफलता की प्रायिकता है।

 

निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तरे चुनें ।।

 

Question 16. तीन चेहरे पर 1 लिखा हुआ मरने पर प्राप्त संख्या का मतलब, दो चेहरों पर 2 और एक चेहरे पर 5 है
(a) 1
(b) 2
(c) 5
(d)
Answer: हलः

X\(_{i}\)	1	2	5
P\(_{i}\)	\(\frac{3}{6}\)	\(\frac{2}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)
P\(_{i}\)X\(_{i}\)	\(\frac{3}{6}\)	\(\frac{4}{6}\)	\(\frac{5}{6}\)

\(\sum P_{i} X_{i} = \frac{12}{6} = 2\)
Mean 2
विकल्प (b) सही है
In simple words: एक विशेष पासे पर संख्याओं (1, 2, 5) की प्रायिकता के आधार पर, हमने माध्य की गणना की, जो 2 है, जिससे विकल्प (b) सही होता है।

🎯 Exam Tip: माध्य की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि प्रत्येक संख्या की प्रायिकता को सही ढंग से निर्धारित किया गया है और फिर प्रत्येक संख्या को उसकी प्रायिकता से गुणा करके सभी परिणामों को जोड़ा गया है।

 

Question 17. मान लीजिए कि दो कार्ड कार्ड के डेक से यादृच्छिक रूप से खींचे जाते हैं। X को प्राप्त एसेस की संख्या होने दें। E(X) का मूल्य क्या है?
(a) \(\frac{34}{221}\)
(b) \(\frac{2}{13}\)
(c) \(\frac{1}{13}\)
(d) \(\frac{2}{13}\)
Answer: हलः
n(S) = 52, n(A) = 4
\(P(X=0) = \frac{^{48}C_{2}}{^{52}C_{2}} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{188}{221}\)
\(P(X=1) = \frac{^{48}C_{1} \times ^{4}C_{1}}{^{52}C_{2}} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{32}{221}\)
\(P(X=2) = \frac{^{4}C_{2}}{^{52}C_{2}} = \frac{4 \times 3}{52 \times 51} = \frac{1}{221}\)

X\(_{i}\)	0	1	2
P\(_{i}\)	\(\frac{188}{221}\)	\(\frac{32}{221}\)	\(\frac{1}{221}\)
P\(_{i}\)X\(_{i}\)	0	\(\frac{32}{221}\)	\(\frac{2}{221}\)

\(\sum P_{i} X_{i} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13}\)
अभी व E(X) = विकल्प (d) सही है
In simple words: ताश के डेक से दो कार्ड यादृच्छिक रूप से खींचने पर इक्के की संख्या (X) के लिए, हमने X के संभावित मानों और उनकी प्रायिकताओं की गणना की। E(X) का मूल्य 2/13 है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

🎯 Exam Tip: कार्ड के प्रश्नों में 'बिना प्रतिस्थापन' का ध्यान रखना महत्वपूर्ण है। जब कार्ड खींचे जाते हैं, तो कुल उपलब्ध कार्डों की संख्या और विशिष्ट प्रकार के कार्डों की संख्या दोनों घट जाती हैं। संयोजन (nCr) सूत्र का उपयोग करते समय यह महत्वपूर्ण है।

 

Exercise 13.5

 

Question 1: एक पाँसे को 6 बार उछाला जाता है। यदि 'पाँसे पर सम संख्या प्राप्त होना' एक सफलता है तो निम्नलिखित की प्रायिकता क्या होंगी? (i) तथ्यतः 5 सफलताएँ (ii) न्यूनतम 5 सफलताएँ (iii) अधिकतम 5 सफलताएँ
Answer: हलः मानी प्रयोग में सफलता की प्रायिकता = p
इसलिए
\(p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (क्योंकि सम संख्या है 2, 4, 6)
\( \implies q = 1-p = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
पुनः माना प्रयोग में X सफलता की संख्या दर्शाती है।
तब
\(P(X = r) = ^{n}C_{r} q^{n-r} p^{r}\) यहाँ पर n = 6
(i) \(P(X = 5) = ^{6}C_{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = 6 \cdot \frac{1}{2^{6}} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}\)
(ii) P(न्यूनतम 5 सफलताएँ) = \(P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6)\)
\( = ^{6}C_{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{5} + ^{6}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \)
\( = 6 \cdot \frac{1}{2^{6}} + 1 \cdot \frac{1}{2^{6}} = \frac{6+1}{64} = \frac{7}{64}\)
(iii) P (अधिकतम 5 सफलताएँ) = \(P(X \leq 5) = 1 - P(X = 6)\)
\( = 1 - ^{6}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}\)
In simple words: एक पासे को 6 बार उछालने पर सम संख्या आने की सफलता के लिए, हमने 5 सफलताएँ (3/32), कम से कम 5 सफलताएँ (7/64), और अधिकतम 5 सफलताएँ (63/64) प्राप्त करने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीं।

🎯 Exam Tip: बरनौली परीक्षणों और द्विपद बंटन का उपयोग उन समस्याओं में किया जाता है जहाँ एक ही प्रयोग कई बार दोहराया जाता है और प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता स्थिर रहती है। 'न्यूनतम' और 'अधिकतम' जैसे शब्दों का ध्यानपूर्वक अर्थ निकालें।

 

Question 2: बड़ी मात्रा में वस्तुओं में 5% दोषपूर्ण वस्तुएं हैं। संभावना है कि 10 वस्तुओं के नमूने में एक से अधिक दोषपूर्ण आइटम शामिल नहीं होंगे?
Answer: हलः एक दोषपूर्ण वस्तु प्राप्त करने की संभावना = 5% = \(\frac{5}{100} = \frac{1}{20}\)
एक अच्छी वस्तु प्राप्त करने की संभावना = \(1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}\)
10 आइटम के नमूने में एक से अधिक दोषपूर्ण आइटम शामिल नहीं हैं।
\(\implies\) नमूना में सबसे अधिक है (मुझे दोषपूर्ण आइटम इसकी संभावना = P (0) + P (1)
\( = ^{10}C_{0} \left(\frac{19}{20}\right)^{10} \left(\frac{1}{20}\right)^{0} + ^{10}C_{1} \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left(\frac{1}{20}\right)^{1} \)
\( = \left(\frac{19}{20}\right)^{10} + 10 \times \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left(\frac{1}{20}\right) \)
\( = \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left(\frac{19}{20} + \frac{10}{20}\right) = \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left(\frac{29}{20}\right)\)
In simple words: हमने द्विपद बंटन का उपयोग करके 10 वस्तुओं के नमूने में एक से अधिक दोषपूर्ण वस्तु नहीं होने की प्रायिकता की गणना की। चूंकि दोषपूर्ण वस्तु की प्रायिकता 5% है, इसलिए गणना में P(0) और P(1) दोषपूर्ण वस्तुओं को शामिल किया गया।

🎯 Exam Tip: 'एक से अधिक नहीं' का अर्थ 'शून्य या एक' है। द्विपद बंटन के सूत्र का उपयोग करते समय, n (कुल परीक्षण) और r (सफलता की संख्या) को सही ढंग से पहचानें।

 

Question 3: वस्तुओं के एक ढेर में 5% त्रुटियुक्त वस्तुएँ हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि 10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होंगी?
Answer: हल- एक त्रुटियुक्त वस्तु प्राप्त होने की प्रायिकता \(p = 5\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}\)
एक अच्छी वस्तु प्राप्त होने की प्रायिकता \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}\)
10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होंगी।
\(P(X=0)\) के लिए \(r=0\), \(P(X=1)\) के लिए \(r=1\) रखने पर,
अभीष्ट प्रायिकता = \(P(0) + P(1)\)
\( = ^{10}C_{0} \left(\frac{19}{20}\right)^{10} \left(\frac{1}{20}\right)^{0} + ^{10}C_{1} \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left(\frac{1}{20}\right)^{1} \)
\( = \left(\frac{19}{20}\right)^{10} + 10 \times \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left(\frac{1}{20}\right) \)
\( = \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left(\frac{19}{20} + \frac{10}{20}\right) = \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left(\frac{29}{20}\right)\)
In simple words: हमने द्विपद बंटन का उपयोग करके 10 वस्तुओं के नमूने में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तु नहीं होने की प्रायिकता की गणना की। चूंकि त्रुटियुक्त वस्तु की प्रायिकता 5% है, इसलिए गणना में P(0) और P(1) त्रुटियुक्त वस्तुओं को शामिल किया गया।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न पिछले प्रश्न के समान है। 'एक से अधिक नहीं' का अर्थ 'शून्य या एक' है। द्विपद बंटन के सूत्र का उपयोग करते समय, n (कुल परीक्षण) और r (सफलता की संख्या) को सही ढंग से पहचानें।

 

Question 4: पासा की एक जोड़ी 4 बार फेंक दिया जाता है। यदि डबलेट प्राप्त करना सफल माना जाता है, तो दो सफलताओं की संभावनाएं पाएं।
Answer: हल- n(S) = 36, A = {11,22,33,44,55,66}
\(n(A) = 6\), \(p = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
\(q = 1-p = 1-\frac{1}{6} = \frac{5}{6}\), \(n=4\), \(r=2\)
\(P(X=r) = ^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}\)
\(P(X=2) = ^{4}C_{2} \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \left(\frac{5}{6}\right)^{4-2}\)
\( = 6 \times \frac{1}{36} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{25}{216}\)
In simple words: हमने एक पासे की जोड़ी को 4 बार फेंकने पर डबलेट को सफलता मानते हुए, 2 सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता की गणना की। यह एक द्विपद बंटन समस्या है जिसमें सफलता की प्रायिकता 1/6 है।

🎯 Exam Tip: द्विपद बंटन के लिए, 'n' (परीक्षणों की संख्या), 'r' (सफलता की संख्या), 'p' (सफलता की प्रायिकता) और 'q' (विफलता की प्रायिकता) को सही ढंग से पहचानें। डबलेट (समान संख्या) प्राप्त करने की प्रायिकता \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\) है।

 

Question 5: किसी फैक्ट्री में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से (i) एक भी नहीं (ii) एक से अधिक नहीं (iii) एक से अधिक (iv) कम-से-कम एक, 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएँगे।
Answer: हल- 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता \(p = 0.05\)
150 दिनों में उपयोग के बाद फ्यूज न होने की प्रायिकता \(q = 1 - 0.05 = 0.95\)
(i) P पाँचों में से कोई भी बल्ब 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज नहीं होगा = \((0.95)^{5}\)
(ii) P (एक से अधिक बल्ब फ्यूज नहीं होंगे) = (एक भी बल्ब फ्यूज न हो + एक बल्ब फ्यूज हो) की प्रायिकता
\( = P(0) + P (1) = ^{5}C_{0} (0.95)^{5} (0.05)^{0} + ^{5}C_{1} (0.95)^{4} (0.05)^{1} \)
\( = (0.95)^{4}[ 0.95 + 5 \times 0.05] \)
\( = (0.95)^{4} [ 0.95 + 0.25] \)
\( = (0.95)^{4} \times 1.2 \)
(iii) P (एक से अधिक बल्ब फ्यूज होंगे) = (2 बल्ब + 3 बल्ब +4 बल्ब + 5 बल्ब) फ्यूज होने की अलग-अलग प्रायिकता
\( = P (2) + P (3) + P (4) + P (5) \)
\( = [P (0) + P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5)] - [P (0) + P (1)] \)
\( = 1 - [P (0) + P (1)] \)
\( = 1- (0.95)^{4} \times 1.2 \)
(iv) P (कम-से-कम एक बल्ब फ्यूज होता है)
\( = P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) \)
\( = [P (0) + P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5)] - P (0) \)
\( = 1-P(0) \)
\( = 1- (0.95)^{5}\)
In simple words: हमने द्विपद बंटन का उपयोग करके 5 बल्बों के लिए फ्यूज होने की प्रायिकताओं की गणना की: कोई भी फ्यूज नहीं (0.95)^5, एक से अधिक फ्यूज नहीं ((0.95)^4 * 1.2), एक से अधिक फ्यूज (1 - (0.95)^4 * 1.2), और कम से कम एक फ्यूज (1 - (0.95)^5)।

🎯 Exam Tip: 'कम से कम एक' की प्रायिकता की गणना अक्सर '1 - कोई भी नहीं' सूत्र का उपयोग करके की जाती है। 'एक से अधिक नहीं' का अर्थ 'शून्य या एक' है। इन वाक्यांशों की सही व्याख्या करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 6: एक थैले में 10 गेंदें हैं जिनमें से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है। यदि थैले से 4 गेंदें उत्तरोत्तर पुनः वापस रखते हुए निकाली जाती है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा हो ?
Answer: हलः
\(\therefore\) एक गेंद जिसमें '0' का निशान है, उसके आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{10}\)
इसलिए \(p = \frac{1}{10} \implies q=1-p=1-\frac{1}{10} = \frac{9}{10}\)
P(किसी भी गेंद पर '0' न लिखा हो)
यहाँ पर \(n = 4\)
\(P(X=0) = ^{4}C_{0} q^{4} p^{0} = 1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{4} \cdot 1 = \left(\frac{9}{10}\right)^{4}\)
In simple words: एक थैले में 0 से 9 तक के अंकों वाली 10 गेंदों में से 4 गेंदों को वापस रखते हुए निकाला गया। हमने द्विपद बंटन का उपयोग करके यह प्रायिकता ज्ञात की कि किसी भी गेंद पर अंक 0 नहीं है, जो कि \((9/10)^4\) है।

🎯 Exam Tip: 'पुनः वापस रखते हुए' का अर्थ है कि प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र है, और प्रायिकता स्थिर रहती है। 'किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा हो' का अर्थ है कि 0 सफलताएँ हैं।

 

Question 7: एक सत्य-असत्य प्रकार के 20 प्रश्नों वाली परीक्षा में माना कि एक विद्यार्थी एक न्याय्य (unbiased) सिक्के को उछाल कर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पाँसे पर चित्त प्रकट हो, तो प्रश्न का उत्तर 'सत्य' देता है और यदि पट प्रकट हो, तो असत्य' लिखता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम से कम 12 प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
Answer: हलः प्रश्न का सही उत्तर देने की प्रायिकता \((p)\) = पाँसे पर चित्त आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) गलत उत्तर देने की प्रायिकता \(q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) तथा यहाँ पर \(n = 20\)
माना प्रयोग में X सफलता की संख्या को दर्शाता है
तब
\(P(X = r) = ^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}\)
\(\therefore\) 20 परीक्षणों में कम से कम 12 प्रश्नों के सही उत्तर होने के लिए
\(X = 12, 13, 14, 15, ..., 20\)
\(\therefore\) अभीष्ट प्रायिकता = \(P (X \geq 12 \text{ सही})\)
\( = ^{20}C_{12} \left(\frac{1}{2}\right)^{12} \left(\frac{1}{2}\right)^{20-12} + ^{20}C_{13} \left(\frac{1}{2}\right)^{13} \left(\frac{1}{2}\right)^{20-13} + ... + ^{20}C_{20} \left(\frac{1}{2}\right)^{20} \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \)
\( = \left(\frac{1}{2}\right)^{20} [^{20}C_{12} + ^{20}C_{13} + ... + ^{20}C_{20}]\)
In simple words: 20 सत्य-असत्य प्रश्नों वाली परीक्षा में, प्रत्येक प्रश्न का सही उत्तर देने की प्रायिकता 1/2 है। हमने द्विपद बंटन का उपयोग करके 'कम से कम 12 प्रश्नों' का सही उत्तर देने की प्रायिकता की गणना की, जिसमें \(X \geq 12\) तक के योग शामिल हैं।

🎯 Exam Tip: 'कम से कम' का अर्थ है कि संख्या या उससे अधिक। \(\left(\frac{1}{2}\right)^{20}\) को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालना अक्सर गणनाओं को सरल बनाता है।

 

Question 8: माना कि X का बंटन B (6, \(\frac{1}{2}\)) है। दर्शाएँ कि X = 3 अधिकतम प्रायिकता चाला परिणाम है।
Answer: हलः
यहाँ पर X का द्विपद बंटन है जहाँ
\(n = 6, p = \frac{1}{2}, q = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
\(P(X = 0) = ^{6}C_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}\)
\(P(X = 1) = ^{6}C_{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{1} \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64}\)
\(P(X = 2) = ^{6}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}\)
\(P(X = 3) = ^{6}C_{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64}\)
\(P(X = 4) = ^{6}C_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}\)
\(P(X = 5) = ^{6}C_{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64}\)
\(P(X = 6) = ^{6}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}\)
क्योंकि \(P(X = 3) = \frac{20}{64}\) अधिकतम प्रायिकता है \([X_{i} = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]\)
अतः X = 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
In simple words: एक द्विपद बंटन B(6, 1/2) के लिए, हमने X के सभी संभावित मानों (0 से 6) के लिए प्रायिकताओं की गणना की और पाया कि X=3 की प्रायिकता सबसे अधिक (20/64) है।

🎯 Exam Tip: जब द्विपद बंटन में \(p = \frac{1}{2}\) होता है, तो प्रायिकता बंटन सममित होता है, और माध्य पर अधिकतम प्रायिकता होती है (या माध्य के करीब यदि n विषम है)।

 

Question 9: एक बहु-विकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न हैं जिनमें प्रत्येक के तीन सम्भावित उत्तर हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगा कर चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा ?
Answer: हल: माना X : सही उत्तरों की संख्या
तब X का बंटन \(n = 5\), \(p = \frac{1}{3}\)
\(q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) द्विपद बंटन है।
अतः
अभीष्ट प्रायिकता = \(P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)\)
\( = ^{5}C_{4} \left(\frac{1}{3}\right)^{4} \left(\frac{2}{3}\right)^{1} + ^{5}C_{5} \left(\frac{1}{3}\right)^{5} \left(\frac{2}{3}\right)^{0} \)
\( = 5 \times \frac{1}{3^{4}} \times \frac{2}{3} + 1 \times \frac{1}{3^{5}} \times 1 \)
\( = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}\)
In simple words: 5 प्रश्नों वाली बहु-विकल्पीय परीक्षा में, जहां प्रत्येक प्रश्न के 3 संभावित उत्तर हैं, हमने अनुमान लगाकर 4 या अधिक सही उत्तर देने की प्रायिकता की गणना की। यह प्रायिकता 11/243 है।

🎯 Exam Tip: 'चार या अधिक' का अर्थ है P(X=4) + P(X=5)। बहु-विकल्पीय प्रश्नों में अनुमान लगाने पर सही उत्तर की प्रायिकता 1/N होती है, जहां N विकल्पों की संख्या है।

 

Question 10: एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की। प्रायिकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह (a) न्यूनतम एक बार (b) तथ्यतः एक बार (c) न्यूनतम दो बार, इनाम जीतेगा ?
Answer: हलः
माना X : जीतने की संख्या
तब X वाला द्विपद बंटन है जहाँ \(n = 50, p = \frac{1}{100}\)
\(q = 1-\frac{1}{100} = \frac{99}{100}\)
(a) P(न्यूनतम एक बार) = \(P(X \geq 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)\)
\( = 1-^{50}C_{0} \left(\frac{1}{100}\right)^{0} \left(\frac{99}{100}\right)^{50} \)
\( = 1-1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^{50} = 1-\left(\frac{99}{100}\right)^{50}\)
(b) P (तथ्यतः एक बार) = \(P(X = 1) = ^{50}C_{1} \left(\frac{1}{100}\right)^{1} \left(\frac{99}{100}\right)^{49}\)
\( = 50 \cdot \frac{1}{100} \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^{49} = \frac{1}{2} \left(\frac{99}{100}\right)^{49}\)
(c) P (न्यूनतम दो बार) = \(P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2)\)
\( = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] \)
\( = 1 - \left[ ^{50}C_{0} \left(\frac{1}{100}\right)^{0} \left(\frac{99}{100}\right)^{50} + ^{50}C_{1} \left(\frac{1}{100}\right)^{1} \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \right] \)
\( = 1 - \left[ \left(\frac{99}{100}\right)^{50} + 50 \cdot \frac{1}{100} \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \right] \)
\( = 1 - \left[ \left(\frac{99}{100}\right)^{50} + \frac{1}{2} \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \right] \)
\( = 1 - \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left[ \frac{99}{100} + \frac{1}{2} \right] \)
\( = 1 - \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left[ \frac{99+50}{100} \right] \)
\( = 1 - \frac{149}{100} \left(\frac{99}{100}\right)^{49}\)
In simple words: एक लॉटरी में 50 टिकट खरीदने वाले व्यक्ति के लिए, हमने द्विपद बंटन का उपयोग करके निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीं: न्यूनतम एक बार जीतना (\(1-(99/100)^{50}\)), तथ्यतः एक बार जीतना (\(1/2 (99/100)^{49}\)), और न्यूनतम दो बार जीतना (\(1 - \frac{149}{100} (99/100)^{49}\)).

🎯 Exam Tip: द्विपद बंटन के सवालों में n (परीक्षणों की संख्या), p (सफलता की प्रायिकता) और q (विफलता की प्रायिकता) को सही ढंग से पहचानें। 'न्यूनतम एक बार' और 'न्यूनतम दो बार' की गणना '1 - कोई भी नहीं' और '1 - (0 या 1)' के सिद्धांतों का उपयोग करके की जाती है।

 

Question 11: एक पाँसे को 7 बार उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: मानी सफलता की
प्रायिकता = \(p = \frac{1}{6}\) (क्योंकि पाँसे में 1, 2, 3, 4, 5, 6 आ सकता है)
\(\therefore\) असफलता की प्रायिकता \(q = 1-p = 1-\frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)
माना X = सफलता मिलने की संख्या
यहाँ पर \(n = 7, p = \frac{1}{6}, q = \frac{5}{6}\)
\(P(X=2) = ^{7}C_{2} \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \left(\frac{5}{6}\right)^{7-2}\)
\( = \frac{7 \times 6}{1 \times 2} \times \frac{1}{6^{2}} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{5} \)
\( = 21 \times \frac{1}{36} \times \frac{5^{5}}{6^{5}} = \frac{7}{12} \left(\frac{5}{6}\right)^{5}\)
In simple words: एक पासे को 7 बार उछालने पर, हमने द्विपद बंटन का उपयोग करके तथ्यतः दो बार '5' आने की प्रायिकता की गणना की, जो कि \(\frac{7}{12} \left(\frac{5}{6}\right)^{5}\) है।

🎯 Exam Tip: द्विपद बंटन के लिए, n (परीक्षणों की संख्या), r (सफलता की संख्या), p (सफलता की प्रायिकता) और q (विफलता की प्रायिकता) को सही ढंग से पहचानें। पासे के सवालों में, एक विशिष्ट संख्या आने की प्रायिकता 1/6 होती है।

 

Question 12: एक सँसे को 6 बार उछालने पर अधिकतम 2 बार छः आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः प्रश्नानुसार, \(n = 6\), पाँसे की उछाल पर 6 आने की प्रायिकता अर्थात् सफलता की प्रायिकता
\(p = \frac{1}{6}\), तब \(q = 1-\frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)
माना X : सफलता मिलने की संख्या
P (अधिकतम 2 बार 6 आना)
\(P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\)
\( = ^{6}C_{0} \left(\frac{1}{6}\right)^{0} \left(\frac{5}{6}\right)^{6} + ^{6}C_{1} \left(\frac{1}{6}\right)^{1} \left(\frac{5}{6}\right)^{5} + ^{6}C_{2} \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \)
\( = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5} + \frac{6 \times 5}{1 \times 2} \cdot \frac{1}{6^{2}} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \)
\( = \left(\frac{5}{6}\right)^{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^{5} + 15 \cdot \frac{1}{36} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \)
\( = \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left[ \left(\frac{5}{6}\right)^{2} + \left(\frac{5}{6}\right)^{1} + \frac{15}{36} \right] \)
\( = \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left[ \frac{25}{36} + \frac{30}{36} + \frac{15}{36} \right] = \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left[ \frac{25+30+15}{36} \right] = \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left[ \frac{70}{36} \right] \)
\( = \frac{35}{18} \left(\frac{5}{6}\right)^{4}\)
In simple words: एक पासे को 6 बार उछालने पर, हमने द्विपद बंटन का उपयोग करके अधिकतम 2 बार 'छः' आने की प्रायिकता की गणना की, जिसमें P(0), P(1) और P(2) सफलताएँ शामिल हैं, जिसकी अंतिम प्रायिकता \(\frac{35}{18} \left(\frac{5}{6}\right)^{4}\) है।

🎯 Exam Tip: 'अधिकतम 2 बार' का अर्थ है P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)। द्विपद बंटन में सफलता और विफलता की प्रायिकता स्थिर रहती है। गणनाओं को सरल बनाने के लिए सामान्य कारकों को बाहर निकालना उपयोगी हो सकता है।

 

Question 13: यह ज्ञात है कि किसी विशेष प्रकार की निर्मित वस्तुओं की संख्या में 10% खराब है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस प्रकार की 12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब है।
Answer: हलः यहाँ \(n = 12, r = 9\)
वस्तु के खराब निकलने की प्रायिकता = \(10\% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}\)
\(\therefore\) खराब न निकलने की प्रायिकता \(q = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\)
\(\therefore\) 12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब होने की प्रायिकता
\( = ^{12}C_{9} q^{12-9} p^{9} \)
\( = ^{12}C_{9} \left(\frac{9}{10}\right)^{3} \left(\frac{1}{10}\right)^{9} \)
\( = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \left(\frac{9}{10}\right)^{3} \left(\frac{1}{10}\right)^{9} \)
\( = 220 \cdot \frac{9^{3}}{10^{3}} \cdot \frac{1}{10^{9}} = \frac{220 \cdot 9^{3}}{10^{12}}\)
In simple words: 12 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में से 9 खराब होने की प्रायिकता, जबकि 10% वस्तुएँ खराब होती हैं, द्विपद बंटन का उपयोग करके गणना की जाती है। यह प्रायिकता \(\frac{220 \cdot 9^{3}}{10^{12}}\) है।

🎯 Exam Tip: द्विपद बंटन में 'n' (कुल वस्तुओं की संख्या), 'r' (खराब वस्तुओं की संख्या), 'p' (खराब होने की प्रायिकता) और 'q' (खराब न होने की प्रायिकता) को सही ढंग से पहचानें। संयोजन \((^{n}C_{r})\) की गणना में सावधानी बरतें।

 

Question 14. 100 बल्ब युक्त बॉक्स में, 10 दोषपूर्ण हैं। 5 बल्बों के नमूने से बाहर होने की संभावना, कोई भी दोषपूर्ण नहीं है
(a) \(^{90}C_{5} / ^{100}C_{5}\)
(b) \((9/10)^{5}\)
(c) \(^{90}C_{5} / ^{100}C_{5}\)
(d)
Answer: हलः
\(p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}\)
\(q = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\)
\(n = 5, r = 0\)
\(P(X=0) = ^{5}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{5}\)
यह द्विपद बंटन विधि से है। हालांकि, हाइपरज्यामितीय बंटन अधिक उपयुक्त है क्योंकि चयन 'बिना प्रतिस्थापन' के है।
कुल बल्ब = 100, दोषपूर्ण बल्ब = 10, गैर-दोषपूर्ण बल्ब = 90
5 बल्बों के नमूने में कोई भी दोषपूर्ण नहीं होने की संभावना = सभी 5 बल्ब गैर-दोषपूर्ण हैं।
\( = \frac{^{90}C_{5}}{^{100}C_{5}}\)
Option (c) is correct
In simple words: 100 बल्बों के एक बॉक्स में से, जहाँ 10 दोषपूर्ण हैं, 5 बल्बों का एक नमूना चुना गया। हमने गणना की कि कोई भी बल्ब दोषपूर्ण नहीं होने की प्रायिकता \(\frac{^{90}C_{5}}{^{100}C_{5}}\) है, जो विकल्प (c) है।

🎯 Exam Tip: जब एक सीमित आबादी से 'बिना प्रतिस्थापन' के नमूने चुने जाते हैं, तो हाइपरज्यामितीय बंटन सबसे सटीक होता है, न कि द्विपद बंटन। इस तरह के प्रश्नों में 'संयोजन' सूत्र \((^{n}C_{r})\) का उपयोग करें।

 

Question 15. संभावना है कि एक छात्र तैराक नहीं है है। फिर संभावना है कि पांच छात्रों में से चार, तैराक हैं:
(a) \(^{5}C_{4} \left(\frac{1}{5}\right)^{4} \left(\frac{4}{5}\right)^{1}\)
(b) \(\left(\frac{4}{5}\right)^{4}\)
(c) \(^{5}C_{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{1} \left(\frac{4}{5}\right)^{4}\)
(d) None of these
Answer: हलः
मान लीजिए एक छात्र के तैराक होने की प्रायिकता \(p\)।
प्रश्न में दिया गया है कि एक छात्र तैराक नहीं है (तो यह 1/5 होगा)
इसलिए, तैराक न होने की प्रायिकता \(p = \frac{1}{5}\)
तो तैराक होने की प्रायिकता \(q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\)
यहाँ पर \(n = 5\) छात्र हैं, और हमें उनमें से चार के तैराक होने की संभावना चाहिए, इसलिए \(r = 4\)।
\(P(X=r) = ^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}\)
\(P(X=4) = ^{5}C_{4} \left(\frac{1}{5}\right)^{4} \left(\frac{4}{5}\right)^{5-4}\)
\( = ^{5}C_{4} \left(\frac{1}{5}\right)^{4} \left(\frac{4}{5}\right)^{1}\)
Option (a) is true
In simple words: एक छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता 1/5 होने पर, 5 छात्रों में से 4 के तैराक होने की संभावना को द्विपद बंटन सूत्र \(^{5}C_{4} \left(\frac{1}{5}\right)^{4} \left(\frac{4}{5}\right)^{1}\) द्वारा दर्शाया गया है, जो विकल्प (a) है।

🎯 Exam Tip: 'तैराक नहीं है' की प्रायिकता p दी गई है, लेकिन प्रश्न 'तैराक हैं' की प्रायिकता पूछता है। इसलिए, 'सफलता' (तैराक होना) की प्रायिकता \(1-p\) के रूप में निर्धारित की जानी चाहिए। सुनिश्चित करें कि आप 'p' और 'q' को सही ढंग से असाइन करें।