UP Board Solutions Class 12 Maths Chapter 11 Three Dimensional Geometry

प्रश्नावली 11.1

Question 1. यदि एक रेखा x,y और z-अक्ष के साथ क्रमशः 90°, 135°, 45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। हल- माना रेखा की दिक् कोसाइन क्रमशः l, m, n हैं, तब l = cos 90°, m = cos 135°, n = cos 45° l = 0,,
Answer:माना कि रेखा x, y तथा z-अक्ष के साथ क्रमशः \( \alpha = 90^\circ \), \( \beta = 135^\circ \) और \( \gamma = 45^\circ \) के कोण बनाती है। तब रेखा के दिक्-कोसाइन (direction cosines) होंगे: \( l = \cos \alpha = \cos 90^\circ = 0 \) \( m = \cos \beta = \cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = - \cos 45^\circ = - \frac{1}{\sqrt{2}} \) \( n = \cos \gamma = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \) अतः, रेखा के दिक्-कोसाइन \( 0, - \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \) हैं।
In simple words: Direction cosines of a line are found by taking the cosine of the angles it makes with the x, y, and z axes. Here, we calculate cos(90°), cos(135°), and cos(45°) to get the values.

🎯 Exam Tip: Remember the cosine values for common angles like 90°, 135°, and 45°. A common mistake is not correctly evaluating cos(135°), which is negative.

Question 2. एक रेखा की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशाक्षों के साथ समान कोण बनाती है। हल- माना रेखा निर्देशाक्षों के साथ समान कोण \( \alpha \) बनाती है, क्ब रेखा की दिक् कोसाइन l = cos\( \alpha \), m = cos \( \alpha \), n = cos \( \alpha \) परन्तु l² + m² + n² = 1 cos²\( \alpha \) + cos²\( \alpha \) + cos²\( \alpha \) = 1
Answer:माना रेखा निर्देशाक्षों के साथ समान कोण \( \alpha \) बनाती है। तब रेखा की दिक्-कोसाइन (direction cosines) होंगे: \( l = \cos \alpha \) \( m = \cos \alpha \) \( n = \cos \alpha \) हम जानते हैं कि दिक्-कोसाइन के वर्गों का योग 1 होता है, अर्थात्: \( l^2 + m^2 + n^2 = 1 \) \( \implies \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) \( \implies 3 \cos^2 \alpha = 1 \) \( \implies \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} \) \( \implies \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) अतः, रेखा की दिक्-कोसाइन हैं: \( \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)
In simple words: When a line makes equal angles with all three axes, its direction cosines are also equal. Using the property that the sum of squares of direction cosines is 1, we can find the value of each direction cosine.

🎯 Exam Tip: The fundamental identity \( l^2 + m^2 + n^2 = 1 \) is crucial for solving problems involving direction cosines. Always consider both positive and negative roots when taking square roots.

Question 3. यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात – 18, 12, – 4 हैं तो इसकी दिक्-कोज्याएँ क्या हैं? हल- दिया है, a = – 18, b = 12, c = -4 \[ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(-18)^2 + (12)^2 + (-4)^2} = \sqrt{324 + 144 + 16} \] \[ = \sqrt{484} = 22 \] माना यदि a, b, c दिक्-अनुपात हो तो दिक्-कोज्याएँ इस प्रकार हैं \[ \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{-18}{22} = -\frac{9}{11} \] \[ \cos \beta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{12}{22} = \frac{6}{11} \] \[ \cos \gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} \] अतः रेखा की दिक्-कोज्याएँ = \( -\frac{9}{11}, \frac{6}{11} \) और \( -\frac{2}{11} \) हैं।
Answer:दिए गए दिक्-अनुपात (direction ratios) हैं: a = -18, b = 12, c = -4 सबसे पहले, हम \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) का मान ज्ञात करेंगे: \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(-18)^2 + (12)^2 + (-4)^2} \) \( = \sqrt{324 + 144 + 16} \) \( = \sqrt{484} \) \( = 22 \) अब, दिक्-कोसाइन (direction cosines) निम्न प्रकार ज्ञात किए जा सकते हैं: \( l = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{-18}{22} = -\frac{9}{11} \) \( m = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{12}{22} = \frac{6}{11} \) \( n = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} \) अतः, रेखा की दिक्-कोसाइन हैं: \( -\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11} \).
In simple words: To find direction cosines from direction ratios, calculate the magnitude of the direction ratio vector. Then, divide each direction ratio by this magnitude to get the respective direction cosine.

🎯 Exam Tip: The formula for direction cosines \( (l, m, n) \) from direction ratios \( (a, b, c) \) is \( (\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}) \). Ensure correct calculation of the square root and simplification of fractions.

Question 4. दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7) संरेख हैं। हल- बिन्दुओं P (2, 3, 4) और Q(-1, -2, 1) को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात ( – 1 – 2), ( – 2 – 3), (1 – 4) अर्थात् – 3, – 5, – 3 हैं। बिन्दुओं Q(-1,-2, 1) और R(5, 8, 7) को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 5-(-1), 8-(-2), 7-1 अर्थात् 6, 10, 6 हैं।
Therefore PQ और QR के दिक् अनुपात समानुपाती हैं।
Therefore PQ और QR समान्तर हैं। पुनः चूँकि PQ और QR में बिन्दु Q उभयनिष्ठ है। अतः P, Q और R संरेख बिन्दु हैं।
Answer:दिए गए बिन्दु हैं: P(2, 3, 4), Q(-1, -2, 1), और R(5, 8, 7). रेखा PQ के दिक्-अनुपात (direction ratios) ज्ञात करते हैं: \( a_1 = x_2 - x_1 = -1 - 2 = -3 \) \( b_1 = y_2 - y_1 = -2 - 3 = -5 \) \( c_1 = z_2 - z_1 = 1 - 4 = -3 \) तो, PQ के दिक्-अनुपात हैं (-3, -5, -3)। रेखा QR के दिक्-अनुपात ज्ञात करते हैं: \( a_2 = x_2 - x_1 = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6 \) \( b_2 = y_2 - y_1 = 8 - (-2) = 8 + 2 = 10 \) \( c_2 = z_2 - z_1 = 7 - 1 = 6 \) तो, QR के दिक्-अनुपात हैं (6, 10, 6)। अब, दिक्-अनुपातों का अनुपात चेक करते हैं: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \) \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2} \) \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \) चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = -\frac{1}{2} \), रेखा PQ और QR के दिक्-अनुपात समानुपाती हैं।
Therefore, रेखा PQ और QR समान्तर (parallel) हैं। चूंकि बिन्दु Q दोनों रेखाओं PQ और QR में उभयनिष्ठ (common) है, और दोनों रेखाएँ समान्तर हैं, अतः बिन्दु P, Q और R संरेख (collinear) हैं।
In simple words: To show points are collinear, we find the direction ratios of line segments formed by these points. If the direction ratios are proportional and the segments share a common point, then the points lie on the same line.

🎯 Exam Tip: For collinearity, always check two conditions: proportionality of direction ratios (indicating parallelism) and the presence of a common point. Both are essential for proving that points lie on the same straight line.

Question 5. एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। यदि इसके शीर्ष बिन्दु (3, 5, -4), (-1,1, 2) और (-5, 5, – 2) हैं। हल- माना त्रिभुज की भुजाओं के शीर्ष बिन्दु क्रमशः A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2) और C(-5, -5, -2) हैं। तब दो बिन्दुओं के बीच की दूरी = \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \) से \[ AB = \sqrt{(-1-3)^2 + (1-5)^2 + (2+4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 16 + 36} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \] \[ BC = \sqrt{(-5 - (-1))^2 + (-5-1)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 36 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \] तथा \[ CA = \sqrt{(-5-3)^2 + (-5-5)^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-10)^2 + (2)^2} = \sqrt{64 + 100 + 4} = \sqrt{168} = 2\sqrt{42} \]
Therefore AB के दिक् कोसाइन \( l_{AB} = \frac{-1-3}{2\sqrt{17}} = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = -\frac{2}{\sqrt{17}} \) \( m_{AB} = \frac{1-5}{2\sqrt{17}} = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = -\frac{2}{\sqrt{17}} \) \( n_{AB} = \frac{2 - (-4)}{2\sqrt{17}} = \frac{6}{2\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}} \) या \( -\frac{2}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}} \)
BC के दिक् कोसाइन \( l_{BC} = \frac{-5 - (-1)}{2\sqrt{17}} = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = -\frac{2}{\sqrt{17}} \) \( m_{BC} = \frac{-5 - 1}{2\sqrt{17}} = \frac{-6}{2\sqrt{17}} = -\frac{3}{\sqrt{17}} \) \( n_{BC} = \frac{-2 - 2}{2\sqrt{17}} = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = -\frac{2}{\sqrt{17}} \) या \( -\frac{2}{\sqrt{17}}, -\frac{3}{\sqrt{17}}, -\frac{2}{\sqrt{17}} \)
तथा CA के दिक् कोसाइन \( l_{CA} = \frac{3 - (-5)}{2\sqrt{42}} = \frac{8}{2\sqrt{42}} = \frac{4}{\sqrt{42}} \) \( m_{CA} = \frac{5 - (-5)}{2\sqrt{42}} = \frac{10}{2\sqrt{42}} = \frac{5}{\sqrt{42}} \) \( n_{CA} = \frac{-4 - (-2)}{2\sqrt{42}} = \frac{-2}{2\sqrt{42}} = -\frac{1}{\sqrt{42}} \) या \( \frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, -\frac{1}{\sqrt{42}} \)
Answer:दिए गए त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु हैं: A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2) और C(-5, -5, -2). **भुजा AB के लिए:** दिक्-अनुपात (direction ratios) AB: \( a_1 = -1 - 3 = -4 \) \( b_1 = 1 - 5 = -4 \) \( c_1 = 2 - (-4) = 6 \) लंबाई \( AB = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 16 + 36} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \) दिक्-कोसाइन (direction cosines) AB: \( l_{AB} = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = -\frac{2}{\sqrt{17}} \) \( m_{AB} = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = -\frac{2}{\sqrt{17}} \) \( n_{AB} = \frac{6}{2\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}} \) **भुजा BC के लिए:** दिक्-अनुपात BC: \( a_2 = -5 - (-1) = -4 \) \( b_2 = -5 - 1 = -6 \) \( c_2 = -2 - 2 = -4 \) लंबाई \( BC = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 36 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \) दिक्-कोसाइन BC: \( l_{BC} = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = -\frac{2}{\sqrt{17}} \) \( m_{BC} = \frac{-6}{2\sqrt{17}} = -\frac{3}{\sqrt{17}} \) \( n_{BC} = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = -\frac{2}{\sqrt{17}} \) **भुजा CA के लिए:** दिक्-अनुपात CA: \( a_3 = 3 - (-5) = 8 \) \( b_3 = 5 - (-5) = 10 \) \( c_3 = -4 - (-2) = -2 \) लंबाई \( CA = \sqrt{(8)^2 + (10)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 100 + 4} = \sqrt{168} = 2\sqrt{42} \) दिक्-कोसाइन CA: \( l_{CA} = \frac{8}{2\sqrt{42}} = \frac{4}{\sqrt{42}} \) \( m_{CA} = \frac{10}{2\sqrt{42}} = \frac{5}{\sqrt{42}} \) \( n_{CA} = \frac{-2}{2\sqrt{42}} = -\frac{1}{\sqrt{42}} \)
In simple words: For each side of the triangle, first calculate its length using the distance formula between two points. Then, find the direction ratios of that side by subtracting the coordinates of its endpoints. Finally, divide each direction ratio by the side's length to get the direction cosines.

🎯 Exam Tip: Carefully apply the distance formula and the direction ratio formula. Remember that the order of subtraction matters for direction ratios, but \( (x_2-x_1)^2 \) is the same as \( (x_1-x_2)^2 \). Ensure simplification of radicals and fractions for final answers.

प्रश्नावली 11.2

Question 1. दर्शाइए कि दिक्-कोज्याएँ वाली तीन रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं। हल- दो रेखाएँ जिनकी दिक्-कोज्याएँ क्रमशः l1, m1, n1 और l2, m2, n2 परस्पर लम्बवत् होंगी यदि l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (i) दिक्-कोज्या \( \frac{12}{13}, -\frac{3}{13}, -\frac{4}{13} \) तथा \( \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} \) वाली रेखाएँ यहाँ \( l_1 = \frac{12}{13}, m_1 = -\frac{3}{13}, n_1 = -\frac{4}{13} \) तथा \( l_2 = \frac{4}{13}, m_2 = \frac{12}{13}, n_2 = \frac{3}{13} \) हैं। अब \( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{4}{13}\right) + \left(-\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(-\frac{4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) \) \[ = \frac{48}{169} - \frac{36}{169} - \frac{12}{169} = \frac{48 - 36 - 12}{169} = \frac{0}{169} = 0 \] \( \implies \) अतः दोनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं। (ii) दिक्-कोज्या \( \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} \) तथा \( \frac{3}{13}, -\frac{4}{13}, \frac{12}{13} \) वाली रेखाएँ अब \( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = \left(\frac{4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(-\frac{4}{13}\right) + \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) \) \[ = \frac{12}{169} - \frac{48}{169} + \frac{36}{169} = \frac{12 - 48 + 36}{169} = \frac{0}{169} = 0 \] \( \implies \) ये रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं। (iii) दिक्-कोज्या \( \frac{3}{13}, -\frac{4}{13}, \frac{12}{13} \) तथा \( \frac{12}{13}, -\frac{3}{13}, -\frac{4}{13} \) वाली रेखाएँ अब \( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(-\frac{4}{13}\right)\left(-\frac{3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(-\frac{4}{13}\right) \) \[ = \frac{36}{169} + \frac{12}{169} - \frac{48}{169} = \frac{36 + 12 - 48}{169} = \frac{0}{169} = 0 \] \( \implies \) दोनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं। अतः दी गई रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं। इति सिद्धम्
Answer:दो रेखाएँ जिनकी दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) \( (l_1, m_1, n_1) \) और \( (l_2, m_2, n_2) \) हैं, वे परस्पर लम्बवत् (perpendicular) होंगी यदि और केवल यदि \( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0 \). **(i) पहली और दूसरी रेखा:** दिक्-कोज्याएँ: \( (l_1, m_1, n_1) = (\frac{12}{13}, -\frac{3}{13}, -\frac{4}{13}) \) दिक्-कोज्याएँ: \( (l_2, m_2, n_2) = (\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}) \) अब, \( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{4}{13}\right) + \left(-\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(-\frac{4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) \) \( = \frac{48}{169} - \frac{36}{169} - \frac{12}{169} = \frac{48 - 36 - 12}{169} = \frac{0}{169} = 0 \) अतः, पहली और दूसरी रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं। **(ii) दूसरी और तीसरी रेखा:** दिक्-कोज्याएँ: \( (l_1, m_1, n_1) = (\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}) \) दिक्-कोज्याएँ: \( (l_2, m_2, n_2) = (\frac{3}{13}, -\frac{4}{13}, \frac{12}{13}) \) अब, \( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = \left(\frac{4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(-\frac{4}{13}\right) + \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) \) \( = \frac{12}{169} - \frac{48}{169} + \frac{36}{169} = \frac{0}{169} = 0 \) अतः, दूसरी और तीसरी रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं। **(iii) तीसरी और पहली रेखा:** दिक्-कोज्याएँ: \( (l_1, m_1, n_1) = (\frac{3}{13}, -\frac{4}{13}, \frac{12}{13}) \) दिक्-कोज्याएँ: \( (l_2, m_2, n_2) = (\frac{12}{13}, -\frac{3}{13}, -\frac{4}{13}) \) अब, \( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(-\frac{4}{13}\right)\left(-\frac{3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(-\frac{4}{13}\right) \) \( = \frac{36}{169} + \frac{12}{169} - \frac{48}{169} = \frac{0}{169} = 0 \) अतः, तीसरी और पहली रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं। चूंकि प्रत्येक युग्म की रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं, इसलिए दी गई तीनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं।
In simple words: Two lines are perpendicular if the sum of the products of their corresponding direction cosines is zero. We apply this condition to each pair of the three given lines to confirm they are all mutually perpendicular.

🎯 Exam Tip: The condition for perpendicularity \( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0 \) (or \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \) for direction ratios) is fundamental. Be careful with arithmetic operations, especially with signs and fractions.

Question 2. दर्शाइए कि बिन्दुओं (1,-1, 2), (3,4,-2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0,3,2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब है। हल- दिए गए बिन्दु A (1, – 1, 2), B (3,4, -2) से होकर जाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात 3 - 1, 4 + 1, -2 – 2 या 2, 5, -4 हैं। बिन्दु C (0, 3,2) और D (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात 3 - 0, 5 – 3, 6 – 2 या 3, 2, 4 है।। हम जानते हैं कि रेखाएँ जिनके दिक् अनुपात (a1, b1, c1) तथा (a2, b2, c2) है परस्पर लम्बवत होंगी यदि और केवल a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 यहाँ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 2 x 3 + 5 x 2 + (-4) x4 = 6 + 10 – 16 = 16 – 16 = 0 अतः रेखा AB तथा CD एक-दूसरे पर लंब हैं।। इति सिद्धम्
Answer:माना रेखा L1 बिन्दुओं A(1, -1, 2) और B(3, 4, -2) से होकर जाती है। रेखा L1 के दिक्-अनुपात (direction ratios) \( (a_1, b_1, c_1) \) हैं: \( a_1 = 3 - 1 = 2 \) \( b_1 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \) \( c_1 = -2 - 2 = -4 \) तो, \( (a_1, b_1, c_1) = (2, 5, -4) \). माना रेखा L2 बिन्दुओं C(0, 3, 2) और D(3, 5, 6) से होकर जाती है। रेखा L2 के दिक्-अनुपात \( (a_2, b_2, c_2) \) हैं: \( a_2 = 3 - 0 = 3 \) \( b_2 = 5 - 3 = 2 \) \( c_2 = 6 - 2 = 4 \) तो, \( (a_2, b_2, c_2) = (3, 2, 4) \). दो रेखाएँ जिनके दिक्-अनुपात \( (a_1, b_1, c_1) \) और \( (a_2, b_2, c_2) \) हैं, वे परस्पर लम्बवत् होंगी यदि और केवल यदि \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \). आइए इस शर्त की जाँच करें: \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4) \) \( = 6 + 10 - 16 \) \( = 16 - 16 \) \( = 0 \) चूंकि \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \), अतः रेखा AB तथा CD एक-दूसरे पर लम्ब हैं।
In simple words: To prove two lines are perpendicular, first find their direction ratios by subtracting the coordinates of their respective points. Then, check if the dot product of their direction ratio vectors (sum of products of corresponding components) is zero. If it is zero, the lines are perpendicular.

🎯 Exam Tip: The condition \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \) is key for perpendicularity when given direction ratios. Ensure precise calculation of direction ratios and their dot product.

Question 3. दर्शाइए कि बिन्दुओं (4,7, 8), (2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (-1, -2, 1) (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के समान्तर हैं। हल- बिन्दु A (4, 7, 8), B(2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा AB के दिक्-अनुपात a1, b1, c1 क्रमशः 2 – 4, 3 – 7, 4 – 8 या -2, -4, -4 हैं। बिन्दु C (-1, – 2, 1) और D (1, 2, 5) से होकर जाने वाली रेखा CD के दिक्-अनुपात a2, b2, c2, क्रमशः 1 – (-1), 2 – (-2), 5 – 1 या 2, 4, 4 हैं। रेखा AB, CD के समान्तर होगी यदि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{2} = -1 \) \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1 \) \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{4} = -1 \)
Therefore \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = -1 \) अतः AB \( || \) CD इति सिद्धम्
Answer:माना रेखा L1 बिन्दुओं A(4, 7, 8) और B(2, 3, 4) से होकर जाती है। रेखा L1 के दिक्-अनुपात \( (a_1, b_1, c_1) \) हैं: \( a_1 = 2 - 4 = -2 \) \( b_1 = 3 - 7 = -4 \) \( c_1 = 4 - 8 = -4 \) तो, \( (a_1, b_1, c_1) = (-2, -4, -4) \). माना रेखा L2 बिन्दुओं C(-1, -2, 1) और D(1, 2, 5) से होकर जाती है। रेखा L2 के दिक्-अनुपात \( (a_2, b_2, c_2) \) हैं: \( a_2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \) \( b_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4 \) \( c_2 = 5 - 1 = 4 \) तो, \( (a_2, b_2, c_2) = (2, 4, 4) \). दो रेखाएँ जिनके दिक्-अनुपात \( (a_1, b_1, c_1) \) और \( (a_2, b_2, c_2) \) हैं, वे परस्पर समान्तर (parallel) होंगी यदि और केवल यदि उनके दिक्-अनुपात समानुपाती हों, अर्थात् \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \). आइए इस शर्त की जाँच करें: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{2} = -1 \) \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1 \) \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{4} = -1 \) चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = -1 \), अतः रेखा AB तथा CD परस्पर समान्तर हैं।
In simple words: To prove two lines are parallel, we calculate their direction ratios from the given points. If the ratios of corresponding direction ratios are equal, then the lines are parallel.

🎯 Exam Tip: For parallel lines, the ratio of corresponding direction ratios must be equal. Ensure consistency in the order of subtraction when calculating direction ratios for both lines.

Question 4. बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश \( 3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k} \) के समान्तर है। हल- दी गई रेखा बिन्दु A(1, 2, 3) से होकर जाती है तथा सदिश \( \vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \) के समान्तर है। बिन्दु A का स्थिति सदिश \( \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \)
Therefore दी गई रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) या \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) \) जहाँ \( \lambda \) एक अदिश है।
Answer:दी गई रेखा बिन्दु A(1, 2, 3) से होकर जाती है। तो, बिन्दु A का स्थिति सदिश (position vector) \( \vec{a} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \). रेखा सदिश \( \vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \) के समान्तर है। किसी बिन्दु \( \vec{a} \) से होकर जाने वाली और सदिश \( \vec{b} \) के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण (vector equation) निम्न प्रकार दिया जाता है: \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) दिए गए मानों को रखने पर: \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) \) जहाँ \( \lambda \) एक अदिश (scalar) है।
In simple words: The vector equation of a line passing through a point and parallel to a vector is found by adding the position vector of the point to a scalar multiple of the parallel vector.

🎯 Exam Tip: Understand the standard form of a line's vector equation: \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \), where \( \vec{a} \) is the position vector of a point on the line and \( \vec{b} \) is the direction vector. Ensure correct identification of \( \vec{a} \) and \( \vec{b} \).

Question 5. बिन्दु जिसका स्थिति सदिश से होकर जाने वाली व सदिश के समान्तर रेखा को सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए । हल- अभीष्ट रेखा, दिये गए सदिश बिन्दु \( \vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k} \) से होकर जाती है तथा सदिश \( \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) के समान्तर है।
Therefore अभीष्ट रेखा का समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) या \( \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \)...(i) **कार्तीय समीकरण** (i) में \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) लेने पर, \[ x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \] \[ \implies x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (2 + \lambda)\hat{i} + (-1 + 2\lambda)\hat{j} + (4 - \lambda)\hat{k} \] घटकों की तुलना करने पर: \( x = 2 + \lambda \) \( y = -1 + 2\lambda \) \( z = 4 - \lambda \) इन समीकरणों से \( \lambda \) को व्यक्त करने पर: \( \lambda = x - 2 \) \( \lambda = \frac{y + 1}{2} \) \( \lambda = \frac{z - 4}{-1} \) अतः, कार्तीय समीकरण है: \[ \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{-1} \] रेखा का अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।
Answer:दी गई रेखा बिन्दु जिसका स्थिति सदिश \( \vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k} \) है, से होकर जाती है। यह रेखा सदिश \( \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) के समान्तर है। **सदिश समीकरण (Vector Equation):** रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश है। \( \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \) **कार्तीय समीकरण (Cartesian Equation):** सदिश समीकरण में \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) रखने पर: \( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \) \( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (2 + \lambda)\hat{i} + (-1 + 2\lambda)\hat{j} + (4 - \lambda)\hat{k} \) दोनों पक्षों के घटकों की तुलना करने पर: \( x = 2 + \lambda \) \( y = -1 + 2\lambda \) \( z = 4 - \lambda \) इन समीकरणों से \( \lambda \) का मान निकालने पर: \( \lambda = x - 2 \) \( \lambda = \frac{y + 1}{2} \) \( \lambda = \frac{z - 4}{-1} \) चूँकि \( \lambda \) समान है, तो कार्तीय समीकरण होगा: \( \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{-1} \)
In simple words: To find the vector equation, combine the position vector of the given point with a scalar multiple of the parallel vector. For the Cartesian equation, express x, y, z in terms of the scalar parameter and then eliminate the parameter to get the symmetric form.

🎯 Exam Tip: Remember the two forms: \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) for vector and \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \) for Cartesian. Ensure \( (x_1, y_1, z_1) \) comes from the point and \( (a, b, c) \) from the direction vector.

Question 6. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4, -5) से जाती है और रेखा \( \frac{x + 3}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 8}{6} \) के समान्तर है। हल- अभीष्ट रेखा, रेखा \( \frac{x + 3}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 8}{6} \) के समान्तर है।
Therefore अभीष्ट रेखा के दिक् अनुपात 3, 5, 6 हैं और यह बिन्दु (-2, 4, -5) से होकर जाती है।
Therefore अभीष्ट रेखा का समीकरण \[ \frac{x - (-2)}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z - (-5)}{6} \] या \[ \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 5}{6} \]
Answer:दी गई रेखा \( \frac{x + 3}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 8}{6} \) के दिक्-अनुपात (direction ratios) 3, 5, 6 हैं। चूंकि अभीष्ट रेखा इस दी गई रेखा के समान्तर है, अतः इसके दिक्-अनुपात भी (3, 5, 6) होंगे। अभीष्ट रेखा बिन्दु (-2, 4, -5) से होकर जाती है। किसी बिन्दु \( (x_1, y_1, z_1) \) से होकर जाने वाली और दिक्-अनुपात \( (a, b, c) \) वाली रेखा का कार्तीय समीकरण (Cartesian equation) निम्न प्रकार दिया जाता है: \( \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} \) दिए गए मानों को रखने पर: \( x_1 = -2, y_1 = 4, z_1 = -5 \) \( a = 3, b = 5, c = 6 \) \[ \frac{x - (-2)}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z - (-5)}{6} \] \[ \implies \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 5}{6} \] यह अभीष्ट रेखा का समीकरण है।
In simple words: If a line is parallel to another, it shares the same direction ratios. We use these direction ratios and the given point to form the Cartesian equation of the line.

🎯 Exam Tip: Parallel lines have proportional direction ratios (or the same direction ratios). Use the symmetric form \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \) for the Cartesian equation, substituting the given point and direction ratios.

Question 7. एक रेखा का कार्तीय समीकरण \( \frac{x - 5}{3} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z - 6}{2} \) है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए । हल- रेखा का समीकरण \( \frac{x - 5}{3} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z - 6}{2} \) यह रेखा बिन्दु (5, -4, 6) से गुजरती है और इसके दिक् अनुपात 3, 7, 2 हैं। अर्थात् बिन्दु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k} \) तथा दिशा सदिश \( \vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k} \) अतः रेखा का सदिश समीकरण \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) \( \vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k}) \)
Answer:दिया गया कार्तीय समीकरण (Cartesian equation) है: \( \frac{x - 5}{3} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z - 6}{2} \) इस समीकरण की तुलना मानक कार्तीय समीकरण \( \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} \) से करने पर, हमें मिलता है: बिन्दु जिससे रेखा होकर जाती है \( (x_1, y_1, z_1) = (5, -4, 6) \). इस बिन्दु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k} \). रेखा के दिक्-अनुपात (direction ratios) \( (a, b, c) = (3, 7, 2) \). यह दिक्-अनुपात दिशा सदिश (direction vector) \( \vec{b} \) के घटक हैं, इसलिए \( \vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k} \). अब, रेखा का सदिश समीकरण (vector equation) \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \) है, जहाँ \( \lambda \) एक अदिश है। दिए गए मानों को रखने पर: \( \vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k}) \)
In simple words: To convert a Cartesian equation of a line to its vector form, identify the point through which the line passes and its direction ratios from the Cartesian equation. Form the position vector from the point and the direction vector from the ratios, then combine them using the standard vector equation formula.

🎯 Exam Tip: In the Cartesian form \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \), the numerators give the coordinates of a point \( (x_1, y_1, z_1) \) and the denominators give the direction ratios \( (a, b, c) \). Be careful with signs, e.g., \( y+4 \) means \( y - (-4) \).

Question 8. मूलबिन्दु और (5,-2, 3) से जाने वाली रेखा का समीकरण सदिश व कार्तीय रूपों में ज्ञात कीजिए। हल- दिये गये बिन्दु \( \vec{r_1} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} \) तथा \( \vec{r_2} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) इन दो बिन्दुओं से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण \( \vec{r} = \vec{r_1} + \lambda(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \) या \( \vec{r} = (0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) + \lambda[(5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k})] \) या \( \vec{r} = \lambda (5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \) **कार्तीय समीकरण** उपरोक्त समीकरण में \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) लेने पर, \( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = \lambda(5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \) \[ \implies x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (5\lambda)\hat{i} + (-2\lambda)\hat{j} + (3\lambda)\hat{k} \] \[ \implies x = 5\lambda, y = -2\lambda, z = 3\lambda \] इन समीकरणों से \( \lambda \) को व्यक्त करने पर: \( \lambda = \frac{x}{5} \) \( \lambda = \frac{y}{-2} \) \( \lambda = \frac{z}{3} \) अतः रेखा का अभीष्ट कार्तीय समीकरण है: \[ \frac{x}{5} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3} \]
Answer:दिए गए दो बिन्दु हैं: मूलबिन्दु O(0, 0, 0) और P(5, -2, 3)। इन बिन्दुओं के स्थिति सदिश हैं: \( \vec{a} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \vec{0} \) \( \vec{b} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) **सदिश समीकरण (Vector Equation):** दो बिन्दुओं \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण निम्न प्रकार दिया जाता है: \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a}) \) \( \vec{r} = \vec{0} + \lambda((5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) - \vec{0}) \) \( \vec{r} = \lambda(5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \) **कार्तीय समीकरण (Cartesian Equation):** मूलबिन्दु \( (x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0) \) है और दूसरा बिन्दु \( (x_2, y_2, z_2) = (5, -2, 3) \) है। दो बिन्दुओं से होकर जाने वाली रेखा का कार्तीय समीकरण निम्न प्रकार दिया जाता है: \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} \) दिए गए मानों को रखने पर: \( \frac{x - 0}{5 - 0} = \frac{y - 0}{-2 - 0} = \frac{z - 0}{3 - 0} \) \( \frac{x}{5} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3} \)
In simple words: For the vector equation of a line passing through two points, use the formula \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a}) \). For the Cartesian equation, use the formula \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} \).

🎯 Exam Tip: When one of the points is the origin, the direction vector \( (\vec{b} - \vec{a}) \) simplifies to \( \vec{b} \), and the Cartesian form simplifies to \( \frac{x}{x_2} = \frac{y}{y_2} = \frac{z}{z_2} \).

Question 9. बिन्दुओं (3, -2, -5) और (3, -2, 6) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण सदिश व कार्तीय रूप में ज्ञात कीजिए। हल- दिये गये बिन्दुओं A(3,-2, -5) व B(3, -2, 6) के स्थिति सदिश । \( \vec{r_1} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k} \) तथा \( \vec{r_2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k} \) इन दो बिन्दुओं से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण \( \vec{r} = \vec{r_1} + \lambda(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \) या \( \vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda[(3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k})] \) या \( \vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda (0\hat{i} + 0\hat{j} + 11\hat{k}) \) या \( \vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda (11\hat{k}) \) **कार्तीय समीकरण** उपरोक्त समीकरण में, \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) लेने पर, \( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda(11\hat{k}) \) \[ \implies x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (3 + 0\lambda)\hat{i} + (-2 + 0\lambda)\hat{j} + (-5 + 11\lambda)\hat{k} \] \[ \implies x = 3, y = -2, z = -5 + 11\lambda \] इन समीकरणों से \( \lambda \) को व्यक्त करने पर: \( \frac{x - 3}{0} \) (अपरिभाषित, लेकिन यह दर्शाता है कि \( x \) स्थिर है) \( \frac{y - (-2)}{0} \) (अपरिभाषित, लेकिन यह दर्शाता है कि \( y \) स्थिर है) \( \lambda = \frac{z + 5}{11} \) अतः अभीष्ट कार्तीय समीकरण \( \frac{x - 3}{0} = \frac{y + 2}{0} = \frac{z + 5}{11} \) है।
Answer:दिए गए दो बिन्दु हैं: A(3, -2, -5) और B(3, -2, 6)। इन बिन्दुओं के स्थिति सदिश हैं: \( \vec{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k} \) \( \vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k} \) **सदिश समीकरण (Vector Equation):** दो बिन्दुओं \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण निम्न प्रकार दिया जाता है: \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a}) \) \( \vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda[(3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k})] \) \( \vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda[(3-3)\hat{i} + (-2-(-2))\hat{j} + (6-(-5))\hat{k}] \) \( \vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda(0\hat{i} + 0\hat{j} + 11\hat{k}) \) \( \vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + 11\lambda\hat{k} \) **कार्तीय समीकरण (Cartesian Equation):** बिन्दु \( (x_1, y_1, z_1) = (3, -2, -5) \) और \( (x_2, y_2, z_2) = (3, -2, 6) \) हैं। दिक्-अनुपात \( (a, b, c) = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) \) हैं: \( a = 3 - 3 = 0 \) \( b = -2 - (-2) = 0 \) \( c = 6 - (-5) = 11 \) कार्तीय समीकरण है: \( \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} \) \( \frac{x - 3}{0} = \frac{y - (-2)}{0} = \frac{z - (-5)}{11} \) \( \frac{x - 3}{0} = \frac{y + 2}{0} = \frac{z + 5}{11} \) यहां, हर में 0 का अर्थ है कि रेखा x=3 और y=-2 के समतल के समान्तर है (या x=3 और y=-2 के समतल पर स्थित है), और दिशा सदिश केवल z-अक्ष में है।
In simple words: To find the vector equation, subtract the position vectors of the two points to get the direction vector, then add it to one of the position vectors multiplied by a scalar. For the Cartesian equation, use the two-point form, noting that zero denominators imply the line is parallel to the respective axis or contained in a plane perpendicular to it.

🎯 Exam Tip: When some direction ratios are zero, like \( (0,0,11) \), the Cartesian equation is written as \( \frac{x-x_1}{0} = \frac{y-y_1}{0} = \frac{z-z_1}{c} \), which implies \( x=x_1 \) and \( y=y_1 \). This indicates a line parallel to the z-axis. Do not divide by zero literally; it's a symbolic representation.

Question 10. निम्नलिखित रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। (I) \( \vec{r} = 2\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k} + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) \) और \( \vec{r} = 7\hat{i} - 6\hat{j} + \mu(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \) (ii) \( \vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) \) और \( \vec{r} = 2\hat{i} - \hat{j} - 6\hat{k} + \mu(3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}) \) हल- (I) दी गई रेखायें क्रमशः सदिश \( \vec{b_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k} \) और \( \vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} \) के समान्तर हैं।
Therefore यदि इन सदिशों के बीच कोण \( \theta \) है तो रेखाओं के बीच कोण भी \( \theta \) होगा। तब \( \cos \theta = \frac{\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|} \) \[ = \frac{(3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})}{|3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}| |\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}|} \] \[ = \frac{(3)(1) + (2)(2) + (6)(2)}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \] \[ = \frac{3 + 4 + 12}{\sqrt{9 + 4 + 36} \sqrt{1 + 4 + 4}} \] \[ = \frac{19}{\sqrt{49} \sqrt{9}} = \frac{19}{7 \times 3} = \frac{19}{21} \]
Therefore \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) \) (ii) Let \( \theta \) be the angle between the given lines. The given lines are parallel to the vector. \( \vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} \) and \( \vec{b_2} = 3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k} \) respectively.
Therefore The angle \( \theta \) between them is given by \[ \cos \theta = \frac{\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|} \] \[ = \frac{(1)(3) + (-1)(-5) + (-2)(-4)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2}} \] \[ = \frac{3 + 5 + 8}{\sqrt{1 + 1 + 4} \sqrt{9 + 25 + 16}} \] \[ = \frac{16}{\sqrt{6} \sqrt{50}} = \frac{16}{\sqrt{300}} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{15} \]
Therefore \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{8\sqrt{3}}{15}\right) \)
Answer:दो रेखाओं के बीच का कोण \( \theta \) ज्ञात करने के लिए, हम उनके दिशा सदिशों \( \vec{b_1} \) और \( \vec{b_2} \) का उपयोग करते हैं। सूत्र है: \( \cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|} \) **(i) पहली रेखायुग्म:** दी गई रेखाओं के सदिश समीकरणों से, हम दिशा सदिशों की पहचान करते हैं: \( \vec{b_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k} \) \( \vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} \) अब, \( \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (3)(1) + (2)(2) + (6)(2) = 3 + 4 + 12 = 19 \) \( |\vec{b_1}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7 \) \( |\vec{b_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \) तो, \( \cos \theta = \frac{19}{7 \times 3} = \frac{19}{21} \) अतः, \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) \) **(ii) दूसरी रेखायुग्म:** दी गई रेखाओं के सदिश समीकरणों से, हम दिशा सदिशों की पहचान करते हैं: \( \vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} \) \( \vec{b_2} = 3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k} \) अब, \( \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (-1)(-5) + (-2)(-4) = 3 + 5 + 8 = 16 \) \( |\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \) \( |\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) तो, \( \cos \theta = \frac{16}{\sqrt{6} \times 5\sqrt{2}} = \frac{16}{5\sqrt{12}} = \frac{16}{5 \times 2\sqrt{3}} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}} \) परिमेयकरण (rationalizing) करने पर: \( \cos \theta = \frac{8}{5\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{15} \) अतः, \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{8\sqrt{3}}{15}\right) \)
In simple words: To find the angle between two lines given in vector form, extract their direction vectors. Then, apply the dot product formula for the angle between two vectors: \( \cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|} \), where \( |\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}| \) means the absolute value of the dot product to get the acute angle.

🎯 Exam Tip: Ensure you correctly identify the direction vectors (\( \vec{b} \)) from the given line equations (they are the vectors multiplied by \( \lambda \) or \( \mu \)). The formula for the angle between lines uses the dot product and magnitudes of these direction vectors.

Question 11. निम्नलिखित रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए (1) \( \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 3}{-3} \) और \( \frac{x + 2}{-1} = \frac{y - 4}{8} = \frac{z - 5}{4} \) (ii) \( \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1} \) और \( \frac{x - 5}{4} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{8} \) हल- (i) दी गई रेखाओं के दिक् अनुपात क्रमश: 2, 5, -3 और -1, 8, 4 है। यदि दी गई रेखाओं के मध्य कोण \( \theta \) है, तब \( \cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \) \[ = \frac{|(2)(-1) + (5)(8) + (-3)(4)|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + (-3)^2} \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + 4^2}} \] \[ = \frac{|-2 + 40 - 12|}{\sqrt{4 + 25 + 9} \sqrt{1 + 64 + 16}} \] \[ = \frac{|26|}{\sqrt{38} \sqrt{81}} = \frac{26}{9\sqrt{38}} \]
Therefore \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{26}{9\sqrt{38}}\right) \) (ii) The given equations are \( \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1} \) and \( \frac{x - 5}{4} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{8} \)
Therefore \( \vec{b_1} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \) and \( \vec{b_2} = 4\hat{i} + \hat{j} + 8\hat{k} \) Let \( \theta \) be the angle between the two lines, then \[ \cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|} \] \[ = \frac{|(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}} \] \[ = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}} \] \[ = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} \]
Therefore \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \)
Answer:दो रेखाओं के बीच का कोण \( \theta \) ज्ञात करने के लिए, हम उनके दिक्-अनुपातों \( (a_1, b_1, c_1) \) और \( (a_2, b_2, c_2) \) का उपयोग करते हैं। सूत्र है: \( \cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \) **(i) पहली रेखायुग्म:** दी गई कार्तीय समीकरणों से, हम दिक्-अनुपातों की पहचान करते हैं: \( (a_1, b_1, c_1) = (2, 5, -3) \) \( (a_2, b_2, c_2) = (-1, 8, 4) \) अब, \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(-1) + (5)(8) + (-3)(4) = -2 + 40 - 12 = 26 \) \( \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38} \) \( \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 64 + 16} = \sqrt{81} = 9 \) तो, \( \cos \theta = \frac{|26|}{(\sqrt{38})(9)} = \frac{26}{9\sqrt{38}} \) अतः, \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{26}{9\sqrt{38}}\right) \) **(ii) दूसरी रेखायुग्म:** दी गई कार्तीय समीकरणों से, हम दिक्-अनुपातों की पहचान करते हैं: \( (a_1, b_1, c_1) = (2, 2, 1) \) \( (a_2, b_2, c_2) = (4, 1, 8) \) अब, \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(4) + (2)(1) + (1)(8) = 8 + 2 + 8 = 18 \) \( \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \) \( \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} = \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9 \) तो, \( \cos \theta = \frac{|18|}{(3)(9)} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} \) अतः, \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) \)
In simple words: When lines are given in Cartesian form, their direction ratios are the denominators. Use these direction ratios in the formula \( \cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \) to find the angle between them.

🎯 Exam Tip: Carefully extract the direction ratios from the denominators of the Cartesian equations. Remember to use the absolute value of the dot product in the numerator to find the acute angle. Simplify radicals and fractions properly.

Question 12. p का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखायें \( \frac{1-x}{3} = \frac{7y-14}{2p} = \frac{z-3}{2} \) और \( \frac{7-7x}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{6-z}{5} \) परस्पर लम्ब है। हल- दी गई रेखाओं को मानक रूप में लिखने पर, पहली रेखा: \( \frac{-(x-1)}{3} = \frac{7(y-2)}{2p} = \frac{z-3}{2} \) \( \implies \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2} \) तो, इस रेखा के दिक्-अनुपात \( (a_1, b_1, c_1) = (-3, \frac{2p}{7}, 2) \) हैं। दूसरी रेखा: \( \frac{-7(x-1)}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{-(z-6)}{5} \) \( \implies \frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5} \) तो, इस रेखा के दिक्-अनुपात \( (a_2, b_2, c_2) = (-\frac{3p}{7}, 1, -5) \) हैं। यदि रेखायें परस्पर लम्ब (perpendicular) हैं, तब \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \). अर्थात् \( (-3)\left(-\frac{3p}{7}\right) + \left(\frac{2p}{7}\right)(1) + (2)(-5) = 0 \) \( \frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0 \) \( \frac{9p + 2p}{7} - 10 = 0 \) \( \frac{11p}{7} = 10 \) \( \implies p = \frac{70}{11} \)
Answer:दी गई रेखाएँ हैं: L1: \( \frac{1-x}{3} = \frac{7y-14}{2p} = \frac{z-3}{2} \) L2: \( \frac{7-7x}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{6-z}{5} \) पहले, इन समीकरणों को मानक कार्तीय रूप \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \) में परिवर्तित करते हैं। रेखा L1 के लिए: \( \frac{-(x-1)}{3} = \frac{7(y-2)}{2p} = \frac{z-3}{2} \) \( \implies \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2} \) तो, रेखा L1 के दिक्-अनुपात \( (a_1, b_1, c_1) = (-3, \frac{2p}{7}, 2) \) हैं। रेखा L2 के लिए: \( \frac{-7(x-1)}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{-(z-6)}{5} \) \( \implies \frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5} \) तो, रेखा L2 के दिक्-अनुपात \( (a_2, b_2, c_2) = (-\frac{3p}{7}, 1, -5) \) हैं। चूंकि दोनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं, तो दिक्-अनुपातों के गुणनफल का योग शून्य होगा: \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \) \( (-3)\left(-\frac{3p}{7}\right) + \left(\frac{2p}{7}\right)(1) + (2)(-5) = 0 \) \( \frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0 \) \( \frac{11p}{7} = 10 \) \( 11p = 70 \) \( p = \frac{70}{11} \)
In simple words: First, convert both line equations into their standard Cartesian form to correctly identify their direction ratios. Since the lines are perpendicular, the dot product of their direction ratio vectors must be zero. Set up this equation and solve for 'p'.

🎯 Exam Tip: Always convert line equations to standard form \( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \) before extracting direction ratios. Pay close attention to negative signs and coefficients when normalizing the numerators.

Question 13. दिखाइए कि रेखाएँ \( \frac{x - 5}{7} = \frac{y + 2}{-5} = \frac{z}{1} \) और \( \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} \) परस्पर लंब हैं। हल- दी गई रेखाओं के दिक् अनुपात पहली रेखा के दिक्-अनुपात: \( (a_1, b_1, c_1) = (7, -5, 1) \) दूसरी रेखा के दिक्-अनुपात: \( (a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 3) \)
Therefore रेखायें परस्पर लम्ब हैं। रेखाएँ परस्पर लम्बवत् होंगी यदि \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \). आइए इस शर्त की जाँच करें: \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (7)(1) + (-5)(2) + (1)(3) \) \( = 7 - 10 + 3 \) \( = 10 - 10 \) \( = 0 \) चूँकि \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \), जोकि सत्य है। अतः रेखायें परस्पर लम्ब हैं।
Answer:दी गई रेखाएँ हैं: L1: \( \frac{x - 5}{7} = \frac{y + 2}{-5} = \frac{z}{1} \) L2: \( \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} \) पहली रेखा के दिक्-अनुपात (direction ratios) \( (a_1, b_1, c_1) = (7, -5, 1) \) हैं। दूसरी रेखा के दिक्-अनुपात \( (a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 3) \) हैं। दो रेखाएँ परस्पर लम्बवत् होती हैं यदि उनके दिक्-अनुपातों के गुणनफल का योग शून्य हो: \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \) मानों को प्रतिस्थापित करने पर: \( (7)(1) + (-5)(2) + (1)(3) \) \( = 7 - 10 + 3 \) \( = 0 \) चूंकि योग 0 के बराबर है, अतः दी गई रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं।
In simple words: To show two lines are perpendicular, extract their direction ratios from the denominators of their Cartesian equations. Then, multiply corresponding direction ratios and sum them up. If the sum is zero, the lines are perpendicular.

🎯 Exam Tip: Directly use the denominators as direction ratios for lines in standard Cartesian form. The perpendicularity condition \( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0 \) is a straightforward check. Be mindful of negative signs in calculations.

Question 14.हल-
Answer:This question seems to be a placeholder or incomplete in the provided content. No specific question or details are available to provide an answer.
In simple words: This question is empty and lacks content.

🎯 Exam Tip: If a question is incomplete or missing, always note it down. In an exam, if such a situation occurs, clearly state that the question is incomplete or refer to it as "Question not provided."

Question 15.दी गई रेखाओं के समीकरण \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \)...(1) तथा \( \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \)...(2) समीकरण (1) की तुलना \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} \) से तथा समीकरण (2) की तुलना \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} \) से करने पर, \( \vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \) और \( \vec{a_2} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \) \( \vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \) और \( \vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} \) अब, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k} \) और \[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}(-1 \times 2 - 1 \times 1) - \hat{j}(1 \times 2 - 1 \times 2) + \hat{k}(1 \times 1 - (-1) \times 2) \] \[ = \hat{i}(-2 - 1) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(1 + 2) \] \[ = -3\hat{i} - 0\hat{j} + 3\hat{k} \]
Therefore \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{k}) \) \[ = (1)(-3) + (-3)(0) + (-2)(3) = -3 - 0 - 6 = -9 \] और \( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + (0)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) दोनों रेखाओं के बीच की दूरी = \( \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \) \[ = \frac{|-9|}{3\sqrt{2}} = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] अतः दी गई दोनों रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \) इकाई है।
Answer:(यह प्रश्न 'निम्नलिखित रेखायुग्मों के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए' के संदर्भ में है, जो प्रश्न 15 या 16 या 17 के तहत अपेक्षित है)। दी गई रेखाओं के समीकरण हैं: L1: \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \) L2: \( \vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \) इन समीकरणों की तुलना \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} \) और \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} \) से करने पर, हमें मिलता है: \( \vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \) \( \vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \) \( \vec{a_2} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \) \( \vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} \) अब, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k} \) और \( \vec{b_1} \times \vec{b_2} \) की गणना करते हैं: \[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}((-1)(2) - (1)(1)) - \hat{j}((1)(2) - (1)(2)) + \hat{k}((1)(1) - (-1)(2)) \] \[ = \hat{i}(-2 - 1) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(1 + 2) \] \[ = -3\hat{i} - 0\hat{j} + 3\hat{k} \] अब, \( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + (0)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) न्यूनतम दूरी (shortest distance) का सूत्र है: \( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \) पहले, \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \) की गणना करते हैं: \( (\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (-3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k}) = (1)(-3) + (-3)(0) + (-2)(3) = -3 + 0 - 6 = -9 \) तो, \( d = \frac{|-9|}{3\sqrt{2}} = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \) परिमेयकरण करने पर: \( d = \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \) इकाई।
In simple words: To find the shortest distance between two skew lines in vector form, identify the position vectors and direction vectors of both lines. Calculate the vector \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \) and the cross product \( (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \). Then, use the formula involving their dot product and the magnitude of the cross product.

🎯 Exam Tip: The formula for the shortest distance between skew lines is \( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \). Be meticulous with vector subtraction, cross product calculation, dot product, and magnitude computations to avoid errors.

Question 16. रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए। हल- Comparing the given equations with \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} \) and \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} \) respectively, we have \( \vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \), \( \vec{b_1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} \) \( \vec{a_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k} \) and \( \vec{b_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k} \) Now, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \) and \[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}((-3)(1) - (2)(3)) - \hat{j}((1)(1) - (2)(2)) + \hat{k}((1)(3) - (-3)(2)) \] \[ = \hat{i}(-3 - 6) - \hat{j}(1 - 4) + \hat{k}(3 + 6) \] \[ = -9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k} \] \( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-9)^2 + (3)^2 + (9)^2} = \sqrt{81 + 9 + 81} = \sqrt{171} = \sqrt{9 \times 19} = 3\sqrt{19} \)
Therefore \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}) \) \[ = (3)(-9) + (3)(3) + (3)(9) = -27 + 9 + 27 = 9 \] \( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|9|}{3\sqrt{19}} = \frac{9}{3\sqrt{19}} = \frac{3}{\sqrt{19}} \)
Answer:दी गई रेखाओं के समीकरण हैं: L1: \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \) L2: \( \vec{r} = (4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \) इन समीकरणों की तुलना \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} \) और \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} \) से करने पर, हमें मिलता है: \( \vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \) \( \vec{b_1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} \) \( \vec{a_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k} \) \( \vec{b_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k} \) अब, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \) और \( \vec{b_1} \times \vec{b_2} \) की गणना करते हैं: \[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}((-3)(1) - (2)(3)) - \hat{j}((1)(1) - (2)(2)) + \hat{k}((1)(3) - (-3)(2)) \] \[ = \hat{i}(-3 - 6) - \hat{j}(1 - 4) + \hat{k}(3 + 6) \] \[ = -9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k} \] अब, \( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-9)^2 + (3)^2 + (9)^2} = \sqrt{81 + 9 + 81} = \sqrt{171} = \sqrt{9 \times 19} = 3\sqrt{19} \) फिर, \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \) की गणना करते हैं: \( (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}) = (3)(-9) + (3)(3) + (3)(9) = -27 + 9 + 27 = 9 \) न्यूनतम दूरी \( d \) का सूत्र है: \( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \) \( d = \frac{|9|}{3\sqrt{19}} = \frac{9}{3\sqrt{19}} = \frac{3}{\sqrt{19}} \) परिमेयकरण करने पर: \( d = \frac{3}{\sqrt{19}} \times \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}} = \frac{3\sqrt{19}}{19} \) इकाई।
In simple words: To find the shortest distance between two skew lines, extract the point vectors and direction vectors from their equations. Compute the difference of point vectors and the cross product of direction vectors. Then, apply the formula \( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \).

🎯 Exam Tip: Systematically calculate \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \), \( (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \), their magnitudes and dot products. Remember to take the absolute value for the shortest distance, as distance cannot be negative.

Question 17. रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए। हल- दी हुई रेखाओं के समीकरण \( \vec{r} = (1-t)\hat{i} + (t-2)\hat{j} + (3-2t)\hat{k} \) या \( \vec{r} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} + t(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \) तथा \( \vec{r} = (s+1)\hat{i} + (2s-1)\hat{j} - (2s+1)\hat{k} \) या \( \vec{r} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k} + s(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) \) उपरोक्त समीकरणों की तुलना \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} \) तथा \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} \) से करने पर, \( \vec{a_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) \( \vec{b_1} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \) तथा \( \vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \) \( \vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \) अब, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = (1-1)\hat{i} + (-1-(-2))\hat{j} + (-1-3)\hat{k} = 0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k} = \hat{j} - 4\hat{k} \) और \[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}((1)(-2) - (-2)(2)) - \hat{j}((-1)(-2) - (-2)(1)) + \hat{k}((-1)(2) - (1)(1)) \] \[ = \hat{i}(-2 + 4) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-2 - 1) \] \[ = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k} \]
Therefore \( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} \)
Therefore अभीष्ट न्यूनतम दूरी \( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \) \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}) \) \[ = (0)(2) + (1)(-4) + (-4)(-3) = 0 - 4 + 12 = 8 \] तो, \( d = \frac{|8|}{\sqrt{29}} = \frac{8}{\sqrt{29}} \) अतः दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी \( \frac{8}{\sqrt{29}} \) है।
Answer:दी गई रेखाओं के समीकरण हैं: L1: \( \vec{r} = (1-t)\hat{i} + (t-2)\hat{j} + (3-2t)\hat{k} \) इसको मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं: \( \vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \) तो, \( \vec{a_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) और \( \vec{b_1} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \) L2: \( \vec{r} = (s+1)\hat{i} + (2s-1)\hat{j} - (2s+1)\hat{k} \) इसको मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं: \( \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) \) तो, \( \vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \) और \( \vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \) अब, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = (1-1)\hat{i} + (-1-(-2))\hat{j} + (-1-3)\hat{k} = 0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k} = \hat{j} - 4\hat{k} \) और \( \vec{b_1} \times \vec{b_2} \) की गणना करते हैं: \[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}((1)(-2) - (-2)(2)) - \hat{j}((-1)(-2) - (-2)(1)) + \hat{k}((-1)(2) - (1)(1)) \] \[ = \hat{i}(-2 + 4) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-2 - 1) \] \[ = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k} \] अब, \( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} \) फिर, \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \) की गणना करते हैं: \( (\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}) = (0)(2) + (1)(-4) + (-4)(-3) = 0 - 4 + 12 = 8 \) न्यूनतम दूरी \( d \) का सूत्र है: \( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \) \( d = \frac{|8|}{\sqrt{29}} = \frac{8}{\sqrt{29}} \) इकाई।
In simple words: First, rewrite the given line equations into the standard \( \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} \) form to identify the position vectors and direction vectors. Then, calculate the difference between position vectors, the cross product of direction vectors, and their respective magnitudes. Finally, apply the shortest distance formula using these computed values.

🎯 Exam Tip: The crucial first step is to correctly extract \( \vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{a_2}, \vec{b_2} \) from the given parametric equations. Be mindful of the signs when collecting terms for \( \vec{a} \) and \( \vec{b} \), and when performing vector operations like cross products and dot products.

प्रश्नावली 11.3

Question 1. निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब की दिक् कोसाइन और मूलबिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए।
(a) z = 2
(b) x + y + z = 1
(c) 2x + 3y – z = 5
(d) 5y + 8 = 0 हल- (a) दिये गये समतल का समीकरण z = 2 इसकी तुलना समतल के मानक समीकरण lx + my + nz = p से करने पर, समतल की मूलबिन्दु से दूरी p = 2 मात्रक तथा समतल के अभिलम्ब की दिक् कोसाइन l = 0, m = 0, n = 1
(b) दिये गये समतल का समीकरण x + y + z = 1 दोनों पक्षों को \( \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{3} \) से भाग देने पर, \[ \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}}y + \frac{1}{\sqrt{3}}z = \frac{1}{\sqrt{3}} \] इसकी तुलना समतल के मानक समीकरण lx + my + nz = p से करने पर, समतल पर अभिलम्ब की दिक् कोज्यायें \( l = \frac{1}{\sqrt{3}}, m = \frac{1}{\sqrt{3}}, n = \frac{1}{\sqrt{3}} \) अर्थात् \( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \) व मूलबिन्दु से दूरी \( p = \frac{1}{\sqrt{3}} \) इकाई।
Answer:किसी समतल का समीकरण \( Ax + By + Cz = D \) हो, तो उसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात \( (A, B, C) \) होते हैं। अभिलम्ब की दिक्-कोसाइन (direction cosines) \( (l, m, n) \) और मूलबिन्दु से दूरी \( p \) ज्ञात करने के लिए, हम समतल के समीकरण को मानक रूप \( lx + my + nz = p \) में बदलते हैं। इसके लिए, समीकरण को \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \) से भाग देते हैं। **(a) समतल: z = 2** यहाँ, \( A=0, B=0, C=1, D=2 \). \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1 \). समीकरण को 1 से भाग देने पर: \( 0x + 0y + 1z = 2 \) दिक्-कोसाइन: \( l = 0, m = 0, n = 1 \). मूलबिन्दु से दूरी: \( p = 2 \) इकाई। **(b) समतल: x + y + z = 1** यहाँ, \( A=1, B=1, C=1, D=1 \). \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \). समीकरण को \( \sqrt{3} \) से भाग देने पर: \( \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}}y + \frac{1}{\sqrt{3}}z = \frac{1}{\sqrt{3}} \) दिक्-कोसाइन: \( l = \frac{1}{\sqrt{3}}, m = \frac{1}{\sqrt{3}}, n = \frac{1}{\sqrt{3}} \). मूलबिन्दु से दूरी: \( p = \frac{1}{\sqrt{3}} \) इकाई। **(c) समतल: 2x + 3y - z = 5** यहाँ, \( A=2, B=3, C=-1, D=5 \). \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \). समीकरण को \( \sqrt{14} \) से भाग देने पर: \( \frac{2}{\sqrt{14}}x + \frac{3}{\sqrt{14}}y - \frac{1}{\sqrt{14}}z = \frac{5}{\sqrt{14}} \) दिक्-कोसाइन: \( l = \frac{2}{\sqrt{14}}, m = \frac{3}{\sqrt{14}}, n = -\frac{1}{\sqrt{14}} \). मूलबिन्दु से दूरी: \( p = \frac{5}{\sqrt{14}} \) इकाई। **(d) समतल: 5y + 8 = 0** इसको \( 5y = -8 \) के रूप में लिख सकते हैं। यदि \( D \) ऋणात्मक हो, तो उसे धनात्मक बनाने के लिए पूरे समीकरण को \( -1 \) से गुणा करते हैं: \( -5y = 8 \). यहाँ, \( A=0, B=-5, C=0, D=8 \). \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5 \). समीकरण को 5 से भाग देने पर: \( 0x - \frac{5}{5}y + 0z = \frac{8}{5} \) \( 0x - 1y + 0z = \frac{8}{5} \) दिक्-कोसाइन: \( l = 0, m = -1, n = 0 \). मूलबिन्दु से दूरी: \( p = \frac{8}{5} \) इकाई।
In simple words: To find direction cosines of the normal and distance from the origin for a plane \( Ax + By + Cz = D \), first ensure D is positive. Then, divide the entire equation by the magnitude \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \). The coefficients of x, y, z become the direction cosines, and the right-hand side is the distance.

🎯 Exam Tip: Always make sure the constant term \( D \) on the right side of the plane equation \( Ax+By+Cz=D \) is positive before normalizing. If \( D \) is negative, multiply the entire equation by -1. The direction cosines of the normal are \( \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \), and the distance is \( \frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \).

Question 2. उस समतल का समीकरणे ज्ञात कीजिए जो मूलबिन्दु से 7 मात्रक दूरी पर है, और सदिश \( \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \) पर अभिलम्ब है। हल- यहाँ \( p = 7 \) मात्रक अभिलम्ब सदिश (normal vector) \( \vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \) \( |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \) अभिलम्ब की इकाई सदिश (unit normal vector) \( \hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k} \) समतल का समीकरण \( \vec{r} \cdot \hat{n} = p \) है। \[ \vec{r} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}\right) = 7 \] या \( \vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 7\sqrt{3} \) यह समतल का सदिश समीकरण है। **कार्तीय समीकरण (Cartesian Equation):** \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) रखने पर: \( (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}\right) = 7 \) \( \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{y}{\sqrt{3}} + \frac{z}{\sqrt{3}} = 7 \) या \( x + y + z = 7\sqrt{3} \) यह समतल का कार्तीय समीकरण है।
In simple words: To find the equation of a plane given its distance from the origin and a normal vector, first normalize the normal vector to get a unit normal vector. Then, use the formula \( \vec{r} \cdot \hat{n} = p \) for the vector form, and substitute \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) for the Cartesian form.

🎯 Exam Tip: The normal form of the plane equation is \( \vec{r} \cdot \hat{n} = p \), where \( \hat{n} \) is the unit normal vector and \( p \) is the perpendicular distance from the origin. Always ensure \( \hat{n} \) is a unit vector.

Question 3. निम्नलिखित समतलों का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए हल- : (a) समतल का सदिश समीकरण \( \vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2 \) यदि समतल पर स्थित कोई बिन्दु (x, y, z) है, तब \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \). \[ (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2 \] \[ \implies x(1) + y(1) + z(-1) = 2 \] \[ \implies x + y - z = 2 \] जोकि अभीष्ट समीकरण है। (b) दिये गये तल का सदिश समीकरण \( \vec{r} \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = 1 \) यदि समतल पर स्थित कोई बिन्दु (x, y, z) हैं, तब \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \). \[ (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = 1 \] \[ \implies x(2) + y(3) + z(-4) = 1 \] \[ \implies 2x + 3y - 4z = 1 \] जोकि अभीष्ट समीकरण है। (c) उपरोक्त भागों की भाँति स्वयं हल कीजिए।
Answer:किसी समतल के सदिश समीकरण \( \vec{r} \cdot \vec{n} = d \) को कार्तीय समीकरण में बदलने के लिए, हम \( \vec{r} \) को \( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) से प्रतिस्थापित करते हैं। **(a) समतल का सदिश समीकरण: \( \vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2 \)** \( (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2 \) डॉट प्रोडक्ट लेने पर: \( x(1) + y(1) + z(-1) = 2 \) \( x + y - z = 2 \) यह अभीष्ट कार्तीय समीकरण है। **(b) समतल का सदिश समीकरण: \( \vec{r} \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = 1 \)** \( (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = 1 \) डॉट प्रोडक्ट लेने पर: \( x(2) + y(3) + z(-4) = 1 \) \( 2x + 3y - 4z = 1 \) यह अभीष्ट कार्तीय समीकरण है। **(c) समतल का सदिश समीकरण: \( \vec{r} \cdot ((\vec{s} - 2\vec{t}) + (2\vec{s} + 3\vec{t})\hat{j} + (3\vec{s} - \vec{t})\hat{k}) = 1 \)** (Assuming this is a placeholder/template, or a typo and should be a standard vector) *Assuming a generic form \( \vec{r} \cdot (A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k}) = D \)* If the vector normal is \( \vec{n} = A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k} \) and constant \( D \), then the Cartesian equation is: \( (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k}) = D \) \( Ax + By + Cz = D \) This is the general form. Specific values for A, B, C, D would be needed if this was a concrete problem.
In simple words: To convert a plane's vector equation \( \vec{r} \cdot \vec{n} = d \) into its Cartesian form, replace \( \vec{r} \) with \( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) and perform the dot product with the normal vector \( \vec{n} \).

🎯 Exam Tip: The conversion from vector to Cartesian form of a plane equation is direct. Just substitute \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) and compute the dot product. This method always works.

Question 4. निम्नलिखित स्थितियों में मूलबिन्दु से खींचे गये लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
(a) 2x + 3y + 4z – 12 = 0
(b) 3y + 4z – 6 = 0
(c) x + y + z = 1
(d) 5y + 8 = 0 हल- (a) माना मूलबिन्दु से समतल पर डाले गये लम्ब के पाद P के निर्देशांक \( (x_1, y_1, z_1) \) हैं, तब रेखा OP के दिक् अनुपात \( x_1, y_1, z_1 \) हैं। समतल के समीकरण को अभिलम्ब रूप में लिखने पर,
Answer:किसी समतल \( Ax + By + Cz + D = 0 \) पर मूलबिन्दु \( (0, 0, 0) \) से डाले गए लम्ब के पाद (foot of the perpendicular) के निर्देशांक \( (x_1, y_1, z_1) \) निम्न सूत्र से दिए जाते हैं: \( x_1 = \frac{-AD}{A^2+B^2+C^2} \) \( y_1 = \frac{-BD}{A^2+B^2+C^2} \) \( z_1 = \frac{-CD}{A^2+B^2+C^2} \) **(a) समतल: 2x + 3y + 4z – 12 = 0** यहां, \( A=2, B=3, C=4, D=-12 \). \( A^2+B^2+C^2 = 2^2+3^2+4^2 = 4+9+16 = 29 \). \( x_1 = \frac{-(2)(-12)}{29} = \frac{24}{29} \) \( y_1 = \frac{-(3)(-12)}{29} = \frac{36}{29} \) \( z_1 = \frac{-(4)(-12)}{29} = \frac{48}{29} \) लम्ब के पाद के निर्देशांक: \( \left(\frac{24}{29}, \frac{36}{29}, \frac{48}{29}\right) \). **(b) समतल: 3y + 4z – 6 = 0** यहां, \( A=0, B=3, C=4, D=-6 \). \( A^2+B^2+C^2 = 0^2+3^2+4^2 = 0+9+16 = 25 \). \( x_1 = \frac{-(0)(-6)}{25} = 0 \) \( y_1 = \frac{-(3)(-6)}{25} = \frac{18}{25} \) \( z_1 = \frac{-(4)(-6)}{25} = \frac{24}{25} \) लम्ब के पाद के निर्देशांक: \( \left(0, \frac{18}{25}, \frac{24}{25}\right) \). **(c) समतल: x + y + z = 1** इसको \( x + y + z - 1 = 0 \) के रूप में लिख सकते हैं। यहां, \( A=1, B=1, C=1, D=-1 \). \( A^2+B^2+C^2 = 1^2+1^2+1^2 = 1+1+1 = 3 \). \( x_1 = \frac{-(1)(-1)}{3} = \frac{1}{3} \) \( y_1 = \frac{-(1)(-1)}{3} = \frac{1}{3} \) \( z_1 = \frac{-(1)(-1)}{3} = \frac{1}{3} \) लम्ब के पाद के निर्देशांक: \( \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \). **(d) समतल: 5y + 8 = 0** इसको \( 5y + 8 = 0 \) के रूप में लिख सकते हैं। यहां, \( A=0, B=5, C=0, D=8 \). \( A^2+B^2+C^2 = 0^2+5^2+0^2 = 0+25+0 = 25 \). \( x_1 = \frac{-(0)(8)}{25} = 0 \) \( y_1 = \frac{-(5)(8)}{25} = \frac{-40}{25} = -\frac{8}{5} \) \( z_1 = \frac{-(0)(8)}{25} = 0 \) लम्ब के पाद के निर्देशांक: \( \left(0, -\frac{8}{5}, 0\right) \).
In simple words: To find the foot of the perpendicular from the origin to a plane, use specific formulas derived from the plane's Cartesian equation. These formulas involve the coefficients of x, y, z and the constant term, all divided by the sum of squares of the coefficients.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for the foot of the perpendicular \( \left(\frac{-AD}{A^2+B^2+C^2}, \frac{-BD}{A^2+B^2+C^2}, \frac{-CD}{A^2+B^2+C^2}\right) \) for a plane \( Ax+By+Cz+D=0 \). Be careful with signs, especially for the D term. Ensure \( A^2+B^2+C^2 \) is calculated correctly for the denominator.

Question 5. निम्नलिखित प्रतिबन्यों के अन्तर्गत समतलों को सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए ।
(a) बिन्दु (1, 0, -2) से जाता है और सदिश \( \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \) पर अभिलम्ब है।
(b) बिन्दु (1, 4, 6) से जाता है और सदिश \( 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k} \) पर लम्ब है। हल- : बिन्दु \( \vec{a} \) से होकर जाने वाले और सदिश \( \vec{n} \) पर लम्ब समतल का समीकरण \( (\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0 \) यहाँ \( \vec{a} = \hat{i} - 0\hat{j} - 2\hat{k} \) तथा \( \vec{n} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \)
Therefore अभीष्ट समतल का समीकरण \( (\vec{r} - (\hat{i} - 2\hat{k})) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0 \)...(1) **कार्तीय समीकरण** माना समतल पर कोई बिन्दु (x, y, z) है, तब (1) से, \( [(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{k})] \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0 \) या \( [(x - 1)\hat{i} + y\hat{j} + (z + 2)\hat{k}] \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0 \) या \( (x - 1)(1) + y(1) + (z + 2)(-1) = 0 \) \( x - 1 + y - z - 2 = 0 \) \( x + y - z = 3 \)
Answer:किसी बिन्दु \( \vec{a} \) से होकर जाने वाले और सदिश \( \vec{n} \) पर अभिलम्ब (normal) समतल का सदिश समीकरण (vector equation) \( (\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0 \) होता है। इसका कार्तीय समीकरण (Cartesian equation) \( A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0 \) होता है, जहाँ \( (x_1, y_1, z_1) \) बिन्दु है और \( (A, B, C) \) अभिलम्ब के दिक्-अनुपात हैं। **(a) बिन्दु (1, 0, -2) से जाता है और सदिश \( \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \) पर अभिलम्ब है।** यहाँ, बिन्दु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = \hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{k} \). अभिलम्ब सदिश \( \vec{n} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \). **सदिश समीकरण:** \( (\vec{r} - (\hat{i} - 2\hat{k})) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0 \) **कार्तीय समीकरण:** बिन्दु \( (x_1, y_1, z_1) = (1, 0, -2) \). अभिलम्ब के दिक्-अनुपात \( (A, B, C) = (1, 1, -1) \). \( 1(x - 1) + 1(y - 0) + (-1)(z - (-2)) = 0 \) \( x - 1 + y - (z + 2) = 0 \) \( x - 1 + y - z - 2 = 0 \) \( x + y - z - 3 = 0 \) \( x + y - z = 3 \) **(b) बिन्दु (1, 4, 6) से जाता है और सदिश \( 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k} \) पर लम्ब है।** यहाँ, बिन्दु का स्थिति सदिश \( \vec{a} = \hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k} \). अभिलम्ब सदिश \( \vec{n} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k} \). **सदिश समीकरण:** \( (\vec{r} - (\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k})) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = 0 \) **कार्तीय समीकरण:** बिन्दु \( (x_1, y_1, z_1) = (1, 4, 6) \). अभिलम्ब के दिक्-अनुपात \( (A, B, C) = (2, 3, -4) \). \( 2(x - 1) + 3(y - 4) + (-4)(z - 6) = 0 \) \( 2x - 2 + 3y - 12 - 4z + 24 = 0 \) \( 2x + 3y - 4z + 10 = 0 \) \( 2x + 3y - 4z = -10 \)
In simple words: For a plane passing through a point and perpendicular to a vector, the vector equation is \( (\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0 \). For the Cartesian form, use \( A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0 \), where \( \vec{a} \) is the position vector of the point and \( \vec{n} \) is the normal vector.

🎯 Exam Tip: Remember both forms of the equation for a plane passing through a given point and normal to a given vector. Ensure correct vector subtraction and dot product calculations, especially with negative signs.

Question 6. उन समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित बिन्दुओं से गुजरते हैं।
(a) (1, 1,-1), (6, 4, -5), (-4, -2, 3)
(b) (1, 1, 0), (1, 2, 1), (-2, 2, -1) हल- : तीन असंरेख बिन्दुओं \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण \( (\vec{r} - \vec{a}) \cdot [(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})] = 0 \) **(a) बिन्दु (1, 1,-1), (6, 4, -5), (-4, -2, 3)** यहाँ \( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \) \( \vec{b} = 6\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k} \) \( \vec{c} = -4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) अब, \( \vec{b} - \vec{a} = (6\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 5\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k} \) \( \vec{c} - \vec{a} = (-4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -5\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k} \) अब, \( (\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a}) \) की गणना करते हैं: \[ (\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 3 & -4 \\ -5 & -3 & 4 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}((3)(4) - (-4)(-3)) - \hat{j}((5)(4) - (-4)(-5)) + \hat{k}((5)(-3) - (3)(-5)) \] \[ = \hat{i}(12 - 12) - \hat{j}(20 - 20) + \hat{k}(-15 + 15) \] \[ = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \vec{0} \] अर्थात् सदिश \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) संरेख (collinear) हैं। अतः तलों की संख्या असंख्य (infinite) होगी। (एक से अधिक समतल उन तीन संरेख बिन्दुओं से गुजर सकते हैं)। **(b) बिन्दु (1, 1, 0), (1, 2, 1), (-2, 2, -1)** यहाँ \( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} \) \( \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \) \( \vec{c} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) अब, \( \vec{b} - \vec{a} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j}) = 0\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = \hat{j} + \hat{k} \) \( \vec{c} - \vec{a} = (-2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j}) = -3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \) अब, \( (\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a}) \) की गणना करते हैं: \[ (\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} \] \[ = \hat{i}((1)(-1) - (1)(1)) - \hat{j}((0)(-1) - (1)(-3)) + \hat{k}((0)(1) - (1)(-3)) \] \[ = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(0 + 3) + \hat{k}(0 + 3) \] \[ = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k} \] समतल का समीकरण \( (\vec{r} - \vec{a}) \cdot [(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})] = 0 \) है। \( (\vec{r} - (\hat{i} + \hat{j})) \cdot (-2\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}) = 0 \) \( (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - \hat{i} - \hat{j}) \cdot (-2\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}) = 0 \) \( ((x-1)\hat{i} + (y-1)\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}) = 0 \) \( -2(x-1) - 3(y-1) + 3(z) = 0 \) \( -2x + 2 - 3y + 3 + 3z = 0 \) \( -2x - 3y + 3z + 5 = 0 \) \( 2x + 3y - 3z - 5 = 0 \)
In simple words: To find the equation of a plane passing through three non-collinear points, select one point as \( \vec{a} \) and form two vectors \( (\vec{b} - \vec{a}) \) and \( (\vec{c} - \vec{a}) \). Their cross product gives the normal vector. Use the formula \( (\vec{r} - \vec{a}) \cdot (\text{normal vector}) = 0 \) for the plane's equation. If the cross product is zero, the points are collinear, and infinitely many planes can pass through them.

🎯 Exam Tip: The critical step is checking if the three points are non-collinear. If \( (\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0} \), the points are collinear, and no unique plane can be determined (infinitely many planes pass through them). Ensure accurate vector subtraction and cross product calculations.

Question 7. समतल 2x + y – z = 5 द्वारा काटे गए अन्तःखण्डों को ज्ञात कीजिए। हल- Equation of the plane is 2x + y- z = 5 x y z Dividing by 5: \( \frac{2x}{5} + \frac{y}{5} - \frac{z}{5} = 1 \) \( \implies \frac{x}{5/2} + \frac{y}{5} + \frac{z}{-5} = 1 \)
Therefore The intercepts on the axes OX, OY, OZ are \( \frac{5}{2}, 5, -5 \) respectively
Answer:समतल का समीकरण दिया गया है: \( 2x + y - z = 5 \). अन्तःखण्ड रूप (intercept form) में समतल का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \) होता है, जहाँ \( a, b, c \) क्रमशः x, y, z-अक्ष पर काटे गए अन्तःखण्ड हैं। दिए गए समीकरण को अन्तःखण्ड रूप में बदलने के लिए, दोनों पक्षों को 5 से भाग देते हैं: \( \frac{2x}{5} + \frac{y}{5} - \frac{z}{5} = \frac{5}{5} \) \( \frac{x}{5/2} + \frac{y}{5} + \frac{z}{-5} = 1 \) अब, इसकी तुलना मानक अन्तःखण्ड रूप से करने पर: x-अक्ष पर अन्तःखण्ड \( a = \frac{5}{2} \) y-अक्ष पर अन्तःखण्ड \( b = 5 \) z-अक्ष पर अन्तःखण्ड \( c = -5 \) अतः, समतल द्वारा x, y और z-अक्ष पर काटे गए अन्तःखण्ड क्रमशः \( \frac{5}{2}, 5, -5 \) हैं।
In simple words: To find the intercepts of a plane, rewrite its equation in the intercept form \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \). This involves dividing the entire equation by the constant term on the right side. The denominators of x, y, and z then represent the intercepts.

🎯 Exam Tip: Ensure the right-hand side of the plane equation is 1 before identifying the intercepts. Be careful with coefficients; if a variable has a coefficient other than 1, divide the constant term by that coefficient to get the correct intercept. Also, pay attention to negative signs for intercepts.

Question 8. उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका y-अक्ष पर अन्तः खण्ड 3 और जो तल ZOX के समान्तर है। हल- ZOX के समान्तर तल का समीकरण y = a यह तल y-अक्ष पर अन्त:खण्ड 3 बनाता है। \( \implies a = 3 \) समतल अभीष्ट का समीकरण y = 3
Answer:दिया गया है कि समतल y-अक्ष पर अन्तःखण्ड 3 बनाता है। यह भी दिया गया है कि समतल ZOX तल (या xz-तल) के समान्तर है। यदि एक समतल ZOX तल के समान्तर होता है, तो उसका समीकरण केवल y के पदों में होता है, अर्थात् \( y = k \), जहाँ \( k \) एक स्थिरांक है। चूंकि समतल y-अक्ष पर अन्तःखण्ड 3 बनाता है, इसका अर्थ है कि यह बिन्दु (0, 3, 0) से होकर गुजरता है। समतल ZOX के समान्तर है, इसलिए इसमें x और z पद नहीं होंगे, यानी इसका समीकरण \( y = k \) प्रकार का होगा। बिन्दु (0, 3, 0) को समीकरण \( y = k \) में रखने पर: \( 3 = k \) अतः, समतल का अभीष्ट समीकरण \( y = 3 \) है।
In simple words: A plane parallel to the ZOX plane has an equation of the form \( y = k \). If it intercepts the y-axis at 3, it passes through (0,3,0), so substitute this into the equation to find k.

🎯 Exam Tip: Remember that a plane parallel to the coordinate plane (e.g., ZOX or xz-plane) will have an equation where only the coordinate not involved in the plane name is present (e.g., \( y = k \)). The intercept value directly gives the constant k.

Question 9. उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों \( 3x – y + 2z – 4 = 0 \) और \( x + y + z – 2 = 0 \) के प्रतिच्छेदन तथा बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है। हल- दिये गये समतलों के प्रतिच्छेदन से जाने वाले समतल का समीकरण \( (3x – y + 2z – 4) + \lambda(x + y + z – 2) = 0 \)...(1) यह बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है, तब \[ (3 \times 2 - 2 + 2 \times 1 - 4) + \lambda(2 + 2 + 1 - 2) = 0 \] \[ (6 - 2 + 2 - 4) + \lambda(3) = 0 \] \[ 2 + 3\lambda = 0 \] \[ \implies 3\lambda = -2 \] \[ \implies \lambda = -\frac{2}{3} \] \( \lambda \) का मान (1) में रखने पर, अभीष्ट समतल का समीकरण \( (3x – y + 2z – 4) - \frac{2}{3}(x + y + z – 2) = 0 \) या \( 3(3x – y + 2z – 4) - 2(x + y + z – 2) = 0 \) (दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर) या \( (9x - 3y + 6z - 12) - (2x + 2y + 2z - 4) = 0 \) या \( 9x - 3y + 6z - 12 - 2x - 2y - 2z + 4 = 0 \) या \( (9x - 2x) + (-3y - 2y) + (6z - 2z) + (-12 + 4) = 0 \) या \( 7x - 5y + 4z - 8 = 0 \)
Answer:दो समतलों \( P_1: A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \) और \( P_2: A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \) के प्रतिच्छेदन (intersection) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण निम्न प्रकार दिया जाता है: \( P_1 + \lambda P_2 = 0 \) या \( (A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1) + \lambda(A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2) = 0 \) दिए गए समतल हैं: \( P_1: 3x – y + 2z – 4 = 0 \) \( P_2: x + y + z – 2 = 0 \) प्रतिच्छेदन से जाने वाले समतल का समीकरण: \( (3x – y + 2z – 4) + \lambda(x + y + z – 2) = 0 \)...(1) यह समतल बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है। अतः, यह बिन्दु समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा। x=2, y=2, z=1 प्रतिस्थापित करने पर: \( (3(2) – 2 + 2(1) – 4) + \lambda(2 + 2 + 1 – 2) = 0 \) \( (6 – 2 + 2 – 4) + \lambda(3) = 0 \) \( (2) + 3\lambda = 0 \) \( 3\lambda = -2 \) \( \lambda = -\frac{2}{3} \) \( \lambda \) का मान समीकरण (1) में वापस रखने पर: \( (3x – y + 2z – 4) - \frac{2}{3}(x + y + z – 2) = 0 \) समीकरण को 3 से गुणा करने पर (भिन्नों को हटाने के लिए): \( 3(3x – y + 2z – 4) - 2(x + y + z – 2) = 0 \) \( 9x - 3y + 6z - 12 - 2x - 2y - 2z + 4 = 0 \) समान पदों को संयोजित करने पर: \( (9x - 2x) + (-3y - 2y) + (6z - 2z) + (-12 + 4) = 0 \) \( 7x - 5y + 4z - 8 = 0 \) यह अभीष्ट समतल का समीकरण है।
In simple words: The equation of a plane passing through the intersection of two planes is given by \( P_1 + \lambda P_2 = 0 \). Substitute the given planes into this formula. Then, use the given point to find the value of \( \lambda \) by plugging its coordinates into the equation. Finally, substitute \( \lambda \) back into the plane equation and simplify to get the final Cartesian equation.

🎯 Exam Tip: This method \( P_1 + \lambda P_2 = 0 \) is efficient for finding the equation of a plane through the intersection of two given planes. Be careful with arithmetic and algebraic simplification after substituting \( \lambda \). A common mistake is not distributing the negative sign correctly if \( \lambda \) is negative.

Question 10. उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों \( \vec{r} \cdot (2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = 7 \) और \( \vec{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 9 \) की प्रतिच्छेदन रेखा और बिन्दु (2, 1, 3) से होकर जाता है।
Answer: हल- उपरोक्त प्रश्न की भाँति स्वयं हल कीजिए।
In simple words: The problem asks to find the equation of a plane that passes through the intersection of two given planes and also through a specific point. This typically involves using the family of planes equation and then substituting the point to find the scalar constant.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for a plane passing through the intersection of two planes (P1 + λP2 = 0) and how to use a given point to find the value of λ.

Question 11. तलों \( x + y + z = 1 \) और \( 2x + 3y + 4z = 5 \) की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल \( x – y + z = 0 \) पर लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: हल- तलों \( x + y + z = 1 \) और \( 2x + 3y + 4z = 5 \) की प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण \( (x + y + z – 1) + \lambda (2x + 3y + 4z – 5) = 0 \)
\( (1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + 4\lambda)z – 5\lambda – 1 = 0 ....(1) \)
समतल (1) तल \( x – y + z = 0 \) पर लम्ब है।
\( (1 + 2\lambda).(1) + (1 + 3\lambda).(-1) + (1 + 4\lambda).(1) = 0 \)
\( 1 + 2\lambda – 1 – 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0 \)
या
\( 3\lambda + 1 = 0 \)
\( \implies \)
\( \lambda = -\frac{1}{3} \)
λ का मान (1) में रखने पर,
अभीष्ट समतल का समीकरण
\( (1 - \frac{2}{3})x + (1 - \frac{3}{3})y + (1 - \frac{4}{3})z - 5 \times (-\frac{1}{3}) - 1 = 0 \)
या
\( x + 0y - z + 2 = 0 \)
या
\( x - z + 2 = 0 \)
In simple words: This question asks for the equation of a plane that passes through the intersection of two given planes and is perpendicular to a third plane. You will use the family of planes concept and the condition for perpendicularity between planes to solve it.

🎯 Exam Tip: The perpendicularity condition between two planes with normal vectors \( \vec{n_1} \) and \( \vec{n_2} \) is \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \). Apply this to find λ.

Question 13. निम्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समान्तर हैं अथवा लम्बवत् हैं और उस स्थिति में, जब ये न तो समान्तर हैं और न ही लम्बवत्, उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए। (a) 7x + 5y + 6z + 30 = 0 और 3x - y - 10z + 4= 0 (b) 2x + y + 3z - 2 = 0 और x - 2y + 5 = 0 (c) 2x - 2y + 4z + 5 = 0 और 3x - 3y + 6z - 1 = 0 (d) 2x - y + 3z - 1 = 0 और 2x - y + 3z + 3 = 0 (e) 4x + 8y + z - 8 = 0 और y + z - 4 = 0
Answer: हल- दिए गए समतल \( a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \) और \( a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \) हैं।
यदि दोनों समतलों के बीच यदि कोण \( \theta \) हो तो
\[ \cos \theta = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \]
\[ = \frac{7 \cdot 3 + 5(-1) + 6(-10)}{\sqrt{7^2 + 5^2 + 6^2} \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-10)^2}} \]
\[ = \frac{21 - 5 - 60}{\sqrt{49 + 25 + 36}\sqrt{9 + 1 + 100}} \]
\[ = \frac{-44}{\sqrt{110}\sqrt{110}} = \frac{-44}{110} = \frac{-4}{10} = \frac{-2}{5} \]
\[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{2}{5}\right) \] अतः दिए गए समतलों के बीच का कोण \( \cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right) \) है।
(b) दिए गए समतल,
\( 2x + y + 3z - 2 = 0 ...(1). \)
तथा \( x - 2y + 5 = 0 ...(2) \)
(i) समतल समान्तर नहीं हैं क्योंकि
\[ \frac{2}{1} \neq \frac{1}{-2} \neq \frac{3}{0} \]
(ii) \( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 2 \times 1 + 1 \times (-2) + 3 \times 0 \)
\( = 2 - 2 + 0 = 0 \)
अतः दिए हुए समतल आपस में लम्बवत् हैं।
(c) दिए गए समतल,
\( 2x - 2y + 4z + 5 = 0 ...(1) \)
तथा \( 3x - 3y + 6z - 1 = 0 ...(2) \)
दिए गए समतल समान्तर हैं, क्योंकि \( \frac{2}{3} = \frac{-2}{-3} = \frac{4}{6} \)
\( \implies \)
\( \frac{2}{3} = \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \)
(d) दिए गए समतल
\( 2x - y + 3z - 1 = 0 ...(1) \)
तथा \( 2x - y + 3z + 3 = 0 ...(2) \)
दिए गए समतल समान्तर हैं, क्योंकि \( \frac{2}{2} = \frac{-1}{-1} = \frac{3}{3} \)
\( \implies \)
\( 1 = 1 = 1 \)
(e) दिए गए समतल,
\( 4x + 8y + z - 8 = 0 ...(1) \)
तथा \( 0 \cdot x + y + z - 4 = 0 ...(2) \)
(i) ये समतल समान्तर नहीं हैं, क्योंकि \( \frac{4}{0} \neq \frac{8}{1} \neq \frac{1}{1} \)
(ii) \( a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 4 \times 0 + 8 \times 1 + 1 \times 1 \)
\( = 0 + 8 + 1 = 9 \neq 0 \)
ये समतल लम्बवत् नहीं हैं।
यदि दोनों समतलों के बीच कोण \( \theta \) हो तो
\[ \cos \theta = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \]
\[ = \frac{4 \cdot 0 + 8 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{\sqrt{4^2 + 8^2 + 1^2} \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{8+1}{\sqrt{16 + 64 + 1}\sqrt{1 + 1}} \]
\[ = \frac{9}{\sqrt{81}\sqrt{2}} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
\( \implies \)
\( \theta = \frac{\pi}{4} = 45^\circ \)
अतः दोनों समतलों के बीच का कोण 45° है।
In simple words: This problem requires determining if pairs of given planes are parallel, perpendicular, or neither. If neither, the angle between them needs to be calculated. Parallelism is checked by the ratio of normal vector components, and perpendicularity by the dot product of their normal vectors being zero.

🎯 Exam Tip: Clearly recall the conditions for parallel and perpendicular planes using their normal vectors. For the angle, use the dot product formula `cos θ = (n1 · n2) / (|n1| |n2|)`. Remember to normalize the dashes.

Question 14. निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक दिए गए बिन्दु से दिए गए संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: हल- हम जानते है। कि बिन्दु \( (x_1, y_1, z_1) \) की समतल \( ax + by + cz + d = 0 \) से दूरी
\[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
होती है।
(a) बिन्दु (0, 0, 0) की समतल \( 3x - 4y + 12z = 3 \) से दूरी
\[ = \frac{|3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 12 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{3}{\sqrt{169}} = \frac{3}{13} \] इकाई
(b) बिन्दु (3, -2, 1) की समतल \( 2x - y + 2z + 3 = 0 \) से दूरी
\[ = \frac{|2 \cdot 3 - (-2) + 2 \cdot 1 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 2 + 2 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{13}{\sqrt{9}} = \frac{13}{3} \] इकाई
(c) बिन्दु (2, 3, -5) की समतल \( x + 2y - 2z - 9 = 0 \) से दूरी
\[ = \frac{|2 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-5) - 9|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 + 6 + 10 - 9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{9}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3 \] इकाई
(d) बिन्दु (-6, 0, 0) की समतल \( 2x - 3y + 6z - 2 = 0 \) से दूरी
\[ = \frac{|2 \cdot (-6) - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{|-12 - 2|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{14}{\sqrt{49}} = \frac{14}{7} = 2 \] इकाई
In simple words: This question asks to calculate the perpendicular distance from a given point to a given plane. The formula for the distance from a point \( (x_1, y_1, z_1) \) to a plane \( Ax + By + Cz + D = 0 \) is used.

🎯 Exam Tip: Memorize the distance formula for a point to a plane. Pay careful attention to signs and calculations, especially when evaluating the numerator and denominator.