UP Board Solutions Class 11 Economics Chapter 5 Measures of Central Tendency

पाठ्य-पुस्तक के प्रश्नोत्तर

Question 1. निम्नलिखित स्थितियों में कौन-सा औसत उपयुक्त होगा
(क) तैयार वस्त्रों के औसत आकार ।
Answer: बहुलक ।
(ख) एक कक्षा में छात्रों की औसत बौद्धिक प्रतिभा ।
Answer: मध्यिका ।
(ग) एक कारखाने में प्रति पाली औसत उत्पादन।
Answer: बहुलक या समान्तर माध्य।
(घ) एक कारखाने में औसत मजदूरी ।
Answer: बहुलक या समान्तर माध्य।
(ङ) जब औसत से निरपेक्ष विचलनों का योग न्यूनतम हो ।
Answer: समान्तर माध्य ।
(च) जब चरों की मात्रा अनुपात में हो।
Answer: मध्यिका ।
(छ) मुक्तांत बारम्बारता बंटन के मामले में।
Answer: मध्यिका
In simple words: This question asks for the most appropriate measure of central tendency (mean, median, or mode) for different real-world scenarios, helping to understand their practical applications.

🎯 Exam Tip: Understanding the characteristics of mean, median, and mode is crucial to determine their suitability in various data distribution scenarios.

 

Question 2. प्रत्येक प्रश्न में दिए गए बहुविकल्पों में से सर्वाधिक उचित विकल्प को चिह्नित करें
(i) गुणात्मक मापन के लिए सर्वाधिक उपयुक्त औसत है
(क) समान्तर माध्य।
(ख) मध्यिका
(ग) बहुलक
(घ) ज्यामितीय माध्य
(ङ) इनमें से कोई नहीं
Answer: (ख) मध्यिका ।
In simple words: For qualitative data, which cannot be numerically averaged, the median is often the most suitable central tendency measure as it represents the middle value in an ordered set.

🎯 Exam Tip: Remember that qualitative data deals with descriptions and categories, where direct mathematical averages like the mean might not be meaningful; the median offers a positional average.

 

(ii) चरंम मदों की उपस्थिति से कौन-सा औसत सर्वाधिक प्रभावित होता है
(क) मध्यिका
(ख) बहुलक
(ग) समान्तर माध्य
(घ) ज्यामितीय माध्य
(ङ) हरात्मक माध्ये
Answer: (ग) समान्तर माध्य ।
In simple words: The arithmetic mean is heavily influenced by extreme values (outliers) because it takes every value into account for its calculation.

🎯 Exam Tip: Outliers can significantly skew the mean, making it less representative of the typical data point, unlike the median or mode which are less affected.

 

(iii) समान्तर माध्य से मूल्यों के किसी समुच्चय के विचलन का बीजगणितीय योग है
(क) दें
(ग) 1
(घ) इनमें से कोई नहीं
Answer: (ग) 1
Answer:
(ग) 1
In simple words: The sum of the deviations of individual observations from their arithmetic mean is always zero, a fundamental property of the mean.

🎯 Exam Tip: This property is key in understanding the mean's role as the balance point of a dataset and is frequently tested in statistical theory.

 

Question 3. बताइए कि निम्नलिखित कथन सही हैं या गलत
(क) मध्यिका से मदों के विचलनों का योग शून्य होता है।
Answer: गलत ।
In simple words: The sum of absolute deviations from the median is minimum, but the sum of algebraic deviations from the mean is zero, not from the median.

🎯 Exam Tip: Distinguish between the properties of mean (sum of deviations is zero) and median (sum of absolute deviations is minimum); this is a common point of confusion.

 

श्रृंखलाओं की तुलना के लिए मौत्र औसत ही पर्याप्त नहीं है।
Answer: सही
In simple words: A single average value is often insufficient to fully compare different series; other statistical measures like dispersion are also needed for a complete picture.

🎯 Exam Tip: When comparing data sets, rely on a combination of central tendency measures (mean, median, mode) and dispersion measures (range, standard deviation) for robust analysis.

 

समान्तर माध्ये एक स्थैतिक मूल्य है।
Answer: गलत ।
In simple words: The arithmetic mean is not a static value; it changes if any observation in the dataset changes, making it a dynamic measure.

🎯 Exam Tip: The mean is a calculated value highly sensitive to individual data points, differentiating it from concepts that might imply fixed or unchangeable values.

 

उच्च चतुर्थक शीर्ष 25 प्रतिशत मदों का निम्नतम मान है।
Answer: सही ।
In simple words: The upper quartile (Q3) represents the value below which 75% of the data falls, meaning it is the minimum value of the top 25% of observations.

🎯 Exam Tip: Understand quartiles as dividing a dataset into four equal parts, with Q3 marking the boundary for the highest 25% of values.

 

मध्यिका चरम प्रेक्षणों द्वारा अनुचित रूप से प्रभावित होती है।
Answer: गलत ।
In simple words: The median is resistant to extreme values because it only considers the position of the data points, not their magnitude, making it a robust measure for skewed distributions.

🎯 Exam Tip: The median's insensitivity to outliers makes it a preferred measure of central tendency when dealing with skewed data or datasets containing extreme values.

 

Question 4. यदि नीचे दिए गए आँकड़ों का समान्तर माध्य 28 है तो
(क) लुप्त आवृत्ति का पता करें
(ख) श्रृंखला की मध्यिका ज्ञात करना

Answer:
(क) लुप्त आवृत्ति ज्ञात करना-

दिया है : \( \overline{X} = 28 \)
सूत्र \( \overline{X} = \frac{\Sigma fx}{\Sigma f} \) से,
\( 28 = \frac{2100+35A}{80 + A} \)
\( \implies \) \( 28 (80+ A) = 2100 + 35A \)
\( \implies \) \( 2240+28A = 2100+35A \)
\( \implies \) \( 28A-35A = 2100 - 2240 \)
\( \implies \) \( -7A = -140 \) or \( 7A = 140 \)
\( A = \frac{140}{7} = 20 \)
or \( A = 20 \)
(ख) श्रृंखला की मध्यिका ज्ञात करना

मध्यिका \( = \frac{100 + 1}{2} \) वाँ पद
\( = 50.5 \) वाँ पद (20-30 वर्गान्तराल)
मध्यिका \( = L_1 + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times i \)
यहाँ, \( L_1 = 20, \frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50, cf = 30, f = 27, i = 10 \)
मध्यिका \( = 20 + \frac{50-30}{27} \times 10 \)
\( = 20 + \frac{20 \times 10}{27} \)
\( = 20 + 7.41 \)
\( = 27.41 \)
लुप्त आवृत्ति A का मान 20 और मध्यिका का मान 27.41 है।
In simple words: This problem involves finding a missing frequency (A) in a frequency distribution given its mean, and then calculating the median for the complete data, demonstrating the application of formulas for grouped data.

🎯 Exam Tip: Be careful with algebraic manipulation when solving for the missing frequency; accuracy in calculations is vital for both parts of the problem.

 

Question 5. निम्नलिखित सूचना 150 परिवारों की दैनिक आय से सम्बद्ध है। समान्तर माध्य का परिकल कीजिए।

Answer:
हल :

सूत्र \( \overline{X} = \frac{\Sigma fx}{\Sigma f} \) से,
\( \overline{X} = \frac{17450}{150} = 116.33 \)
समान्तर माध्य \( = \text{Rs.} 116.33 \)
In simple words: This solution converts 'more than' type cumulative frequency data into a standard frequency distribution by determining class frequencies, calculates mid-points for each class, and then computes the arithmetic mean using the direct method formula.

🎯 Exam Tip: When dealing with 'more than' or 'less than' cumulative frequency distributions, the first step is always to convert them into exclusive class intervals with their corresponding frequencies.

 

Question 6. नीचे एक गाँव के 380 परिवारों की जोतों का आकार दिया गया है। जोत का मध्यिका आकार ज्ञात कीजिए ।

Answer:
हल :

मध्यिका वर्ग \( = \frac{N}{2} \) वाँ वर्ग
\( = \frac{380}{2} \) वाँ वर्ग
\( \implies \) \( 190 \) वाँ वर्ग
Or (200-300)
\( L_1 = 200, f = 148, cf = 129, i = 100 \)
सूत्र मध्यिका \( = L_1 + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times i \) से
मध्यिका \( = 200 + \frac{190-129}{148} \times 100 \)
\( = 200 + \frac{61 \times 100}{148} \)
\( = 200 + \frac{6100}{148} \) or \( 200 + 41.22 \)
\( = 241.22 \) एकड़
जोतों का मध्यिका आकार \( = 241.22 \) एकड़।
In simple words: To find the median landholding size, the cumulative frequency is first calculated to locate the median class, and then the median formula is applied using the lower limit, frequency, cumulative frequency of the preceding class, and class interval.

🎯 Exam Tip: Correctly identifying the median class and the values for \(L_1, cf, f,\) and \(i\) is paramount for accurate median calculation in grouped data.

 

Question 7. निम्नांकित श्रृंखला किसी कम्पनी में नियोजित मजदूरी की दैनिक आय से सम्बद्ध है। अभिकलन कीजिए
(क) निम्नतम 50 प्रतिशत मजदूरों की उच्चतम आय
(ख) शीर्ष 25 प्रतिशत मजदूरों द्वारा अर्जित न्यूनतम आय और
(ग) निम्नतम 25 प्रतिशत मजदूरों द्वारा अर्जित अधिकतम आय ।

Answer:
हल :

(क) निम्नतम 50 प्रतिशत मजदूरों की उच्चतम आय ज्ञात करने के लिए हमें मध्यिका का मान ज्ञात करना चाहिए
मध्यिका वर्ग \( = \frac{N}{2} \) वाँ वर्ग \( = \frac{65}{2} \) वाँ वर्ग \( = 32.5 \) वाँ वर्ग \( = 24.5 – 29.5 \)
\( L_1 = 24.5, f = 20, cf = 30, i = 5 \)
मध्यिका \( = L_1 + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times i \)
\( = 24.5 + \frac{32.5-30}{20} \times 5 \)
\( = 24.5 + \frac{2.5 \times 5}{20} \) or \( 24.5 + \frac{12.5}{20} \)
\( \implies \) \( 24.5 + 0.625 = 25.11 \)
निम्नतम 50 प्रतिशत मजदूरों की उच्चतम आय \( = \text{Rs.} 25.11 \)
(ख) उच्चतम 25 प्रतिशत श्रमिकों की न्यूनतम आय ज्ञात करने के लिए चतुर्थक Qj को ज्ञात करना चाहिए।
Q1 वर्गान्तराल \( = \frac{N}{4} \) वाँ पद \( = \frac{65}{4} \) वाँ पद \( = 16.25 \) वाँ पद
\( = 19.5-24.5 \)
\( L_1 = 19.5, f = 15, cf = 15, i = 5 \)
सूत्र, \( Q_1 = L_1 + \frac{\frac{N}{4} - cf}{f} \times i \) में मान रखने पर,
\( Q_1 = 19.5 + \frac{16.25-15}{15} \times 5 \)
\( = 19.5 + \frac{1.25 \times 5}{15} \) या \( 19.5 + \frac{6.25}{15} \)
\( = 19.5 + 0.42 \)
\( = 19.92 \)
उच्चतम 25 प्रतिशत श्रमिकों द्वारा अर्जित न्यूनतम आय \( = \text{Rs.} 19.92 \)
(ग) निम्नतम 25 प्रतिशत श्रमिकों की उच्चतम आय ज्ञात करने के लिए उच्च चतुर्थक Q3 ज्ञात करना चाहिए
Q3 वर्गान्तराल \( = \frac{3N}{4} \) वाँ पद \( \implies \frac{3 \times 65}{4} \) वाँ पद
\( \implies \frac{195}{4} \) वाँ पद \( \implies 48.75 \) वाँ पद \( = 24.5-29.5 \)
\( L_1 = 24.5, f = 20, cf = 30, i = 5 \)
सूत्र \( Q_3 = L_1 + \frac{\frac{3N}{4} - cf}{f} \times i \) में मान रखने पर,
\( Q_3 = 24.5 + \frac{3 \times \frac{65}{4} -30}{20} \times 5 \)
\( = 24.5 + \frac{48.75-30}{20} \times 5 \)
\( = 24.5 + 4.69 = 29.19 \)
निम्नतम 25 प्रतिशत मजदूरों द्वारा अर्जित अधिकतम आय \( = \text{Rs.} 29.19 \)
In simple words: This question requires calculating the median (Q2) for the top 50% income, Q1 for the lowest income of the top 25%, and Q3 for the highest income of the lowest 25% of workers after adjusting the class intervals to be continuous.

🎯 Exam Tip: Always adjust discontinuous class intervals to continuous ones before calculating median or quartiles, and ensure correct identification of \(N/2, N/4,\) and \(3N/4\) positions for their respective classes.

 

Question 8. निम्नांकित सारणी में किसी गाँव में 150 खेतों में गेहूं की प्रति हेक्टेयर पैदावार दी गई है। उत्पादित फसलों का समान्तर माध्य, मध्यिका तथा बहुलक परिकलित कीजिए
उत्पादित फसले (प्रति हेक्टे० किग्रा में): 50-53 53-56 56-59 59-62 62-65 65-68 68-71 71-74 74-77
खेतों की संख्या : 3 8 14 30 36 28 16 10 5
Answer:
हल :

सूत्र \( \overline{X} = A + \frac{\Sigma fd}{\Sigma f} \times i \) में मान रखने पर,
\( \overline{X} = 63.5 + \frac{16 \times 3}{150} \)
\( = 63.5 + \frac{48}{150} \) या \( 63.5 + 0.32 \)
\( = 63.82 \)
समान्तर माध्य \( = 63.83 \) किग्रा प्रति हेक्टेयर।
मध्यिका ज्ञात करने के लिए

मध्यिका वर्ग \( = \frac{N}{2} \) वाँ पद \( = \frac{150}{2} = 75 \) वाँ पद
\( = 62-65 \)
\( L_1 = 62, f = 36, cf = 55, i = 3 \)
सूत्र मध्यिका \( = L_1 + \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \times i \) में मान रखने पर,
मध्यिका \( = 62 + \frac{75-55}{36} \times 3 \)
\( = 62 + \frac{60}{36} \) या \( 62 + 1.67 \)
\( = 63.67 \)
मध्यिका \( = 63.67 \) किग्रा प्रति हेक्टेयर।
बहुलक ज्ञात करने के लिए निम्नांकित सँरणी बनाएँगे
समूहीकरण तालिका

विश्लेषण तालिका

बहुलक वर्ग \( = 62-65 \)
\( L = 62, D_1 = 36-30 = 6, D_2=36-28= 8 \)
सूत्र \( M_o = L + \frac{D_1}{D_1 + D_2} \times i \) में मान रखने पर,
\( M_o = 62 + \frac{6}{6+8} \times 3 \) या \( 62 + \frac{18}{14} \)
\( = 62 + 1.29 \)
\( = 63.29 \)
बहुलक \( = 63.29 \) किग्रा प्रति हेक्टेयर।
In simple words: This comprehensive problem requires calculating the mean using the short-cut method (step-deviation), the median after forming cumulative frequencies, and the mode using both grouping and analysis tables, followed by the mode formula for continuous series.

🎯 Exam Tip: For problems requiring all three measures of central tendency, organize your calculations carefully. Ensure correct class boundaries, mid-points, and cumulative frequencies, as small errors can propagate.

 

परीक्षोपयोगी प्रश्नोत्तर

बहुविकल्पीय प्रश्न

Question 1. समान्तर माध्य का दोष है
(क) इसे निकालते समय समूह के सभी पदों का प्रयोग होता है।
(ख) समूह के सभी पदों को उनके आकार के अनुपात में बाँट दिया जाता है।
(ग) यह निश्चित और सदा एक ही होता है।
(घ) इसकी गणना में असाधारण एवं सीमान्त मूल्य का अधिक प्रभाव रहता है।
Answer: (घ) इसकी गणना में असाधारण एवं सीमान्त मूल्य का अधिक प्रभाव रहता है।
In simple words: A major drawback of the arithmetic mean is its sensitivity to extreme values (outliers), which can distort the average and make it unrepresentative of the data.

🎯 Exam Tip: When analyzing data with potential outliers, consider using the median as it is less affected by extreme values than the mean.

 

Question 2. "समान्तर माध्य किसी वितरण का केन्द्रीय मूल्य है।" यह कथन है
(क) किंग का
(ख) मिल का
(ग) मेहता का
(घ) पीगू का
Answer: (ख) मिल की ।
In simple words: This statement attributes to Mill the definition of the arithmetic mean as the central value of a distribution.

🎯 Exam Tip: Knowing key definitions and their attributed statisticians can be useful for theoretical questions in the exam.

 

Question 3. समंकमाला के पदों के जोड़ में उनकी संख्या 6, 2, 5, 3 का भाग देने से जो मूल्य प्राप्त होता है वह कहलाता है।
(क) बहुलक
(ख) मध्यिका
(ग) समान्तर माध्य
(घ) कल्पित माध्य
Answer: (ग) समान्तर माध्य ।
In simple words: The process of summing all values in a dataset and dividing by the number of values yields the arithmetic mean.

🎯 Exam Tip: This question directly tests the definition of the arithmetic mean, emphasizing the sum-and-divide calculation method.

 

Question 4. बहुलक का गुण नहीं है
(क) कभी-कभी एक समूह में दो-या-दो से अधिक बहुलक भी हो सकते हैं।
(ख) गुणात्मक तथ्यों का भी बहुलक ज्ञात किया जा सकता है।
(ग) यह अति सीमान्त पदों से प्रभावित नहीं होता।
(घ) प्रर्तिदर्श के परिवर्तन के साथ बहुलक में परिवर्तन नहीं होता।
Answer: (क) कभी-कभी एक समूह में दो-या-दो से अधिक बहुलक भी हो सकते हैं।
In simple words: A characteristic that is NOT a property of the mode is that a dataset can have more than one mode (it can be bimodal or multimodal), which is a feature, not a drawback. The other options are properties of the mode.

🎯 Exam Tip: Understand that a dataset can have multiple modes, making the mode useful for identifying peaks in data distribution, but this also means it's not always a unique central value.

 

Question 5. "औसत वह संख्या है जो समस्त वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है।" कथन है
(क) प्रो० कॉनर का
(ख) प्रो० यूल का
(ग) बोडिंगटन का
(घ) क्लार्क का
Answer: (घ) क्लार्क को
In simple words: This statement defining an average as a representative number for the entire class of data is attributed to Clark.

🎯 Exam Tip: Familiarity with definitions by prominent statisticians helps in answering theoretical questions accurately.

 

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

Question 1. केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप किसे कहते हैं?
Answer: केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप एक ऐसा प्रतिरूपी मूल्य है जिसका प्रयोग श्रेणी के सभी मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।
In simple words: Measures of central tendency are statistical values that represent the central or typical value of a dataset.

🎯 Exam Tip: Remember that measures of central tendency aim to condense a large dataset into a single, representative figure.

 

Question 2. समांन्तर माध्य किसे कहते हैं?
Answer: समान्तर माध्ये वह मूल्य है जो किसी श्रेणी के समस्त पदों के मूल्य के योग में उनकी संख्या का भाग देने से प्राप्त होता है।
In simple words: The arithmetic mean is calculated by summing all observations in a dataset and dividing by the total count of those observations.

🎯 Exam Tip: The arithmetic mean is the most commonly used average, fundamental for many statistical calculations.

 

Question 3. समान्तर माध्य के दो गुण बताइए ।
Answer:
- इसमें बीजगणित का प्रयोग सम्भव है। दो-या-दो से अधिक श्रेणियों का सामूहिक औसत इनके अलग-अलग औसतों की सहायता से निकाला जा सकता है।
- समूह के सभी पदों को उनके आकार के अनुपात में बाँट दिया जाता है।
In simple words: The mean is suitable for algebraic manipulation and is based on all values, making it a comprehensive measure.

🎯 Exam Tip: These properties make the mean a powerful tool for advanced statistical analysis and combining datasets.

 

Question 4. समान्तर माध्य के दो दोष बताइए ।
Answer:
- समंकमाला की आकृति देखकर इसका अनुमान नहीं लगाया जा सकता।
- समंकमाला का कोई भी मूल्य ज्ञात न होने पर इसकी गणना नहीं की जा सकती ।
In simple words: The mean cannot be estimated visually from a graph and requires all values to be known for its calculation.

🎯 Exam Tip: Be aware that while the mean is mathematically robust, it has limitations in incomplete datasets or when visual estimation is needed.

 

Question 5. पद विचलन रीति में समान्तर माध्य निकालने का सूत्र लिखिए।
Answer: \( \overline{X} = A + \frac{\Sigma fdx}{N} \times i \)
In simple words: The formula for the arithmetic mean using the step-deviation method involves an assumed mean (A), the sum of frequencies multiplied by step-deviations (fdx), total observations (N), and the class interval (i).

🎯 Exam Tip: This formula is particularly useful for grouped data with large numbers and uniform class intervals, simplifying calculations.

 

Question 6. श्रेणी के प्रत्येक मूल्य को समान भार देने की दिशा में सरल व भारित समान्तर माध्या कैसे होते हैं?
Answer: बराबर ।
In simple words: When all values in a series are given equal weight, the simple arithmetic mean and the weighted arithmetic mean yield the same result.

🎯 Exam Tip: This equivalence highlights that the simple mean is a special case of the weighted mean where all weights are uniform.

 

Question 7. मध्यिका के दो गुण बताइए।
Answer:
- इसका निर्धारण निश्चित और शुद्ध होता है।
- गुणात्मक विशेषताओं का अध्ययन करने में यह अन्य माध्यों से श्रेष्ठ है।
In simple words: The median is a definite and precise measure, and it is superior to other averages for analyzing qualitative characteristics.

🎯 Exam Tip: The median's clarity and applicability to qualitative data make it a valuable tool in specific analytical contexts.

 

Question 8. मध्यिका की दो सीमाएँ बताइए ।
Answer:
- मध्यिका के पदों की संख्या से गुणा करने पर पदों का कुल योग मालूम नहीं होता ।
- इसे ज्ञात करने के लिए समस्त पदों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना पड़ता है।
In simple words: The median does not allow for easily calculating the sum of all values and requires arranging the data in order, which can be cumbersome for large datasets.

🎯 Exam Tip: While robust against outliers, the median's positional nature means it doesn't utilize all data points in its calculation, a key limitation.

 

Question 9. अविच्छिन्न श्रेणी में मध्यिका का सूत्र दीजिए ।
Answer: सर्वप्रथम
(i) \( m = \text{Size of } \frac{N}{2} \text{ th item} \) की सहायता से निकाला जाएगा। तत्पश्चात् यह सूत्र लगाया जाएगा \( M = L_1 + \frac{i}{f} (m -c) \)।
In simple words: For a continuous series, the median is first located by finding the \(N/2\)th item to identify the median class, and then a specific formula incorporating the lower limit, class interval, frequency, and cumulative frequency is used for precise calculation.

🎯 Exam Tip: Remember to calculate the cumulative frequencies first for continuous series before applying the median formula, as this is crucial for identifying the correct median class and preceding cumulative frequency.

 

Question 10. भूयिष्ठक का अर्थ एवं परिभाषा दीजिए ।
Answer: किसी भी समंकमाला में जो पद सबसे अधिक बार आता है अथवा जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है, वही बहुलक कहलाता है। काउडेन के शब्दों में “एक वितरण का बहुलक वह मूल्य है, जिसके निकट श्रेणी की इकाइयाँ अधिक-से-अधिक केन्द्रित होती हैं। उसे मूल्यों की श्रेणी का सबसे अधिक प्रतिरूपी माना जाता है।”
In simple words: The mode (भूयिष्ठक) is the value that appears most frequently in a dataset, representing the most common observation. Cowden defines it as the value around which data points tend to cluster most densely.

🎯 Exam Tip: The mode is most useful for categorical or discrete data and helps identify the most popular or common category/value within a distribution.

 

Question 11. बहुलक के दो गुण बताइए।
Answer:
- यह अति सीमान्त पदों से प्रभावित नहीं होता।
- कभी-कभी एक समूह में दो-या-दो से अधिक बहुलके भी हो सकते हैं।
In simple words: The mode is not affected by extreme values and a dataset can have multiple modes, showing several peaks in frequency.

🎯 Exam Tip: Its resistance to outliers makes the mode a good choice for skewed distributions, and multiple modes can reveal interesting patterns in the data.

 

Question 12. बहुलक के दो दोष बताइए।
Answer:
- सभी पदों पर आधारित न होने के कारण इसका बीजीय विवेचन सम्भव नहीं है।
- कभी-कभी एक समूह में दो-या-दो से अधिक बहुलक भी हो सकते हैं।
In simple words: The mode does not use all data points in its calculation, limiting its algebraic treatment, and a single dataset can have more than one mode, making it less unique.

🎯 Exam Tip: Be aware that the mode might not always represent the central tendency uniquely or reflect the entire dataset, unlike the mean.

 

Question 13. बहुलक के दो उपयोग बताइए । अथवा बहुलक का क्या व्यावहारिक प्रयोग है?
Answer:
- उद्योग व प्रशासन के क्षेत्र में इसकी सहायता से औसत उत्पादन ज्ञात किया जाता है तथा विभिन्न विभागों की कार्यक्षमता की तुलना की जाती है।
- मौसम सम्बन्धी पूर्वानुमानों में भी इसी का प्रयोग होता है।
In simple words: The mode is used in industry and administration to determine average production and compare departmental efficiency, and it is also applied in weather forecasting.

🎯 Exam Tip: Practical applications of the mode often involve identifying the most common or preferred item, size, or category, which is valuable in market research and quality control.

 

Question 14. अविच्छिन्न श्रेणी में बहुलक का सूत्र दीजिए ।
Answer:

लघु उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. केन्द्रीय प्रवृत्ति क्या है? परिभाषा लिखिए ।
Answer: केन्द्रीय प्रवृत्ति से आशय किसी सांख्यिकी श्रृंखला के केन्द्रीय मूल्य या प्रतिनिधि मूल्य से है। किसी भी मनुष्य के लिए आँकड़ों के एक बहुत बड़े समूह को समझना या अपनी स्मृति में रखना कठिन होता है। इसलिए वह ऐसे मूल्य का ज्ञान प्राप्त करना पसन्द करेगा जो किसी श्रेणी के सभी आँकड़ों की विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करता हो । इस प्रकार के मूल्य को 'केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप' अथवा औसत या माध्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए भारत के करोड़ों लोगों के आय सम्बन्धी आँकड़ों को समझना तथा याद रखना कठिन कार्य होगा परन्तु यदि यह कहा जाए कि वर्ष 2012 में भारत के लोगों की औसत आय Rs. 23,000 प्रतिवर्ष है तो हम सरलता से भारत के अधिकतर लोगों की आर्थिक स्थिति का अनुमान लगा सकेंगे। इस औसत मूल्य को ही श्रृंखला का केन्द्रीय माप कहा जाता है। इसे स्थिति सम्बन्धी माप भी कहते हैं। अतः केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप से आशय सांख्यिकीय विश्लेषण की उन विधियों से है जिनके द्वारा किसी श्रेणी के चर को ऐसा मूल्य अर्थात् औसत ज्ञात किया जाता है जो समस्त श्रेणी का प्रतिनिधित्व करता है।
1. क्रोक्सटन तथा काउडेन के अनुसार – “आँकड़ों के विस्तार के अन्तर्गत स्थित एक ऐसे मूल्य को जिसका प्रयोग श्रृंखला के सभी मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, औसत कहा जाता है। चूंकि औसत श्रृंखला के विस्तार के अन्तर्गत स्थित होता है इसलिए इसे केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप भी कहा जाता है।
2. क्लार्क के अनुसार – “औसत वह संख्या है जो समस्त वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है।”
In simple words: Measures of central tendency are single values that represent the center or typical value of a dataset, summarizing its characteristics. They are used to simplify large datasets for easier understanding and are defined by statisticians like Croxton & Cowden and Clark.

🎯 Exam Tip: Understanding the conceptual meaning of central tendency, along with its purpose and examples, is crucial for both theoretical and practical applications in statistics.

 

Question 2. मध्यिका का अर्थ व गुण बताइए ।
Answer: मध्यिका का अर्थ-मध्यिका आरोही अथवा अवरोही क्रम में अनुविन्यसित समंकमाला के विभिन्न पदों के मध्य का मूल्य होती है और वह समंकमाला को दो भागों में इस प्रकार बाँटती है कि उसके एक ओर के सभी पद उससे कम मूल्य के तथा दूसरी ओर के सब पद उससे अधिक मूल्य के होते हैं।
मध्यिका के गुण – मध्यिका के प्रमुख गुण निम्नलिखित हैं
- यह बहुत सरल है और इसको बड़ी सुगमता से समझा जा सकता है।
- इसका निर्धारण निश्चित और शुद्ध होता है।
- इसे पदों की कुल संख्या मात्र से ज्ञात किया जा सकता है।
- मध्यिका को बिन्दु रेखाओं द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।
- मध्यिका पर चर मूल्यों का कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
- मध्य विचलन की गणना में मध्यिका का और अधिक बीजीय विवेचन सम्भव है।
- गुणात्मक विशेषताओं को अध्ययन करने में यह अन्य माध्यों से श्रेष्ठ है।
- मध्यिका से पदों के विचलनों का योग अन्य किसी भी विधि से निकाले गए विचलनों के योग से कम होता है।
In simple words: The median is the middle value in an ordered dataset, dividing it into two equal halves. Its advantages include being easy to understand, definite, unaffected by extreme values, and useful for qualitative data.

🎯 Exam Tip: Focus on the median's robustness against outliers and its suitability for skewed distributions, as these are its most significant advantages over the mean.

 

Question 3. मध्यिका के प्रमुख दोष बताइए। मध्यिका के क्या उपयोग हैं?
Answer: मध्यिका के प्रमुख दोष निम्नलिखित हैं
- मध्यिका के पदों की संख्या से गुणा करने पर पदों का कुल योग मालूम नहीं होता।
- यदि पदों के विस्तार में असाधारण भिन्नता हो तो यह भ्रामक निष्कर्ष देती है।
- इसे ज्ञात करने के लिए समस्त पदों को आरोही (ascending) या अवरोही (descending) क्रम में व्यवस्थित करना पड़ता है।
- इसको ज्ञात करने के लिए समस्त समंकों का प्रयोग नहीं होता।
- यदि मध्यपद दो वर्गों के बीच आता है तो मध्यिका को ठीक-ठीक ज्ञात करना कठिन हो जाता है।
- सरल गणितीय सूत्र से इसका अनुमान नहीं लगाया जा सकता।
- यदि पदों की संख्या सम (even) है तो मध्यिका वास्तविक मूल्य नहीं होता।
- यदि पदों की संख्या कम हो या मध्य पद के ऊपर अथवा नीचे पदों का फैलाव अनियमित हो तो मध्यिका एक प्रतिनिधि माप नहीं रहता।
मध्यिका के उपयोग – मध्यिका समझने में सरल है; अतः व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए इसका बहुत अधिक उपयोग होता है। इसके द्वारा गुणात्मक तथ्यों जैसे-बुद्धिमत्ता, स्वास्थ्य आदि; का भी अध्ययन : किया जा सकता है। इसी कारण सामाजिक समस्याओं के विश्लेषण में यह अत्यधिक उपयोगी है। यही उन दशाओं में अधिक उपयोगी है, जहाँ अति सीमान्त पदों को महत्त्व नहीं दिया जाता अथवा वितरण विषम होता है।
In simple words: The median's drawbacks include not directly providing the sum of values, needing data arrangement, and being difficult to compute accurately in certain grouped data scenarios. However, its uses include ease of understanding, applicability to qualitative data, and suitability for skewed distributions, particularly in social studies.

🎯 Exam Tip: When discussing the median, remember to balance its advantages (robustness, ease) with its limitations (algebraic treatment, data ordering) and specific use cases where it shines.

लघु उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. केन्द्रीय प्रवृत्ति क्या है? परिभाषा लिखिए ।
Answer: केन्द्रीय प्रवृत्ति से आशय किसी सांख्यिकी श्रृंखला के केन्द्रीय मूल्य या प्रतिनिधि मूल्य से है। किसी भी मनुष्य के लिए आँकड़ों के एक बहुत बड़े समूह को समझना या अपनी स्मृति में रखना कठिन होता है। इसलिए वह ऐसे मूल्य का ज्ञान प्राप्त करना पसन्द करेगा जो किसी श्रेणी के सभी आँकड़ों की विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करता हो । इस प्रकार के मूल्य को 'केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप' अथवा औसत या माध्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए भारत के करोड़ों लोगों के आय सम्बन्धी आँकड़ों को समझना तथा याद रखना कठिन कार्य होगा परन्तु यदि यह कहा जाए कि वर्ष 2012 में भारत के लोगों की औसत आय Rs. 23,000 प्रतिवर्ष है तो हम सरलता से भारत के अधिकतर लोगों की आर्थिक स्थिति का अनुमान लगा सकेंगे। इस औसत मूल्य को ही श्रृंखला का केन्द्रीय माप कहा जाता है। इसे स्थिति सम्बन्धी माप भी कहते हैं। अतः केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप से आशय सांख्यिकीय विश्लेषण की उन विधियों से है जिनके द्वारा किसी श्रेणी के चर को ऐसा मूल्य अर्थात् औसत ज्ञात किया जाता है जो समस्त श्रेणी का प्रतिनिधित्व करता है।
1. क्रोक्सटन तथा काउडेन के अनुसार - “आँकड़ों के विस्तार के अन्तर्गत स्थित एक ऐसे मूल्य को जिसका प्रयोग श्रृंखला के सभी मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, औसत कहा जाता है। चूंकि औसत श्रृंखला के विस्तार के अन्तर्गत स्थित होता है इसलिए इसे केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप भी कहा जाता है।
2. क्लार्क के अनुसार - “औसत वह संख्या है जो समस्त वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है।”
In simple words: Central tendency refers to a representative value that describes the entire statistical series. It helps simplify large datasets into a single, understandable value, allowing for easier analysis of economic or social situations.

🎯 Exam Tip: Understanding the core definition and the purpose of central tendency is crucial. Remember to cite definitions from recognized economists when asked.

 

Question 2. मध्यिका का अर्थ व गुण बताइए ।
Answer: मध्यिका का अर्थ-मध्यिका आरोही अथवा अवरोही क्रम में अनुविन्यसित समंकमाला के विभिन्न पदों के मध्य का मूल्य होती है और वह समंकमाला को दो भागों में इस प्रकार बाँटती है कि उसके एक ओर के सभी पद उससे कम मूल्य के तथा दूसरी ओर के सब पद उससे अधिक मूल्य के होते हैं।
मध्यिका के गुण – मध्यिका के प्रमुख गुण निम्नलिखित हैं
• यह बहुत सरल है और इसको बड़ी सुगमता से समझा जा सकता है।
• इसका निर्धारण निश्चित और शुद्ध होता है।
• इसे पदों की कुल संख्या मात्र से ज्ञात किया जा सकता है।
• मध्यिका को बिन्दु रेखाओं द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।
• मध्यिका पर चर मूल्यों का कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
• माध्य विचलन की गणना में मध्यिका का और अधिक बीजीय विवेचन सम्भव है।
• गुणात्मक विशेषताओं को अध्ययन करने में यह अन्य माध्यों से श्रेष्ठ है।
• मध्यिका से पदों के विचलनों का योग अन्य किसी भी विधि से निकाले गए विचलनों के योग से कम होता है।
In simple words: The median is the middle value in a dataset when it's arranged in order, dividing the data into two equal halves. It is simple to understand, unaffected by extreme values, and has a clear, precise determination.

🎯 Exam Tip: When listing properties, ensure you include both its simplicity and its robustness against outliers. These are key advantages.

 

Question 3. मध्यिका के प्रमुख दोष बताइए। मध्यिका के क्या उपयोग हैं?
Answer: मध्यिका के प्रमुख दोष निम्नलिखित हैं
• मध्यिका के पदों की संख्या से गुणा करने पर पदों का कुल योग मालूम नहीं होता।
• यदि पदों के विस्तार में असाधारण भिन्नता हो तो यह भ्रामक निष्कर्ष देती है।
• इसे ज्ञात करने के लिए समस्त पदों को आरोही (ascending) या अवरोही (descending) क्रम में व्यवस्थित करना पड़ता है।
• इसको ज्ञात करने के लिए समस्त समंकों का प्रयोग नहीं होता।
• यदि मध्यपद दो वर्गों के बीच आता है तो मध्यिका को ठीक-ठीक ज्ञात करना कठिन हो जाता है।
• सरल गणितीय सूत्र से इसका अनुमान नहीं लगाया जा सकता।
• यदि पदों की संख्या सम (even) है तो मध्यिका वास्तविक मूल्य नहीं होता।
• यदि पदों की संख्या कम हो या मध्य पद के ऊपर अथवा नीचे पदों का फैलाव अनियमित हो तो मध्यिका एक प्रतिनिधि माप नहीं रहता।
मध्यिका के उपयोग – मध्यिका समझने में सरल है; अतः व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए इसका बहुत अधिक उपयोग होता है। इसके द्वारा गुणात्मक तथ्यों जैसे-बुद्धिमत्ता, स्वास्थ्य आदि; का भी अध्ययन : किया जा सकता है। इसी कारण सामाजिक समस्याओं के विश्लेषण में यह अत्यधिक उपयोगी है। यही उन दशाओं में अधिक उपयोगी है, जहाँ अति सीमान्त पदों को महत्त्व नहीं दिया जाता अथवा वितरण विषम होता है।
In simple words: The median's drawbacks include not utilizing all data points for calculation and requiring data to be sorted. However, its uses include analyzing qualitative data and situations with extreme values, making it practical for social studies where skewed distributions are common.

🎯 Exam Tip: Differentiate between its theoretical limitations (e.g., not using all data) and practical advantages (e.g., for qualitative data). This shows a deeper understanding.

 

Question 4. बहुलक क्या है? बहुलक के गुण बताइए ।
Answer: बहुलक का अर्थ-बहुलक वह मूल्य है जो समंकमाला में सबसे अधिक बार आता है अथवा जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है, वही बहुलक कहलाता है। बहुलक के गुण-बहुलक के प्रमुख गुण निम्नलिखित हैं
• यह एक सरल एवं लोकप्रिय माध्य है। कुछ दशाओं में तो यह केवल निरीक्षण द्वारा ही ज्ञात किया जा सकता है।
• इसका मूल्य रेखाचित्र द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है।
• यह वितरण में सर्वाधिक सम्भावित मूल्य होता है।
• गुणात्मक तथ्यों का भी बहुलक ज्ञात किया जा सकता है।
• यह अति सीमान्त पदों से प्रभावित नहीं होता।
• यह श्रेणी के एक महत्त्वपूर्ण भाग का वास्तविक मूल्य होता है।
• यह समूह की सर्वोत्तम प्रतिनिधि होता है।
• प्रतिदर्श के परिवर्तन के साथ बहुलक में परिवर्तन नहीं होता।
In simple words: Mode is the value that appears most frequently in a dataset. Its advantages include being simple to find, unaffected by extreme values, and useful for qualitative data, making it a good representative of the most common occurrence.

🎯 Exam Tip: Focus on its primary characteristic - frequency. Mentioning its utility for qualitative data and its insensitivity to outliers are key scoring points.

 

Question 5. बहुलक के दोष बताइए। इसके क्या उपयोग हैं?
Answer: बहुलक के दोष-बहुलक के प्रमुख दोष निम्नलिखित हैं-
• यदि श्रेणी के सभी पदों की आवृत्तियाँ समान हैं तो बहुलक का निर्धारण नहीं किया जा सकता।
• कभी-कभी एक समूह में दो-या-दो से अधिक बहुलक भी हो सकते हैं।
• यदि श्रेणी का वितरण अनियमित है तो इसे शुद्ध रूप में नहीं निकाला जा सकता।
• यह चरम सीमाओं की उपेक्षा करता है जो कि गणितीय दृष्टि से उचित नहीं है।
• सभी पदों पर आधारित न होने के कारण इसका बीजीय विवेचन सम्भव नहीं है।
• यह श्रेणी का पूर्ण रूप से प्रतिनिधित्व नहीं करता।
• वर्ग विस्तार में परिवर्तन कर देने पर बहुलक भी बदल जाएगा।
बहुलक के उपयोग - उपर्युक्त दोषों के बावजूद दैनिक जीवन तथा व्यापारिक क्षेत्र में बहुलक का बहुत अधिक उपयोग किया जाता है। यह शीघ्रता व सरलता से समझ में आ जाता है, इसलिए व्यावसायिक जीवन में इसका प्रयोग दिन-प्रतिदिन बढ़ता जा रहा है। व्यापारिक पूर्वानुमानों में यह एक महत्त्वपूर्ण पथ-प्रदर्शक है। उद्योग व प्रशासन के क्षेत्र में इसकी सहायता से औसत उत्पादन ज्ञात किया जाता है तथा विभिन्न विभागों की कार्यक्षमता की तुलना की जाती है। किसी वस्तु के उत्पादन में उसकी लागत का अनुमान बहुलक समय के निर्धारण द्वारा आसानी से लगाया जा सकता है। विभिन्न वस्तुओं की लोकप्रियत का अध्ययन बहुलक द्वारा ही किया जाता है। मौसम सम्बन्धी पूर्वानुमानों में भी इसी का प्रयोग होता है।
In simple words: The mode's disadvantages include potential ambiguity (multiple modes) and unsuitability for irregular distributions. However, it's widely used in business for forecasting, production planning, and assessing product popularity due to its ease of understanding and quick determination.

🎯 Exam Tip: When describing defects, highlight situations where the mode is indeterminate or misleading. For uses, focus on practical applications where the most frequent value is significant.

 

Question 6. एक आदर्श माध्य के गुण बताइए ।
Answer: एक आदर्श माध्य के गुण
• माध्य स्पष्ट तथा स्थिर होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, माध्य श्रेणी के न्यूनतम तथा अधिकतम मूल्यों से कम-से-कम प्रभावित होना चाहिए ।
• माध्य समग्र का प्रतिनिधि होना चाहिए।
• माध्य निकालने तथा समझने में सरल होना चाहिए।
• वह समंकमाला के समस्त पदों पर आधारित होना चाहिए।
• वह सीमान्त पदों को समुचित महत्त्व देता हो।
• उस पर संख्याओं के परिवर्तन का कम-से-कम प्रभाव पड़ना चाहिए।
• वह एक निरपेक्ष संख्या होनी चाहिए। दूसरे शब्दों में, वह प्रतिशत में या अन्य कोई सापेक्ष रीति में व्यक्त नहीं होनी चाहिए ।
• वह एक निश्चित संख्या होनी चाहिए।
• उसका प्रयोग अंकगणितीय व बीजगणितीय विधियों द्वारा किया जा सके।
In simple words: An ideal average should be clearly defined, stable against extreme values, representative of the entire data, easy to calculate and understand, based on all observations, and capable of algebraic manipulation for further analysis.

🎯 Exam Tip: Emphasize objectivity, representativeness, mathematical tractability, and stability as primary characteristics of an ideal average.

 

Question 7. सरल व भारित समान्तर माध्य की तुलना कीजिए ।
Answer: सरल व भारित समान्तर माध्य की तुलना
1. श्रेणी के प्रत्येक मूल्य को समान भार देने की दशा में सरल व भारित समान्तर माध्य बराबर होते हैं।
\[ \overline { X } = \overline { X }w \]
2. जब श्रेणी के छोटे मूल्यों को अधिक भार और बड़े मूल्यों को कम भार दिया जाता है, तब सरल समान्तर माध्य भारित समान्तर माध्य से अधिक होता है।
\[ \overline { X } > \overline { X }w \]
3. जब श्रेणी के छोटे मूल्यों को कम भार तथा बड़े मूल्यों को अधिक भार दिया जाता है, तब सरल समान्तर माध्य भारित समान्तर माध्य से कम होता है।
\[ \overline { X } < \overline { X }w \]
In simple words: Simple arithmetic mean treats all values equally, while a weighted arithmetic mean assigns different importance (weights) to different values. They are equal if all weights are the same. If smaller values are weighted more, the simple mean will be greater than the weighted mean, and vice-versa.

🎯 Exam Tip: The key distinction lies in the 'weight' assigned to each observation. Clearly explaining the scenarios where one mean is greater or less than the other is important.

 

Question 8. समान्तर माध्य, मध्यिका एवं बहुलक में परस्पर सम्बन्ध दर्शाइए ।
Answer: समान्तर माध्य (\( \overline { X } \)), मध्यिका (M) तथा बहुलक (Z) में सम्बन्ध आवृत्ति वितरण की प्रकृति पर निर्भर करता है। आवृत्ति वितरण दो प्रकार का होता है
1. सममित आवृत्ति वितरण - इस स्थिति में X, M तथा Z के मूल्य एक-दूसरे के समान होते हैं
\[ \overline { X } = M = Z \]
2. असममितीर्य आवृत्ति वितरण - इस स्थिति में (X - Z) सामान्यतः 3(X - M) के बराबर होते हैं अर्थात्
\[ ( \overline { X } - Z) = 3( \overline { X } - M) \]
In simple words: The relationship between mean, median, and mode depends on the distribution's symmetry. In a symmetrical distribution, all three are equal. In an asymmetrical (skewed) distribution, they differ, following an empirical relationship where (Mean - Mode) is approximately three times (Mean - Median).

🎯 Exam Tip: This question requires knowledge of both symmetric and asymmetric distributions. Remembering the empirical relationship for skewed distributions (Mean-Mode = 3(Mean-Median)) is vital.

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. समान्तर माध्य किसे कहते हैं? समान्तर माध्य के गुण-दोषों की व्याख्या कीजिए।
Answer: समान्तर माध्य का अर्थ
समान्तर माध्य (Arithmetic Mean) केन्द्रीय प्रवृत्ति का सबसे सरल एवं लोकप्रिय माप है। सामान्यतः औसत शब्द का प्रयोग इसी माध्य के लिए किया जाता है। यह सभी माध्यों में उत्तम माना जाता है। इसको इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है-"किसी भी श्रेणी के समस्त पदों के मूल्य के योग में उनकी संख्या का भाग देने से समान्तर मध्य प्राप्त होता है।"
साधारण शब्दों में, समंकमाला के पदों के जोड़ में उनकी संख्या का भाग देने से जो राशि प्राप्त होती है, उसे माध्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
किंग के अनुसार-"किसी श्रेणी के पदों के मूल्यों के योग में उनकी संख्या का भाग देने से जो मूल्य प्राप्त होता है, उसे समान्तर माध्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।" मिल के अनुसार-"समान्तर माध्य किसी वितरण का केन्द्रीय मूल्य है।"
समान्तर माध्य के गुण
• इसका अर्थ एक सामान्य व्यक्ति के लिए भी समझना आसान है।
• उपलब्ध आँकड़ों की सहायता से इसकी गणना बहुत सरल है।
• इसमें बीजगणित का प्रयोग सम्भव है। दो-या-दो से अधिक श्रेणियों का सामूहिक औसत इनके अलग-अलग औसतों की सहायता से निकाला जा सकता है।
• इसे निकालते समय समूह के सभी पदों का प्रयोग होता है।
• समूह के सभी पदों को उनके आकार के अनुपात में बाँट दिया जाता हैं।
• यह निश्चित और संदा एक ही होता है।
• तुलनात्मक अध्ययन के लिए यह अधिक लोकप्रिय है।
समान्तर माध्य के दोष
• समंकमाला में समान्तर माध्य हो, यह आवश्यक नहीं है।
• समंकमाला की आकृति देखकर इसका अनुमान नहीं लगाया जा सकता।
• इसकी गणना में असाधारण एवं सीमान्त मूल्य का अधिक प्रभाव रहता है।
• समंकमाला का कोई भी मूल्य ज्ञात न होने पर इसकी गणना नहीं की जा सकती।
• गुणात्मक सामग्री के लिए इसका प्रयोग नहीं किया जा सकता।
• इसे लेखाचित्र द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता।
• अनुपात वे दर आदि के अध्ययन के लिए यह अनुपयुक्त है।
उपर्युक्त दोषों के होते हुए भी इसका प्रयोग सामाजिक तथा आर्थिक समस्याओं के अध्ययन में किया जाता है।
In simple words: The arithmetic mean is the sum of all values divided by the number of values, making it easy to understand and calculate. Its benefits include using all data points and being suitable for algebraic operations, but its drawbacks are sensitivity to extreme values and sometimes not being a good representative for skewed data.

🎯 Exam Tip: When discussing merits, focus on its comprehensiveness (uses all data) and mathematical properties. For demerits, emphasize its susceptibility to outliers, which can distort its representativeness.

 

Question 2. सरल समान्तर माध्य की गणना प्रक्रिया को उदाहरण सहित समझाइए ।
Answer: सरल समान्तर माध्य की गणन क्रिया सरल समान्तर माध्य की गणना तीन प्रकार से करते हैं
(1) व्यक्तिगत श्रेणी,
(II) खण्डित श्रेणी एवं
(III) अविच्छिन्न श्रेणी ।
(1) व्यक्तिगत श्रेणी
व्यक्तिगत श्रेणी द्वारा समान्तर माध्य निकालने की दो रीतियाँ हैं
(अ) प्रत्यक्ष रीति तथा
(ब) लघु रीति ।
(अ) प्रत्यक्ष रीति - इस रीति में श्रेणी के सभी पदों का योग करने के बाद उनको पदों की संख्या से भाग दिया जाता है।
सूत्र रूप में, \( \overline { X } = \frac { \Sigma X }{ N } \) यहाँ, \( \overline { X } \) = समान्तर माध्य ∑X = पद मूल्यों का योग N = पदों की संख्या
गणन क्रिया -
• पद मूल्यों का योग (∑X) ज्ञात करते हैं।
• पद संख्या (N) ज्ञात करते हैं।
• पद मूल्यों के योग में पद संख्या (N) का भाग देते हैं। परिणाम समान्तर माध्य होता है।
(ब) लघु रीति - इस रीति में गणन क्रिया निम्नलिखित प्रकार से की जाती है
• किसी संख्या को कल्पित माध्य (A) मान लेते हैं।
• कल्पित माध्य (A) की पद मूल्यों (X) से तुलना करके विचलन मालूम करते हैं d = X-A
• विचलनों (d) का योग (d) ज्ञात करते हैं।
• पदों की संख्या (N) ज्ञात करते हैं। फिर निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करते हैं \( \overline { X } = A + \frac { \Sigma d }{ N } \)
उदाहरण 1. 15 पदों का आकार निम्नलिखित है। प्रत्यक्ष व लघु रीति द्वारा समान्तर माध्य का परिकलन कीजिए।
रोल नं० : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
प्राप्तांक : 30 28 32 12 18 20 25 15 26 14
हल :
प्रत्यक्ष रीति- \[ \overline { X } = \frac { \Sigma X }{ N } \] \[ = \frac { 220 }{ 10 } \] \[ = 22 \]
समान्तर माध्य = 22
लघु रीति- \[ \overline { X } = A + \frac { \Sigma d }{ N } \] \[ = 20 + \frac { 20 }{ 10 } \] \[ = 20 + 2 \] \[ = 22 \]
समान्तर माध्य = 22
(II) खण्डित श्रेणी
खण्डित श्रेणी द्वारा समान्तर माध्य निकालने की दो रीतियाँ हैं
(अ) प्रत्यक्ष रीति तथा
(ब) लघु रीति ।
(अ) प्रत्यक्ष रीति - इस रीति में गणन क्रिया निम्नलिखित प्रकार से की जाती है-
• पद मूल्यों (X) और आवृत्ति (f) का गुणा करते हैं (X × f)
• गुणनफलों (f × X) का योग ज्ञात करते हैं (∑fX)
• आवृत्तियों का योग (∑f) या (N) ज्ञात करते हैं।
• निम्नांकित सूत्र का प्रयोग करते हैं
\[ \overline { X } = \frac { \Sigma fX }{ N } \]
उदाहरण 2. प्रति परिवार जन्म लेने वाले औसत बच्चों की संख्या ज्ञात कीजिए-
बच्चे : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
परिवार : 96 108 154 126 95 62 45 20 11 6 5 5 1 1
हल :
\[ \overline { X } = \frac { \Sigma fX }{ N } \] \[ = \frac { 2166 }{ 735 } \] \[ = 2.95 = 3 \text{ बच्चे} \]
\( \overline { X } = 3 \text{ app.} \)
(ब) लघु रीति - इस रीति में गणन क्रिया निम्नलिखित प्रकार से की जाती है
• मूल्यों में से किसी एक को कल्पित माध्य (A) मान लेते हैं।
• कल्पित माध्य (A) से श्रेणी प्रत्यक्ष मूल्य का विचलन (dx) निकालते हैं d = (x - A)
• विचलनों को उनकी आवृत्तियों से गुणा करते हैं-(d × f)
• इन गुणनफलों का योग निकालते हैं। अन्त में निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करते हैं \( \overline { X } = A + \frac { \Sigma fd }{ N } \)
उदाहरण 3. निम्नलिखित समंकों में से प्रत्यक्ष व लघु रीति द्वारा समान्तर माध्य परिकलित कीजिए
काल संख्या : 0 1 2 3 4 5, 6 7
आवृत्ति : 14 21 25 43 51 40 39 12
हल :
प्रत्यक्ष रीति- \[ \overline { X } = \frac { \Sigma Xf }{ N } \] \[ = \frac { 922 }{ 245 } \] \[ = 3.76 \]
\( \overline { X } = 3.76 \)
लघु रीति- \[ \overline { X } = A + \frac { \Sigma fd }{ N } \] \[ = 3 + \frac { 187 }{ 245 } \] \[ = 3 + 0.76 \] \[ = 3.76 \]
\( \overline { X } = 3.76 \)
(III) अविच्छिन्न श्रेणी
इसमें सर्वप्रथम श्रेणी में वर्गों के मध्यमान (X) ज्ञात किए जाते हैं। समान्तर मध्य ज्ञात करने की मुख्य रीतियाँ निम्नलिखित हैं-
(अ) प्रत्यक्ष रीति - सर्वप्रथम वर्गों के मध्य मूल्य (M.V.) निकाले जाते हैं। इसके बाद वही क्रिया अपनाई जाती है, जो खण्डित श्रेणी में प्रयुक्त की जाती है।
(ब) लघु रीति - इसके अन्तर्गत सर्वप्रथम वर्गों के मध्य मूल्य ज्ञात किए जाते हैं। फिर वही क्रिया अपनाई जाती है, जो खण्डित श्रेणी में प्रयुक्त की जाती है।
उदाहरण 4. निम्नलिखित समंकों से समान्तर मध्य ज्ञात कीजिए
हल :
\[ \overline { X } = \frac { \Sigma fx }{ N } \] \[ = \frac { 431.5 }{ 35 } \] \[ = 12.33 \]
\( \overline { X } = 12.33 \)
उदाहरण 5. निम्नांकित सारणी में प्रत्यक्ष व लघु रीति द्वारा समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए
प्राप्तांक : 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50
विद्यार्थियों की संख्या : 10 12 20 18 10
हल :
प्रत्यक्ष रीति- \[ \overline { X } = \frac { \Sigma fX }{ N } \] \[ = \frac { 1810 }{ 70 } \] \[ = 25.86 \]
\( \overline { X } = 25.86 \)
लघु रीति- \[ \overline { X } = A + \frac { \Sigma fd }{ N } \] \[ = 25 + \frac { 60 }{ 70 } \] \[ = 25.86 \]
\( \overline { X } = 25.86 \)
(स) पद विचलन रीति - गणन क्रिया निम्नलिखित प्रकार से की जाती है
(i) सर्वप्रथम सभी वर्गान्तरों के मध्य बिन्दु ज्ञात करते हैं। (ii) मध्य बिन्दुओं में से किसी एक को कल्पित माध्य (A) मान लेते हैं। (iii) कल्पित माध्य (A) में से प्रत्येक मध्य मूल्य के विचलन ज्ञात करते हैं। (iv) विचलनों में वर्ग विस्तार से भाग देकर पद विचलन ज्ञात करते हैं। (d') (v) पद विचलन की आवृत्तियों से गुणा करके गुणनफलों का योग कर लेते हैं (∑fd') और इस योग में N से भाग देते हैं। (vi) निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करते हैं \( \overline { X } = A + \frac { \Sigma fd' }{ N } \times i \)
उदाहरण 6. निम्नांकित सारणी में पद विचलन रीति द्वारा समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए-
प्राप्तांक : 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80
विद्यार्थियों की सं० : 25 15 20 15 20 30 65 50
हल :
\[ \overline { X } = A + \frac { \Sigma fd' }{ N } \times i \] \[ = 45 + \frac { 110 }{ 240 } \times 10 \] \[ = 45 + \frac { 1100 }{ 240 } \] \[ = 45 + 4.58 \] \[ = 49.58 \text{ marks} \]
In simple words: The calculation of the simple arithmetic mean varies based on data type: individual series (direct sum or assumed mean deviation), discrete series (frequency weighted sum or deviation), and continuous series (mid-point calculation followed by frequency weighted sum or step-deviation). Each method provides the average value, adapting to the data structure.

🎯 Exam Tip: When solving problems for different series types, ensure you correctly identify the type and apply the corresponding formula. Pay close attention to mid-point calculation for continuous series and frequency multiplication for discrete and continuous series.

 

Question 3. भारित समान्तर माध्य से क्या आशय है? इसकी गणना विधि समझाइए । उपयुक्त उदाहरण भी दीजिए।
Answer: भारितसमान्तर माध्य
जब माध्य निकालते समय कुछ पदों को अन्य पदों की अपेक्षा अधिक महत्त्व दिया जाता है तो उसे 'भार' कहते हैं और वह माध्य भारित माध्य कहलाता है।
बोडिंगटन के शब्दों में - “भारित माध्य वह है, जिसे निकालने के लिए प्रत्येक पद को भार से गुणा किया जाता है और इस प्रकार प्राप्त की गई संख्याओं को जोड़कर भार के योग से भाग दे दिया जाता है।”
भारित समान्तर माध्य की गणना करना - भारित समान्तर माध्य की गणन क्रिया निम्नलिखित प्रकार से की जाती है
प्रत्यक्ष रीति-
• श्रेणी के प्रत्येक पद को उसके महत्त्व के अनुसार भार प्रदान किया जाता है।
• श्रेणी के मूल्यों तथा उनके तत्सम्बन्धी भारों की गुणा की जाती है तथा इनका योग निकाल लिया जाता है।
• इस योग को भारों के योग से विभाजित कर दिया जाता है।
• अन्त में निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग किया जाता है \( \overline { X }w = \frac { \Sigma XW }{ \Sigma W } \)
यहाँ, \( \overline { X }w \) = भारित समान्तर माध्य ΣXW = मूल्य व भारों के गुणनफलों का योग ΣW = भारों का योग
लघु रीति -
• श्रेणी के प्रत्येक पद को उसके महत्त्व के अनुसार भार प्रदान किया जाता है।
• काल्पनिक भारित माध्य मानकरे मूल्यों से विचलन लिए जाते हैं।
• विचलनों तथा तत्सम्बन्धी भारों के गुणनफल का योग ज्ञात किया जाता है।
• अन्त में इस योग को भारों के योग से भाग दे दिया जाता है। जो मूल्य आता है, उसे काल्पनिक भारित माध्य (A) में जोड़ दिया जाता है।
• अन्त में निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग किया जाता है \( \overline { X }w = A + \frac { \Sigma Wd }{ \Sigma W } \)
उदाहरण 7. एक कारखाने के कर्मचारियों का मासिक वेतन और उनकी संख्या निम्नांकित सारणी में वर्णित हैं मासिक वेतन का प्रत्यक्ष व लघु रीति द्वारा भारत मध्य ज्ञात कीजिए
हल :
प्रत्यक्ष रीति- \[ \overline { X }w = \frac { \Sigma XW }{ \Sigma W } \] \[ = \frac { 9140 }{ 40 } \] \[ = 228.5 \]
\( \overline { X }w = 228.5 \)
लघु रीति- \[ \overline { X }w = A + \frac { \Sigma Wd }{ \Sigma W } \] \[ = 250 + \frac { -860 }{ 40 } \] \[ = 250 - 21.5 \] \[ = 228.5 \]
\( \overline { X }w = 228.5 \)
In simple words: A weighted arithmetic mean assigns different "weights" or importance to each observation before calculating the average. The direct method involves summing the products of values and their weights, then dividing by the sum of weights. The short-cut method uses an assumed mean and weighted deviations.

🎯 Exam Tip: The key difference in weighted mean calculations is the incorporation of 'W' (weight) in both the numerator and denominator. Ensure accurate calculation of XW or Wd and their sums.

 

Question 4. मध्यिका को परिभाषित कीजिए तथा उसके गुण, दोष व उपयोग बताइए । अथवा मध्यिका के गुण-दोषों पर टिप्पणी कीजिए।
Answer: मध्यिका
अर्थ एवं परिभाषा - मध्यिका आरोही अथवा अवरोही क्रम में अनुविन्यसित समंकमाला के विभिन्न पदों के मध्य का मूल्य (middle item) होती है और वह समंकमाला को दो भागों में इस प्रकार बाँटती है। कि उसके एक ओर के सब पद उससे कम मूल्य के तथा दूसरी ओर के सब पद उससे अधिक मूल्य के होते हैं।
प्रो० कॉनर के शब्दों में - “मध्यिका समंक श्रेणी का वह पद है, जो समूह को दो समान भागों में इस प्रकार विभक्त करता है कि एक भाग में समस्त मूल्य मध्यिका से अधिक और दूसरे भाग में अन्य मूल्य मध्यिका से कम हों।”
प्रो० युल एवं केण्ड्राल के शब्दों में - “मध्यिका केन्द्रीय या मध्य मूल्य होता है, जबकि समूह के मूल्यों अर्थात् आवृत्तियों को इनके परिमाण के अनुसार क्रम से लिखा जाए या इस प्रकार लिखा जाए कि बड़े तथा छोटे मूल्य समाप्त आवृत्तियों में बँट जाएँ।”
डॉ० बाउले के शब्दों में - “यदि एक समूह के पदों को उनके मूल्यों के अनुसार क्रमबद्ध किया जाए, तब लगभग मध्य पद का मूल्य 'मध्यिका' होता है।”
मध्यिका के गुण
• यह बहुत सरल है और इसको बड़ी सुगमता से समझा जा सकता है।
• इसका निर्धारण निश्चित और शुद्ध होता है।
• इसे पदों की कुल संख्या मात्र से ज्ञात किया जा सकता है।
• मध्यिका को बिन्दु रेखाओं द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।
• मध्यिका पर चरम मूल्यों का कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
• माध्य विचलन की गणना में मध्यिका का और अधिक बीजीय विवेचन सम्भव है।
• गुणात्मक विशेषताओं को अध्ययन करने में यह अन्य माध्यों से श्रेष्ठ है।
• मध्यिका से पदों के विचलनों का योग अन्य किसी भी विधि से निकाले गए विचलनों के योग से कम होता है।
मध्यिका के दोष या सीमाएँ
• मध्यिका के पदों की संख्या से गुणा करने पर पदों का कुल योग मालूम नहीं होता।
• यदि पदों के विस्तार में असाधारण भिन्नता हो तो यह भ्रामक निष्कर्ष देता है।
• इसे ज्ञात करने के लिए समस्त पदों को आरोही (ascending) या अवरोही (descending) क्रम में व्यवस्थित करना पड़ता है।
• इसको ज्ञात करने के लिए समस्त समंकों का प्रयोग नहीं होता ।
• यदि मध्यपद दो वर्गों के बीच आता है, तो मध्यिका को ठीक-ठीक ज्ञात करना कठिन हो जाता है।
• सरल गणितीय सूत्र से इसका अनुमान नहीं लगाया जा सकता।
• यदि पदों की संख्या सम (even) है तो मध्यिका वास्तविक मूल्य नहीं होता।
• यदि पदों की संख्या कम हो या मध्य पद के ऊपर अथवा नीचे पदों का फैलाव अनियमित हो तो मध्यिका एक प्रतिनिधि माप नहीं रहता ।
मध्यिका के उपयोग मध्यिका समझने में सरल है; अतः व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए इसका बहुत अधिक उपयोग होता है। इसके द्वारा गुणात्मक तथ्यों जैसे बुद्धिमत्ता, स्वास्थ्य आदि का भी अध्ययन किया जा सकता है। इसी कारण सामाजिक समस्याओं के विश्लेषण में यह अत्यधिक उपयोगी है। यह उन दशाओं में अधिक उपयोगी है, जहाँ अति सीमान्त पदों को महत्त्व नहीं दिया जाता अथवा वितरण विषम होता है।
In simple words: The median is the middle value in an ordered dataset, unaffected by extreme values, and easy to understand. Its merits include clear definition and suitability for qualitative data, while demerits involve not using all data points and difficulty in algebraic treatment. It is useful for sociological studies and skewed distributions.

🎯 Exam Tip: For comprehensive answers on the median, ensure you cover its definition, a few key properties (like being free from extreme values), two or three limitations (e.g., non-algebraic treatment), and its practical applications, especially in social sciences.

 

Question 5. विभाजन मूल्य चतुर्थकों (Qi, Qs) की गणना प्रक्रिया समझाइए ।
Answer: किसी श्रृंखला को दो से अधिक भागों में बाँटने वाले मूल्य को विभाजन मूल्य कहते हैं। मध्यिका एक श्रेणी को दो भागों में बाँटती है। यदि किसी श्रृंखला को चार बराबर भागों में बाँटा जाता है। तो प्रत्येक भाग की अन्तिम इकाई चतुर्थक (Quartile) कहलाती है। इसे अंग्रेजी भाषा के Q अक्षर द्वारा प्रकट किया जाता है। पहले चतुर्थक की प्रथम अथवा निम्न चतुर्थक' Q), तीसरे चतुर्थक को उच्च चतुर्थक (Q3) कहते हैं। दूसरा चतुर्थक मध्यिका कहलाता है।
चतुर्थकों की गणन क्रिया
व्यक्तिगत व खण्डित श्रेणी में - इन शृंखलाओं में चतुर्थक मूल्य ज्ञात करने के लिए निम्नांकित सूत्रों का प्रयोग किया जाता है
\[ Q1 = \text{Size of } \left( \frac { N+1 }{ 4 } \right) \text{ th item} \]
\[ Q3 = \text{Size of } \left( \frac { 3 (N+1) }{ 4 } \right) \text{ th item} \]
उदाहरण 8. विद्यार्थियों द्वारा सांख्यिकी में प्राप्तांक निम्नलिखित हैं18, 10, 4, 31, 25, 20, 24, 17, 35, 15, 2, 8, 19, 21, 11, 13, 22, 24, 30 उपर्युक्त में Q व Qs ज्ञात कीजिए।
हल :
सर्वप्रथम, प्राप्तांकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाएगा
अब, \[ Q1 = \text{Size of } \left( \frac { N+1 }{ 4 } \right) \text{ th item} \] \[ = \text{Size of } \left( \frac { 20 }{ 4 } \right) \text{ th item} \] \[ = \text{Size of 5th item} = 11 \]
\( Q1 = 11 \)
\[ Q3 = \text{Size of } \left( \frac { 3 (N+1) }{ 4 } \right) \text{ th item} \] \[ = \text{Size of } \left( \frac { 3 (19 + 1) }{ 4 } \right) \text{ th item} \] \[ = \text{Size of } \left( \frac { 60 }{ 4 } \right) \text{ th item} \] \[ = \text{15th item} = 24 \]
\( Q3 = 24 \)
In simple words: Quartiles are values that divide a sorted dataset into four equal parts. Q1 (first quartile) marks the 25th percentile, and Q3 (third quartile) marks the 75th percentile. For individual and discrete series, they are calculated using formulas involving N (total number of items) to find the position of the quartile item in the ordered data.

🎯 Exam Tip: Always arrange the data in ascending or descending order before calculating quartiles. For individual series, use the (N+1) formula to find the position, then locate the corresponding value.

 

उदाहरण 9. निम्नलिखित समंकों से Q व Qs ज्ञात कीजिए
पद का आकार : 1 2 3 4 5 6 7 8 9
आवृत्ति : 18 37 41 55 62 48 27 10 1
Answer: हल :
सर्वप्रथम, प्राप्तांकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाएगा

अब,
Q1 = Size of \( \left(\frac{N+1}{4}\right) \) th item = Size of \( \left(\frac{20}{4}\right) \) th item
= Size of 5th item = 11
Q3 = Size of \( \left[\frac{3(N+1)}{4}\right] \) th item
= Size of \( \left(\frac{3(19+1)}{4}\right) \) th item
= Size of \( \left(\frac{60}{4}\right) \) th item
= 15th item = 24
Q1 = 11
Q3 = 24
In simple words: हमने दिए गए प्राप्तांकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया। फिर, चतुर्थक Q1 और Q3 को उनके संबंधित सूत्रों का उपयोग करके ज्ञात किया, जहाँ Q1 पांचवें पद के रूप में 11 और Q3 पंद्रहवें पद के रूप में 24 है।

🎯 Exam Tip: चतुर्थकों की गणना करते समय डेटा को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना महत्वपूर्ण है। सूत्र में 'N' कुल पदों की संख्या को दर्शाता है।

 

उदाहरण 9. निम्नलिखित समंकों से Q व Qs ज्ञात कीजिए
पद का आकार : 1 2 3 4 5 6 7 8 9
आवृत्ति : 18 37 41 55 62 48 27 10 1
Answer: हल :

Q1 = Size of \( \left(\frac{N+1}{4}\right) \) th item
= Size of \( \left(\frac{299+1}{4}\right) \) th item
= Size of 75th item
= 3
Q3 = Size of 3 \( \left(\frac{N+1}{4}\right) \) th item
= Size of 3 \( \left(\frac{299+1}{4}\right) \) th item
= Size of 225th item
= 6
Q1 = 3
Q3 = 6
अखण्डित अथवा अविच्छिन्न श्रेणी - अखण्डित श्रेणी में Q; तथा Q5 के आकार को निम्नलिखित सूत्रों की सहायता से ज्ञात किया जाता है।
Q1 = Size of \( \left(\frac{N}{4}\right) \) th item
Q3 = Size of 3 \( \left(\frac{N}{4}\right) \) th item
फिर निम्नलिखित सूत्र की सहायता से इनका मान ज्ञात किया जाता है
In simple words: दी गई आवृत्ति वितरण के लिए, हमने संचयी आवृत्ति की गणना की। फिर, प्रथम चतुर्थक (Q1) को (N+1)/4वें पद के रूप में और तृतीय चतुर्थक (Q3) को 3(N+1)/4वें पद के रूप में ज्ञात किया, जिससे Q1 = 3 और Q3 = 6 प्राप्त हुए।

🎯 Exam Tip: अवर्गीकृत डेटा के लिए Q1 और Q3 की गणना करते समय, पहले डेटा को व्यवस्थित करें और फिर उपयुक्त सूत्र का उपयोग करके पद की स्थिति ज्ञात करें।

 

Q1 = L1 + \( \frac{\frac{N}{4} - cf}{f} \) x i
Q3 = L1 + \( \frac{3\frac{N}{4} - cf}{f} \) x i

उदाहरण 10. निम्नलिखित समंकमाला में Q व Qs ज्ञात कीजिए
वर्ग : 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80
आवृत्ति : 12 28 44 65 64 54 21 1
Answer: हल :

Q1 = The size of \( \frac{N}{4} \) th item
= The size of \( \frac{289}{4} \) th item
= 72.25 th item.
अतः प्रथम चतुर्थक वर्ग (Q1) 20-30 है।,
Q1 = l1 + \( \frac{\frac{N}{4} - cf}{f} \) x i
= 20 + \( \frac{72.25-40}{44} \) x 10
= 20 + \( \frac{32.25}{44} \) x 10 = 20 + 7.33 = 27.33
Q3 = The size of 3 \( \frac{N}{4} \) th item
= The size of 3 \( \frac{289}{4} \) th item
= The size of 3 x 72.25 th item = 216.75 th item.
यह 50-60 वर्ग में है।
Q3 = l1 + \( \frac{3\frac{N}{4} - cf}{f} \) x i
= 50 + \( \frac{216.75-213}{54} \) x i
= 50 + \( \frac{3.75}{54} \) x 10 = 50 + \( \frac{37.5}{54} \)
= 50 + 0.69 = 50.69
Q1 = 27.33
Q3 = 50.69
In simple words: हमने दिए गए आवृत्ति वितरण के लिए संचयी आवृत्ति की गणना की। फिर, प्रथम चतुर्थक (Q1) को 72.25वें पद के रूप में 20-30 वर्ग में और तृतीय चतुर्थक (Q3) को 216.75वें पद के रूप में 50-60 वर्ग में पहचाना। अंत में, चतुर्थक सूत्रों का उपयोग करके Q1 = 27.33 और Q3 = 50.69 की गणना की।

🎯 Exam Tip: वर्गीकृत डेटा के लिए चतुर्थक ज्ञात करते समय, पहले चतुर्थक वर्ग की पहचान संचयी आवृत्ति का उपयोग करके करें, फिर सटीक चतुर्थक मूल्य की गणना के लिए संबंधित सूत्र लागू करें।

 

प्रश्न 6. बहुलक (भूयिष्ठक) को परिभाषित कीजिए। इसके गुण व दोष बताइए ।
Answer:

बहुलक या भूयिष्ठक का अर्थ एवं परिभाषाएँ

किसी भी समंकमाला में जो पद सबसे अधिक बार आता है अथवा जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है, वही 'बहुलक' कहलाता है। यह 'सर्वाधिक घनत्व की स्थिति का द्योतक है और इसे प्रायः मूल्यों के 'अधिकतम संकेन्द्रण का बिन्दु' भी कहते हैं। काउडेन के शब्दों में-"एक वितरण को बहुलक वह मूल्य है, जिसके निकट श्रेणी की इकाइयाँ अधिक-से-अधिक केन्द्रित होती हैं। उसे मूल्यों की श्रेणी का सबसे अधिक प्रतिरूपी माना जाता है।" जिजेक के अनुसार-"बहुलक वह मूल्य है, जो पदों की श्रेणी अथवा समूह में सबसे अधिक बार
आता है तथा जिसके चारों ओर सबसे अधिक घनत्व के पदों का वितरण रहता है।" कैने तथा कीपिंग के अनुसार-"बहुलक वह मूल्य है जो श्रेणी में सबसे अधिक बार आता हो अर्थात् जिसकी सर्वाधिक आवृत्ति हो ।" डॉ० बाउले के अनुसार-'किसी सांख्यिकीय समूह में वर्गीकृत मात्रा का वह मूल्य, जहाँ पर पंजीकृत संख्याएँ सबसे अधिक हों, 'बहुलक' या 'सबसे अधिक घनत्व का स्थान' अथवा 'सबसे महत्त्वपूर्ण मूल्य' कहलाता है।"

बहुलक के गुण

• यह एक सरल एवं लोकप्रिय माध्य है। कुछ दशाओं में यह केवल निरीक्षण द्वारा ही ज्ञात किया जा सकता है।
• इसका मूल्य रेखाचित्र द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है।
• यह वितरण में सर्वाधिक सम्भावित मूल्य होता है।
• गुणात्मक तथ्यों का भी बहुलक ज्ञात किया जा सकता है।
• यह अति सीमान्त पदों से प्रभावित नहीं होता।
• यह श्रेणी के एक महत्त्वपूर्ण भाग का वास्तविक मूल्य होता है।
• यह समूह का सर्वोत्तम प्रतिनिधि होता है।
• प्रतिदर्श के परिवर्तन के साथ बहुलक में परिवर्तन नहीं होता।

बहुलक के दोष

• यदि श्रेणी के सभी पदों की आवृत्तियाँ समान हैं तो बहुलक का निर्धारण नहीं किया जा सकता।
• कभी-कभी एक समूह में दो-या-दो से अधिक बहुलक भी हो सकते हैं।
• यदि श्रेणी का वितरण अनियमित है तो इसे शुद्ध रूप में नहीं निकाला जा सकता।
• यह चरम सीमाओं की उपेक्षा करता है जो कि गणितीय दृष्टि से उचित नहीं है।
• सभी पदों पर आधारित न होने के कारण इसका बीजीय विवेचन सम्भव नहीं है।
• यह श्रेणी का पूर्ण रूप से प्रतिनिधित्व नहीं करता।
• वर्ग विस्तार में परिवर्तन कर देने पर बहुलक भी बदल जाएगा।
बहुलक के उपयोग उपर्युक्त दोषों के बावजूद दैनिक जीवन तथा व्यापारिक क्षेत्र में बहुलक का बहुत अधिक उपयोग किया जाता है। यह शीघ्रता व सरलता से समझ में आ जाता है, इसलिए व्यावसायिक जीवन में इसका प्रयोग दिन-प्रतिदिन बढ़ता जा रहा है। व्यापारिक पूर्वानुमानों में यह एक महत्त्वपूर्ण पथ-प्रदर्शक है। उद्योग व प्रशासन के क्षेत्र में इसकी सहायता से औसत उत्पादन ज्ञात किया जाता है तथा विभिन्न विभागों की कार्यक्षमता की तुलना की जाती है। किसी वस्तु के उत्पादन में उसकी लागत का अनुमान बहुलक समय के निर्धारण द्वारा आसानी से लगाया जा सकता है। विभिन्न वस्तुओं की लोकप्रियता का अध्ययन बहुलक द्वारा ही किया जाता हैं मौसम सम्बन्धी पूर्वानुमानों में भी इसी का प्रयोग होता है।
In simple words: बहुलक वह मूल्य है जो किसी डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है, या जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है। इसके मुख्य गुण हैं सरलता, रेखाचित्र द्वारा निर्धारण, और चरम मानों से अप्रभावित रहना। इसके दोषों में सभी पदों पर आधारित न होना, कभी-कभी एक से अधिक बहुलक का होना, और अनियमित वितरण में गणना में कठिनाई शामिल है।

🎯 Exam Tip: बहुलक की परिभाषा, गुण और दोष एक साथ याद रखने से इस केंद्रीय प्रवृत्ति माप की समग्र समझ मजबूत होती है और परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने में मदद मिलती है।

 

प्रश्न 7. बहुलक निर्धारण की विधि समझाइए ।
Answer:

बहुलक का निर्धारण

(अ) व्यक्तिगत श्रेणी - व्यक्तिगत श्रेणी में बहुलक निकालने की निम्नलिखित विधियाँ हैं।
(i) निरीक्षण द्वारा - निरीक्षण द्वारा यह निश्चित किया जाता है कि कौन-सा मूल्य सबसे अधिक बार आया है। जो मूल्य सबसे अधिक बार आता है, वही बहुलक होता है।

उदाहरण 11. निम्नांकित जूतों की आकार संख्या से बहुलक आकार ज्ञात कीजिए
जूतों की आकार संख्या - 2, 4, 1, 2, 7, 7, 6, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 6, 6, 3, 3
Answer: हल :
उपर्युक्त संख्याओं में 6 संख्या सबसे अधिक बार प्रयुक्त हुई है। अतः यही संख्या बहुलक होगी ।
z = 6 यहाँ Z = बहुलक
(ii) व्यक्तिगत श्रेणी को खण्डित श्रेणी में परिवर्तित करके - जब व्यक्तिगत श्रेणी के अनेक पद दो-या-दो से अधिक बार आते हैं तो उन्हें आरोही क्रम में रखकर उनके सामने उनकी आवृत्ति लिख दी जाती है। सर्वाधिक आवृत्ति वाला पद बहुलक होता है।

उदाहरण 12. यदि 10 अधिकारियों को प्रारम्भिक वेतन निम्नलिखित हो तो उन अधिकारियों का बहुलक वेतन ज्ञात कीजिए
625, 500, 480, 500, 460, 500, 525, 575, 525, 500.
Answer: हल :
पहले इन्हें खण्डित श्रेणी में इस प्रकार रखा जाएगा

उपर्युक्त उदाहरण में सर्वाधिक पदाधिकारियों (4) का प्रारम्भिक वेतन Rs. 500 है। अतः Z = Rs. 500
(iii) व्यक्तिगत श्रेणी को अविच्छिन्न श्रेणी में बदलकर - जब श्रेणी में किसी भी पद की आवृत्ति एक से अधिक बार नै हो, तो उसे अविच्छिन्न श्रेणी में बदलकर अधिकतम आवृत्ति वाला वर्गान्तर कर लेना चाहिए और फिर सूत्र द्वारा 'बहुलक' निकालना चाहिए ।
नोट - इस विधि के लिए उदाहरण 21 देखिए।
(iv) मध्यिका व समान्तर माध्य के आधार पर बहुलक का निर्धारण - यदि व्यक्तिगत श्रेणी में मध्यिका व समान्तर माध्य के आधार पर बहुलक का मूल्य ज्ञात करना हो तो निम्नलिखित सूत्र द्वारा बहुलक का मूल्य ज्ञात किया जा सकता है - z = 3 M - 2 X
(ब) खण्डित श्रेणी - खण्डित श्रेणी में बहुलक निम्नलिखित दो रीतियों द्वारा ज्ञात किया जा सकता है
(i) निरीक्षण रीति - इस रीति के अनुसार, जिस पद की सबसे अधिक आवृत्ति होगी, वही पद मूल्य 'बहुलक' होगा। लेकिन यह तब ही सम्भव है, जब पदमाला नियमित हो तथा उसके सभी पद सजातीय हों ।

उदाहरण 13. निम्नलिखित श्रेणी में से बहुलक का आकार ज्ञात कीजिए

उदाहरण 14. निम्नलिखित सारणी में बहुलक ज्ञात कीजिए

In simple words: बहुलक की गणना के लिए विभिन्न श्रेणियां और विधियां हैं। व्यक्तिगत श्रेणी में, यह या तो निरीक्षण द्वारा या खंडित श्रेणी में परिवर्तित करके पाया जाता है। खंडित श्रेणी में, निरीक्षण विधि का उपयोग किया जाता है जहाँ सबसे अधिक आवृत्ति वाला पद बहुलक होता है।

🎯 Exam Tip: बहुलक ज्ञात करने के लिए, हमेशा पहले डेटा के प्रकार (व्यक्तिगत, खंडित या अविच्छिन्न) की पहचान करें, और फिर सबसे उपयुक्त विधि (निरीक्षण, परिवर्तन, या सूत्र) का उपयोग करें।

 

हल :

विश्लेषण सारणी

Z=7
Z = l1 + \( \frac{f1-fo}{2f1-fo-f2} \) x i
यहाँ,
Z = बहुलक या भूयिष्ठक का मूल्य
l1 = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
f1 = बहुलक वर्ग की आवृत्ति
fo = बहुलक वर्ग से पहले आने वाले वर्ग की आवृत्ति
f2 = बहुलक वर्ग के तुरन्त बाद आने वाले वर्ग की आवृत्ति
i = बहुलक वर्ग का विस्तार

उदाहरण 14. निम्नलिखित सारणी में से बहुलक आयु ज्ञात कीजिए

Answer: हल :
उपर्युक्त श्रेणी में 180 सेमी पद मूल्य की आवृत्ति सबसे अधिक है। अतः Z = 180 सेमी
(ii) समूहीकरण रीति - आवृत्तियों का वितरण अनियमित होने पर समूहन रीति द्वारा आवृत्तियों के घनत्व बिन्दु का पता लगाया जाता है। समूहन विधि इस प्रकार हैसर्वप्रथम एक सारणी बनाई जाती है, जिसमें चर मूल्यों के अतिरिक्त आवृत्ति के 6 खाने बनाए जाते हैं। इन खानों में आवृत्तियों को निम्नलिखित प्रकार से रखा जाता है Coln. (i) में प्रश्न में दी हुई आवृत्तियाँ लिखी जाती हैं। Coln. (ii) में आरम्भ से दो-दो आवृत्तियों के जोड़ लिखे जाते हैं। Coln. (iii) में Coln. (i) की सबसे पहली आवृत्ति को छोड़कर, दो-दो आवृत्तियों के जोड़ लिखे जाते हैं। Coln. (iv) में Coin. (i) की तीन-तीन आवृत्तियों के जोड़ लिखे जाते हैं। Coln. (v) में Coln. (i) की प्रथम आवृत्ति को छोड़कर आगे की तीन-तीन आवृत्तियों के जोड़ लिखे जाते हैं। Coln. (vi) में Coln. (i) की पहली दो आवृत्तियों को छोड़कर तीन-तीन आवृत्तियों के जोड़ लिखे जाते हैं।
इसके पश्चात् प्रत्येक कॉलम की अधिकतम आवृत्ति को रेखांकित कर लिया जाता है तथा उन अधिकतम आवृत्तियों के चर मूल्यों पर चिह्न लगाकर उनकी गणना कर ली जाती है। जिस मूल्य के सामने अधिकतम चिह्न होते हैं, वही बहुलक का मूल्य होता है। इसका विश्लेषण सारणी (Analysis table) बनाकर भी किया जा सकता है।

उदाहरण 15. निम्नलिखित सारणी में से बहुलक आयु ज्ञात कीजिए

Answer: हल :
सर्वप्रथम समूहन रीति द्वारा बहुलक वर्ग ज्ञात किया जाएगा।

उपर्युक्त सारणी के अनुसार बहुलक 40-45 वर्ग में है। सूत्रानुसार,
Z = l1 + \( \frac{f1-fo}{2f1-fo-f2} \) x i
= 40 + \( \frac{150-180}{2 \times 150-180-120} \) x 5
= 40 + \( \frac{-30}{300-300} \) x 5
= 40 + \( \frac{-150}{0} \)
शून्य से भाग न दिए जा सकने के कारण, इस सूत्र द्वारा निकाला गया बहुलक शुद्ध रूप में निर्धारित नहीं किया जा सकता। अतः बहुलक मूल्य वैकल्पिक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा। सूत्रानुसार,
Z = l1 + \( \frac{f2}{fo + f2} \) x i
= 40 + \( \frac{120}{180 + 120} \) x 5
= 40 + \( \frac{600}{300} \)
= 40 + 2
= 42
Z = 42
In simple words: बहुलक ज्ञात करने के लिए समूहन तालिका का उपयोग किया गया, जिससे 40-45 का बहुलक वर्ग निर्धारित हुआ। प्रारंभिक सूत्र लगाने पर शून्य से भाग की समस्या आई, इसलिए वैकल्पिक सूत्र का उपयोग किया गया। वैकल्पिक सूत्र के अनुसार, बहुलक का मान 42 प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: बहुलक की गणना करते समय, यदि प्राथमिक सूत्र में हर शून्य हो जाता है, तो वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करें, जैसे Z = L1 + (f2 / (f0 + f2)) * i, ताकि सही मान प्राप्त किया जा सके।