UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 12 Areas Related to Circles

 

Exercise 12.1

 

Question 1. दो वृत्तों की त्रिज्या क्रमशः 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
Answer: हलः हमें प्राप्त है:
\( r_1 = 19 \text{ सेमी.}, r_2 = 9 \text{ सेमी.} \)
\( \text{वृत्त-I की परिधि} = 2\pi r_1 = 2\pi (19) \text{ सेमी.} \dots(1) \)
\( \text{वृत्त-II की परिधि} = 2\pi r_2 = 2\pi (9) \text{ सेमी.} \dots(2) \)
\( (1) \text{ और } (2) \text{ का योग करने पर,} \)
\( 2\pi(19) + 2\pi(9) = 2\pi(19 + 9) = 2\pi (28) \text{ सेमी.} \)
\( \text{मानावांछित वृत्त-III की त्रिज्या} = R \)
\( \therefore \text{वृत्त-III की परिधि} = 2\pi R \)
शर्त के अनुसार,
\( 2\pi R = 2\pi(28) \)
\( \implies R = \frac{2\pi(28)}{2\pi} = 28 \)
\( \text{अतः नये वृत्त की त्रिज्या} = 28 \text{ सेमी.} \)
In simple words: हमें दो वृत्तों की त्रिज्याएँ दी गई हैं, और हमें एक नए वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करनी है जिसकी परिधि दोनों पुराने वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है। हमने प्रत्येक वृत्त की परिधि का सूत्र लगाया और उन्हें जोड़कर नए वृत्त की परिधि के बराबर किया, जिससे R का मान 28 सेमी प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप त्रिज्याओं के बजाय परिधियों को सही ढंग से जोड़ें, क्योंकि प्रश्न परिधियों के योग के बारे में है।

 

Question 2. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
Answer: हलः
वृत्त-I की त्रिज्या \( r_1 = 8 \text{ सेमी.} \)
वृत्त-II की त्रिज्या \( r_2 = 6 \text{ सेमी.} \)
\( \therefore \text{वृत्त-I का क्षेत्रफल} = \pi r_1^2 = \pi(8)^2 \text{ सेमी.}^2 \)
वृत्त-II का क्षेत्रफल \( = \pi r_2^2 = \pi(6)^2 \text{ सेमी.}^2 \)
माना नये वृत्त-III की त्रिज्या \( = R \)
नये वृत्त-III का क्षेत्रफल \( = \pi R^2 \)
अब शर्त के अनुसार,
\( \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi R^2 \)
\( \implies \pi (r_1^2 + r_2^2) = \pi R^2 \)
\( \implies r_1^2 + r_2^2 = R^2 \)
\( \implies 8^2 + 6^2 = R^2 \)
\( \implies 64 + 36 = R^2 \)
\( \implies 100 = R^2 \)
\( R = \sqrt{100} = 10 \)
\( \text{अतः नये वृत्त की त्रिज्या} = 10 \text{ सेमी.} \)
In simple words: हमने दो वृत्तों की त्रिज्याओं का उपयोग करके उनके क्षेत्रफल निकाले। फिर, हमने इन क्षेत्रफलों को जोड़कर एक नए वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर किया। इस समीकरण को हल करके, हमें नए वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी प्राप्त हुई।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप क्षेत्रफलों के योग के लिए सही सूत्र (\( \pi r^2 \)) का उपयोग करें, और गणना में वर्गमूल लेना न भूलें।

 

Question 3. आकृति 12.3 एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केंद्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिन्हित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं | GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है | अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाता है जिसमें केंद्र से बाहर की ओर पाँच संकेन्द्रीय वृत्ताकार क्षेत्र हैं। सबसे अंदर का क्षेत्र GOLD है, उसके बाद RED, BLUE, BLACK और सबसे बाहरी क्षेत्र WHITE है। प्रत्येक क्षेत्र की अपनी एक निश्चित चौड़ाई है।
हलः चूंकि Gold क्षेत्र का व्यास \( = 21 \text{ सेमी.} \)
\( \therefore \text{Gold क्षेत्र की त्रिज्या} = \frac{21}{2} = 10.5 \text{ सेमी.} \)
\( \implies \text{Gold क्षेत्र का क्षेत्रफल} = \pi(10.5)^2 \text{ सेमी.}^2 = \frac{22}{7} \times \left(\frac{105}{10}\right)^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{105}{10} \times \frac{105}{10} \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{22 \times 15 \times 105}{100} \text{ सेमी.}^2 = 346.50 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \text{Red क्षेत्र का क्षेत्रफल} = \pi(10.5 + 10.5)^2 - \pi(10.5)^2 = \pi(21)^2 - \pi(10.5)^2 \)
\( = \pi[(21)^2 - (10.5)^2] = \frac{22}{7} [(21 + 10.5) (21 - 10.5)] \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 31.5 \times 10.5 \text{ सेमी.}^2 = \frac{22}{7} \times \frac{315}{10} \times \frac{105}{10} \text{ सेमी.}^2 = 1039.5 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \text{Blue क्षेत्र का क्षेत्रफल} = \pi[(21 + 10.5)^2 - (21)^2] \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{22}{7} [(31.5)^2 - (21)^2] \text{ सेमी.}^2 = \frac{22}{7} [(31.5 + 21) (31.5 - 21)] \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 52.5 \times 10.5 \text{ सेमी.}^2 = \frac{22}{7} \times \frac{525}{10} \times \frac{105}{10} \text{ सेमी.}^2 = 1732.5 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \text{Black क्षेत्र का क्षेत्रफल} = \pi[(31.5 + 10.5)^2 - (31.5)^2] \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{22}{7} [(42)^2 - (31.5)^2] \text{ सेमी.}^2 = \frac{22}{7} [(42 - 31.5) (42 + 31.5)] \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 73.5 \text{ सेमी.}^2 = \frac{22}{7} \times \frac{105}{10} \times \frac{735}{10} \text{ सेमी.}^2 = 2425.5 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \text{White क्षेत्र का क्षेत्रफल} = \pi[(42 + 10.5)^2 - (42)^2] \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \pi[(52.5)^2 - (42)^2] \text{ सेमी.}^2 = \pi [(52.5 + 42) \times (52.5 - 42)] \)
\( = \frac{22}{7} \times 94.5 \times 10.5 = \frac{22}{7} \times \frac{945}{10} \times \frac{105}{10} \text{ सेमी.}^2 = 3118.5 \text{ सेमी.}^2 \)
In simple words: इस प्रश्न में, हमने एक तीरंदाजी लक्ष्य के विभिन्न रंगीन क्षेत्रों (GOLD, RED, BLUE, BLACK, WHITE) के क्षेत्रफल की गणना की। प्रत्येक क्षेत्र एक वृत्ताकार रिंग के रूप में है, जिसका क्षेत्रफल दो संकेन्द्रीय वृत्तों के क्षेत्रफलों के अंतर से ज्ञात किया जाता है। GOLD क्षेत्र का क्षेत्रफल सीधे उसकी त्रिज्या से निकाला गया, जबकि अन्य सभी क्षेत्रों के लिए बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल में से अंदर के वृत्त के क्षेत्रफल को घटाया गया।

🎯 Exam Tip: वृत्ताकार रिंग का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, हमेशा बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल से भीतरी वृत्त के क्षेत्रफल को घटाएँ। सही त्रिज्याओं का उपयोग करना सुनिश्चित करें, क्योंकि प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई जुड़ती जाती है।

 

Question 4. किसी कार के प्रत्येक पहिये का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घंटे की चाल से चाल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाती है ?
Answer: हलः पहिए का व्यास \( = 80 \text{ सेमी.} \)
\( \therefore \text{पहिए की त्रिज्या} = \frac{80}{2} = 40 \text{ सेमी.} \)
\( \text{चूंकि एक पहिया वृत्ताकार होता है और एक वृत्त की परिधि} = 2\pi r \)
\( \therefore \text{पहिए की परिधि} = 2 \times \frac{22}{7} \times 40 \text{ cm} \)
\( \therefore \text{एक चक्कर में पहिए द्वारा चली गई दूरी} = \frac{2 \times 22 \times 40}{7} \text{ सेमी.} \dots(1) \)
\( \therefore 1 \text{ घंटे में पहिया } 66 \text{ किमी. चलता है} \)
\( 66 \text{ किमी.} = 66 \times 1000 \times 100 \text{ सेमी.} \)
\( \implies 10 \text{ मिनट में पहिए द्वारा चली गई दूरी} \)
\( = \frac{66 \times 1000 \times 100}{60} \times 10 \text{ सेमी.} \)
\( = 1100000 \text{ सेमी.} \dots(2) \)
\( \text{अब, पहिए के चक्करों की संख्या} \)
\( = \frac{[\text{10 मिनट में चली गई दूरी}]}{[\text{1 चक्कर में चली गई दूरी}]} \)
\( = \frac{[1100000]}{[\frac{2 \times 22 \times 40}{7}]} \text{ (1) और (2) से} \)
\( = \frac{1100000 \times 7}{2 \times 22 \times 40} = 4375 \)
In simple words: हमने पहले पहिए की परिधि निकाली, जो एक चक्कर में तय की गई दूरी है। फिर, कार की चाल और समय का उपयोग करके 10 मिनट में तय की गई कुल दूरी ज्ञात की। अंत में, कुल दूरी को एक चक्कर की दूरी से विभाजित करके चक्करों की संख्या प्राप्त की, जो 4375 है।

🎯 Exam Tip: किलोमीटर प्रति घंटे की चाल को सेमी प्रति मिनट में बदलना महत्वपूर्ण है ताकि सभी इकाइयाँ संगत हों। परिधि का उपयोग करके एक चक्कर में तय की गई दूरी की सही गणना करें।

 

Question 5. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए : यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
Answer: हलः हमें प्राप्त है किः
\( [\text{संख्यात्मक रूप से वृत्त का क्षेत्रफल }] = [\text{ संख्यात्मक रूप से वृत्त का परिमाप}] \)
\( \implies \pi r^2 = 2\pi r \)
\( \implies \pi r^2 - 2\pi r = 0 \)
\( \implies r^2 - 2r = 0 \)
\( \implies r(r-2) = 0 \)
\( \implies \text{या तो } r = 0 \text{ या } r-2=0 \)
\( \implies \text{या तो } r = 0 \text{ या } r = 2 \)
\( \text{चूंकि वृत्त की त्रिज्या शून्य नहीं हो सकती} \)
\( \therefore r = 0 \text{ अवांछनीय है} \)
\( \text{अतः } r = 2 \)
अर्थात् विकल्प (A) सही है।
Answer: (A) 2 मात्रक
In simple words: हमने वृत्त के क्षेत्रफल (\( \pi r^2 \)) और परिमाप (\( 2\pi r \)) के सूत्रों को बराबर सेट किया। समीकरण को हल करने पर r = 0 या r = 2 मिला। चूंकि त्रिज्या शून्य नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 2 मात्रक है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के बहुविकल्पीय प्रश्नों में, समीकरणों को सावधानी से हल करें और संदर्भ के आधार पर अमान्य समाधानों (जैसे शून्य त्रिज्या) को त्यागना सुनिश्चित करें।

 

Exercise 12.2

 

Question 1. 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
Answer: हलः यहाँ \( r = 6 \text{ सेमी.} \)
\( \theta = 60^\circ \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड को दर्शाता है। वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है और त्रिज्यखंड केंद्र पर 60 डिग्री का कोण बनाता है। O केंद्र है और OA, OB त्रिज्याएँ हैं, जिससे AOB एक त्रिज्यखंड बनता है।
\( \text{कोण } \theta \text{ के त्रिज्यखण्ड का क्षे.} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \text{ का} \text{ प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है।} \)
\[ \text{[त्रिज्या } r = 6 \text{ सेमी. और } \theta = 60^\circ \text{ वाले त्रिज्या खण्ड का क्षेत्रफल]} \]
\( = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 6 \text{ सेमी.}^2 = \frac{132}{7} \text{ सेमी.}^2 \)
In simple words: एक वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी और केंद्रीय कोण 60 डिग्री वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमने सूत्र \( \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \) का उपयोग किया। मानों को सूत्र में रखने पर, क्षेत्रफल \( \frac{132}{7} \) सेमी² प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के लिए सही सूत्र याद रखना महत्वपूर्ण है। पाई (\( \pi \)) का मान और त्रिज्या के वर्ग को सही ढंग से गुणा करना सुनिश्चित करें।

 

Question 2. एक वृत्त, के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है|
Answer: हलः
माना वृत्त की त्रिज्या \( = r \text{ सेमी.} \)
वृत्त की परिधि \( = 22 \text{ cm} \)
\( \therefore 2\pi r = 22 \)
\( \implies 2 \times \frac{22}{7} \times r = 22 \)
\( r = \frac{22 \times 7}{2 \times 22} = \frac{7}{2} \text{ सेमी.} \)
चतुर्थांश का कोण \( = 90^\circ \)
चतुर्थांश का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \)
\( = \frac{11 \times 7}{8} = \frac{77}{8} \text{ सेमी.}^2 \)
In simple words: हमें वृत्त की परिधि से त्रिज्या ज्ञात करनी थी। परिधि के सूत्र का उपयोग करके, हमने त्रिज्या को 3.5 सेमी पाया। फिर, हमने चतुर्थांश (90 डिग्री का त्रिज्यखंड) के क्षेत्रफल का सूत्र लगाया और मानों को प्रतिस्थापित करके 77/8 सेमी² क्षेत्रफल प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: चतुर्थांश के लिए, कोण हमेशा 90 डिग्री होता है। परिधि से त्रिज्या निकालने में सावधानी बरतें और गणना में पाई (\( \pi \)) के सही मान का उपयोग करें।

 

Question 3. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है | इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |
Answer: हलः [मिनट सूई की लम्बाई] \( = \) [वृत्त की त्रिज्या]
\( = r = 14 \text{ सेमी.} \)
\( \text{चूंकि मिनट सुई द्वारा } 60 \text{ मिनट में रचित त्रिज्यखण्ड-कोण} = 360^\circ \)
\( \therefore \text{मिनट सुई द्वारा } 5 \text{ मिनट में रचित त्रिज्यखण्ड कोण} = \frac{360^\circ}{60^\circ} \times 5 = 30^\circ \)
अब, वृत्तखण्ड में,
\( r = 14 \text{ सेमी. और } \theta = 30^\circ \)
\( \therefore \text{त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{30}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{11 \times 14}{3} \text{ सेमी.}^2 = \frac{154}{3} \text{ सेमी.}^2 \)
In simple words: हमने पहले मिनट की सुई द्वारा 5 मिनट में बनाए गए कोण की गणना की, जो 30 डिग्री है। फिर, इस कोण और सुई की लंबाई (त्रिज्या) का उपयोग करके, त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र लगाया, जिससे \( \frac{154}{3} \) सेमी² क्षेत्रफल प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक मिनट की सुई 60 मिनट में 360 डिग्री का कोण बनाती है। इस जानकारी का उपयोग करके दिए गए समय के लिए सही कोण की गणना करें।

 

Question 4. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है| निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) संगत लघु वृत्तखंड
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
Answer: हलः
त्रिज्या \( (r) = 10 \text{ सेमी.} \)
त्रिज्यखण्ड-कोण \( = \theta = 90^\circ \)
अब,
\( 90^\circ \text{ वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल} \)
\( = \frac{90}{360} \times \frac{314}{100} \times 10 \times 10 \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times 314 \text{ सेमी.}^2 = \frac{157}{2} \text{ सेमी.}^2 = 78.5 \text{ सेमी.}^2 \)
(i) लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
\( = [\text{संगत लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल}] - \triangle AOB \)
\( = [78.5 \text{ सेमी.}^2] - \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \text{ सेमी.}^2 \)
\( = 78.5 \text{ सेमी.}^2 - 50 \text{ सेमी.}^2 = 28.5 \text{ सेमी.}^2 \)
(ii) दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ( \( \pi = 3.14 \) का प्रयोग कीजिए)
\( = [\text{वृत्त का क्षे.}] - [\text{लघुवृत्तखण्ड का क्षे.}] \)
\( = [\pi r^2] - [28.5 \text{ सेमी.}^2] \)
\( = \frac{314}{100} \times 10 \times 10 - [28.5 \text{ सेमी.}^2] \)
\( = 314 - 28.5 \text{ सेमी.}^2 = 235.5 \text{ सेमी.}^2 \)
In simple words: पहले, हमने 90 डिग्री के केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात किया। फिर, संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल घटाया। अंत में, दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पूरे वृत्त के क्षेत्रफल में से लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल घटा दिया।

🎯 Exam Tip: जब कोई जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है, तो संगत त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है। लघु वृत्तखंड और दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के सूत्रों को याद रखें।

 

Question 5. त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लंबाई
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
Answer: हलः यहाँ, त्रिज्या \( (r) = 21 \text{ सेमी. और } \theta = 60^\circ \)
(i) चाप की लंबाई
\( \therefore \text{वृत्त की परिधि} = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \text{ सेमी.} \)
\( = 2 \times 22 \times 3 \text{ सेमी.} = 132 \text{ सेमी.} \)
\( \therefore \text{चाप APB} = \frac{60}{360} \times 132 \text{ सेमी.} \)
\( = \frac{1}{6} \times 132 \text{ सेमी.} = 22 \text{ सेमी.} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है, त्रिज्या 21 सेमी है और केंद्र पर 60 डिग्री का कोण बनाने वाला एक त्रिज्यखंड AOB है। एक चाप APB भी दिखाया गया है।
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
\( \text{त्रिज्यखण्ड, जिसका } \theta = 60^\circ, \text{ का क्षेत्रफल} \)
\( = \frac{60}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{60}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \text{ सेमी.}^2 \)
\( = 11 \times 21 \text{ सेमी.}^2 = 231 \text{ सेमी.}^2 \)
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
\( \text{वृत्तखण्ड APB का क्षेत्रफल} = [\text{त्रिज्यखण्ड AOB}] - [\triangle AOB \text{ का क्षेत्रफल}] \dots(1) \)
\( \triangle AOB \text{ में, } OA = OB = 21 \text{ सेमी.} \)
\( \therefore \angle A = \angle B = 60^\circ [: \angle O = 60^\circ] \)
\( \implies AOB \text{ एक समबाहु त्रिभुज है।} \)
\( \therefore AB = 21 \text{ सेमी.} \)
\( OM \perp AB \text{ इस प्रकार खींचो कि} \)
\[ \frac{OM}{OA} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \implies OM = 21 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ सेमी.} \]
\[ \text{क्षेत्रफल } (\triangle OAB) = \frac{1}{2} \times AB \times OM \]
\( = \frac{1}{2} \times 21 \times 21 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{441\sqrt{3}}{4} \text{ सेमी.}^2 \dots(2) \)
\( (1) \text{ और } (2) \text{ से हमें प्राप्त होता है किः} \)
\( \text{वृत्त खण्ड का क्षे.} = [231 \text{ सेमी.}^2] - \left[\frac{441\sqrt{3}}{4} \text{ सेमी.}^2\right] \)
\( = \left(231 - \frac{441\sqrt{3}}{4}\right) \text{ सेमी.}^2 \)
In simple words: हमने 60 डिग्री के केंद्रीय कोण वाले वृत्त के चाप की लंबाई, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात किया। चाप की लंबाई परिधि के हिस्से के रूप में निकाली गई। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल उसके सूत्र से निकाला गया। वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से संगत समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाया गया।

🎯 Exam Tip: चाप की लंबाई, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और वृत्तखंड का क्षेत्रफल- इन तीनों सूत्रों को याद रखें। यदि केंद्रीय कोण 60 डिग्री है और त्रिज्याएँ समान हैं, तो संगत त्रिभुज समबाहु होगा।

 

Question 6. 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। और दीर्घ वृत्तखंड़ों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः यहाँ, त्रिज्या \( (r) = 15 \text{ सेमी.} \)
त्रिज्यखण्ड का कोण \( = \theta = 60^\circ \)
\( \therefore 60^\circ \text{ कोण वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल} \)
\( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{60^\circ}{360} \times \frac{314}{100} \times 15 \times 15 \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{11775}{100} \text{ सेमी.}^2 = 117.75 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \text{चूंकि } \angle O = 60^\circ \text{ और } OA = OB = 15 \text{ सेमी.} \)
\( \therefore \triangle AOB \text{ एक समबाहु त्रिभुज में,} \)
\( \implies AB = 15 \text{ सेमी. और } \angle A = 60^\circ \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त के केंद्र O पर 60 डिग्री का कोण अंतरित करने वाली एक जीवा AB को दर्शाता है। वृत्त की त्रिज्या 15 सेमी है। त्रिभुज AOB को OM द्वारा लंबवत AB पर विभाजित किया गया है।
\( OM \perp AB \text{ खींचो} \)
\[ \frac{OM}{OA} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \implies OM = OA \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \text{ सेमी.} \]
\[ \text{अब क्षे. } (\triangle AOB) = \frac{1}{2} \times AB \times OM \]
\( = \frac{1}{2} \times 15 \times 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{225\sqrt{3}}{4} \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{225 \times 1.73}{4} \text{ सेमी.}^2 \)
\( = 97.3125 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \text{अब, लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल} \)
\( = (\text{लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल}) - (\triangle AOB \text{ का क्षेत्रफल}) \)
\( = (117.75 - 97.3125) \text{ सेमी.}^2 \)
\( = 20.4375 \text{ सेमी.}^2 \)
\( \text{दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल} \)
\( = [\text{वृत्त का क्षेत्रफल}] - [\text{लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल}] \)
\( = \pi r^2 - 20.4375 \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \left[\frac{314}{100} \times 15^2\right] - 20.4375 \text{ सेमी.}^2 \)
\( = 706.5 - 20.4375 \text{ सेमी.}^2 = 686.0625 \text{ सेमी.}^2 \)
In simple words: हमने 15 सेमी त्रिज्या और 60 डिग्री केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकाला। चूंकि त्रिभुज AOB एक समबाहु त्रिभुज है, हमने उसका क्षेत्रफल ज्ञात किया। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर प्राप्त किया गया। अंत में, दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल में से लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल घटाकर निकाला गया।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{3} \) के मान का उपयोग सही दशमलव स्थानों तक करें। दीर्घ वृत्तखंड के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए पूरे वृत्त के क्षेत्रफल से लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफल को घटाना याद रखें।

 

Question 7. त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 1200 का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड़ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 ओर √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)
Answer: हलः यहाँ \( \theta = 120^\circ \text{ और } r = 12 \text{ सेमी.} \)
\( \text{चूंकि, } \theta \text{ कोण वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल} \)
\( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{120}{360} \times \frac{314}{100} \times 12 \times 12 \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{314 \times 4 \times 12}{100} \text{ सेमी.}^2 \)
\( = \frac{15072}{100} \text{ सेमी.}^2 = 150.72 \text{ सेमी.}^2 \dots(1) \)
\( \text{अब, क्षे. } (\triangle AOB) = \frac{1}{2} \times AB \times OM \)
\( [\therefore OM \perp AB] \dots(2) \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त के केंद्र O पर 120 डिग्री का कोण अंतरित करने वाली एक जीवा AB को दर्शाता है। वृत्त की त्रिज्या 12 सेमी है। त्रिभुज AOB को OM द्वारा लंबवत AB पर विभाजित किया गया है।
\( \triangle OAB \text{ में } \angle O = 120^\circ \)
\( \implies \angle A + \angle B = 180^\circ - 120 = 60^\circ \)
\( \therefore OB = OA = 12 \text{ सेमी.} \)
\( \implies \angle A = \angle B = 30^\circ \)
\( \text{अतः } \frac{OM}{OA} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \implies OM = OA \times \frac{1}{2} \)
\( \implies OM = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ सेमी.} \)
\( \text{समकोण } \triangle AMO \text{ में,} \)
\( 12^2 - 6^2 = AM^2 \)
\( \implies 144 - 36 = AM^2 \)
\( \implies 108 = AM^2 \)
\( \implies AM = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \)
\( \implies 2 AM = 12\sqrt{3} \)
\( \implies AB = 12\sqrt{3} \text{ सेमी.} \)
\( \text{अब } (2) \text{ से,} \)
\[ \text{क्षे. } (\Delta AOB) = \frac{1}{2} \times AB \times OM \]
\( = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} \times 6 \text{ सेमी.}^2 \)
\( = 36\sqrt{3} \text{ सेमी.}^2 \)
\( = 36 \times 1.73 \text{ सेमी.}^2 = 62.28 \text{ सेमी.}^2 \dots(3) \)
\( (1) \text{ और } (3) \text{ से,} \)
\( \text{लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल} \)
\( = [\text{लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल }] - [\triangle AOB \text{ का क्षे.}] \)
\( = [150.72 \text{ सेमी.}^2] - [62.28 \text{ सेमी.}^2] = 88.44 \text{ सेमी.}^2 \)
In simple words: हमने पहले 120 डिग्री के केंद्रीय कोण और 12 सेमी त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकाला। फिर, संगत त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्यामिति और त्रिकोणमिति का उपयोग किया। अंत में, संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाया।

🎯 Exam Tip: 120 डिग्री के कोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, ऊंचाई (OM) और आधार (AB) निकालने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों का सही ढंग से उपयोग करें। \( \sqrt{3} \) के मान को याद रखें।

 

Question 8. 15 cm भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5m लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए आकृति) | ज्ञात कीजिए :
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वर्गाकार घास के मैदान को दर्शाता है जिसकी भुजा 15 सेमी है। मैदान के एक कोने पर एक घोड़ा 5 मीटर लंबी रस्सी से बंधा हुआ है, जो मैदान के अंदर एक वृत्ताकार क्षेत्र में चर रहा है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें एक वर्गाकार मैदान के कोने से बंधी एक घोड़े द्वारा चरे जा सकने वाले अधिकतम क्षेत्रफल की गणना करनी है। घोड़ा रस्सी की लंबाई के बराबर त्रिज्या वाले एक चतुर्थांश के क्षेत्र में चर सकता है, क्योंकि मैदान का कोना 90 डिग्री का कोण बनाता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, हमेशा याद रखें कि घोड़े द्वारा चरा गया क्षेत्र एक चतुर्थांश (क्वार्टर सर्कल) होगा क्योंकि मैदान का कोना 90 डिग्री का होता है। त्रिज्या रस्सी की लंबाई के बराबर होती है।

 

Question 9. एक वृताकार ब्रुच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35 mm है | तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसाकि आकृति 12.12 में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए :
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई
(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

Answer: हलः वृत्त का व्यास = 35 मिमी.
.. त्रिज्या \(r = \frac{35}{2}\) मिमी.
(i) परिधि \( = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \) मिमी.
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} = 110 \) मिमी.
\( \implies \) ब्रूच बनाने में प्रयुक्त चाँदी तार की लम्बाई
\( = 110 \) मिमी.
.. 5 व्यासों में प्रयुक्त तार की लम्बाई
\( = 5 \times 35 = 175 \) मिमी.
\( \implies \) कुल प्रयुक्त तार \( = (110 + 175) \) मिमी.
\( = 285 \) मिमी.
(ii) चूंकि वृत्त को 10 समान त्रिज्यखण्डों में बाँटा गया है।
\( = \frac{1}{10} \times \) वृत्त का क्षेत्रफल
\( = \frac{1}{10} \times (\pi r^2) \), जहाँ कि \(r = \frac{35}{2}\) मिमी.
\( = \frac{1}{10} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2} \) मिमी.²
\( = \frac{385}{4} \) मिमी.²
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्ताकार ब्रूच को दर्शाता है जिसमें इसे चाँदी के तार से बनाया गया है। इसमें 5 व्यास तार हैं जो ब्रूच को 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करते हैं, और बाहरी वृत्त की परिधि भी तार से बनी है, जिसमें प्रत्येक भाग एक सर्पिल डिज़ाइन से भरा है।In simple words: ब्रूच की कुल तार की लंबाई निकालने के लिए, हमें उसकी परिधि और सभी पाँच व्यासों की लंबाई को जोड़ना होगा। प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम पूरे वृत्त के क्षेत्रफल को 10 से विभाजित करेंगे, क्योंकि ब्रूच को 10 समान त्रिज्यखंडों में बांटा गया है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, कुल तार की लंबाई निकालने के लिए परिधि और सभी व्यासों की लंबाई को जोड़ना महत्वपूर्ण है। क्षेत्रफल के लिए, त्रिज्यखंड के कोण या कुल भागों की संख्या का सही उपयोग करें।

 

Question 10. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए आकृति)| छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Answer: हलः यहाँ, त्रिज्या \(r = 45\) सेमी.
चूंकि 8 समान त्रिज्यखण्डों में बांटा गया है।
प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का कोण \(\theta = \frac{360}{8} = 45^\circ\)
.. प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{45}{360} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45 \) सेमी.²
\( = \frac{11 \times 45 \times 45}{4 \times 7} \) सेमी.² \( = \frac{22275}{28} \) सेमी.²
.. दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल
\( = \frac{22275}{28} \) सेमी.²
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक खुली हुई छतरी को ऊपर से दर्शाता है, जिसे एक सपाट वृत्त माना गया है। इसमें 8 ताने हैं जो इसे 8 समान त्रिज्यखंडों में विभाजित करते हैं, और प्रत्येक ताने एक दूसरे से समान दूरी पर हैं, जिससे वृत्त के केंद्र पर समान कोण बनते हैं।In simple words: छतरी को एक वृत्त मानकर, जिसमें आठ बराबर भाग हैं, दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल होगा। इसके लिए, हम वृत्त के कुल कोण (360°) को 8 से विभाजित करके एक त्रिज्यखंड का कोण निकालेंगे और फिर उस कोण और त्रिज्या का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।

🎯 Exam Tip: यह समझना महत्वपूर्ण है कि छतरी के ताने एक वृत्त को समान त्रिज्यखंडों में बांटते हैं। क्षेत्रफल निकालने के लिए सही त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र (\(\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2\)) और कोण \(\theta\) का मान सही ढंग से उपयोग करें।

 

Question 11. किसी कार के दो वाइपर (wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं | प्रत्येक वाइपर की पट्टी की लंबाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पट्टियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ़ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।

Answer: हलः यहाँ
त्रिज्या \(r = 25\) सेमी.
त्रिज्यखण्ड का कोण \(\theta = 115^\circ\)
.. पत्तियों के प्रत्येक घुमाव द्वारा साफ हुआ क्षेत्रफल
\( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \times 2 \)
[ यहाँ 2 से गुणा इसलिए किया गया है कि पत्ती घूमकर आती और जाती है]
\( = \frac{115}{360} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 25 \times 2 \) सेमी.²
\( = \frac{23 \times 11 \times 25 \times 25}{18 \times 7} \) सेमी.²
\( = \frac{158125}{126} \) सेमी.²In simple words: प्रत्येक वाइपर कार के शीशे पर एक त्रिज्यखंड के आकार का क्षेत्र साफ करता है। चूंकि दो वाइपर हैं और वे समान क्षेत्र साफ करते हैं, तो कुल साफ किया गया क्षेत्रफल एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में, दो वाइपर होने के कारण त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल को 2 से गुणा करना न भूलें। वाइपर की लंबाई त्रिज्या का काम करती है और घुमाव का कोण \(\theta\) का।

 

Question 12. जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house ) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है| समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (\( \pi = 3.14 \) का प्रयोग कीजिए)

Answer: हलः यहाँ, त्रिज्या \(r = 16.5\) किमी.
त्रिज्यखण्ड का कोण \(\theta = 80^\circ\)
.. जहाजों को चेतावनी वाला समुद्ग का भाग
\( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{80}{360} \times \frac{314}{100} \times \frac{165}{10} \times \frac{165}{10} \) किमी.²
\( = \frac{157 \times 11 \times 11}{100} \) किमी.²
\( = \frac{18997}{100} \) किमी.² \( = 189.97 \) किमी.²In simple words: लाइट हाउस द्वारा फैलाया गया प्रकाश समुद्र में एक त्रिज्यखंड का क्षेत्र बनाता है। इस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करना होगा, जिसमें प्रकाश की अधिकतम दूरी को त्रिज्या और दिए गए कोण को \(\theta\) के रूप में लिया जाएगा।

🎯 Exam Tip: त्रिज्या और कोण के मानों का सही ढंग से उपयोग करके त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। \(\pi\) के दिए गए मान (3.14) का उपयोग करना सुनिश्चित करें।

 

Question 13. एक गोल मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसाकि आकृति 12.14 में दर्शाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो 0.35 Rs. प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए । (\( \sqrt{3} = 1.73 \) का प्रयोग कीजिए)

Answer: हलः यहाँ, \(r = 28\) सेमी.
चूंकि वृत्त को छः समान त्रिज्यखंडों में बांटा गया है।
.. प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का कोण \( \theta = \frac{360}{6} = 60^\circ \)
अब, त्रिज्या \(r = 28\) सेमी. और त्रिज्यखण्ड कोण \(\theta = 60^\circ\) वाले
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28 \) सेमी.²
\( = \frac{44 \times 28}{3} \) सेमी.²
\( = 410.67 \) सेमी.² ...(1)
अब,
1 डिजाइन का क्षेत्रफल \( = \) वृत्तखण्ड APB का क्षेत्रफल
\( = [\) त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \(] - [\triangle AOB \) का क्षेत्रफल \(]\) ...(2)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक गोल मेज़पोश को दर्शाता है जिसमें केंद्र O है और त्रिज्या 28 सेमी है। मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं जो वृत्त के भीतर एक समबाहु त्रिभुज ABC को घेरते हैं, और प्रत्येक डिज़ाइन एक वृत्तखंड के रूप में है।
अब, \(\triangle AOB\) में,
\( \angle AOB = 60^\circ \)
\( OA = OB = 28 \) सेमी.
.. \( \angle OAB = 60^\circ \) और \( \angle OBA = 60^\circ \)
\( \implies \triangle AOB \) एक समबाहु त्रिभुज है।
\( \implies AB = AO = BO \implies AB = 28 \) सेमी.
OM \( \perp \) AB खींचो
.. समकोण \(\triangle AOM\) में, हमें प्राप्त है कि
\( \frac{OM}{OA} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \implies OM = OA \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 28 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 14 \times \sqrt{3} \) सेमी.
.. \(\triangle AOB\) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times AB \times OM \)
\( = \frac{1}{2} \times 28 \times 14\sqrt{3} \) सेमी.²
\( = 14 \times 14\sqrt{3} \) सेमी.²
\( = 14 \times 14 \times 1.7 \) सेमी.²
\( = 333.3 \) सेमी.² ...(3)
अब (1), (2) और (3) से, हमें प्राप्त होता है
वृत्तखण्ड APQ का क्षेत्रफल
\( = 410.67 - 333.2 \) सेमी.² \( = 77.47 \) सेमी.²
\( \implies \) एक डिजाइन का क्षेत्रफल \( = 77.47 \) सेमी.²
.. 6 समान डिजाइनों का क्षेत्रफल \( = 6 \times (77.47) \) सेमी.²
\( = 464.82 \) सेमी.²
डिजाइनों को बनाने की लागत \( = 0.35 \times 464.82 \) Rs.
\( = 162.68 \) Rs.In simple words: मेज़पोश पर बने छः डिजाइनों का कुल क्षेत्रफल निकालने के लिए, पहले एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और उसके भीतर बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे। त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर एक डिजाइन का क्षेत्रफल प्राप्त होगा। फिर इसे 6 से गुणा कर कुल क्षेत्रफल निकाला जाएगा और लागत ज्ञात करने के लिए प्रति वर्ग सेंटीमीटर दर से गुणा करेंगे।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप \(\triangle AOB\) का क्षेत्रफल सही ढंग से ज्ञात करें, क्योंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है। \(\sqrt{3}\) के दिए गए मान का उपयोग करके गणनाओं को सटीक रखें। कुल लागत निकालने के लिए क्षेत्रफल को दर से गुणा करना न भूलें।

 

Question 14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए : त्रिज्या R वाले के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है :
(A) \( \frac{p}{180} \times 2\pi R \)
(B) \( \frac{p}{180} \times \pi R^2 \)
(C) \( \frac{p}{360} \times 2\pi R \)
(D) \( \frac{p}{720} \times 2\pi R^2 \)

Answer: हलः यहाँ,
त्रिज्या \(r = R\),
त्रिज्यखण्ड का कोण \( (\theta) = p^\circ \)
.. त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{p}{360^\circ} \times \pi R^2 \)
\( = \frac{2 p^\circ}{2 \times 360^\circ} \times \pi R^2 \)
\( = \frac{p \times 2\pi R^2}{720} \)
.. विकल्प (D) सही है।
Answer: (D) \( \frac{p}{720} \times 2\pi R^2 \)In simple words: एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसके कोण को 360 डिग्री से विभाजित किया जाता है और फिर उसे पूरे वृत्त के क्षेत्रफल (\(\pi R^2\)) से गुणा किया जाता है। दिए गए विकल्पों में, हमें इस सूत्र के समतुल्य विकल्प को पहचानना है।

🎯 Exam Tip: त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र \(\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2\) को हमेशा याद रखें। दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनने के लिए सूत्र को सरल करके या दिए गए रूप में बदलकर देखें।

प्रश्नावली 12.3

 

Question 1. आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 सेमी., PR = 7 सेमी. तथा O वृत्त का केंद्र है।

Answer: हलः चूंकि O, वृत्त का केन्द्र है
.. QOR एक व्यास है।
\( \implies \angle RPQ = 90^\circ \) [अर्धवृत्त में बना कोण]
समकोण \(\triangle RPQ\), हमें प्राप्त होता है:
\( RQ^2 = PQ^2 + PR^2 \)
\( \implies RQ^2 = 24^2 + 7^2 \)
\( = 576 + 49 = 625 \)
\( \implies RQ = \sqrt{625} = 25 \)
.. क्षे. \((\triangle RPQ) = \frac{1}{2} PQ \times RP \)
\( = \frac{1}{2} \times 24 \times 7 \) सेमी.²
\( = 12 \times 7 \) सेमी.² \( = 84 \) सेमी.²
अब, अर्धवृत्त का क्षेत्रफल
\( = \frac{1}{2} \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{2} \times \frac{25}{2} \) सेमी.²
\( = \frac{11 \times 625}{7 \times 4} \) सेमी.²
\( = \frac{6875}{28} \) सेमी.² \( = 245.54 \) सेमी.²
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। इसमें एक अर्धवृत्त के भीतर एक समकोण त्रिभुज RPQ बना हुआ है, जहाँ QOR वृत्त का व्यास है। छायांकित भाग अर्धवृत्त के क्षेत्रफल से त्रिभुज RPQ के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त होता है।In simple words: छायांकित भाग का क्षेत्रफल अर्धवृत्त के क्षेत्रफल से त्रिभुज RPQ के क्षेत्रफल को घटाकर निकाला जाएगा। पहले व्यास (RQ) ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करेंगे, फिर अर्धवृत्त और त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करेंगे।

🎯 Exam Tip: अर्धवृत्त में बने कोण का 90° होना महत्वपूर्ण है, क्योंकि इससे त्रिभुज RPQ एक समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस प्रमेय और वृत्त व त्रिभुज के क्षेत्रफल सूत्रों का सही उपयोग करें।

 

Question 2. आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र O वाले दोनों संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिन्याएँ क्रमशः 7 सेमी. और 14 सेमी. हैं तथा \( \angle AOC = 40^\circ \) है।

Answer: हलः यहाँ
बाह्यवृत की त्रिज्या \( = 14 \) सेमी.
\( \theta = 40^\circ \)
.. \(40^\circ\) कोण वाले त्रिज्यखण्ड AOC का क्षेत्रफल
\( = \frac{40}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \) सेमी.²
\( = \frac{1}{9} \times 22 \times 2 \times 14 \) सेमी.² \( = \frac{616}{9} \) सेमी.²
भीतरी वृत्त की त्रिज्या \( = 7 \) सेमी.
यहाँ भी \( \theta = 40^\circ \)
.. BOD त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
\( = \frac{40}{360} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \) सेमी.²
\( = \frac{1}{9} \times 22 \times 7 \) सेमी.² \( = \frac{154}{9} \) सेमी.²
अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल
\( = (\) त्रिज्यखंड AOC का क्षे. \() - (\) त्रिज्यखण्ड BOD का क्षे. \( ) \)
\( = \frac{616}{9} - \frac{154}{9} \) सेमी.²
\( = \frac{[616 - 154]}{9} \) सेमी.² \( = \frac{1}{9} \times 462 \) सेमी.²
\( = \frac{154}{3} \) सेमी.²
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र केंद्र O वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों को दर्शाता है। एक बड़ा वृत्त है जिसकी त्रिज्या 14 सेमी है, और एक छोटा वृत्त है जिसकी त्रिज्या 7 सेमी है। एक कोण \( \angle AOC = 40^\circ \) है जो इन दोनों वृत्तों को काटता है, जिससे दो त्रिज्यखंड बनते हैं। छायांकित भाग बड़े त्रिज्यखंड और छोटे त्रिज्यखंड के बीच का क्षेत्र है।In simple words: छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें बड़े वृत्त के त्रिज्यखंड (AOC) के क्षेत्रफल से छोटे वृत्त के त्रिज्यखंड (BOD) के क्षेत्रफल को घटाना होगा। दोनों त्रिज्यखंडों के लिए कोण 40° है, लेकिन त्रिज्याएँ अलग-अलग हैं।

🎯 Exam Tip: संकेंद्रीय वृत्तों वाले प्रश्नों में, बड़े और छोटे त्रिज्यखंडों की त्रिज्याओं को सही ढंग से पहचानें। क्षेत्रफल निकालते समय घटाव करते समय भिन्न के सामान्य हर का उपयोग करके गणना को सरल बनाएं।

 

Question 3. आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 सेमी. का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं।

Answer: हलः वर्ग की भुजा \( = 14 \) सेमी.
.. वर्ग का क्षेत्रफल \( = \) भुजा \( \times \) भुजा
\( = 14 \times 14 \) सेमी.²
\( = 196 \) सेमी.²
अब, वृत्त का व्यास \( = \) वर्ग की भुजा \( = 14 \) सेमी.
\( \implies \) वृत्त की त्रिज्या \( = \frac{14}{2} = 7 \) सेमी.
.. अर्धवृत्त APD का क्षेत्रफल
\( = \frac{1}{2} \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \) सेमी.²
\( = 77 \) सेमी.²
इसी प्रकार,
अर्धवृत्त BPC का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \) सेमी.
\( = 77 \) सेमी.²
अब, छायांकित भाग का क्षेत्रफल
\( = [\) वर्ग का क्षेत्रफल \(] - [\) (अर्धवृत्त APD का क्षे. \() + (\) अर्धवृत्त BPC का क्षे. \( ) ] \)
\( = 196 \) सेमी.² \( - [77 + 77] \) सेमी.²
\( = 196 \) सेमी.² \( - 154 \) सेमी.² \( = 42 \) सेमी.²
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वर्ग ABCD को दर्शाता है जिसकी भुजा 14 सेमी है। वर्ग के दोनों विपरीत भुजाओं, AD और BC को व्यास मानकर दो अर्धवृत्त APD और BPC बनाए गए हैं। छायांकित भाग वह क्षेत्र है जो वर्ग के क्षेत्रफल से इन दोनों अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।In simple words: छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम पूरे वर्ग के क्षेत्रफल से वर्ग के अंदर बने दो अर्धवृत्तों के कुल क्षेत्रफल को घटाएंगे। वर्ग की भुजा अर्धवृत्तों के व्यास के बराबर होगी, जिससे हम उनकी त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: वर्ग की भुजा अर्धवृत्त के व्यास के बराबर होती है, इसलिए त्रिज्या व्यास का आधा होगी। कुल छायांकित क्षेत्रफल निकालने के लिए वर्ग के क्षेत्रफल से दोनों अर्धवृत्तों के क्षेत्रफल को घटाना याद रखें।

 

Question 4. आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 सेमी. वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केंद्र मान कर 6 सेमी. त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।

Answer: हलः वृत्त की त्रिज्या \(r = 6\) सेमी.
.. 6 सेमी. त्रिज्या के वृत्त का क्षे. \( = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \) सेमी.²
\( = \frac{792}{7} \) सेमी.²
12 सेमी. भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 \times 12 \) सेमी.²
\( = 36\sqrt{3} \) सेमी.²
[\(\because\) समबाहु \(\triangle\) का प्रत्येक कोण \( = 60^\circ \)]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समबाहु त्रिभुज OAB है जिसकी प्रत्येक भुजा 12 सेमी है। शीर्ष O को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्तीय चाप (त्रिज्यखंड COD) खींचा गया है, जो त्रिभुज के एक कोने को काटता है। छायांकित भाग में पूरा त्रिभुज, वृत्त का शेष भाग (त्रिज्यखंड COD को छोड़कर) और वृत्तीय चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्र शामिल है।
.. \( \angle AOB = 60^\circ \)
.. त्रिज्यखण्ड COD का क्षे.
\( = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 = \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \) सेमी.²
\( = \frac{22 \times 6}{7} \) सेमी.² \( = \frac{132}{7} \) सेमी.²
अब, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल
\( = [\) वृत का क्षेत्रफल \(] + [\) समबाहु \(\triangle\) का क्षेत्रफल \(] - [\) त्रिज्यखण्ड COD का क्षेत्रफल \( ] \)
\( = \frac{792}{7} \) सेमी.² \( + 36\sqrt{3} \) सेमी.² \( - \frac{132}{7} \) सेमी.²
\( = [\frac{792 - 132}{7} + 36\sqrt{3}] \) सेमी.²
\( = [\frac{660}{7} + 36\sqrt{3}] \) सेमी.²In simple words: छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, समबाहु त्रिभुज OAB के क्षेत्रफल को पूरे वृत्त के क्षेत्रफल में जोड़ें और फिर उस त्रिज्यखंड (COD) के क्षेत्रफल को घटाएं जो त्रिभुज और वृत्त के बीच में अतिव्यापित (overlap) हो रहा है।

🎯 Exam Tip: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है, जो त्रिज्यखंड के कोण के बराबर है। ओवरलैप हो रहे त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल को एक बार घटाया जाना चाहिए ताकि क्षेत्र को दोबारा न गिना जाए।

 

Question 5. भुजा 4 सेमी. वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 सेमी. व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वर्ग को दर्शाता है जिसकी भुजा 4 सेमी है। वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का चतुर्थांश काटा गया है। इसके अलावा, वर्ग के ठीक बीच में 2 सेमी व्यास का एक छोटा वृत्त भी काटा गया है। छायांकित भाग वर्ग का शेष क्षेत्र है।
Answer: हलः वर्ग की भुजा \( = 4 \) सेमी.
.. वर्ग ABCD का क्षेत्रफल \( = 4 \times 4 \) सेमी.²
\( = 16 \) सेमी.²
चूंकि वर्ग के प्रत्येक कोने पर एक वृत्त का चतुर्थांश काटा गया है।
.. त्रिज्या (एक चतुर्थांश वृत्त की) \( = 1 \) सेमी.
.. 1 चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{4} \pi r^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 1 \times 1 \) सेमी.²
\( = \frac{22}{28} = \frac{11}{14} \) सेमी.²
.. 4 चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल \( = 4 \times \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 1 \times 1 \) सेमी.²
\( = \frac{22}{7} \) सेमी.²
बीच के वृत्त का व्यास \( = 2 \) सेमी.,
बीच के वृत्त की त्रिज्या \( = 1 \) सेमी.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
\( = [\) वर्ग ABCD का क्षेत्रफल \(] - [ (\) वृत्त 4 चतुर्थांशों का क्षेत्रफल \() + (\) बीच के वृत्त का क्षेत्रफल \( ) ] \)
\( = [16] - [(\frac{22}{7}) + (\frac{22}{7})] \) सेमी.²
\( = 16 - (2 \times \frac{22}{7}) \) सेमी.²
\( = 16 - \frac{44}{7} \) सेमी.²
\( = \frac{112 - 44}{7} \) सेमी.² \( = \frac{68}{7} \) सेमी.²In simple words: वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल निकालने के लिए, वर्ग के कुल क्षेत्रफल से सभी चार कोनों से काटे गए चतुर्थांशों के कुल क्षेत्रफल और बीच में काटे गए छोटे वृत्त के क्षेत्रफल को घटाना होगा। चार चतुर्थांश मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं।

🎯 Exam Tip: ध्यान दें कि चार चतुर्थांश मिलकर एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं। इसलिए, आप सीधे उस वृत्त के क्षेत्रफल को घटा सकते हैं जिसकी त्रिज्या चतुर्थांश की त्रिज्या के बराबर है। गणना में भिन्न को सही ढंग से जोड़ना/घटाना सुनिश्चित करें।

 

Question 6. एक वृत्ताकार मेज़पोश, जिसकी त्रिज्या 32 सेमी. है, में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बना हुआ है, जैसाकि आकृति में दिखाया गया है। इस डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्ताकार मेज़पोश को दर्शाता है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 32 सेमी है। मेज़पोश के केंद्र में एक समबाहु त्रिभुज ABC बना हुआ है, और त्रिभुज के बाहर, वृत्त और त्रिभुज के बीच का क्षेत्र डिज़ाइन किया गया है। छायांकित भाग वृत्त के भीतर त्रिभुज को छोड़कर डिज़ाइन किए गए क्षेत्र को दर्शाता है।
Answer: हलः त्रिज्या, \( r = 32 \) सेमी. वाले वृत्त का क्षेत्रफल \( \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 32 \times 32 \) सेमी.²
\( = \frac{22528}{7} \) सेमी.²
चूंकि O वृत्त का केन्द्र है,
\( AO = OB = OC = 32 \) सेमी.
\( \implies \angle AOB = \angle BOC = \angle AOC = 120^\circ \)
अब \(\triangle AOB\) में,
\( \angle 1 = 30^\circ \) \( \because \angle 1 + \angle 2 = 60^\circ \)
तथा \( OA = OB \implies \angle 1 = \angle 2 \)
यदि OM \( \perp \) AB हो, तो
\( \frac{OM}{OA} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \implies OM = OA \times \frac{1}{2} \)
\( OM = 32 \times \frac{1}{2} = 16 \) सेमी. ...(1)
तथा \( \frac{AM}{AO} = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AO = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 32 \)
\( 2 AM = AB \)
\( = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \times 32) = 32\sqrt{3} \) सेमी.
...(2)
अब, (1) और (2) से
\(\triangle AOB\) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times OM \times AB \)
\( = \frac{1}{2} \times 16 \times 32\sqrt{3} \) सेमी.²
\( = 256\sqrt{3} \) सेमी.²
चूंकि \(\triangle ABC\) का क्षेत्रफल \( = 3 \times [\triangle AOB \) का क्षेत्रफल \( ] \)
\( = 3 \times 256 \times \sqrt{3} \) सेमी.²
\( = 768\sqrt{3} \) सेमी.²
अब, डिजाइन का क्षेत्रफल
\( = [\) वृत्त का क्षेत्रफल \(] - [\) समबाहु \(\triangle\) का क्षेत्रफल \(] \)
\( = [\frac{22528}{7} - 768\sqrt{3}] \) सेमी.²In simple words: डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, पूरे वृत्ताकार मेज़पोश के क्षेत्रफल से बीच में छोड़े गए समबाहु त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को घटाना होगा। हमें त्रिभुज की भुजा और फिर उसके क्षेत्रफल की गणना करनी होगी।

🎯 Exam Tip: इस समस्या में, समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को निकालने के लिए केंद्र से उसकी भुजा पर लंब खींचकर उसकी ऊँचाई और भुजा का सही मान ज्ञात करना आवश्यक है। वृत्त के क्षेत्रफल से त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाना याद रखें।

 

प्र. 7. आकृति में, ABCD भुजा 14 सेमी. वाला एक वर्ग है। A, B, C और D को केंद्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः चूंकि
वर्ग ABCD की भुजा = 14 सेमी.
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = \( 14 \times 14 \) सेमी.² = 196 सेमी.²
चूंकि
एक वृत्त की त्रिज्या = \( \frac{14}{2} \) = 7 सेमी.
अब, एक ऐसे त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसकी त्रिज्या 7 सेमी. और कोण \( \theta = 90^\circ \) है
= \( \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \) सेमी.² = \( \frac{11 \times 7}{2} \) सेमी.²
ऐसे 4 त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल = \( 4 \times \frac{11 \times 7}{2} \) सेमी.² = \( 2 \times 11 \times 7 \) सेमी.² = 154 सेमी.²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = [वर्ग ABCD का क्षेत्रफल] - [4 त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल]
= \( 196 - 154 \) सेमी.² = 42 सेमी.²
In simple words: The shaded area is found by taking the area of the square and subtracting the combined area of the four quarter-circles, each having a radius equal to half the square's side.

🎯 Exam Tip: Remember to calculate the area of the square and the four quarter circles (which together form one full circle) accurately to find the shaded region.

 

प्र. 8. आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं। दोनों आंतरिक समांतर रेखाखंडों के बीच की दूरी 60 मी. है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखंड 106 मी. लंबा है। यदि यह पथ 10 मी. चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए:
(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी ।
(ii) पथ का क्षेत्रफल ।
Answer: हलः (i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर की दूरी
= BC + EH + BPE + CQH
= \( 106 \text{ m} + 106 \) मी. \( + (\frac{1}{2} \times 2\pi r) + (\frac{1}{2} \times 2\pi r) \)
= \( 212 \text{ m} + \frac{1}{2} (2 \times \frac{22}{7} \times 30) + \frac{1}{2} (2 \times \frac{22}{7} \times 30) \)
[ \( \frac{r = BE}{2} = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \) मी. ]
= \( 212 \) मी. \( + \frac{1320}{7} \) मी. \( = \frac{2804}{7} \) मी.
(ii) अब, पथ का क्षेत्रफल = छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= [आयत ABCD का क्षे.] + [आयत EFGH का क्षेत्रफल]
+ 2[(प्रत्येक 40 सेमी. त्रिज्या वाले दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल) - (प्रत्येक 30 सेमी. त्रिज्या वाले दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल)]
= \( (106 \times 10 \) मी.²) \( + (106 \times 10 \) मी.²) \( + 2 [ \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (40)^2 - \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (30)^2 ] \) मी.²
= \( 1060 \) मी.² \( + 1060 \) मी.² \( - 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} (40^2 - 30^2) \) मी.²
= \( 2120 \) मी.² \( + 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} [(40+30) \times (40 - 30)] \) मी.²
= \( 2120 \) मी.² \( + \frac{22}{7} \times 70 \times 10 \) मी.² \( = 2120 \) मी.² \( + 2200 \) मी.² \( = 4320 \) मी²
In simple words: The distance around the inner edge of the track is calculated by adding the lengths of the two straight sections and the circumference of two semicircles. The area of the track is found by summing the areas of the two rectangular parts and the two annular (ring-shaped) sections formed by the outer and inner semicircles.

🎯 Exam Tip: Break down complex shapes like a racing track into simpler geometric figures (rectangles and semicircles) to calculate distances and areas systematically.

 

प्र. 9. आकृति में, AB और CD केंद्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास हैं। तथा OD छोटे वृत्त को व्यास है। यदि OA = 7 सेमी. है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः चूंकि O, वृत्त का केन्द्र है
\( OA = 7 \) सेमी.

\( \implies AB = 2 OA = 2 \times 7 = 14 \) सेमी.
\( OC = OA = 7 \) सेमी.
चूंकि AB और CD परस्पर लंब हैं

\( \implies OC \perp AB \)
क्षे. ( \( \triangle ABC \) ) = \( \frac{1}{2} \times AB \times OC = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 \) सेमी.² = 49 सेमी.²
पुनः
\( OD = OA = 7 \) सेमी.
छोटे वृत्त की त्रिज्या = \( \frac{1}{2} (OD) = \frac{1}{2} \times 7 = \frac{7}{2} \) सेमी.
छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = \( \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \) सेमी.² = \( \frac{11 \times 7}{2} = 77 \) सेमी.²
अब,
बड़े वृत्त की त्रिज्या = \( \frac{14}{2} \) सेमी. = 7 सेमी.
बड़े अर्धवृत्त OABC का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} (\frac{22}{7} \times 7 \times 7) \) सेमी.² = \( \frac{11 \times 7}{2} \) सेमी.² = 77 सेमी.²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= [छोटे वृत्त का क्षेत्रफल] + [बड़े अर्धवृत्त OABC का क्षेत्रफल] - [ \( \triangle ABC \) का क्षेत्रफल]
= \( \frac{77}{2} \) सेमी.² \( + [77 \) सेमी.²] \( - [49 \) सेमी.²]
= \( \frac{77 + 154 - 98}{2} \) सेमी.² = \( \frac{231 - 98}{2} \) सेमी.²
= \( \frac{133}{2} \) सेमी.² = 66.5 सेमी.²
In simple words: The total shaded area is found by adding the area of the small circle and the large semicircle, then subtracting the area of the triangle formed by the perpendicular diameters.

🎯 Exam Tip: Clearly identify each component of the shaded region and use the correct formulas for circles, semicircles, and triangles. Pay attention to radius and diameter values.

 

प्र. 10. एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 सेमी. है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है (देखिए आकृति) । छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( \( \pi = 3.14 \) और \( \sqrt{3} = 1.73205 \) लीजिए ।)
Answer: हलः चूंकि
समबाहु \( \triangle ABC \) का क्षेत्रफल = 17320.5 सेमी.²
और
एक समबाहु \( \triangle \) का क्षे. = \( \frac{\sqrt{3}}{4} \) (भुजा)²
\( \frac{\sqrt{3}}{4} \) (भुजा)² = 17320.5
[ \( \because \sqrt{3} = 1.73205 \) (दिया है)]
\( \frac{1.73205}{4} \) (भुजा)² = 17320.5

\( \implies \) (भुजा)² = \( \frac{17320.5 \times 4}{1.73205} = 10000 \times 4 = 40000 \)

\( \implies \) (भुजा)² = \( (200)^2 \)

\( \implies \) भुजा = 200 सेमी.
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = \( \frac{200}{2} \) = 100 सेमी.
चूंकि एक समबाहु \( \triangle \) का प्रत्येक कोण \( 60^\circ \) होता है।
\( \therefore \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ \)
[उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण \( 60^\circ \) और त्रिज्या 100 सेमी.]
= \( \frac{60}{360} \times \frac{314}{100} \times 100 \times 100 \) सेमी.²
= \( \frac{1}{6} \times 314 \times 100 \) सेमी.² = \( \frac{31400}{6} = \frac{15700}{3} \) सेमी.²
चूंकि तीनों त्रिज्यखण्ड समान हैं
3 समान त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल = \( 3 \times \frac{15700}{3} \) सेमी.² = 15700 सेमी.²
अब, छायांकित भाग का क्षेत्रफल = [समबाहु \( \triangle \) का क्षेत्रफल] - [3 समान त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल]
= [17320.5 सेमी.²] - [15700 सेमी.²] = 1620.5 सेमी.²
In simple words: The shaded area is found by subtracting the area of the three sectors (formed by the vertices of the equilateral triangle) from the total area of the equilateral triangle. Each sector has a radius equal to half the triangle's side and an angle of 60 degrees.

🎯 Exam Tip: When dealing with inscribed figures, remember to use the properties of the shapes, like the angles of an equilateral triangle, to determine sector angles. Ensure accurate calculations for both the triangle and sectors.

 

प्र. 11. एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 सेमी. है (देखिए आकृति) । रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः चूंकि वृत्त परस्पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
वर्ग की भुजा = \( 3 \times \) (वृत्त का व्यास)
= \( 3 \times (7 \times 2) \) सेमी.
[ \( \because \) व्यास = \( 2 \times 7 \) सेमी.]
= \( 3 \times 14 = 42 \) सेमी.
चूंकि वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा \( \times \) भुजा
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = \( (42 \times 42) \) सेमी.² = 1764 सेमी.²
अब,
एक वृत्त का क्षेत्रफल = \( \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \) सेमी.² = 154 सेमी.²
चूंकि डिजाइन में 9 एक समान वृत्त हैं
9 वृत्तों का क्षेत्रफल = \( 9 \times 154 \) सेमी.² = 1386 सेमी.²
अब,
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = [वर्ग का क्षेत्रफल]- [9 समान वृत्तों का क्षेत्रफल]
= \( 1764 \) सेमी.² \( - 1386 \) सेमी.² = 378 सेमी.²
In simple words: The remaining area of the handkerchief is found by subtracting the total area of the nine circular designs from the total area of the square handkerchief.

🎯 Exam Tip: For problems involving multiple identical shapes within a larger one, calculate the area of one small shape and multiply it by the count. Ensure units are consistent.

 

प्र. 12. आकृति में, OACB केंद्र O और त्रिज्या 3.5 सेमी. वाले एक वृत्त को चतुर्थांश है। यदि OD = 2 सेमी. है, तो । निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग ।
Answer: हलः यहाँ, वृत्त का केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 सेमी. है।
चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{4} \pi r^2 \)
= \( \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{10} \times \frac{35}{10} \) cm²
= \( \frac{11}{2} \times \frac{35}{20} \) सेमी.² = \( \frac{11 \times 7}{8} \) सेमी.² = \( \frac{77}{8} \) सेमी.²
अब,
क्षे. ( \( \triangle BOD \) ) = \( \frac{1}{2} \times OB \times OD \)
[ \( \because OB = 3.5 \) सेमी. = त्रिज्या और \( OD = 2 \) सेमी. ज्ञात है।]
= \( \frac{1}{2} \times \frac{35}{10} \times 2 \) सेमी.² = \( \frac{7}{2} \) सेमी.²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= [वृत्त के चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल ] - [ \( \triangle BOD \) का क्षेत्रफल]
= \( (\frac{77}{8} - \frac{7}{2}) \) सेमी.² = \( \frac{77 - 28}{8} \) cm² = \( \frac{49}{8} \) सेमी.²
In simple words: (i) The area of the quadrant is calculated using the formula for a quarter circle. (ii) The shaded area is found by subtracting the area of the triangle BOD from the area of the quadrant OACB.

🎯 Exam Tip: For quadrant problems, remember that the angle is 90 degrees. Accurately identify the base and height for any triangles involved to calculate their areas correctly.

 

प्र. 13. आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 सेमी. है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( \( \pi = 3.14 \) लीजिए ।) [CBSE Sample Paper 2011] C]
Answer: हलः यहाँ, वृत्त का केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 सेमी. है।
चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{4} \pi r^2 \)
= \( \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{10} \times \frac{35}{10} \) cm²
= \( \frac{11}{2} \times \frac{35}{20} \) सेमी.² = \( \frac{11 \times 7}{8} \) सेमी.² = \( \frac{77}{8} \) सेमी.²
अब,
क्षे. ( \( \triangle BOD \) ) = \( \frac{1}{2} \times OB \times OD \)
[ \( \because OB = 3.5 \) सेमी. = त्रिज्या और \( OD = 2 \) सेमी. ज्ञात है।]
= \( \frac{1}{2} \times \frac{35}{10} \times 2 \) सेमी.² = \( \frac{7}{2} \) सेमी.²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= [वृत्त के चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल ] - [ \( \triangle BOD \) का क्षेत्रफल]
= \( (\frac{77}{8} - \frac{7}{2}) \) सेमी.² = \( \frac{77 - 28}{8} \) cm² = \( \frac{49}{8} \) सेमी.²
In simple words: To find the shaded area, we subtract the area of the square OABC from the area of the quadrant OPBQ. The radius of the quadrant is the diagonal of the square.

🎯 Exam Tip: For problems involving a square inscribed in a quadrant, the diagonal of the square is the radius of the quadrant. Use the Pythagorean theorem to find this relationship if not directly given.

 

प्र. 14. AB और CD केंद्र O तथा त्रिज्याओं 21 सेमी. और 7 सेमी. वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं (देखिए आकृति) । यदि \( \angle AOB = 30^\circ \) है, तो छायांकित भाग को क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) = 21 सेमी.
त्रिज्यखण्ड का कोण \( \theta = 30^\circ \)
त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल = \( \frac{30}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \) सेमी.²
= \( \frac{11 \times 21}{2} \) सेमी.² = \( \frac{231}{2} \) सेमी.²
छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 सेमी.,
चूंकि त्रिज्यखण्ड का कोण = \( 30^\circ \)
त्रिज्यखण्ड COD का क्षे. = \( \frac{30}{360} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \) cm² = \( \frac{77}{6} \) सेमी.²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = [त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल] - [त्रिज्यखण्ड COD का क्षेत्रफल]
= \( [\frac{231}{2} \) सेमी.²] \( - [\frac{77}{6} \) सेमी.²]
= \( \frac{693 - 77}{6} \) सेमी.² = \( \frac{616}{6} \) सेमी.² = \( \frac{308}{3} \) सेमी.²
In simple words: The shaded area, which is a segment between two concentric sectors, is found by subtracting the area of the smaller sector (COD) from the area of the larger sector (AOB).

🎯 Exam Tip: For concentric sectors, always subtract the area of the inner sector from the outer one. Ensure you use the correct radii for each sector.

 

प्र. 15. आकृति में, ABC त्रिज्या 14 सेमी. वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मान कर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: चतुर्थांश ABPC का क्षेत्रफल = \( \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \) सेमी.² [ \( \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \) का प्रयोग करने पर ]
= \( 22 \times 7 \) सेमी.² = 154 सेमी.²
चूंकि समकोण \( \triangle ABC \) का क्षेत्रफल
= \( \frac{1}{2} \times \) आधार \( \times \) लम्ब
= \( \frac{1}{2} \times 14 \times 14 \) सेमी.² = 98 सेमी.²
अर्धवृत्त BPC = 154 सेमी.² \( - \) 98 सेमी.² = 56 सेमी.²
और समकोण \( \triangle ABC \) में, \( AC^2 + AB^2 = BC^2 \)
\( 14^2 + 14^2 = BC^2 \)

\( \implies 196 + 196 = BC^2 \)

\( \implies BC^2 = 392 \)

\( \implies BC = \sqrt{392} = 14\sqrt{2} \) सेमी.
अर्धवृत्त BQC की त्रिज्या = \( \frac{14\sqrt{2}}{2} \) सेमी. = \( 7\sqrt{2} \) सेमी.
अर्धवृत्त BQC का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{2})^2 \)
= \( \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7\sqrt{2} \times 7\sqrt{2} \) सेमी.²
= \( 11 \times 7 \times 2 \) सेमी.² = 154 सेमी.²
अब,
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = [अर्धवृत्त BQC का क्षेत्रफल] \( - \) [अर्धवृत्त BPC का क्षेत्रफल]
= \( 154 \) सेमी.² \( - 56 \) सेमी.² = 98 सेमी.²
In simple words: The shaded area is found by first calculating the area of the semicircle BQC (with diameter BC) and then subtracting the area of the segment BPC, which is part of the quadrant. The segment BPC's area is the quadrant's area minus the triangle ABC's area.

🎯 Exam Tip: This problem involves overlapping shapes. Identify the common areas (like the segment BPC) and use addition/subtraction of areas to find the final shaded region. Pythagorean theorem is crucial for finding the diameter of the semicircle.

 

प्र. 16. आकृति में, छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 सेमी. त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
Answer: हलः
वर्ग की भुजा = 8 सेमी.
वर्ग (ABCD) का क्षेत्रफल = \( 8 \times 8 \) सेमी.² = 64 सेमी.²
अब,
चतुर्थांश ADQB की त्रिज्या = 8 सेमी.
चतुर्थांश ADQB का क्षेत्रफल = \( \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 8^2 \) सेमी.²
= \( \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 64 \) सेमी.² = \( \frac{22 \times 16}{7} \) सेमी.²
इसी प्रकार,
चतुर्थांश BPDC का क्षेत्रफल = \( \frac{22 \times 16}{7} \) सेमी.²
दोनों चतुर्थांशों के क्षे. का योग = \( 2 [\frac{22 \times 16}{7}] \) सेमी.² = \( \frac{704}{7} \) सेमी.²
अब,
डिजाइन का क्षेत्रफल = [दोनों चतुर्थांशों के क्षेत्रफलों का योग] \( - \) [वर्ग ABCD का क्षेत्रफल ]
= \( \frac{704}{7} \) सेमी.² \( - 64 \) सेमी.²
= \( \frac{704 - 448}{7} \) सेमी.² = \( \frac{256}{7} \) सेमी.²
In simple words: The shaded design, which is the overlapping area of two quadrants within a square, is found by adding the areas of the two quadrants and then subtracting the area of the square.

🎯 Exam Tip: For overlapping regions, use the principle of inclusion-exclusion: Area(A U B) = Area(A) + Area(B) - Area(A ∩ B). Here, the shaded design is Area(A ∩ B), so Area(A) + Area(B) - Area(A U B) applies, where A U B is the square. So, sum of quadrants - square area.