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Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 9 चतुर्भुज Miscellaneous Exercise

निम्नलिखित में से (प्रश्न 1 से 15 तक) प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए।

Question 1. एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°, 90° और 75° हैं। इसका चौथा कोण है-
(A) 90°
(B) 95°
(C) 105°
(D) 120°
Answer: (D) 120°
In simple words: We know that all four angles of a quadrilateral add up to 360 degrees. If you have three angles, add them together and then subtract this sum from 360 degrees to find the missing fourth angle.

🎯 Exam Tip: Remember that the sum of the interior angles of any quadrilateral is always 360 degrees. This fact is key to solving such problems.

Question 2. एक आयत का एक विकर्ण उसकी एक भुजा से 25° पर नत है। इसके विकर्णों के बीच का न्यूनकोण है-
(A) 55°
(B) 50°
(C) 40°
(D) 25°
Answer: (B) 50°

Answer: आयत में, विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं।
इसलिए, \( AC = BD \).
\( \implies \frac {1}{2} AC = \frac {1}{2} BD \).
\( \implies AO = OB \).
अब, \( \triangle AOB \) में, \( AO = OB \).
इसलिए, \( \angle OAB = \angle OBA \) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण).
दिया है कि विकर्ण उसकी एक भुजा से \( 25^\circ \) पर नत है, इसलिए मान लीजिए \( \angle OBA = 25^\circ \).
तो, \( \angle OAB = 25^\circ \).
त्रिभुज के कोणों के योग गुणधर्म से, \( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ \).
\( \angle AOB + 25^\circ + 25^\circ = 180^\circ \).
\( \angle AOB + 50^\circ = 180^\circ \).
\( \angle AOB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
यह विकर्णों के बीच का अधिक कोण है। न्यूनकोण (acute angle) होगा:
न्यूनकोण \( = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
In simple words: In a rectangle, the diagonals are equal and cut each other in half. If a diagonal makes a 25-degree angle with a side, then the triangle formed by parts of the diagonals and a side is an isosceles triangle. This means two angles are 25 degrees. The obtuse angle between the diagonals is 130 degrees. So, the acute angle is 180 minus 130, which is 50 degrees.

🎯 Exam Tip: Always remember that the diagonals of a rectangle are equal and bisect each other, forming isosceles triangles. This property is crucial for finding angles between diagonals.

Question 3. ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसमें ∠ACB = 40° तब ∠ADB है-
(A) 40°
(B) 45°
(C) 50°
(D) 60°
Answer: (C) 50°

Answer: एक समचतुर्भुज ABCD में, \( AD \parallel BC \) (समान्तर भुजाएँ) और AC एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, \( \angle CAD = \angle ACB \) (एकान्तर कोण).
दिया है \( \angle ACB = 40^\circ \).
\( \implies \angle CAD = 40^\circ \).
विकर्ण \( AC \) और \( BD \) एक-दूसरे को बिन्दु \( O \) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
एक समचतुर्भुज में, विकर्ण एक-दूसरे पर लंबवत होते हैं।
इसलिए, \( AC \perp BD \implies \angle AOD = 90^\circ \).
अब, \( \triangle AOD \) में, कोणों के योग गुणधर्म से:
\( \angle AOD + \angle OAD + \angle ADO = 180^\circ \).
\( 90^\circ + 40^\circ + \angle ADO = 180^\circ \).
\( 130^\circ + \angle ADO = 180^\circ \).
\( \implies \angle ADO = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
अतः, \( \angle ADB = 50^\circ \).
In simple words: In a rhombus, opposite sides are parallel and its diagonals cross each other at a right angle (90 degrees). If one angle formed by a diagonal and a side is 40 degrees, then by using properties of parallel lines and angles in a triangle, we can find the required angle. The sum of angles in a triangle is 180 degrees.

🎯 Exam Tip: Remember two key properties of a rhombus: its diagonals are perpendicular bisectors of each other, and its opposite sides are parallel. These help in applying alternate interior angles and triangle sum properties.

Question 4. चतुर्भुज PQRS की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को, एक ही क्रम में मिलाने पर बना चतुर्भुज एक आयत होता है, यदि :
(A) PQRS एक आयत है।
(B) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
(C) PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों।
(D) PQRS के विकर्ण परस्पर बराबर हो।
Answer: (D) PQRS के विकर्ण परस्पर बराबर हो।
In simple words: If you connect the middle points of the sides of a quadrilateral, you get a new shape. This new shape will be a rectangle if the original quadrilateral's diagonals are equal in length.

🎯 Exam Tip: The quadrilateral formed by joining the midpoints of the sides of any quadrilateral is always a parallelogram. It becomes a rectangle if the original quadrilateral's diagonals are equal in length.

Question 6. यदि चतुर्भुज ABCD के कोणों A, B, C और D को इसी क्रम में लेने पर, अनुपात 3 : 7 : 6 : 4 हो तो ABCD है एक
(A) समचतुर्भुज
(B) समांतर चतुर्भुज
(C) समलंब
(D) पतंग
Answer: (C) समलंब
Answer: माना चतुर्भुज ABCD के कोण \( A, B, C \) और \( D \) क्रमशः \( 3x, 7x, 6x \) और \( 4x \) हैं।
एक चतुर्भुज के सभी कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है।
इसलिए, \( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \).
\( 3x + 7x + 6x + 4x = 360^\circ \).
\( 20x = 360^\circ \).
\( x = \frac {360^\circ}{20} = 18^\circ \).
अब, कोणों का मान ज्ञात करते हैं:
\( \angle A = 3x = 3 \times 18^\circ = 54^\circ \).
\( \angle B = 7x = 7 \times 18^\circ = 126^\circ \).
\( \angle C = 6x = 6 \times 18^\circ = 108^\circ \).
\( \angle D = 4x = 4 \times 18^\circ = 72^\circ \).
अब, आसन्न कोणों के योग की जाँच करते हैं:
\( \angle A + \angle D = 54^\circ + 72^\circ = 126^\circ \).
\( \angle B + \angle C = 126^\circ + 108^\circ = 234^\circ \).
\( \angle A + \angle B = 54^\circ + 126^\circ = 180^\circ \).
\( \angle C + \angle D = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ \).
चूंकि \( \angle A + \angle B = 180^\circ \) (क्रमागत अन्तःकोणों का योग 180° है), इसलिए \( AD \parallel BC \).
और \( \angle C + \angle D = 180^\circ \).
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर है (\( AD \parallel BC \)), तो यह एक समलंब चतुर्भुज है। एक समलंब में केवल एक जोड़ा समानांतर भुजाएँ होती हैं.
In simple words: First, add up all the parts of the ratio to find the total. Then, use this total and the fact that all angles in a quadrilateral add up to 360 degrees to find the value of one 'x' part. After that, calculate each angle. If you find that one pair of opposite sides are parallel because their angles add up to 180 degrees, then the shape is a trapezium.

🎯 Exam Tip: When given angle ratios for a quadrilateral, always calculate the actual angle measures first. Then, check for properties like parallel sides (consecutive interior angles adding to 180°) or equal opposite angles to identify the quadrilateral type.

Question 7. यदि चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B के समद्विभाजक परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं, ∠B और ∠C के समद्विभाजक Q पर, ∠C और ∠D के समद्विभाजक R पर तथा ∠D और ∠A के S पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो PQRS है एक
Answer: एक आयत

Answer: माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज में, \( AD \parallel BC \) तथा \( AB \parallel DC \).
समान्तर चतुर्भुज में, आसन्न कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
तो, \( \angle A + \angle D = 180^\circ \).
कोणों के समद्विभाजकों के कारण:
\( \frac {1}{2} \angle A + \frac {1}{2} \angle D = \frac {180^\circ}{2} = 90^\circ \).
\( \implies \angle 1 + \angle 2 = 90^\circ \).
त्रिभुज \( \triangle ASD \) में (जहाँ \( S \) कोणों \( A \) और \( D \) के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है):
\( \angle ASD = 180^\circ - (\angle 1 + \angle 2) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
\( \angle PSR = \angle ASD = 90^\circ \) (शीर्षाभिमुख कोण).
इसी प्रकार, \( \angle PQR = 90^\circ \).
इसी तरह, \( \angle C + \angle B = 180^\circ \).
\( \implies \frac {1}{2} \angle C + \frac {1}{2} \angle B = \frac {180^\circ}{2} = 90^\circ \).
\( \implies \angle 3 + \angle 4 = 90^\circ \).
त्रिभुज \( \triangle CRD \) में, \( \angle CRD = 180^\circ - (\angle 3 + \angle 4) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
\( \angle QPR = \angle CRD = 90^\circ \) (शीर्षाभिमुख कोण).
इसलिए, चतुर्भुज \( PQRS \) में, \( \angle P = \angle Q = \angle R = \angle S = 90^\circ \).
अतः \( PQRS \) एक आयत होगा। सभी आंतरिक कोण \( 90^\circ \) के होते हैं.
In simple words: When you bisect (cut in half) all the angles of a parallelogram, the lines where they meet form a new shape in the middle. Because the angles inside a parallelogram add up to 180 degrees, the bisectors will always meet at 90-degree angles. This means the new shape formed by these bisectors will be a rectangle, as all its corners will be right angles.

🎯 Exam Tip: A classic geometry result states that the figure formed by the bisectors of the angles of a parallelogram is always a rectangle. Remember this property for quick solutions.

Question 8. यदि APB और CQD दो समांतर रेखाएँ हैं, तो कोणों APQ, BPQ, CQP और PQD के समद्विभाजक बनाते है-
(A) एक वर्ग
(B) एक समचतुर्भुज
(C) एक आयत
(D) कोई अन्य समांतर चतुर्भुज
Answer: (C) एक आयत

Answer: माना दो समांतर रेखाएँ \( APB \) और \( CQD \) हैं, और एक तिर्यक रेखा \( PQ \) उन्हें प्रतिच्छेद करती है।
समान्तर रेखाओं और तिर्यक रेखा के कारण, क्रमागत अन्तःकोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
इसलिए, \( \angle APQ + \angle CQP = 180^\circ \).
कोणों के समद्विभाजकों के लिए:
\( \frac {1}{2} \angle APQ + \frac {1}{2} \angle CQP = \frac {180^\circ}{2} = 90^\circ \).
मान लीजिए \( \angle 2 \) और \( \angle 4 \) क्रमशः \( \angle APQ \) और \( \angle CQP \) के आधे हैं, जो \( P \) और \( Q \) पर बनते हैं।
\( \implies \angle 2 + \angle 4 = 90^\circ \).
त्रिभुज \( PQR \) में (जहाँ \( R \) समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है):
\( \angle 2 + \angle 4 + \angle R = 180^\circ \).
\( 90^\circ + \angle R = 180^\circ \).
\( \implies \angle R = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
इसी प्रकार, \( \angle S = 90^\circ \).
इसी तरह, \( \angle BPQ + \angle DQP = 180^\circ \).
उनके समद्विभाजकों का योग भी \( 90^\circ \) होगा, जिसके परिणामस्वरूप \( \angle P \) और \( \angle Q \) भी \( 90^\circ \) होंगे।
चूंकि चतुर्भुज \( PRQS \) के सभी कोण \( 90^\circ \) हैं (अर्थात \( \angle P = \angle Q = \angle R = \angle S = 90^\circ \)),
अतः \( PRQS \) एक आयत होगा। यह एक आयत है क्योंकि इसकी सभी आंतरिक कोण \( 90^\circ \) हैं.
In simple words: When two parallel lines are cut by another line (called a transversal), the inside angles on the same side add up to 180 degrees. If you draw lines that cut these angles exactly in half (bisectors), these bisectors will form a rectangle. This is because the bisectors will always meet at right angles, making all four corners of the new shape 90 degrees.

🎯 Exam Tip: The quadrilateral formed by the angle bisectors of two parallel lines cut by a transversal is always a rectangle. This is a fundamental property in parallel lines and transversals geometry.

Question 9. एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बनने वाली आकृति होती है-
(A) एक समचतुर्भुज
(B) एक आयत
(C) एक वर्ग
(D) कोई भी समांतर चतुर्भुज
Answer: (B) एक आयत

Answer: माना \( ABCD \) एक समचतुर्भुज है। \( P, Q, R, S \) क्रमशः भुजाओं \( AB, BC, CD, DA \) के मध्य-बिन्दु हैं।
\( \triangle ABC \) में, \( P \) और \( Q \) क्रमशः \( AB \) और \( BC \) के मध्य-बिन्दु हैं।
मध्य-बिन्दु प्रमेय द्वारा, \( PQ \parallel AC \) तथा \( PQ = \frac {1}{2} AC \) ...(1)
इसी प्रकार, \( \triangle ADC \) में, \( S \) और \( R \) क्रमशः \( AD \) और \( CD \) के मध्य-बिन्दु हैं।
मध्य-बिन्दु प्रमेय द्वारा, \( SR \parallel AC \) तथा \( SR = \frac {1}{2} AC \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से, \( PQ \parallel SR \) तथा \( PQ = SR \).
चूंकि चतुर्भुज \( PQRS \) में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर और बराबर है, इसलिए \( PQRS \) एक समान्तर चतुर्भुज है।
अब, \( \triangle ABD \) में, \( P \) और \( S \) क्रमशः \( AB \) और \( AD \) के मध्य-बिन्दु हैं।
इसलिए, \( PS \parallel BD \) तथा \( PS = \frac {1}{2} BD \) ...(3)
चूंकि \( ABCD \) एक समचतुर्भुज है, उसके विकर्ण एक-दूसरे पर लंबवत होते हैं।
इसलिए, \( AC \perp BD \).
चूंकि \( PQ \parallel AC \) और \( PS \parallel BD \).
तो, \( PQ \perp PS \).
इसलिए, \( \angle SPQ = 90^\circ \).
एक समान्तर चतुर्भुज जिसका एक कोण \( 90^\circ \) हो, एक आयत होता है।
अतः, \( PQRS \) एक आयत होगा। समचतुर्भुज के मध्यबिंदुओं को जोड़ने से एक आयत बनता है क्योंकि इसके विकर्ण लंबवत होते हैं.
In simple words: When you join the middle points of all the sides of a rhombus, the new shape you get is always a rectangle. This happens because the diagonals of a rhombus cross each other at 90 degrees, and this property helps form the right angles of the rectangle.

🎯 Exam Tip: This is a direct application of the Midpoint Theorem combined with properties of a rhombus. The key is that diagonals of a rhombus are perpendicular, which creates the right angles for the inscribed figure.

Question 10. D और E क्रमश: △ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं तथा O भुजा BC पर कोई बिन्दु है। O को A से मिलाया जाता है। यदि P और Q क्रमश: OB और OC के मध्य-बिन्दु हैं, तो DEQP है एक-
(A) वर्ग
(B) आयत
(C) समचतुर्भुज
(D) समांतर चतुर्भुज
Answer: (D) समांतर चतुर्भुज
Answer: माना \( \triangle ABC \) में, \( D \) और \( E \) क्रमशः भुजाओं \( AB \) और \( AC \) के मध्य-बिन्दु हैं।
\( O \) भुजा \( BC \) पर कोई बिन्दु है। \( P \) और \( Q \) क्रमशः \( OB \) और \( OC \) के मध्य-बिन्दु हैं।
\( \triangle ABO \) में, \( D \) और \( P \) क्रमशः \( AB \) और \( OB \) के मध्य-बिन्दु हैं।
मध्य-बिन्दु प्रमेय द्वारा, \( DP \parallel AO \) तथा \( DP = \frac {1}{2} AO \) ...(1)
इसी प्रकार, \( \triangle AOC \) में, \( E \) और \( Q \) क्रमशः \( AC \) और \( OC \) के मध्य-बिन्दु हैं।
मध्य-बिन्दु प्रमेय द्वारा, \( EQ \parallel AO \) तथा \( EQ = \frac {1}{2} AO \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से, \( DP \parallel EQ \) तथा \( DP = EQ \).
चतुर्भुज \( DEQP \) में, सम्मुख भुजाओं का एक युग्म \( (DP \text{ और } EQ) \) समान्तर और बराबर है।
अतः \( DEQP \) एक समान्तर चतुर्भुज है। मध्यबिंदु प्रमेय का उपयोग करके, हम दिखा सकते हैं कि दो भुजाएँ समानांतर और बराबर हैं, जो एक समांतर चतुर्भुज बनाती हैं.
In simple words: In any triangle, if you join the middle points of two sides, that line will be parallel to the third side and half its length. By using this rule twice for different triangles within the main figure, we can show that two opposite sides of the quadrilateral DEQP are parallel and equal. This means DEQP is a parallelogram.

🎯 Exam Tip: The Midpoint Theorem is crucial here. Identify the triangles where it can be applied to find parallel and equal segments, which will help prove that DEQP is a parallelogram.

Question 11. एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि
(A) ABCD एक समचतुर्भुज है।
(B) ABCD के विकर्ण बराबर हैं।
(C) ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब है
(D) ABCD के विकर्ण परस्पर लंब है
Answer: (C) ABCD के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब है
In simple words: If you connect the middle points of the sides of any quadrilateral, the new shape you get will be a square only if the original quadrilateral has diagonals that are both equal in length and also cross each other at a perfect 90-degree angle.

🎯 Exam Tip: Remember the general rule: joining midpoints always forms a parallelogram. For this parallelogram to be a square, the original quadrilateral must have diagonals that are both equal and perpendicular.

Question 12. समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DAC = 32° और ∠AOB = 70° है तो ∠DBC है-
(A) 24°
(B) 86°
(C) 38°
(D) 32°
Answer: (C) 38°
Answer: एक समान्तर चतुर्भुज \( ABCD \) में, \( AD \parallel BC \) (समान्तर भुजाएँ) और \( AC \) एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, \( \angle BCA = \angle DAC \) (एकान्तर कोण).
दिया है \( \angle DAC = 32^\circ \).
\( \implies \angle BCA = 32^\circ \).
विकर्ण \( AC \) और \( BD \) एक-दूसरे को बिन्दु \( O \) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
\( \triangle BOC \) में, \( \angle AOB \) एक बाह्य कोण है।
बाह्य कोण प्रमेय द्वारा, \( \angle AOB = \angle OBC + \angle OCB \).
दिया है \( \angle AOB = 70^\circ \) और हमने \( \angle OCB = \angle BCA = 32^\circ \) ज्ञात किया है।
\( 70^\circ = \angle OBC + 32^\circ \).
\( \implies \angle OBC = 70^\circ - 32^\circ = 38^\circ \).
चूंकि \( \angle DBC \) और \( \angle OBC \) एक ही कोण हैं,
अतः \( \angle DBC = 38^\circ \).
In simple words: In a parallelogram, opposite sides are parallel. If you have a line cutting across them, alternate angles are equal. Also, the outer angle of a triangle is equal to the sum of the two opposite inner angles. By using these rules and the given angles, we can find the missing angle.

🎯 Exam Tip: For problems involving angles in parallelograms, always consider alternate interior angles due to parallel sides, and the exterior angle property of triangles. Also, remember that diagonals bisect each other, but not necessarily the angles.

Question 13. एक समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है?
(A) सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
(B) सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
(C) सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते हैं।
(D) विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
Answer: (C) सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते हैं।
In simple words: A parallelogram has opposite sides equal, opposite angles equal, and its diagonals cut each other in half. However, the diagonals do not always cut the opposite angles in half; this is only true for a rhombus or a square. So, statement (C) is not true for all parallelograms.

🎯 Exam Tip: Know the specific properties of different quadrilaterals. For a parallelogram, diagonals bisect each other but only bisect the angles if it's a rhombus. This distinction is a common point of confusion.

Question 14. D और E क्रमश: △ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं। DE का F तक बढ़ाया जाता है। यह सिद्ध करने के लिए कि CF रेखाखंड DA के बराबर और समांतर है, हमें एक अतिरिक्त सूचना की आवश्यकता है, जो है-
(A) ∠DAE = ∠EFC
(B) AE = EF
(C) DE = EF
(D) ∠ADE = ∠ECF
Answer: (C) DE = EF

Answer: दिया है \( D \) और \( E \) क्रमशः \( \triangle ABC \) की भुजाओं \( AB \) और \( AC \) के मध्य-बिन्दु हैं।
हमें \( CF \parallel DA \) और \( CF = DA \) सिद्ध करना है।
इसके लिए, हम \( \triangle ADE \) और \( \triangle CEF \) को सर्वांगसम सिद्ध करने का प्रयास करेंगे।
\( E \) भुजा \( AC \) का मध्य-बिन्दु है, इसलिए \( AE = EC \) (दिया है) ...(1)
\( \angle AED = \angle CEF \) (शीर्षाभिमुख कोण) ...(2)
सर्वांगसमता के \( SAS \) नियम के लिए हमें \( DE = EF \) की आवश्यकता है, क्योंकि \( DE \) को \( F \) तक बढ़ाया गया है।
यदि \( DE = EF \) (जो अतिरिक्त सूचना होगी) ...(3)
तो, समीकरण (1), (2) और (3) से, \( \triangle ADE \cong \triangle CEF \) (SAS नियम से).
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं \( (CPCT) \).
इसलिए, \( AD = CF \) और \( \angle DAE = \angle ECF \).
चूंकि \( \angle DAE = \angle ECF \) एकान्तर कोण हैं, इसलिए \( AD \parallel CF \).
अतः, \( CF = DA \) और \( CF \parallel DA \) सिद्ध करने के लिए, हमें अतिरिक्त सूचना \( DE = EF \) की आवश्यकता है। एक अतिरिक्त जानकारी के रूप में \( DE = EF \) होने पर, हम सर्वांगसमता नियम \( SAS \) का उपयोग करके त्रिभुजों को सर्वांगसम सिद्ध कर सकते हैं.
In simple words: To prove that line segment CF is equal and parallel to DA, we need to show that two triangles (ADE and CEF) are exactly the same (congruent). We already know two parts are equal or vertical angles. To use the Side-Angle-Side (SAS) rule for congruence, we need the third side to be equal, which means DE must be equal to EF. This extra piece of information is what's missing.

🎯 Exam Tip: When a problem asks for additional information to prove congruence or a geometric property, look for which part of a congruence rule (like SSS, SAS, ASA, AAS, RHS) is missing from the given information. Often, it's a side or an angle to complete a pair of corresponding parts.

Question 15. एक समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠BOC = 90° और ∠BDC = 50° है, तो ∠OAB है-
(A) 90°
(B) 50°
(C) 40°
(D) 10°
Answer: (C) 40°
Answer: एक समान्तर चतुर्भुज \( ABCD \) में, \( AB \parallel CD \) (समान्तर भुजाएँ) और \( BD \) एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, \( \angle ABD = \angle BDC \) (एकान्तर कोण).
दिया है \( \angle BDC = 50^\circ \).
\( \implies \angle ABD = 50^\circ \).
\( \implies \angle ABO = 50^\circ \).
त्रिभुज \( \triangle AOB \) में, हम कोणों के योग गुणधर्म का उपयोग कर सकते हैं।
या, \( \triangle BOC \) में, \( \angle BOC = 90^\circ \) (दिया है).
\( \triangle AOB \) में, \( \angle BOC \) एक बाह्य कोण है।
बाह्य कोण प्रमेय द्वारा, \( \angle BOC = \angle OAB + \angle OBA \).
\( 90^\circ = \angle OAB + 50^\circ \).
\( \implies \angle OAB = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \).
In simple words: In a parallelogram, opposite sides are parallel. If a diagonal cuts across them, then alternate inside angles are equal. Also, for any triangle, an angle outside (exterior angle) is equal to the sum of the two opposite inside angles. Using these rules and the given angles, we can find the angle OAB.

🎯 Exam Tip: Recognize that in a parallelogram, alternate interior angles are equal when a diagonal acts as a transversal. Additionally, the exterior angle property of a triangle is very useful for finding unknown angles without having to calculate all angles within a triangle first.

Question 16. ABCD एक समांतर चतुर्भुजे है। यदि इसके विकर्ण बराबर हैं, तो ∠ABC का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:

Answer: यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं, तो वह एक आयत होता है।
एक आयत के सभी कोण \( 90^\circ \) के होते हैं।
इसलिए, \( \angle ABC = 90^\circ \).
In simple words: A special kind of parallelogram is a rectangle, and this happens when its diagonals are equal in length. Every corner angle in a rectangle is 90 degrees. So, if a parallelogram has equal diagonals, it must be a rectangle, and its angle ABC will be 90 degrees.

🎯 Exam Tip: Remember the property that "a parallelogram with equal diagonals is a rectangle". This is a key identifier for rectifying a general parallelogram to a rectangle, where all angles are 90°.

Question 17. एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर बराबर और लंब होते हैं। क्या यह कथन सत्य है। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
Answer: दिया गया कथन असत्य है।
कारण: एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब होते हैं, लेकिन वे हमेशा बराबर नहीं होते हैं। विकर्ण केवल तभी बराबर होते हैं जब समचतुर्भुज एक वर्ग हो। एक वर्ग में, सभी भुजाएँ समान होती हैं और सभी कोण \( 90^\circ \) के होते हैं, इसलिए इसके विकर्ण बराबर और परस्पर लंबवत होते हैं। लेकिन एक सामान्य समचतुर्भुज के लिए, विकर्ण केवल लंबवत होते हैं, बराबर नहीं।
In simple words: No, this statement is false. The diagonals of a rhombus always cross each other at a right angle (they are perpendicular). However, they are not always equal in length. They are only equal if the rhombus is also a square.

🎯 Exam Tip: Differentiate clearly between the properties of a rhombus and a square. A rhombus has perpendicular diagonals, but only a square has both equal and perpendicular diagonals.

Question 19. चतुर्भुज ABCD में ∠A + ∠D = 180° है। इस चतुर्भुज को कौन-सा विशेष नाम दिया जा सकता है?
Answer: चतुर्भुज \( ABCD \) में, दिया है \( \angle A + \angle D = 180^\circ \).
कोण \( \angle A \) और \( \angle D \) समान्तर भुजाओं \( AB \) और \( CD \) के बीच के क्रमागत अन्तःकोण हैं।
यदि क्रमागत अन्तःकोणों का योग \( 180^\circ \) हो, तो रेखाएँ समान्तर होती हैं।
इसलिए, \( AB \parallel CD \).
एक चतुर्भुज में, यदि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर हो, तो उसे समलंब चतुर्भुज कहते हैं।
अतः, चतुर्भुज \( ABCD \) एक समलंब चतुर्भुज है। यह एक समलंब चतुर्भुज है क्योंकि इसमें समान्तर भुजाओं का कम से कम एक युग्म है.
In simple words: If two angles next to each other in a quadrilateral add up to 180 degrees, it means the sides connected to those angles are parallel. A shape with at least one pair of parallel sides is called a trapezium (or trapezoid). So, this quadrilateral is a trapezium.

🎯 Exam Tip: Remember that if consecutive interior angles sum to 180°, the lines are parallel. A quadrilateral with at least one pair of parallel sides is defined as a trapezium (or trapezoid), making this the key identification for such a problem.

Question 20. एक चतुर्भुज के सभी कोण बराबर हैं। इस चतुर्भुज को कौन-सा विशेष नाम दिया गया है?
Answer: माना कि चतुर्भुज के प्रत्येक बराबर कोण का माप \( x^\circ \) है।
एक चतुर्भुज के सभी कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है।
इसलिए, \( x^\circ + x^\circ + x^\circ + x^\circ = 360^\circ \).
\( \implies 4x^\circ = 360^\circ \).
\( \implies x^\circ = \frac {360^\circ}{4} \).
\( \implies x^\circ = 90^\circ \).
इसलिए, चतुर्भुज का प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) है।
यदि एक चतुर्भुज के सभी कोण \( 90^\circ \) के हों, तो वह एक आयत या एक वर्ग हो सकता है। एक आयत में, विपरीत भुजाएँ समान होती हैं, और सभी कोण \( 90^\circ \) के होते हैं। एक वर्ग में, सभी भुजाएँ और सभी कोण \( 90^\circ \) के होते हैं।
अतः, दिया गया चतुर्भुज एक आयत या वर्ग होगा।
In simple words: If all the angles in a four-sided shape are equal, and we know that all angles in a quadrilateral add up to 360 degrees, then each angle must be 90 degrees. A shape with all 90-degree angles is either a rectangle or a square.

🎯 Exam Tip: Always start by using the sum of angles in a quadrilateral (360°). If all angles are equal, they must be 90°. Then, remember the definitions: a quadrilateral with all 90° angles is a rectangle, and if its sides are also equal, it's a square.

Question 21. एक आयत के विकर्ण परस्पर बराबर एवम् लम्ब हैं। क्या यह कथन सत्य है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
Answer: दिया गया कथन असत्य है।
कारण: एक आयत के विकर्ण बराबर तो होते हैं, लेकिन वे परस्पर लंबवत नहीं होते हैं, जब तक कि वह एक वर्ग न हो। केवल एक वर्ग में ही विकर्ण बराबर और परस्पर लंबवत होते हैं। एक सामान्य आयत में, विकर्ण केवल बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
In simple words: No, this statement is false. The diagonals of a rectangle are equal in length, but they do not cross each other at a right angle (they are not perpendicular). Diagonals are only both equal and perpendicular if the rectangle is actually a square.

🎯 Exam Tip: It's crucial to distinguish properties between quadrilaterals. While a rectangle has equal diagonals, they are only perpendicular if the rectangle is also a square. This is a common misunderstanding.

Question 22. एक समकोण त्रिभुज के अंतर्गत इस प्रकार है कि वर्ग और त्रिभुज में एक कोण उभयनिष्ठ है। दर्शाइए कि वर्ग का
Answer:

Answer: सिद्ध करना है: उभयनिष्ठ कोण के सम्मुख वर्ग का शीर्ष \( D \) कर्ण \( AC \) को समद्विभाजित करता है, अर्थात् \( AD = CD \).
उपपत्ति:
माना \( AB = BC = a \) (त्रिभुज की भुजाएँ, यदि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है) तथा \( BE = DE = DF = FB = b \) (वर्ग की भुजाएँ).
चित्र के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज \( ABC \) है, जिसमें \( \angle B = 90^\circ \). एक वर्ग \( DEFC \) त्रिभुज के अंदर है, जहाँ \( F \) भुजा \( BC \) पर, \( E \) भुजा \( AB \) पर, और \( D \) कर्ण \( AC \) पर है।
हमें \( AD = CD \) सिद्ध करना है।
\( \triangle ADE \) और \( \triangle CFD \) में:
\( \angle AED = \angle CFD = 90^\circ \) (वर्ग की भुजाएँ, लम्बवत हैं).
\( DE = DF \) (वर्ग की भुजाएँ).
\( \angle DAE = \angle DCF \) (क्योंकि \( DE \parallel BC \) और \( DF \parallel AB \), यह एकान्तर कोण या समरूपता से आ सकते हैं)।
यदि \( AE = CF \) हो (जैसे \( AB-BE = BC-BF \)),
तो \( \triangle ADE \cong \triangle CFD \) (SAS नियम से).
\( \implies AD = CD \) (CPCT).
इस प्रकार, बिन्दु \( D \) कर्ण \( AC \) को समद्विभाजित करता है। यह सिद्ध करता है कि वर्ग का शीर्ष \( D \) कर्ण को दो बराबर भागों में बाँटता है.
In simple words: Imagine a square drawn inside a right-angled triangle, sharing one corner. We need to show that the corner of the square that touches the slanted side (hypotenuse) of the triangle cuts that side exactly in half. To do this, we compare two smaller triangles using side-angle-side congruence rules. If these triangles are identical, then the segments of the hypotenuse must be equal.

🎯 Exam Tip: When proving properties about inscribed squares, focus on finding congruent triangles. Look for parallel lines (sides of the square parallel to legs of the triangle), which can give equal angles, and use the equal sides of the square to establish congruence criteria.

Question 23. एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB = 10 सेमी और AD = 6 सेमी है। ∠A का समद्विभाजक DC से E पर मिलता है तथा AE और BC बढ़ाने पर F पर मिलते हैं। CF की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer:

Answer: समान्तर चतुर्भुज \( ABCD \) में,
\( AB = 10 \) सेमी और \( AD = 6 \) सेमी।
\( AF \), \( \angle A \) का समद्विभाजक है, इसलिए \( \angle 1 = \angle 2 \) ...(1)
चूंकि \( ABCD \) एक समान्तर चतुर्भुज है, \( AB \parallel CD \).
\( AF \) एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, \( \angle 3 = \angle 2 \) (एकान्तर कोण) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से, \( \angle 1 = \angle 3 \) ...(3)
\( \triangle ADE \) में, यदि \( \angle 1 = \angle 3 \) (समान कोण), तो उनके सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी।
इसलिए, \( AD = DE \).
दिया है \( AD = 6 \) सेमी, तो \( DE = 6 \) सेमी।
अब, \( CE = CD - DE \).
चूंकि \( ABCD \) एक समान्तर चतुर्भुज है, \( CD = AB = 10 \) सेमी।
\( CE = 10 - 6 = 4 \) सेमी।
अब, \( AD \parallel BF \) (क्योंकि \( AD \parallel BC \) और \( BF \) रेखा \( BC \) का विस्तार है)।
\( AF \) एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, \( \angle 1 = \angle 5 \) (एकान्तर कोण).
\( \angle 4 = \angle 3 \) (शीर्षाभिमुख कोण).
समीकरण (3) और (4) से, \( \angle 4 = \angle 5 \).
\( \triangle CEF \) में, यदि \( \angle 4 = \angle 5 \), तो उनके सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी।
इसलिए, \( CE = CF \).
चूंकि \( CE = 4 \) सेमी, तो \( CF = 4 \) सेमी।
अतः, \( CF = 4 \) सेमी। समान्तर चतुर्भुज के गुणों और कोण समद्विभाजक के उपयोग से, हम त्रिभुजों में समान भुजाओं को प्राप्त करते हैं.
In simple words: In a parallelogram, opposite sides are parallel and equal. An angle bisector cuts an angle in half. By using properties of parallel lines (alternate interior angles) and the fact that angles opposite equal sides in a triangle are equal, we can find the lengths of segments. We determine that a specific small triangle is isosceles, which helps find the length of CF.

🎯 Exam Tip: This problem combines properties of parallelograms (opposite sides parallel and equal) with angle bisector theorems and isosceles triangle properties. Drawing the diagram correctly with all extensions and angle labels is key to seeing the relationships.

Question 24. P, Q, R और S एक चतुर्भुज ABCD की क्रमशः AB, BC, CD और DA भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं, जिसमें AC = BD और AC ⊥ BD है। सिद्ध कीजिए कि PQRS एक वर्ग है।
Answer: दिया है: एक चतुर्भुज \( ABCD \) की भुजाओं \( AB, BC, CD, DA \) के मध्य बिन्दु क्रमशः \( P, Q, R, S \) हैं।
साथ ही, चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं \( (AC = BD) \) और परस्पर लंब हैं \( (AC \perp BD) \).
सिद्ध करना है: \( PQRS \) एक वर्ग है।
In simple words: We are given a four-sided shape (quadrilateral) where its diagonal lines are equal in length and also cross each other at a right angle. We need to show that if we connect the middle points of each side of this original shape, the new shape formed will be a square.

🎯 Exam Tip: This problem is a classic application of the Midpoint Theorem. To prove the inner quadrilateral is a square, you'll need to show it's a parallelogram (always true by Midpoint Theorem), then show that all its sides are equal (making it a rhombus) AND that one of its angles is 90 degrees (making it a rectangle, and thus a square).

प्रश्न 25. सिद्ध कीजिए कि यदि एक समान्तर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसके एक कोण को समद्विभाजित करता है, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
Answer:
हमें सिद्ध करना है कि एक समान्तर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है यदि उसका एक विकर्ण उसके एक कोण को समद्विभाजित करता है।
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC, कोण \( \angle A \) को समद्विभाजित करता है।
इसका मतलब है: \( \angle DAC = \angle BAC \) ... (1)
चूंकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, इसलिए \( AD \parallel BC \) और AC एक तिर्यक रेखा है।
तो, \( \angle DAC = \angle BCA \) (एकान्तर कोण) ... (2)
इसी तरह, \( AB \parallel DC \) और AC एक तिर्यक रेखा है।
तो, \( \angle BAC = \angle DCA \) (एकान्तर कोण) ... (3)
समीकरण (1), (2) और (3) से, हमें मिलता है:
\( \angle DAC = \angle BCA = \angle BAC = \angle DCA \)
यह दर्शाता है कि \( \angle BAC = \angle BCA \)
इसलिए, त्रिभुज ABC में, AB = BC (समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
चूंकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, इसलिए AB = CD और BC = AD (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
अगर AB = BC है, तो इसका मतलब है कि AB = BC = CD = DA है।
एक समान्तर चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों, वह एक समचतुर्भुज होता है।
अतः, यदि एक समान्तर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसके एक कोण को समद्विभाजित करता है, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
In simple words: यदि एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसके एक कोण को दो बराबर हिस्सों में बांटता है, तो उसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। जब सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो वह चतुर्भुज समचतुर्भुज बन जाता है।

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, पहले दिया गया, सिद्ध करना है, और उपपत्ति (proof) को स्पष्ट रूप से लिखें, और प्रत्येक चरण के लिए कारण (जैसे एकान्तर कोण) देना न भूलें।

प्रश्न 26. ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AB || DC और AD = BC है। सिद्ध कीजिए कि \( \angle A = \angle B \) और \( \angle C = \angle D \) है।
Answer:
दिया है: ABCD एक चतुर्भुज है जहाँ \( AB \parallel DC \) और AD = BC।
हमें सिद्ध करना है: \( \angle A = \angle B \) और \( \angle C = \angle D \)।
रचना: बिंदु B से AD के समांतर एक रेखा BE खींचिए जो बढ़ी हुई रेखा DC को बिंदु E पर मिलती है।
उपपत्ति:
चूंकि \( AD \parallel BE \) (रचना से) और \( AB \parallel DE \) (दिया है \( AB \parallel DC \) और E, DC पर स्थित है),
तो ABED एक समान्तर चतुर्भुज है।
एक समान्तर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, तो AD = BE ... (1)
दिया है कि AD = BC ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, BE = BC।
त्रिभुज BCE में, BE = BC, तो \( \angle BCE = \angle BEC \) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)।
माना \( \angle BEC = x \)।
चूंकि DE एक सीधी रेखा है, \( \angle BCE + \angle DCB = 180^\circ \) (रैखिक युग्म)।
\( \angle BEC \) और \( \angle ADE \) समान्तर रेखाओं AD और BE के बीच के संगत कोण हैं।
इसलिए, \( \angle ADE = \angle BEC = x \)।
समान्तर चतुर्भुज ABED में, \( \angle A + \angle ADE = 180^\circ \) (आसन्न कोणों का योग)।
\( \angle A + x = 180^\circ \implies \angle A = 180^\circ - x \)।
त्रिभुज BCE में, \( \angle CBE + \angle BEC + \angle BCE = 180^\circ \)।
चूंकि \( \angle BEC = \angle BCE = x \), तो \( \angle CBE + x + x = 180^\circ \implies \angle CBE = 180^\circ - 2x \)।
\( \angle B = \angle ABE + \angle CBE \)।
\( \angle ABE = \angle ADE \) (समान्तर चतुर्भुज ABED के सम्मुख कोण)।
इसलिए, \( \angle ABE = x \)।
\( \angle B = x + (180^\circ - 2x) = 180^\circ - x \)।
अतः, \( \angle A = \angle B \) सिद्ध हुआ।
अब, \( \angle C = \angle BCE = x \)।
\( \angle D = \angle ADC = \angle ADE + \angle EDC \)।
चूंकि AD || BE, \( \angle CBE \) और \( \angle DAE \) संगत कोण हैं।
Also, \( \angle C + \angle D = 180^\circ \) (समान्तर भुजाओं के बीच के आसन्न कोण)।
और \( \angle A + \angle D = 180^\circ \) (समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण)।
इसलिए, \( \angle C = \angle D \) सिद्ध हुआ।
In simple words: जब किसी चतुर्भुज में दो भुजाएँ समांतर होती हैं और बाकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं, तो हम एक खास रचना करके उसे समांतर चतुर्भुज बनाते हैं। इससे हमें पता चलता है कि कोण A और B बराबर हैं, और कोण C और D भी बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, रचना करके दी गई आकृति को एक ज्ञात आकृति (जैसे समांतर चतुर्भुज) में बदलना अक्सर सिद्ध करने में सहायक होता है।

प्रश्न 27. E, एक \( \triangle ABC \) की माध्यिका AD का मध्य बिन्दु है तथा BE को AC को F पर मिलने के लिए बढ़ाया गया है। दर्शाइए कि \( AF = \frac { 1 }{ 3 } AC \) है।
Answer:
दिया है: \( \triangle ABC \) में, AD एक माध्यिका है और E, AD का मध्य बिन्दु है। BE को AC तक F पर बढ़ाया गया है।
सिद्ध करना है: \( AF = \frac { 1 }{ 3 } AC \)।
रचना: बिंदु D से BF के समांतर एक रेखा DP खींचिए जो AC को P पर मिलती है।
उपपत्ति:
\( \triangle BCF \) में, D, BC का मध्यबिन्दु है और \( DP \parallel BF \) (रचना से)।
मध्यबिन्दु प्रमेय के विलोम से, P, FC का मध्यबिन्दु होगा।
तो, FP = PC ... (1)
अब \( \triangle ADP \) में, E, AD का मध्यबिन्दु है और \( EF \parallel DP \) (रचना से \( DP \parallel BF \), और BEF एक सीधी रेखा है, तो \( EF \parallel DP \))।
मध्यबिन्दु प्रमेय के विलोम से, F, AP का मध्यबिन्दु होगा।
तो, AF = FP ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, AF = FP = PC।
हमें पता है कि \( AC = AF + FP + PC \)।
\( AC = AF + AF + AF \) (चूंकि AF = FP = PC)।
\( AC = 3AF \)
\( \implies AF = \frac { 1 }{ 3 } AC \)।
अतः, \( AF = \frac { 1 }{ 3 } AC \) सिद्ध हुआ।
In simple words: एक त्रिभुज में, अगर माध्यिका का मध्यबिन्दु किसी रेखा को काटता है जो एक और रेखा के समांतर है, तो उस कटी हुई रेखा का हिस्सा पूरी रेखा का एक-तिहाई होता है। यहाँ हमने मध्यबिन्दु प्रमेय का उल्टा इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: ऐसे ज्यामितीय सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, यदि कोई भुजा किसी रेखा के समांतर नहीं दी गई है, तो समांतर रेखा खींचकर मध्यबिन्दु प्रमेय का उपयोग करना अक्सर समाधान का मार्ग दिखाता है।

प्रश्न 28. दर्शाइए कि किसी वर्ग की क्रमागत भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर बना चतुर्भुज भी एक वर्ग होता है।
Answer:
दिया है: ABCD एक वर्ग है, जिसके भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु क्रमशः P, Q, R और S हैं।
सिद्ध करना है: PQRS एक वर्ग है।
रचना: विकर्ण AC और BD को मिलाइए।
उपपत्ति:
\( \triangle ABC \) में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य बिन्दु हैं।
मध्यबिन्दु प्रमेय से, \( PQ \parallel AC \) और \( PQ = \frac { 1 }{ 2 } AC \) ... (1)
\( \triangle ADC \) में, S और R क्रमशः AD और CD के मध्य बिन्दु हैं।
मध्यबिन्दु प्रमेय से, \( SR \parallel AC \) और \( SR = \frac { 1 }{ 2 } AC \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) से, \( PQ \parallel SR \) और \( PQ = SR \)।
चूंकि चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर और बराबर है, इसलिए PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
अब, \( \triangle ABD \) में, P और S क्रमशः AB और AD के मध्य बिन्दु हैं।
मध्यबिन्दु प्रमेय से, \( PS \parallel BD \) और \( PS = \frac { 1 }{ 2 } BD \) ... (3)
चूंकि ABCD एक वर्ग है, इसके विकर्ण बराबर और एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं।
तो, AC = BD और \( AC \perp BD \)।
\( \implies PQ = \frac { 1 }{ 2 } AC \) (समीकरण 1 से) और \( PS = \frac { 1 }{ 2 } BD \) (समीकरण 3 से)।
चूंकि AC = BD, तो \( PQ = PS \)।
अब, चूंकि \( PQ \parallel AC \) और \( PS \parallel BD \) और \( AC \perp BD \), तो \( PS \perp PQ \)।
इसलिए, \( \angle SPQ = 90^\circ \)।
एक समान्तर चतुर्भुज जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हों और एक कोण \( 90^\circ \) हो, वह एक वर्ग होता है।
अतः, PQRS एक वर्ग है।
In simple words: किसी भी वर्ग की बीच की भुजाओं (मध्य बिन्दुओं) को अगर एक क्रम में जोड़ा जाए, तो अंदर बनने वाली आकृति भी एक वर्ग ही होती है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि मध्यबिंदु प्रमेय से भुजाएँ समांतर और आधी हो जाती हैं, और वर्ग के विकर्णों के गुणों के कारण अंदर के कोण भी 90 डिग्री होते हैं।

🎯 Exam Tip: मध्यबिन्दु प्रमेय और एक चतुर्भुज को वर्ग सिद्ध करने के लिए आवश्यक शर्तों (सभी भुजाएँ बराबर और एक कोण \( 90^\circ \)) को याद रखें।

प्रश्न 29. सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बना चतुर्भुज एक आयत होता है।
Answer:
दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। कोणों A, B, C, D के समद्विभाजक क्रमशः AP, BQ, CR, DS हैं जो एक चतुर्भुज PQRS बनाते हैं।
सिद्ध करना है: PQRS एक आयत है।
उपपत्ति:
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
तो, \( \angle A + \angle B = 180^\circ \)।
इन कोणों के समद्विभाजकों को आधा करने पर: \( \frac { 1 }{ 2 } \angle A + \frac { 1 }{ 2 } \angle B = \frac { 180^\circ }{ 2 } \)
\( \implies \angle PAB + \angle PBA = 90^\circ \)।
अब, \( \triangle APB \) में, कोण योग गुणधर्म से: \( \angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^\circ \)।
\( \angle APB + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle APB = 90^\circ \)।
इसी प्रकार, हम अन्य कोणों के लिए भी सिद्ध कर सकते हैं:
\( \angle B + \angle C = 180^\circ \implies \angle BQC = 90^\circ \)।
\( \angle C + \angle D = 180^\circ \implies \angle CRD = 90^\circ \)।
\( \angle D + \angle A = 180^\circ \implies \angle DSA = 90^\circ \)।
चतुर्भुज PQRS के सभी कोण \( 90^\circ \) हैं (\( \angle P = 90^\circ \), \( \angle Q = 90^\circ \), \( \angle R = 90^\circ \), \( \angle S = 90^\circ \))।
एक चतुर्भुज जिसके सभी कोण \( 90^\circ \) हों, वह एक आयत होता है।
अतः, कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बना चतुर्भुज एक आयत होता है।
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज के हर कोने के कोण को आधा करने वाली रेखाएँ जब आपस में मिलती हैं, तो उनके मिलने से एक नई आकृति बनती है। इस नई आकृति के सारे कोने 90 डिग्री के होते हैं, और ऐसी आकृति को आयत कहते हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, और त्रिभुज के तीनों कोणों का योग भी \( 180^\circ \) होता है; ये गुणधर्म इस सिद्ध करने के लिए महत्वपूर्ण हैं।

प्रश्न 30. P और Q क्रमश: एक समान्तर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख AD और BC भुजाओं पर स्थित बिन्दु इस प्रकार हैं कि PQ विकर्ण AC और BD के प्रतिच्छेद बिन्दु O से होकर जाता है। सिद्ध कीजिए कि PQ बिन्दु O पर समद्विभाजित हो जाता है।
Answer:
दिया है: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। P, AD पर स्थित है और Q, BC पर स्थित है। PQ, विकर्णों AC और BD के प्रतिच्छेद बिन्दु O से होकर जाता है।
सिद्ध करना है: PQ, बिन्दु O पर समद्विभाजित हो जाता है, अर्थात OP = OQ।
उपपत्ति:
\( \triangle AOP \) और \( \triangle COQ \) में:
चूंकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, \( AD \parallel BC \) और AC एक तिर्यक रेखा है।
इसलिए, \( \angle PAO = \angle QCO \) (एकान्तर कोण) ... (1)
विकर्ण AC और BD एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
तो, OA = OC ... (2)
\( \angle AOP = \angle COQ \) (शीर्षाभिमुख कोण) ... (3)
समीकरण (1), (2) और (3) से, ASA (कोण-भुजा-कोण) सर्वांगसमता नियम द्वारा,
\( \triangle AOP \cong \triangle COQ \)।
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCT)।
इसलिए, OP = OQ।
अतः, PQ, बिन्दु O पर समद्विभाजित हो जाता है।
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज के बीच से गुजरने वाली कोई भी सीधी रेखा जो आमने-सामने की भुजाओं को काटती है और विकर्णों के बीच से होकर जाती है, वह विकर्णों के कटान बिंदु पर दो बराबर हिस्सों में बँट जाती है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के ज्यामितीय सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, त्रिभुजों को सर्वांगसम सिद्ध करना एक महत्वपूर्ण तकनीक है। एकांतर कोण, शीर्षाभिमुख कोण और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों का उपयोग करें।

प्रश्न 31. ABCD एक आयत है, जिसका विकर्ण BD कोण \( \angle B \) को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि ABCD एक वर्ग है।
Answer:
दिया है: ABCD एक आयत है। विकर्ण BD, \( \angle B \) को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है: ABCD एक वर्ग है।
उपपत्ति:
चूंकि ABCD एक आयत है, इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज भी है।
आयत के सभी कोण \( 90^\circ \) होते हैं, तो \( \angle B = 90^\circ \)।
विकर्ण BD, \( \angle B \) को समद्विभाजित करता है, तो \( \angle ABD = \angle DBC = \frac { 90^\circ }{ 2 } = 45^\circ \)।
चूंकि \( AB \parallel DC \) (आयत की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं) और BD एक तिर्यक रेखा है,
तो \( \angle ABD = \angle BDC \) (एकान्तर कोण)।
\( \implies \angle BDC = 45^\circ \)।
चूंकि \( AD \parallel BC \) और BD एक तिर्यक रेखा है,
तो \( \angle ADB = \angle DBC \) (एकान्तर कोण)।
\( \implies \angle ADB = 45^\circ \)।
\( \triangle ABD \) में, \( \angle ABD = 45^\circ \) और \( \angle ADB = 45^\circ \)।
चूंकि \( \angle ABD = \angle ADB \), तो इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी।
\( \implies AD = AB \)।
एक आयत जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं, वह एक वर्ग होता है।
अतः, ABCD एक वर्ग है।
In simple words: अगर कोई आयत है और उसका विकर्ण एक कोने के कोण को दो बराबर हिस्सों में बांटता है, तो इसका मतलब है कि आयत की लंबाई और चौड़ाई दोनों बराबर हैं। जब ऐसा होता है, तो वह आयत एक वर्ग बन जाता है।

🎯 Exam Tip: किसी आयत को वर्ग सिद्ध करने के लिए यह दिखाना पर्याप्त है कि उसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हैं। इसके लिए एकान्तर कोणों और त्रिभुज के समान कोणों के सम्मुख भुजाओं के बराबर होने के गुणधर्म का प्रयोग करें।

प्रश्न 32. D, E और F क्रमश: एक त्रिभुज ABC की AB, BC और CA भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं। सिद्ध कीजिए D, E और F बिन्दुओं को मिलाने से त्रिभुज ABC चार सर्वांगसम त्रिभुजों में बँट जाता है।
Answer:
दिया है: \( \triangle ABC \) में, D, E, F क्रमशः भुजाओं AB, BC, CA के मध्य बिन्दु हैं।
सिद्ध करना है: \( \triangle AFE \), \( \triangle BDE \), \( \triangle CFE \) और \( \triangle DEF \) चारों सर्वांगसम त्रिभुज हैं।
उपपत्ति:
\( \triangle ABC \) में, D और E क्रमशः AB और BC के मध्य बिन्दु हैं।
मध्यबिन्दु प्रमेय से, \( DE \parallel AC \) और \( DE = \frac { 1 }{ 2 } AC \)।
चूंकि F, AC का मध्य बिन्दु है, तो \( AF = FC = \frac { 1 }{ 2 } AC \)।
इसलिए, DE = AF और DE = FC।
चूंकि \( DE \parallel AC \) है, तो \( DE \parallel AF \) और \( DE \parallel FC \)।
अब, AFED एक चतुर्भुज है जिसमें \( DE \parallel AF \) और DE = AF।
तो, AFED एक समान्तर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार, BDFE एक समान्तर चतुर्भुज है क्योंकि \( DF \parallel BC \) और \( DF = BE \)।
और CDEF एक समान्तर चतुर्भुज है क्योंकि \( DE \parallel FC \) और \( DE = FC \)।
हम जानते हैं कि एक समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
चतुर्भुज AFED में, विकर्ण DF है, तो \( \triangle ADF \cong \triangle DEF \) ... (1)
चतुर्भुज BDFE में, विकर्ण DE है, तो \( \triangle BDE \cong \triangle FDE \) ... (2)
चतुर्भुज CDEF में, विकर्ण EF है, तो \( \triangle CFE \cong \triangle DFE \) ... (3)
समीकरण (1), (2) और (3) से,
\( \triangle ADF \cong \triangle BDE \cong \triangle CFE \cong \triangle DEF \)।
इस प्रकार, \( \triangle ABC \) चार सर्वांगसम त्रिभुजों में बँट जाता है।
In simple words: जब एक त्रिभुज की सभी भुजाओं के बीच के बिंदुओं को आपस में जोड़ दिया जाता है, तो अंदर एक छोटा त्रिभुज बनता है। यह छोटा त्रिभुज और उसके आसपास के तीन छोटे त्रिभुज सभी एक जैसे आकार और माप के होते हैं, यानी वे एक बड़े त्रिभुज को चार बराबर छोटे त्रिभुजों में बांट देते हैं।

🎯 Exam Tip: मध्यबिन्दु प्रमेय को अच्छी तरह से समझें, जो यह बताता है कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और आधा होता है। साथ ही, समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है, इस गुणधर्म को भी याद रखें।

प्रश्न 34. P एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD का मध्य-बिन्दु है। C से होकर PA के समांतर खींची गई रेखा AB को Q पर तथा बढ़ाई हुई DA को R पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि DA = AR और CQ = QR है।
Answer:
दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। P, CD का मध्य-बिन्दु है। C से PA के समांतर एक रेखा खींची गई है जो AB को Q पर और बढ़ाई हुई DA को R पर मिलती है।
सिद्ध करना है: DA = AR और CQ = QR।
उपपत्ति:
चूंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, तो \( AB \parallel CD \) और \( AD \parallel BC \)।
और AD = BC, AB = CD।
P, CD का मध्य-बिन्दु है, तो \( DP = PC = \frac { 1 }{ 2 } CD \)।
चूंकि \( AB \parallel CD \), तो \( AB \parallel DP \) और \( AB \parallel PC \)।
साथ ही, \( CQ \parallel AP \) (रचना से)।
अब, चतुर्भुज APCQ में, \( AP \parallel CQ \) और \( AC \parallel PQ \) (चूंकि \( AD \parallel BC \))।
इसलिए, APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है।
तो, AP = CQ।
अब \( \triangle RCD \) में,
P, CD का मध्य-बिन्दु है और \( AP \parallel CR \) (क्योंकि \( CQ \parallel AP \) और R, DA पर है)।
मध्यबिन्दु प्रमेय के विलोम से, A, RD का मध्यबिन्दु होगा।
\( \implies RA = AD \)।
इसलिए, DA = AR सिद्ध हुआ।
अब, \( \triangle RQC \) में, A, RC का मध्यबिन्दु है और \( AP \parallel CQ \)।
तो, A, RQ का मध्यबिन्दु है।
इससे \( RA = AQ \)।
चूंकि A, RD का मध्यबिन्दु है, और हमें \( AD = AR \) मिल चुका है।
अब, \( \triangle RQC \) में, A, RD का मध्यबिन्दु है और \( AP \parallel CQ \)।
यहां से \( AQ \parallel PC \) और P मध्यबिन्दु है।
अतः \( CQ = QR \) सिद्ध हुआ।
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज में, अगर किसी भुजा के मध्यबिंदु से एक रेखा खींची जाए जो एक और रेखा के समांतर हो, तो वह रेखा दूसरी भुजा को दो बराबर हिस्सों में बांट देती है। साथ ही, उस बढ़ी हुई भुजा का एक हिस्सा मूल भुजा के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के जटिल ज्यामितीय सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, पहले छोटे-छोटे समान्तर चतुर्भुजों और त्रिभुजों को पहचानें। मध्यबिन्दु प्रमेय और समान्तर चतुर्भुज के गुणों का उपयोग चरणों को तर्कसंगत बनाने के लिए करें।

प्रश्न 35. चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसमें AB = 3.7 सेमी, BC = 3 सेमी, CD = 5 सेमी, AD = 4 सेमी और \( \angle A = 90^\circ \) है।
Answer:
प्रश्नानुसार, दी गई मापों का कच्चा चित्र नीचे दिखाया गया है:
रचना के पद:
1. सर्वप्रथम, AB = 3.7 सेमी का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. बिंदु A पर \( 90^\circ \) का कोण बनाती हुई एक रेखा AX खींचिए।
3. A को केंद्र मानकर, 4 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए जो रेखा AX को बिंदु D पर काटे।
4. अब, B को केंद्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का चाप और D को केंद्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए, जो एक-दूसरे को बिंदु C पर काटते हैं।
5. B को C से और C को D से मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट चतुर्भुज ABCD प्राप्त होता है।
In simple words: एक चतुर्भुज बनाने के लिए, पहले एक आधार रेखा खींचते हैं। फिर एक कोने पर 90 डिग्री का कोण बनाते हुए एक और रेखा खींचते हैं। अब दिए गए मापों के अनुसार अलग-अलग बिंदुओं से चाप लगाकर बाकी के कोने ढूंढते हैं और उन्हें जोड़ देते हैं।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय रचनाओं में, प्रत्येक चरण को स्पष्ट और सटीक रूप से लिखें। हमेशा पहले एक कच्चा चित्र बनाएं ताकि रचना की प्रक्रिया को समझने में आसानी हो।

प्रश्न 36. चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसमें AB = AD = 3.2 सेमी, BC = 2.5 सेमी, AC = 4 सेमी और BD = 5 सेमी है।
Answer:
प्रश्नानुसार, दी गई मापों का कच्चा चित्र नीचे दिखाया गया है:
रचना के पद:
1. सर्वप्रथम, AB = 3.2 सेमी का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए। B को केंद्र मानकर 2.5 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए, जो पिछले चाप को C पर काटे।
3. A को C से और B को C से मिलाइए। इस प्रकार \( \triangle ABC \) प्राप्त होता है।
4. अब, A को केंद्र मानकर 3.2 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए। B को केंद्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए, जो पिछले चाप को D पर काटे।
5. A को D से, B को D से और C को D से मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट चतुर्भुज ABCD प्राप्त होता है।
In simple words: इस चतुर्भुज को बनाने के लिए, पहले एक आधार रेखा खींचते हैं। फिर दिए गए विकर्णों और भुजाओं की लंबाई का उपयोग करके, चाप लगाते हुए त्रिभुज ABC बनाते हैं। इसके बाद, बची हुई भुजाओं और दूसरे विकर्ण का उपयोग करके चौथा बिंदु D ढूंढते हैं और सभी बिंदुओं को जोड़ देते हैं।

🎯 Exam Tip: जब चतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों की माप दी गई हो, तो पहले एक विकर्ण का उपयोग करके त्रिभुज बनाएं, फिर दूसरे विकर्ण और बची हुई भुजाओं का उपयोग करके शेष बिंदु खोजें।

प्रश्न 38. एक समचतुर्भुज की रचना कीजिए जिसकी एक भुजा 3.6 सेमी और एक कोण \( 60^\circ \) है।
Answer:
प्रश्नानुसार, दी गई मापों का कच्चा चित्र नीचे दिखाया गया है:
रचना के पद:
1. सर्वप्रथम, AB = 3.6 सेमी का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. बिंदु A पर \( 60^\circ \) का कोण बनाती हुई एक रेखा AX खींचिए।
3. A को केंद्र मानकर, 3.6 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए जो रेखा AX को बिंदु D पर काटे।
4. अब, B को केंद्र मानकर 3.6 सेमी त्रिज्या का चाप और D को केंद्र मानकर 3.6 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए, जो एक-दूसरे को बिंदु C पर काटते हैं।
5. B को C से और C को D से मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट समचतुर्भुज ABCD प्राप्त होता है।
In simple words: एक समचतुर्भुज बनाने के लिए, पहले एक भुजा की लंबाई की रेखा खींचते हैं। फिर एक कोने पर दिया गया कोण बनाते हैं और उसी माप की दूसरी भुजा बनाते हैं। बाकी की भुजाओं को बनाने के लिए, उन्हीं भुजाओं की लंबाई के चाप लगाते हैं और बिंदुओं को जोड़ देते हैं।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इस गुणधर्म को याद रखें। रचना करते समय कोण और भुजा की लंबाई सटीक होनी चाहिए।

प्रश्न 39. वर्ग ABCD की रचना कीजिए जिसमें AB + BC + CD + DA = 12.8 सेमी है।
Answer:
हम जानते हैं कि वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) का होता है।
माना वर्ग की भुजा x सेमी है।
तो, AB = BC = CD = DA = x सेमी।
दिया है: \( AB + BC + CD + DA = 12.8 \) सेमी।
\( x + x + x + x = 12.8 \)
\( 4x = 12.8 \)
\( x = \frac { 12.8 }{ 4 } = 3.2 \) सेमी।
तो, वर्ग की प्रत्येक भुजा 3.2 सेमी है।
प्रश्नानुसार, दी गई मापों का कच्चा चित्र नीचे दिखाया गया है:
रचना के पद:
1. सर्वप्रथम, AB = 3.2 सेमी का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. बिंदु A पर \( 90^\circ \) का कोण बनाती हुई एक रेखा AX खींचिए।
3. A को केंद्र मानकर, 3.2 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए जो रेखा AX को बिंदु D पर काटे।
4. अब, B को केंद्र मानकर 3.2 सेमी त्रिज्या का चाप और D को केंद्र मानकर 3.2 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए, जो एक-दूसरे को बिंदु C पर काटते हैं।
5. B को C से और C को D से मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट वर्ग ABCD प्राप्त होता है।
In simple words: वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो परिमाप को 4 से भाग देकर हम एक भुजा की लंबाई निकाल लेते हैं। फिर एक भुजा खींचते हैं, उसके एक सिरे पर 90 डिग्री का कोण बनाते हैं, और उसी लंबाई की बाकी भुजाएँ और चाप लगाकर वर्ग को पूरा करते हैं।

🎯 Exam Tip: वर्ग की परिभाषा (सभी भुजाएँ बराबर, सभी कोण \( 90^\circ \)) को हमेशा ध्यान में रखें। यदि परिमाप दिया गया है, तो प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए उसे 4 से भाग दें।

प्रश्न 40. एक समलम्ब चतुर्भुज की रचना कीजिए जिसमें AB || CD, AB = 5 सेमी, BC = 3 सेमी, AD = 3.3 सेमी और समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी 2.5 सेमी हो।
Answer:
दिया है: एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें \( AB \parallel CD \), AB = 5 सेमी, BC = 3 सेमी, AD = 3.3 सेमी, और समांतर भुजाओं के बीच की दूरी (ऊंचाई) = 2.5 सेमी।
रचना के लिए आवश्यक अतिरिक्त गणना:
C से AB पर एक लम्ब CE खींचिए। तो CE = 2.5 सेमी।
\( \triangle CEB \) एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय से: \( BC^2 = BE^2 + CE^2 \)
\( 3^2 = BE^2 + 2.5^2 \)
\( 9 = BE^2 + 6.25 \)
\( BE^2 = 9 - 6.25 = 2.75 \)
\( BE = \sqrt { 2.75 } \approx 1.66 \) सेमी।
प्रश्नानुसार, दी गई मापों का कच्चा चित्र नीचे दिखाया गया है:
रचना के पद:
1. सर्वप्रथम, AB = 5 सेमी का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. B को केंद्र मानकर, AB पर \( 90^\circ \) का कोण बनाती हुई एक रेखा BX खींचिए। इस पर BE = 1.66 सेमी (लगभग) काटिए। (यह \( BE \approx 1.66 \) सेमी हमारी गणना से आया है)।
3. B को केंद्र मानकर, 2.5 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए जो रेखा BX को C पर काटे।
4. C से AB के समांतर एक रेखा CY खींचिए।
5. A को केंद्र मानकर, 3.3 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए जो रेखा CY को बिंदु D पर काटे।
6. A को D से मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट समलम्ब चतुर्भुज ABCD प्राप्त होता है।
In simple words: एक समलम्ब चतुर्भुज बनाने के लिए, पहले आधार रेखा खींचते हैं। फिर एक समांतर रेखा खींचने के लिए ऊंचाई का उपयोग करते हैं। फिर, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात करते हैं, और अंत में चाप लगाकर बाकी के कोने ढूंढकर चतुर्भुज को पूरा करते हैं।

🎯 Exam Tip: समलम्ब चतुर्भुज की रचना करते समय, समांतर भुजाओं के बीच की दूरी (ऊंचाई) का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज बनाना अक्सर सहायक होता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात लंबाई ज्ञात करें।

प्रश्न 41. एक समचतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसमें AB = 6 सेमी और \( \angle A = 120^\circ \) है।
Answer:
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
तो, AB = BC = CD = DA = 6 सेमी।
प्रश्नानुसार, दी गई मापों का कच्चा चित्र नीचे दिखाया गया है:
रचना के पद:
1. सर्वप्रथम, AB = 6 सेमी का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. बिंदु A पर \( 120^\circ \) का कोण बनाती हुई एक रेखा AX खींचिए।
3. A को केंद्र मानकर, 6 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए जो रेखा AX को बिंदु D पर काटे।
4. अब, B को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का चाप और D को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का चाप लगाइए, जो एक-दूसरे को बिंदु C पर काटते हैं।
5. B को C से और C को D से मिलाइए।
इस प्रकार, अभीष्ट समचतुर्भुज ABCD प्राप्त होता है।
In simple words: एक समचतुर्भुज बनाने के लिए, क्योंकि उसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, पहले एक भुजा की लंबाई की रेखा खींचते हैं। फिर एक कोने पर दिया गया कोण बनाते हैं और उसी माप की दूसरी भुजा बनाते हैं। बाकी की भुजाओं को बनाने के लिए, उन्हीं भुजाओं की लंबाई के चाप लगाते हैं और बिंदुओं को जोड़ देते हैं।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इस गुणधर्म को याद रखें। रचना करते समय कोण और भुजा की लंबाई सटीक होनी चाहिए।

Question 40. एक समलम्ब चतुर्भुज की रचना कीजिए जिसमें AB || CD, AB = 5 सेमी, BC = 3 सेमी, AD = 3.3 सेमी और समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी 2.5 सेमी हो।
Answer:
हल
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में, AB भुजा CD के समान्तर है। CE, दो समान्तर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी है, जो 2.5 सेमी है, और BC भुजा 3 सेमी है।
समकोण त्रिभुज ABCE में, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं:
\( BC^2 = BE^2 + CE^2 \)
\( \implies \) \( 3^2 = BE^2 + 2.5^2 \)
\( \implies \) \( 9 = BE^2 + 6.25 \)
\( \implies \) \( \angle ECD = 90^\circ \).
रचना के पद:
1. कच्चे चित्र के अनुसार, सबसे पहले 5 सेमी लंबा एक रेखाखण्ड AB खींचिए।
2. रेखाखण्ड AB पर बिन्दु B से 1.6 सेमी की दूरी पर बिन्दु E अंकित कीजिए।
3. रेखा AB के बिन्दु E पर 90° का कोण बनाती हुई एक रेखा EX खींचिए।
4. रेखा EX में से 2.5 सेमी की दूरी पर बिन्दु C काटिए।
5. रेखा CE के बिन्दु C पर 90° का कोण बनाती हुई एक रेखा CY खींचिए।
6. बिन्दु A को केंद्र मानकर 3.3 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो रेखा CY को बिन्दु D पर काटता है।
7. बिन्दु A को बिन्दु D से मिलाइए। इस प्रकार, अभीष्ट समलम्ब चतुर्भुज ABCD प्राप्त होगा।
In simple words: एक समलम्ब चतुर्भुज बनाने के लिए, पहले दी गई भुजाओं और ऊँचाई का उपयोग करके आधार रेखा और लंबवत रेखाएँ खींचें। फिर विकर्ण की मदद से अंतिम बिन्दु को चिह्नित करें और सभी को जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: समलम्ब चतुर्भुज की रचना करते समय, लंबवत दूरी को सही ढंग से अंकित करना और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात भुजाओं की लंबाई ज्ञात करना बहुत महत्वपूर्ण है।

Question 43. समचतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसके विकर्ण 5.6 सेमी और 7.2 सेमीं हों।
Answer:
हल
समचतुर्भुज की रचना के चरण:
1. एक रेखाखण्ड AC खींचिए, जो 7.2 सेमी लंबा होगा (यह एक विकर्ण है)।
2. रेखाखण्ड AC का लम्ब समद्विभाजक XY खींचिए। यह लम्ब समद्विभाजक AC को बिन्दु O पर काटता है।
3. बिन्दु O से, विकर्ण BD की आधी लंबाई (अर्थात् \( \frac{5.6}{2} = 2.8 \) सेमी) के बराबर त्रिज्या वाले दो चाप, रेखाखण्ड AC के दोनों ओर लम्ब समद्विभाजक XY पर लगाइए। ये चाप लम्ब समद्विभाजक को बिन्दु D और B पर काटेंगे।
4. बिन्दु A को B से, B को C से, C को D से, और D को A से मिलाइए। यह अभीष्ट समचतुर्भुज ABCD है।
In simple words: समचतुर्भुज बनाने के लिए, पहले एक विकर्ण खींचें। फिर, उस विकर्ण को ठीक बीच से 90 डिग्री पर काटने वाली एक रेखा खींचें। इस रेखा पर, दूसरे विकर्ण की आधी लंबाई के निशान लगाएँ। अंत में, सभी कोनों को आपस में जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। यह गुण रचना के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।

Question 44. आयत ABCD की रचना कीजिए जिसमें AB = 4.5 सेमी और BD = 6 सेमी हो।
Answer:
हल
आयत की रचना के चरण:
1. 4.5 सेमी लंबा एक रेखाखण्ड AB खींचिए।
2. बिन्दु A पर रेखाखण्ड AB पर एक रेखा AX खींचिए जो AB के साथ 90 डिग्री का कोण बनाती हो।
3. बिन्दु B से 6 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए। यह चाप रेखा AX को बिन्दु D पर काटेगा।
4. बिन्दु B को D से मिलाइए। इससे त्रिभुज ABD बन जाएगा।
5. बिन्दु B से, AD के बराबर त्रिज्या का एक चाप लगाइए। बिन्दु D से, 4.5 सेमी (AB के बराबर) त्रिज्या का एक और चाप लगाइए। ये दोनों चाप एक-दूसरे को बिन्दु C पर काटेंगे।
6. बिन्दु B को C से और बिन्दु C को D से मिलाइए। यह अभीष्ट आयत ABCD है।
In simple words: आयत बनाने के लिए, पहले एक भुजा खींचें। फिर 90 डिग्री का कोण बनाकर दूसरी भुजा की दिशा तय करें। विकर्ण की लंबाई का उपयोग करके एक चाप खींचकर अगले कोने का पता लगाएँ। बाकी कोने को बनाने के लिए भुजाओं की लंबाई का उपयोग करके और चाप खींचें। अंत में, सभी कोनों को जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: आयत की रचना करते समय, ध्यान रखें कि सभी कोण 90 डिग्री के होते हैं और विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं। विकर्ण का उपयोग गुम हुए शीर्ष को खोजने में मदद करता है।