Step-by-Step Textbook Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 08 त्रिभुजों की रचनाएँ
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प्रश्न 1. एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो।
Answer: समबाहु त्रिभुज की रचना के लिए जिसकी भुजा 5 सेमी है, निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
1. सबसे पहले, 5 सेमी लंबा एक रेखाखंड QR खींचिए।
2. बिंदु Q को केंद्र मानकर, 5 सेमी की त्रिज्या से एक चाप (आर्क) ऊपर की ओर लगाइए।
3. इसी प्रकार, बिंदु R को केंद्र मानकर, 5 सेमी की त्रिज्या से दूसरा चाप लगाइए जो पहले चाप को बिंदु P पर काटे।
4. अब, बिंदु P को बिंदु Q से और बिंदु P को बिंदु R से मिलाइए।
इस तरह, अभीष्ट समबाहु त्रिभुज PQR बन जाएगा। इसकी सभी भुजाएँ 5 सेमी लंबी हैं। समबाहु त्रिभुज में सभी कोण भी 60 डिग्री के होते हैं, जिससे यह पूरी तरह संतुलित होता है। In simple words: पहले एक सीधी रेखा 5 सेमी की खींचें। फिर दोनों सिरों से 5 सेमी के चाप लगाएं जो ऊपर एक बिंदु पर मिलें। उस बिंदु को दोनों सिरों से जोड़ दें, आपका समबाहु त्रिभुज तैयार है।
🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज की रचना करते समय सुनिश्चित करें कि सभी तीन भुजाओं की लंबाई बिल्कुल बराबर हो और चाप सही ढंग से काटें।
प्रश्न 2. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी हो।
Answer: त्रिभुज ABC की रचना के लिए इन चरणों का पालन करें:
1. सबसे पहले, 7 सेमी लंबा एक रेखाखंड BC खींचिए।
2. बिंदु B पर, BC के साथ 75° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींचिए। (यानी, ∠XBY = 75° बनाएं)।
3. किरण BX पर बिंदु B से 13 सेमी की दूरी पर एक बिंदु D अंकित कीजिए। (BD = 13 सेमी)।
4. बिंदु C को बिंदु D से मिलाइए, जिससे रेखाखंड CD बन जाए।
5. अब, रेखाखंड CD का लंब समद्विभाजक (जो इसे 90 डिग्री पर दो बराबर भागों में बांटता है) खींचिए। यह लंब समद्विभाजक किरण BD को बिंदु A पर काटेगा।
6. अंत में, बिंदु A को बिंदु C से मिलाइए।
इस प्रकार, हमारा अभीष्ट त्रिभुज ABC प्राप्त होगा। इस विधि से त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई निर्धारित करना आसान हो जाता है। In simple words: पहले आधार 7 सेमी खींचें। एक कोने से 75° का कोण बनाएं। उस कोण वाली रेखा पर 13 सेमी की लंबाई काटें। उस बिंदु को आधार के दूसरे कोने से जोड़ें। फिर उस जुड़ी हुई रेखा का आधा करें, जहाँ वह पहली रेखा को काटेगी, वही तीसरा बिंदु A होगा।
🎯 Exam Tip: जब दो भुजाओं का योग दिया गया हो, तो योग वाली लंबाई को किरण पर काटें और फिर उस रेखाखंड का लंब समद्विभाजक खींचकर तीसरा शीर्ष प्राप्त करें।
प्रश्न 3. एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसका परिमाप 11 सेमी और आधार कोण 30° तथा 45° हो।
Answer: त्रिभुज XYZ की रचना के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
1. सबसे पहले, 11 सेमी लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए। यह रेखाखंड त्रिभुज के परिमाप को दर्शाता है।
2. बिंदु A पर, ∠BAN = \( \frac{30}{2} = 15° \) का कोण बनाते हुए एक किरण AN खींचिए।
3. बिंदु B पर, ∠ABM = \( \frac{90}{2} = 45° \) का कोण बनाते हुए एक किरण BM खींचिए। किरण AN और BM एक दूसरे को बिंदु X पर काटेंगी।
4. अब, रेखाखंड AX का लंब समद्विभाजक खींचिए। यह लंब समद्विभाजक रेखा AB को बिंदु Y पर काटेगा।
5. इसी प्रकार, रेखाखंड BX का लंब समद्विभाजक खींचिए। यह लंब समद्विभाजक रेखा AB को बिंदु Z पर काटेगा।
6. अंत में, बिंदु X को Y से और बिंदु X को Z से मिलाइए।
इस प्रकार, हमारा अभीष्ट त्रिभुज XYZ प्राप्त होगा। इस प्रकार की रचना में हम त्रिभुज की भुजाओं को जोड़ने के बजाय उसके परिमाप और आधार कोणों से शुरुआत करते हैं। In simple words: पहले 11 सेमी की एक सीधी रेखा खींचें। इसके दोनों सिरों पर दिए गए कोणों के आधे-आधे कोण बनाएं। जहाँ ये किरणें मिलें, वह त्रिभुज का तीसरा बिंदु होगा।
🎯 Exam Tip: परिमाप वाले त्रिभुज की रचना में, आधार रेखा पर दिए गए कोणों के आधे कोण बनाएं और फिर बनी हुई भुजाओं के लंब समद्विभाजक खींचकर त्रिभुज के शीर्षों को प्राप्त करें।
प्रश्न 4. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका आधार 12 सेमी और कर्ण तथा अन्य भुजा को योग 18 सेमी है।
Answer: समकोण त्रिभुज ABC की रचना के लिए इन चरणों का पालन करें:
1. सबसे पहले, 12 सेमी लंबा एक रेखाखंड BC खींचिए। यह त्रिभुज का आधार होगा।
2. बिंदु B पर, BC के साथ 90° का कोण बनाते हुए एक किरण BY ऊपर की ओर खींचिए।
3. बिंदु B को केंद्र मानकर, 18 सेमी की त्रिज्या से एक चाप लगाइए जो किरण BY को बिंदु D पर काटे। (यह BD, कर्ण और दूसरी भुजा का योग है)।
4. बिंदु C को बिंदु D से मिलाइए, जिससे रेखाखंड CD बन जाए।
5. अब, रेखाखंड CD का लंब समद्विभाजक खींचिए। यह लंब समद्विभाजक रेखाखंड BD को बिंदु A पर काटेगा।
6. अंत में, बिंदु A को बिंदु C से मिलाइए।
इस प्रकार, हमारा वांछित समकोण त्रिभुज ABC प्राप्त होगा। समकोण त्रिभुजों में पाइथागोरस प्रमेय (आधार\(^2\) + लंब\(^2\) = कर्ण\(^2\)) हमेशा लागू होती है। In simple words: पहले आधार 12 सेमी खींचें और एक सिरे पर 90° का कोण बनाएं। इस कोण वाली रेखा पर 18 सेमी की लंबाई काटें। उस बिंदु को आधार के दूसरे सिरे से जोड़ें, और उस जुड़ी हुई रेखा का लंब समद्विभाजक खींचकर त्रिभुज का तीसरा शीर्ष प्राप्त करें।
🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज की रचना में, 90 डिग्री का कोण सही ढंग से बनाना महत्वपूर्ण है। कर्ण और अन्य भुजा के योग वाली विधि में लंब समद्विभाजक का उपयोग ध्यान से करें।
प्रश्न 5. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें शीर्षलंब AD = 2.5 सेमी, AB = 4 सेमी और AC = 3 सेमी हो।
Answer: त्रिभुज ABC की रचना के लिए इन चरणों का पालन करें:
1. सबसे पहले, एक सीधी रेखा XY खींचिए।
2. रेखा XY पर कहीं भी एक बिंदु D अंकित कीजिए।
3. बिंदु D से रेखा XY पर एक लंब PD खींचिए। (लंब का मतलब 90 डिग्री का कोण)।
4. बिंदु D को केंद्र मानकर, 2.5 सेमी की त्रिज्या से एक चाप लगाइए जो लंब PD को बिंदु A पर काटे। (इससे शीर्षलंब AD = 2.5 सेमी हो जाएगा)।
5. अब, बिंदु A को केंद्र मानकर, 4 सेमी की त्रिज्या से एक चाप लगाइए जो रेखा XY को बिंदु B पर काटे।
6. फिर, बिंदु A को केंद्र मानकर, 3 सेमी की त्रिज्या से एक और चाप लगाइए जो रेखा XY को बिंदु C पर काटे।
7. अंत में, बिंदु A को बिंदु B से और बिंदु A को बिंदु C से मिलाइए।
इस प्रकार, हमारा वांछित त्रिभुज ABC बन जाएगा। शीर्षलंब की मदद से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आसान होता है, क्योंकि यह आधार से शीर्ष की सीधी दूरी होती है। In simple words: पहले एक सीधी रेखा XY खींचें। उस पर एक बिंदु D लेकर उस पर लंबवत रेखा खींचें। D से 2.5 सेमी पर A बिंदु लगाएं। फिर A से 4 सेमी और 3 सेमी के चाप XY पर लगाकर B और C बिंदु प्राप्त करें।
🎯 Exam Tip: शीर्षलंब AD की रचना में लंबवत रेखा को सही ढंग से खींचना महत्वपूर्ण है, ताकि बिंदु A आधार रेखा से सही ऊंचाई पर स्थित हो।
प्रश्न 6. त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें AB = AC = 8 सेमी, ∠A = 75°, ∠B का समद्विभाजक खींचिए जो सामने की भुजा को मिले।
Answer: त्रिभुज ABC की रचना के लिए इन चरणों का पालन करें:
1. सबसे पहले, 8 सेमी लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए।
2. बिंदु A पर, पटरी और परकार की मदद से 75° का कोण (∠RAB) बनाइए।
3. बिंदु A को केंद्र मानकर, 8 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो किरण AR को बिंदु C पर काटे। (इससे AC = 8 सेमी हो जाएगा)।
4. बिंदु C को बिंदु B से मिलाइए। इस तरह, हमारा त्रिभुज ABC बन जाएगा।
5. अब, ∠ABC का समद्विभाजक (जो कोण को दो बराबर भागों में बांटता है) BM खींचिए। यह समद्विभाजक रेखाखंड AC को बिंदु M पर मिलेगा।
कोण समद्विभाजक त्रिभुज के कोणों को बराबर भागों में बांटते हैं और त्रिभुज के केंद्र के निर्धारण में सहायक होते हैं। In simple words: पहले 8 सेमी की रेखा AB बनाएं। A पर 75° का कोण बनाएं और उस रेखा पर 8 सेमी पर C बिंदु लगाएं। C को B से जोड़कर त्रिभुज पूरा करें। फिर B कोण को आधा करके एक रेखा AC तक खींचें।
🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज की रचना में समान भुजाओं और दिए गए कोण को सही ढंग से चिह्नित करें। कोण समद्विभाजक खींचते समय यह सुनिश्चित करें कि वह कोण को ठीक दो बराबर भागों में बांटे।
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