RBSE Solutions Class 9 Maths Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता एवं असमिकाएँ More Ques

विविध प्रश्नमाला

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 1 से 16 तक)

Question 1. निम्नलिखित में से कौन त्रिभुजों की सर्वांगसमता की एक कसौटी नहीं है?
(a) SAS
(b) ASA
(c) SSA
(d) SSS
Answer: (c) SSA
In simple words: SSA (Side-Side-Angle) is not a rule to check if two triangles are exactly the same size and shape. This is because SSA does not always guarantee congruence, unlike SAS, ASA, and SSS rules.

🎯 Exam Tip: Remember the four main congruence rules: SSS (Side-Side-Side), SAS (Side-Angle-Side), ASA (Angle-Side-Angle), and RHS (Right angle-Hypotenuse-Side). SSA is a common trap!

Question 2. यदि AB = QR, BC = PR और CA = PQ है, तो
(a) \( \Delta ABC = \Delta PQR \)
(b) \( \Delta CBA = \Delta RPQ \)
(c) \( \Delta BAC = \Delta RPQ \)
(d) \( \Delta PQR = \Delta BCA \)
Answer: (b) \( \Delta CBA = \Delta RPQ \)
In simple words: When sides are equal, the vertices must match in order. If AB = QR, BC = PR, and CA = PQ, then the triangle formed by C, B, A (in that order) is congruent to the triangle formed by R, P, Q (in that order). This means side CB corresponds to side RP, BA to PQ, and CA to RQ.

🎯 Exam Tip: For triangle congruence, the order of vertices in the notation is very important as it indicates which corresponding parts are equal.

Question 3. △ABC में, AB = AC और ∠B = 50° है, तब ∠C बराबर है:
(a) 40°
(b) 50°
(c) 80°
(d) 130°
Answer: (b) 50°
In simple words: In a triangle, if two sides are equal (like AB = AC), then the angles opposite to these sides are also equal. Here, angle C is opposite to side AB, and angle B is opposite to side AC. Since AB = AC, ∠C must be equal to ∠B. Because ∠B is given as 50°, ∠C will also be 50°.

🎯 Exam Tip: This is a fundamental property of isosceles triangles: angles opposite to equal sides are equal. Use this for quick calculations in geometry problems.

Question 4. △ABC में, BC = AB और ∠B = 80° है, तब ∠A बराबर है:
(a) 80°
(b) 40°
(c) 50°
(d) 100°
Answer: (c) 50°
In simple words: Since sides BC and AB are equal, the angles opposite to them must also be equal. This means ∠A (opposite BC) is equal to ∠C (opposite AB). The total degrees in a triangle is 180°. So, ∠A + ∠B + ∠C = 180°. If ∠B = 80° and ∠A = ∠C, then ∠A + 80° + ∠A = 180°. This simplifies to 2∠A = 100°, so ∠A = 50°.

🎯 Exam Tip: Always draw a simple sketch if it helps visualize the triangle and its properties, especially when sides are given as equal.

Question 5. △PQR में ∠R = ∠P और QR = 4 सेमी और PR = 5 सेमी है, तब PQ की लम्बाई हैं,
(a) 4 सेमी
(b) 5 सेमी
(c) 2 सेमी
(d) 2.5 सेमी
Answer: (a) 4 सेमी
In simple words: In any triangle, if two angles are equal, then the sides opposite to those angles are also equal. Here, ∠R is equal to ∠P. The side opposite ∠R is PQ, and the side opposite ∠P is QR. Therefore, PQ must be equal to QR. Since QR is given as 4 cm, PQ will also be 4 cm.

🎯 Exam Tip: This is the converse of the isosceles triangle property: if angles are equal, then sides opposite them are equal. Make sure to correctly identify which side is opposite which angle.

Question 6. D एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु इस प्रकार स्थित है कि AD कोण BAC को समद्विभाजित करता है, तब :
(a) BD = CD
(b) BA > BD
(c) BD > BA
(d) CD > CA
Answer: (b) BA > BD
In simple words: In triangle ABD, the exterior angle ∠ADB is greater than the interior opposite angle ∠BAD. Since AD bisects ∠BAC, we know ∠BAD is part of ∠BAC. The property states that the side opposite a larger angle is longer. Because ∠ADB is greater than ∠BAD, the side opposite ∠ADB (which is AB) must be longer than the side opposite ∠BAD (which is BD).

🎯 Exam Tip: For proofs involving inequalities in triangles, remember that an exterior angle is always greater than either of its interior opposite angles. Also, the side opposite the larger angle is always the longer side.

Question 7. यह दिया है कि △ABC = △FDE है तथा AB = 5 सेमी, ∠B = 40° और ∠A = 80° है। निम्नलिखित में से कौन सत्य है?
(a) DF = 5 सेमी, ∠F = 60
(b) DF = 5 सेमी, ∠E = 60°
(c) DE = 5 सेमी, ∠E = 60°
(d) DE = 5 सेमी, ∠D = 40°
Answer: (b) DF = 5 सेमी, ∠E = 60°
In simple words: If two triangles are congruent (△ABC = △FDE), their corresponding parts are equal. First, find ∠C in △ABC: \( 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ) = 60^\circ \). Now, match the parts: AB corresponds to FD, so DF = AB = 5 cm. Angle C corresponds to angle E, so ∠E = ∠C = 60°. Therefore, option (b) is correct.

🎯 Exam Tip: When triangles are congruent, always list the corresponding vertices in the correct order to avoid confusion when matching sides and angles (e.g., A corresponds to F, B to D, C to E).

Question 8. एक त्रिभुज की दो भुजाओं को लम्बाइयाँ 5 सेमी और 1.5 सेमी हैं। इस त्रिभुज की तीसरी भुजा को लम्बाई निम्नलिखित नहीं हो सकती :
(a) 3.6 सेमी
(b) 4.1 सेमी
(c) 3.8 सेमी
(d) 3.4 सेमी
Answer: (d) 3.4 सेमी
In simple words: For any triangle, the sum of the lengths of any two sides must be greater than the length of the third side. Here, the two sides are 5 cm and 1.5 cm. If the third side were 3.4 cm, then \( 1.5 \text{ cm} + 3.4 \text{ cm} = 4.9 \text{ cm} \). This sum (4.9 cm) is not greater than the third side (5 cm). So, a triangle cannot be formed with a third side of 3.4 cm.

🎯 Exam Tip: This is the triangle inequality theorem. Always check all three possible sums of two sides against the third side to ensure a valid triangle can be formed.

Question 9. △PQR में यदि ∠R > ∠Q है, तो
(a) QR > PR
(b) PQ > PR
(c) PQ < PR
(d) QR < PR
Answer: (b) PQ > PR
In simple words: In a triangle, the side opposite the larger angle is always longer than the side opposite the smaller angle. Here, ∠R is greater than ∠Q. The side opposite ∠R is PQ, and the side opposite ∠Q is PR. So, PQ must be greater than PR.

🎯 Exam Tip: This rule is crucial for understanding relationships between angles and side lengths in triangles. Make sure you can quickly identify the side opposite any given angle.

Question 10. त्रिभुजों ABC और PQR में, AB = AC, ∠C = ∠P और ∠B = ∠Q है। ये दोनों त्रिभुज है।
(a) समद्विबाहु परंतु सर्वांगसम नहीं
(b) समद्विबाहु और सर्वांगसम
(c) सर्वांगसम परन्तु समद्विबाहु नहीं
(d) न तो सर्वांगसम और न ही समद्विबाहु
Answer: (a) समद्विबाहु परंतु सर्वांगसम नहीं
In simple words: In triangle ABC, since AB = AC, it is an isosceles triangle. This means ∠B = ∠C. We are also given ∠C = ∠P and ∠B = ∠Q. So, ∠P = ∠Q, which means triangle PQR is also an isosceles triangle with sides PR = QR. However, we don't have enough information to say that the triangles are congruent, as their corresponding sides might not be equal (e.g., AB might not equal PR). Both are isosceles, but not necessarily congruent.

🎯 Exam Tip: Congruence requires matching specific sides and angles. Just knowing that both triangles are isosceles with similar angle relationships isn't enough to prove them congruent.

Question 11. त्रिभुजों ABC और DEF में, AB = FD तथा ∠A = ∠D है। दोनों त्रिभुज SAS अभिगृहीत के अन्तर्गत सर्वांगसम होगे, यदि :
(a) BC = EF
(b) AC = DE
(c) AC = EF
(d) BC = DE
Answer: (b) AC = DE
In simple words: The SAS (Side-Angle-Side) congruence rule requires two sides and the angle *between* them to be equal in both triangles. We are given AB = FD and ∠A = ∠D. For SAS, the included sides must be AC and DE. So, if AC = DE, then the triangles △ABC and △FDE would be congruent by SAS.

🎯 Exam Tip: Always pay close attention to the position of the angle in the SAS rule. It must be the *included angle* (the angle formed by the two sides).

Question 12. समकोण त्रिभुज ABC में कोण C समकोण हो तो, सबसे बड़ी भुजा होगी:
(a) AB
(b) BC
(c) CA
Answer: (a) AB
In simple words: In any right-angled triangle, the side opposite the right angle is called the hypotenuse. The hypotenuse is always the longest side of the triangle. Since angle C is the right angle, the side opposite to it is AB, which is the hypotenuse.

🎯 Exam Tip: Always remember that the hypotenuse is the longest side in a right-angled triangle, and it is always opposite the 90-degree angle.

Question 13. किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को अन्तर तीसरी भुजा से होता है:
(a) अधिक
(b) समान
(c) कम
(d) आधा
Answer: (c) कम
In simple words: In any triangle, the difference between the lengths of any two sides is always less than the length of the third side. For example, if sides are a, b, c, then \( |a - b| < c \). This is part of the triangle inequality rule, which ensures a triangle can actually be formed.

🎯 Exam Tip: The triangle inequality states two conditions for any three sides a, b, c: \( a+b > c \) and \( |a-b| < c \). Both are equally important.

Question 14. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ असमान हो, तो बड़ी भुजा के सामने का कोण होता है:
(a) बड़ा
(b) छोटा
(c) बराबर
(d) आधा
Answer: (a) बड़ा
In simple words: In a triangle, if one side is longer than another side, then the angle opposite the longer side is always larger than the angle opposite the shorter side. This fundamental property helps in comparing angles and sides.

🎯 Exam Tip: This rule is often used in combination with the reverse rule (side opposite larger angle is longer) to solve geometry problems involving inequalities.

Question 15. त्रिभुज का परिमाप उसकी मध्यिकाओं के योग से होता है-
(a) अधिक
(b) कम
(c) समान
(d) आधा
Answer: (a) अधिक
In simple words: The perimeter of a triangle is the total length of its three sides. The sum of the lengths of the three medians of a triangle is always less than the perimeter of the triangle. So, the perimeter is greater than the sum of its medians. Medians are lines from a vertex to the midpoint of the opposite side.

🎯 Exam Tip: This is a known property: \( \text{Perimeter} > \text{Sum of medians} \). This inequality is not immediately obvious but can be proven using triangle inequalities for extensions of medians.

Question 16. त्रिभुज के तीनों शीर्ष लम्बों का योग उसके परिमाप से होता है:
(d) कम
Answer: (d) कम
In simple words: The sum of the lengths of the three altitudes (heights) of a triangle is always less than the perimeter of the triangle. An altitude is a perpendicular line from a vertex to the opposite side. Each altitude is shorter than the two sides connected to its vertex.

🎯 Exam Tip: Remember that altitudes are generally shorter than the sides of a triangle, and their sum will consequently be less than the sum of all sides (the perimeter).

Question 17. यदि △ABC में AB = AC हो तथा ∠A < 60° हो, तो भुजा BC एवं AC में सम्बन्ध लिखिए।
Answer: दिया है, △ABC में, AB = AC और ∠A < 60° है।
चूंकि AB = AC, इसलिए ∠B = ∠C (समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)।
हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
क्योंकि ∠A < 60°, इसका मतलब है कि \( \angle B + \angle C \) को \( 180^\circ - \angle A \) से बड़ा होना चाहिए।
तो, \( \angle B + \angle C > 180^\circ - 60^\circ \implies \angle B + \angle C > 120^\circ \).
चूंकि ∠B = ∠C है, हम कह सकते हैं \( 2\angle B > 120^\circ \implies \angle B > 60^\circ \).
इस तरह, हमारे पास \( \angle B > 60^\circ \) और \( \angle A < 60^\circ \) है। अतः \( \angle B > \angle A \).
किसी त्रिभुज में, बड़े कोण के सम्मुख भुजा लंबी होती है। यहाँ, ∠B के सम्मुख भुजा AC है और ∠A के सम्मुख भुजा BC है।
इसलिए, \( AC > BC \), या इसे \( BC < AC \) भी लिख सकते हैं।
In simple words: Since two sides (AB and AC) are equal, the angles opposite them (∠B and ∠C) are also equal. If ∠A is less than 60°, it means the other two angles (∠B and ∠C) must be greater than 60° each, for the total to be 180°. So, ∠B is larger than ∠A. The side opposite the larger angle is longer. The side opposite ∠B is AC, and the side opposite ∠A is BC. Therefore, AC is longer than BC.

🎯 Exam Tip: This problem combines the property of isosceles triangles with the angle sum property and the side-angle inequality rule. Always break down complex problems into smaller, manageable steps.

Question 18. चित्र में, भुजा AB एवं AC में सम्बन्ध लिखिए।
Answer: त्रिभुज ABC में,
∠ABC ज्ञात करने के लिए, हम बाहरी कोण का उपयोग करते हैं। बाहरी कोण \( 135^\circ \) है, तो आंतरिक कोण \( \angle ABC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).
इसी तरह, ∠ACB ज्ञात करने के लिए, बाहरी कोण का उपयोग करते हैं। बाहरी कोण \( 115^\circ \) है, तो आंतरिक कोण \( \angle ACB = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).
अब, त्रिभुज के कोणों के योग गुण का उपयोग करके ∠BAC ज्ञात करते हैं:
\( \angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) \)
\( \angle BAC = 180^\circ - (45^\circ + 65^\circ) \)
\( \angle BAC = 180^\circ - 110^\circ \)
\( \angle BAC = 70^\circ \).
अब हम त्रिभुज ABC के कोणों की तुलना करते हैं: \( \angle ACB = 65^\circ \) और \( \angle ABC = 45^\circ \).
चूंकि \( \angle ACB > \angle ABC \), इसलिए बड़ी भुजा के सामने का कोण भी बड़ा होता है।
∠ACB के सामने की भुजा AB है और ∠ABC के सामने की भुजा AC है।
इसलिए, \( AB > AC \).
In simple words: First, find the interior angles of the triangle using the given exterior angles. Angle B is \( 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \). Angle C is \( 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \). Now compare these angles. Since angle C (65°) is greater than angle B (45°), the side opposite angle C (which is AB) must be longer than the side opposite angle B (which is AC). So, AB is greater than AC.

🎯 Exam Tip: Remember that an interior angle and its adjacent exterior angle form a linear pair, summing to \( 180^\circ \). This is a key step in finding interior angles when exterior angles are given.

Question 19. किसी त्रिभुज ABC में, ∠A > ∠B एवं ∠B > ∠C हो, तो सबसे छोटी भुजा कौन-सी होगी?
Answer: दिया गया है कि त्रिभुज ABC में, \( \angle A > \angle B \) और \( \angle B > \angle C \).
यह बताता है कि कोणों का क्रम \( \angle A > \angle B > \angle C \) है।
किसी त्रिभुज में, सबसे छोटे कोण के सामने वाली भुजा सबसे छोटी होती है।
यहाँ, सबसे छोटा कोण \( \angle C \) है।
\( \angle C \) के सामने वाली भुजा AB है।
अतः, सबसे छोटी भुजा AB होगी।
In simple words: We are told that angle A is bigger than angle B, and angle B is bigger than angle C. This means angle C is the smallest angle. In any triangle, the side that is opposite the smallest angle is always the shortest side. The side opposite angle C is AB. So, AB is the shortest side.

🎯 Exam Tip: Always remember the direct relationship between angle size and the length of the opposite side: the largest angle is opposite the longest side, and the smallest angle is opposite the shortest side.

Question 20. एक समबाहु त्रिभूज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: एक समबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी सभी तीनों भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
एक समबाहु त्रिभुज में, सभी तीनों कोण भी समान माप के होते हैं।
माना प्रत्येक कोण का माप \( x^\circ \) है।
हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
इसलिए, \( x^\circ + x^\circ + x^\circ = 180^\circ \)
\( 3x^\circ = 180^\circ \)
\( x^\circ = \frac{180^\circ}{3} \)
\( x^\circ = 60^\circ \).
अतः, एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण \( 60^\circ \) का होता है।
In simple words: An equilateral triangle has all three sides equal. When all sides are equal, all three angles inside the triangle are also equal. Since all angles in any triangle add up to 180 degrees, and there are three equal angles, each angle must be \( 180 \div 3 = 60 \) degrees. So, every angle in an equilateral triangle is 60 degrees.

🎯 Exam Tip: The property that all angles in an equilateral triangle are \( 60^\circ \) is fundamental and frequently used in geometry problems. It's a key characteristic of this type of triangle.

Question 21. P कोण ABC के समद्विभाजक पर स्थित कोई बिन्दु है। यदि P से होकर BA के समान्तर खींची गई रेखा BC से Q पर मिलती है, तो सिद्ध कीजिए कि BPQ एक समद्विबाहु त्रिभुजे है।
Answer: दिया है: एक त्रिभुज ABC है, और P कोण ABC के समद्विभाजक पर एक बिंदु है।
P से होकर एक रेखा PQ खींची जाती है जो BA के समानांतर है और BC को Q पर मिलती है।
हमें सिद्ध करना है कि △BPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
चूंकि P कोण ABC के समद्विभाजक पर है, इसलिए:
\( \angle ABP = \angle PBQ \) ...(i)
अब, चूंकि \( PQ \parallel BA \) है और BP एक तिर्यक रेखा है, तो एकांतर आंतरिक कोण बराबर होते हैं:
\( \angle ABP = \angle BPQ \) ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम देखते हैं कि दोनों \( \angle ABP \) के बराबर हैं:
\( \angle PBQ = \angle BPQ \).
त्रिभुज BPQ में, यदि दो कोण (∠PBQ और ∠BPQ) बराबर हैं, तो उनके सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं।
\( PQ = BQ \).
चूंकि त्रिभुज BPQ की दो भुजाएँ (PQ और BQ) बराबर हैं, अतः △BPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इति सिद्धम्।
In simple words: We know that P is on the bisector of angle ABC, so angle ABP is equal to angle PBQ. Also, a line from P is parallel to BA, meeting BC at Q. Because BA and PQ are parallel lines and BP is a transversal line crossing them, angle ABP is equal to angle BPQ (these are alternate interior angles). Since angle ABP is equal to both angle PBQ and angle BPQ, it means angle PBQ is equal to angle BPQ. In triangle BPQ, if two angles are equal, then the sides opposite those angles must also be equal. This means side PQ is equal to side BQ, proving that triangle BPQ is an isosceles triangle.

🎯 Exam Tip: This proof relies on two key geometric properties: angle bisector definition and properties of parallel lines intersected by a transversal (alternate interior angles). Understanding these relationships is crucial.

Question 22. ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। ∠A का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि BC = 2AD है।
Answer: दिया है: △ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = \( 90^\circ \) और AB = AC है। AD, ∠A का समद्विभाजक है जो BC से D पर मिलता है।
हमें सिद्ध करना है कि BC = 2AD है।
चूंकि △ABC एक समकोण त्रिभुज है और AB = AC है, यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
इसलिए, \( \angle B = \angle C = \frac{(180^\circ - 90^\circ)}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
AD, ∠A का समद्विभाजक है, इसलिए \( \angle BAD = \angle CAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
अब, त्रिभुज ABD पर विचार करें:
\( \angle BAD = 45^\circ \) और \( \angle B = 45^\circ \).
चूंकि दो कोण बराबर हैं, उनके सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी। तो, AD = BD.
इसी तरह, त्रिभुज ACD पर विचार करें:
\( \angle CAD = 45^\circ \) और \( \angle C = 45^\circ \).
चूंकि दो कोण बराबर हैं, उनके सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी। तो, AD = CD.
अब, BC भुजा को BD + CD के रूप में लिखा जा सकता है:
\( BC = BD + CD \)
AD = BD और AD = CD को प्रतिस्थापित करने पर:
\( BC = AD + AD \)
\( BC = 2AD \).
इति सिद्धम्।
In simple words: We have a right-angled triangle ABC where angle A is 90 degrees and sides AB and AC are equal. This means it's an isosceles right triangle, so angles B and C are both 45 degrees. AD bisects angle A, making angles BAD and CAD each 45 degrees. Now, in triangle ABD, angle B is 45 degrees and angle BAD is 45 degrees, which means AD must be equal to BD. Similarly, in triangle ACD, angle C is 45 degrees and angle CAD is 45 degrees, so AD must be equal to CD. Since BC is made up of BD + CD, and both BD and CD are equal to AD, then BC must be equal to AD + AD, which is 2AD.

🎯 Exam Tip: This proof combines multiple triangle properties: isosceles triangle angles, angle sum property, angle bisector definition, and the side-angle relationship. Clearly stating each step is key to a good proof.

Question 23. ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि बिन्दु A और D आधार BC के विपरीत ओर स्थित हैं, AB = AC और DB = DC है। दर्शाइए कि AD रेखाखण्ड BC का लम्बसमद्विभाजक है।
Answer: दिया है: त्रिभुज ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित हैं। बिंदु A और D आधार BC के विपरीत दिशा में हैं। AB = AC और DB = DC है।
हमें सिद्ध करना है कि रेखाखंड AD, BC का लम्बसमद्विभाजक है।
सबसे पहले, त्रिभुज ABD और त्रिभुज ACD पर विचार करें:
1. \( AB = AC \) (दिया है)
2. \( DB = DC \) (दिया है)
3. \( AD = AD \) (उभयनिष्ठ भुजा)
SSS (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता नियम के अनुसार, \( \Delta ABD \cong \Delta ACD \).
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं, इसलिए:
\( \angle BAD = \angle CAD \) (CPCTC) ...(i)
अब, मान लीजिए AD, BC को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करता है। त्रिभुज ABO और त्रिभुज ACO पर विचार करें:
1. \( AB = AC \) (दिया है)
2. \( \angle BAO = \angle CAO \) (समीकरण (i) से, \( \angle BAD \) और \( \angle CAD \) समान हैं)
3. \( AO = AO \) (उभयनिष्ठ भुजा)
SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम के अनुसार, \( \Delta ABO \cong \Delta ACO \).
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं, इसलिए:
\( BO = CO \) (CPCTC). यह दर्शाता है कि AD, BC को समद्विभाजित करता है।
और \( \angle AOB = \angle AOC \) (CPCTC).
चूंकि \( \angle AOB \) और \( \angle AOC \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं, उनका योग \( 180^\circ \) होता है:
\( \angle AOB + \angle AOC = 180^\circ \).
\( \angle AOB = \angle AOC = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \).
यह दर्शाता है कि AD, BC पर लंबवत है।
चूंकि AD, BC को समद्विभाजित करता है और BC पर लंबवत है, अतः AD, रेखाखंड BC का लम्बसमद्विभाजक है।
इति सिद्धम्।
In simple words: We have two triangles, ABC and DBC, sharing the same base BC. We know AB = AC and DB = DC. First, compare triangles ABD and ACD. All three sides are equal (AB=AC, DB=DC, AD is common), so they are congruent by SSS. This means angle BAD equals angle CAD. Now, consider triangles ABO and ACO (where O is where AD crosses BC). They have AB=AC, angle BAO=angle CAO, and AO is common. So, they are congruent by SAS. This means BO=CO (AD bisects BC) and angle AOB=angle AOC. Since angles AOB and AOC form a straight line, they must both be 90 degrees, meaning AD is perpendicular to BC. Because AD bisects BC and is perpendicular to it, it is the perpendicular bisector of BC.

🎯 Exam Tip: This is a classic proof that demonstrates the combined application of SSS and SAS congruence rules, along with properties of linear pairs and congruent parts of congruent triangles (CPCTC).

Question 24. ABC एक समद्विबाह त्रिभुज है, जिसमें AC = BC है। AD और BE क्रमशः BC और AC पर शीर्ष लम्ब है। सिद्ध कीजिए कि AE = BD है।
Answer: दिया है: △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। AD, BC पर शीर्ष लम्ब है (अर्थात् \( AD \perp BC \)) और BE, AC पर शीर्ष लम्ब है (अर्थात् \( BE \perp AC \))।
हमें सिद्ध करना है कि AE = BD है।
चूंकि △ABC में AC = BC है, इसलिए समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं:
\( \angle BAC = \angle ABC \) (अर्थात् \( \angle A = \angle B \)) ...(i)
अब, त्रिभुज ADB और त्रिभुज BEA पर विचार करें:
1. \( \angle ADB = \angle BEA = 90^\circ \) (चूंकि AD और BE शीर्ष लम्ब हैं)
2. \( \angle DAB = \angle EBA \) (यह कोण \( \angle A \) और \( \angle B \) है, जो समीकरण (i) से बराबर हैं)
3. \( AB = AB \) (यह दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है और कर्ण भी है क्योंकि दोनों त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं)
AAS (कोण-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम के अनुसार, \( \Delta ADB \cong \Delta BEA \).
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCTC)।
इसलिए, \( AE = BD \).
इति सिद्धम्।
In simple words: We have an isosceles triangle ABC where sides AC and BC are equal, meaning angles A and B are also equal. AD is the height from A to BC, and BE is the height from B to AC. We want to show that AE is equal to BD. Let's look at two right-angled triangles: ADB and BEA. Both have a 90-degree angle (at D and E respectively). They share a common side AB. Also, angle A of the larger triangle is equal to angle B of the larger triangle. So, by the Angle-Angle-Side (AAS) rule, triangle ADB is congruent to triangle BEA. Because they are congruent, their corresponding parts must be equal. Therefore, AE is equal to BD.

🎯 Exam Tip: This proof uses the AAS congruence criterion. Carefully identify the corresponding angles and sides to correctly apply the congruence rule and deduce the required equality (CPCTC).

Question 25. सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा की संगत माध्यिका के दोगुने से बड़ा होता है।
Answer: दिया है: एक त्रिभुज ABC है और AD भुजा BC की माध्यिका है। (अर्थात् D, BC का मध्यबिंदु है)।
हमें सिद्ध करना है: \( AB + AC > 2AD \).
रचना: माध्यिका AD को E तक इस प्रकार बढ़ायें कि \( DE = AD \) हो। फिर C को E से मिलायें।
उपपत्ति (प्रमाण):
त्रिभुज ADB और त्रिभुज EDC पर विचार करें:
1. \( AD = DE \) (रचना द्वारा)
2. \( BD = DC \) (चूंकि D माध्यिका है, इसलिए BC का मध्यबिंदु है)
3. \( \angle ADB = \angle EDC \) (शीर्षाभिमुख कोण)
SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता नियम के अनुसार, \( \Delta ADB \cong \Delta EDC \).
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCTC)।
इसलिए, \( AB = EC \).
अब, त्रिभुज ACE पर विचार करें:
त्रिभुज असमिका नियम के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
तो, \( AC + EC > AE \).
यहाँ, \( EC = AB \) और \( AE = AD + DE = AD + AD = 2AD \) को प्रतिस्थापित करने पर:
\( AC + AB > 2AD \).
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा की संगत माध्यिका के दोगुने से बड़ा होता है।
इति सिद्धम्।
In simple words: Let AD be a median of triangle ABC. To prove AB + AC > 2AD, we extend AD to a point E such that AD = DE, and then connect C to E. By comparing triangle ADB and triangle EDC, we find they are congruent (SAS rule) because AD=DE, BD=DC, and the angles at D are vertically opposite. This means AB = EC. Now, in the new triangle ACE, the sum of two sides (AC + CE) must be greater than the third side (AE). Substituting EC with AB, and AE with 2AD (since AE = AD + DE = AD + AD), we get AC + AB > 2AD. This proves the statement.

🎯 Exam Tip: This proof uses a common construction technique where a median is extended to double its length. This creates congruent triangles and allows the use of the triangle inequality theorem in a larger triangle.

Question 26. एक त्रिभुज ABC में, D भुजा AC का मध्य-बिन्दु है तथा BD = ½ AC है। दर्शाइए कि ∠ABC एक समकोण है।
Answer: दिया है: △ABC में, D भुजा AC का मध्यबिंदु है, जिसका अर्थ है \( AD = DC = \frac{1}{2}AC \).
यह भी दिया है कि \( BD = \frac{1}{2}AC \).
उपरोक्त दोनों जानकारी से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि \( AD = DC = BD \).
अब, △ADB पर विचार करें:
चूंकि \( AD = BD \) है, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इसलिए, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं:
\( \angle BAD = \angle ABD \). मान लीजिए \( \angle BAD = \angle ABD = x \).
त्रिभुज ADB में कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, इसलिए \( \angle ADB = 180^\circ - (x + x) = 180^\circ - 2x \). ...(i)
अब, △BDC पर विचार करें:
चूंकि \( BD = DC \) है, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इसलिए, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं:
\( \angle DBC = \angle BCD \). मान लीजिए \( \angle DBC = \angle BCD = y \).
त्रिभुज BDC में कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, इसलिए \( \angle BDC = 180^\circ - (y + y) = 180^\circ - 2y \). ...(ii)
बिंदु D, रेखाखंड AC पर है, इसलिए \( \angle ADB \) और \( \angle BDC \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
\( \angle ADB + \angle BDC = 180^\circ \).
समीकरण (i) और (ii) से मान प्रतिस्थापित करने पर:
\( (180^\circ - 2x) + (180^\circ - 2y) = 180^\circ \)
\( 360^\circ - 2x - 2y = 180^\circ \)
\( 360^\circ - 180^\circ = 2x + 2y \)
\( 180^\circ = 2(x + y) \)
\( x + y = \frac{180^\circ}{2} \)
\( x + y = 90^\circ \).
हम जानते हैं कि \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).
\( \angle ABC = x + y \).
चूंकि \( x + y = 90^\circ \), इसलिए \( \angle ABC = 90^\circ \).
अतः, \( \angle ABC \) एक समकोण है।
इति सिद्धम्।
In simple words: We are given that D is the midpoint of AC, so AD = DC. We are also given that BD is half of AC, which means BD = AD = DC. Now consider triangle ADB. Since AD = BD, it's an isosceles triangle, so angle BAD = angle ABD (let's call this 'x'). Similarly, in triangle BDC, since BD = DC, it's an isosceles triangle, so angle DBC = angle BCD (let's call this 'y'). The angles ADB and BDC form a straight line, so they add up to 180 degrees. Using the angle sum property for triangle ADB, angle ADB = \( 180^\circ - 2x \). For triangle BDC, angle BDC = \( 180^\circ - 2y \). Adding these two: \( (180^\circ - 2x) + (180^\circ - 2y) = 180^\circ \). This simplifies to \( 360^\circ - 2(x+y) = 180^\circ \), which means \( 2(x+y) = 180^\circ \), or \( x+y = 90^\circ \). Since angle ABC is \( x+y \), angle ABC is \( 90^\circ \), proving it's a right angle.

🎯 Exam Tip: This proof cleverly uses the properties of isosceles triangles and linear pairs. The key insight is realizing that if the median to a side is half the length of that side, it leads to two isosceles triangles.

Question 27. एक समकोण त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि कर्ण के मध्य-बिन्दु को उसके सम्मुख शीर्ष से मिलाने वाला रेखाखण्ड कर्ण का आधा होता है।
Answer: हमें एक समकोण त्रिभुज ABC दिया गया है, जहाँ ∠B = 90° है। कर्ण AC का मध्य-बिन्दु D है। हमें यह सिद्ध करना है कि BD, कर्ण AC का आधा है, यानी \( BD = \frac {1}{2} AC \)।
सबसे पहले, हम BD को E तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि \( BD = DE \) हो, और फिर C को E से मिलाते हैं।
अब, त्रिभुज ADB और EDC में:
\( AD = DC \) (क्योंकि D, AC का मध्य-बिन्दु है)
\( BD = DE \) (रचना द्वारा)
\( \angle ADB = \angle CDE \) (शीर्षाभिमुख कोण)
इसलिए, भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता गुणधर्म से, \( \triangle ADB \cong \triangle EDC \)।
इससे यह सिद्ध होता है कि \( AB = CE \) और \( \angle ABD = \angle CED \)।
क्योंकि \( \angle ABD \) और \( \angle CED \) एकांतर कोण हैं और बराबर हैं, इसलिए AB और CE समानांतर हैं।
जब AB || CE, तो `\(\angle ABC + \angle ECB = 180^\circ\)` (तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने अंतः कोण)।
चूंकि \( \angle ABC = 90^\circ \), तो \( 90^\circ + \angle ECB = 180^\circ \), जिसका अर्थ है \( \angle ECB = 90^\circ \)।
अब, त्रिभुज ABC और ECB में:
\( AB = EC \) (पहले सिद्ध किया गया)
\( BC = BC \) (उभयनिष्ठ भुजा)
\( \angle ABC = \angle ECB \) (दोनों \( 90^\circ \))
इसलिए, भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता गुणधर्म से, \( \triangle ABC \cong \triangle ECB \)।
इससे \( AC = BE \) सिद्ध होता है।
चूंकि BE, BD का दोगुना है (क्योंकि \( BD = DE \)), तो \( BE = 2BD \)।
इसलिए, \( AC = 2BD \), जिसका अर्थ है \( BD = \frac {1}{2} AC \)।
यह हमें दर्शाता है कि समकोण त्रिभुज में कर्ण का मध्य-बिंदु उस शीर्ष से आधी दूरी पर होता है, जिससे वह कोण \( 90^\circ \) का होता है।
In simple words: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का बीच वाला बिंदु, उस कोने से आधी दूरी पर होता है जहाँ \( 90^\circ \) का कोण बनता है। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के ज्यामितीय प्रमाणों में, सही रचना और सर्वांगसमता नियमों का सही अनुप्रयोग महत्वपूर्ण होता है। एकांतर कोण और अंतः कोणों के गुणों को ध्यान में रखें।

Question 29. AD किसी त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है। क्या यह कहना सत्य है कि AB + BC + CA > 2AD है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
Answer: हाँ, यह कथन बिल्कुल सत्य है।
इसका कारण त्रिभुज की एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रॉपर्टी, जिसे 'त्रिभुज असमानता प्रमेय' कहते हैं, पर आधारित है। यह प्रमेय कहता है कि किसी भी त्रिभुज में, किन्हीं भी दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होता है।
यहाँ, AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि D, BC का मध्य-बिंदु है।
अब हम दो छोटे त्रिभुजों पर विचार करते हैं, जो माध्यिका AD से बनते हैं:
1. त्रिभुज ABD में, त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार:
\( AB + BD > AD \) ......(i)
2. त्रिभुज ACD में, त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार:
\( AC + CD > AD \) ......(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर हमें मिलता है:
\( (AB + BD) + (AC + CD) > AD + AD \)
\( AB + AC + BD + CD > 2AD \)
चूंकि D, BC का मध्य-बिंदु है, तो \( BD + CD = BC \)।
तो, इसे समीकरण में रखने पर:
\( AB + AC + BC > 2AD \)
यह सिद्ध करता है कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग उसकी किसी भी माध्यिका के दोगुने से हमेशा अधिक होता है। यह दर्शाता है कि माध्यिका त्रिभुज के भीतर एक छोटा रास्ता बनाती है।
In simple words: हाँ, यह सही है। किसी भी त्रिभुज में, अगर आप तीनों भुजाओं को जोड़ते हैं, तो उनका जोड़ हमेशा किसी एक माध्यिका (जो बीच तक जाती है) के दोगुने से बड़ा होगा। यह त्रिभुज का एक सीधा सा नियम है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमानता प्रमेय एक मौलिक नियम है। इसे याद रखें: "दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।" यह ऐसे प्रमाणों का आधार है।

Question 31. एक △PSR की भुजा SR पर एक बिन्दु Q इस प्रकार स्थित है कि PQ = PR है। सिद्ध कीजिए कि PS > PQ है।
Answer: हमें एक त्रिभुज PSR दिया गया है, जहाँ भुजा SR पर एक बिंदु Q इस प्रकार है कि PQ = PR है। हमें यह सिद्ध करना है कि \( PS > PQ \)।
त्रिभुज PQR में, हमें दिया गया है कि \( PQ = PR \)।
इसका मतलब है कि समान भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं, इसलिए \( \angle PQR = \angle PRQ \) (या \( \angle S \) के बराबर)।
अब, त्रिभुज PSQ में, \( \angle PQR \) एक बहिष्कोण (exterior angle) है।
बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार, एक त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दोनों अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।
तो, \( \angle PQR = \angle SPQ + \angle S \)।
चूंकि \( \angle S \) एक धनात्मक कोण है, इसका मतलब है कि \( \angle PQR > \angle SPQ \)।
हमने पहले ही देखा है कि \( \angle PQR = \angle PRQ \)।
तो, \( \angle PRQ > \angle SPQ \)।
अब त्रिभुज PSR में, हम कोणों \( \angle PRQ \) और \( \angle SPQ \) की तुलना करते हैं।
हमने दिखाया कि \( \angle PRQ > \angle SPQ \)।
त्रिभुज में बड़े कोण के सामने वाली भुजा बड़ी होती है।
\( \angle PRQ \) के सामने की भुजा PS है, और \( \angle SPQ \) के सामने की भुजा SQ है।
लेकिन हमें \( PS > PQ \) सिद्ध करना है।
चूंकि \( \angle PQR = \angle PRQ \) और \( \angle PQR = \angle SPQ + \angle S \), तो \( \angle PRQ > \angle S \)।
त्रिभुज PSR में, \( \angle PRQ \) के सामने की भुजा PS है, और \( \angle S \) के सामने की भुजा PR है।
इसलिए, \( PS > PR \)।
चूंकि हमें दिया गया है कि \( PQ = PR \), हम PR की जगह PQ लिख सकते हैं।
अतः, \( PS > PQ \)।
यह प्रमाण भुजा-कोण संबंधों को स्पष्ट करता है, जहां बड़ा कोण हमेशा बड़ी भुजा के विपरीत होता है।
In simple words: हमें एक त्रिभुज दिया है जहाँ एक खास बिंदु है जिससे दो भुजाएं बराबर हैं। हमें दिखाना है कि एक तीसरी भुजा, इन बराबर भुजाओं में से एक से बड़ी है। हम बहिष्कोण के नियम और बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा होने के नियम का उपयोग करते हैं ताकि इसे सिद्ध कर सकें।

🎯 Exam Tip: बहिष्कोण प्रमेय (exterior angle theorem) और बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा होने के सिद्धांत का उपयोग ज्यामितीय प्रमाणों में अक्सर किया जाता है। इन्हें अच्छी तरह समझें।

Question 33. AB = AC वाले एक त्रिभुज ABC की भुजा AC पर D कोई बिन्दु स्थित है। दर्शाइए कि CD < BD है।
Answer: हमें एक त्रिभुज ABC दिया गया है, जिसमें \( AB = AC \) है। भुजा AC पर एक बिंदु D स्थित है। हमें यह दर्शाना है कि \( CD < BD \)।
चूंकि \( AB = AC \) है, त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
समद्विबाहु त्रिभुज में, समान भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं, इसलिए \( \angle ABC = \angle ACB \)।
अब, त्रिभुज ABD में, \( \angle BDC \) एक बहिष्कोण है।
बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार, \( \angle BDC = \angle BAD + \angle ABD \)।
इसका मतलब है कि \( \angle BDC > \angle ABD \)।
हमें यह भी पता है कि \( \angle ABD < \angle ABC \) (क्योंकि D, AC पर है, तो BD, BC के बीच में है)।
तो, \( \angle ABD < \angle ACB \) (चूंकि \( \angle ABC = \angle ACB \))।
अब त्रिभुज BDC में, हम \( \angle BDC \) और \( \angle BCD \) (जो \( \angle ACB \) के बराबर है) की तुलना करते हैं।
हमें \( \angle BDC > \angle ABD \) और \( \angle ABD < \angle ACB \) मिला है।
यदि \( \angle BDC > \angle ACB \) होता है, तो \( BC > BD \) होगा।
लेकिन हमें \( CD < BD \) सिद्ध करना है।
त्रिभुज ABC में, \( AB = AC \)।
D, AC पर एक बिंदु है। इसका मतलब है कि D, A और C के बीच में कहीं है।
त्रिभुज BDC में, भुजाओं और कोणों के बीच संबंध का उपयोग करते हैं।
\( \angle ADB \) त्रिभुज BCD का बहिष्कोण है।
\( \angle ADB = \angle DBC + \angle BCD \)
इससे \( \angle ADB > \angle BCD \) सिद्ध होता है।
अब, \( \angle BCD = \angle ACB \)।
चूंकि \( AB = AC \), \( \angle ABC = \angle ACB \)।
अगर D, AC पर है, तो \( \angle ABD < \angle ABC \)।
और \( \angle DBC < \angle ABC \)।
अब, त्रिभुज ABD और BCD को देखें।
हम जानते हैं कि \( \angle BDC \) त्रिभुज ABD का बहिष्कोण है, इसलिए \( \angle BDC = \angle BAD + \angle ABD \)।
यानी \( \angle BDC > \angle ABD \)।
साथ ही, \( \angle ADB \) त्रिभुज BDC का बहिष्कोण है, इसलिए \( \angle ADB = \angle DBC + \angle BCD \)।
यानी \( \angle ADB > \angle BCD \)।
चूंकि \( AB = AC \), तो \( \angle ABC = \angle ACB \)।
D, AC पर है, तो \( \angle BCD = \angle ACB \)।
इसलिए, \( \angle ABC = \angle BCD \)।
यह \( \angle ADB > \angle BCD \) दर्शाता है।
त्रिभुज BDC में, \( \angle ADB \) के सामने की भुजा AB है, और \( \angle BCD \) के सामने की भुजा BD है।
हम जानते हैं कि \( AB > BD \) (त्रिभुज में बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा होती है)।
चूंकि \( AB = AC \), तो \( AC > BD \)।
लेकिन हमें \( CD < BD \) सिद्ध करना है।
त्रिभुज ABC में, \( AB=AC \)।
\( \angle BDC \) त्रिभुज ABD का एक बहिष्कोण है।
तो, \( \angle BDC = \angle A + \angle ABD \)।
इसलिए, \( \angle BDC > \angle A \) और \( \angle BDC > \angle ABD \)।
त्रिभुज BDC में, \( \angle BCD < \angle ABC \)।
हम जानते हैं कि \( \angle ACB = \angle ABC \)।
चूंकि \( \angle BDC > \angle ABC \), तो \( \angle BDC > \angle ACB \)।
त्रिभुज BDC में, \( \angle BDC \) के सामने की भुजा BC है और \( \angle BCD \) के सामने की भुजा BD है।
\( BC > BD \)।
यह एक जटिल संबंध है। हम दूसरे तरीके से सोचते हैं।
त्रिभुज BCD में, हमें दिखाना है कि CD के सामने का कोण BD के सामने के कोण से छोटा है।
CD के सामने का कोण \( \angle CBD \) है। BD के सामने का कोण \( \angle BCD \) है।
हमें सिद्ध करना है कि \( \angle CBD < \angle BCD \)।
चूंकि \( AB = AC \), इसलिए \( \angle ABC = \angle ACB \)।
अब, \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \)।
तो \( \angle ABD + \angle DBC = \angle ACB \)।
इसका मतलब है \( \angle DBC = \angle ACB - \angle ABD \)।
हम जानते हैं कि \( \angle ACB \) और \( \angle BCD \) समान कोण हैं।
इसलिए \( \angle DBC = \angle BCD - \angle ABD \)।
चूंकि \( \angle ABD \) एक धनात्मक कोण है, तो \( \angle DBC < \angle BCD \)।
त्रिभुज BDC में, \( \angle DBC \) के सामने की भुजा CD है, और \( \angle BCD \) के सामने की भुजा BD है।
चूंकि \( \angle DBC < \angle BCD \), इसलिए \( CD < BD \)।
यह एक समद्विबाहु त्रिभुज के भीतर कोण और भुजा के संबंधों का एक सुंदर उदाहरण है।
In simple words: एक त्रिभुज में, अगर दो भुजाएं बराबर हैं और तीसरी भुजा पर एक बिंदु है, तो उस बिंदु से छोटी भुजा (जो बिंदु से एक कोने तक जाती है) हमेशा उस बिंदु से दूसरे कोने तक जाने वाली भुजा से छोटी होगी। यह कोणों के आकार पर आधारित है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रमाणों के लिए, त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के बीच के संबंध (जैसे बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा होती है) को समझना बहुत महत्वपूर्ण है। बहिष्कोण प्रमेय भी एक महत्वपूर्ण उपकरण है।

Question 35. किसी त्रिभुज ABC में, AB > AC एवं भुजा BC पर कोई बिन्दु D हो, तो सिद्ध कीजिए AB > AD
Answer: हमें एक त्रिभुज ABC दिया गया है, जिसमें \( AB > AC \) है, और भुजा BC पर कोई बिंदु D स्थित है। हमें यह सिद्ध करना है कि \( AB > AD \)।
त्रिभुज ABC में, हमें दिया गया है कि \( AB > AC \)।
एक त्रिभुज में, बड़ी भुजा के सम्मुख कोण बड़ा होता है।
इसलिए, AB के सम्मुख कोण \( \angle ACB \) (या \( \angle C \)) है, और AC के सम्मुख कोण \( \angle ABC \) (या \( \angle B \)) है।
तो, \( \angle C > \angle B \) ......(i)
अब, त्रिभुज ABD पर विचार करें। \( \angle ADB \) त्रिभुज ABD का बहिष्कोण है।
बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार, \( \angle ADB = \angle DAC + \angle C \)।
इसका मतलब है कि \( \angle ADB > \angle C \)।
समीकरण (i) से, हम जानते हैं कि \( \angle C > \angle B \)।
तो, \( \angle ADB > \angle C > \angle B \)।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि \( \angle ADB > \angle B \)।
अब त्रिभुज ABD में, हम \( \angle ADB \) और \( \angle B \) की तुलना करते हैं।
\( \angle ADB \) के सामने की भुजा AB है, और \( \angle B \) के सामने की भुजा AD है।
चूंकि \( \angle ADB > \angle B \), त्रिभुज में बड़े कोण के सामने वाली भुजा बड़ी होती है, इसलिए \( AB > AD \)।
यह सिद्ध करता है कि एक भुजा से लंबी भुजा हमेशा दूसरे शीर्ष से उस भुजा पर बने किसी भी रेखाखंड से लंबी होती है।
In simple words: अगर एक त्रिभुज की एक भुजा दूसरी भुजा से बड़ी है, और आप बड़ी भुजा वाले कोने से सामने वाली रेखा पर कहीं एक बिंदु लेते हैं, तो उस कोने से उस बिंदु तक की सीधी रेखा हमेशा छोटी होगी।

🎯 Exam Tip: यह प्रमाण कोण-भुजा संबंधों (angle-side relationships) का एक सीधा अनुप्रयोग है, जहाँ बड़े कोण के विपरीत वाली भुजा हमेशा लंबी होती है। बहिष्कोण प्रमेय का सही उपयोग भी महत्वपूर्ण है।

Question 37. चित्र में त्रिभुज में कोई अन्त: बिन्दु O हो तो सिद्ध कीजिए कि (BC + AB + AC) < 2(OA + OB + OC) हैं
Answer: हमें एक त्रिभुज ABC दिया गया है, जिसके अंदर एक बिंदु O है। हमें यह सिद्ध करना है कि त्रिभुज की परिधि (सभी भुजाओं का योग) बिंदु O से शीर्षों तक की दूरियों के दोगुने से कम है, यानी \( (BC + AB + AC) < 2(OA + OB + OC) \)।
हम त्रिभुज असमानता प्रमेय का उपयोग करेंगे, जिसमें कहा गया है कि किसी भी त्रिभुज में, किन्हीं दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होता है।
त्रिभुज OAB में:
\( OA + OB > AB \) ......(i)
त्रिभुज OBC में:
\( OB + OC > BC \) ......(ii)
त्रिभुज OCA में:
\( OC + OA > AC \) ......(iii)
अब, समीकरण (i), (ii) और (iii) को आपस में जोड़ते हैं:
\( (OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OA) > AB + BC + AC \)
सभी पदों को व्यवस्थित करने पर:
\( 2OA + 2OB + 2OC > AB + BC + AC \)
\( 2(OA + OB + OC) > AB + BC + AC \)
इसे दूसरे तरीके से लिखने पर, हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज का परिमाप, त्रिभुज के अंदर किसी भी बिंदु से शीर्षों तक की दूरियों के योग के दोगुने से कम होता है:
\( AB + BC + AC < 2(OA + OB + OC) \)
यह दर्शाता है कि त्रिभुज के अंदर से गुजरने वाला रास्ता हमेशा त्रिभुज की बाहरी सीमा से छोटा होता है।
In simple words: एक त्रिभुज के अंदर एक बिंदु है। अगर हम त्रिभुज की तीनों भुजाओं को जोड़ें, तो उनका जोड़ हमेशा उस बिंदु से त्रिभुज के तीनों कोनों तक की दूरी के दोगुने से कम होगा।

🎯 Exam Tip: यह प्रमाण त्रिभुज असमानता प्रमेय का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है जो त्रिभुजों की आंतरिक और बाहरी दूरियों के बीच संबंध को दर्शाता है।

Question 38. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के तीनों शीर्ष लम्बों का योग त्रिभुज के परिमाप से कम होता है।
Answer: हमें एक त्रिभुज ABC दिया गया है। हम A, B और C शीर्षों से क्रमशः भुजाओं BC, AC और AB पर शीर्ष लम्ब (ऊंचाई) AD, BE और CF खींचते हैं। हमें यह सिद्ध करना है कि तीनों शीर्ष लम्बों का योग त्रिभुज के परिमाप से कम होता है, यानी \( AD + BE + CF < AB + BC + CA \)।
हम जानते हैं कि एक बिंदु से एक रेखाखंड तक खींचे गए सभी रेखाखंडों में, लम्ब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।
1. त्रिभुज ABD पर विचार करें, जहाँ AD, BC पर लम्ब है।
इस त्रिभुज में, AD, AB से छोटा होगा (क्योंकि AB एक कर्ण है यदि B पर कोण न्यून है, या कोई भी दूसरी भुजा)।
तो, \( AD < AB \) ......(i)
इसी प्रकार, त्रिभुज ADC में, \( AD < AC \) ......(ii)
2. त्रिभुज BCE पर विचार करें, जहाँ BE, AC पर लम्ब है।
तो, \( BE < BC \) ......(iii)
इसी प्रकार, त्रिभुज ABE में, \( BE < AB \) ......(iv)
3. त्रिभुज ACF पर विचार करें, जहाँ CF, AB पर लम्ब है।
तो, \( CF < AC \) ......(v)
इसी प्रकार, त्रिभुज BCF में, \( CF < BC \) ......(vi)
अब, हम समीकरण (i), (iii), और (v) को जोड़ते हैं (प्रत्येक शीर्ष लम्ब के लिए एक संबंध):
\( AD + BE + CF < AB + BC + AC \)
यह सिद्ध करता है कि एक त्रिभुज के तीनों शीर्ष लम्बों का योग हमेशा उसके परिमाप से कम होता है। यह दर्शाता है कि ऊंचाई हमेशा तिरछी भुजाओं से छोटी होती है।
In simple words: एक त्रिभुज में, अगर आप तीनों ऊंचाइयों को नापते हैं और उन्हें जोड़ते हैं, तो उनका जोड़ हमेशा त्रिभुज की तीनों भुजाओं के जोड़ से कम होगा। ऊंचाई हमेशा सबसे छोटा रास्ता होती है।

🎯 Exam Tip: यह प्रमाण "एक बिंदु से एक रेखा तक सबसे छोटी दूरी लम्ब होती है" के सिद्धांत पर आधारित है। इसे स्पष्ट रूप से समझना और उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

Question 40. AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों B और C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ∠ABC के
Answer: हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC दिया गया है, जिसमें \( AB = AC \) है। कोण B और कोण C के समद्विभाजक OB और OC, बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमें कुछ गुणधर्म सिद्ध करने हैं। (जैसा कि प्रश्न में अधूरा है, हम आमतौर पर सिद्ध करते हैं कि OB = OC और/या AO, ∠A को समद्विभाजित करता है। दिए गए हल के अनुसार, हम कोणों के संबंध को स्पष्ट करेंगे।)
चूंकि \( AB = AC \) है, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए \( \angle ABC = \angle ACB \)।
अब, OB, \( \angle ABC \) का समद्विभाजक है, और OC, \( \angle ACB \) का समद्विभाजक है।
तो, \( \angle OBC = \frac {1}{2} \angle ABC \) और \( \angle OCB = \frac {1}{2} \angle ACB \)।
चूंकि \( \angle ABC = \angle ACB \), तो \( \frac {1}{2} \angle ABC = \frac {1}{2} \angle ACB \)।
इसलिए, \( \angle OBC = \angle OCB \)।
त्रिभुज OBC में, यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं।
तो, \( OB = OC \)।
यह एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष है कि समद्विबाहु त्रिभुज के समान आधार कोणों के समद्विभाजक लंबाई में बराबर होते हैं और वे एक बिंदु पर मिलते हैं।
त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
त्रिभुज OBC में, \( \angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ \)।
\( \angle BOC + \frac {1}{2} \angle B + \frac {1}{2} \angle C = 180^\circ \)।
चूंकि \( \angle B = \angle C \), तो \( \angle BOC + \angle B = 180^\circ \)।
हमें \( \angle BOC \) का मान मिलता है।
In simple words: एक ऐसे त्रिभुज में जिसकी दो भुजाएं बराबर होती हैं, उन भुजाओं के सामने के कोणों को आधा करने वाली रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। ये आधी करने वाली रेखाएं भी बराबर लंबाई की होती हैं।

🎯 Exam Tip: समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों और भुजाओं के बीच के संबंध को याद रखें। कोण समद्विभाजक से संबंधित गुणधर्मों का उपयोग अक्सर किया जाता है, जैसे कि समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

Question 41. चित्र में, AD कोण BAC का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि AB > BD है।
Answer: हमें एक त्रिभुज ABC दिया गया है, जहाँ AD कोण BAC को समद्विभाजित करता है, जिसका अर्थ है कि D, BC पर एक बिंदु है और \( \angle BAD = \angle CAD \) है। हमें यह सिद्ध करना है कि \( AB > BD \)।
त्रिभुज ADC में, \( \angle ADB \) एक बहिष्कोण है।
बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार, \( \angle ADB = \angle DAC + \angle C \)।
इसका मतलब है कि \( \angle ADB > \angle DAC \)।
चूंकि AD, \( \angle A \) का समद्विभाजक है, तो \( \angle DAC = \angle BAD \)।
इसलिए, \( \angle ADB > \angle BAD \)।
अब, त्रिभुज ABD में, हम \( \angle ADB \) और \( \angle BAD \) की तुलना करते हैं।
हमने दिखाया कि \( \angle ADB > \angle BAD \)।
एक त्रिभुज में, बड़े कोण के सामने वाली भुजा बड़ी होती है।
\( \angle ADB \) के सामने की भुजा AB है, और \( \angle BAD \) के सामने की भुजा BD है।
चूंकि \( \angle ADB > \angle BAD \), इसलिए \( AB > BD \)।
यह दर्शाता है कि एक कोण समद्विभाजक, जिस भुजा पर गिरता है, उस भुजा के एक हिस्से से हमेशा उस कोण के शीर्ष पर बनी भुजा से छोटा होता है।
In simple words: एक त्रिभुज में, अगर आप एक कोण को आधा करने वाली रेखा खींचते हैं, तो वह रेखा जिस भुजा पर मिलती है, उस भुजा का एक टुकड़ा हमेशा उस कोण को बनाने वाली भुजा से छोटा होगा।

🎯 Exam Tip: यह प्रमाण बहिष्कोण प्रमेय और कोण-भुजा संबंधों का उपयोग करके किया जाता है। हमेशा याद रखें कि बड़े कोण के सामने बड़ी भुजा होती है।