Step-by-Step Textbook Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 05 समतल ज्यामिती परिचय एवं रेखाएँ व कोण
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Question 1. (2x + 4) एवं (x - 1) अंश माप के कोण रैखिक कोण युग्म हैं, इन्हें ज्ञात कीजिए।
Answer:जब दो कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तो उनका योग \( 180^\circ \) होता है। इसलिए:
\( (2x + 4) + (x - 1) = 180^\circ \) (क्योंकि वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं)
\( \implies 2x + 4 + x - 1 = 180^\circ \)
\( \implies 3x + 3 = 180^\circ \)
\( \implies 3(x + 1) = 180^\circ \)
\( \implies x + 1 = \frac{180^\circ}{3} \)
\( \implies x + 1 = 60^\circ \)
\( \implies x = 60^\circ - 1 \)
\( \implies x = 59^\circ \)
तो, पहला कोण \( = (2x + 4)^\circ = (2 \times 59 + 4)^\circ = (118 + 4)^\circ = 122^\circ \)
और दूसरा कोण \( = (x - 1)^\circ = (59 - 1)^\circ = 58^\circ \).
रैखिक कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।
In simple words: जब दो कोण मिलकर एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो उनका जोड़ 180 डिग्री होता है। यहाँ हमने दिए गए कोणों को हल करके x का मान 59 डिग्री निकाला। इससे पहला कोण 122 डिग्री और दूसरा कोण 58 डिग्री आया।
🎯 Exam Tip: रैखिक युग्म के कोणों का योग हमेशा \( 180^\circ \) होता है, इस गुण का प्रयोग करके समीकरण को सही से हल करें और x का मान ज्ञात करने के बाद, प्रत्येक कोण का मान अवश्य निकालें।
Question 2. दिए गए चित्र से
(i) \( \angle BOD \) का माप बताइए।
(ii) \( \angle AOD \) का माप बताइए।
(iii) शीर्षाभिमुख कोण युग्म कौन-कौन से हैं?
(iv) \( \angle AOC \) के आसन्न सम्पूरक कोण कौन-कौन से हैं? बताइए।Answer:
(i) \( \angle AOC \) और \( \angle BOD \) शीर्षाभिमुख कोण हैं। शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं।
इसलिए, \( \angle BOD = \angle AOC = 52^\circ \).
(ii) \( \angle AOC \) और \( \angle AOD \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं, जिसका योग \( 180^\circ \) होता है।
\( \angle AOC + \angle AOD = 180^\circ \)
\( 52^\circ + \angle AOD = 180^\circ \)
\( \implies \angle AOD = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ \).
(iii) शीर्षाभिमुख कोण युग्म वे कोण होते हैं जो एक दूसरे के विपरीत होते हैं और बराबर होते हैं:
(a) \( \angle AOC \) और \( \angle BOD \)
(b) \( \angle AOD \) और \( \angle BOC \)
(iv) आसन्न सम्पूरक कोण वे कोण होते हैं जो एक दूसरे के बगल में होते हैं और जिनका योग \( 180^\circ \) होता है। \( \angle AOC \) के आसन्न सम्पूरक कोण वे हैं जो इसके साथ एक सीधी रेखा बनाते हैं।
\( \angle AOC \) के आसन्न सम्पूरक कोण \( \angle AOD \) तथा \( \angle BOC \) हैं।
शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं, जबकि आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री हो सकता है।
In simple words: दो सीधी रेखाओं के कटने पर जो कोण एक-दूसरे के सामने होते हैं, वे बराबर होते हैं (शीर्षाभिमुख कोण)। जो कोण एक ही रेखा पर अगल-बगल होते हैं, उनका जोड़ 180 डिग्री होता है (रैखिक युग्म)। इन गुणों का उपयोग करके, हमने अन्य कोणों का माप निकाला।
🎯 Exam Tip: शीर्षाभिमुख कोणों के बराबर होने और रैखिक युग्म के कोणों का योग \( 180^\circ \) होने के गुणों को याद रखें, यह ऐसे प्रश्नों को हल करने में मदद करता है। चित्र को ध्यान से देखकर कोणों की पहचान करें।
Question 3. दिये गये चित्र में, यदि \( \angle PQR = \angle PRQ \) है तो। सिद्ध कीजिए कि \( \angle PQS = \angle PRT \)Answer:
हमें दिया गया है कि S, Q, R, T एक सीधी रेखा पर हैं, जिसका अर्थ है कि SQRT एक सीधी रेखा है।
किरण QP, रेखा SR पर स्थित है।
तो, \( \angle PQS + \angle PQR = 180^\circ \) (क्योंकि ये रैखिक युग्म कोण हैं) ... (i)
ठीक इसी तरह, किरण RP, रेखा QT पर स्थित है।
तो, \( \angle PRQ + \angle PRT = 180^\circ \) (क्योंकि ये रैखिक युग्म कोण हैं) ... (ii)
समीकरण (i) और (ii) को बराबर रखने पर (चूंकि दोनों का योग \( 180^\circ \) है):
\( \angle PQS + \angle PQR = \angle PRQ + \angle PRT \) ... (iii)
हमें प्रश्न में दिया गया है कि \( \angle PQR = \angle PRQ \) ... (iv)
समीकरण (iii) में समीकरण (iv) का मान रखने पर, हम \( \angle PQR \) और \( \angle PRQ \) को एक दूसरे से हटा सकते हैं:
\( \angle PQS = \angle PRT \)
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है।
यह प्रमेय दिखाता है कि यदि किसी त्रिभुज के अंदर दो कोण बराबर हों, तो उनके बाहरी रैखिक युग्म कोण भी बराबर होंगे।
In simple words: हमने देखा कि रेखा SQRT सीधी है। इसका मतलब है कि \( \angle PQS \) और \( \angle PQR \) मिलकर 180 डिग्री बनाते हैं। ठीक वैसे ही, \( \angle PRQ \) और \( \angle PRT \) मिलकर भी 180 डिग्री बनाते हैं। क्योंकि सवाल में \( \angle PQR \) और \( \angle PRQ \) को बराबर बताया गया है, इसलिए \( \angle PQS \) और \( \angle PRT \) भी बराबर होंगे।
🎯 Exam Tip: जब भी रैखिक युग्म का उपयोग करें, सुनिश्चित करें कि किरणें एक सीधी रेखा बनाती हों और समीकरण को ध्यान से हल करें। सिद्ध करते समय प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 4. चित्र में, OP, OQ, OR और OS चार किरणें हैं। सिद्ध कीजिए कि \( \angle POQ + \angle QOR + \angle SOR + \angle POS = 360^\circ \)Answer:
हमें यह सिद्ध करना है कि एक बिंदु के चारों ओर के सभी कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है।
इसके लिए, हम किरण OQ को पीछे की ओर T तक बढ़ाते हैं, जिससे TOQ एक सीधी रेखा बन जाती है।
अब, किरण OP रेखा TOQ पर स्थित है।
इसलिए, \( \angle TOP + \angle POQ = 180^\circ \) (क्योंकि ये रैखिक युग्म कोण हैं) ... (i)
ठीक इसी तरह, किरण OS रेखा TOQ पर स्थित है।
इसलिए, \( \angle TOS + \angle SOQ = 180^\circ \)
हम जानते हैं कि \( \angle SOQ \) को \( \angle SOR + \angle QOR \) के रूप में लिखा जा सकता है।
तो, \( \angle TOS + (\angle SOR + \angle QOR) = 180^\circ \) ... (ii)
अब समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर हमें मिलता है:
\( (\angle TOP + \angle POQ) + (\angle TOS + \angle SOR + \angle QOR) = 180^\circ + 180^\circ \)
\( \angle POQ + \angle QOR + \angle SOR + (\angle TOP + \angle TOS) = 360^\circ \)
हम जानते हैं कि \( \angle TOP + \angle TOS = \angle POS \) है (चित्र में देखकर)।
\( \implies \angle POQ + \angle QOR + \angle SOR + \angle POS = 360^\circ \)
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है।
यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है कि एक बिंदु के चारों ओर सभी कोणों का योग हमेशा 360 डिग्री होता है, चाहे किरणें कितनी भी क्यों न हों।
In simple words: एक बिंदु के चारों ओर के सभी कोणों को जोड़ें तो उनका योग हमेशा 360 डिग्री होता है। यहाँ हमने एक किरण OQ को पीछे की ओर बढ़ाकर एक सीधी रेखा TOQ बनाई। फिर, हमने रैखिक युग्मों के नियम का उपयोग किया, जिसके अनुसार सीधी रेखा पर बने कोणों का योग 180 डिग्री होता है। सभी कोणों को जोड़ने पर हमें कुल योग 360 डिग्री मिला।
🎯 Exam Tip: एक बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है। इसे सिद्ध करने के लिए एक किरण को सीधी रेखा तक बढ़ाना एक सामान्य और प्रभावी तरीका है। इस विधि का अभ्यास करें।
Question 5. चित्र में, यदि \( \angle x + \angle y = \angle p + \angle q \) है तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक सरल रेखा है।Answer:
हम जानते हैं कि एक बिंदु के चारों ओर बनने वाले सभी कोणों का कुल योग \( 360^\circ \) होता है।
इसलिए, \( \angle AOC + \angle BOC + \angle BOD + \angle AOD = 360^\circ \)
\( x + y + p + q = 360^\circ \)
हमें दिया गया है कि \( x + y = p + q \).
इस मान को समीकरण में रखने पर:
\( (x + y) + (x + y) = 360^\circ \)
\( \implies 2(x + y) = 360^\circ \)
\( \implies x + y = \frac{360^\circ}{2} \)
\( \implies x + y = 180^\circ \)
चूंकि \( x + y = 180^\circ \) और \( x + y = p + q \) है, तो \( p + q \) भी \( 180^\circ \) होगा।
इसका मतलब है कि \( \angle AOC \) और \( \angle BOC \) मिलकर \( 180^\circ \) बनाते हैं, तथा \( \angle BOD \) और \( \angle AOD \) मिलकर भी \( 180^\circ \) बनाते हैं।
चूंकि \( \angle AOC \) और \( \angle BOC \) आसन्न कोण हैं और उनका योग \( 180^\circ \) है, तो वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं। इसी तरह, \( \angle AOD \) और \( \angle BOD \) भी रैखिक युग्म बनाते हैं।
इससे पता चलता है कि OA और OB एक दूसरे के विपरीत दिशा में हैं।
अतः, AOB एक सीधी रेखा है।
एक सीधी रेखा पर बने आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री होता है, और यही रैखिक युग्म की पहचान है।
In simple words: हम जानते हैं कि एक बिंदु के चारों ओर सभी कोणों का जोड़ 360 डिग्री होता है। सवाल में हमें बताया गया है कि कोण \( x \) और \( y \) का जोड़, कोण \( p \) और \( q \) के जोड़ के बराबर है। जब हमने इसे समीकरण में रखकर हल किया, तो पाया कि \( x + y \) का कुल जोड़ 180 डिग्री है। इसका मतलब है कि रेखा AOB एक सीधी रेखा है।
🎯 Exam Tip: यदि आप सिद्ध कर सकते हैं कि एक रेखा पर बने दो आसन्न कोणों का योग \( 180^\circ \) है, तो वह रेखा हमेशा एक सीधी रेखा होगी। यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।
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