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Detailed Chapter 13 कोण एवं उनके माप RBSE Solutions for Class 9 Mathematics
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Class 9 Mathematics Chapter 13 कोण एवं उनके माप RBSE Solutions PDF
Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 13 कोण एवं उनके माप Additional Questions
बहुविकल्पीय प्रश्न
Question 1. यदि किसी वृत्त में चाप x तथा त्रिज्या r द्वारा अन्तरित कोण \( \theta^c \) है तो निम्नलिखित में कौन सा कथन सत्य है:
(A) \( \theta^c = \frac{x}{r} \)
(B) \( \theta^c = \frac{r}{x} \)
(C) \( r = \frac{\theta^c}{x} \)
(D) \( r = \frac{x}{\theta^c} \)
Answer: (A) \( \theta^c = \frac{x}{r} \)
In simple words: रेडियन में कोण को चाप की लंबाई को त्रिज्या से भाग करके निकाला जाता है। यह कोण मापने का एक तरीका है।
🎯 Exam Tip: रेडियन माप की परिभाषा को हमेशा याद रखें: चाप की लम्बाई = त्रिज्या \( \times \) कोण (रेडियन में).
Question 2. त्रिकोणमिति का तात्पर्य है:
(A) तीन कोणों वाली आकृति
(B) तीन भुजाओं वाली आकृति
(C) त्रिभुज की माप
(D) त्रिभुज के कोणों की माप
Answer: (C) त्रिभुज की माप
In simple words: त्रिकोणमिति का मतलब है त्रिभुज के कोणों और भुजाओं को मापना। यह गणित की एक शाखा है।
🎯 Exam Tip: त्रिकोणमिति का मुख्य अर्थ त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करना है.
Question 3. त्रिकोणमिति का ज्ञान निम्नलिखित में से किसके लिए उपयोगी है:
(A) भौतिकी
(B) नौसेना
(C) इन्जिनियरिंग
(D) A, B, C तीनों में
Answer: (D) A, B, C तीनों में
In simple words: त्रिकोणमिति का इस्तेमाल भौतिक विज्ञान, नौसेना और इंजीनियरिंग जैसे कई क्षेत्रों में होता है। यह दूरियों और कोणों की गणना में मदद करता है।
🎯 Exam Tip: त्रिकोणमिति का उपयोग सर्वेक्षण, खगोल विज्ञान और नेविगेशन जैसे विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से किया जाता है.
Question 4. चित्र में किरण OA, अपनी प्रारम्भिक स्थिति OX से प्रारम्भ कर घड़ी की सुइयों के विपरीत दिशा में। (वामावर्त) घूमती है तो इस प्रकार निर्मित कोण है:
(A) धनात्मक
(B) ऋणात्मक
(C) न धनात्मक और न ऋणात्मक
(D) कोई नहीं
Answer: (A) धनात्मक
In simple words: जब कोई किरण घड़ी की सुइयों के उल्टी दिशा में घूमती है, तो बनने वाला कोण हमेशा धनात्मक होता है। यह गणित में एक नियम है।
🎯 Exam Tip: कोणों की दिशा महत्वपूर्ण है: वामावर्त (एंटी-क्लॉकवाइज) घुमाव धनात्मक कोण बनाता है, जबकि दक्षिणावर्त (क्लॉकवाइज) घुमाव ऋणात्मक कोण बनाता है.
Question 5. कोई परिक्रमाणी किरण OA, अपनी प्रारम्भिक स्थिति OX से प्रारम्भ कर वामावर्त घूमकर द्वितीय चतुर्थांश में जो कोण बनाती है, वह
(A) 0° से 90° के मध्य होगा।
(B) 90° से 180° के मध्य होगा।
(C) 180° से 270° के मध्य होगा
(D) 270° से 360° के मध्य होगा
Answer: (B) 90° से 180° के मध्य होगा।
In simple words: दूसरा चतुर्थांश 90° से 180° के बीच होता है। इसलिए, यदि कोई किरण वामावर्त घूमकर इस चतुर्थांश में रुकती है, तो कोण 90° और 180° के बीच ही होगा।
🎯 Exam Tip: चतुर्थांशों के कोण मानों को याद रखें: पहला (0°-90°), दूसरा (90°-180°), तीसरा (180°-270°), चौथा (270°-360°).
Question 6. हम कोणों की माप अंश, मिनट तथा सेकण्ड में मापते हैं:
(A) षष्टिक पद्धति में
(B) शतिक पद्धति में
(C) वृत्तीय पद्धति में
(D) A, B, C तीनों में
Answer: (A) षष्टिक पद्धति में
In simple words: कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड में षष्टिक पद्धति में मापा जाता है। इस पद्धति में 60 का आधार उपयोग किया जाता है।
🎯 Exam Tip: षष्टिक पद्धति में, 1 डिग्री में 60 मिनट होते हैं और 1 मिनट में 60 सेकंड होते हैं.
अतिलघुउत्तरीय/लघुउत्तरीय प्रश्न
Question 3. (iii) किसी वृत्त के केन्द्र पर उसकी त्रिज्या के बराबर लम्बाई के चाप द्वारा अन्तरित कोण......... रेडियन होता है।
Answer: किसी वृत्त के केन्द्र पर उसकी त्रिज्या के बराबर लम्बाई के चाप द्वारा अन्तरित कोण 1 रेडियन होता है। यह रेडियन की परिभाषा है.
In simple words: जब वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबा चाप केंद्र पर कोण बनाता है, तो वह कोण 1 रेडियन कहलाता है।
🎯 Exam Tip: 1 रेडियन को कोण की इकाई के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है.
Question 4. (iv) ......... पद्धति प्रचलन में नहीं है।
Answer: शतिक पद्धति प्रचलन में नहीं है। यह कोण मापने की एक प्रणाली है जहाँ समकोण को 100 ग्रेड में बांटा जाता है.
In simple words: शतिक पद्धति का उपयोग अब ज्यादा नहीं किया जाता है। इसमें कोणों को ग्रेड में मापा जाता था।
🎯 Exam Tip: कोणों को मापने की मुख्य पद्धतियां षष्टिक (डिग्री) और वृत्तीय (रेडियन) पद्धतियां हैं.
Question 5. (v) किसी वृत्त की परिधि और उसके ........ का अनुपात सदैव अचर होता है।
Answer: किसी वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात सदैव अचर होता है। यह अनुपात \( \pi \) (पाई) के बराबर होता है, जिसका मान लगभग 3.14159 होता है.
In simple words: किसी भी वृत्त में, उसकी बाहरी घेरा (परिधि) और उसके बीच से गुजरने वाली सीधी रेखा (व्यास) का अनुपात हमेशा एक ही होता है, जिसे पाई (\( \pi \)) कहते हैं।
🎯 Exam Tip: पाई (\( \pi \)) एक अपरिमेय स्थिरांक है जो वृत्त ज्यामिति में महत्वपूर्ण है.
Question 6. (vi) n एक ......... संख्या है।
Answer: n एक अपरिमेय संख्या है। अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें साधारण भिन्न (a/b) के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जहाँ a और b पूर्णांक हों.
In simple words: 'n' एक ऐसी संख्या है जिसे साधारण भिन्न के रूप में नहीं लिख सकते। यह ऐसी संख्याएं होती हैं जिनका दशमलव प्रसार कभी खत्म नहीं होता और न ही दोहराता है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि \( \pi \) (पाई) और \( \sqrt{2} \) जैसी संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ होती हैं क्योंकि उनका दशमलव विस्तार कभी समाप्त या दोहराता नहीं है.
Question 7. (vii) 1° = ........ 17'45" (लगभग)
Answer: 1° = 57° 17'45" (लगभग)। यह एक रूपांतरण मान को दर्शाता है, जहाँ एक रेडियन को डिग्री, मिनट और सेकंड में व्यक्त किया जाता है.
In simple words: यह मान दिखाता है कि एक रेडियन लगभग 57 डिग्री, 17 मिनट और 45 सेकंड के बराबर होता है।
🎯 Exam Tip: 1 रेडियन \( \approx \) 57° 17'45" को याद रखना रेडियन से डिग्री में अनुमानित रूपांतरण के लिए उपयोगी होता है.
Question 1. चित्र की सहायता से 390° का कोण निरूपित कीजिए।
Answer: कोण 390° को प्रारंभिक स्थिति OX से वामावर्त दिशा में एक किरण OA को घुमाकर दर्शाया जा सकता है। यह एक पूरा चक्कर (360°) पूरा करती है और फिर अतिरिक्त 30° घूमती है। इस प्रकार किरण OA प्रथम चतुर्थांश में 30° का कोण बनाती है।
390° = 1 \( \times \) 360° + 30°
In simple words: 390° का कोण बनाने के लिए, एक किरण को \( 360^\circ \) घुमाकर फिर \( 30^\circ \) और आगे घुमाते हैं। यह किरण पहले चतुर्थांश में \( 30^\circ \) पर रुकेगी।
🎯 Exam Tip: \( 360^\circ \) से बड़े कोणों को निरूपित करते समय, अतिरिक्त रोटेशन को दर्शाना महत्वपूर्ण है.
Question 3. 100° को रेडियन में परिवर्तित कीजिए।
Answer: डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए, डिग्री के मान को \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा किया जाता है।
हमें पता है कि \( 180^\circ = \pi \) रेडियन
\( \implies \) \( 1^\circ = \frac{\pi}{180} \) रेडियन
\( \implies \) \( 100^\circ = \frac{\pi}{180} \times 100 \) रेडियन
\( \implies \) \( 100^\circ = \frac{5\pi}{9} \) रेडियन
इस प्रकार, 100 डिग्री का मान \( \frac{5\pi}{9} \) रेडियन होता है। यहाँ \( \pi \) एक गणितीय स्थिरांक है.
In simple words: 100 डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए, इसे \( \pi/180 \) से गुणा करते हैं। ऐसा करने पर उत्तर \( 5\pi/9 \) रेडियन आता है।
🎯 Exam Tip: डिग्री को रेडियन में बदलते समय हमेशा \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करें, और रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \( \frac{180}{\pi} \) से गुणा करें.
Question 4. \( \frac {2\pi }{3} \) रेडियन को अंशों में परिवर्तित कीजिए।
Answer: रेडियन को अंशों (डिग्री) में बदलने के लिए, रेडियन के मान को \( \frac{180}{\pi} \) से गुणा किया जाता है।
हमें पता है कि \( 1 \) रेडियन \( = \frac{180}{\pi} \) डिग्री
\( \implies \) \( \frac{2\pi}{3} \) रेडियन \( = \frac{180}{\pi} \times \frac{2\pi}{3} \)
\( \implies \) \( \frac{2\pi}{3} \) रेडियन \( = 120^\circ \)
इस प्रकार, \( \frac{2\pi}{3} \) रेडियन का मान 120 डिग्री होता है। डिग्री कोण मापने की एक सामान्य इकाई है.
In simple words: \( 2\pi/3 \) रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, इसे \( 180/\pi \) से गुणा करते हैं। ऐसा करने पर उत्तर 120 डिग्री आता है।
🎯 Exam Tip: रेडियन से डिग्री में रूपांतरण के लिए, हमेशा \( \frac{180}{\pi} \) के गुणांक का उपयोग करें, क्योंकि \( \pi \) रेडियन 180 डिग्री के बराबर होता है.
Question 5. \( \frac { \pi }{4} \) रेडियन का कोण अन्तरित करने वाले चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: किसी वृत्त में, चाप की लम्बाई (x) उसकी त्रिज्या (r) और रेडियन में अंतरित कोण (\( \theta \)) के गुणनफल के बराबर होती है।
सूत्र: चाप की लम्बाई \( x = r\theta \)
यहाँ, कोण \( \theta = \frac{\pi}{4} \) रेडियन
\( \implies \) चाप की लम्बाई \( = r \times \frac{\pi}{4} \)
\( \implies \) वृत्त पर चाप की लम्बाई \( = \frac{\pi r}{4} \)
इस प्रकार, \( \frac{\pi}{4} \) रेडियन का कोण अन्तरित करने वाले चाप की लम्बाई \( \frac{\pi r}{4} \) है, जहाँ 'r' वृत्त की त्रिज्या है। यह सूत्र वृत्त के भागों की गणना में उपयोगी है.
In simple words: चाप की लम्बाई निकालने के लिए, त्रिज्या को रेडियन में दिए गए कोण से गुणा करते हैं। इस सवाल में, चाप की लम्बाई \( \pi r / 4 \) होगी।
🎯 Exam Tip: यह सूत्र \( x = r\theta \) तभी लागू होता है जब कोण \( \theta \) रेडियन में हो; डिग्री में होने पर पहले उसे रेडियन में बदलें.
Question 6. किसी घड़ी के मिनट की सुई को 150° के कोण की रचना करने में कितना समय लगेगा?
Answer: हम जानते हैं कि घड़ी की मिनट की सुई 1 पूरा चक्कर (360°) 60 मिनट में पूरा करती है। इससे हमें पता चलता है कि मिनट की सुई 1 डिग्री का कोण बनाने में कितना समय लेती है।
घड़ी की मिनट की सुई 360° का कोण बनाने में लगा समय = 60 मिनट
\( \implies \) 1° का कोण बनाने में लगा समय \( = \frac{60}{360} \) मिनट \( = \frac{1}{6} \) मिनट
\( \implies \) 150° का कोण बनाने में लगा समय \( = \frac{1}{6} \times 150 \) मिनट \( = 25 \) मिनट
अतः, मिनट की सुई को 150° का कोण बनाने में 25 मिनट का समय लगेगा। यह समय की गणना गति के सिद्धांत पर आधारित है.
In simple words: घड़ी की मिनट वाली सुई \( 360^\circ \) घूमने में 60 मिनट लेती है। इसलिए, \( 150^\circ \) का कोण बनाने में इसे 25 मिनट लगेंगे।
🎯 Exam Tip: घड़ी की मिनट की सुई 1 मिनट में 6° घूमती है, जबकि घंटे की सुई 1 मिनट में 0.5° घूमती है.
Question 7. किसी वृत्त की सम्पूर्ण परिधि द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि एक 'r' त्रिज्या वाले वृत्त की सम्पूर्ण परिधि \( 2\pi r \) होती है। रेडियन की परिभाषा के अनुसार, 'r' लम्बाई का चाप वृत्त के केन्द्र पर 1 रेडियन का कोण बनाता है।
'r' लम्बाई के चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण = 1 रेडियन
\( \implies \) 1 लम्बाई के चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण \( = \frac{1}{r} \) रेडियन
\( \implies \) \( 2\pi r \) लम्बाई के चाप (परिधि) द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण \( = \frac{1}{r} \times 2\pi r \)
\( \implies \) \( 2\pi r \) लम्बाई के चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण \( = 2\pi \) रेडियन
अतः, वृत्त की सम्पूर्ण परिधि द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण का मापांक \( 2\pi \) रेडियन या 360° होता है। यह एक पूर्ण चक्कर का प्रतिनिधित्व करता है.
In simple words: एक वृत्त की पूरी परिधि उसके केंद्र पर \( 2\pi \) रेडियन का कोण बनाती है। यह \( 360^\circ \) के बराबर होता है, जो एक पूरा चक्कर है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक पूर्ण वृत्त का कोण \( 2\pi \) रेडियन और \( 360^\circ \) दोनों होता है; यह डिग्री और रेडियन के बीच मौलिक संबंध है.
Question 8. त्रिभुज के कोण 3 : 4 : 5 के अनुपात में हैं। तीनों कोणों को रेडियन में ज्ञात कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। यदि कोण 3 : 4 : 5 के अनुपात में हैं, तो हम उन्हें 3x, 4x और 5x मान सकते हैं।
माना त्रिभुज के कोण \( 3x, 4x, \) और \( 5x \) हैं।
कोणों का योग \( = 3x + 4x + 5x = 180^\circ \)
\( \implies \) \( 12x = 180^\circ \)
\( \implies \) \( x = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ \)
तो, कोण हैं:
पहला कोण \( = 3 \times 15^\circ = 45^\circ \)
दूसरा कोण \( = 4 \times 15^\circ = 60^\circ \)
तीसरा कोण \( = 5 \times 15^\circ = 75^\circ \)
अब, इन कोणों को रेडियन में परिवर्तित करेंगे:
पहला कोण \( = 45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180} \) रेडियन \( = \frac{\pi}{4} \) रेडियन
दूसरा कोण \( = 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} \) रेडियन \( = \frac{\pi}{3} \) रेडियन
तीसरा कोण \( = 75^\circ = 75 \times \frac{\pi}{180} \) रेडियन \( = \frac{5\pi}{12} \) रेडियन
इस प्रकार, त्रिभुज के तीनों कोण रेडियन में \( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \) और \( \frac{5\pi}{12} \) हैं। यह दर्शाता है कि कोणों को विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जा सकता है.
In simple words: त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। अनुपात से कोण \( 45^\circ, 60^\circ, 75^\circ \) मिलते हैं। इन्हें रेडियन में बदलने पर \( \pi/4, \pi/3, 5\pi/12 \) प्राप्त होते हैं।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) या \( \pi \) रेडियन होता है, इस तथ्य का उपयोग करके कोणों को आसानी से ज्ञात किया जा सकता है.
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