NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 13 कोण एवं उनके माप
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Practice Class 9 Mathematics Solutions: Chapter 13 कोण एवं उनके माप
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Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 13 कोण एवं उनके माप Miscellaneous Exercise
वस्तुनिष्ठ प्रश्न (1-5)
Question 1. 750° का कोण अनुरेखित करने वाली परिक्रामी रेखा स्थित है-
(A) प्रथम चतुर्थांश में
(B) द्वितीय चतुर्थांश में
(C) तृतीय चतुर्थांश में
(D) चतुर्थ चतुर्थांश में
Answer: (A) प्रथम चतुर्थांश में
In simple words: 750° का कोण दो पूर्ण चक्कर और फिर 30° से बनता है। हर 360° के बाद रेखा अपनी शुरुआती स्थिति पर वापस आ जाती है। इसलिए, 750° का कोण 30° के समान स्थिति में होता है, जो पहले चतुर्थांश में आता है।
🎯 Exam Tip: किसी भी कोण की स्थिति ज्ञात करने के लिए, उसे 360° के गुणजों में विभाजित करें और शेष कोण की स्थिति ज्ञात करें।
Question 2. 30° के कोण में रेडियन की संख्या है:
(A) \( \frac {\pi }{3} \) रेडियन
(B) \( \frac {\pi }{4} \) रेडियन
(C) \( \frac {\pi }{6} \) रेडियन
(D) \( \frac {3\pi }{4} \) रेडियन
Answer: (C) \( \frac {\pi }{6} \) रेडियन
In simple words: रेडियन में कोण बदलने के लिए डिग्री को \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करें। 30° को \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करने पर \( \frac{\pi}{6} \) रेडियन मिलता है। यह डिग्री से रेडियन बदलने का सीधा तरीका है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि \( \pi \) रेडियन 180° के बराबर होता है, जिसका उपयोग डिग्री और रेडियन के बीच बदलने के लिए किया जाता है।
Question 3. \( \frac {3\pi }{4} \) का मान षष्टिक पद्धति में है।
(A) 75°
(B) 135°
(C) 120°
(D) 220°
Answer: (B) 135°
Answer:
\( \pi = 180^\circ \)
\( \implies \frac{3\pi}{4} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} \)
\( \implies \frac{3\pi}{4} = 3 \times 45^\circ \)
\( \implies \frac{3\pi}{4} = 135^\circ \)
In simple words: रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, \( \pi \) की जगह 180° रखें और गणना करें। इससे हमें \( \frac{3\pi}{4} \) का डिग्री में मान 135° मिलता है।
🎯 Exam Tip: जब रेडियन को डिग्री में बदलें, तो बस \( \pi \) को 180° से बदल दें और बाकी गणना करें।
Question 4. किसी घड़ी के मिनट की सुई को \( \frac {\pi }{6} \) रेडियन कोण की रचना करने में कितना समय लगेगा?
(A) 10 मिनट
(B) 20 मिनट
(C) 15 मिनट
(D) 5 मिनट
Answer: (D) 5 मिनट
Answer:
हम जानते हैं कि घड़ी की मिनट की सुई 1 घंटे में 360° का कोण या \( 2\pi \) रेडियन का कोण बनाती है।
इसलिए, \( 2\pi \) रेडियन का कोण बनाने में लगा समय = 1 घण्टा = 60 मिनट
\( \implies 1 \) रेडियन का कोण बनाने में लगा समय = \( \frac{1}{2\pi} \) घण्टा
\( \implies \frac{\pi}{6} \) रेडियन का कोण बनाने में लगा समय = \( \frac{1}{2\pi} \times \frac{\pi}{6} \) घण्टा
\( \implies \) समय = \( \frac{1}{12} \) घण्टा
\( \implies \) समय = \( \frac{1}{12} \times 60 \) मिनट
\( \implies \) समय = 5 मिनट
In simple words: मिनट की सुई एक घंटे में पूरा चक्कर लगाती है, जिसका मतलब है कि यह \( 2\pi \) रेडियन का कोण बनाती है। इस जानकारी का उपयोग करके, हम यह गणना कर सकते हैं कि \( \frac{\pi}{6} \) रेडियन का कोण बनाने में इसे 5 मिनट का समय लगेगा।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक मिनट की सुई 60 मिनट में \( 2\pi \) रेडियन (या 360°) का कोण बनाती है, इसलिए प्रति मिनट कोण \( \frac{2\pi}{60} \) रेडियन है।
Question 5. एक वृत्त की त्रिज्या \( r = 100 \) मी है और चाप की लम्बाई \( l = 25\pi \) मी है। वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण क्या होगा?
(A) \( \frac {\pi }{4} \) रेडियन
(B) \( \frac {\pi }{3} \) रेडियन
(C) \( \frac {\pi }{6} \) रेडियन
(D) \( \frac {3\pi }{4} \) रेडियन
Answer: (A) \( \frac {\pi }{4} \) रेडियन
Answer:
वृत्त की त्रिज्या \( (r) = 100 \) मी
वृत्त पर चाप की लम्बाई \( (l) = 25\pi \) मी
वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण \( (\theta) = \frac{\text{चाप की लम्बाई}}{\text{त्रिज्या}} \)
\( \implies \theta = \frac{25\pi}{100} \)
\( \implies \theta = \frac{\pi}{4} \) रेडियन
In simple words: वृत्त के केंद्र पर बना कोण पता करने के लिए, चाप की लम्बाई को त्रिज्या से भाग दें। यहां चाप \( 25\pi \) मीटर और त्रिज्या 100 मीटर है, तो कोण \( \frac{\pi}{4} \) रेडियन होगा। यह एक मानक सूत्र है जो कोण, चाप और त्रिज्या को जोड़ता है।
🎯 Exam Tip: चाप की लम्बाई और त्रिज्या से कोण ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आपका उत्तर रेडियन में हो, क्योंकि सूत्र \( \theta = \frac{l}{r} \) रेडियन में कोण देता है।
Question 6. परिक्रामी रेखा की स्थिति कौन से चतुर्थांश में होगी, जबकि वह निम्नलिखित कोण बनाती हो :
(i) 240°
(ii) 425°
(iii) -580°
(iv) 1280°
(v) -980°
Answer:
(i) 240°
\( 240^\circ = 180^\circ + 60^\circ \)
यह कोण तीसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।
(ii) 425°
\( 425^\circ = 360^\circ + 65^\circ \)
परिक्रामी रेखा अपनी प्रारंभिक स्थिति OX से शुरू होकर वामावर्त दिशा में एक पूरा चक्कर (360°) पूरा करेगी और फिर 65° और आगे घूमेगी। इस प्रकार इसकी अंतिम स्थिति पहले चतुर्थांश में होगी।
(iii) -580°
\( -580^\circ = -360^\circ - 220^\circ \)
यह कोण दक्षिणावर्त दिशा में एक पूरा चक्कर (-360°) और फिर 220° आगे घूमकर बनेगा। -220° का अर्थ है कि यह 180° से 40° आगे, दूसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।
(iv) 1280°
\( 1280^\circ = 3 \times 360^\circ + 200^\circ \)
यह कोण तीन पूर्ण वामावर्त चक्कर और फिर 200° आगे घूमकर बनेगा। 200° का अर्थ है कि यह 180° से 20° आगे, तीसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।
(v) -980°
\( -980^\circ = -(2 \times 360^\circ) - 260^\circ \)
यह कोण दो पूर्ण दक्षिणावर्त चक्कर (-720°) और फिर 260° आगे घूमकर बनेगा। -260° का अर्थ है कि यह 180° से 80° आगे, दूसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।
In simple words: किसी भी कोण की चतुर्थांश स्थिति ज्ञात करने के लिए, आप 360° (या \( 2\pi \) रेडियन) के गुणजों को हटा सकते हैं। यदि कोण धनात्मक है, तो वामावर्त घूमते हैं; यदि ऋणात्मक है, तो दक्षिणावर्त घूमते हैं। फिर शेष कोण की स्थिति से चतुर्थांश का पता चलता है।
🎯 Exam Tip: चतुर्थांश की पहचान करते समय, बड़े कोणों को \( 360^\circ \) के गुणकों में तोड़ना और ऋणात्मक कोणों को उनके समतुल्य धनात्मक कोणों में बदलना याद रखें।
Question 7. निम्नलिखित कोणों को रेडियन में परिवर्तित कीजिए।
(i) 45°
(ii) 120°
(iii) 135°
(iv) 540°
Answer:
(i) 45°
चूँकि \( 180^\circ = \pi \) रेडियन
\( \implies 1^\circ = \frac{\pi}{180} \) रेडियन
\( \implies 45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180} \) रेडियन
\( \implies 45^\circ = \frac{\pi}{4} \) रेडियन
(ii) 120°
चूँकि \( 180^\circ = \pi \) रेडियन
\( \implies 120^\circ = 120 \times \frac{\pi}{180} \) रेडियन
\( \implies 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \) रेडियन
(iii) 135°
चूँकि \( 180^\circ = \pi \) रेडियन
\( \implies 135^\circ = 135 \times \frac{\pi}{180} \) रेडियन
\( \implies 135^\circ = \frac{3\pi}{4} \) रेडियन
(iv) 540°
चूँकि \( 180^\circ = \pi \) रेडियन
\( \implies 540^\circ = 540 \times \frac{\pi}{180} \) रेडियन
\( \implies 540^\circ = 3\pi \) रेडियन
In simple words: डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए, दिए गए डिग्री मान को \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करें। \( \pi \) रेडियन 180 डिग्री के बराबर होता है, यह अनुपात हमें डिग्री को रेडियन में आसानी से बदलने में मदद करता है।
🎯 Exam Tip: रेडियन में बदलने के लिए \( \frac{\pi}{180} \) का उपयोग करें और डिग्री में बदलने के लिए \( \frac{180}{\pi} \) का उपयोग करें। यह अनुपात महत्वपूर्ण है।
Question 8. निम्नलिखित रेडियन कोणों को षष्टिक पद्धति में परिवर्तित कीजिए।
(i) \( \frac{\pi}{2} \)
(ii) \( \frac{2\pi}{5} \)
(iii) \( \frac{5\pi}{6} \)
(iv) \( \frac{\pi}{15} \)
Answer:
चूँकि \( \pi \) रेडियन \( = 180^\circ \)
(i) \( \frac{\pi}{2} \)
\( \frac{\pi}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \)
(ii) \( \frac{2\pi}{5} \)
\( \frac{2\pi}{5} = \frac{2 \times 180^\circ}{5} = 2 \times 36^\circ = 72^\circ \)
(iii) \( \frac{5\pi}{6} \)
\( \frac{5\pi}{6} = \frac{5 \times 180^\circ}{6} = 5 \times 30^\circ = 150^\circ \)
(iv) \( \frac{\pi}{15} \)
\( \frac{\pi}{15} = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ \)
In simple words: रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, बस \( \pi \) की जगह 180° मान रखें और गुणा या भाग करके डिग्री में मान ज्ञात करें। यह रेडियन से डिग्री में बदलने का सीधा तरीका है।
🎯 Exam Tip: रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \( \pi \) को 180° से बदलना सबसे आसान तरीका है, यह सुनिश्चित करता है कि गणना सही हो।
Question 9. 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र पर 12 सेमी लम्बाई के चाप द्वारा कितने रेडियन का कोण बनेगा?
Answer:
वृत्त की त्रिज्या \( (r) = 5 \) सेमी
वृत्त पर चाप की लम्बाई \( (l) = 12 \) सेमी
वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण \( (\theta) = \frac{\text{चाप की लम्बाई}}{\text{त्रिज्या}} \)
\( \implies \theta = \frac{12}{5} \) रेडियन
In simple words: किसी वृत्त के केंद्र पर बना कोण (रेडियन में) चाप की लम्बाई को त्रिज्या से भाग देकर ज्ञात किया जा सकता है। यहाँ चाप 12 सेमी और त्रिज्या 5 सेमी है, तो कोण \( \frac{12}{5} \) रेडियन होगा।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि इस सूत्र \( (\theta = \frac{l}{r}) \) में कोण हमेशा रेडियन में होता है, डिग्री में नहीं।
Question 10. किसी घड़ी के मिनट की सुई को \( \frac {3\pi }{2} \) रेडियन कोण की रचना करने में कितना समय लगेगा?
Answer:
हम जानते हैं कि घड़ी की मिनट की सुई 1 घंटे में \( 2\pi \) रेडियन का कोण बनाती है।
इसलिए, \( 2\pi \) रेडियन का कोण बनाने में लगा समय = 1 घण्टा = 60 मिनट
\( \implies 1 \) रेडियन का कोण बनाने में लगा समय = \( \frac{1}{2\pi} \) घण्टा
\( \implies \frac{3\pi}{2} \) रेडियन का कोण बनाने में लगा समय = \( \frac{1}{2\pi} \times \frac{3\pi}{2} \) घण्टा
\( \implies \) समय = \( \frac{3}{4} \) घण्टा
\( \implies \) समय = \( \frac{3}{4} \times 60 \) मिनट
\( \implies \) समय = 45 मिनट
In simple words: मिनट की सुई एक घंटे में \( 2\pi \) रेडियन घूमती है। यह जानकर, \( \frac{3\pi}{2} \) रेडियन घूमने में कितना समय लगेगा, यह अनुपात निकालकर 45 मिनट के बराबर पाया जाता है।
🎯 Exam Tip: समय और कोण से संबंधित प्रश्नों में, हमेशा ध्यान रखें कि एक पूर्ण चक्कर 360° या \( 2\pi \) रेडियन के बराबर होता है और मिनट की सुई को एक चक्कर पूरा करने में 60 मिनट लगते हैं।
Question 11. किसी घड़ी के मिनट की सुई को 120° के कोण की रचना करने में कितना समय लगेगा?
Answer:
हम जानते हैं कि घड़ी की मिनट की सुई 1 पूरा चक्कर करने में 360° का कोण बनाती है।
घड़ी की मिनट की सुई को 360° कोण की रचना करने में लगा समय = 1 घण्टा
\( \implies \) घड़ी की मिनट की सुई को 1° कोण की रचना करने में लगा समय = \( \frac{1}{360} \) घण्टा
\( \implies \) घड़ी की मिनट की सुई को 120° कोण की रचना करने में लगा समय = \( \frac{1}{360} \times 120 \) घण्टा
\( \implies \) समय = \( \frac{1}{3} \) घण्टा
\( \implies \) समय = \( \frac{60}{3} \) मिनट
\( \implies \) समय = 20 मिनट
In simple words: मिनट की सुई 360 डिग्री का कोण 60 मिनट में बनाती है। इसलिए, 120 डिग्री का कोण बनाने में उसे 60 मिनट का एक-तिहाई समय, यानी 20 मिनट लगेंगे।
🎯 Exam Tip: घड़ी के कोण वाले प्रश्नों में, प्रति मिनट कोण (6° प्रति मिनट) या प्रति घंटा कोण (360° प्रति घंटा) को याद रखना गणना को आसान बनाता है।
Question 12. किसी वृत्त में 10 सेमी लम्बाई का चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
वृत्त पर चाप की लम्बाई \( (l) = 10 \) सेमी
वृत्त के केन्द्र पर आन्तरित कोण \( (\theta) = 60^\circ \)
पहले कोण को रेडियन में परिवर्तित करेंगे:
\( \theta = 60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} \) रेडियन
चाप की लम्बाई, त्रिज्या और कोण के बीच संबंध है: \( l = r\theta \)
\( \implies r = \frac{l}{\theta} \)
\( \implies r = \frac{10}{\frac{\pi}{3}} \)
\( \implies r = \frac{30}{\pi} \) सेमी
In simple words: पहले 60° को रेडियन में बदलें, जो \( \frac{\pi}{3} \) रेडियन है। फिर त्रिज्या ज्ञात करने के लिए चाप की लम्बाई को रेडियन में कोण से भाग दें, जिससे \( \frac{30}{\pi} \) सेमी मिलता है।
🎯 Exam Tip: चाप की लम्बाई से संबंधित सूत्रों का उपयोग करते समय, हमेशा कोण को रेडियन में परिवर्तित करना सुनिश्चित करें, क्योंकि सूत्र सीधे रेडियन में कोण का उपयोग करता है।
Question 13. यदि ठीक दोपहर पश्चात घड़ी के मिनट की सुई 30 समकोण परिक्रमण कर चुकी हो, तो घड़ी में समय बताइए।
Answer:
ठीक दोपहर का अर्थ है: 12:00 बजे दोपहर
हम जानते हैं कि 1 समकोण \( = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \) रेडियन
30 समकोण \( = 30 \times \frac{\pi}{2} = 15\pi \) रेडियन
घड़ी की मिनट की सुई को \( 2\pi \) रेडियन \( (360^\circ) \) कोण की रचना में लगा समय = 1 घण्टा
\( \implies \) घड़ी की मिनट की सुई को 1 रेडियन कोण की रचना में लगा समय = \( \frac{1}{2\pi} \) घण्टा
\( \implies \) घड़ी की मिनट की सुई को \( 15\pi \) रेडियन कोण की रचना करने में लगा समय = \( \frac{1}{2\pi} \times 15\pi \) घण्टे
\( \implies \) समय = \( \frac{15}{2} \) घण्टे
\( \implies \) समय = \( 7\frac{1}{2} \) घण्टे
\( 7\frac{1}{2} \) घण्टे का मतलब है 7 घण्टे 30 मिनट।
इसलिए, दोपहर 12:00 बजे के 7 घण्टे 30 मिनट बाद का समय = शाम 7 बजकर 30 मिनट होगा।
In simple words: दोपहर के बाद 30 समकोण घूमने का मतलब है \( 15\pi \) रेडियन घूमना। चूंकि मिनट की सुई \( 2\pi \) रेडियन घूमने में 1 घंटा लेती है, इसलिए \( 15\pi \) रेडियन घूमने में इसे \( 7.5 \) घंटे लगेंगे। यह समय दोपहर 12 बजे के बाद शाम 7:30 बजे होगा।
🎯 Exam Tip: कोण को रेडियन में बदलकर गणना करें, फिर मिनट की सुई के घूमने की दर का उपयोग करके समय निकालें। एक समकोण \( \frac{\pi}{2} \) रेडियन होता है।
Question 14. किसी त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। तीनों कोणों को रेडियन में ज्ञात कीजिए।
Answer:
त्रिभुज के तीनों कोणों का अनुपात = 2 : 3 : 4
कोणों का अनुपातीय योग = \( 2 + 3 + 4 = 9 \)
हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग \( = 180^\circ = \pi \) रेडियन होता है।
पहला कोण \( = \frac{2}{9} \times \pi = \frac{2\pi}{9} \) रेडियन
दूसरा कोण \( = \frac{3}{9} \times \pi = \frac{3\pi}{9} = \frac{\pi}{3} \) रेडियन
तीसरा कोण \( = \frac{4}{9} \times \pi = \frac{4\pi}{9} \) रेडियन
In simple words: त्रिभुज के तीनों कोणों का कुल योग 180° होता है, जो \( \pi \) रेडियन के बराबर है। अनुपातों को जोड़कर कुल 9 भाग मिलते हैं। प्रत्येक कोण के हिस्से को \( \pi \) रेडियन से गुणा करके रेडियन में उसके मान को पाया जा सकता है।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज के कोणों का अनुपात दिया होने पर, कुल कोण \( (\pi \) रेडियन) को अनुपातीय योग से विभाजित करें और फिर प्रत्येक भाग से गुणा करें।
Question 15. \( \frac {3\pi }{5} \) रेडियन को षष्टिक पद्धति में व्यक्त कीजिए।
Answer:
चूँकि \( \pi = 180^\circ \)
\( \implies \frac{3\pi}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} \)
\( \implies \frac{3\pi}{5} = 3 \times 36^\circ \)
\( \implies \frac{3\pi}{5} = 108^\circ \)
In simple words: रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, \( \pi \) के स्थान पर 180° रखें और गणना करें। इससे \( \frac{3\pi}{5} \) रेडियन का डिग्री में मान 108° आता है।
🎯 Exam Tip: रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \( \pi \) को 180° से बदल दें; यह सबसे सीधी विधि है।
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