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Detailed Chapter 7 चतुर्भुज की रचना RBSE Solutions for Class 8 Mathematics
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Class 8 Mathematics Chapter 7 चतुर्भुज की रचना RBSE Solutions PDF
बहुविकल्पात्मक प्रश्न
Question 1. एक अद्वितीय चतुर्भुज प्राप्त करने के लिए कुल मापों की आवश्यकता होती है –
(a) दो
(b) तीन
(c) चार
(d) पाँच
Answer: (d) पाँच
In simple words: एक चतुर्भुज को बिल्कुल सही तरीके से बनाने के लिए हमें कुल पाँच चीजों की माप (जैसे भुजाओं की लंबाई या कोण) की जानकारी होनी चाहिए।
🎯 Exam Tip: चतुर्भुज की रचना के लिए कम से कम पाँच स्वतंत्र मापों की जानकारी आवश्यक होती है।
Question 2. चतुर्भुज के आमने-सामने के बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा को कहते हैं –
(a) भुजा
(b) कर्ण
(c) विकर्ण
(d) आधार
Answer: (c) विकर्ण
In simple words: जब चतुर्भुज में आमने-सामने के कोनों को एक सीधी रेखा से जोड़ते हैं, तो उस रेखा को विकर्ण कहते हैं।
🎯 Exam Tip: विकर्ण चतुर्भुज के अंदर होते हैं और वे चतुर्भुज को त्रिभुजों में बांटते हैं।
Question 3. ऐसा समान्तर चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों, कहलाता है –
(a) त्रिभुज
(b) समचतुर्भुज
(c) आयत
(d) समलम्ब चतुर्भुज
Answer: (b) समचतुर्भुज
In simple words: एक विशेष तरह का समान्तर चतुर्भुज जिसमें सभी चार भुजाएँ एक समान लंबाई की होती हैं, उसे समचतुर्भुज कहते हैं।
🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं, जबकि आयत के कोण \( 90^\circ \) होते हैं और समान्तर चतुर्भुज में केवल आमने-सामने की भुजाएँ समान्तर होती हैं।
Question 4. यदि किसी आकृति की रचना के लिए चार भुजायें तथा एक विकर्ण दिया हो तो बनने वाली आकृति होगी –
(a) त्रिभुज
(b) चतुर्भुज
Answer: (b) चतुर्भुज
In simple words: यदि आपको एक आकृति की चार भुजाएँ और एक विकर्ण की माप पता है, तो आप उससे एक चतुर्भुज बना सकते हैं।
🎯 Exam Tip: चार भुजाएँ और एक विकर्ण, ये पाँच माप मिलकर एक चतुर्भुज को पूरी तरह से तय करते हैं।
Question 5. एक चतुर्भुज के सभी अन्तः कोणों का योग कितना होता है?
(a) \( 240^\circ \)
(b) \( 360^\circ \)
(c) \( 180^\circ \)
(d) \( 280^\circ \)
Answer: (b) \( 360^\circ \)
In simple words: किसी भी चार भुजाओं वाली आकृति (चतुर्भुज) के अंदर के सभी कोणों को जोड़ने पर हमेशा \( 360^\circ \) आता है।
🎯 Exam Tip: यह एक बुनियादी ज्यामितीय नियम है जिसे याद रखना चाहिए। एक त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
Question 6. यदि किसी आकृति के दो विकर्ण तथा तीन भुजायें दी गई हों तो प्राप्त आकृति होगी –
(a) पंचभुज
(b) त्रिभुज
(c) समषट्भुज
(d) चतुर्भुज
Answer: (d) चतुर्भुज
In simple words: यदि आपको किसी आकृति की तीन भुजाएँ और दो विकर्ण की लंबाई पता है, तो आप उस जानकारी से एक चतुर्भुज बना सकते हैं।
🎯 Exam Tip: चतुर्भुज की रचना के लिए पांच स्वतंत्र मापों की आवश्यकता होती है, यहाँ तीन भुजाएँ और दो विकर्ण मिलकर पांच माप पूरी करते हैं।
Question 7. नीचे दिए गए समान्तर चतुर्भुज के चित्र में भुजा BC व DC की माप क्रमशः है –
(a) 9 सेमी. व 2 सेमी.
(b) 3 सेमी. व 6 सेमी.
(c) 4 सेमी. व 5 सेमी.
(d) 7 सेमी. व 7.7 सेमी.
Answer: (c) 4 सेमी. व 5 सेमी.
In simple words: समान्तर चतुर्भुज में आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं। चित्र में, AD 4 सेमी. है, तो BC भी 4 सेमी. होगी। AB 5 सेमी. है, तो DC भी 5 सेमी. होगी।
🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज की भुजाओं के गुणों को याद रखें: सम्मुख भुजाएँ बराबर और समान्तर होती हैं।
Question 8. समचतुर्भुज के विकर्णों के बीच का कोण होता है –
(a) \( 90^\circ \)
(b) \( 120^\circ \)
(c) \( 60^\circ \)
Answer: (a) \( 90^\circ \)
In simple words: समचतुर्भुज एक खास चतुर्भुज होता है जहाँ उसके दोनों विकर्ण एक-दूसरे को \( 90^\circ \) के कोण पर काटते हैं।
🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। यह एक महत्वपूर्ण गुण है।
Question 9. एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को __________।
(a) बराबर होते हैं
(b) समद्विभाजित करते हैं
(c) लम्बवत् होते हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) समद्विभाजित करते हैं
In simple words: एक समान्तर चतुर्भुज में, दोनों विकर्ण एक-दूसरे को ठीक बीच से काटते हैं, यानी वे एक-दूसरे को बराबर दो हिस्सों में बांटते हैं।
🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज का यह एक मूलभूत गुण है। सभी समान्तर चतुर्भुजों के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
Question 10. किसी चतुर्भुज में विकर्णो की संख्या होती है –
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Answer: (b) 2
In simple words: किसी भी चतुर्भुज में, चाहे वह किसी भी आकार का हो, हमेशा दो विकर्ण होते हैं जो उसके आमने-सामने के कोनों को जोड़ते हैं।
🎯 Exam Tip: एक चतुर्भुज में 4 शीर्ष (corners) होते हैं और प्रत्येक शीर्ष से एक विकर्ण निकलता है, लेकिन कुल विकर्णों की संख्या 2 होती है क्योंकि प्रत्येक विकर्ण दो शीर्षों को जोड़ता है।
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
Question 1. यदि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्बवत् हों, तो वह एक __________ होता है।
Answer: समचतुर्भुज
In simple words: यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को \( 90^\circ \) के कोण पर काटते हैं, तो वह आकृति एक समचतुर्भुज कहलाती है।
🎯 Exam Tip: यह समचतुर्भुज की एक विशेष पहचान है कि उसके विकर्ण समकोण पर मिलते हैं।
Question 2. यदि चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हों, तो वह __________ होता है।
Answer: समान्तर चतुर्भुज
In simple words: कोई भी चतुर्भुज जिसमें विकर्ण एक-दूसरे को बराबर हिस्सों में बांटते हैं, वह एक समान्तर चतुर्भुज होता है।
🎯 Exam Tip: यह गुण समान्तर चतुर्भुज को परिभाषित करता है। यदि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह हमेशा एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
Question 3. एक आयत एवं वर्ग का प्रत्येक कोण __________ का होता है।
Answer: \( 90^\circ \)
In simple words: आयत और वर्ग, दोनों में ही सभी चार कोण समकोण होते हैं, यानी प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) का होता है।
🎯 Exam Tip: आयत और वर्ग, दोनों समान्तर चतुर्भुज होते हैं जिनके सभी कोण समकोण होते हैं।
Question 4. समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ __________ होती हैं।
Answer: बराबर
In simple words: एक समान्तर चतुर्भुज में, आमने-सामने की भुजाएँ हमेशा एक ही लंबाई की होती हैं।
🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होने के साथ-साथ समान्तर भी होती हैं।
Question 5. एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज जिसकी आसन्न भुजाएँ बराबर हों, कहलाता है __________।
Answer: समचतुर्भुज
In simple words: वह समान्तर चतुर्भुज जिसकी बगल-बगल वाली भुजाएँ बराबर होती हैं, उसे समचतुर्भुज कहते हैं।
🎯 Exam Tip: चूँकि समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, यदि आसन्न भुजाएँ भी बराबर हों, तो इसकी सभी भुजाएँ बराबर हो जाती हैं, जिससे यह समचतुर्भुज बन जाता है।
सत्य/असत्य
Question 1. समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर \( 90^\circ \) पर समद्विभाजन करते हैं।
Answer: सत्य
In simple words: यह बात बिल्कुल सही है कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को \( 90^\circ \) के कोण पर काटते हैं और एक-दूसरे के दो बराबर हिस्से करते हैं।
🎯 Exam Tip: यह समचतुर्भुज का एक बहुत महत्वपूर्ण गुण है जो इसे अन्य चतुर्भुजों से अलग करता है।
अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न
Question 1. एक वर्ग ABCD की रचना कीजिए जिसकी एक भुजा 6 सेमी. हो।
Answer:
1. सबसे पहले, 6 सेमी. लंबी एक रेखाखंड AB खींचिए।
2. बिन्दु A पर एक \( 90^\circ \) का कोण बनाते हुए किरण AX खींचिए। बिन्दु A से AX पर 6 सेमी. का चाप काटिए, जिससे बिन्दु D मिलेगा।
3. बिन्दु B पर भी एक \( 90^\circ \) का कोण बनाते हुए किरण BY खींचिए। बिन्दु B से BY पर 6 सेमी. का चाप काटिए, जिससे बिन्दु C मिलेगा।
4. अब CD को मिलाइए। इस तरह ABCD आपका चाहा गया वर्ग है। वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर और सभी कोण \( 90^\circ \) के होते हैं।
In simple words: 6 सेमी. की एक रेखा AB बनाओ। A और B पर \( 90^\circ \) के कोण बनाओ। A से 6 सेमी. पर D और B से 6 सेमी. पर C का निशान लगाओ। C और D को जोड़ दो, तो वर्ग ABCD बन जाएगा।
🎯 Exam Tip: वर्ग की रचना करते समय सभी भुजाओं की लंबाई बराबर और सभी कोण \( 90^\circ \) के होने चाहिए। चाप सही लंबाई के लगाने का ध्यान रखें।
Question 2. एक आयत ABCD की रचना कीजिए जिसकी एक भुजा 7.8 सेमी. और दूसरी भुजा 6.3 सेमी. हो।
Answer:
1. सबसे पहले, 7.8 सेमी. लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए।
2. बिन्दु A पर \( 90^\circ \) का कोण बनाते हुए किरण AX खींचिए। बिन्दु A से AX पर 6.3 सेमी. का चाप काटिए, जिससे बिन्दु D मिलेगा।
3. बिन्दु B पर भी \( 90^\circ \) का कोण बनाते हुए किरण BY खींचिए। बिन्दु B से BY पर 6.3 सेमी. का चाप काटिए, जिससे बिन्दु C मिलेगा।
4. अब CD को मिलाइए। इस प्रकार ABCD आपका चाहा गया आयत है। आयत की आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण \( 90^\circ \) के होते हैं।
In simple words: 7.8 सेमी. लंबी एक रेखा AB खींचो। A और B पर \( 90^\circ \) के कोण बनाओ। A से 6.3 सेमी. पर D और B से 6.3 सेमी. पर C का निशान लगाओ। C और D को जोड़ दो, तो आयत ABCD बन जाएगा।
🎯 Exam Tip: आयत की रचना के लिए लंबाई और चौड़ाई का सही माप लेना और \( 90^\circ \) के कोण बनाना महत्वपूर्ण है।
Question 3. एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना करने के लिए आवश्यक स्थितियों में से कोई दो स्थितियाँ लिखिए।
Answer:
एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना के लिए आवश्यक स्थितियाँ:
1. चतुर्भुज की चारों भुजाएँ और एक विकर्ण ज्ञात हो।
2. चतुर्भुज की तीन भुजाएँ और दो विकर्ण ज्ञात हो।
इन पाँच मापों से चतुर्भुज की आकृति निश्चित हो जाती है।
In simple words: किसी भी खास चतुर्भुज को बनाने के लिए, हमें या तो उसकी चारों भुजाओं और एक विकर्ण की लंबाई पता होनी चाहिए, या फिर उसकी तीन भुजाओं और दोनों विकर्णों की लंबाई पता होनी चाहिए।
🎯 Exam Tip: हमेशा याद रखें कि एक अद्वितीय चतुर्भुज बनाने के लिए कम से कम पाँच स्वतंत्र मापों की जानकारी आवश्यक होती है।
लघूत्तरात्मक प्रश्न
Question 1. एक चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसमें AB = 7 सेमी., BC = 6 सेमी., CD = 4 सेमी., DA = 5 सेमी. और AB II CD है।
Answer:
1. सबसे पहले, 7 सेमी. लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए।
2. बिन्दु A पर एक चाप लगाइए जिसकी त्रिज्या 5 सेमी. हो।
3. बिन्दु B पर एक चाप लगाइए जिसकी त्रिज्या 6 सेमी. हो।
4. AB के समान्तर CD बनाने के लिए, एक अस्थायी बिन्दु E बनाइए ताकि ABE एक त्रिभुज बन सके। बिन्दु A से एक चाप 4 सेमी. का काटिए, जिसे E से दर्शाएँ।
5. बिन्दु E से 5 सेमी. का चाप AD के लिए और बिन्दु B से 6 सेमी. का चाप BC के लिए काटिए। कटान बिन्दु को C से दर्शाएँ। EC और BC को मिलाइए।
6. बिन्दु A से 5 सेमी. का चाप AD के लिए और बिन्दु C से 4 सेमी. का चाप CD के लिए काटिए। कटान बिन्दु को D से दर्शाएँ। AD और CD को मिलाइए। इस प्रकार ABCD आपका चाहा गया समलम्ब चतुर्भुज है। एक समलम्ब चतुर्भुज में भुजाओं का एक जोड़ा समान्तर होता है।
In simple words: 7 सेमी. की रेखा AB खींचो। फिर 5 सेमी. और 6 सेमी. के चाप लगाकर D और C बिन्दु ढूंढो। चूंकि AB और CD समान्तर हैं, तो उस हिसाब से रेखाएं जोड़कर चतुर्भुज ABCD बनाओ।
🎯 Exam Tip: समलम्ब चतुर्भुज की रचना में समान्तर भुजाओं का ध्यान रखना सबसे महत्वपूर्ण है। पहले आधार रेखा खींचें और फिर कोणों या अन्य भुजाओं का उपयोग करें।
Question 2. एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसमें AB II CD, \( \angle B = 90^\circ \), AB = 4 सेमी., BC = 2.8 सेमी. और AD = 3.5 सेमी. है।
Answer:
1. सबसे पहले, 4 सेमी. लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए।
2. बिन्दु B पर एक \( 90^\circ \) का कोण बनाती हुई किरण BY खींचिए। बिन्दु B से BY पर 2.8 सेमी. का चाप काटिए, जिससे बिन्दु C मिलेगा।
3. बिन्दु A को केंद्र मानकर 3.5 सेमी. त्रिज्या का एक चाप लगाइए।
4. चूँकि AB II CD और \( \angle B = 90^\circ \), इसलिए \( \angle C \) भी \( 90^\circ \) होगा (आसन्न आंतरिक कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है)। बिन्दु C पर \( 90^\circ \) का कोण बनाते हुए एक रेखा खींचिए।
5. बिन्दु A से खींचा गया 3.5 सेमी. का चाप, C से \( 90^\circ \) वाली रेखा को जहाँ काटेगा, वह बिन्दु D होगा।
6. AD को मिलाइए। इस प्रकार ABCD आपका चाहा गया समलम्ब चतुर्भुज है। इसमें एक जोड़ा भुजाओं का समान्तर होता है और एक कोण समकोण होता है।
In simple words: 4 सेमी. की AB रेखा बनाओ। B पर 90 डिग्री का कोण बनाकर 2.8 सेमी. पर C का निशान लगाओ। A से 3.5 सेमी. का चाप लगाओ। C से AB के समान्तर एक रेखा खींचो और उस पर D का निशान लगाओ। फिर AD को जोड़ दो।
🎯 Exam Tip: जब समलम्ब चतुर्भुज में एक कोण \( 90^\circ \) दिया हो, तो दूसरी समान्तर भुजा पर भी संगत कोण \( 90^\circ \) होगा यदि वह भुजा भी लंबवत हो।
Question 3. एक वर्ग ABCD की रचना कीजिए जिसका विकर्ण BD = 5.6 सेमी. है।
Answer:
1. सबसे पहले, 5.6 सेमी. लंबा एक रेखाखंड AC खींचिए। यह वर्ग का एक विकर्ण है।
2. विकर्ण AC का लम्ब अर्धक खींचिए। यह लम्ब अर्धक AC को बिन्दु O पर काटेगा। (वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)।
3. O को केंद्र मानकर, OB = OD = 2.8 सेमी. (विकर्ण के आधे) का चाप लम्ब अर्धक पर काटिए। इससे बिन्दु B और D मिलेंगे। वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
4. अब AD, DC, CB और AB को मिलाइए। इस प्रकार ABCD आपका चाहा गया वर्ग है।
In simple words: 5.6 सेमी. का एक विकर्ण AC खींचो। इसका बीच का बिन्दु O ढूंढो। O से 2.8 सेमी. के चाप लगाकर B और D बिन्दु बनाओ। फिर सभी बिन्दुओं को जोड़कर वर्ग ABCD बनाओ।
🎯 Exam Tip: वर्ग के विकर्ण बराबर लंबाई के होते हैं और एक-दूसरे को \( 90^\circ \) पर समद्विभाजित करते हैं। इस गुण का उपयोग रचना में किया जाता है।
Question 4. एक समचतुर्भुज PQRS की रचना कीजिए। जिसके विकर्ण PR तथा QS की लम्बाइयाँ क्रमशः 8 सेमी. व 10 सेमी. हैं।
Answer:
1. सबसे पहले, 8 सेमी. लंबा एक रेखाखंड PR खींचिए।
2. विकर्ण PR का लम्ब अर्धक खींचिए। यह लम्ब अर्धक PR को बिन्दु O पर काटेगा। (समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं)।
3. O को केंद्र मानकर, OS = OQ = 5 सेमी. (दूसरे विकर्ण QS का आधा, 10/2 = 5 सेमी.) का चाप लम्ब अर्धक पर काटिए। इससे बिन्दु S और Q मिलेंगे।
4. अब PS, SR, RQ और QP को मिलाइए। इस प्रकार PQRS आपका चाहा गया समचतुर्भुज है।
In simple words: 8 सेमी. की रेखा PR बनाओ और इसका बीच का बिन्दु O ढूंढो। फिर O से ऊपर-नीचे 5 सेमी. के चाप लगाकर S और Q बिन्दु बनाओ। अंत में सभी बिन्दुओं को जोड़कर समचतुर्भुज PQRS बनाओ।
🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज की रचना करते समय याद रखें कि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। इससे रचना आसान हो जाती है।
Question 5. एक चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसमें भुजा AB = 4.5 सेमी., BC = 5.5 सेमी., CD = 4 सेमी., AD = 6 सेमी. और AC = 7 सेमी. है।
Answer:
1. सबसे पहले, 4.5 सेमी. लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए।
2. बिन्दु B से 5.5 सेमी. का एक चाप लगाइए और बिन्दु A से 7.0 सेमी. (विकर्ण AC) का एक चाप लगाइए। दोनों चापों के कटान बिन्दु का नाम C दीजिए। फिर भुजा AC और BC को मिलाइए। (यह त्रिभुज ABC बनाएगा)।
3. अब बिन्दु A से 6 सेमी. का चाप AD के लिए और बिन्दु C से 4 सेमी. का चाप CD के लिए लगाइए। इन दोनों चापों के कटान बिन्दु का नाम D दीजिए। फिर AD और CD को मिलाइए।
इस प्रकार प्राप्त चतुर्भुज ABCD आपका चाहा गया चतुर्भुज है। एक चतुर्भुज की रचना के लिए सभी पाँच मापों का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: 4.5 सेमी. की रेखा AB खींचो। A से 7 सेमी. और B से 5.5 सेमी. का चाप लगाकर C बिन्दु ढूंढो। फिर A से 6 सेमी. और C से 4 सेमी. का चाप लगाकर D बिन्दु ढूंढो। सारी रेखाओं को जोड़ दो तो चतुर्भुज ABCD बन जाएगा।
🎯 Exam Tip: इस तरह के चतुर्भुज की रचना में, पहले एक विकर्ण का उपयोग करके एक त्रिभुज बनाना और फिर बाकी भुजाओं से दूसरा त्रिभुज बनाना एक सामान्य और प्रभावी तरीका है।
Question 6. एक आयत की रचना कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ 6 सेमी. और 4 सेमी. हैं।
Answer:
1. सबसे पहले, 6 सेमी. लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए।
2. बिन्दु A पर अपनी ज्यामितीय पेन्सिल और परकार की मदद से एक \( 90^\circ \) का कोण बनाते हुए किरण AX खींचिए। इस किरण AX पर बिन्दु A से 4 सेमी. का चाप काटिए, जिससे बिन्दु D मिलेगा।
3. बिन्दु B पर भी \( 90^\circ \) का कोण बनाते हुए किरण BY खींचिए। इस किरण BY पर बिन्दु B से 4 सेमी. का चाप काटिए, जिससे बिन्दु C मिलेगा।
4. अब CD को मिलाइए। इस प्रकार ABCD आपका चाहा गया आयत है। आयत की आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण \( 90^\circ \) के होते हैं।
In simple words: 6 सेमी. लंबी AB रेखा बनाओ। A और B पर \( 90^\circ \) के कोण बनाओ। A से 4 सेमी. ऊपर D और B से 4 सेमी. ऊपर C बिन्दु लगाओ। C और D को जोड़ दो, तो आयत ABCD बन जाएगा।
🎯 Exam Tip: आयत की रचना में, आसन्न भुजाओं की लंबाई और सभी कोणों का \( 90^\circ \) होना मुख्य नियम हैं।
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