RBSE Solutions Class 8 Maths Chapter 3 घात एवं घातांक Exercise 3.2

प्रश्न 1. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( (5^{-1} \times 2^{-1}) \div 6^{-1} \)
(ii) \( \left(\frac{5}{6}\right)^6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^{-4} \)
(iii) \( \left(\frac{5}{8}\right)^{-2} \times \left(\frac{8}{5}\right)^{-5} \)
(iv) \( \left(\frac{5}{9}\right)^{-2} \times \left(\frac{3}{5}\right)^{-3} \times \left(\frac{3}{5}\right)^{0} \)
Answer:
(i) \( (5^{-1} \times 2^{-1}) \div 6^{-1} \)
\( = \left(\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}\right) \div \frac{1}{6} \)
\( = \frac{1}{10} \div \frac{1}{6} \)
\( = \frac{1}{10} \times \frac{6}{1} \)
\( = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
घातांक नियमों का सही उपयोग करके, हम जटिल दिखने वाली गणनाओं को सरल बना सकते हैं।
(ii) \( \left(\frac{5}{6}\right)^6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^{-4} \)
\( = \left(\frac{5}{6}\right)^{6 + (-4)} \)
\( = \left(\frac{5}{6}\right)^{2} \)
\( = \frac{5^2}{6^2} = \frac{5 \times 5}{6 \times 6} = \frac{25}{36} \)
(iii) \( \left(\frac{5}{8}\right)^{-2} \times \left(\frac{8}{5}\right)^{-5} \)
\( = \left(\frac{8}{5}\right)^{2} \times \left(\frac{8}{5}\right)^{-5} \)
\( = \left(\frac{8}{5}\right)^{2 + (-5)} \)
\( = \left(\frac{8}{5}\right)^{-3} \)
\( = \left(\frac{5}{8}\right)^{3} \)
\( = \frac{5^3}{8^3} = \frac{5 \times 5 \times 5}{8 \times 8 \times 8} = \frac{125}{512} \)
(iv) \( \left(\frac{5}{9}\right)^{-2} \times \left(\frac{3}{5}\right)^{-3} \times \left(\frac{3}{5}\right)^{0} \)
\( = \left(\frac{9}{5}\right)^{2} \times \left(\frac{5}{3}\right)^{3} \times 1 \)
\( = \frac{9^2}{5^2} \times \frac{5^3}{3^3} \)
\( = \frac{(3^2)^2}{5^2} \times \frac{5^3}{3^3} \)
\( = \frac{3^4}{5^2} \times \frac{5^3}{3^3} \)
\( = 3^{4-3} \times 5^{3-2} \)
\( = 3^1 \times 5^1 \)
\( = 3 \times 5 = 15 \)
In simple words: हमने घातांकों के नियमों का उपयोग करके प्रत्येक प्रश्न को हल किया है। इसका मतलब है कि ऋणात्मक घात वाली संख्याओं को पलट दिया जाता है, समान आधारों वाली संख्याओं को गुणा करते समय उनकी घातें जुड़ जाती हैं, और किसी भी संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान 1 हो जाता है।

🎯 Exam Tip: घातांक के प्रश्नों को हल करते समय हमेशा ऋणात्मक घात, शून्य घात और गुणा व भाग के नियमों को ध्यान से लागू करें ताकि कोई गलती न हो।

प्रश्न 2. सरल कीजिए
(i) \( \frac{16^{-1} \times 5^3}{2^{-4}} \)
(ii) \( \frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 5 \times t^{-8}} (t \neq 0) \)
(iii) \( \frac{6^3 \times 7^4 \times 8^5}{4^3 \times 9^2 \times 16} \)
Answer:
(i) \( \frac{16^{-1} \times 5^3}{2^{-4}} \)
\( = \frac{(2^4)^{-1} \times 5^3}{2^{-4}} \)
\( = \frac{2^{-4} \times 5^3}{2^{-4}} \)
\( = 2^{-4 - (-4)} \times 5^3 \)
\( = 2^0 \times 5^3 \)
\( = 1 \times 5^3 \)
\( = 5 \times 5 \times 5 = 125 \)
संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ना घातांकों के प्रश्नों को हल करने का एक प्रभावी तरीका है।
(ii) \( \frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 5 \times t^{-8}} \)
\( = \frac{5^2 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 5^1 \times t^{-8}} \)
\( = \frac{5^2 \times t^{-4}}{5^{-3+1} \times t^{-8}} \)
\( = \frac{5^2 \times t^{-4}}{5^{-2} \times t^{-8}} \)
\( = 5^{2 - (-2)} \times t^{-4 - (-8)} \)
\( = 5^{2+2} \times t^{-4+8} \)
\( = 5^4 \times t^4 \)
\( = 625t^4 \)
(iii) \( \frac{6^3 \times 7^4 \times 8^5}{4^3 \times 9^2 \times 16} \)
\( = \frac{(2 \times 3)^3 \times 7^4 \times (2^3)^5}{(2^2)^3 \times (3^2)^2 \times 2^4} \)
\( = \frac{2^3 \times 3^3 \times 7^4 \times 2^{15}}{2^6 \times 3^4 \times 2^4} \)
\( = \frac{2^{3+15} \times 3^3 \times 7^4}{2^{6+4} \times 3^4} \)
\( = \frac{2^{18} \times 3^3 \times 7^4}{2^{10} \times 3^4} \)
\( = 2^{18-10} \times 3^{3-4} \times 7^4 \)
\( = 2^8 \times 3^{-1} \times 7^4 \)
\( = \frac{2^8 \times 7^4}{3} \)
\( = \frac{256 \times 2401}{3} \)
\( = \frac{614656}{3} \)
In simple words: दिए गए व्यंजकों को सरल करने के लिए, हमने पहले सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ा। फिर, हमने घातांक के नियमों का पालन किया, जैसे कि गुणा में घातों को जोड़ना और भाग में घातों को घटाना।

🎯 Exam Tip: ऐसे बड़े व्यंजकों को हल करते समय, सभी आधारों को उनके अभाज्य गुणनखंडों में व्यक्त करना और फिर सभी घातांक नियमों (गुणा, भाग, घात की घात) को चरण-दर-चरण लागू करना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 3. x का मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \left(\frac{4}{3}\right)^{-4} \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-3x} \)
(ii) \( 7^x \div 7^{-3} = 7^5 \)
(iii) \( (4)^{2x+1} \div 16 = 64 \)
Answer:
(i) \( \left(\frac{4}{3}\right)^{-4} \times \left(\frac{4}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-3x} \)
जब आधार समान होते हैं तो गुणा में घातें जुड़ जाती हैं:
\( \left(\frac{4}{3}\right)^{-4 + (-5)} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-3x} \)
\( \left(\frac{4}{3}\right)^{-9} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-3x} \)
चूंकि दोनों घातों के आधार समान हैं, अतः उनके घातांक भी समान होंगे:
\( -9 = -3x \)
\( x = \frac{-9}{-3} \)
\( x = 3 \)
जब दोनों पक्षों में आधार समान होते हैं, तो हम आसानी से घातों की तुलना कर सकते हैं।
(ii) \( 7^x \div 7^{-3} = 7^5 \)
जब आधार समान होते हैं तो भाग में घातें घट जाती हैं:
\( 7^{x - (-3)} = 7^5 \)
\( 7^{x+3} = 7^5 \)
चूंकि दोनों घातों के आधार समान हैं, अतः उनके घातांक भी समान होंगे:
\( x+3 = 5 \)
\( x = 5 - 3 \)
\( x = 2 \)
(iii) \( (4)^{2x+1} \div 16 = 64 \)
सभी संख्याओं को समान आधार 4 की घातों में व्यक्त करें:
\( (4)^{2x+1} \div 4^2 = 4^3 \)
जब आधार समान होते हैं तो भाग में घातें घट जाती हैं:
\( 4^{(2x+1) - 2} = 4^3 \)
\( 4^{2x-1} = 4^3 \)
चूंकि दोनों घातों के आधार समान हैं, अतः उनके घातांक भी समान होंगे:
\( 2x-1 = 3 \)
\( 2x = 3 + 1 \)
\( 2x = 4 \)
\( x = \frac{4}{2} \)
\( x = 2 \)
In simple words: हमने समीकरणों को हल करने के लिए घातांक नियमों का उपयोग किया है। जब आधार समान होते हैं, तो हम घातों की तुलना करके अज्ञात 'x' का मान ज्ञात कर सकते हैं। कभी-कभी, हमें संख्याओं को एक ही आधार की घातों में बदलना पड़ता है।

🎯 Exam Tip: 'x' का मान ज्ञात करने वाले घातांक समीकरणों में, हमेशा समीकरण के दोनों पक्षों में आधारों को समान बनाने का प्रयास करें। एक बार आधार समान हो जाने पर, आप सीधे घातों की तुलना कर सकते हैं।

प्रश्न 4. मान ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac{3125 \times 1296}{6561 \times 1875} \)
(ii) \( \frac{1536 \times 972}{486 \times 1152} \)
Answer:
(i) \( \frac{3125 \times 1296}{6561 \times 1875} \)
प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें:
\( 3125 = 5^5 \)
\( 1296 = 2^4 \times 3^4 \)
\( 6561 = 3^8 \)
\( 1875 = 3 \times 5^4 \)
मानों को प्रतिस्थापित करें:
\( = \frac{5^5 \times (2^4 \times 3^4)}{3^8 \times (3^1 \times 5^4)} \)
\( = \frac{5^5 \times 2^4 \times 3^4}{3^{8+1} \times 5^4} \)
\( = \frac{5^5 \times 2^4 \times 3^4}{3^9 \times 5^4} \)
घातों को सरल करें:
\( = 5^{5-4} \times 2^4 \times 3^{4-9} \)
\( = 5^1 \times 2^4 \times 3^{-5} \)
\( = \frac{5 \times 2^4}{3^5} \)
\( = \frac{5 \times 16}{243} \)
\( = \frac{80}{243} \)
बड़े भिन्नात्मक व्यंजकों को हल करने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ना आसान होता है।
(ii) \( \frac{1536 \times 972}{486 \times 1152} \)
प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें:
\( 1536 = 2^9 \times 3 \)
\( 972 = 2^2 \times 3^5 \)
\( 486 = 2 \times 3^5 \)
\( 1152 = 2^7 \times 3^2 \)
मानों को प्रतिस्थापित करें:
\( = \frac{(2^9 \times 3^1) \times (2^2 \times 3^5)}{(2^1 \times 3^5) \times (2^7 \times 3^2)} \)
\( = \frac{2^{9+2} \times 3^{1+5}}{2^{1+7} \times 3^{5+2}} \)
\( = \frac{2^{11} \times 3^6}{2^8 \times 3^7} \)
घातों को सरल करें:
\( = 2^{11-8} \times 3^{6-7} \)
\( = 2^3 \times 3^{-1} \)
\( = \frac{2^3}{3^1} \)
\( = \frac{8}{3} \)
In simple words: हमने संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़कर और फिर घातांक के नियमों का उपयोग करके जटिल भिन्नात्मक व्यंजकों को सरल किया। इससे गुणा और भाग को प्रबंधित करना आसान हो जाता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे बड़े भिन्नात्मक गणनाओं में, हमेशा प्रत्येक संख्या को उसके सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके शुरू करें। यह घातांकों को सरल बनाने और अंतिम उत्तर तक पहुँचने का सबसे व्यवस्थित तरीका है।