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Official RBSE Solutions for Class 8 Mathematics: Chapter 16 आँकड़ों का प्रबन्धन

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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 16 आँकड़ों का प्रबन्धन

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करो और सीखो

 

Question 1. नीचे दिए गए दण्ड आलेख में किसी पुस्तकालय में अलग-अलग विषयों की पुस्तकों की संख्या देखकर दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(i) सबसे अधिक किस विषय की पुस्तकें हैं और वह कितनी हैं ?
(ii) सबसे कम किस विषय की पुस्तकें हैं और वह कितनी हैं?
(iii) पुस्तकालय में कुल कितनी पुस्तकें हैं?
(iv) इस दण्ड आलेख द्वारा क्या सूचना दी गई है?
(v) किन दो विषयों की पुस्तकों की संख्या का अन्तर सबसे कम है?
Answer:
(i) सबसे अधिक पुस्तकें हिन्दी विषय की हैं और वह 450 हैं।
(ii) सबसे कम पुस्तकें सा.विज्ञान (सामाजिक विज्ञान) विषय की हैं और वे 100 हैं।
(iii) पुस्तकालय में कुल पुस्तकें = \( 200 + 250 + 350 + 450 + 100 = 1350 \) हैं।
(iv) यह दण्ड आलेख एक पुस्तकालय में विभिन्न विषयों की पुस्तकों की संख्या के बारे में जानकारी देता है।
(v) गणित (250) और अंग्रेजी (200) विषयों की पुस्तकों की संख्या का अंतर 50 है, जो सबसे कम है। विज्ञान (350) और हिंदी (450) का अंतर 100 है, जो इससे अधिक है।
In simple words: इस चार्ट को देखकर हमें बताना है कि कौन से विषय की किताबें सबसे ज्यादा हैं और कितनी, कौन सी सबसे कम हैं, कुल कितनी किताबें हैं, यह चार्ट क्या जानकारी देता है, और किन दो विषयों की किताबों का फर्क सबसे कम है। हमने देखा कि हिंदी की किताबें सबसे ज्यादा और सा.विज्ञान की सबसे कम हैं।

🎯 Exam Tip: दण्ड आलेख (बार ग्राफ) को ध्यान से देखें और प्रत्येक दण्ड की ऊँचाई को सही ढंग से पढ़कर संख्याएँ ज्ञात करें। कुल संख्या के लिए सभी संख्याओं को जोड़ना होता है।

 

करो और सीखो

 

Question 1. नीचे 5 विद्यार्थियों के वार्षिक एवं अर्धवार्षिक परीक्षा में गणित विषय के प्राप्तांकों को दण्ड आलेख दिया गया है। आलेख के आधार पर निम्न प्रश्नों का उत्तर दीजिए:
(i) किस विद्यार्थी का प्रदर्शन छ: माही और वार्षिक में समान रहा?
(ii) किस विद्यार्थी का प्रदर्शन छ: माही की तुलना में वार्षिक में सबसे अच्छा रहा?
(iii) कितने विद्यार्थियों ने वार्षिक परीक्षा में 50 से अधिक अंक प्राप्त किए?
(iv) इस दोहरे दण्ड आलेख में क्या सूचना दी गई है?
(v) छ:माही के अंकों का औसत क्या है? क्या यह वार्षिक परीक्षा के औसत से कम है?
Answer:
(i) विभा का प्रदर्शन छ:माही और वार्षिक में समान रहा, दोनों में 40 अंक हैं।
(ii) चयन का प्रदर्शन छ:माही की तुलना में वार्षिक में सबसे अच्छा रहा क्योंकि उसने वार्षिक परीक्षा में 85 अंक प्राप्त किए, जबकि छ:माही में 50 अंक थे।
(iii) 3 विद्यार्थियों ने वार्षिक परीक्षा में 50 से अधिक अंक प्राप्त किए: चयन (85), विकास (70), और शोभा (70)।
(iv) इस दोहरे दण्ड आलेख में 5 विद्यार्थियों (टीना, विभा, चयन, विकास, शोभा) के वार्षिक एवं अर्धवार्षिक परीक्षा में गणित विषय के प्राप्तांकों के बारे में सूचना दी गई है। यह हमें उनके प्रदर्शन की तुलना करने में मदद करता है।
(v) छ:माही के अंकों का औसत इस प्रकार है:
\( \frac { 55+40+50+40+70 }{ 5 } \)
\( \implies \frac { 255 }{ 5 } = 51 \)
वार्षिक परीक्षा के अंकों का औसत इस प्रकार है:
\( \frac { 60+40+85+70+70 }{ 5 } \)
\( \implies \frac { 325 }{ 5 } = 65 \)
छ:माही के अंकों का औसत 51 है और वार्षिक परीक्षा के अंकों का औसत 65 है। हाँ, छ:माही के अंकों का औसत वार्षिक परीक्षा के औसत से कम है।
In simple words: हमें इस ग्राफ से पता करना है कि किस बच्चे ने दोनों परीक्षाओं में एक जैसे नंबर पाए, किसने वार्षिक में बेहतर किया, कितने बच्चों के नंबर 50 से ज्यादा आए, यह ग्राफ किस बारे में है, और दोनों परीक्षाओं में औसत नंबर कितने हैं और उनकी तुलना करनी है। विभा के नंबर दोनों में एक जैसे थे। चयन ने वार्षिक में बेहतर किया। तीन बच्चों के नंबर 50 से ज्यादा थे।

🎯 Exam Tip: डबल बार ग्राफ (दोहरा दण्ड आलेख) में हमेशा दोनों प्रकार के डेटा (जैसे यहाँ अर्धवार्षिक और वार्षिक) के बार को ध्यान से देखकर तुलना करें। औसत निकालने के लिए सभी अंकों को जोड़कर कुल विद्यार्थियों की संख्या से भाग दें।

 

करो और सीखो

 

Question 1. दी गई सूचनाओं को दर्शाने के लिए अलग-अलग आलेख खींचिए।
(i) नीचे दिए गए तालिका के अनुसार पुस्तकालय के लिए खरीदी गई पुस्तकों का आलेख बनाएँ।

वर्ष20102011201220132014
पुस्तकालय के लिए खरीदी गई पुस्तकें170150190180210

Answer: तालिका में दिए गए आँकड़ों को दण्ड आलेख या रेखा ग्राफ के रूप में दर्शाया जा सकता है। प्रत्येक वर्ष के लिए एक दण्ड बनाकर या बिंदुओं को जोड़कर पुस्तकों की संख्या को दिखा सकते हैं। इस तरह के ग्राफ हमें वर्षों के हिसाब से पुस्तकों की संख्या में बदलाव को आसानी से समझने में मदद करते हैं।
In simple words: इस टेबल में हर साल कितनी किताबें खरीदी गईं, यह दिखाया गया है। हम इसे ग्राफ में दिखा सकते हैं, जिसमें हर साल के लिए एक डंडा बनाएंगे या लाइन खींचेंगे, ताकि पता चले कि कब कितनी किताबें खरीदी गईं।
🎯 Exam Tip: जब वर्षवार डेटा दिया हो, तो समय के साथ बदलाव दिखाने के लिए रेखा ग्राफ (लाइन ग्राफ) बहुत उपयोगी होता है, या अलग-अलग वर्षों के लिए तुलनात्मक दण्ड आलेख (बार ग्राफ) भी बना सकते हैं।

 

Question 1. (ii) नीचे दिए गए तालिका के अनुसार गाँव की जनसंख्या का आलेख बनाएँ।

गाँव का नाममांकड़ीआकोलारावलीयासिवडिया खुर्द
पुरुषों की संख्या1800170018001500
स्त्रियों की संख्या1600170019001600

Answer: तालिका में दिए गए आँकड़ों को दोहरे दण्ड आलेख के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ प्रत्येक गाँव के लिए पुरुषों और स्त्रियों की संख्या को दो अलग-अलग दण्डों द्वारा दिखाया जाएगा। इससे विभिन्न गाँवों में पुरुष और स्त्री जनसंख्या की तुलना करना आसान हो जाएगा।
In simple words: इस टेबल में अलग-अलग गाँवों में कितने पुरुष और कितनी महिलाएं हैं, यह बताया गया है। इसे दिखाने के लिए हम एक ग्राफ बना सकते हैं जिसमें हर गाँव के लिए पुरुषों और महिलाओं के दो अलग-अलग डंडे होंगे, ताकि हम उनकी संख्या की तुलना कर सकें।
🎯 Exam Tip: जब हमें दो अलग-अलग श्रेणियों (जैसे पुरुष और स्त्री) के डेटा की तुलना करनी होती है, तो दोहरा दण्ड आलेख (डबल बार ग्राफ) सबसे उपयुक्त होता है। ध्यान रखें कि दोनों श्रेणियों के बार को अलग-अलग रंगों से दर्शाया जाए।

 

करो और सीखो

 

Question 1. नीचे दिए गए बारम्बारता बंटन सारणी का अध्ययन कीजिए और उनके नीचे दिए हुए प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

वर्ग अन्तरालबारम्बारता
100-15045
150-20025
200-25055
250-300125
300-350140
350-40065
400-45045

(i) वर्ग अन्तरालों की माप क्या है?
(ii) वर्ग अन्तराल 300-350 की उच्च सीमा क्या है?
(iii) किस वर्ग की बारम्बारता सबसे अधिक है?
(iv) किन दो वर्गों की बारम्बारता समान है?
Answer:
(i) वर्ग अन्तरालों की माप \( = 150-100 = 50 \) है। यह वर्ग अन्तराल की निचली और ऊपरी सीमा के बीच का अंतर होता है।
(ii) वर्ग अन्तराल 300-350 की उच्च सीमा 350 है। उच्च सीमा वर्ग अन्तराल की सबसे बड़ी संख्या होती है।
(iii) वर्ग 300-350 की बारम्बारता सबसे अधिक (140) है। इसका मतलब है कि इस वर्ग में सबसे ज्यादा डेटा पॉइंट आते हैं।
(iv) वर्गों 100-150 और 400-450 की बारम्बारता समान (45) है। दोनों वर्गों में डेटा पॉइंट की संख्या बराबर है।
In simple words: हमें इस टेबल से कुछ बातें बतानी हैं। वर्ग अन्तराल की माप उसकी सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का अंतर होती है। उच्च सीमा वर्ग की सबसे बड़ी संख्या होती है। जिस वर्ग के सामने सबसे बड़ी संख्या लिखी है, उसकी बारम्बारता सबसे ज्यादा है। हमें उन वर्गों को भी पहचानना है जिनकी बारम्बारता एक जैसी है।
🎯 Exam Tip: बारम्बारता बंटन सारणी के प्रश्नों को हल करते समय, 'वर्ग अन्तराल', 'उच्च सीमा', 'निम्न सीमा' और 'बारम्बारता' जैसे शब्दों का अर्थ स्पष्ट रूप से समझ लें। वर्ग माप ज्ञात करने के लिए किसी भी वर्ग अन्तराल की ऊपरी सीमा में से निचली सीमा को घटाएँ।

 

Question 2. एक कक्षा के 40 छात्रों ने विज्ञान में 50 में से जो अंक प्राप्त किए वे निम्नानुसार हैं:
38, 35, 44, 30, 30, 33, 38, 40, 35, 45, 48,
40, 35, 45, 38, 35, 44, 33, 40, 42, 45, 38,
35, 33, 34, 37, 47, 49, 37, 47, 40, 31, 38,
43, 31, 37, 41, 38, 45, 40
(i) दिए गए आँकड़ों के वर्ग अन्तराल 30 – 35, 35 - 40, ..... लेकर एक बारम्बारता सारणी बनाइए।
(ii) वर्ग अन्तराल 35 – 40 की वर्ग सीमाएँ क्या हैं?
(iii) वर्ग अन्तराल का वर्ग माप क्या है?
Answer:
(i) बारम्बारता सारणी:

वर्ग अन्तरालमिलान चिह्नबारंबारता
30-35\( \text{III} \text{III} \)8
35-40\( \text{III} \text{III} \text{IIII} \)14
40-45\( \text{III} \text{III} \)10
45-50\( \text{III} \text{III} \)8
योग 40

(ii) वर्ग अन्तराल 35 – 40 की निम्न वर्ग सीमा 35 तथा उच्च वर्ग सीमा 40 है। निम्न सीमा वर्ग की सबसे छोटी संख्या है और उच्च सीमा सबसे बड़ी संख्या है।
(iii) वर्ग अन्तराल का वर्ग माप \( = 35 - 30 = 5 \) है। यह किसी भी वर्ग अन्तराल की चौड़ाई होती है।
In simple words: हमें दिए गए बच्चों के नंबरों से एक टेबल बनानी है, जिसमें नंबरों को ग्रुप में बांटना है और बताना है कि हर ग्रुप में कितने बच्चे हैं। फिर हमें 35 से 40 वाले ग्रुप की सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या बतानी है, और वर्ग माप यानी ग्रुप की चौड़ाई भी बतानी है।
🎯 Exam Tip: बारम्बारता सारणी बनाते समय, मिलान चिह्नों का उपयोग करके डेटा को सावधानीपूर्वक गिनें ताकि कोई गलती न हो। ध्यान दें कि जिस वर्ग अन्तराल की ऊपरी सीमा में कोई मान आता है, उसे अगले वर्ग अन्तराल में गिना जाता है (उदाहरण के लिए, 35 को 35-40 वर्ग में गिना जाएगा, 30-35 में नहीं)।

 

Question 1. इस आयत चित्र के दण्डों से हम बता सकते हैं कि:
(i) कितने परिवारों का खर्च न्यूनतम है?
(ii) कितने परिवारों का खर्च अधिकतम है?
(iii) 4000 रुपए से कम खर्च वाले परिवार कितने हैं?
Answer:
(i) सबसे कम खर्च (Rs. 2000-2500) करने वाले 10 परिवार हैं। यह बार ग्राफ में सबसे छोटा बार है।
(ii) सबसे अधिक खर्च (Rs. 3000-3500) करने वाले 50 परिवार हैं। यह बार ग्राफ में सबसे ऊँचा बार है।
(iii) 4000 रुपए से कम खर्च वाले परिवार निम्न वर्गों के परिवारों की कुल संख्या हैं:
(Rs. 2000-2500) + (Rs. 2500-3000) + (Rs. 3000-3500) + (Rs. 3500-4000)
\( = 10 + 30 + 50 + 40 = 130 \) परिवार। इस वर्ग में वे सभी परिवार शामिल हैं जो 4000 रुपये से कम खर्च करते हैं।
In simple words: इस ग्राफ को देखकर हमें बताना है कि कितने परिवार सबसे कम पैसे खर्च करते हैं, कितने सबसे ज्यादा, और कुल कितने परिवार हैं जो 4000 रुपये से कम खर्च करते हैं। हमने देखा कि 10 परिवार सबसे कम खर्च करते हैं, 50 परिवार सबसे ज्यादा, और 130 परिवार 4000 रुपये से कम खर्च करते हैं।

🎯 Exam Tip: आयत चित्र (हिस्टोग्राम) में, बार की ऊँचाई बारम्बारता दर्शाती है। 'न्यूनतम' या 'अधिकतम' का अर्थ सबसे छोटे या सबसे ऊँचे बार को पहचानना है। 'कम खर्च वाले' परिवारों के लिए, सभी प्रासंगिक बारम्बारताओं को जोड़ें।

 

Question. दिए गए डेटा के लिए कोणों की गणना करें और पाई चार्ट बनाएँ।

मिठाईछात्रों की संख्या (%)सम्पूर्ण का भाग\( 360^\circ \) का भाग
जलेबी40%\( \frac { 40 }{ 100 } = \frac { 2 }{ 5 } \)\( 360^\circ \times \frac { 2 }{ 5 } = 144^\circ \)
लड्डू20%\( \frac { 20 }{ 100 } = \frac { 1 }{ 5 } \)\( 360^\circ \times \frac { 1 }{ 5 } = 72^\circ \)
पेड़ा25%\( \frac { 25 }{ 100 } = \frac { 1 }{ 4 } \)\( 360^\circ \times \frac { 1 }{ 4 } = 90^\circ \)
गुलाब जामुन10%\( \frac { 10 }{ 100 } = \frac { 1 }{ 10 } \)\( 360^\circ \times \frac { 1 }{ 10 } = 36^\circ \)
अन्य5%\( \frac { 5 }{ 100 } = \frac { 1 }{ 20 } \)\( 360^\circ \times \frac { 1 }{ 20 } = 18^\circ \)

Answer: दिए गए डेटा के लिए कोणों की गणना ऊपर की तालिका में दिखाई गई है। इन कोणों का उपयोग करके पाई चार्ट बनाया जा सकता है, जहाँ प्रत्येक मिठाई का हिस्सा कुल वृत्त के प्रतिशत को दर्शाता है।
जलेबी (40%)लड्डू (20%)पेड़ा (25%)गुलाब जामुन (10%)अन्य (5%)In simple words: हमने हर मिठाई के लिए कुल का कितना प्रतिशत हिस्सा है, यह निकाला है। फिर हर प्रतिशत को \( 360^\circ \) से गुणा करके पाई चार्ट में दिखाने के लिए कोण पता किए हैं। इन कोणों का उपयोग करके एक गोल चार्ट बनाया गया है, जो दिखाता है कि कौन सी मिठाई कितनी पसंद की जाती है।
🎯 Exam Tip: पाई चार्ट बनाते समय, प्रत्येक श्रेणी के केंद्रीय कोण की गणना सही ढंग से करना महत्वपूर्ण है। सुनिश्चित करें कि सभी कोणों का योग \( 360^\circ \) हो। प्रत्येक खंड को लेबल करना न भूलें ताकि चार्ट स्पष्ट हो।

 

Question 2. अपने पाँच साथियों के परिवार में सदस्यों की संख्या को लिखें और उसे पाई चार्ट द्वारा दर्शाएँ।
Answer: मेरे पाँच साथियों के परिवार में सदस्यों की संख्या और उसका पाई चार्ट नीचे दिया गया है:

नामसदस्यों की संख्यासम्पूर्ण का भाग\( 360^\circ \) का भाग
अपाला3\( \frac { 3 }{ 12 } = \frac { 1 }{ 4 } \)\( 360^\circ \times \frac { 1 }{ 4 } = 90^\circ \)
मीनू2\( \frac { 2 }{ 12 } = \frac { 1 }{ 6 } \)\( 360^\circ \times \frac { 1 }{ 6 } = 60^\circ \)
विमला1\( \frac { 1 }{ 12 } \)\( 360^\circ \times \frac { 1 }{ 12 } = 30^\circ \)
शालिनी4\( \frac { 4 }{ 12 } = \frac { 1 }{ 3 } \)\( 360^\circ \times \frac { 1 }{ 3 } = 120^\circ \)
सरोज2\( \frac { 2 }{ 12 } = \frac { 1 }{ 6 } \)\( 360^\circ \times \frac { 1 }{ 6 } = 60^\circ \)

कुल सदस्य = \( 3+2+1+4+2 = 12 \)
अपाला (90°)मीनू (60°)विमला (30°)शालिनी (120°)सरोज (60°)In simple words: मैंने अपने दोस्तों के परिवारों में कितने सदस्य हैं, इसकी जानकारी इकट्ठा की है। फिर हर परिवार में सदस्यों की संख्या को प्रतिशत में बदला है और उन प्रतिशत के हिसाब से एक गोल चार्ट (पाई चार्ट) बनाया है। यह चार्ट दिखाता है कि किस दोस्त के परिवार में कितने सदस्य हैं।
🎯 Exam Tip: इस तरह के रचनात्मक प्रश्नों में, आप अपनी पसंद का डेटा उपयोग कर सकते हैं। महत्वपूर्ण यह है कि आप केंद्रीय कोणों की गणना सही ढंग से करें और पाई चार्ट को स्पष्ट रूप से लेबल करें। सभी कोणों का योग \( 360^\circ \) होना चाहिए।

 

करो और सीखो

 

Question 1. रिक्त स्थानों को भरिए –
Answer: दिए गए डेटा के आधार पर रिक्त स्थानों को भरते हुए बारम्बारता सारणी:

उछालों की सं.मिलान चिह्न (H)चित्तों की सं.मिलान चिह्न (T)पटों की सं.
40\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \)22\( \text{III} \text{III} \text{III} \)18
50\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \)23\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{II} \)27
60\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \text{IIII} \)29\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \text{IIII} \)31
70\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \text{IIII} \)33\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \text{II} \)37
80\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \text{IIII} \)38\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \text{II} \)42
90\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \text{IIII} \)44\( \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \text{III} \text{IIII} \)46

In simple words: यह टेबल बताती है कि जब सिक्के को अलग-अलग बार उछाला गया, तो कितनी बार चित्त (हेड) आया और कितनी बार पट (टेल) आया। इसमें खाली जगह भर दी गई है, जिससे हम आसानी से देख सकते हैं कि हर बार उछालने पर क्या परिणाम मिले।
🎯 Exam Tip: मिलान चिह्नों को गिनते समय सावधान रहें और सुनिश्चित करें कि कुल उछालों की संख्या चित्तों की संख्या और पटों की संख्या के योग के बराबर हो। यह एक त्वरित जाँच है जो आपको अपनी गणना की सटीकता सुनिश्चित करने में मदद करती है।

 

करो और सीखो

 

Question 1. जब एक पासे (dice) को फेंका जाता है, तो संभव छः परिणाम क्या है?
Answer: जब एक पासे को फेंका जाता है, तो सम्भव छ: परिणाम 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं। एक पासे पर ये ही अंक होते हैं।
In simple words: जब हम पासा फेंकते हैं, तो 1, 2, 3, 4, 5, या 6 में से कोई भी नंबर आ सकता है।

🎯 Exam Tip: एक सामान्य पासे में 6 फलक होते हैं, इसलिए प्रत्येक फलक पर एक अद्वितीय संख्या होती है, जो 1 से 6 तक होती है। इन सभी संख्याओं को संभावित परिणामों के रूप में सूचीबद्ध करना सुनिश्चित करें।

 

Question 2. जब आप निम्न पहिए को घुमाएंगे, तो सम्भावित परिणाम क्या होंगे? इनकी सूची बनाइए। [यहाँ परिणाम का अर्थ है कि वह त्रिज्यखण्ड जहाँ पर सूचक (Pointer) घुमाने पर रुकेगा।]
Answer: सम्भावित परिणाम P, Q, R और S होंगे। यह इसलिए है क्योंकि पहिए पर केवल यही अक्षर दिए गए हैं, भले ही वे कई बार दोहराए गए हों।
In simple words: पहिए को घुमाने पर हमें P, Q, R, या S में से कोई भी अक्षर मिल सकता है। ये ही वो अलग-अलग चीजें हैं जो आ सकती हैं।

🎯 Exam Tip: संभावित परिणामों की सूची बनाते समय, केवल अद्वितीय परिणामों को सूचीबद्ध करें। यदि कोई परिणाम कई बार आता है, तो उसे एक ही बार गिना जाता है। यह सुनिश्चित करता है कि आप सभी संभावित विशिष्ट आउटकम को कवर करते हैं।

 

Question 3. आपके पास एक थैला है और उसमें भिन्न-भिन्न रंगों की सात एक जैसी गेंदें हैं। आप बिना देखे इसमें से एक गेंद निकालते हैं। प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिए।
Answer: यदि थैले में सात भिन्न-भिन्न रंगों की गेंदें हैं और प्रत्येक गेंद एक अद्वितीय रंग की है, तो एक गेंद निकालने पर प्राप्त होने वाले परिणाम वे सात रंग होंगे। यदि हम दिए गए संदर्भ से अक्षरों को रंगों के रूप में मानते हैं, तो परिणाम P, Q, R, S, T, U और V होंगे। यह सभी संभावित अद्वितीय परिणाम हैं।
In simple words: अगर थैले में अलग-अलग रंगों की सात गेंदें हैं और हम एक गेंद निकालते हैं, तो हमें सातों रंगों में से कोई भी रंग मिल सकता है।

🎯 Exam Tip: जब सभी वस्तुएं अद्वितीय होती हैं (जैसे भिन्न-भिन्न रंगों की गेंदें), तो प्रत्येक वस्तु एक संभावित परिणाम होती है। सुनिश्चित करें कि आप सभी अद्वितीय वस्तुओं को परिणामों की सूची में शामिल करें।

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