NCERT Solutions for Class 8 Mathematics: Chapter 12 रैखिक आलेख
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Practice Class 8 Mathematics Solutions: Chapter 12 रैखिक आलेख
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प्रश्न 1. नीचे दिए आलेख 12.5 को देखकर रिक्त स्थानों में लिखिए
(i) बिन्दु M की x-अक्ष से दूरी .......... इकाई है।
(ii) बिन्दु M की y-अक्ष से दूरी .......... इकाई है।
(iii) बिन्दु N की y-अक्ष से दूरी .......... इकाई है।
(iv) बिन्दु T .......... चतुर्थांश में अंकित है।
(v) बिन्दु T की x-अक्ष से दूरी .......... इकाई है।
Answer:
(i) बिन्दु M की x-अक्ष से दूरी 3 इकाई है।
(ii) बिन्दु M की y-अक्ष से दूरी 2 इकाई है।
(iii) बिन्दु N की y-अक्ष से दूरी 3 इकाई है।
(iv) बिन्दु T चतुर्थ चतुर्थांश में अंकित है।
(v) बिन्दु T की x-अक्ष से दूरी 4 इकाई है। बिंदु T को \( (4, -3) \) के रूप में दर्शाया गया है, इसलिए इसकी x-अक्ष से दूरी 4 इकाई है।
In simple words: ग्राफ में बिंदुओं की स्थिति को देखकर, हमें x-अक्ष और y-अक्ष से उनकी दूरी बतानी है। यह भी देखना है कि कौन सा बिंदु किस चतुर्थांश में है।
🎯 Exam Tip: दूरी बताते समय हमेशा धनात्मक मान का प्रयोग करें, भले ही बिंदु ऋणात्मक अक्ष पर स्थित हो।
प्रश्न 2. नीचे दिए आलेख 12.6 को देखकर रिक्त स्थानों में लिखिए और निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(i) बिन्दु P का भुज .......... और कोटि .......... है अतः P के निर्देशांक (...., ....) हैं।
(ii) बिन्दु Q का भुज .......... और कोटि .......... है अतः Q के निर्देशांक (...., ....) हैं।
(iii) बिन्दु R का x निर्देशांक .......... और y निर्देशांक .......... है, अतः R के निर्देशांक (...., ....) हैं।
(iv) बिन्दु S का x निर्देशांक .......... और y निर्देशांक .......... है अतः S के निर्देशांक (...., ....) हैं।
Answer:
(i) बिन्दु P का भुज 2 और कोटि 1 है। अतः P के निर्देशांक \( (2, 1) \) हैं।
(ii) बिन्दु Q का भुज -3 और कोटि 2 है अतः Q के निर्देशांक \( (-3, 2) \) हैं।
(iii) बिन्दु R का x निर्देशांक -4 और y निर्देशांक -3 है, अतः R के निर्देशांक \( (-4, -3) \) हैं।
(iv) बिन्दु S का x निर्देशांक 3 और y निर्देशांक -2 है। अतः S के निर्देशांक \( (3, -2) \) हैं। प्रत्येक बिंदु की स्थिति को देखकर, हम x-अक्ष और y-अक्ष पर उसके संगत मानों को निर्धारित करते हैं।
In simple words: ग्राफ देखकर हर बिंदु का x और y मान पता करें। x मान को भुज और y मान को कोटि कहते हैं। फिर उन्हें \( (भुज, कोटि) \) के रूप में लिखें।
🎯 Exam Tip: निर्देशांक लिखते समय हमेशा पहले x-निर्देशांक (भुज) और फिर y-निर्देशांक (कोटि) लिखें।
प्रश्न 3. निम्न बिन्दुओं को वर्गोंकित कागज पर अंकित कीजिए और जाँचिए कि क्या वे सभी एक सरल रेखा पर स्थित हैं ?
(i) A(1, 1); B(1, 2); C(1, 3); D(1, 4)
(ii) K(1, 3); L(5, 3); M(5, 5); N(1, 5)
(iii) P(2, 6); Q(5,5); Y(5, 3); Z(6, 3)
Answer:
(i) बिन्दुओं A(1, 1), B(1, 2), C(1, 3), D(1, 4) को ग्राफ पेपर पर अंकित करने पर, हाँ, वे सभी एक सरल रेखा पर स्थित हैं। यह रेखा y-अक्ष के समानांतर है क्योंकि सभी बिंदुओं का x-निर्देशांक 1 है।
(ii) बिन्दुओं K(1, 3), L(5, 3), M(5, 5), N(1, 5) को ग्राफ पेपर पर अंकित करने पर, नहीं, वे सभी एक सरल रेखा पर स्थित नहीं हैं। वे एक आयत बनाते हैं, जिसका मतलब है कि वे एक सीधी रेखा में नहीं हैं।
(iii) बिन्दुओं P(2, 6), Q(5, 5), Y(5, 3), Z(6, 3) को ग्राफ पेपर पर अंकित करने पर, नहीं, वे सभी एक सरल रेखा पर स्थित नहीं हैं। ये बिंदु एक चतुर्भुज बनाते हैं।
In simple words: दिए गए बिंदुओं को ग्राफ पर बनाएं। अगर सारे बिंदु एक सीधी लाइन में आएं, तो वे एक सरल रेखा पर हैं। अगर वे टेढ़े-मेढ़े हों या कोई आकार बनाएं, तो वे सरल रेखा पर नहीं हैं।
🎯 Exam Tip: बिंदुओं को ग्राफ पर सही ढंग से अंकित करना महत्वपूर्ण है। एक सरल रेखा पर स्थित होने के लिए, बिंदुओं को एक ही पैटर्न में बढ़ना या घटना चाहिए।
प्रश्न 4. ग्राफ पेपर पर निम्नलिखित आलेख 12.7 बनाकर नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर लिखिए।
(i) समान्तर चतुर्भुज ABCD के शीर्षों के निर्देशांक लिखिए तथा भुजा AB तथा DC की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
(ii) त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए तथा आधार PQ की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) आलेख 12.7 से समान्तर चतुर्भुज ABCD के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
A \( (1, 4) \)
B \( (5, 4) \)
C \( (6, 8) \)
D \( (2, 8) \)
भुजा AB की लम्बाई ज्ञात करने के लिए, हम x-निर्देशांकों में अंतर देखते हैं क्योंकि y-निर्देशांक समान है: \( |5 - 1| = 4 \) इकाई।
भुजा DC की लम्बाई ज्ञात करने के लिए, हम x-निर्देशांकों में अंतर देखते हैं क्योंकि y-निर्देशांक समान है: \( |6 - 2| = 4 \) इकाई। एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाएँ समानांतर और समान लंबाई की होती हैं।
(ii) त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
P \( (1, 1) \)
Q \( (4, 1) \)
R \( (1, 3) \)
आधार PQ की लम्बाई ज्ञात करने के लिए, हम x-निर्देशांकों में अंतर देखते हैं क्योंकि y-निर्देशांक समान है: \( |4 - 1| = 3 \) इकाई।
In simple words: ग्राफ में दिखाए गए आकारों (समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुज) के कोनों के x और y मान पता करें। फिर, उन कोनों से बनी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें। अगर दो बिंदुओं का y-निर्देशांक एक जैसा हो, तो उनकी दूरी x-निर्देशांकों के अंतर से मिलेगी।
🎯 Exam Tip: किसी क्षैतिज रेखा खंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए x-निर्देशांकों का अंतर लें, और किसी ऊर्ध्वाधर रेखा खंड की लंबाई ज्ञात करने के लिए y-निर्देशांकों का अंतर लें।
प्रश्न 5. प्रत्येक कथन के सामने सत्य या असत्य लिखिए।
(i) ग्राफ पेपर पर बिन्दु की स्थिति को संख्या युग्म द्वारा दर्शाया जाता है।
(ii) रैखिक आलेख समय के अन्तरालों के साथ आँकड़ों में परिवर्तन दर्शाता है।
(iii) कोई बिन्दु जिसका x – निर्देशांक शुन्य है तथा y – निर्देशांक शुन्य नहीं है, वह y – अक्ष पर स्थित होता है।
(iv) कोई बिन्दु जिसको y – निर्देशांक शून्य है तथा x – निर्देशांक 5 है, वह y अक्ष पर स्थित होगा।
(v) मूल बिन्दु के निर्देशांक \( (1, 1) \) होते हैं।
Answer:
(i) सत्य। ग्राफ पेपर पर किसी भी बिन्दु की जगह को हम हमेशा दो संख्याओं \( (x, y) \) के जोड़े से दिखाते हैं।
(ii) सत्य। रैखिक आलेख समय के साथ किसी चीज में आने वाले बदलाव को सीधी रेखाओं या बिंदुओं से जोड़कर दिखाता है।
(iii) सत्य। अगर x का मान शून्य है \( (x=0) \) और y का मान शून्य नहीं है, तो बिंदु हमेशा y-अक्ष पर होगा। जैसे \( (0, 5) \) या \( (0, -2) \)।
(iv) असत्य। अगर y-निर्देशांक शून्य है और x-निर्देशांक 5 है, तो बिंदु \( (5, 0) \) x-अक्ष पर स्थित होगा, y-अक्ष पर नहीं।
(v) असत्य। मूल बिन्दु के निर्देशांक हमेशा \( (0, 0) \) होते हैं, न कि \( (1, 1) \)।
In simple words: हमें यह बताना है कि ग्राफ और निर्देशांक से जुड़े दिए गए वाक्य सही हैं या गलत। बिंदु को \( (x, y) \) से दिखाते हैं। समय के साथ बदलाव दिखाने के लिए रैखिक ग्राफ बनाते हैं। मूल बिंदु \( (0, 0) \) होता है।
🎯 Exam Tip: निर्देशांक ज्यामिति के मूल सिद्धांतों को समझना महत्वपूर्ण है, जैसे कि निर्देशांक कैसे दर्शाए जाते हैं और अक्षों पर बिंदुओं की स्थिति।
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