Step-by-Step Textbook Solutions for Class 8 Mathematics Chapter 10 गुणनखण्ड
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प्रश्न 1. दिए हुए पदों में सार्व गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 12x, 36
(ii) 14pq, 28p²q²
(iii) 6abc, 24ab², 12a²b
(iv) 16x³, -4x², 32x
(v) 10pq, 20qr, 30rp
(vi) 3x²y³, 10x²y², 6x²y²z
Answer:
(i) 12x और 36 के गुणनखण्ड इस प्रकार हैं:
\( 12x = 2 \times 2 \times 3 \times x \)
\( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
इनमें जो संख्याएँ या अक्षर दोनों में एक जैसे हैं, वे ही सार्व गुणनखण्ड हैं।
\( \implies \) सार्व गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
(ii) 14pq और 28p²q² के गुणनखण्ड:
\( 14pq = 2 \times 7 \times p \times q \)
\( 28p^2q^2 = 2 \times 2 \times 7 \times p \times p \times q \times q \)
दोनों में समान संख्याएँ और अक्षर मिलकर सार्व गुणनखण्ड बनाते हैं। किसी भी पद के सबसे छोटे घटक उसके अभाज्य गुणनखण्ड होते हैं।
\( \implies \) सार्व गुणनखण्ड \( = 2 \times 7 \times p \times q = 14pq \)
(iii) 6abc, 24ab² और 12a²b के गुणनखण्ड:
\( 6abc = 2 \times 3 \times a \times b \times c \)
\( 24ab^2 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times a \times b \times b \)
\( 12a^2b = 2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times b \)
तीनों में जो संख्याएँ और अक्षर समान हैं, उन्हें गुणा करें। सभी पदों में साझा होने वाले कारकों को एक साथ गुणा किया जाता है।
\( \implies \) सार्व गुणनखण्ड \( = 2 \times 3 \times a \times b = 6ab \)
(iv) 16x³, -4x², 32x के गुणनखण्ड:
\( 16x^3 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times x \times x \times x \)
\( -4x^2 = (-1) \times 2 \times 2 \times x \times x \)
\( 32x = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times x \)
इनमें से सभी पदों में मौजूद सामान्य गुणनखण्डों को पहचानें। यहाँ, एक नकारात्मक पद भी है, लेकिन केवल धनात्मक साझा कारक लिए जाते हैं।
\( \implies \) सार्व गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times x = 4x \)
(v) 10pq, 20qr, 30rp का हल दिए गए पाठ में उपलब्ध नहीं है।
(vi) 3x²y³, 10x²y², 6x²y²z का हल दिए गए पाठ में उपलब्ध नहीं है।
In simple words: सार्व गुणनखण्ड का मतलब है कि दी गई संख्याओं या व्यंजकों में कौन-कौन से छोटे-छोटे हिस्से एक जैसे हैं। हम हर पद को छोटे गुणा के हिस्सों में तोड़ते हैं और फिर देखते हैं कि कौन से हिस्से सभी में समान हैं। यह संख्याओं को सरल बनाने में मदद करता है।
🎯 Exam Tip: सार्व गुणनखण्ड ज्ञात करते समय, हर पद के सभी अभाज्य गुणनखण्डों और चरों को अलग-अलग लिखें। फिर उन सभी गुणनखण्डों को चुनें जो हर पद में मौजूद हों और उन्हें गुणा करें। चरों के लिए, सबसे कम घात वाले चर को चुनें।
प्रश्न 2. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए (सार्व गुणनखण्ड द्वारा)
(i) 6p - 12
(ii) 7a² + 14a
(iii) 10a² - 15b² + 20c²
(iv) ax²y + bxy² + cxyz.
(v) x²yz + xy²z + xyz²
(vi) - 16z +20z²
Answer:
(i) व्यंजक \( 6p - 12 \) को देखें।
दोनों पदों में से सबसे बड़ा सार्व गुणनखण्ड 6 है।
\( \implies 6p - 12 = 6 (p - 2) \)
इस तरह, हमने 6 को बाहर निकालकर व्यंजक को सरल किया। यह गुणनखण्ड निकालने का सबसे पहला कदम है।
(ii) व्यंजक \( 7a^2 + 14a \) को देखें।
दोनों पदों में 7 और 'a' सार्व गुणनखण्ड हैं।
\( \implies 7a^2 + 14a = 7a (a + 2) \)
हमने सामान्य पद \( 7a \) को बाहर निकालकर व्यंजक को सरल किया। यह व्यंजक के दोनों हिस्सों में मौजूद सबसे बड़ा साझा कारक है।
(iii) व्यंजक \( 10a^2 - 15b^2 + 20c^2 \) को देखें।
सभी पदों में सार्व गुणनखण्ड 5 है।
\( \implies 10a^2 - 15b^2 + 20c^2 = 5 (2a^2 - 3b^2 + 4c^2) \)
इस प्रकार, 5 को एक सामान्य गुणक के रूप में बाहर निकाला गया। यह व्यंजक को समझना और आगे गणना करना आसान बनाता है।
(iv) व्यंजक \( ax^2y + bxy^2 + cxyz \) को देखें।
सभी पदों में 'x' और 'y' सार्व गुणनखण्ड हैं।
\( \implies ax^2y + bxy^2 + cxyz = xy (ax + by + cz) \)
प्रत्येक पद में से सामान्य पद \( xy \) को बाहर निकाला गया है। जब हम समान चरों को बाहर निकालते हैं, तो उनकी घात कम हो जाती है।
(v) व्यंजक \( x^2yz + xy^2z + xyz^2 \) को देखें।
सभी पदों में 'x', 'y' और 'z' सार्व गुणनखण्ड हैं।
\( \implies x^2yz + xy^2z + xyz^2 = xyz (x + y + z) \)
किसी भी व्यंजक को सरल करने के लिए सार्व गुणनखण्ड निकालना एक महत्वपूर्ण कदम है। यह बड़े व्यंजकों को छोटे, प्रबंधनीय हिस्सों में तोड़ता है।
(vi) व्यंजक \( -16z + 20z^2 \) का हल दिए गए पाठ में उपलब्ध नहीं है।
In simple words: गुणनखण्ड करने का मतलब है कि किसी बड़े बीजगणितीय व्यंजक को छोटे-छोटे व्यंजकों के गुणा के रूप में लिखना। हम इसमें उन पदों को ढूंढते हैं जो सभी हिस्सों में एक जैसे हों और उन्हें बाहर निकाल लेते हैं।
🎯 Exam Tip: सार्व गुणनखण्ड करते समय, सबसे बड़े सामान्य कारक (Greatest Common Factor - GCF) को पहचानना महत्वपूर्ण है, जिसमें संख्यात्मक गुणांक और चर दोनों शामिल हों। हमेशा जांचें कि क्या आपने सभी सामान्य कारकों को बाहर निकाला है।
प्रश्न 3. गुणनखण्ड कीजिए (समूहन द्वारा)
(i) 2xy + 3 + 2y + 3x
(ii) z - 7 - 7xy + xyz
(iii) 6ry - 4y + 6 - 9x
(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
Answer:
(i) व्यंजक \( 2xy + 3 + 2y + 3x \) को समूह में विभाजित करें:
पदों को पुनर्व्यवस्थित करके समान कारक वाले समूहों को एक साथ लाएँ:
\( 2xy + 2y + 3x + 3 \)
पहले दो पदों से \( 2y \) को और आखिरी दो पदों से 3 को सार्व गुणनखण्ड के रूप में बाहर निकालें:
\( \implies 2y (x + 1) + 3 (x + 1) \)
अब \( (x + 1) \) दोनों पदों में सार्व गुणनखण्ड है, इसे बाहर निकालें:
\( \implies (x + 1) (2y + 3) \)
समूहन विधि व्यंजक के पदों को फिर से व्यवस्थित करके सामान्य कारक खोजने में मदद करती है।
(ii) व्यंजक \( z - 7 - 7xy + xyz \) को समूह में विभाजित करें:
पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:
\( z - 7 + xyz - 7xy \)
पहले दो पदों से 1 को और आखिरी दो पदों से \( xy \) को सार्व गुणनखण्ड के रूप में बाहर निकालें:
\( \implies 1 (z - 7) + xy (z - 7) \)
अब \( (z - 7) \) दोनों पदों में सार्व गुणनखण्ड है, इसे बाहर निकालें:
\( \implies (z - 7) (1 + xy) \) या \( (xy + 1)(z - 7) \)
सावधानी से पदों का समूहन करने से गुणनखण्ड आसानी से मिल जाते हैं। यह प्रक्रिया बीजगणित में बहुत उपयोगी है।
(iii) व्यंजक \( 6ry - 4y + 6 - 9x \) को समूह में विभाजित करें:
पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:
\( 6xy - 4y - 9x + 6 \)
पहले दो पदों से \( 2y \) को और आखिरी दो पदों से \(-3\) को सार्व गुणनखण्ड के रूप में बाहर निकालें:
\( \implies 2y (3x - 2) - 3 (3x - 2) \)
अब \( (3x - 2) \) दोनों पदों में सार्व गुणनखण्ड है, इसे बाहर निकालें:
\( \implies (3x - 2) (2y - 3) \)
पदों को सही ढंग से समूहित करके और साझा कारकों को निकालकर गुणनखण्ड करना सीखें। नकारात्मक चिह्नों का ध्यान रखना महत्वपूर्ण है।
(iv) व्यंजक \( 15pq + 15 + 9q + 25p \) को समूह में विभाजित करें:
पदों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि सामान्य कारक आसानी से दिखें।
\( 15pq + 9q + 25p + 15 \)
पहले दो पदों से \( 3q \) को और आखिरी दो पदों से 5 को सार्व गुणनखण्ड के रूप में बाहर निकालें:
\( \implies 3q (5p + 3) + 5 (5p + 3) \)
अब \( (5p + 3) \) दोनों पदों में सार्व गुणनखण्ड है, इसे बाहर निकालें:
\( \implies (5p + 3) (3q + 5) \)
गुणनखण्ड विधि का अभ्यास करने से बीजगणितीय समस्याओं को हल करने में बहुत मदद मिलती है। यह विधि बड़े व्यंजकों को छोटे, हल करने योग्य हिस्सों में तोड़ती है।
In simple words: समूहन द्वारा गुणनखण्ड करने का मतलब है कि जब किसी बड़े व्यंजक में चार या अधिक पद हों, तो हम उन्हें दो-दो के समूह में बाँट देते हैं। फिर हर समूह से सार्व गुणनखण्ड निकालते हैं। अगर दोनों समूहों के अंदर के पद एक जैसे हों, तो हम उन्हें फिर से एक साथ सार्व गुणनखण्ड के रूप में बाहर निकाल लेते हैं।
🎯 Exam Tip: समूहन द्वारा गुणनखण्ड करते समय, पदों को ऐसे व्यवस्थित करें कि पहले और दूसरे समूह में एक ही प्रकार का गुणनखंड कोष्ठक में आए। यदि कोष्ठक वाले पद समान न हों, तो पदों को अलग तरह से समूहित करने का प्रयास करें।
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