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Question 1. विलोकनम् विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए: 169
Answer:
(i) संख्या 169 का इकाई अंक 9 है। अतः यह एक पूर्ण वर्ग संख्या हो सकती है। (ii) 169 का बीजांक \( = 1 + 6 + 9 = 16 \) है, जो कि एक पूर्ण वर्ग संख्या है। वर्गमूल का अंतिम अंक 1 या 3 होगा। दहाई अंक के लिए, 1 का वर्गमूल 1 होता है, इसलिए दहाई अंक 1 होगा। इस प्रकार, 169 का वर्गमूल 13 होगा। यह विलोकनम् विधि से वर्गमूल निकालने का एक सरल तरीका है।
In simple words: 169 का इकाई अंक 9 है, तो यह पूर्ण वर्ग है। इसके अंकों को जोड़ने पर 16 आता है, जो भी पूर्ण वर्ग है। अंतिम अंक 1 या 3 और दहाई अंक 1 होगा, जिससे वर्गमूल 13 बनता है।
🎯 Exam Tip: विलोकनम् विधि में, इकाई अंक और अंकों के योग (बीजांक) से पूर्ण वर्ग की संभावना का आकलन करें।
Question 2. विलोकनम् विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए: 324
Answer:
(i) संख्या 324 का इकाई अंक 4 है। अतः यह एक पूर्ण वर्ग संख्या हो सकती है। (ii) 324 का बीजांक \( = 3 + 2 + 4 = 9 \) है, जो कि एक पूर्ण वर्ग है। (iii) इस संख्या के वर्गमूल में दो अंक होंगे। (iv) 324 में दाहिनी ओर से दो-दो अंकों के जोड़े बनाने पर, दूसरा जोड़ा 3 है। 3 से पहले का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल 1 है (\( 1^2 = 1 \))। अतः वर्गमूल का दहाई अंक 1 होगा। (v) संख्या का इकाई अंक 4 है, तो वर्गमूल का इकाई अंक 2 या 8 होगा। इन गणनाओं के आधार पर, 324 का वर्गमूल 18 होगा। विलोकनम् विधि में इकाई और दहाई अंक का अनुमान लगाना महत्वपूर्ण है।
In simple words: 324 का इकाई अंक 4 है और बीजांक 9 है। इसके वर्गमूल में दो अंक होंगे। दाहिनी ओर से जोड़े बनाने पर, दहाई अंक 1 होगा और इकाई अंक 2 या 8 होगा, इसलिए वर्गमूल 18 है।
🎯 Exam Tip: दो अंकों के जोड़े बनाकर, दहाई अंक का अनुमान लगाएं और फिर इकाई अंक की संभावनाओं का उपयोग करें।
Question 3. विलोकनम् विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए: 576
Answer:
(i) संख्या 576 का इकाई अंक 6 है। अतः यह एक पूर्ण वर्ग संख्या हो सकती है। (ii) 576 का बीजांक \( = 5 + 7 + 6 = 18 \) है, जो पूर्ण वर्ग नहीं है। (iii) इस संख्या के वर्गमूल में दो अंक होंगे। (iv) संख्या 576 के दाहिनी ओर से दो-दो अंकों के जोड़े बनाने पर, दूसरा जोड़ा 5 है। 5 से पहले का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल 2 है (\( 2^2 = 4 \))। अतः वर्गमूल का दहाई अंक 2 होगा। (v) संख्या का इकाई अंक 6 है, तो वर्गमूल का इकाई अंक 4 या 6 होगा। दहाई अंक 2 और इकाई अंक 4 या 6 को देखकर, 576 का वर्गमूल 24 है। बीजांक की जांच से संख्या के पूर्ण वर्ग होने की पुष्टि होती है।
In simple words: 576 का इकाई अंक 6 है और बीजांक 18 है। वर्गमूल में दो अंक होंगे। दहाई अंक 2 और इकाई अंक 4 या 6 होगा। इसलिए, 576 का वर्गमूल 24 है।
🎯 Exam Tip: यदि बीजांक पूर्ण वर्ग नहीं है, तो भी संख्या का वर्गमूल मौजूद हो सकता है, इसलिए सभी चरणों का पालन करें।
Question 4. विलोकनम् विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए: 2025
Answer:
(i) 2025 को दो-दो अंकों के जोड़े में बांटने पर, पहला जोड़ा 25 और दूसरा जोड़ा 20 है। (ii) पहले जोड़े (25) का अंतिम अंक 5 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक भी 5 होगा। (iii) 20 से पहले की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल 4 है (क्योंकि \( 4^2 = 16 \) और \( 5^2 = 25 \))। इसलिए, वर्गमूल का दहाई अंक 4 होगा। इस प्रकार, 2025 का वर्गमूल 45 होगा। यह विधि बड़ी संख्याओं का वर्गमूल तेजी से निकालने में मदद करती है।
In simple words: 2025 को 25 और 20 के जोड़े में बांटा। 25 का अंतिम अंक 5 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक भी 5 होगा। 20 से पहले सबसे बड़ा वर्गमूल 4 है, तो दहाई अंक 4 होगा। इस तरह 2025 का वर्गमूल 45 है।
🎯 Exam Tip: जब इकाई अंक 5 हो, तो वर्गमूल का इकाई अंक हमेशा 5 ही होगा, जिससे गणना सरल हो जाती है।
Question 5. विलोकनम् विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए: 3025
Answer:
(i) 3025 को दो-दो अंकों के जोड़े में बांटने पर, पहला जोड़ा 25 और दूसरा जोड़ा 30 है। (ii) पहले जोड़े (25) का अंतिम अंक 5 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक भी 5 होगा। (iii) 30 से पहले की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल 5 है (क्योंकि \( 5^2 = 25 \) और \( 6^2 = 36 \))। इसलिए, वर्गमूल का दहाई अंक 5 होगा। इस प्रकार, 3025 का वर्गमूल 55 होगा। इकाई अंक 5 होने पर, वर्गमूल का इकाई अंक हमेशा 5 ही रहता है।
In simple words: 3025 को 25 और 30 के जोड़ों में देखा। 25 का अंतिम अंक 5 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 5 है। 30 से पहले का सबसे बड़ा वर्गमूल 5 है, तो दहाई अंक 5 होगा। इस तरह 3025 का वर्गमूल 55 है।
🎯 Exam Tip: 25 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्गमूल हमेशा 5 पर समाप्त होगा।
Question 6. विलोकनम् विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए: 9025
Answer:
(i) 9025 को दो-दो अंकों के जोड़े में बांटने पर, पहला जोड़ा 25 और दूसरा जोड़ा 90 है। (ii) पहले जोड़े (25) का अंतिम अंक 5 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक भी 5 होगा। (iii) 90 से पहले की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल 9 है (क्योंकि \( 9^2 = 81 \) और \( 10^2 = 100 \))। इसलिए, वर्गमूल का दहाई अंक 9 होगा। इस प्रकार, 9025 का वर्गमूल 95 होगा। यह तरीका बड़ी संख्याओं के लिए भी उतना ही प्रभावी है।
In simple words: 9025 को 25 और 90 के जोड़े में बांटा। 25 का अंतिम अंक 5 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 5 होगा। 90 से पहले सबसे बड़ा वर्गमूल 9 है, तो दहाई अंक 9 होगा। इस तरह 9025 का वर्गमूल 95 है।
🎯 Exam Tip: बड़े अंकों वाली संख्याओं के लिए भी यही प्रक्रिया दोहराएं, जिससे वर्गमूल आसानी से ज्ञात किया जा सके।
Question 7. विलोकनम् विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए: 1024
Answer:
(i) 1024 को दो-दो अंकों के जोड़े में बांटने पर, पहला जोड़ा 24 और दूसरा जोड़ा 10 है। (ii) पहले जोड़े (24) का अंतिम अंक 4 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 2 या 8 हो सकता है। (iii) 10 से पहले की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल 3 है (क्योंकि \( 3^2 = 9 \) और \( 4^2 = 16 \))। इसलिए, वर्गमूल का दहाई अंक 3 होगा। इस प्रकार, संभावित वर्गमूल 32 या 38 हो सकते हैं। (iv) दहाई अंक को उसके एकाधिक से गुणा करें: \( 3 \times (3+1) = 3 \times 4 = 12 \)। चूंकि दूसरा जोड़ा (10) इस गुणनफल (12) से छोटा है (\( 10 < 12 \)), इसलिए वर्गमूल के लिए छोटी संख्या (32) को चुनेंगे। इस प्रकार, 1024 का वर्गमूल 32 होगा। एकाधिकेन पूर्वेण विधि भी इसी प्रकार से दहाई अंक चुनने में मदद करती है।
In simple words: 1024 को 24 और 10 के जोड़ों में बांटा। 24 का अंतिम अंक 4 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 2 या 8 हो सकता है। 10 से पहले सबसे बड़ा वर्गमूल 3 है। तो, संभावित वर्गमूल 32 या 38 हैं। दहाई अंक 3 को उसके अगले अंक 4 से गुणा करने पर 12 आता है। चूंकि 10 (दूसरा जोड़ा) 12 से छोटा है, तो वर्गमूल 32 होगा।
🎯 Exam Tip: जब इकाई अंक के लिए दो विकल्प हों (जैसे 2 या 8), तो दहाई अंक को उसके एकाधिक से गुणा करके सही विकल्प चुनें।
Question 8. विलोकनम् विधि से वर्गमूल ज्ञात कीजिए: 441
Answer:
(i) संख्या 441 का अंतिम अंक 1 है। इसलिए, यह एक पूर्ण वर्ग संख्या हो सकती है। (ii) जब हम 441 को दाहिनी ओर से दो-दो अंकों के जोड़े में बांटते हैं, तो दूसरा जोड़ा 4 बनता है। (iii) 4 से पहले की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल 2 है (क्योंकि \( 2^2 = 4 \))। इसलिए, वर्गमूल का दहाई अंक 2 होगा। (iv) संख्या का अंतिम अंक 1 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 1 या 9 हो सकता है। इस प्रकार, संभावित वर्गमूल 21 या 29 हैं। (v) दहाई अंक को उसके एकाधिक से गुणा करें: \( 2 \times (2+1) = 2 \times 3 = 6 \)। (vi) चूंकि दूसरा जोड़ा (4) इस गुणनफल (6) से छोटा है (\( 4 < 6 \)), इसलिए वर्गमूल के लिए छोटी संख्या (21) को चुनेंगे। इस प्रकार, 441 का वर्गमूल 21 होगा। इस विधि को वैदिक गणित में 'विलोकनम्' कहा जाता है, जिसका अर्थ है 'देखकर हल करना'।
In simple words: 441 का अंतिम अंक 1 है। इसे 4 और 41 के जोड़ों में बांटा। 4 का वर्गमूल 2 है, तो दहाई अंक 2 होगा। अंतिम अंक 1 के कारण वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 हो सकता है। तो, संभावित वर्गमूल 21 या 29 हैं। दहाई अंक 2 को 3 से गुणा करने पर 6 आता है। चूंकि 4 (दूसरा जोड़ा) 6 से छोटा है, तो हम छोटा वर्गमूल 21 चुनते हैं।
🎯 Exam Tip: अंतिम अंक और पहले जोड़े के आधार पर दहाई और इकाई अंकों का सटीक अनुमान लगाकर वर्गमूल ज्ञात करें।
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