RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 5 घात और घातांक Important Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

Question 1. \( 4^2 \) का मान होगा
(a) 16
(b) 15
(c) 18
(d) 4
Answer: (a) 16
In simple words: \( 4^2 \) का मतलब है 4 को 4 से गुणा करना. जब आप 4 को 4 से गुणा करते हैं, तो आपको 16 मिलता है.

🎯 Exam Tip: हमेशा घात (power) का मतलब याद रखें: आधार (base) को उतनी ही बार गुणा करना है जितनी घात में संख्या (exponent) दी गई हो.

Question 2. संख्या 625 को घातांकीय रूप में लिखा जाता है
(a) \( 5^2 \)
(b) \( 5^4 \)
(c) \( 5^6 \)
(d) कोई नहीं।
Answer: (b) \( 5^4 \)
In simple words: 625 को घात के रूप में लिखने के लिए, यह देखना होगा कि 5 को कितनी बार गुणा करने पर 625 आता है. यहाँ 5 को चार बार गुणा करने पर 625 आता है, इसलिए यह \( 5^4 \) होगा.

🎯 Exam Tip: किसी संख्या को घातांकीय रूप में व्यक्त करने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंड करें और देखें कि प्रत्येक गुणनखंड कितनी बार आता है.

Question 3. \( (-1)^3 \) का मान होगा
(a) 1
(b) 0
(c) -1
(d) कोई नहीं।
Answer: (c) -1
In simple words: जब आप -1 को विषम संख्या (जैसे 3) बार गुणा करते हैं, तो उत्तर हमेशा -1 आता है. यह याद रखने का एक आसान नियम है.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक आधार (negative base) वाली घातों (powers) को हल करते समय ध्यान रखें: यदि घात सम (even) है तो उत्तर धनात्मक (positive) होगा, और यदि घात विषम (odd) है तो उत्तर ऋणात्मक (negative) होगा.

Question 4. \( 3^5 \div 3^3 \) का मान होगा
(a) 9
(b) 10
(c) 16
(d) 25
Answer: (a) 9
In simple words: जब आप एक ही आधार वाली संख्याओं को भाग करते हैं, तो उनकी घातों को घटा दिया जाता है. \( 5 - 3 = 2 \), तो \( 3^2 \) बचता है. \( 3 \times 3 \) का मतलब 9 होता है.

🎯 Exam Tip: घातांक के नियमों को याद रखें, जैसे \( a^m \div a^n = a^{m-n} \). यह आपको बड़ी गणनाओं से बचाता है और समय बचाता है.

Question 6. \( (3)^5 \div (2)^5 \) का मान होगा
(a) \( \left(\frac{3}{2}\right)^5 \)
(b) \( \left(\frac{3}{2}\right)^{10} \)
(c) \( \left(\frac{3}{2}\right)^0 \)
(d) कोई नहीं।
Answer: (a) \( \left(\frac{3}{2}\right)^5 \)
In simple words: जब अलग-अलग संख्याओं पर एक जैसी घात हो और उन्हें भाग किया जाए, तो आप उन संख्याओं को भाग करके फिर उस पर वही घात लगा सकते हैं. यहाँ 3 और 2 पर एक ही घात 5 है, तो \( \frac{3}{2} \) पर 5 की घात लगेगी.

🎯 Exam Tip: समान घातांक वाले पदों को भाग करते समय, आधारों को भाग करें और घातांक को वही रखें. यह घातांक का एक महत्वपूर्ण नियम है: \( a^m \div b^m = (a/b)^m \).

Question 7. \( (5 \times 6)^4 \) का मान होगा
(a) \( 5^4 \times 6^4 \)
(b) \( 5^4 \times 6^4 \)
(c) \( 3^4 \times 2^4 \)
(d) कोई नहीं।
Answer: (b) \( 5^4 \times 6^4 \)
In simple words: जब दो संख्याओं के गुणनफल पर कोई घात लगी होती है, तो उस घात को आप अलग-अलग दोनों संख्याओं पर लगा सकते हैं. यहाँ 5 और 6 पर घात 4 लगी है, तो इसे \( 5^4 \) गुणा \( 6^4 \) लिखा जा सकता है.

🎯 Exam Tip: गुणनफल पर घात का नियम याद रखें: \( (a \times b)^m = a^m \times b^m \). यह नियम गुणा और घात को सरल बनाने में मदद करता है.

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिा

Question 1. \( \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \) का घातांक रूप ........ होगा।
Answer: \( \left(\frac{2}{3}\right)^5 \)
In simple words: जब एक ही भिन्न (fraction) को बार-बार गुणा किया जाता है, तो उसे घातांक के रूप में लिखने के लिए उस भिन्न पर घात लगा दी जाती है. यहाँ \( \frac{2}{3} \) को 5 बार गुणा किया गया है, इसलिए घात 5 होगी.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि जब भिन्न पर घात लगाते हैं, तो पूरे भिन्न को कोष्ठक में रखा जाता है ताकि घात अंश और हर दोनों पर लागू हो.

Question 2. \( (10)^0 \) का मान ........ होगा।
Answer: 1
In simple words: गणित का एक नियम है कि किसी भी गैर-शून्य संख्या (जो शून्य न हो) पर अगर घात 0 लगी हो, तो उसका मान हमेशा 1 होता है. 10 पर 0 घात का मतलब भी 1 ही होगा.

🎯 Exam Tip: शून्य घातांक नियम (\( a^0 = 1 \)) को हमेशा याद रखें; यह बहुत उपयोगी है और अक्सर परीक्षाओं में पूछा जाता है.

Question 3. \( 2^2 \times 3^2 \) का प्रसारित रूप ....... होगा।
Answer: \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
In simple words: प्रसारित रूप का मतलब है संख्या को पूरी तरह से खोल कर लिखना. यहाँ 2 की घात 2 है, तो 2 को दो बार गुणा करेंगे (\( 2 \times 2 \)). 3 की घात 2 है, तो 3 को तीन बार गुणा करेंगे (\( 3 \times 3 \)). यह उनके गुणनखंडों को दर्शाता है.

🎯 Exam Tip: प्रसारित रूप लिखते समय, सुनिश्चित करें कि प्रत्येक आधार को उसकी घात के अनुसार सही संख्या में बार लिखा गया हो.

सरल कीजिए

Question 1. सरल कीजिए
(i) \( 2 \times 10^3 \)
(ii) \( 7^2 \times 2^2 \)
(iii) \( 2^3 \times 5 \)
Answer:
(i) \( 2 \times 10^3 = 2 \times 10 \times 10 \times 10 = 2000 \)
(ii) \( 7^2 \times 2^2 = 7 \times 7 \times 2 \times 2 = 196 \)
(iii) \( 2^3 \times 5 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 40 \)
In simple words: सरल करने के लिए, पहले घात वाली संख्याओं को गुणा करें और फिर उन्हें दी गई अन्य संख्याओं से गुणा करें. जैसे \( 10^3 \) का मतलब \( 10 \times 10 \times 10 = 1000 \) होता है, जिसे 2 से गुणा करके 2000 मिलता है. हर भाग में यही तरीका अपनाना होता है.

🎯 Exam Tip: हमेशा PEMDAS/BODMAS जैसे नियमों का पालन करें (पहले कोष्ठक, फिर घात, फिर गुणा/भाग, फिर जोड़/घटाव) ताकि सही परिणाम मिलें.

Question 2. निम्नलिखित को घात के रूप में लिखिए
(i) \( 3^2 \times 3^4 \times 3^8 \)
(ii) \( (5^2)^3 \div 5^3 \)
Answer:
(i) \( 3^2 \times 3^4 \times 3^8 = 3^{2 + 4 + 8} = 3^{14} \)
(ii) \( (5^2)^3 \div 5^3 = (5)^6 \div 5^3 \)
\( \implies 5^{6 - 3} = 5^3 \)
In simple words: (i) एक ही आधार वाली संख्याओं को गुणा करते समय, उनकी घातों को जोड़ दिया जाता है. (ii) जब एक घात पर दूसरी घात हो, तो घातें गुणा हो जाती हैं, और फिर एक ही आधार वाली संख्याओं को भाग करते समय, उनकी घातों को घटा दिया जाता है.

🎯 Exam Tip: घातांक के नियमों को अच्छी तरह से समझें: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) और \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) और \( a^m \div a^n = a^{m-n} \). यह आपको घातों से जुड़े प्रश्नों को जल्दी और सही हल करने में मदद करेंगे.

Question 3. 10 की घातों का प्रयोग करते हुए, घातांकीय रूप में प्रसारित कीजिए
(i) 172
(ii) 5643
Answer:
(i) \( 172 = 1 \times 100 + 7 \times 10 + 2 \times 1 \)
\( \implies 1 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0 \)
(ii) \( 5643 = 5 \times 1000 + 6 \times 100 + 4 \times 10 + 3 \times 1 \)
\( \implies 5 \times 10^3 + 6 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 3 \times 10^0 \)
In simple words: किसी संख्या को 10 की घातों का उपयोग करके प्रसारित करने का मतलब है कि प्रत्येक अंक को उसके स्थान मान (जैसे सैकड़ों, दसियों, इकाइयों) के आधार पर 10 की उचित घात से गुणा करके लिखना. उदाहरण के लिए, 172 में 1 सैकड़ों के स्थान पर है, तो यह \( 1 \times 10^2 \) होगा.

🎯 Exam Tip: स्थान मान (place value) के सिद्धांत को याद रखें; इकाई स्थान \( 10^0 \), दहाई \( 10^1 \), सैकड़ा \( 10^2 \), हजार \( 10^3 \) आदि होता है, जो प्रसारित रूप लिखने में मदद करता है.

लघूत्तरीय प्रश्न

Question 1. निम्न में से बड़ी संख्या को पहचानिए: \( 5^3 \) और \( 3^5 \)
Answer:
\( 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \)
\( 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243 \)
स्पष्टतः \( 243 > 125 \)
अतः \( 3^5 \) बड़ी संख्या है।
In simple words: सबसे पहले दोनों संख्याओं को हल करके उनका पूरा मान निकालें. \( 5^3 \) का मतलब 5 को तीन बार गुणा करना है, जो 125 होता है. \( 3^5 \) का मतलब 3 को पांच बार गुणा करना है, जो 243 होता है. अब दोनों मानों की तुलना करें, 243 बड़ा है, तो \( 3^5 \) बड़ी संख्या है.

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्या की पहचान करने के लिए हमेशा दोनों संख्याओं के मानों की गणना करें और फिर उनकी सीधी तुलना करें.

Question 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक को उनके अभाज्य गुणनखण्डों की घातों में गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 648
(ii) 405
Answer:
(i) 648 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर:
\( 648 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
\( \implies 648 = 2^3 \times 3^4 \)
(ii) 405 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर:
\( 405 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \)
\( \implies 405 = 3^4 \times 5^1 \)
In simple words: किसी भी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों की घातों में लिखने के लिए, सबसे पहले उस संख्या के अभाज्य गुणनखंड (prime factors) निकालें. फिर देखें कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड कितनी बार आता है और उसे घात के रूप में लिखें. यह संख्या को उसके सबसे सरल गुणनफल रूप में दर्शाता है.

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखण्ड करते समय हमेशा सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंड (2, 3, 5, 7...) से शुरू करें और तब तक भाग करते रहें जब तक संख्या 1 न हो जाए.

Question 2. \( a^2 \) को प्रसारित रूप में लिखिए
Answer: \( a^2 = a \times a \)
In simple words: \( a^2 \) का मतलब है 'a' को दो बार गुणा करना. प्रसारित रूप में इसे बस \( a \times a \) के रूप में लिखा जाता है.

🎯 Exam Tip: किसी चर (variable) की घात को प्रसारित करते समय, उस चर को उतनी ही बार गुणा के रूप में लिखें जितनी घात दी गई हो.

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

Question 1. सरल कीजिए
(i) \( \frac{(2^5)^2 \times 7^3}{8^3 \times 7} \)
(ii) \( \frac{25 \times 5^2 \times t^8}{10^3 \times t^4} \)
Answer:
(i) \( \frac{(2^5)^2 \times 7^3}{8^3 \times 7} = \frac{2^{10} \times 7^3}{(2^3)^3 \times 7^1} \)
\( \implies \frac{2^{10} \times 7^3}{2^9 \times 7^1} \)
\( \implies 2^{10-9} \times 7^{3-1} \)
\( \implies 2^1 \times 7^2 = 2 \times 49 = 98 \)
(ii) \( \frac{25 \times 5^2 \times t^8}{10^3 \times t^4} = \frac{5^2 \times 5^2 \times t^8}{(2 \times 5)^3 \times t^4} \)
\( \implies \frac{5^{2+2} \times t^8}{2^3 \times 5^3 \times t^4} \)
\( \implies \frac{5^4 \times t^8}{2^3 \times 5^3 \times t^4} \)
\( \implies 5^{4-3} \times 2^{-3} \times t^{8-4} \)
\( \implies 5^1 \times \frac{1}{2^3} \times t^4 = \frac{5t^4}{8} \)
In simple words: ऐसे सवालों को सरल करने के लिए, पहले सभी संख्याओं को एक ही आधार (जैसे 2, 5, 7) और उनकी घातों में बदलें. फिर घातांक के नियमों का उपयोग करें – जैसे गुणा करते समय घातों को जोड़ना, भाग करते समय घटाना, और घात पर घात होने पर घातों को गुणा करना. अंत में, सभी सरल घातों को हल करके अंतिम संख्यात्मक मान या व्यंजक प्राप्त करें.

🎯 Exam Tip: आधारों को समान बनाने और घातांक के नियमों को सही ढंग से लागू करने पर ध्यान दें. किसी भी ऋणात्मक घात को धनात्मक बनाने के लिए उसे भिन्न के हर में ले जाएं, जैसे \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).

Question 2. निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 5,00,00,000
(ii) 70,00,000
Answer:
(i) \( 5,00,00,000 = 5 \times 10000000 = 5 \times 10^7 \)
(ii) \( 70,00,000 = 7 \times 1000000 = 7 \times 10^6 \)
In simple words: मानक रूप में लिखने के लिए, संख्या को 1 और 10 के बीच की एक संख्या (दशमलव के साथ हो सकती है) और 10 की घात के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है. दशमलव बिंदु को इस तरह से सरकाते हैं कि केवल एक गैर-शून्य अंक दशमलव के बाईं ओर रहे, और जितने स्थान दशमलव सरकाया गया हो, उतनी ही 10 की घात लगाते हैं.

🎯 Exam Tip: मानक रूप में, दशमलव के बाईं ओर केवल एक गैर-शून्य अंक होना चाहिए. दशमलव को दाईं ओर ले जाने पर 10 की घात ऋणात्मक होती है, और बाईं ओर ले जाने पर धनात्मक होती है.

Question 3. 1.8 ग्राम भार वाली पानी की एक बूंद में 60, 230, 000, 000, 000, 000, 000, 000 अणु होते हैं। मानक रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer:
1.8 ग्राम भार वाली बूंद में अणु = 60, 230, 000, 000, 000, 000, 000, 000
मानक रूप में: \( 6.023 \times 10^{22} \)
In simple words: इतनी बड़ी संख्या को मानक रूप में बदलने के लिए, हमें दशमलव को बाईं ओर खिसकाना होगा ताकि पहला अंक 6 हो और उसके बाद दशमलव हो. दशमलव को जितने स्थान खिसकाया जाता है, उतनी ही 10 की घात लगती है. यहाँ दशमलव को 22 स्थान खिसकाया गया है, इसलिए 10 की घात 22 होगी.

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं को मानक रूप में लिखते समय, दशमलव बिंदु को हमेशा पहले गैर-शून्य अंक के ठीक बाद रखें, और फिर 10 की घात गिनें कि दशमलव को कितने स्थान ले जाया गया है.