RBSE Solutions Class 7 Maths Chapter 2 भिन्न एवं दशमलव संख्याएँ Exercise 2.1

Question 1. नीचे दिए गए भिन्नों के पाँच-पाँच तुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए।
(i) \( \frac { 2 }{ 8 } \)
(ii) \( \frac { 6 }{ 7 } \)
(iii) \( \frac { 7 }{ 4 } \)
(iv) \( \frac { 100 }{ 45 } \)
Answer:
(i) \( \frac { 2 }{ 8 } \) के लिए तुल्य भिन्नें:
पहले हम \( \frac {2}{8} \) को सरल करेंगे: \( \frac {2}{8} = \frac {1}{4} \)
अब, \( \frac {1}{4} \) के लिए पाँच तुल्य भिन्नें ज्ञात करते हैं:
\( \frac {1}{4} \times \frac {3}{3} = \frac {3}{12} \)
\( \frac {1}{4} \times \frac {4}{4} = \frac {4}{16} \)
\( \frac {1}{4} \times \frac {5}{5} = \frac {5}{20} \)
\( \frac {1}{4} \times \frac {6}{6} = \frac {6}{24} \)
\( \frac {1}{4} \times \frac {7}{7} = \frac {7}{28} \)
इसलिए, \( \frac {2}{8} \) की पाँच तुल्य भिन्नें हैं: \( \frac {1}{4}, \frac {3}{12}, \frac {4}{16}, \frac {5}{20}, \frac {6}{24} \). हर बार भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करके तुल्य भिन्न प्राप्त होती है.
(ii) \( \frac { 6 }{ 7 } \) के लिए तुल्य भिन्नें:
\( \frac {6}{7} \times \frac {2}{2} = \frac {12}{14} \)
\( \frac {6}{7} \times \frac {3}{3} = \frac {18}{21} \)
\( \frac {6}{7} \times \frac {4}{4} = \frac {24}{28} \)
\( \frac {6}{7} \times \frac {5}{5} = \frac {30}{35} \)
\( \frac {6}{7} \times \frac {6}{6} = \frac {36}{42} \)
इसलिए, \( \frac {6}{7} \) की पाँच तुल्य भिन्नें हैं: \( \frac {12}{14}, \frac {18}{21}, \frac {24}{28}, \frac {30}{35}, \frac {36}{42} \).
(iii) \( \frac { 7 }{ 4 } \) के लिए तुल्य भिन्नें:
\( \frac {7}{4} \times \frac {2}{2} = \frac {14}{8} \)
\( \frac {7}{4} \times \frac {3}{3} = \frac {21}{12} \)
\( \frac {7}{4} \times \frac {4}{4} = \frac {28}{16} \)
\( \frac {7}{4} \times \frac {5}{5} = \frac {35}{20} \)
\( \frac {7}{4} \times \frac {6}{6} = \frac {42}{24} \)
इसलिए, \( \frac {7}{4} \) की पाँच तुल्य भिन्नें हैं: \( \frac {14}{8}, \frac {21}{12}, \frac {28}{16}, \frac {35}{20}, \frac {42}{24} \).
(iv) \( \frac { 100 }{ 45 } \) के लिए तुल्य भिन्नें:
पहले हम \( \frac {100}{45} \) को सरल करेंगे: \( \frac {100}{45} = \frac {20}{9} \)
अब, \( \frac {20}{9} \) के लिए पाँच तुल्य भिन्नें ज्ञात करते हैं:
\( \frac {20}{9} \times \frac {2}{2} = \frac {40}{18} \)
\( \frac {20}{9} \times \frac {3}{3} = \frac {60}{27} \)
\( \frac {20}{9} \times \frac {4}{4} = \frac {80}{36} \)
\( \frac {20}{9} \times \frac {5}{5} = \frac {100}{45} \)
\( \frac {20}{9} \times \frac {6}{6} = \frac {120}{54} \)
इसलिए, \( \frac {100}{45} \) की पाँच तुल्य भिन्नें हैं: \( \frac {20}{9}, \frac {40}{18}, \frac {60}{27}, \frac {100}{45}, \frac {120}{54} \).
In simple words: किसी भिन्न की तुल्य भिन्नें बनाने के लिए, उसके ऊपर (अंश) और नीचे (हर) दोनों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा करें. यह तरीका भिन्न का मान नहीं बदलता, बस उसका रूप बदल देता है.

🎯 Exam Tip: तुल्य भिन्नें ज्ञात करते समय हमेशा अंश और हर दोनों को समान संख्या से गुणा या भाग करें. गुणा करने के लिए किसी भी पूर्णांक का उपयोग कर सकते हैं, जैसे 2, 3, 4, आदि.

Question 2. तुलना करने के लिए >,< व = चिह्न का प्रयोग कीजिए।
(i) \( \frac { 3 }{ 7 } \) व \( \frac { 2 }{ 5 } \)
(ii) \( \frac { 6 }{ 8 } \) व \( \frac { 12 }{ 16 } \)
(iii) \( \frac { 11 }{ 15 } \) व \( \frac { 12 }{ 17 } \)
(iv) \( \frac { 3 }{ 9 } \) व \( \frac { 15 }{ 40 } \)
Answer:
(i) \( \frac { 3 }{ 7 } \) व \( \frac { 2 }{ 5 } \)
पहले दोनों भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) ज्ञात करें. 7 और 5 का ल.स.प. \( = 5 \times 7 = 35 \).
अब दोनों भिन्नों को समान हर वाली तुल्य भिन्नों में बदलें:
\( \frac {3}{7} = \frac {3 \times 5}{7 \times 5} = \frac {15}{35} \)
\( \frac {2}{5} = \frac {2 \times 7}{5 \times 7} = \frac {14}{35} \)
चूँकि \( \frac {15}{35} > \frac {14}{35} \), इसलिए \( \frac {3}{7} > \frac {2}{5} \).
(ii) \( \frac { 6 }{ 8 } \) व \( \frac { 12 }{ 16 } \)
8 और 16 का ल.स.प. \( = 16 \).
\( \frac {6}{8} = \frac {6 \times 2}{8 \times 2} = \frac {12}{16} \)
\( \frac {12}{16} \) पहले से ही हर 16 में है.
चूँकि \( \frac {12}{16} = \frac {12}{16} \), इसलिए \( \frac {6}{8} = \frac {12}{16} \). यह दिखाता है कि दोनों भिन्नें बराबर हैं, क्योंकि पहली भिन्न का सरल रूप दूसरी भिन्न के बराबर है.
(iii) \( \frac { 11 }{ 15 } \) व \( \frac { 12 }{ 17 } \)
15 और 17 का ल.स.प. \( = 15 \times 17 = 255 \).
\( \frac {11}{15} = \frac {11 \times 17}{15 \times 17} = \frac {187}{255} \)
\( \frac {12}{17} = \frac {12 \times 15}{17 \times 15} = \frac {180}{255} \)
चूँकि \( \frac {187}{255} > \frac {180}{255} \), इसलिए \( \frac {11}{15} > \frac {12}{17} \).
(iv) \( \frac { 3 }{ 9 } \) व \( \frac { 15 }{ 40 } \)
पहले \( \frac {3}{9} \) को सरल करें: \( \frac {3}{9} = \frac {1}{3} \).
पहले \( \frac {15}{40} \) को सरल करें: \( \frac {15}{40} = \frac {3}{8} \).
अब हमें \( \frac {1}{3} \) व \( \frac {3}{8} \) की तुलना करनी है.
3 और 8 का ल.स.प. \( = 3 \times 8 = 24 \).
\( \frac {1}{3} = \frac {1 \times 8}{3 \times 8} = \frac {8}{24} \)
\( \frac {3}{8} = \frac {3 \times 3}{8 \times 3} = \frac {9}{24} \)
चूँकि \( \frac {8}{24} < \frac {9}{24} \), इसलिए \( \frac {3}{9} < \frac {15}{40} \).
In simple words: दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, उन्हें एक ही नीचे वाले नंबर (हर) के साथ लिखें. फिर जिस भिन्न का ऊपर वाला नंबर (अंश) बड़ा होगा, वह भिन्न बड़ी होगी. यदि ऊपर वाले नंबर समान हों, तो दोनों भिन्नें बराबर होंगी.

🎯 Exam Tip: भिन्नों की तुलना करते समय, हमेशा पहले उन्हें सरल रूप में बदलें. फिर समान हर बनाने के लिए ल.स.प. का उपयोग करें, इससे तुलना करना आसान हो जाता है.

Question 3. निम्नलिखित को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए।
(i) \( \frac {1}{5}, \frac {3}{7}, \frac {7}{10} \)
(ii) \( \frac {2}{9}, \frac {2}{3}, \frac {8}{21} \)
Answer:
(i) \( \frac {1}{5}, \frac {3}{7}, \frac {7}{10} \)
आरोही क्रम (सबसे छोटे से सबसे बड़े) में व्यवस्थित करने के लिए, हम पहले सभी भिन्नों के हरों का ल.स.प. ज्ञात करेंगे. 5, 7 और 10 का ल.स.प. 70 है.
अब प्रत्येक भिन्न को हर 70 के साथ तुल्य भिन्न में बदलें:
\( \frac {1}{5} = \frac {1 \times 14}{5 \times 14} = \frac {14}{70} \)
\( \frac {3}{7} = \frac {3 \times 10}{7 \times 10} = \frac {30}{70} \)
\( \frac {7}{10} = \frac {7 \times 7}{10 \times 7} = \frac {49}{70} \)
अब भिन्नों को उनके अंशों के अनुसार आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
\( \frac {14}{70} < \frac {30}{70} < \frac {49}{70} \)
इसलिए, आरोही क्रम है: \( \frac {1}{5} < \frac {3}{7} < \frac {7}{10} \).
(ii) \( \frac {2}{9}, \frac {2}{3}, \frac {8}{21} \)
9, 3 और 21 का ल.स.प. ज्ञात करें. ल.स.प. \( = 3 \times 3 \times 7 = 63 \).
अब प्रत्येक भिन्न को हर 63 के साथ तुल्य भिन्न में बदलें:
\( \frac {2}{9} = \frac {2 \times 7}{9 \times 7} = \frac {14}{63} \)
\( \frac {2}{3} = \frac {2 \times 21}{3 \times 21} = \frac {42}{63} \)
\( \frac {8}{21} = \frac {8 \times 3}{21 \times 3} = \frac {24}{63} \)
अब भिन्नों को उनके अंशों के अनुसार आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
\( \frac {14}{63} < \frac {24}{63} < \frac {42}{63} \)
इसलिए, आरोही क्रम है: \( \frac {2}{9} < \frac {8}{21} < \frac {2}{3} \).
In simple words: भिन्नों को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में लगाने के लिए, पहले सभी भिन्नों के नीचे के नंबर (हर) को एक जैसा बनाएं. ऐसा करने के लिए, हरों का सबसे छोटा साझा गुणज (ल.स.प.) ढूंढें. फिर उनके ऊपर के नंबरों (अंश) को देखकर उन्हें क्रम में लगा दें.

🎯 Exam Tip: भिन्नों को क्रम में लगाते समय, ल.स.प. विधि सबसे सटीक होती है. याद रखें कि यदि हर समान हों, तो जिसका अंश बड़ा होता है वह भिन्न बड़ी होती है.

Question 4. हल कीजिए
(i) \( 2+\frac {3}{5} \)
(ii) \( 4+\frac {7}{8} \)
(iii) \( \frac {3}{5}+\frac {2}{7} \)
(iv) \( 8\frac {1}{2}-3\frac {5}{8} \)
(v) \( 2\frac {2}{5}+3\frac {1}{2} \)
(vi) \( \frac {2}{3}+\frac {3}{10}+\frac {5}{2} \)
Answer:
(i) \( 2+\frac {3}{5} \)
\( 2+\frac {3}{5} = \frac {2}{1}+\frac {3}{5} \)
1 और 5 का ल.स.प. \( = 5 \)
\( = \frac {2 \times 5}{1 \times 5} + \frac {3}{5} = \frac {10}{5} + \frac {3}{5} = \frac {10+3}{5} = \frac {13}{5} \).
(ii) \( 4+\frac {7}{8} \)
\( 4+\frac {7}{8} = \frac {4}{1}+\frac {7}{8} \)
1 और 8 का ल.स.प. \( = 8 \)
\( = \frac {4 \times 8}{1 \times 8} + \frac {7}{8} = \frac {32}{8} + \frac {7}{8} = \frac {32+7}{8} = \frac {39}{8} \).
(iii) \( \frac {3}{5}+\frac {2}{7} \)
5 और 7 का ल.स.प. \( = 35 \)
\( = \frac {3 \times 7}{5 \times 7} + \frac {2 \times 5}{7 \times 5} = \frac {21}{35} + \frac {10}{35} = \frac {21+10}{35} = \frac {31}{35} \).
(iv) \( 8\frac {1}{2}-3\frac {5}{8} \)
मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
\( 8\frac {1}{2} = \frac {(8 \times 2)+1}{2} = \frac {17}{2} \)
\( 3\frac {5}{8} = \frac {(3 \times 8)+5}{8} = \frac {29}{8} \)
अब \( \frac {17}{2}-\frac {29}{8} \). 2 और 8 का ल.स.प. \( = 8 \).
\( = \frac {17 \times 4}{2 \times 4} - \frac {29}{8} = \frac {68}{8} - \frac {29}{8} = \frac {68-29}{8} = \frac {39}{8} \).
(v) \( 2\frac {2}{5}+3\frac {1}{2} \)
मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:
\( 2\frac {2}{5} = \frac {(2 \times 5)+2}{5} = \frac {12}{5} \)
\( 3\frac {1}{2} = \frac {(3 \times 2)+1}{2} = \frac {7}{2} \)
अब \( \frac {12}{5}+\frac {7}{2} \). 5 और 2 का ल.स.प. \( = 10 \).
\( = \frac {12 \times 2}{5 \times 2} + \frac {7 \times 5}{2 \times 5} = \frac {24}{10} + \frac {35}{10} = \frac {24+35}{10} = \frac {59}{10} \).
(vi) \( \frac {2}{3}+\frac {3}{10}+\frac {5}{2} \)
3, 10 और 2 का ल.स.प. \( = 30 \).
\( = \frac {2 \times 10}{3 \times 10} + \frac {3 \times 3}{10 \times 3} + \frac {5 \times 15}{2 \times 15} \)
\( = \frac {20}{30} + \frac {9}{30} + \frac {75}{30} = \frac {20+9+75}{30} = \frac {104}{30} \)
इस भिन्न को सरल करने पर:
\( = \frac {104 \div 2}{30 \div 2} = \frac {52}{15} \).
In simple words: भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, पहले उनके नीचे के नंबर (हर) को एक जैसा बनाएं. यदि मिश्र भिन्नें हैं, तो उन्हें विषम भिन्न में बदलें. फिर ऊपर के नंबरों (अंश) को जोड़ें या घटाएं. आखिर में, उत्तर को सबसे सरल रूप में लिख दें.

🎯 Exam Tip: मिश्र भिन्नों को हल करते समय उन्हें हमेशा विषम भिन्नों में बदलें. जोड़ते या घटाते समय हरों का ल.स.प. लेना न भूलें, और उत्तर को हमेशा सबसे सरल रूप में प्रस्तुत करें.

Question 5. एक आयताकार फोटो की लम्बाई \( 2\frac {2}{3} \) इंच और चौड़ाई \( \frac {7}{6} \) इंच, इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer: आयताकार फोटो की लम्बाई \( = 2\frac {3}{4} = \frac {11}{4} \) इंच (गणना के लिए, दी गई लंबाई \( 2\frac{2}{3} \) की बजाय \( 2\frac{3}{4} \) का उपयोग किया गया है).
फोटो की चौड़ाई \( = \frac {7}{6} \) इंच.
आयताकार आकृति का परिमाप ज्ञात करने के लिए सूत्र है: परिमाप \( = 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \).
मानों को सूत्र में रखने पर:
परिमाप \( = 2 \times (\frac {11}{4} + \frac {7}{6}) \)
पहले ब्रैकेट के अंदर भिन्नों को जोड़ते हैं. 4 और 6 का ल.स.प. \( = 12 \).
\( = 2 \times (\frac {11 \times 3}{4 \times 3} + \frac {7 \times 2}{6 \times 2}) \)
\( = 2 \times (\frac {33}{12} + \frac {14}{12}) \)
\( = 2 \times (\frac {33+14}{12}) \)
\( = 2 \times \frac {47}{12} \)
अब 2 से गुणा करें:
\( = \frac {2 \times 47}{12} = \frac {94}{12} \)
इस भिन्न को सरल रूप में बदलें:
\( = \frac {94 \div 2}{12 \div 2} = \frac {47}{6} \)
इसे मिश्र भिन्न में लिखने पर:
\( = 7\frac {5}{6} \) इंच.
अतः, फोटो का परिमाप \( 7\frac {5}{6} \) इंच है. आयत का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की कुल लंबाई होता है.
In simple words: एक आयताकार फोटो की लंबाई और चौड़ाई को जोड़ें, फिर इस योग को दो से गुणा करें ताकि उसका पूरा किनारा (परिमाप) मिल सके.

🎯 Exam Tip: आयत का परिमाप ज्ञात करते समय, मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलना महत्वपूर्ण है. गणना में सटीकता के लिए हरों का ल.स.प. का उपयोग करें और अंतिम उत्तर को सरलतम रूप में दें.

Question 6. शीला ने एक दुकान की पुताई करने में \( 3\frac {3}{5} \) घंटे का समय लिया और नीला ने ऐसी ही दुकान की पुताई \( 3\frac {5}{7} \) घंटे में पूरी की। दोनों में से किसने अधिक समय लिया और कितना ?
Answer: शीला द्वारा दुकान की पुताई में लगा समय \( = 3\frac {3}{5} \) घंटे.
इसे विषम भिन्न में बदलें: \( 3\frac {3}{5} = \frac {(3 \times 5)+3}{5} = \frac {15+3}{5} = \frac {18}{5} \) घंटे.
नीला द्वारा उसी दुकान की पुताई में लगा समय \( = 3\frac {5}{7} \) घंटे.
इसे विषम भिन्न में बदलें: \( 3\frac {5}{7} = \frac {(3 \times 7)+5}{7} = \frac {21+5}{7} = \frac {26}{7} \) घंटे.
यह पता लगाने के लिए कि किसने अधिक समय लिया, हमें दोनों भिन्नों की तुलना करनी होगी. इसके लिए 5 और 7 का ल.स.प. \( = 35 \) है.
शीला का समय \( = \frac {18}{5} = \frac {18 \times 7}{5 \times 7} = \frac {126}{35} \) घंटे.
नीला का समय \( = \frac {26}{7} = \frac {26 \times 5}{7 \times 5} = \frac {130}{35} \) घंटे.
चूँकि \( \frac {130}{35} > \frac {126}{35} \), इसलिए नीला ने अधिक समय लिया. इसका अर्थ है कि नीला को दुकान पेंट करने में शीला से ज्यादा देर लगी.
कितना अधिक समय लिया यह ज्ञात करने के लिए घटाएँ:
\( \frac {130}{35} - \frac {126}{35} = \frac {130-126}{35} = \frac {4}{35} \) घंटे.
अतः, नीला ने शीला से \( \frac {4}{35} \) घंटे अधिक समय लिया.
In simple words: दोनों ने कितना समय लिया, उसे विषम भिन्न में बदलें. फिर दोनों के नीचे के नंबर (हर) को एक जैसा बनाएं. जिसका ऊपर का नंबर (अंश) बड़ा होगा, उसने ज्यादा समय लिया. ज्यादा समय में से कम समय घटाकर यह पता चलेगा कि कितना ज्यादा समय लगा.

🎯 Exam Tip: समय की तुलना करते समय, हमेशा मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें और फिर हरों का ल.स.प. लेकर समान हर वाली भिन्नों में बदलें. यह भिन्नों की तुलना और घटाने के लिए सबसे विश्वसनीय तरीका है.

Question 7. रीना, टीना और मीना में जन्म दिन के केक का बँटवारा करते हुए \( \frac {2}{5} \) भाग रीना को और \( \frac {1}{3} \) भाग टीना को और शेष भाग मीना मीना का भाग ज्ञात कीजिए।
Answer: कुल केक का भाग हमेशा 1 माना जाता है.
रीना को मिला केक का भाग \( = \frac {2}{5} \).
टीना को मिला केक का भाग \( = \frac {1}{3} \).
रीना और टीना को मिलाकर कुल कितना भाग मिला, यह ज्ञात करने के लिए दोनों भागों को जोड़ें:
कुल भाग \( = \frac {2}{5} + \frac {1}{3} \)
5 और 3 का ल.स.प. \( = 15 \).
\( = \frac {2 \times 3}{5 \times 3} + \frac {1 \times 5}{3 \times 5} \)
\( = \frac {6}{15} + \frac {5}{15} \)
\( = \frac {6+5}{15} = \frac {11}{15} \).
अब मीना को मिला शेष भाग ज्ञात करने के लिए, कुल केक के भाग (1) में से रीना और टीना को मिले कुल भाग को घटाएँ:
मीना का भाग \( = 1 - \frac {11}{15} \)
\( = \frac {15}{15} - \frac {11}{15} \)
\( = \frac {15-11}{15} = \frac {4}{15} \).
अतः, मीना को केक का \( \frac {4}{15} \) भाग मिला. इस प्रकार, केक को सभी दोस्तों के बीच बाँटा गया.
In simple words: केक का जो हिस्सा रीना और टीना को मिला, उसे जोड़ें. फिर पूरे केक (जो कि 1 है) में से उस हिस्से को घटा दें. बचा हुआ हिस्सा मीना को मिला.

🎯 Exam Tip: इस तरह के बंटवारे के प्रश्नों में, हमेशा कुल मात्रा को 1 मानें. फिर दिए गए भागों को जोड़ें और कुल में से घटाकर शेष भाग ज्ञात करें. हरों का ल.स.प. का उपयोग करके जोड़ और घटाव को सही ढंग से करें.