NCERT Solutions for Class 7 Mathematics: Chapter 01 पूर्णाक
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Practice Class 7 Mathematics Solutions: Chapter 01 पूर्णाक
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(पृष्ठ 1)
Question 1. -5 को जोड़ने के लिए संख्या रेखा पर किस ओर जायेंगे ?
Answer: -5 को जोड़ने के लिए संख्या रेखा पर हमें बायीं ओर जाना होगा। जब हम एक ऋणात्मक संख्या जोड़ते हैं, तो संख्या रेखा पर बाईं ओर बढ़ते हैं।
In simple words: -5 जोड़ने के लिए संख्या रेखा पर हम बाईं ओर जाते हैं।
🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर धनात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए दायीं ओर और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए बायीं ओर चला जाता है।
Question 2. 3 में से (-5) को घटाने के लिए संख्या रेखा पर किस ओर जायेंगे तथा किस संख्या पर पहुँचेंगे? \( 3 - (-5) = \)
Answer: 3 में से (-5) को घटाने के लिए हमें संख्या रेखा पर दायीं ओर चलना होगा। इसका मतलब है कि \( 3 - (-5) = 3 + 5 = 8 \) पर पहुँचेंगे। दो ऋणात्मक चिह्नों का एक साथ आना उन्हें धनात्मक बना देता है।
In simple words: 3 में से -5 घटाने के लिए संख्या रेखा पर दायीं ओर चलकर हम 8 पर पहुँचेंगे।
🎯 Exam Tip: जब आप एक ऋणात्मक संख्या घटाते हैं, तो यह वास्तव में एक धनात्मक संख्या जोड़ने जैसा होता है, इसलिए दायीं ओर बढ़ते हैं।
Question 3. 3 में 5 जोड़ने के लिए किस ओर जायेंगे एवं किस संख्या पर पहुँचेंगे ?
Answer: 3 में 5 जोड़ने के लिए हम संख्या रेखा पर दायीं ओर जायेंगे। ऐसा करने पर हम संख्या 8 पर पहुँचेंगे। धनात्मक संख्याओं को जोड़ने से संख्या का मान बढ़ता है।
In simple words: 3 में 5 जोड़ने के लिए हम संख्या रेखा पर दायीं ओर जाएंगे और 8 पर पहुँचेंगे।
🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर धनात्मक संख्याएँ दायीं ओर बढ़ती हैं और ऋणात्मक संख्याएँ बायीं ओर घटती हैं।
Question 4. -3 में से +5 घटाने के लिए किस ओर चलना होगा तथा कहाँ पहुँचेंगे ?
Answer: -3 में से +5 घटाने के लिए हमें संख्या रेखा पर बायीं ओर चलना होगा। इसका मतलब है कि \( -3 - (+5) = -3 - 5 = -8 \) पर पहुँचेंगे। धनात्मक संख्या घटाने का अर्थ है संख्या रेखा पर बाईं ओर खिसकना।
In simple words: -3 में से 5 घटाने के लिए हम संख्या रेखा पर बायीं ओर चलेंगे और -8 पर पहुँचेंगे।
🎯 Exam Tip: एक धनात्मक संख्या को घटाना संख्या रेखा पर बाईं ओर जाने जैसा है, क्योंकि संख्या का मान कम हो रहा है।
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Question. हल कीजिए
(i) 4 x (8) =
(ii) 3 x (-3) =
(iii) 5 x (-9) =
Answer:
(i) \( 4 \times (8) = 32 \)
(ii) \( 3 \times (-3) = -9 \)
(iii) \( 5 \times (-9) = -45 \)
In simple words: यहाँ दिए गए गुणनफल प्रश्नों को हल किया गया है, जहाँ धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के गुणा के नियम लागू होते हैं।
🎯 Exam Tip: गुणा करते समय, यदि एक भी संख्या ऋणात्मक हो तो गुणनफल भी ऋणात्मक होता है, और यदि दोनों संख्याएँ ऋणात्मक हों तो गुणनफल धनात्मक होता है।
(पृष्ठ 7)
Question. ज्ञात कीजिए
(i) 15 x (-5)
(ii) 27 x (-10)
(iii) - 12 x 12
(iv) -7 x 4
Answer:
(i) \( 15 \times (-5) = -75 \)
(ii) \( 27 \times (-10) = -270 \)
(iii) \( -12 \times 12 = -144 \)
(iv) \( -7 \times 4 = -28 \)
In simple words: दिए गए गुणनफलों को हल किया गया है, जिसमें धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों के गुणन नियमों का उपयोग किया गया है।
🎯 Exam Tip: गुणनफल में विषम संख्या में ऋणात्मक चिह्न होने पर परिणाम ऋणात्मक होता है, जबकि सम संख्या में ऋणात्मक चिह्न होने पर परिणाम धनात्मक होता है।
Question. निम्न गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) (-12) x (-15)
(ii) (-25) x (-4)
(iii) (-17) x (-11)
Answer:
(i) \( (-12) \times (-15) = 180 \)
(ii) \( (-25) \times (-4) = 100 \)
(iii) \( (-17) \times (-11) = 187 \)
In simple words: जब दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होती है।
🎯 Exam Tip: दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
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Question. हल कीजिए
(i) (-1) × (-1) × (-1) = ........
(ii) (-1) × (-1) × (-1) × (-1) = .........
Answer:
(i) \( (-1) \times (-1) \times (-1) = [(-1) \times (-1)] \times (-1) = (+1) \times (-1) = -1 \)
(ii) \( (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) = [(-1) \times (-1)] \times [(-1) \times (-1)] = 1 \times 1 = 1 \)
In simple words: -1 को जितनी बार गुणा किया जाता है, यदि वह संख्या विषम हो तो परिणाम -1 होता है, और यदि सम हो तो परिणाम 1 होता है।
🎯 Exam Tip: ऋणात्मक संख्या को विषम बार गुणा करने पर परिणाम ऋणात्मक होता है, और सम बार गुणा करने पर परिणाम धनात्मक होता है।
Question. सारणी को पूरा कीजिए:
| क्र. सं. | पूर्णांक | पूर्णांक | योगफल | योगफल पूर्णांक है/नहीं |
|---|---|---|---|---|
| 1. | +2 | +5 | ||
| 2. | -3 | +7 | ||
| 3. | -4 | +4 | ||
| 4. | 3 | -5 |
Answer:
| क्र. सं. | पूर्णांक | पूर्णांक | योगफल | योगफल पूर्णांक है/नहीं |
|---|---|---|---|---|
| 1. | +2 | +5 | +7 | है |
| 2. | -3 | +7 | +4 | है |
| 3. | -4 | +4 | 0 | है |
| 4. | 3 | -5 | -2 | है |
प्राप्त सारणी से यह स्पष्ट है कि सभी पूर्णांक चाहे वह ऋणात्मक हों अथवा धनात्मक योग हेतु संवृत हैं। इसका मतलब है कि दो पूर्णांकों को जोड़ने पर हमेशा एक पूर्णांक ही मिलता है।
In simple words: सारणी में पूर्णांकों को जोड़ा गया है, और सभी योग पूर्णांक ही हैं। इससे पता चलता है कि पूर्णांक जोड़ने पर हमेशा पूर्णांक ही मिलते हैं।
🎯 Exam Tip: पूर्णांकों का योग हमेशा एक पूर्णांक होता है, यह पूर्णांकों के संवृत गुणधर्म को दर्शाता है।
(पृष्ठ 3)
Question. क्या आप ऐसे दो पूर्णाक बता सकते हैं जिनका योग पूर्णाक न हो?
Answer: ऐसे पूर्णांक बताना असंभव है जिनका योग पूर्णांक न हो, क्योंकि दो पूर्णांकों का योग हमेशा एक पूर्णांक ही होता है। पूर्णांक योग के तहत संवृत होते हैं।
In simple words: ऐसा कोई दो पूर्णांक नहीं हैं जिन्हें जोड़ने पर पूर्णांक न मिले, क्योंकि पूर्णांकों का जोड़ हमेशा पूर्णांक होता है।
🎯 Exam Tip: पूर्णांकों का योग, घटाना और गुणा हमेशा पूर्णांक ही होता है।
Question. सारणी को पूरा कीजिए:
| क्र. सं. | कथन | प्रेक्षण |
|---|---|---|
| 1. | 7-5=2 | |
| 2. | 4-9=-5 | |
| 3. | (-4) - (-5) = . | |
| 4. | (-18) - (-18) = .. | |
| 5. | 17- 0 = .... |
Answer:
| क्र. सं. | कथन | प्रेक्षण |
|---|---|---|
| 1. | \( 7-5=2 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| 2. | \( 4-9=-5 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| 3. | \( (-4) - (-5) = 1 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| 4. | \( (-18) - (-18) = 0 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| 5. | \( 17-0=17 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
सारणी से स्पष्ट है कि जब हम एक पूर्णांक में से दूसरा पूर्णांक घटाते हैं तो शेष भी एक पूर्णाक बचता है। अतः दो पूर्णाकों का अंतर भी एक पूर्णांक संख्या होती है। यह दर्शाता है कि पूर्णांक घटाने के तहत भी संवृत होते हैं।
In simple words: जब भी हम दो पूर्णांकों को घटाते हैं, तो उत्तर हमेशा एक पूर्णांक ही आता है।
🎯 Exam Tip: पूर्णांक घटाने के गुणधर्म भी पूर्णांकों के संवृत गुणधर्म को दर्शाते हैं।
Question. क्या ऐसा कोई पूर्णांक युग्म ज्ञात करते हैं जिसका अंतर पूर्णांक नहीं हो?
Answer: नहीं, ऐसा कोई पूर्णांक युग्म नहीं है जिसका अंतर पूर्णांक न हो। पूर्णांकों का अंतर हमेशा एक पूर्णांक ही होता है। यह पूर्णांकों के घटाव के संवृत गुणधर्म के कारण होता है।
In simple words: ऐसा कोई दो पूर्णांक नहीं हैं जिन्हें घटाने पर पूर्णांक न मिले, क्योंकि पूर्णांकों का घटाव हमेशा पूर्णांक होता है।
🎯 Exam Tip: पूर्णांक संवृत होते हैं योग, घटाना और गुणा के लिए, लेकिन भाग के लिए नहीं।
Question. दिए गए उदाहरणों को देखें और बताएं कि क्या पूर्णांक में क्रम विनिमेय गुणधर्म का पालन होता है। अन्य योग भी इसी प्रकार करें।
\( (-8) + (-4) \) व \( (-4) + (-8) \)
\( (-2) + 5 \) व \( 5 + (-2) \)
\( 12 + 0 \) व \( 0 + 12 \)
Answer: दिए गए उदाहरणों को हल करने पर हम निम्नलिखित सारणी बनाते हैं:
| गणितीय कथन | परिणाम | गणितीय कथन | परिणाम |
|---|---|---|---|
| \( (-8) + (-4) \) | -12 | \( (-4) + (-8) \) | -12 |
| \( (-2) + 5 \) | +3 | \( 5 + (-2) \) | +3 |
| \( 12 + 0 \) | 12 | \( 0 + 12 \) | 12 |
| \( 17 + (-2) \) | 15 | \( (-2) + 17 \) | 15 |
| \( 2 + (-3) \) | -1 | \( (-3) + 2 \) | -1 |
| \( (-3) + 6 \) | 3 | \( 6 + (-3) \) | 3 |
सारणी से स्पष्ट है कि पूर्णांक में भी क्रम विनिमेय गुणधर्म का पालन होता है। यानी, संख्याओं का क्रम बदलने पर भी योगफल वही रहता है।
In simple words: पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ने पर परिणाम नहीं बदलता है, इसे क्रम विनिमेय गुणधर्म कहते हैं।
🎯 Exam Tip: पूर्णांक योग के तहत क्रम विनिमेय होते हैं (a + b = b + a)।
Question. क्या ऐसा कोई युग्म है जिसमें क्रम बदलने से परिणाम में कोई परिवर्तन आता है।
Answer: नहीं, ऐसा कोई युग्म असंभव है जिसमें क्रम बदलने से योग के परिणाम में कोई परिवर्तन आता हो। पूर्णांक योग के लिए हमेशा क्रम विनिमेय गुणधर्म का पालन करते हैं।
In simple words: योग के लिए, पूर्णांकों का क्रम बदलने से उत्तर नहीं बदलता।
🎯 Exam Tip: यह गुण केवल योग (और गुणा) के लिए लागू होता है, घटाव या भाग के लिए नहीं।
(पृष्ठ 4)
Question. निम्नलिखित को देखकर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(iii) \( 0 + (-14) = \).......
(iv) \( (-8) + 0 = \).......
(v) \( 15 +0 = \).......
(vi) \( (-23) + 1 = \).......
Answer:
(iii) \( 0 + (-14) = -14 \)
(iv) \( (-8) + 0 = -8 \)
(v) \( 15 + 0 = 15 \)
(vi) \( (-23) + 1 = -22 \)
In simple words: 0 को किसी भी संख्या में जोड़ने पर संख्या वही रहती है, जबकि 1 जोड़ने पर संख्या एक से बढ़ जाती है।
🎯 Exam Tip: शून्य (0) पूर्णांकों के लिए योज्य तत्समक है, क्योंकि किसी भी पूर्णांक में 0 जोड़ने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है।
Question. कुछ अन्य उदाहरण लेकर '0' के पूर्णाकों के लिए योग तत्समक होने की पुष्टि कीजिए।
Answer: '0' पूर्णांकों के लिए योग तत्समक है। इसका अर्थ है कि किसी भी पूर्णांक में 0 जोड़ने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है। इसे निम्न उदाहरणों से भी समझ सकते हैं:
(i) \( 5 + 0 = 5 \)
(ii) \( (-10) + 0 = -10 \)
(iii) \( (-9) + 0 = -9 \)
(iv) \( 23 + 0 = 23 \)
(v) \( 0 + 20 = 20 \)
(vi) \( 0 + (-2) = -2 \)
In simple words: 0 को किसी भी पूर्णांक में जोड़ने से संख्या में कोई बदलाव नहीं होता, इसलिए 0 योज्य तत्समक है।
🎯 Exam Tip: योज्य तत्समक वह संख्या होती है जिसे किसी भी संख्या में जोड़ने पर उस संख्या का मान नहीं बदलता।
(पृष्ठ 6)
Question. क्या होता है जब ऋणात्मक पूर्णाक को धनात्मक पूर्णाक से गुणा करते हैं?
Answer: जब एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक धनात्मक पूर्णांक से गुणा करते हैं, तो हमेशा एक ऋणात्मक पूर्णांक ही प्राप्त होता है। इसे निम्न उदाहरणों से स्पष्ट किया जा सकता है:
(i) \( -1 \times 4 = -4 \)
(ii) \( -2 \times 4 = -8 \)
(iii) \( -3 \times 4 = -12 \)
(iv) \( -5 \times 2 = -10 \)
(v) \( -6 \times 3 = -18 \)
यह गुणनफल की दिशा को बदल देता है, जिससे परिणाम ऋणात्मक हो जाता है।
In simple words: एक ऋणात्मक और एक धनात्मक संख्या का गुणा करने पर उत्तर हमेशा ऋणात्मक आता है।
🎯 Exam Tip: विषम संख्या में ऋणात्मक चिह्नों वाले गुणनफल का परिणाम ऋणात्मक होता है।
Question. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
(i) \( -3 \times (-3) = \)......
(ii) \( -3 \times (-4) = \)......
Answer:
(i) \( (-3) \times (-3) = 9 \)
(ii) \( (-3) \times (-4) = 12 \)
In simple words: जब दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा धनात्मक होता है।
🎯 Exam Tip: दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणा हमेशा धनात्मक होता है, क्योंकि ऋणात्मक चिह्न सम बार आते हैं।
Question. इन गुणनफल को देखकर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
\( -5 \times 3 = -15 \)
\( -5 \times 2 = -10 \)
\( -5 \times 1 = \)......
\( -5 \times (-1) = \)......
\( (-5) \times (-2) = \)......
\( -5 \times (-3) = \)......
Answer:
\( -5 \times 3 = -15 \)
\( -5 \times 2 = -10 \)
\( -5 \times 1 = -5 \)
\( -5 \times (-1) = 5 \)
\( (-5) \times (-2) = 10 \)
\( -5 \times (-3) = 15 \)
जैसे-जैसे गुणा की जाने वाली संख्या घटती जाती है, गुणनफल बढ़ता जाता है, और ऋणात्मक संख्याओं के साथ गुणा करने पर गुणनफल धनात्मक हो जाता है।
In simple words: गुणनफल में पैटर्न देखें: जब आप -5 को घटती संख्याओं से गुणा करते हैं, तो उत्तर बढ़ता जाता है, और ऋणात्मक संख्याओं से गुणा करने पर धनात्मक हो जाता है।
🎯 Exam Tip: यह पैटर्न ऋणात्मक संख्याओं के गुणा को समझने में मदद करता है, खासकर जब आप शून्य से कम संख्याओं की ओर बढ़ते हैं।
(पृष्ठ 9)
Question. सारणी के भाग के कथनों को देखिए तथा इस आधार पर इसके रिक्त स्थानों की पूर्ति करो तथा नीचे दिए कथनों की जाँच कर [√ अथवा X ] चिह्न लगाइए।।
| गुणन कथन | संगत भाग कथन |
|---|---|
| \( (-3) \times 4 = (-12) \) | \( 14 \div (-7) = -2 \) \( 14 \div (-2) = -7 \) |
| \( (-2) \times (-7) = (14) \) | |
| \( (-4) \times 5 = (-20) \) | |
| \( 5 \times (-9) = -45 \) | |
| \( (-6) \times 5 = \)...... | |
| \( (+5) \times (+2) = \)...... |
निम्नलिखित कथनों की जाँच करें:
(1) ऋणात्मक पूर्णाक + धनात्मक पूर्णांक = ऋणात्मक पूर्णाक
(2) धनात्मक पूर्णाक ऋणात्मक पूर्णांक = ऋणात्मक पूर्णाक
(3) धनात्मक पूर्णांक + धनात्मक पूर्णांक = धनात्मक पूर्णाक
(4) ऋणात्मक पूर्णाक ऋणात्मक पूर्णाक = धनात्मक पूर्णाक
Answer: सारणी के रिक्त स्थानों की पूर्ति इस प्रकार है:
| गुणन कथन | संगत भाग कथन |
|---|---|
| \( (-3) \times 4 = (-12) \) | \( (-12) \div 4 = -3 \) \( (-12) \div (-3) = 4 \) |
| \( (-2) \times (-7) = (14) \) | \( 14 \div (-7) = -2 \) \( 14 \div (-2) = -7 \) |
| \( (-4) \times 5 = (-20) \) | \( (-20) \div 5 = -4 \) \( (-20) \div (-4) = 5 \) |
| \( 5 \times (-9) = -45 \) | \( (-45) \div (-9) = 5 \) \( (-45) \div 5 = -9 \) |
| \( (-6) \times 5 = -30 \) | \( (-30) \div 5 = -6 \) \( (-30) \div (-6) = 5 \) |
| \( (+5) \times (+2) = +10 \) | \( (+10) \div (+2) = +5 \) \( (+10) \div (+5) = +2 \) |
कथनों की जाँच इस प्रकार है:
(1) ऋणात्मक पूर्णाक + धनात्मक पूर्णांक = ऋणात्मक पूर्णाक (√)
(2) धनात्मक पूर्णाक ऋणात्मक पूर्णांक = ऋणात्मक पूर्णाक (√)
(3) धनात्मक पूर्णांक + धनात्मक पूर्णांक = धनात्मक पूर्णाक (√)
(4) ऋणात्मक पूर्णाक + ऋणात्मक पूर्णांक = धनात्मक पूर्णाक (√)
यह सारणी गुणा और भाग के बीच के संबंध को स्पष्ट करती है, और पूर्णांकों के लिए विभिन्न संक्रियाओं के परिणामों को भी दर्शाती है।
In simple words: सारणी में गुणा और भाग के रिश्ते दिखाए गए हैं। साथ ही, अलग-अलग पूर्णांकों को जोड़ने या गुणा करने पर क्या उत्तर आता है, यह भी बताया गया है।
🎯 Exam Tip: गुणा और भाग दोनों में चिह्नों के नियम महत्वपूर्ण हैं: समान चिह्न होने पर धनात्मक, विपरीत चिह्न होने पर ऋणात्मक परिणाम मिलता है।
(पृष्ठ 10)
Question. निम्न सारणी को पूरा कीजिए
| पूर्णांक-1 | पूर्णांक-2 | गुणनफल | गुणनफल पूर्णांक है/नहीं |
|---|---|---|---|
| 2 | -3 | -6 | पूर्णांक है |
| -3 | 4 | -12 | पूर्णांक है |
| -2 | -3 | ||
| 5 | 4 | ||
| -5 | 3 |
Answer: सारणी के रिक्त स्थानों की पूर्ति इस प्रकार है:
| पूर्णांक-1 | पूर्णांक-2 | गुणनफल | गुणनफल पूर्णांक है/नहीं |
|---|---|---|---|
| 2 | -3 | -6 | पूर्णांक है |
| -3 | 4 | -12 | पूर्णांक है |
| -2 | -3 | 6 | पूर्णांक है |
| 5 | 4 | 20 | पूर्णांक है |
| -5 | 3 | -15 | पूर्णांक है |
इस सारणी से पता चलता है कि दो पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा एक पूर्णांक ही होता है, चाहे वे धनात्मक हों या ऋणात्मक।
In simple words: दो पूर्णांकों को गुणा करने पर हमेशा पूर्णांक ही मिलता है।
🎯 Exam Tip: पूर्णांक गुणन के अंतर्गत संवृत होते हैं। इसका मतलब है कि दो पूर्णांकों को गुणा करने पर परिणाम हमेशा एक पूर्णांक ही होगा।
(पृष्ठ 11)
Question. पूर्णांकों के गुणनफल के क्रम विनिमेय गुणधर्म की जाँच कीजिए और सारणी को पूरा कीजिए।
| पूर्णांक युग्म | गुणन | गुणन क्रम बदलकर | निष्कर्ष |
|---|---|---|---|
| 5, -4 | \( 5 \times (-4) = -20 \) | ||
| -10, 12 | \( (-10) \times 12 = \) ......... | ||
| -3, -4 | \( (-3) \times (-4) = \) ......... | ||
| -5, -7 | \( (-5) \times (-7) = \) ......... | ||
| +8, -3 | \( (+8) \times (-3) = \) ......... |
Answer: सारणी के रिक्त स्थानों की पूर्ति इस प्रकार है:
| पूर्णांक युग्म | गुणन | गुणन क्रम बदलकर | निष्कर्ष |
|---|---|---|---|
| 5, -4 | \( 5 \times (-4) = -20 \) | \( (-4) \times 5 = -20 \) | \( 5 \times (-4) = (-4) \times 5 \) |
| -10, 12 | \( (-10) \times 12 = -120 \) | \( 12 \times (-10) = -120 \) | \( (-10) \times 12 = 12 \times (-10) \) |
| -3, -4 | \( (-3) \times (-4) = 12 \) | \( (-4) \times (-3) = 12 \) | \( (-3) \times (-4) = (-4) \times (-3) \) |
| -5, -7 | \( (-5) \times (-7) = 35 \) | \( (-7) \times (-5) = 35 \) | \( (-5) \times (-7) = (-7) \times (-5) \) |
| +8, -3 | \( (+8) \times (-3) = -24 \) | \( (-3) \times (+8) = -24 \) | \( (+8) \times (-3) = (-3) \times (+8) \) |
(निष्कर्ष-पूर्णांकों का गुणनफल उनके क्रम पर निर्भर नहीं करता है)। इसका मतलब है कि पूर्णांक गुणन के तहत क्रम विनिमेय होते हैं।
In simple words: सारणी दिखाती है कि गुणा करते समय पूर्णांकों का क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता।
🎯 Exam Tip: पूर्णांकों के लिए गुणा भी योग की तरह क्रम विनिमेय होता है (a × b = b × a)।
Question. पूर्णाकों के लिए जाँच कीजिए
(i) \( (-3) \times 1 = -3 \)
(ii) \( 1 \times 5 = 5 \)
(iii) \( (-4) \times 1 = \)......
(iv) \( 1 \times 8 = \)......
(v) \( 1 \times (-5) = \)......
(vi) \( 3 \times 1 = \)......
(vii) \( 1 \times (-6) = \)......
(viii) \( 7 \times 1 = \)......
Answer:
(i) \( (-3) \times 1 = -3 \)
(ii) \( 1 \times 5 = 5 \)
(iii) \( (-4) \times 1 = -4 \)
(iv) \( 1 \times 8 = 8 \)
(v) \( 1 \times (-5) = -5 \)
(vi) \( 3 \times 1 = 3 \)
(vii) \( 1 \times (-6) = -6 \)
(viii) \( 7 \times 1 = 7 \)
यह दर्शाता है कि संख्या 1 पूर्णांकों के लिए गुणात्मक तत्समक है। किसी भी पूर्णांक को 1 से गुणा करने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है।
In simple words: 1 को किसी भी पूर्णांक से गुणा करने पर वही पूर्णांक मिलता है, इसलिए 1 गुणा का तत्समक (गुणात्मक तत्समक) है।
🎯 Exam Tip: गुणात्मक तत्समक वह संख्या होती है जिसे किसी भी संख्या से गुणा करने पर उस संख्या का मान नहीं बदलता। पूर्णांकों के लिए यह संख्या 1 है।
Question. सारणी को पूरा कीजिए:
| कथन | निष्कर्ष |
|---|---|
| \( (-8) \div (-2) = 4 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| \( (-8) \div 4 = \) | |
| \( (-2) \div (-8) = \frac{-2}{-8} \) | |
| \( (3) \div (-8) = \frac{3}{-8} \) |
Answer: सारणी के रिक्त स्थानों की पूर्ति इस प्रकार है:
| कथन | निष्कर्ष |
|---|---|
| \( (-8) \div (-2) = 4 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| \( (-8) \div 4 = -2 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| \( (-2) \div (-8) = \frac{1}{4} \) | परिणाम एक पूर्णांक नहीं है |
| \( (3) \div (-8) = \frac{-3}{8} \) | परिणाम एक पूर्णांक नहीं है |
इस सारणी से स्पष्ट है कि पूर्णांक भाग के लिए संवृत नहीं होते हैं, क्योंकि दो पूर्णांकों को भाग देने पर हमेशा एक पूर्णांक ही प्राप्त नहीं होता।
In simple words: पूर्णांकों को भाग देने पर हमेशा पूर्णांक नहीं मिलता है, इसलिए वे भाग के लिए संवृत नहीं होते।
🎯 Exam Tip: पूर्णांक योग, घटाना और गुणा के लिए संवृत होते हैं, लेकिन भाग के लिए नहीं। भाग में उत्तर दशमलव या भिन्न में आ सकता है।
In Text Exercise (पृष्ठ 1)
Question 1. -5 को जोड़ने के लिए संख्या रेखा पर किस ओर जायेंगे ?
Answer: संख्या रेखा पर -5 को जोड़ने के लिए हमें बायीं ओर चलना होगा। संख्या रेखा पर ऋणात्मक संख्याएँ हमेशा बाईं ओर स्थित होती हैं, इसलिए किसी ऋणात्मक संख्या को जोड़ने पर हम इसी दिशा में जाते हैं।
In simple words: जब हम संख्या रेखा पर -5 जोड़ते हैं, तो हमें बाईं ओर जाना पड़ता है।
🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर धनात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए दाईं ओर और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए बाईं ओर चलते हैं।
Question 2. 3 में से (-5) को घटाने के लिए संख्या रेखा पर किस ओर जायेंगे तथा किस संख्या पर पहुँचेंगे?
Answer: 3 में से (-5) घटाने का मतलब है कि हम संख्या रेखा पर दाईं ओर चलेंगे। ऐसा करने पर हम \( 3 - (-5) = 3 + 5 = 8 \) पर पहुँचेंगे। किसी ऋणात्मक संख्या को घटाना वास्तव में एक धनात्मक संख्या को जोड़ना होता है।
In simple words: 3 में से -5 घटाने के लिए हम संख्या रेखा पर दाईं ओर जाते हैं और 8 पर पहुँचते हैं।
🎯 Exam Tip: दो ऋण चिह्न एक साथ आने पर वे धन चिह्न में बदल जाते हैं, जिसका अर्थ है जोड़ना।
Question 3. 3 में 5 जोड़ने के लिए किस ओर जायेंगे एवं किस संख्या पर पहुँचेंगे ?
Answer: 3 में 5 जोड़ने के लिए संख्या रेखा पर दायीं ओर जायेंगे। ऐसा करने पर हम 8 पर पहुँचते हैं। हमेशा धनात्मक संख्याएँ जोड़ने पर संख्या रेखा पर दाईं ओर बढ़ा जाता है।
In simple words: 3 में 5 जोड़ने के लिए संख्या रेखा पर दाईं ओर जाएंगे और 8 पर पहुँचेंगे।
🎯 Exam Tip: धनात्मक संख्याएँ जोड़ने से मान बढ़ता है, इसलिए हम संख्या रेखा पर हमेशा दाईं ओर बढ़ते हैं।
Question 4. -3 में से +5 घटाने के लिए किस ओर चलना होगा तथा कहाँ पहुँचेंगे ?
Answer: -3 में से +5 घटाने के लिए संख्या रेखा पर बायीं ओर जाना होगा। इसका अर्थ है कि \( -3 - (+5) = -3 - 5 = -8 \) पर पहुँचेंगे। धनात्मक संख्या घटाने से मान कम होता है, इसलिए हम बाईं ओर जाते हैं।
In simple words: -3 में से +5 घटाने के लिए हम संख्या रेखा पर बाईं ओर जाएंगे और -8 पर पहुँचेंगे।
🎯 Exam Tip: किसी धनात्मक संख्या को घटाने का मतलब है संख्या रेखा पर मूल मान से दूर बाईं ओर जाना।
(पृष्ठ 6)
Question. हल कीजिए
(i) 4 x (8) =
(ii) 3 x (-3) =
(iii) 5 x (-9) =
Answer:
(i) \( 4 \times (8) = 32 \)
(ii) \( 3 \times (-3) = -9 \)
(iii) \( 5 \times (-9) = -45 \)
जब एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या गुणा होती है, तो परिणाम हमेशा ऋणात्मक होता है, लेकिन दो धनात्मक संख्याओं का गुणा धनात्मक होता है।
In simple words: इन सवालों में हम संख्याओं को गुणा कर रहे हैं। जब एक नंबर प्लस वाला हो और दूसरा माइनस वाला, तो जवाब माइनस में आता है।
🎯 Exam Tip: हमेशा चिह्नों के नियमों को याद रखें: \( (+) \times (+) = (+) \), \( (+) \times (-) = (-) \), \( (-) \times (+) = (-) \), \( (-) \times (-) = (+) \).
(पृष्ठ 7)
Question. ज्ञात कीजिए
(i) 15 x (-5)
(ii) 27 x (-10)
(iii) - 12 x 12
(iv) -7 x 4
Answer:
(i) \( 15 \times (-5) = -75 \)
(ii) \( 27 \times (-10) = -270 \)
(iii) \( -12 \times 12 = -144 \)
(iv) \( -7 \times 4 = -28 \)
गुणा करते समय, यदि संख्याओं में विषम संख्या में ऋणात्मक चिह्न हों, तो परिणाम ऋणात्मक होता है।
In simple words: हम इन संख्याओं को गुणा कर रहे हैं। यदि एक संख्या माइनस की है और दूसरी प्लस की, तो जवाब माइनस में आएगा।
🎯 Exam Tip: गुणन में, एक भी ऋणात्मक चिह्न परिणाम को ऋणात्मक बना देता है, जब तक कि ऋणात्मक चिह्नों की संख्या सम न हो।
Question. निम्न गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) (-12) x (-15)
(ii) (-25) x (-4)
(iii) (-17) x (-11)
Answer:
(i) \( (-12) \times (-15) = 180 \)
(ii) \( (-25) \times (-4) = 100 \)
(iii) \( (-17) \times (-11) = 187 \)
दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर परिणाम हमेशा एक धनात्मक संख्या होता है।
In simple words: इन सभी सवालों में हम दो माइनस वाली संख्याओं को गुणा कर रहे हैं। जब दो माइनस वाले नंबर गुणा होते हैं, तो जवाब हमेशा प्लस में आता है।
🎯 Exam Tip: दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है; 'माइनस-माइनस प्लस' बन जाता है।
(पृष्ठ 8)
Question. हल कीजिए
(i) (-1) × (-1) × (-1) = ........
(ii) (-1) × (-1) × (-1) × (-1) = .........
Answer:
(i) \( (-1) \times (-1) \times (-1) = [(-1) \times (-1)] \times (-1) = (+1) \times (-1) = -1 \)
(ii) \( (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) = [(-1) \times (-1)] \times [(-1) \times (-1)] = 1 \times 1 = 1 \)
जब -1 को विषम बार गुणा किया जाता है, तो परिणाम -1 होता है, और जब इसे सम बार गुणा किया जाता है, तो परिणाम +1 होता है।
In simple words: अगर हम -1 को तीन बार गुणा करें, तो जवाब -1 आता है। अगर हम इसे चार बार गुणा करें, तो जवाब +1 आता है।
🎯 Exam Tip: -1 को जितनी बार गुणा किया जाता है, उसके आधार पर परिणाम का चिह्न बदलता रहता है (सम या विषम संख्या में)।
Question. पूर्णांकों के योग से संबंधित निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए।
Answer:
| क्र. सं. | पूर्णांक | पूर्णांक | योगफल | योगफल पूर्णांक है/नहीं |
|---|---|---|---|---|
| 1. | +2 | +5 | +7 | है |
| 2. | -3 | +7 | +4 | है |
| 3. | -4 | +4 | 0 | है |
| 4. | 3 | -5 | -2 | है |
यह सारणी दर्शाती है कि दो पूर्णांकों को जोड़ने पर हमेशा एक पूर्णांक ही मिलता है, चाहे वे धनात्मक हों या ऋणात्मक। पूर्णांक योग के अंतर्गत संवृत होते हैं।
In simple words: इस सारणी में हमने देखा कि किसी भी दो पूर्णांकों को जोड़ने पर जवाब हमेशा एक पूर्णांक ही आता है।
🎯 Exam Tip: संवृत गुणधर्म का अर्थ है कि किसी ऑपरेशन को दो संख्याओं पर लागू करने पर, परिणाम उसी संख्या समूह में रहेगा।
(पृष्ठ 3)
Question. क्या आप ऐसे दो पूर्णांक बता सकते हैं जिनका योग पूर्णांक न हो?
Answer: नहीं, ऐसे पूर्णांक असंभव हैं जिनका योग पूर्णांक न हो। इसका मतलब है कि दो पूर्णांकों का योग हमेशा एक पूर्णांक ही होता है। यह पूर्णांकों के संवृत गुणधर्म को दर्शाता है।
In simple words: नहीं, ऐसे कोई दो पूर्णांक नहीं हैं जिनका जोड़ पूर्णांक न हो। जब भी आप दो पूर्णांकों को जोड़ते हैं, तो जवाब हमेशा एक पूर्णांक ही होता है।
🎯 Exam Tip: पूर्णांकों का समूह योग के तहत संवृत है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांकों को जोड़ने पर आपको हमेशा एक पूर्णांक ही मिलेगा।
Question. पूर्णांकों के घटाव से संबंधित निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए।
Answer:
| क्र. सं. | कथन | प्रेक्षण |
|---|---|---|
| 1. | \( 7 - 5 = 2 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| 2. | \( 4 - 9 = -5 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| 3. | \( (-4) - (-5) = 1 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| 4. | \( (-18) - (-18) = 0 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| 5. | \( 17 - 0 = 17 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
यह सारणी स्पष्ट करती है कि जब हम एक पूर्णांक में से दूसरा पूर्णांक घटाते हैं तो शेष भी एक पूर्णांक बचता है। अतः दो पूर्णांकों का अन्तर भी एक पूर्णांक संख्या होती है।
In simple words: इस सारणी में हमने देखा कि किसी भी दो पूर्णांकों को घटाने पर जवाब हमेशा एक पूर्णांक ही आता है।
🎯 Exam Tip: पूर्णांकों का समूह घटाव के तहत भी संवृत है, क्योंकि किसी भी दो पूर्णांकों को घटाने पर परिणाम हमेशा एक पूर्णांक होता है।
Question. क्या ऐसा कोई पूर्णांक युग्म ज्ञात कर सकते हैं जिसका अन्तर पूर्णांक न हो?
Answer: नहीं, ऐसा कोई पूर्णांक युग्म नहीं है जिसका अन्तर पूर्णांक न हो। दो पूर्णांकों का अन्तर हमेशा एक पूर्णांक ही होता है। यह पूर्णांकों के घटाव के संवृत गुणधर्म को दर्शाता है।
In simple words: नहीं, ऐसा कोई पूर्णांक जोड़ा नहीं है जिसका घटाव पूर्णांक न हो। जब भी आप दो पूर्णांकों को घटाते हैं, तो जवाब हमेशा एक पूर्णांक ही आता है।
🎯 Exam Tip: घटाव के लिए भी पूर्णांक संवृत होते हैं, जिसका अर्थ है कि पूर्णांकों को घटाने पर परिणाम हमेशा एक पूर्णांक ही होगा।
Question. क्या पूर्णांक में भी क्रम विनिमेय गुणधर्म का पालन होता है? निम्नलिखित योग भी इसी प्रकार करें:
Answer:
| गणितीय कथन | परिणाम | गणितीय कथन | परिणाम |
|---|---|---|---|
| \( (-8) + (-4) \) | -12 | \( (-4) + (-8) \) | -12 |
| \( (-2) + 5 \) | +3 | \( 5 + (-2) \) | +3 |
| \( 12 + 0 \) | 12 | \( 0 + 12 \) | 12 |
| \( 17 + (-2) \) | 15 | \( (-2) + 17 \) | 15 |
| \( 2 + (-3) \) | -1 | \( (-3) + 2 \) | -1 |
| \( (-3) + 6 \) | 3 | \( 6 + (-3) \) | 3 |
सारणी से स्पष्ट है कि पूर्णांकों में भी योग का क्रम विनिमेय गुणधर्म का पालन होता है। इसका अर्थ है कि पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ने पर परिणाम समान रहता है।
In simple words: हाँ, पूर्णांकों में जोड़ने का क्रम बदलने पर भी जवाब वही रहता है। जैसे \( A+B = B+A \).
🎯 Exam Tip: क्रम विनिमेय गुणधर्म हमें बताता है कि संख्याओं के क्रम को बदलने से उनके योग पर कोई फर्क नहीं पड़ता है।
Question. क्या ऐसा कोई युग्म है जिसमें क्रम बदलने से परिणाम में कोई परिवर्तन आता है?
Answer: नहीं, ऐसा कोई युग्म असंभव है जिसमें क्रम बदलने से परिणाम में कोई परिवर्तन आए, खासकर योग के लिए। पूर्णांकों का योग हमेशा क्रम विनिमेय होता है। क्रम विनिमेय गुणधर्म केवल योग और गुणा के लिए लागू होता है, घटाव और भाग के लिए नहीं।
In simple words: नहीं, जोड़ में क्रम बदलने से जवाब नहीं बदलता। 5+3 और 3+5 दोनों 8 ही होते हैं।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप क्रम विनिमेय गुणधर्म को योग और गुणा के साथ-साथ घटाव और भाग पर लागू न करें, क्योंकि यह उन पर लागू नहीं होता है।
(पृष्ठ 4)
Question. निम्नलिखित को देखकर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
Answer:
(i) \( 0 + (-14) = -14 \)
(ii) \( (-8) + 0 = -8 \)
(iii) \( 15 + 0 = 15 \)
(iv) \( (-23) + 1 = -22 \)
जब किसी पूर्णांक में शून्य जोड़ा जाता है, तो पूर्णांक वही रहता है। लेकिन जब शून्य को छोड़कर कोई अन्य संख्या जोड़ी जाती है तो मान बदल जाता है।
In simple words: जब हम किसी नंबर में 0 जोड़ते हैं, तो वह नंबर वैसा ही रहता है। लेकिन अगर हम किसी नंबर में 1 जोड़ते हैं तो वह एक बढ़ जाता है।
🎯 Exam Tip: शून्य को योग तत्समक कहा जाता है क्योंकि किसी भी संख्या में शून्य जोड़ने से उस संख्या पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
Question. कुछ अन्य उदाहरण लेकर '0' के पूर्णांकों के लिए योग तत्समक होने की पुष्टि कीजिए।
Answer: 0 को किसी भी पूर्णांक में जोड़ने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है, इसलिए 0 पूर्णांकों के लिए योग तत्समक है। इसे हम निम्न उदाहरणों से समझ सकते हैं:
(i) \( 5 + 0 = 5 \)
(ii) \( (-10) + 0 = -10 \)
(iii) \( (-9) + 0 = -9 \)
(iv) \( 23 + 0 = 23 \)
(v) \( 0 + 20 = 20 \)
(vi) \( 0 + (-2) = -2 \)
यह दर्शाता है कि शून्य किसी भी पूर्णांक के साथ जुड़ने पर उस पूर्णांक के मान को अपरिवर्तित रखता है।
In simple words: जब हम किसी भी पूर्णांक में 0 जोड़ते हैं, तो जवाब में वही पूर्णांक आता है। इसलिए 0 को योग तत्समक कहते हैं।
🎯 Exam Tip: योग तत्समक वह संख्या होती है जिसे किसी भी संख्या में जोड़ने पर उस संख्या का मान नहीं बदलता।
(पृष्ठ 6)
Question. क्या होता है जब ऋणात्मक पूर्णांक को धनात्मक पूर्णांक से गुणा करते हैं?
Answer: जब एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक धनात्मक पूर्णांक से गुणा किया जाता है, तो परिणाम हमेशा एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है। इसे निम्न उदाहरणों से समझा जा सकता है:
(i) \( -1 \times 4 = -4 \)
(ii) \( -2 \times 4 = -8 \)
(iii) \( -3 \times 4 = -12 \)
(iv) \( -5 \times 2 = -10 \)
(v) \( -6 \times 3 = -18 \)
यह गुण दर्शाता है कि विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का गुणनफल हमेशा ऋणात्मक होता है।
In simple words: जब एक माइनस वाले नंबर को एक प्लस वाले नंबर से गुणा करते हैं, तो जवाब हमेशा माइनस में आता है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि जब एक ऋणात्मक संख्या और एक धनात्मक संख्या का गुणनफल करते हैं, तो परिणाम का चिह्न हमेशा ऋणात्मक होता है।
Question. इन गुणनफलों के पैटर्न को देखकर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
Answer: पैटर्न के अनुसार, जब एक ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो परिणाम धनात्मक होता है और यह पिछले मान से \( +3 \) से बढ़ता जाता है।
(i) \( (-3) \times (-3) = 9 \)
(ii) \( (-3) \times (-4) = 12 \)
इस पैटर्न से यह स्पष्ट होता है कि दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है, और यह भी दिखाता है कि गुणनफल में एक व्यवस्थित वृद्धि होती है जब हम ऋणात्मक संख्याओं को घटाते जाते हैं।
In simple words: जब हम -3 को माइनस वाले नंबर से गुणा करते हैं, तो जवाब प्लस में आता है। जैसे -3 को -3 से गुणा करने पर 9 आता है और -3 को -4 से गुणा करने पर 12 आता है।
🎯 Exam Tip: दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होता है; पैटर्न को पहचानना गणना में मदद करता है।
Question. इन गुणनफलों के पैटर्न को देखकर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
Answer: पैटर्न का पालन करते हुए, जब हम \( -5 \) को विभिन्न संख्याओं से गुणा करते हैं, तो परिणाम एक क्रम में बदलते हैं:
\( -5 \times 1 = -5 \)
\( -5 \times (-1) = 5 \)
\( (-5) \times (-2) = 10 \)
\( (-5) \times (-3) = 15 \)
यह पैटर्न दर्शाता है कि ऋणात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से गुणा करने पर धनात्मक परिणाम प्राप्त होता है।
In simple words: इस पैटर्न में हम देख रहे हैं कि -5 को जब अलग-अलग नंबरों से गुणा करते हैं, तो जवाब कैसे बदलता है। माइनस और माइनस का गुणा प्लस होता है।
🎯 Exam Tip: गुणा करते समय, ऋणात्मक संख्याओं के साथ पैटर्न को ध्यान से देखें; यह आपको सही चिह्न और मान निर्धारित करने में मदद करेगा।
(पृष्ठ 9)
Question. सारणी के विभाजन के कथनों को देखिए और इसके रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए। फिर नीचे दिए गए कथनों की जाँच कर सही (√) अथवा गलत (X) चिह्न लगाइए।
Answer: निम्न सारणी को पूरा किया गया है, और कथन सत्यापित किए गए हैं:
| गुणन कथन | संगत भाग कथन |
|---|---|
| \( (-2) \times (-7) = (14) \) | \( 14 \div (-7) = -2 \) \( 14 \div (-2) = -7 \) |
| \( (-4) \times 5 = (-20) \) | \( (-20) \div 5 = -4 \) \( (-20) \div (-4) = 5 \) |
| \( 5 \times (-9) = -45 \) | \( (-45) \div 5 = -9 \) \( (-45) \div (-9) = 5 \) |
| \( (-6) \times 5 = -30 \) | \( (-30) \div 5 = -6 \) \( (-30) \div (-6) = 5 \) |
| \( (+5) \times (+2) = 10 \)` | \( 10 \div (+2) = +5 \) \( 10 \div (+5) = +2 \) |
स्टेटमेंट्स की जांच:
(1) ऋणात्मक पूर्णांक \( + \) धनात्मक पूर्णांक \( = \) ऋणात्मक पूर्णांक \( (\checkmark) \)
(2) धनात्मक पूर्णांक \( + \) ऋणात्मक पूर्णांक \( = \) ऋणात्मक पूर्णांक \( (\checkmark) \)
(3) धनात्मक पूर्णांक \( - \) धनात्मक पूर्णांक \( = \) धनात्मक पूर्णांक \( (\checkmark) \)
(4) ऋणात्मक पूर्णांक \( + \) ऋणात्मक पूर्णांक \( = \) धनात्मक पूर्णांक \( (\checkmark) \)
यह दर्शाता है कि गुणनफल और भाग में पूर्णांकों के चिह्न कैसे काम करते हैं, हालांकि योग और घटाव के कुछ कथन सामान्य गणितीय नियमों से भिन्न दिए गए हैं।
In simple words: इस सारणी में हमने गुणा से भाग के नियम समझे। दो प्लस नंबर का भाग प्लस होता है। एक प्लस और एक माइनस नंबर का भाग माइनस होता है। दो माइनस नंबर का भाग भी प्लस होता है। कुछ जोड़-घटाव के नियम यहाँ दिए गए हैं। हमें हमेशा पता होना चाहिए कि माइनस वाले नंबरों को जोड़ने पर जवाब माइनस में आता है और प्लस वाले में से बड़ा माइनस वाला घटाने पर भी माइनस आता है।
🎯 Exam Tip: गुणन और भाग के नियम घटाव और योग से अलग होते हैं, खासकर जब नकारात्मक संख्याओं से निपटते हैं। हमेशा चिह्नों के नियमों पर ध्यान दें।
(पृष्ठ 10)
Question. निम्न सारणी को पूरा कीजिए:
Answer:
| पूर्णांक-1 | पूर्णांक-2 | गुणनफल | गुणनफल पूर्णांक है/नहीं |
|---|---|---|---|
| 2 | -3 | -6 | पूर्णांक है |
| -3 | 4 | -12 | पूर्णांक है |
| -2 | -3 | 6 | पूर्णांक है |
| 5 | 4 | 20 | पूर्णांक है |
| -5 | 3 | -15 | पूर्णांक है |
यह सारणी दिखाती है कि दो पूर्णांकों को गुणा करने पर हमेशा एक पूर्णांक ही प्राप्त होता है।
In simple words: इस सारणी में हमने देखा कि किसी भी दो पूर्णांकों को गुणा करने पर जवाब हमेशा एक पूर्णांक ही आता है।
🎯 Exam Tip: यह गुणधर्म, जिसे गुणन के तहत संवृत गुणधर्म कहते हैं, बताता है कि पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा पूर्णांक ही होता है।
(पृष्ठ 11)
Question. निम्न सारणी को पूरा कीजिए:
Answer:
| पूर्णांक युग्म | गुणन | गुणन क्रम बदलकर | निष्कर्ष |
|---|---|---|---|
| 5, -4 | \( 5 \times (-4) = -20 \) | \( (-4) \times 5 = -20 \) | \( 5 \times (-4) = (-4) \times 5 \) |
| -10, 12 | \( (-10) \times 12 = -120 \) | \( 12 \times (-10) = -120 \) | \( (-10) \times 12 = 12 \times (-10) \) |
| -3, -4 | \( (-3) \times (-4) = 12 \) | \( (-4) \times (-3) = 12 \) | \( (-3) \times (-4) = (-4) \times (-3) \) |
| -5, -7 | \( (-5) \times (-7) = 35 \) | \( (-7) \times (-5) = 35 \) | \( (-5) \times (-7) = (-7) \times (-5) \) |
| +8, -3 | \( (+8) \times (-3) = -24 \) | \( (-3) \times (+8) = -24 \) | \( (+8) \times (-3) = (-3) \times (+8) \) |
यह सारणी स्पष्ट करती है कि पूर्णांकों का गुणनफल उनके क्रम पर निर्भर नहीं करता है।
In simple words: इस सारणी में हमने देखा कि पूर्णांकों को किसी भी क्रम में गुणा करने पर जवाब वही आता है।
🎯 Exam Tip: यह गुणधर्म पूर्णांकों के लिए गुणन के क्रम विनिमेय नियम को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि संख्याओं का क्रम बदलने पर भी गुणनफल वही रहता है।
Question. निम्नलिखित कथनों की पूर्णांकों के लिए जाँच कीजिए:
(i) \( (-3) \times 1 = \dots \)
(ii) \( 1 \times 5 = \dots \)
(iii) \( (-4) \times 1 = \dots \)
(iv) \( 1 \times 8 = \dots \)
(v) \( 1 \times (-5) = \dots \)
(vi) \( 3 \times 1 = \dots \)
(vii) \( 1 \times (-6) = \dots \)
(viii) \( 7 \times 1 = \dots \)
Answer: निम्नलिखित कथनों की जाँच करने पर हमें प्राप्त होता है:
(i) \( (-3) \times 1 = -3 \)
(ii) \( 1 \times 5 = 5 \)
(iii) \( (-4) \times 1 = -4 \)
(iv) \( 1 \times 8 = 8 \)
(v) \( 1 \times (-5) = -5 \)
(vi) \( 3 \times 1 = 3 \)
(vii) \( 1 \times (-6) = -6 \)
(viii) \( 7 \times 1 = 7 \)
यह निष्कर्ष निकलता है कि 1 गुणात्मक तत्समक है, क्योंकि किसी भी पूर्णांक को 1 से गुणा करने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है।
In simple words: किसी भी नंबर को 1 से गुणा करने पर वह नंबर नहीं बदलता। इसलिए 1 को गुणा का पहचान नंबर (गुणात्मक तत्समक) कहते हैं।
🎯 Exam Tip: गुणात्मक तत्समक वह संख्या होती है जिसे किसी भी संख्या से गुणा करने पर उस संख्या का मान नहीं बदलता।
Question. निम्नलिखित कथनों को देखकर पूर्णांकों के विभाजन गुणधर्मों की जाँच कीजिए:
Answer: निम्नलिखित कथनों की जाँच करने पर हमें प्राप्त होता है:
| कथन | निष्कर्ष |
|---|---|
| \( (-8) \div (-2) = 4 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| \( (-8) \div 4 = -2 \) | परिणाम एक पूर्णांक है |
| \( (-2) \div (-8) = \frac {-2}{ -8 } = \frac {1}{4} \) | परिणाम एक पूर्णांक नहीं है |
| \( (3) \div (-8) = \frac {3}{-8} \) | परिणाम एक पूर्णांक नहीं है |
यह निष्कर्ष निकलता है कि पूर्णांकों का विभाजन हमेशा एक पूर्णांक नहीं होता है, इसलिए पूर्णांकों का समूह विभाजन के तहत संवृत नहीं है।
In simple words: जब हम पूर्णांकों को भाग करते हैं, तो जवाब हमेशा पूर्णांक नहीं आता। इसलिए हम कहते हैं कि पूर्णांक भाग के लिए 'बंधे' हुए नहीं हैं।
🎯 Exam Tip: पूर्णांकों का विभाजन संवृत नहीं होता है क्योंकि दो पूर्णांकों को भाग देने पर परिणाम हमेशा एक पूर्णांक नहीं होता है।
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