NCERT Solutions for Class 7 Mathematics: Chapter 01 पूर्णाक
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Question 1. निम्नलिखित का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(i) (-3) x 4
(ii) (-1) x 24
(iii) (-30) x (-24)
(iv) (-214) x 0
(V) (-15) x (-7) x 6
(vi) (-5) x (-7) x (-4)
(vii) (-3) x (-2) x (-1) × (-5)
Answer:
(i) \( (-3) \times 4 = -12 \)
(ii) \( (-1) \times 24 = -24 \)
(iii) \( (-30) \times (-24) = 720 \) (दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है।)
(iv) \( (-214) \times 0 = 0 \)
(v) \( (-15) \times (-7) \times 6 = 105 \times 6 = 630 \)
(vi) \( (-5) \times (-7) \times (-4) = 35 \times (-4) = -140 \)
(vii) \( (-3) \times (-2) \times (-1) \times (-5) = [(-3) \times (-2)] \times [(-1) \times (-5)] = 6 \times 5 = 30 \)
In simple words: आपको दिए गए संख्याओं को गुणा करना है। याद रखें कि एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या का गुणा ऋणात्मक होता है, और दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणा धनात्मक होता है। किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर हमेशा शून्य ही आता है।
🎯 Exam Tip: गुणा करते समय चिन्हों का ध्यान रखें: माइनस गुणा माइनस प्लस होता है, और माइनस गुणा प्लस माइनस होता है।
Question 2. (-1) × 5 से आरम्भ कर पैटर्न द्वारा दर्शाइए कि (-1) × (-1) = +1
Answer: पैटर्न इस प्रकार है:
\( (-1) \times 5 = -5 \)
\( (-1) \times 4 = -4 \)
\( (-1) \times 3 = -3 \)
\( (-1) \times 2 = -2 \)
\( (-1) \times 1 = -1 \)
\( (-1) \times 0 = 0 \)
\( (-1) \times (-1) = +1 \)
जैसे-जैसे हम गुणनफल में धनात्मक संख्या को घटाते जाते हैं, उत्तर एक-एक बढ़ता जाता है। इस पैटर्न को आगे बढ़ाते हुए, \( (-1) \times (-1) \) का उत्तर \( 0 \) से एक ज्यादा यानी \( +1 \) होगा।
In simple words: जब आप (-1) को किसी संख्या से गुणा करते हैं, तो उत्तर उस संख्या का ऋणात्मक रूप होता है। जैसे-जैसे गुणा की जाने वाली संख्या कम होती जाती है, उत्तर बढ़ता जाता है, और इसी तरह जब हम (-1) को (-1) से गुणा करते हैं, तो उत्तर 1 हो जाता है।
🎯 Exam Tip: यह पैटर्न ऋणात्मक संख्याओं के गुणन के नियम को समझने में मदद करता है, खासकर जब माइनस गुणा माइनस प्लस होता है।
Question 3. किसी प्रशीतक में तापमान कम होने की दर 3°C प्रति मिनट है। एक वस्तु जिसका तापमान 25°C है को प्रशीतक में रखा जाता है। कितने मिनट बाद उस वस्तु का तापमान -2°C होगा।
Answer: प्रशीतक में तापमान कम होने की दर \( 3^\circ\text{C} \) प्रति मिनट है।
वस्तु का प्रारंभिक तापमान \( = 25^\circ\text{C} \)
वस्तु का अंतिम तापमान \( = -2^\circ\text{C} \)
कुल तापमान में गिरावट \( = \text{प्रारंभिक तापमान} - \text{अंतिम तापमान} \)
\( = 25^\circ\text{C} - (-2^\circ\text{C}) \)
\( = 25^\circ\text{C} + 2^\circ\text{C} \)
\( = 27^\circ\text{C} \)
यदि \( 3^\circ\text{C} \) तापमान कम होने में 1 मिनट लगता है।
तो \( 1^\circ\text{C} \) तापमान कम होने में \( \frac{1}{3} \) मिनट लगेगा।
इसलिए, \( 27^\circ\text{C} \) तापमान कम होने में लगने वाला समय \( = 27 \times \frac{1}{3} \) मिनट
\( = 9 \) मिनट
अतः, वस्तु का तापमान \( -2^\circ\text{C} \) होने में 9 मिनट लगेंगे। तापमान में अंतर निकालने के लिए अंतिम तापमान को प्रारंभिक तापमान में से घटाया जाता है।
In simple words: फ्रिज हर मिनट 3 डिग्री सेल्सियस तापमान कम करता है। एक चीज़ का तापमान 25 डिग्री सेल्सियस है और उसे -2 डिग्री सेल्सियस तक ठंडा करना है। कुल 27 डिग्री सेल्सियस तापमान कम करना है। क्योंकि हर 3 डिग्री कम होने में 1 मिनट लगता है, तो 27 डिग्री कम होने में 9 मिनट लगेंगे।
🎯 Exam Tip: तापमान में कुल बदलाव ज्ञात करने के लिए हमेशा प्रारंभिक और अंतिम तापमान के अंतर को सही ढंग से घटाएं, खासकर जब तापमान शून्य से नीचे जाए।
Question 4. एक खेल में नीला कार्ड चुनने पर 2 गोटियाँ देनी पड़ती हैं तथा लाल कार्ड चुनने पर 3 गोटियाँ मिलती है। शीतल के पास 27 गोटियाँ थी, खेल के दौरान लगातार 9 नीले कार्ड आते हैं। बताइए उसके पास कितनी गोटियाँ है?
Answer: प्रारंभ में शीतल के पास गोटियाँ \( = 27 \)
एक नीला कार्ड चुनने पर देनी पड़ती हैं गोटियाँ \( = 2 \)
खेल के दौरान 9 नीले कार्ड आए।
9 नीले कार्ड के लिए कुल देनी पड़ेगी गोटियाँ \( = 9 \times 2 = 18 \)
अब शीतल के पास शेष गोटियाँ \( = 27 - 18 = 9 \)
अतः, शीतल के पास अब 9 गोटियाँ शेष हैं। इस प्रकार की समस्याओं में, प्रत्येक कार्ड के प्रभाव को जोड़ना या घटाना महत्वपूर्ण है।
In simple words: शीतल के पास पहले 27 गोटियाँ थीं। उसने 9 नीले कार्ड चुने, और हर नीले कार्ड के लिए उसे 2 गोटियाँ देनी पड़ीं। कुल 18 गोटियाँ देने के बाद, उसके पास 27 में से 18 घटाने पर 9 गोटियाँ बचीं।
🎯 Exam Tip: जब कोई वस्तु दी जाती है या खो जाती है, तो उसे घटाया जाता है; जब कोई वस्तु प्राप्त होती है, तो उसे जोड़ा जाता है। ऐसे सवालों में कुल संख्या को ध्यान से घटाएं या जोड़ें।
Question 5. निम्न भाग के सवालों को हल कीजिए।
(i) (-35) ÷ 7
(ii) 15 ÷ (-3)
(iii) - 25 ÷ (-25)
(iv) 25 ÷ (-1)
(v) 0 ÷ (-3)
(vi) 15 ÷ [(-2) + 1]
(vii) (-6) + 3 [(-2) + 1]
Answer:
(i) \( (-35) \div 7 = -5 \)
(ii) \( 15 \div (-3) = -5 \)
(iii) \( (-25) \div (-25) = 1 \)
(iv) \( 25 \div (-1) = -25 \)
(v) \( 0 \div (-3) = 0 \)
(vi) \( 15 \div [(-2) + 1] = 15 \div (-1) = -15 \)
(vii) \( (-6) + 3 \times [(-2) + 1] = (-6) + 3 \times (-1) = -6 - 3 = -9 \)
विभिन्न पूर्णांकों के लिए भाग और गुणन के नियम का पालन करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: इन सवालों में भाग और गुणा करना है। जब एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या को भाग करते हैं, तो उत्तर ऋणात्मक होता है। जब दो ऋणात्मक संख्याओं को भाग करते हैं, तो उत्तर धनात्मक होता है। शून्य को किसी भी गैर-शून्य संख्या से भाग करने पर शून्य ही आता है।
🎯 Exam Tip: BODMAS नियम का पालन करें: पहले कोष्ठक (ब्रैकेट) हल करें, फिर गुणा या भाग, और अंत में जोड़ या घटाव करें।
Question 7. (i) एक माह में उसे 5 रुपये की हानि होती है। यदि उसने 45 पेन बेचे तो उस माह उसके द्वारा बेची जाने वाली पेंसिलों की संख्या ज्ञात कीजिए। (ii) दूसरे माह उसे कोई नुकसान या लाभ नहीं हुआ। यदि उसने 70 पेन बेचे हो तो बेची गई पेंसिलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हम मान लेते हैं कि प्रति पेन लाभ \( = \) Rs. 1 और प्रति पेंसिल हानि \( = \) Rs. 0.50।
₹1 का लाभ होने पर इसका पूर्णांक रूप \( = +100 \) पैसे
₹0.50 की हानि होने पर इसका पूर्णांक रूप \( = -50 \) पैसे
(i) 45 पेन बेचने पर लाभ \( = 45 \times \text{Rs. } 1 = \text{Rs. } 45 \)
पैसे में लाभ \( = 45 \times 100 = 4500 \) पैसे
कुल हानि \( = \) Rs. 5 \( = 5 \times 100 = 500 \) पैसे
माना बेची गई पेंसिलों की संख्या \( = x \)
पेंसिल बेचने पर कुल हानि \( = x \times \text{Rs. } 0.50 = 0.50x \) रुपये
पैसे में हानि \( = x \times 50 = 50x \) पैसे
प्रश्नानुसार, कुल लाभ \( + \) कुल हानि \( = \) कुल परिणाम
\( 4500 - 50x = -500 \)
\( -50x = -500 - 4500 \)
\( -50x = -5000 \)
\( x = \frac{-5000}{-50} \)
\( x = 100 \)
अतः, दुकानदार ने 100 पेंसिलें बेचीं।
(ii) 70 पेन बेचने पर लाभ \( = 70 \times \text{Rs. } 1 = \text{Rs. } 70 \)
पैसे में लाभ \( = 70 \times 100 = 7000 \) पैसे
दूसरे माह में कोई लाभ या हानि नहीं हुई, जिसका मतलब है कि कुल लाभ \( + \) कुल हानि \( = 0 \)
तो, पेंसिल बेचने पर हुई हानि \( = \) पेन बेचने पर हुए लाभ के बराबर होनी चाहिए।
कुल हानि \( = 7000 \) पैसे
पेंसिल बेचने पर प्रति पेंसिल हानि \( = 50 \) पैसे
बेची गई पेंसिलों की संख्या \( = \frac{\text{कुल हानि}}{\text{प्रति पेंसिल हानि}} \)
\( = \frac{7000}{50} = 140 \)
अतः, दुकानदार ने 140 पेंसिलें बेचीं। इस तरह के सवालों में लाभ और हानि को समान इकाइयों (जैसे पैसे) में बदलना महत्वपूर्ण है।
In simple words: (i) एक महीने में, दुकानदार को कुल 5 रुपये का नुकसान हुआ। उसने 45 पेन बेचे (हर पेन पर 1 रुपये का लाभ)। इससे उसे 45 रुपये का लाभ हुआ। तो, 5 रुपये का कुल नुकसान होने के लिए, उसे 50 रुपये का नुकसान पेंसिलों से हुआ होगा। हर पेंसिल पर 0.50 रुपये का नुकसान होता है, तो उसने 100 पेंसिलें बेचीं। (ii) दूसरे महीने में उसे न लाभ हुआ न हानि। उसने 70 पेन बेचे, जिससे उसे 70 रुपये का लाभ हुआ। तो, पेंसिलों से भी 70 रुपये का नुकसान हुआ होगा। हर पेंसिल पर 0.50 रुपये का नुकसान होता है, तो उसने 140 पेंसिलें बेचीं।
🎯 Exam Tip: लाभ और हानि के सवालों में, सभी मूल्यों को एक ही इकाई (जैसे रुपये या पैसे) में बदलें और फिर लाभ को धनात्मक और हानि को ऋणात्मक मानकर गणना करें।
Question 7. पूर्णाकों का गुणा कर निम्न सारणी को भरिए।
| X | 2 | 3 | -4 | -2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | |||||
| -2 | |||||
| -1 | |||||
| 4 | |||||
| 2 |
Answer: पूर्णांकों का गुणा करके सारणी को इस प्रकार भरा जाएगा:
| X | 2 | 3 | -4 | -2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 6 | 9 | -12 | -6 | 3 |
| -2 | -4 | -6 | 8 | 4 | -2 |
| -1 | -2 | -3 | 4 | 2 | -1 |
| 4 | 8 | 12 | -16 | -8 | 4 |
| 2 | 4 | 6 | -8 | -4 | 2 |
गुणा करते समय चिन्हों का नियम ध्यान में रखना आवश्यक है: धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक उत्तर मिलता है, जबकि धनात्मक को ऋणात्मक से गुणा करने पर ऋणात्मक उत्तर और ऋणात्मक को ऋणात्मक से गुणा करने पर धनात्मक उत्तर मिलता है।
In simple words: आपको सारणी के हर खाली खाने में सही संख्याओं से गुणा करके उत्तर लिखना है। ऊपर वाली संख्या को बाईं वाली संख्या से गुणा करें। याद रखें कि दो माइनस संख्याओं को गुणा करने पर उत्तर प्लस में आता है।
🎯 Exam Tip: इस तरह की सारणी को भरते समय, एक पंक्ति या स्तंभ को पूरा करने से पहले सभी चिन्हों की सही ढंग से जांच करें।
Question 8. एक 60 फीट ऊँची बहुमंजिला इमारत में लिफ्ट में ऊपर जाने को धनात्मक पूर्णांक से दर्शाया जाए तो (i) 60 फीट ऊपर स्थित फ्लैट की ऊँचाई कैसे दर्शाएँगे? (ii) 15 फीट नीचे स्थित पार्किंग को पूर्णांक से दर्शाइए। (iii) लिफ्ट 5 फीट प्रति सैकण्ड से ऊपर की ओर जाती है। तो +5 और विपरीत आती है तो उसके उतरने को किस पूर्णांक से दर्शाएँगे।
Answer:
(i) 60 फीट ऊपर स्थित फ्लैट की ऊँचाई को \( +60 \) से दर्शाएँगे।
(ii) 15 फीट नीचे स्थित पार्किंग को \( -15 \) से दर्शाएँगे।
(iii) लिफ्ट 5 फीट प्रति सैकण्ड से ऊपर जाने को \( +5 \) से दर्शाया गया है। इसके विपरीत, लिफ्ट के उतरने को \( -5 \) से दर्शाएँगे।
ऊपर की ओर गति या ऊंचाई को धनात्मक पूर्णांक से और नीचे की ओर गति या गहराई को ऋणात्मक पूर्णांक से दर्शाया जाता है।
In simple words: इस सवाल में आपको ऊँचाई या ऊपर जाने को धनात्मक संख्या से और गहराई या नीचे जाने को ऋणात्मक संख्या से दिखाना है। 60 फीट ऊपर +60 है, 15 फीट नीचे -15 है, और 5 फीट नीचे उतरने को -5 से दिखाएँगे।
🎯 Exam Tip: दिशात्मक मानों को दर्शाने के लिए पूर्णांकों का उपयोग करते समय, हमेशा संदर्भ बिंदु (जैसे भूतल या शून्य) और प्रत्येक दिशा (ऊपर/नीचे, आगे/पीछे, लाभ/हानि) के लिए उपयुक्त चिन्ह (+ या -) को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें।
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