RBSE Solutions Class 6 Maths Chapter 13 अनुपात व समानुपात Exercise 13.1

Question 1. एक कस्बे में ग्रीष्मकालीन अवकाश में लगने वाले अभिरुचि शिविर में 25 लड़कियाँ और 15 लड़कों ने परिंडे बाँधे, अनुपात ज्ञात कीजिए।
(i) लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से
(ii) लड़कियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से।
Answer: शिविर में लड़कियों की संख्या = 25
शिविर में लड़कों की संख्या = 15
कुल विद्यार्थियों की संख्या = 25 + 15 = 40
(i) लड़कियों की संख्या का लड़कों की संख्या से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 25 }{ 15 } = \frac { 5 }{ 3 } = 5:3 \)
यह दर्शाता है कि प्रत्येक 5 लड़कियों पर 3 लड़के हैं।
(ii) लड़कियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 25 }{ 40 } = \frac { 5 }{ 8 } = 5 : 8 \)
In simple words: शिविर में 25 लड़कियाँ और 15 लड़के हैं। पहले अनुपात में लड़कियों की संख्या को लड़कों की संख्या से भाग दें। दूसरे अनुपात में लड़कियों की संख्या को कुल विद्यार्थियों से भाग दें।

🎯 Exam Tip: अनुपात ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि दोनों राशियाँ एक ही इकाई में हों और उन्हें सबसे सरल रूप में व्यक्त करें।

Question 2. वृक्षारोपण पखवाड़े में एक कक्षा के विद्यार्थियों ने 40 पौधे लगाए जिसमें 8 नीम के, 13 आम के, 19 करंजी के थे।
(i) नीम के पौधों व आम के पौधों की संख्या में अनुपात।
(ii) कुल पौधों में से नीम के पौधों का अनुपात।
Answer: लगाए गए कुल पौधे = 40
नीम के पेड़ = 8
आम के पौधे = 13
करंजी के पौधे = 19
कुल पौधे की जाँच: \( 8 + 13 + 19 = 40 \)
(i) नीम के पौधों की संख्या का आम के पौधों की संख्या से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 8 }{ 13 } = 8 : 13 \)
यह अनुपात बताता है कि प्रत्येक 8 नीम के पौधों पर 13 आम के पौधे हैं।
(ii) कुल पौधों की संख्या का नीम के पौधों की संख्या से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 40 }{ 8 } = \frac { 5 }{ 1 } = 5:1 \)
In simple words: पहले, नीम और आम के पौधों की संख्या का अनुपात निकालें। फिर, कुल पौधों की संख्या और नीम के पौधों की संख्या का अनुपात ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: जब भी अलग-अलग प्रकार की वस्तुओं का अनुपात पूछा जाए, तो सुनिश्चित करें कि आप सही वस्तुओं को सही क्रम में रख रहे हैं।

Question 3. चित्र में दी गई आकृतियों का उपयोग करके निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: चित्र में कुल 8 आकृतियाँ हैं, जिनमें 4 त्रिभुज, 2 वृत्त और 2 वर्ग शामिल हैं। इन आकृतियों की गणना करने से अनुपात निकालने में मदद मिलती है।

चित्र में:
त्रिभुजों की संख्या = 4
वृत्तों की संख्या = 2
वर्गों की संख्या = 2
कुल आकृतियाँ \( = 4 + 2 + 2 = 8 \)
(i) सभी त्रिभुजों की संख्या का वृत्तों की संख्या से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 4 }{ 2 } = \frac { 2 }{ 1 } = 2 : 1 \)
(ii) सभी वर्गों की संख्या का कुल आकृतियों से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 2 }{ 8 } = \frac { 1 }{ 4 } = 1 : 4 \)
(iii) सभी त्रिभुजों की संख्या का कुल आकृतियों से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 4 }{ 8 } = \frac { 1 }{ 2 } = 1 : 2 \)
In simple words: पहले चित्र में सभी आकृतियों को गिनें - त्रिभुज, वृत्त, वर्ग और कुल। फिर, दिए गए भागों के अनुसार उनके अनुपात को सबसे सरल रूप में लिखें।

🎯 Exam Tip: आकृतियों को गिनते समय सावधानी बरतें और सुनिश्चित करें कि आपने सभी प्रकार की आकृतियों को सही ढंग से गिना है।

Question 4. रिक्त स्थानों को भरिए
\( \frac { 15 }{ 21 } = \frac { [] }{ 14 } = \frac { 5 }{ [] } = \frac { [] }{ 35 } \)
Answer: अनुपात में रिक्त स्थानों को भरने के लिए, हमें दिए गए अनुपात के बराबर भिन्न ज्ञात करने होंगे। हम मूल भिन्न को सरल करके और फिर समानुपात का उपयोग करके रिक्त स्थान भर सकते हैं।
सबसे पहले, मूल भिन्न को सरल कीजिए:
\( \frac { 15 }{ 21 } = \frac { 15 \div 3 }{ 21 \div 3 } = \frac { 5 }{ 7 } \)

अब रिक्त स्थान भरिए:
(a) \( \frac { 5 }{ 7 } = \frac { x }{ 14 } \)
\( \implies 7x = 5 \times 14 \)
\( \implies x = \frac { 5 \times 14 }{ 7 } = 5 \times 2 = 10 \)

(b) \( \frac { 5 }{ 7 } = \frac { 5 }{ y } \)
\( \implies y = 7 \)

(c) \( \frac { 5 }{ 7 } = \frac { z }{ 35 } \)
\( \implies 7z = 5 \times 35 \)
\( \implies z = \frac { 5 \times 35 }{ 7 } = 5 \times 5 = 25 \)
इसलिए, रिक्त स्थान भरने के बाद, भिन्न इस प्रकार होंगे:
\( \frac { 15 }{ 21 } = \frac { 10 }{ 14 } = \frac { 5 }{ 7 } = \frac { 25 }{ 35 } \)
In simple words: पहले दिए गए भिन्न को सबसे सरल रूप में बदलें। फिर, इस सरल भिन्न का उपयोग करके अज्ञात संख्याओं को ज्ञात करें ताकि सभी भिन्न बराबर रहें।

🎯 Exam Tip: समानुपात समस्याओं को हल करते समय, हमेशा दिए गए भिन्न को पहले सरल रूप में लाएँ। इससे गणनाएँ आसान हो जाती हैं और गलतियाँ कम होती हैं।

Question 5. निम्न में से प्रत्येक का अनुपात ज्ञात कीजिए।
(i) 25 का 150 से
(ii) 72 का 36 से
(iii) 55 किमी. का 121 किमी. से
(iv) 35 मिनट का 55 मिनट से
Answer: अनुपात दो राशियों की तुलना करने का एक तरीका है। यह हमें बताता है कि एक राशि दूसरी राशि से कितनी बड़ी या छोटी है।
(i) 25 का 150 से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 25 }{ 150 } = \frac { 1 }{ 6 } = 1 : 6 \)
(ii) 72 का 36 से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 72 }{ 36 } = \frac { 2 }{ 1 } = 2 : 1 \)
(iii) 55 किमी. का 121 किमी. से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 55 }{ 121 } = \frac { 5 }{ 11 } = 5 : 11 \)
(iv) 35 मिनट का 55 मिनट से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 35 }{ 55 } = \frac { 7 }{ 11 } = 7 : 11 \)
In simple words: अनुपात निकालने के लिए, पहली संख्या को दूसरी संख्या से भाग दें और फिर इसे सबसे छोटे रूप में बदल दें।

🎯 Exam Tip: अनुपात निकालते समय सुनिश्चित करें कि दोनों राशियाँ एक ही इकाई में हों। यदि वे अलग-अलग इकाइयों में हैं, तो उन्हें एक ही इकाई में बदलें, जैसे किमी को किमी में या मिनट को मिनट में।

Question 6. निम्न में से प्रत्येक का अनुपात ज्ञात कीजिए।
(i) 60 पैसे तथा 2 रुपये
(ii) 800 ग्राम तथा 5 किग्रा
(iii) 15 मिनट तथा 1 घण्टा
(iv) 1 लीटर तथा 750 मिली.
Answer: अनुपात ज्ञात करने से पहले, हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि तुलना की जा रही सभी राशियाँ एक ही इकाई में हों। ऐसा करने के बाद ही हम संख्याओं को सरलतम रूप में लिख सकते हैं।
(i) 60 पैसे तथा 2 रुपये का अनुपात:
हमें 2 रुपये को पैसे में बदलना होगा। हम जानते हैं कि 1 रुपया = 100 पैसे।
इसलिए, 2 रुपये \( = 2 \times 100 = 200 \) पैसे।
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 60 \text{ पैसे} }{ 200 \text{ पैसे} } = \frac { 60 }{ 200 } = \frac { 3 }{ 10 } = 3 : 10 \)
(ii) 800 ग्राम तथा 5 किग्रा का अनुपात:
हमें 5 किलोग्राम को ग्राम में बदलना होगा। हम जानते हैं कि 1 किग्रा = 1000 ग्राम।
इसलिए, 5 किग्रा \( = 5 \times 1000 = 5000 \) ग्राम।
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 800 \text{ ग्राम} }{ 5000 \text{ ग्राम} } = \frac { 800 }{ 5000 } = \frac { 4 }{ 25 } = 4 : 25 \)
(iii) 15 मिनट तथा 1 घण्टा का अनुपात:
हमें 1 घण्टे को मिनट में बदलना होगा। हम जानते हैं कि 1 घण्टा = 60 मिनट।
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 15 \text{ मिनट} }{ 60 \text{ मिनट} } = \frac { 15 }{ 60 } = \frac { 1 }{ 4 } = 1 : 4 \)
(iv) 1 लीटर तथा 750 मिली. का अनुपात:
हमें 1 लीटर को मिलीलीटर में बदलना होगा। हम जानते हैं कि 1 लीटर = 1000 मिलीलीटर।
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 1000 \text{ मिली.} }{ 750 \text{ मिली.} } = \frac { 1000 }{ 750 } = \frac { 4 }{ 3 } = 4 : 3 \)
In simple words: जब अलग-अलग इकाइयाँ दी हों, तो पहले सभी को एक ही छोटी इकाई में बदलें। फिर, पहली संख्या को दूसरी संख्या से भाग देकर सरल अनुपात ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: इकाइयों का रूपांतरण करते समय सावधान रहें, खासकर जब वजन (ग्राम/किग्रा), समय (मिनट/घण्टा) या आयतन (मिली./लीटर) जैसी विभिन्न इकाइयाँ शामिल हों।

Question 7. एक गौशाला में वर्ष भर में 3,25,000 रुपये की राशि प्राप्त हुई और वर्ष भर गौ सेवा हेतु 3,00,000 रु. की राशि खर्च हुई। वर्ष भर की आय का वर्ष भर में खर्च की गई राशि से अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: एक गौशाला में प्राप्त हुई राशि (आय) और खर्च की गई राशि (व्यय) के बीच अनुपात ज्ञात करना महत्वपूर्ण है। यह गौशाला के वित्तीय प्रबंधन को समझने में मदद करता है।
एक वर्ष की आय = 3,25,000 रुपये
एक वर्ष का खर्च = 3,00,000 रुपये
आय का खर्च से अनुपात \( = \frac { 3,25,000 }{ 3,00,000 } \)
दोनों संख्याओं को 1000 से विभाजित करने पर, हमें मिलता है:
\( = \frac { 325 }{ 300 } \)
दोनों संख्याओं को 25 से विभाजित करने पर, हमें मिलता है:
\( = \frac { 13 }{ 12 } \)
इसलिए, अभीष्ट अनुपात \( = 13 : 12 \)
In simple words: गौशाला की कुल आय को कुल खर्च से भाग दें। फिर, इस भिन्न को सरल करें ताकि आपको आय और खर्च का अनुपात मिल सके।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दोनों संख्याओं को पहले बड़े सामान्य गुणनखंड से विभाजित करके सरलतम रूप में लाएँ। यह प्रक्रिया को आसान बनाता है।

Question 8. महेश प्रतिदिन 4 घण्टे स्वाध्याय करता है और लक्ष्मी प्रतिदिन 180 मिनट स्वाध्याय करती है। बताइए कि महेश और लक्ष्मी द्वारा किए गए स्वाध्याय में लगाए समय का अनुपात क्या होगा ? (1 घण्टा = 60 मिनट)
Answer: महेश और लक्ष्मी द्वारा स्वाध्याय में लगाए गए समय का अनुपात निकालने के लिए, हमें पहले उनके समय की इकाइयों को समान करना होगा। समय को एक ही इकाई (जैसे मिनट या घंटे) में बदलने से तुलना करना आसान हो जाता है।
महेश द्वारा स्वाध्याय में लगाया गया समय = 4 घण्टे
लक्ष्मी द्वारा स्वाध्याय में लगाया गया समय = 180 मिनट
हमें मिनट को घण्टे में बदलना होगा। हम जानते हैं कि 1 घण्टा = 60 मिनट।
तो, 180 मिनट \( = \frac { 180 }{ 60 } \) घण्टे \( = 3 \) घण्टे।
अब, महेश के समय का लक्ष्मी के समय से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 4 \text{ घण्टे} }{ 3 \text{ घण्टे} } = \frac { 4 }{ 3 } = 4 : 3 \)
In simple words: पहले लक्ष्मी के मिनट को घंटों में बदलें। फिर, महेश और लक्ष्मी दोनों के घंटों का अनुपात निकालें।

🎯 Exam Tip: समय या अन्य इकाइयों को बदलते समय, हमेशा बड़ी इकाई से छोटी इकाई में या छोटी इकाई से बड़ी इकाई में बदलने के लिए सही गुणा/भाग कारक का उपयोग करें।

Question 9. एक विद्यालय में कुल 720 विद्यार्थी अध्ययन करते हैं जिसमें 360 विद्यार्थी छात्रावास में रहते हैं तो छात्रावास में रहने वाले विद्यार्थियों का कुल विद्यार्थियों के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: विद्यालय में छात्रावास में रहने वाले विद्यार्थियों की संख्या का कुल विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हमें दोनों संख्याओं को तुलनात्मक रूप में रखना होगा। यह अनुपात दर्शाता है कि कुल विद्यार्थियों में से कितने प्रतिशत विद्यार्थी छात्रावास में रहते हैं।
कुल विद्यार्थियों की संख्या = 720
छात्रावास में रहने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 360
छात्रावास में रहने वाले विद्यार्थियों का कुल विद्यार्थियों से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 360 }{ 720 } \)
दोनों संख्याओं को 360 से विभाजित करने पर:
\( = \frac { 1 }{ 2 } \)
इसलिए, अनुपात \( = 1 : 2 \)
In simple words: छात्रावास में रहने वाले बच्चों की संख्या को स्कूल के कुल बच्चों की संख्या से भाग दें। फिर, उत्तर को सबसे सरल रूप में लिखें।

🎯 Exam Tip: अनुपात ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंश और हर सही क्रम में हैं, प्रश्न को ध्यान से पढ़ें (जैसे छात्रावास में रहने वाले का कुल से, न कि कुल का छात्रावास में रहने वाले से)।

Question 10. तलिस्मा व गुरुमित ने पापड़ उद्योग के लिए 2 : 5 में पूँजी लगाई। वर्ष के अन्त में 35,000 रुपये का मुनाफा हुआ तो प्रत्येक का हिस्सा ज्ञात कीजिए।
Answer: जब लोग किसी व्यवसाय में अलग-अलग अनुपात में पैसे लगाते हैं, तो मुनाफा भी उसी अनुपात में बँटता है। पहले कुल अनुपात ज्ञात करते हैं, फिर कुल मुनाफे को उस अनुपात के हिसाब से विभाजित करते हैं।
पूँजी लगाने का अनुपात = 2 : 5
अनुपातों का योग \( = 2 + 5 = 7 \)
कुल मुनाफा = 35,000 रुपये

तलिस्मा का हिस्सा:
तलिस्मा का हिस्सा कुल मुनाफे का \( \frac { 2 }{ 7 } \) होगा।
तलिस्मा का हिस्सा \( = \frac { 2 }{ 7 } \times 35,000 \)
\( = 2 \times 5,000 \)
\( = 10,000 \) रुपये

गुरुमित का हिस्सा:
गुरुमित का हिस्सा कुल मुनाफे का \( \frac { 5 }{ 7 } \) होगा।
गुरुमित का हिस्सा \( = \frac { 5 }{ 7 } \times 35,000 \)
\( = 5 \times 5,000 \)
\( = 25,000 \) रुपये
In simple words: सबसे पहले दिए गए अनुपात को जोड़ें। फिर, प्रत्येक व्यक्ति के हिस्से को कुल मुनाफे से गुणा करके उनका व्यक्तिगत हिस्सा ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: मुनाफे या किसी भी राशि को अनुपात में बांटते समय, अनुपाती योग (यानी अनुपात के सभी हिस्सों का योग) को हमेशा हर के रूप में उपयोग करें।

Question 11. कथन को देखें-एक हॉल की चौड़ाई और लम्बाई का अनुपात 3 : 4 है। निम्न सारणी को पूरा कीजिए जो कि हॉल की कुछ सम्भव चौड़ाई और लम्बाई को दिखाती है।

Answer: हमें हॉल की चौड़ाई और लम्बाई का अनुपात 3:4 दिया गया है। इसका मतलब है कि चौड़ाई और लम्बाई हमेशा इसी अनुपात में बढ़ती या घटती हैं। हम इस अनुपात का उपयोग करके सारणी में छूटी हुई संख्याओं को ज्ञात कर सकते हैं।
हॉल की चौड़ाई और लम्बाई का अनुपात \( = 3 : 4 \)
आइए चौड़ाई को \( 3k \) और लम्बाई को \( 4k \) मान लें, जहाँ \( k \) एक स्थिरांक है।

1. जब चौड़ाई \( = 6 \) मीटर:
\( 3k = 6 \implies k = 2 \)
लम्बाई \( = 4k = 4 \times 2 = 8 \) मीटर (यह सारणी में पहले से दिया गया है)।

2. जब लम्बाई \( = 16 \) मीटर:
\( 4k = 16 \implies k = 4 \)
चौड़ाई \( = 3k = 3 \times 4 = 12 \) मीटर।

3. जब चौड़ाई \( = 24 \) मीटर:
\( 3k = 24 \implies k = 8 \)
लम्बाई \( = 4k = 4 \times 8 = 32 \) मीटर।

4. जब लम्बाई \( = 48 \) मीटर:
\( 4k = 48 \implies k = 12 \)
चौड़ाई \( = 3k = 3 \times 12 = 36 \) मीटर।

अब, भरी हुई सारणी इस प्रकार है:

In simple words: हॉल की चौड़ाई और लम्बाई का अनुपात 3:4 है। तालिका के खाली स्थानों को भरने के लिए, दी गई संख्या को 3 या 4 के बराबर मानकर 'k' का मान ज्ञात करें। फिर इस 'k' का उपयोग करके दूसरी संख्या ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: अनुपात और समानुपात से संबंधित सारणी वाले प्रश्नों में, पहले दिए गए अनुपात को समझें। फिर, अज्ञात मानों को ज्ञात करने के लिए अनुपाती स्थिरांक (k) का उपयोग करें।

Question 12. पिता की वर्तमान आयु 45 वर्ष और उसके पुत्र की 15 वर्ष है। अनुपात ज्ञात कीजिए।
(i) पिता की वर्तमान आयु और पुत्र की वर्तमान आयु का।
(ii) पिता की आयु का पुत्र की आयु से जब पुत्र 10 वर्ष का था।
(iii) 5 वर्ष बाद की पिता की आयु का 5 वर्ष बाद की पुत्र की आयु से।
(iv) पिता की आयु का पुत्र की आयु से जब पिता 60 वर्ष के होंगे।
Answer: अनुपात विभिन्न समय बिंदुओं पर पिता और पुत्र की आयु की तुलना करने में मदद करता है। आयु-संबंधी समस्याओं में समय के साथ आयु में बदलाव को समझना महत्वपूर्ण है।
पिता की वर्तमान आयु = 45 वर्ष
पुत्र की वर्तमान आयु = 15 वर्ष

(i) पिता की वर्तमान आयु का पुत्र की वर्तमान आयु से अनुपात:
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 45 }{ 15 } = \frac { 3 }{ 1 } = 3 : 1 \)

(ii) पिता की आयु का पुत्र की आयु से जब पुत्र 10 वर्ष का था:
पुत्र की वर्तमान आयु 15 वर्ष है। यदि पुत्र 10 वर्ष का था, तो यह \( 15 - 10 = 5 \) वर्ष पहले की बात है।
5 वर्ष पहले पिता की आयु \( = 45 - 5 = 40 \) वर्ष
5 वर्ष पहले पुत्र की आयु \( = 15 - 5 = 10 \) वर्ष
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 40 }{ 10 } = \frac { 4 }{ 1 } = 4 : 1 \)

(iii) 5 वर्ष बाद की पिता की आयु का 5 वर्ष बाद की पुत्र की आयु से:
5 वर्ष बाद पिता की आयु \( = 45 + 5 = 50 \) वर्ष
5 वर्ष बाद पुत्र की आयु \( = 15 + 5 = 20 \) वर्ष
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 50 }{ 20 } = \frac { 5 }{ 2 } = 5 : 2 \)

(iv) पिता की आयु का पुत्र की आयु से जब पिता 60 वर्ष के होंगे:
यदि पिता 60 वर्ष के होंगे, तो वर्तमान आयु (45 वर्ष) से \( 60 - 45 = 15 \) वर्ष बाद।
15 वर्ष बाद पुत्र की आयु \( = 15 + 15 = 30 \) वर्ष
अभीष्ट अनुपात \( = \frac { 60 }{ 30 } = \frac { 2 }{ 1 } = 2 : 1 \)
In simple words: हर भाग में, पहले उस विशेष समय पर पिता और पुत्र की आयु ज्ञात करें। फिर, पिता की आयु को पुत्र की आयु से भाग देकर अनुपात निकालें और उसे सरल करें।

🎯 Exam Tip: आयु-संबंधी अनुपात प्रश्नों में, हमेशा अलग-अलग समय बिंदुओं पर (पहले, अब, बाद में) आयु की गणना सही ढंग से करें और फिर अनुपात ज्ञात करें।