RBSE Solutions Class 6 Maths Chapter 12 बीजगणित Exercise 12.1

Question 1. नीचे दिए गए वर्गों के प्रतिरूप तीलियों की सहायता से बनाइए। प्रतिरूप के चित्र अपनी कॉपी में बनाइए। प्रत्येक प्रतिरूप में तीलियों की संख्या ज्ञात करने के लिए नियम बनाइए (आप नियम बनाने के लिए बीजांकों का उपयोग कर सकते हैं, यथा a, b, x, y आदि)।
(i) T का प्रतिरूप T, TT,
(ii) N का प्रतिरूप N, NN,
(iii) W का प्रतिरूप W, WW,
Answer:
(i) T का प्रतिरूप T, TT, TTT, TTTT,
चित्र में T अक्षरों को तीलियों से दिखाया गया है। एक T बनाने के लिए 2 तीलियाँ चाहिए होती हैं। इस पैटर्न को समझने से हम बीजगणित के नियमों को आसानी से सीख सकते हैं।
इसलिए, nT बनाने में आवश्यक तीलियाँ \( = 2 \times n = 2n \)

(ii) N का प्रतिरूप N, NN, NNN, NNNN,
चित्र में N अक्षरों को तीलियों से दिखाया गया है। एक N बनाने के लिए 3 तीलियाँ चाहिए होती हैं। बीजगणित में, यह दर्शाता है कि हर नया अक्षर एक निश्चित संख्या में तीलियाँ जोड़ता है।
इसलिए, nN बनाने में आवश्यक तीलियाँ \( = n \times 3 = 3n \)

(iii) W का प्रतिरूप W, WW, WWW, WWWW,
चित्र में W अक्षरों को तीलियों से दिखाया गया है। एक W बनाने के लिए 4 तीलियाँ चाहिए होती हैं। इस तरह के नियम हमें बड़ी संख्याओं के लिए भी आसानी से गणना करने में मदद करते हैं।
इसलिए, nW बनाने में आवश्यक तीलियाँ \( = n \times 4 = 4n \)
In simple words: हमें तीलियों से अक्षर T, N, W के पैटर्न बनाने थे और हर पैटर्न के लिए तीलियों की संख्या का नियम बताना था। T के लिए 2n, N के लिए 3n और W के लिए 4n नियम मिला।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, सबसे पहले 1, 2, 3 इकाइयों के लिए तीलियों की संख्या गिनें और फिर पैटर्न को ध्यान से देखकर एक सामान्य नियम (बीजगणितीय व्यंजक) बनाएं।

Question 3. रानू, लीला से 5 वर्ष छोटी है।
(i) लीला की आयु \( x \) लेकर रानू की आयु \( x \) के पदों में लिखिए।
(ii) रानू की आयु \( P \) लेते हुए लीला की आयु \( P \) के पदों में लिखिए।
Answer:
(i) यदि लीला की आयु \( x \) वर्ष है और रानू उससे 5 वर्ष छोटी है, तो रानू की आयु \( x \) में से 5 घटाकर मिलेगी। यह हमें एक चर का उपयोग करके आयु संबंध को व्यक्त करने का एक सरल तरीका दिखाता है।
\( \implies \) रानू की आयु \( = (x - 5) \) वर्ष।

(ii) यदि रानू की आयु \( P \) वर्ष है और लीला रानू से 5 वर्ष बड़ी है, तो लीला की आयु \( P \) में 5 जोड़कर मिलेगी। आयु के ऐसे प्रश्न बीजगणितीय व्यंजकों का उपयोग करके संबंधों को दर्शाने में मदद करते हैं।
\( \implies \) लीला की आयु \( = (P + 5) \) वर्ष।
In simple words: अगर लीला की उम्र \( x \) है, तो रानू की उम्र \( x-5 \) होगी क्योंकि वह 5 साल छोटी है। अगर रानू की उम्र \( P \) है, तो लीला की उम्र \( P+5 \) होगी क्योंकि वह 5 साल बड़ी है।

🎯 Exam Tip: "छोटी" या "कम" के लिए हमेशा घटाव का उपयोग करें और "बड़ी" या "अधिक" के लिए जोड़ का उपयोग करें। चरों को ध्यान से समझें कि कौन किसकी आयु का प्रतिनिधित्व कर रहा है।

Question 4. एक पेन का मूल्य 5 रु. है, मदन के पास कुछ धन है वह उस समस्त धन से पेन खरीदता है। पेनों की संख्या को धन के पदों में व्यक्त कीजिए।
Answer: माना मदन के पास \( x \) रु. हैं और वह इन \( x \) रु. से \( n \) पेन खरीदता है। हमें कुल पेनों की संख्या को कुल खर्च किए गए धन और एक पेन की कीमत के बीच के संबंध से निकालना होगा। इस तरह के समीकरण वास्तविक जीवन की स्थितियों को समझने में मदद करते हैं।
कुल खर्च धन \( = \) एक पेन का मूल्य \( \times \) कुल पेनों की संख्या
\( \implies x = 5 \times n \)
अब, \( n \) का मान निकालने के लिए 5 को \( x \) के नीचे ले जाएँगे:
\( \implies n = \frac{x}{5} \)
In simple words: मदन के पास \( x \) रुपये थे और एक पेन 5 रुपये का था। अगर उसे सारे पैसों से पेन खरीदने हों, तो पेनों की संख्या \( x \) को 5 से भाग देकर पता चलेगी।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, कुल राशि को हमेशा एक इकाई की कीमत से भाग देकर कुल इकाइयों की संख्या प्राप्त की जाती है।

Question 5. निम्न तालिका को पूर्ण कीजिए।
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 2x + 3 & 5 & 7 & & & & & \\ \hline \end{array} \]
Answer: तालिका को पूरा करने के लिए, हमें व्यंजक \( 2x + 3 \) में \( x \) के दिए गए मानों को रखकर उनके संगत मान ज्ञात करने होंगे। यह बीजीय व्यंजकों में मान रखने का अभ्यास कराता है।
जब \( x = 3 \) के लिए, \( 2x + 3 = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 \)
जब \( x = 4 \) के लिए, \( 2x + 3 = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 \)
जब \( x = 5 \) के लिए, \( 2x + 3 = 2(5) + 3 = 10 + 3 = 13 \)
अगर \( 2x + 3 = 15 \) है, तो \( 2x = 15 - 3 \)
\( \implies 2x = 12 \)
\( \implies x = \frac{12}{2} = 6 \)
जब \( x = 7 \) के लिए, \( 2x + 3 = 2(7) + 3 = 14 + 3 = 17 \)
अतः, प्रश्न में दी गई तालिका पूरी करने पर यह इस प्रकार दिखेगी:

In simple words: इस तालिका को भरने के लिए, हमें \( x \) के हर मान को \( 2x + 3 \) में रखना था। जैसे, जब \( x \) 3 होता है, तो \( 2 \times 3 + 3 = 9 \) होता है। इस तरह, हमने तालिका के सभी खाली स्थानों को भर दिया।
🎯 Exam Tip: व्यंजकों में मान भरते समय हमेशा गुणा और भाग पहले करें, फिर जोड़ और घटाव करें (BODMAS/PEMDAS नियम का पालन करें)।